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★ 方程式 / n
2(2x-1)^(1/3)=x^3 +1

この方程式って、両辺3乗するしかないのでしょうか？
No.69836 - 2020/09/30(Wed) 10:58:15
☆ Re: 方程式 / らすかる
3乗せずに解けます。（というより、3乗すると高次すぎて解きにくいと思います。）
2x=tとおくと2(t-1)^(1/3)=(t/2)^3+1
y=(t/2)^3+1とおくと
y-1=(t/2)^3
(y-1)^(1/3)=t/2
2(y-1)^(1/3)=t
よって両辺は逆関数の関係にあり、y=(t/2)^3+1は単調増加なので
(t/2)^3+1=tを解けばよい。
整理してt^3-8t+8=0
(t-2)(t^2+2t-4)=0
t=2,-1±√5
∴x=1,(-1±√5)/2
No.69840 - 2020/09/30(Wed) 12:16:48
★ (No Subject) / おっふ
次の方程式を解きなさい。
(9-2x/25){(100-x)/100}+(1+2x/25)(x/100)=6
No.69831 - 2020/09/30(Wed) 00:27:58
☆ Re: / ヨッシー
y=x/100 とおくと、この式は
　(9−8y)(1−y)＋(1＋8y)y＝6
展開して、
　8y^2−17y＋9＋8y^2＋y−6＝0
　16y^2−16y＋3＝0
これを解いて、
　y＝(8±4)/16＝3/4, 1/4
x＝100y より
　x＝75, 25
No.69834 - 2020/09/30(Wed) 00:36:56
★ 微分方程式 / 醤油
初期値問題をピカールの逐次近似法で解く問題です。
y'=-2xy,y(0)=1
よろしくお願いいたします。
No.69826 - 2020/09/29(Tue) 21:40:56
☆ Re: 微分方程式 / 醤油
解決したので大丈夫です！
No.69835 - 2020/09/30(Wed) 08:26:28
★ (No Subject) / のん
定数a,b,c,p,q,Dに対して、次の等式
(x^3+ax^2+bx+c)^2=(x^2-1)(x^2+px+q)^2+D
がすべてのxについて成り立つようなDの値を求めよ。
全部展開したのですが途中で訳がわからなくなってしまいました。
答えは1/16になります。教えていただけますでしょうか。
No.69825 - 2020/09/29(Tue) 21:35:37
☆ Re: / らすかる
展開して係数を比較すると
a=p … (1)
a^2+2b=p^2+2q-1 … (2)
ab+c=p(q-1) … (3)
b^2+2ac=q^2-p^2-2q … (4)
bc=-pq … (5)
c^2=-q^2+D … (6)
(1)を(2)に代入するとa^2とp^2が消えて
b=q-1/2 … (7)
(3)に(1)と(7)を代入してaとbを消去して整理すると
c=-p/2 … (8)
(4)に(1)と(7)と(8)を代入してa,b,cを消去して整理すると
q=-1/4 … (9)
(7)に(9)を代入して
b=-3/4 … (10)
(8)と(9)と(10)を(5)に代入して
p=0 … (11)
(1)と(11)から
a=0 … (12)
(8)と(11)から
c=0 … (13)
(6)と(9)と(13)から
D=1/16
a=0,b=-3/4,c=0,p=0,q=-1/4,D=16を問題の式に代入すると
x^6-(3/2)x^4+(9/16)x^2=x^6-(3/2)x^4+(9/16)x^2
となりすべてのxについて成り立つので、D=1/16が答え。
No.69830 - 2020/09/29(Tue) 23:32:54
☆ Re: / 関数電卓
本問の結果の両辺を 16 倍すると
　(4x^3−3x)^2＝(x^2−1)(4x^2−1)^2＋1
となるのですが，
　左辺は，{cos(3θ)}^2＝{4(cosθ)^3−3cosθ}^2
　右辺は，{sin(3θ)}^2＝(sinθ)^2･{4(cosθ)^2−1}＝((cosθ)^2−1)･{4(cosθ)^2−1}
を cosθ＝x として書いたものです。すなわち，
　(cos(3θ))^2＋(sin(3θ))^2＝1 …(*)
というよく知られた関係式を cosθ＝x として書いたものでした。

