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★ 微分方程式 / 醤油
初期値問題をピカールの逐次近似法で解く問題です。
y'=-2xy,y(0)=1
よろしくお願いいたします。
No.69826 - 2020/09/29(Tue) 21:40:56
☆ Re: 微分方程式 / 醤油
解決したので大丈夫です！
No.69835 - 2020/09/30(Wed) 08:26:28
★ (No Subject) / のん
定数a,b,c,p,q,Dに対して、次の等式
(x^3+ax^2+bx+c)^2=(x^2-1)(x^2+px+q)^2+D
がすべてのxについて成り立つようなDの値を求めよ。
全部展開したのですが途中で訳がわからなくなってしまいました。
答えは1/16になります。教えていただけますでしょうか。
No.69825 - 2020/09/29(Tue) 21:35:37
☆ Re: / らすかる
展開して係数を比較すると
a=p … (1)
a^2+2b=p^2+2q-1 … (2)
ab+c=p(q-1) … (3)
b^2+2ac=q^2-p^2-2q … (4)
bc=-pq … (5)
c^2=-q^2+D … (6)
(1)を(2)に代入するとa^2とp^2が消えて
b=q-1/2 … (7)
(3)に(1)と(7)を代入してaとbを消去して整理すると
c=-p/2 … (8)
(4)に(1)と(7)と(8)を代入してa,b,cを消去して整理すると
q=-1/4 … (9)
(7)に(9)を代入して
b=-3/4 … (10)
(8)と(9)と(10)を(5)に代入して
p=0 … (11)
(1)と(11)から
a=0 … (12)
(8)と(11)から
c=0 … (13)
(6)と(9)と(13)から
D=1/16
a=0,b=-3/4,c=0,p=0,q=-1/4,D=16を問題の式に代入すると
x^6-(3/2)x^4+(9/16)x^2=x^6-(3/2)x^4+(9/16)x^2
となりすべてのxについて成り立つので、D=1/16が答え。
No.69830 - 2020/09/29(Tue) 23:32:54
☆ Re: / 関数電卓
本問の結果の両辺を 16 倍すると
　(4x^3−3x)^2＝(x^2−1)(4x^2−1)^2＋1
となるのですが，
　左辺は，{cos(3θ)}^2＝{4(cosθ)^3−3cosθ}^2
　右辺は，{sin(3θ)}^2＝(sinθ)^2･{4(cosθ)^2−1}＝((cosθ)^2−1)･{4(cosθ)^2−1}
を cosθ＝x として書いたものです。すなわち，
　(cos(3θ))^2＋(sin(3θ))^2＝1 …(*)
というよく知られた関係式を cosθ＝x として書いたものでした。

cos(nθ), sin(nθ)/sinθ を展開し cosθ＝x として表したものを チェビシェフの多項式 といいます。本問は(*)をチェビシェフの多項式で表したもので，これはもちろんもっと大きな n に拡張できます。しかし，スレッド冒頭のような形で設問された場合，どのように解くのか私は知りません。
No.69833 - 2020/09/30(Wed) 00:34:13
☆ Re: / のん
お二人ともありがとうございます。深いですね…。
No.69845 - 2020/09/30(Wed) 21:29:12
★ 証明問題 / カーキ
sin5θ=5cos^4θsinθ-10cos^2θsin^3θ+sin^5θ
この等式の証明が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.69823 - 2020/09/29(Tue) 19:19:45
☆ Re: 証明問題 / IT
加法定理と倍角の公式を２回使うか
sin5x=sin(4x+x)=sin(4x)cosx+cos4xsinx
=2(sin2x)(cos2x)cosx+((cos2x)^2-(sin2x)^2)sinx
=4(sinxcosx)((cosx)^2-(sinx)^2)cosx+((((cosx)^2-(sinx)^2)^2)-4(sinxcosx)^2)sinx
=4(sinx)(cosx)^4-4((sinx)^3)(cosx)^2+((cosx)^4+(sinx)^4-6((sinx)^2)((cosx)^2))sinx
=5(sinx)(cosx)^4-10((sinx)^3)(cosx)^2-(sinx)^5

Θでなくｘとしています。かっこの付け方が不統一です。


複素数を履修済みなら　ド・モアブルの定理を使う方法もあると思います。

cos5x+isin5x=(cosx+isinx)^5
右辺を展開して虚部を比較して　
sin5x=5((cosx)^4)sinx-10((cosx)^2)(sinx)^3+(sinx)^5
No.69824 - 2020/09/29(Tue) 20:16:00
☆ Re: 証明問題 / 醤油
ありがとうございます。
No.69827 - 2020/09/29(Tue) 21:49:16
★ 証明の問題です / あおい
こちらの問題、解ける方いらっしゃいましたら、よろしくお願いします。
No.69822 - 2020/09/29(Tue) 17:15:07
★ 立体図形 / 優子
半径rの球面上に4点A、B、C、Dがある。四面体ABCDの各辺の長さは、AB = a、AC = AD = BC = BD = CD = bを満たしている。このとき、r= (b/2)√((4b^2-a^2)/(3b^2-a^2))となる。このことをべク
トルを用いて証明せよ。
No.69820 - 2020/09/29(Tue) 14:52:59
☆ Re: 立体図形 / 関数電卓
> r＝(b/2)√((4b^2−a^2)/(3b^2−a^2))
確かにこうなるようですが，
> ベクトルを用い
なければならないのですか？
私は，辺の長さから直接計算しましたが…
No.69829 - 2020/09/29(Tue) 23:08:56
★ (No Subject) / n
n を 2 以上の整数とする。n 個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の最大値Mと最小値mの積が 20 以上である確率を求めよ。

