昨日も同じ系統の問題を質問し、理解を深めるために数問解いていたのですが、またわからない問題があったので質問させていただきます。
A={(1,-1,2,-2),(2,3,2,4),(0,1,-1,2),(-1,-2,-1,-3)}(4次正方行列)としたときのe^Aを求める問題です。正確には、e^Aを成分表示せよ、と書かれています。
ちなみに、こちらのジョルダン標準形は
{(-1,1,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1)}となりました。
よろしくお願いいたします。
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No.68667 - 2020/08/03(Mon) 22:12:13
| ☆ Re: / ast | | | A のジョルダン標準形 J=P^(-1)AP の場合, 半単純成分と冪零成分は明らか (半単純成分は主対角成分以外を 0 にした対角行列, 冪零成分は主対角成分を 0 にした三角行列) なので J をジョルダン分解して e^J を求めてから e^A=Pe^JP^(-1) と計算すればよいです.
前回は A がジョルダン分解が容易な形だったので, ジョルダン標準形関連の話を飛ばしまして一気に分解して e^A を計算しましたが, 本来というかジョルダン標準形を経由するのなら, ジョルダン標準形 J のジョルダン分解を J=S'+N' (S':半単純, N':冪零) とすれば A=S+N (ただし, S:=PS'P^(-1), N:=PN'P^(-1)) が A のジョルダン分解となるので, これを使って e^A を計算する話になります.
ジョルダン標準形のほうで考えればブロックごとに見ればいいので, 今回はたぶん前者でやったほうが計算の方が楽でしょうね (こうなる (by Wolfram Alpha) はず……).
後者の方法でやるなら, ジョルダン標準形から戻してきて
A の半単純成分: S=((1,0,2,0),(0,3,0,4),(0,0,-1,0),(0,-2,0,-3)),
A の冪零成分: N=((0,-1,0,-2),(2,0,2,0),(0,1,0,2),(-1,0,-1,0))
になるのかな……? これで N^2=O みたいですけど, 他も考えると計算は雑然としそう……. (参考: S^n, ?納n=0,∞] S^n/n!, S^(n-1)N, ?納n=0,∞] S^(n-1)N/n!, A^n/n!, ?農[n=0,∞] A^n/n! (Wolfram Alpha))
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No.68673 - 2020/08/03(Mon) 23:15:27 |
| ☆ Re: / ダンボ | | | ありがとうございます！
2通りの方法を使って解いてみます。
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No.68674 - 2020/08/03(Mon) 23:21:59 |
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