cos(nθ), sin(nθ)/sinθ を展開し cosθ＝x として表したものを チェビシェフの多項式 といいます。本問は(*)をチェビシェフの多項式で表したもので，これはもちろんもっと大きな n に拡張できます。しかし，スレッド冒頭のような形で設問された場合，どのように解くのか私は知りません。
No.69833 - 2020/09/30(Wed) 00:34:13
☆ Re: / のん
お二人ともありがとうございます。深いですね…。
No.69845 - 2020/09/30(Wed) 21:29:12
★ 証明問題 / カーキ
sin5θ=5cos^4θsinθ-10cos^2θsin^3θ+sin^5θ
この等式の証明が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.69823 - 2020/09/29(Tue) 19:19:45
☆ Re: 証明問題 / IT
加法定理と倍角の公式を２回使うか
sin5x=sin(4x+x)=sin(4x)cosx+cos4xsinx
=2(sin2x)(cos2x)cosx+((cos2x)^2-(sin2x)^2)sinx
=4(sinxcosx)((cosx)^2-(sinx)^2)cosx+((((cosx)^2-(sinx)^2)^2)-4(sinxcosx)^2)sinx
=4(sinx)(cosx)^4-4((sinx)^3)(cosx)^2+((cosx)^4+(sinx)^4-6((sinx)^2)((cosx)^2))sinx
=5(sinx)(cosx)^4-10((sinx)^3)(cosx)^2-(sinx)^5

Θでなくｘとしています。かっこの付け方が不統一です。


複素数を履修済みなら　ド・モアブルの定理を使う方法もあると思います。

cos5x+isin5x=(cosx+isinx)^5
右辺を展開して虚部を比較して　
sin5x=5((cosx)^4)sinx-10((cosx)^2)(sinx)^3+(sinx)^5
No.69824 - 2020/09/29(Tue) 20:16:00
☆ Re: 証明問題 / 醤油
ありがとうございます。
No.69827 - 2020/09/29(Tue) 21:49:16
★ 証明の問題です / あおい
こちらの問題、解ける方いらっしゃいましたら、よろしくお願いします。
No.69822 - 2020/09/29(Tue) 17:15:07
★ 立体図形 / 優子
半径rの球面上に4点A、B、C、Dがある。四面体ABCDの各辺の長さは、AB = a、AC = AD = BC = BD = CD = bを満たしている。このとき、r= (b/2)√((4b^2-a^2)/(3b^2-a^2))となる。このことをべク
トルを用いて証明せよ。
No.69820 - 2020/09/29(Tue) 14:52:59
☆ Re: 立体図形 / 関数電卓
> r＝(b/2)√((4b^2−a^2)/(3b^2−a^2))
確かにこうなるようですが，
> ベクトルを用い
なければならないのですか？
私は，辺の長さから直接計算しましたが…
No.69829 - 2020/09/29(Tue) 23:08:56
★ (No Subject) / n
n を 2 以上の整数とする。n 個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の最大値Mと最小値mの積が 20 以上である確率を求めよ。

僕は積が20以上となる(M,,m)の組を考えてそれぞれの場合の数を考えたんですが、友達がふと「4 , 5 , 6」のどれかが出てそこから4だけ出る場合を求めればいいといっていました。
答えは同じなのですが、友達の考え方はあっているのでしょうか？
ちなみに、答えは　(3^n -1)/6^n です
No.69817 - 2020/09/29(Tue) 14:11:59
☆ Re: / らすかる
合っています。
Mとmの積が20以上になるのは
(M,m)=(6,6),(6,5),(6,4),(5,5),(5,4)
だけであり、こうなるのは「全てのサイコロが4以上」から
「全てのサイコロが4」を引いたものです。
No.69818 - 2020/09/29(Tue) 14:29:19
☆ Re: / n
返信ありがとうございます。
ということは、断然、友達のいっている方で解答する方がいいですね。
数行で解答が終わります。
ありがとうございました。
No.69819 - 2020/09/29(Tue) 14:43:13
★ 複素関数 / めがる
一問だけでも構いませんのでお願いします。
No.69816 - 2020/09/29(Tue) 14:04:20
☆ Re: 複素関数 / X
(1)
(x,y)=(t,t^2)
により
dx=dt
dy=2tdt
∴(与式)=∫[t:0→1](t+2t^3)dt
=1/2+1/2=1

(2)
(x,y)=(cost,sint)
より
dx=-sintdt
dy=costdt
∴(与式)=∫[t:0→2π]{-(sint)^2+(cost)^2}dt
=∫[t:0→2π]cos2tdt
=0

(3)
(2)の過程により
(与式)=∫[t:0→π]{-(sint)^2+(cost)^2}dt
=∫[t:0→π]cos2tdt
=0
No.69828 - 2020/09/29(Tue) 22:25:33
☆ Re: 複素関数 / めがる
大変助かりました‼ありがとうございます。
No.69862 - 2020/10/01(Thu) 11:57:45
★ 幾何学 / あ
この問題が分かりません。教えて頂きたいです。
No.69814 - 2020/09/29(Tue) 09:07:22
☆ Re: 幾何学 / あ
解決しました！
No.69821 - 2020/09/29(Tue) 15:37:19
★ (No Subject) / 山下
座標平面上の点（p、q）はx^2+ y^2≦8、y≧0で表される領域を動く。このとき、点（p+q、pq）の動く範囲を図示せよ。この問題には、3x^2-2xy + 3y^2= 16から3（x +y）^2-8xy = 16
x+ y = u、xy = vとおくと3u^2-8v = 16
ゆえにv=3/8v^2-2…?@
また、方程式t^2ーut + v = 0が実数解x、yをもつからu ^2-4v≧0であり、この不等式に?@を代入するとu^2-4{(3/8)u^2-2｝≧0よってu^2-16 ≦0
これを解いて-4 ≦u≦4
したがって、x+ yのとりうる値の範囲は-4 ≦x + y ≦4 という解き方や、x + y=k→y=k-xとおき式に代入して判別式で解く方法がありますが、これらのやり方ではなくp=rcosθ,q=rsinθとおいて解いていただけませんか？
No.69810 - 2020/09/28(Mon) 23:26:09
★ 友達から送られてきたメールです。何を表していますか？ / 伊藤
以下がメールです。一部省略してます。

kを整数値として、kが1-8までグラフに書いて見て


0=[(10-k)/9]x
+[k/2][(11-k)/9](xy-5y)
+[k/3][(12-k)/9](x^2-25)(y^2-20y)
+[k/4][(13-k)/9](y-4|-x|)
+[k/5][(14-k)/9](x+5)(y^3-30y^2+200y)
+[k/6][(15-k)/9](x-5)(x+5[y/10])(y^2-10y)
+[k/7][(16-k)/9](x^2-25)(y^2-20y)
+[k/8][(17-k)/9](yx^2-25y)

(-5<=x<=5)
No.69809 - 2020/09/28(Mon) 22:18:26
☆ Re: 友達から送られてきたメールです。何を表していますか？ / IT
[] がガウス記号であればそれぞれのkの値に対して
生きてくる式は　０＝（k行目の式）です。

それぞれ横線・縦線（の組み合わせ）やV字などで、何か意味があるように思えませんが

何か条件をつけて　I LOVE YOU かも
No.69811 - 2020/09/28(Mon) 23:37:10
☆ Re: 友達から送られてきたメールです。何を表していますか？ / らすかる
-5≦x≦5, 0≦y≦20の範囲だけ見ると「ILOVEYOU」っぽくなっていますが、
もしそうだとしたら
・Lが左右逆に見えます。2行目の(xy-5y)は(xy+5y)の間違いでは？
・Yの形が変です。
No.69813 - 2020/09/29(Tue) 04:07:01
★ 統計、大2 / 寺田
平均μ、分散σ^2の分布に従う母集団からランダムサンプリングによって大きさ4の標本x1,x2,x3,x4を抽出する。Y=(x1+x2+x3)/3,Z=(x1+x2+x3+x4)/4の相関係数ρ(Y,Z)を求めなさい。なお、ランダムサンプリングによって得ら
れたx1,x2,x3,x4は互いに独立であると考えることができる。
No.69808 - 2020/09/28(Mon) 21:45:16
★ 重複 / ペンギン
（問1）0,1,2,3,4,5,6の7個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。このとき、3個の数字の合計が3の倍数となる組の総数を求めよ。
（問2）1,2,3,4,5,6の6種の数字を並べて自然数Nを作る。自然数Nのうち3桁で7の倍数のものは全部で何個か求めよ。(ただし、使わない数字があってもよく、また、同じ数字を重複して使っても良いものとする。)
（問3）1,2,3,4,5,6の6個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。このとき、3個の数字の合計が7の倍数となる組の総数を求めよ。
No.69798 - 2020/09/28(Mon) 08:55:16
☆ Re: 重複 / らすかる
問1
0〜6を3で割った余りで分類すると
3で割り切れる数：0,3,6
3で割って1余る数：1,4
3で割って2余る数：2,5
となり、合計が3の倍数になるのは
「3数を3で割った余りが全て等しい場合」と
「3数を3で割った余りが全て異なる場合」ですから、
3H3+2H3+2H3+3×2×2=30組
となります。

問2
上2桁で7の倍数でないとき、残りの1桁に1〜6を入れると
必ずどれか一つだけ7の倍数になります。
上2桁が7の倍数のとき、残りの1桁に1〜6を入れると7の倍数になりません。
従って「3桁で7の倍数になる個数」=「2桁で7の倍数でない個数」
であり、2桁の選び方6^2通りのうち7の倍数は14,21,35,42,56,63の
6個ですから、求める個数は6^2-6=30個となります。

問3
合計が7になるのは(1,1,5)(1,2,4)(1,3,3)(2,2,3)の4組
合計が14になるのは(2,6,6)(3,5,6)(4,4,6)(4,5,5)の4組
なので、全部で8組です。
No.69805 - 2020/09/28(Mon) 11:52:50
☆ Re: 重複 / ペンギン
わかりやすい解説ありがとうございました。
No.69815 - 2020/09/29(Tue) 10:32:27
★ 微積 / 赤
(1)でd^2y/dx^2を求めたいのですがイマイチやり方が分かりません。詳しく解説していただきたいです。よろしくお願いします。
No.69791 - 2020/09/27(Sun) 21:27:19
☆ Re: 微積 / mathmouth
合成関数の微分法を駆使します。
No.69792 - 2020/09/27(Sun) 21:47:41
☆ Re: 微積 / 赤
d/dtはtで微分するという意味だと思いますが、微分するのはdy/dxだけですか？それともdt/dxもですか？理由も教えていただきたいです。
No.69793 - 2020/09/27(Sun) 22:41:36
☆ Re: 微積 / mathmouth
> d/dtはtで微分するという意味だと思いますが、微分するのはdy/dxだけですか？それともdt/dxもですか？

dy/dxのみです。何のために()をつけていると思いますか？

>　理由も教えていただきたいです。
横に∵で書いてある通り、合成関数の微分法を用いています。日本語でいえばxで微分する⇔tで微分してからtのx微分(dt/dx)を掛ける
ということです。
記号の意味や合成関数の微分法が分からないのであれば、問題を解く以前に基礎的な内容の理解に努めるべきです。
No.69794 - 2020/09/27(Sun) 23:04:23
☆ Re: 微積 / 赤
失礼しました。ありがとうございました。
No.69796 - 2020/09/28(Mon) 05:52:22
☆ Re: 微積 / ヨッシー
赤さんへ

回答が付くたびに、元の記事の画像を消すのはやめてください。
他の人が、情報を得たい場合もあるのです。

管理人より
No.69797 - 2020/09/28(Mon) 06:09:59
★ (No Subject) / どひょん
数A確率です。模範回答を教えてください。よろしくおねがいします。
No.69789 - 2020/09/27(Sun) 16:33:32
☆ Re: / ヨッシー
(4)(5) だけ書いておきますので、(1)〜(3) はこれに倣ってください。

(4)
A(1)(赤１個, 白９個) が持ち込まれたとき、赤白赤の順に出る確率は
　1/10×9/10×1/10＝9/1000
A(2)(赤２個, 白８個) が持ち込まれたとき、赤白赤の順に出る確率は
　2/10×8/10×2/10＝32/1000
一般に
A(i)(赤ｉ個, 白10−i個) が持ち込まれたとき、赤白赤の順に出る確率は
　i/10×(10-1)/10×i/10＝i2(10-i)/1000

(5)
f(i)＝i2(10-i) とおくと、
f(1)＝9, f(2)＝32, f(3)＝63, f(4)＝96, f(5)＝125
f(6)＝144, f(7)＝147, f(8)＝128, f(9)＝81
より、A(7) である条件付き確率が高い。
No.69806 - 2020/09/28(Mon) 14:07:03
★ 統計的な推測 / りんか
数学B　確率分布と統計的な推測の単元の質問です。

写真の数式、σ（X1）＝σ（X2）＝,,,,=σの意味を教えていただきたいです。

X１やX2というのは確率変数ですが、例えば、σ（X1）というのはX1というただ一つのデータしかないのに標準偏差が決定されるのはなぜなのでしょう。

標準偏差はいくつもデータがなければ取れないのではないでしょうか。
No.69788 - 2020/09/27(Sun) 16:00:52
☆ Re: 統計的な推測 / 黄桃
そこに「その標本のもつ変量xの値として定まる確率変数」とあるように、確率変数とは、同じ試行を何度も何度も繰り返すことにより、いろいろな標本を（確率に応じて）代入できる変数、と考えてください。
この例であれば、大きさnの無作為標本をとることを何度も繰り返すことを考え、その際に大きさnのうち最初に得られた標本だけに注目したのがX1という確率変数、と考えてください。

そうはいっても、本当に1度しか行わない場合は、確率変数と考えるのはおかしいのではないか、という疑問なら以下を読んでください。

サイコロを1回振った時に出る目を確率変数Xとすれば、Xは１から6までの値をとる変数ということです。
1回しか振らなくても、何がでるかは確率的に考えることができますから、平均や分散を考える意味はあるでしょう。

ご質問のような考え方は、
「1回サイコロを振る試行、を考える時、1回振れば目が決まるのだから、1回振れば6が出たか出ないかは決まっていて確率なんて意味がない」
というようなものではないでしょうか。

大きさnの無作為標本を取る場合も同じで、どんな標本がどのくらいの割合で得られるか？を考えるのは意味のある問題でしょう。
No.69812 - 2020/09/28(Mon) 23:43:52
★ (No Subject) / 蘭
ここの解説をもうすこし噛み砕いて説明していただけないでしょうか…
No.69784 - 2020/09/27(Sun) 13:05:23
☆ Re: / mathmouth
その解説以上丁寧に説明すると言われても図を添えるくらいしかないので、需要にお応えできているかわかりませんが、図を描いてみたらどうですか？
No.69787 - 2020/09/27(Sun) 13:45:30
☆ Re: / 蘭
理解できました！ありがとうございます！
No.69790 - 2020/09/27(Sun) 17:28:38
★ (No Subject) / 赤
(1)の解き方を教えてください。行列を使わない解き方を知りたいです。
答えは(x、y)=(4X/(X^2+Y^2)、4Y/(X^2+Y^2))です。
よろしくお願いします。
No.69781 - 2020/09/27(Sun) 10:57:14
☆ Re: / IT
前提条件と(ii)とから (x,y)=(tX,tY) ､t＞0　とおける.
(i) から　((tX)^2+(tY)^2)(X^2+Y^2)＝4^2
∴　t＝4/(X^2+Y^2)
No.69783 - 2020/09/27(Sun) 11:44:54
☆ Re: / 赤
分かりました。ありがとうございます。
No.69785 - 2020/09/27(Sun) 13:19:10
★ 軌跡 / 赤
(1)の答えは0＜m＜24/7
(2)の答えはx=m(4m-3)/(m^2+1)、y=(-4m+3)/(m^2+1)
です。
(3)の答えを教えてください。
No.69778 - 2020/09/27(Sun) 10:05:51
☆ Re: 軌跡 / mathmouth
(3)はもちろん(2)で求めたx,yのmを含む式から媒介変数mを消去することで得られます。(y≠0のときm=-x/yをx=(mの式)に代入,その他の同値変形等は略)
ただし、この手の問題は図形的に考えてみるのが得策です。
結局換言すればMは点(4,3)をAとして「∠AMO=90°かつMは円Cの内部」または「M=O」を満足するので、あとは円周角の定理より軌跡は直ちに2点O,Aを直径の両端とする円のうち円Cの内部にある部分とわかります。
それぞれ定点をもつ2直線が直交しながら動くときの交点の軌跡は円周角の定理より円となるので、この考え方は押えておくといいと思います。
No.69780 - 2020/09/27(Sun) 10:44:45
☆ Re: 軌跡 / 赤
理解できました。ありがとうございます。
No.69782 - 2020/09/27(Sun) 11:15:12
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