僕は積が20以上となる(M,,m)の組を考えてそれぞれの場合の数を考えたんですが、友達がふと「4 , 5 , 6」のどれかが出てそこから4だけ出る場合を求めればいいといっていました。
答えは同じなのですが、友達の考え方はあっているのでしょうか？
ちなみに、答えは　(3^n -1)/6^n です
No.69817 - 2020/09/29(Tue) 14:11:59
☆ Re: / らすかる
合っています。
Mとmの積が20以上になるのは
(M,m)=(6,6),(6,5),(6,4),(5,5),(5,4)
だけであり、こうなるのは「全てのサイコロが4以上」から
「全てのサイコロが4」を引いたものです。
No.69818 - 2020/09/29(Tue) 14:29:19
☆ Re: / n
返信ありがとうございます。
ということは、断然、友達のいっている方で解答する方がいいですね。
数行で解答が終わります。
ありがとうございました。
No.69819 - 2020/09/29(Tue) 14:43:13
★ 複素関数 / めがる
一問だけでも構いませんのでお願いします。
No.69816 - 2020/09/29(Tue) 14:04:20
☆ Re: 複素関数 / X
(1)
(x,y)=(t,t^2)
により
dx=dt
dy=2tdt
∴(与式)=∫[t:0→1](t+2t^3)dt
=1/2+1/2=1

(2)
(x,y)=(cost,sint)
より
dx=-sintdt
dy=costdt
∴(与式)=∫[t:0→2π]{-(sint)^2+(cost)^2}dt
=∫[t:0→2π]cos2tdt
=0

(3)
(2)の過程により
(与式)=∫[t:0→π]{-(sint)^2+(cost)^2}dt
=∫[t:0→π]cos2tdt
=0
No.69828 - 2020/09/29(Tue) 22:25:33
☆ Re: 複素関数 / めがる
大変助かりました‼ありがとうございます。
No.69862 - 2020/10/01(Thu) 11:57:45
★ 幾何学 / あ
この問題が分かりません。教えて頂きたいです。
No.69814 - 2020/09/29(Tue) 09:07:22
☆ Re: 幾何学 / あ
解決しました！
No.69821 - 2020/09/29(Tue) 15:37:19
★ (No Subject) / 山下
座標平面上の点（p、q）はx^2+ y^2≦8、y≧0で表される領域を動く。このとき、点（p+q、pq）の動く範囲を図示せよ。この問題には、3x^2-2xy + 3y^2= 16から3（x +y）^2-8xy = 16
x+ y = u、xy = vとおくと3u^2-8v = 16
ゆえにv=3/8v^2-2…?@
また、方程式t^2ーut + v = 0が実数解x、yをもつからu ^2-4v≧0であり、この不等式に?@を代入するとu^2-4{(3/8)u^2-2｝≧0よってu^2-16 ≦0
これを解いて-4 ≦u≦4
したがって、x+ yのとりうる値の範囲は-4 ≦x + y ≦4 という解き方や、x + y=k→y=k-xとおき式に代入して判別式で解く方法がありますが、これらのやり方ではなくp=rcosθ,q=rsinθとおいて解いていただけませんか？
No.69810 - 2020/09/28(Mon) 23:26:09
★ 友達から送られてきたメールです。何を表していますか？ / 伊藤
以下がメールです。一部省略してます。

kを整数値として、kが1-8までグラフに書いて見て


0=[(10-k)/9]x
+[k/2][(11-k)/9](xy-5y)
+[k/3][(12-k)/9](x^2-25)(y^2-20y)
+[k/4][(13-k)/9](y-4|-x|)
+[k/5][(14-k)/9](x+5)(y^3-30y^2+200y)
+[k/6][(15-k)/9](x-5)(x+5[y/10])(y^2-10y)
+[k/7][(16-k)/9](x^2-25)(y^2-20y)
+[k/8][(17-k)/9](yx^2-25y)

(-5<=x<=5)
No.69809 - 2020/09/28(Mon) 22:18:26
☆ Re: 友達から送られてきたメールです。何を表していますか？ / IT
[] がガウス記号であればそれぞれのkの値に対して
生きてくる式は　０＝（k行目の式）です。

それぞれ横線・縦線（の組み合わせ）やV字などで、何か意味があるように思えませんが

何か条件をつけて　I LOVE YOU かも
No.69811 - 2020/09/28(Mon) 23:37:10
☆ Re: 友達から送られてきたメールです。何を表していますか？ / らすかる
-5≦x≦5, 0≦y≦20の範囲だけ見ると「ILOVEYOU」っぽくなっていますが、
もしそうだとしたら
・Lが左右逆に見えます。2行目の(xy-5y)は(xy+5y)の間違いでは？
・Yの形が変です。
No.69813 - 2020/09/29(Tue) 04:07:01
★ 統計、大2 / 寺田
平均μ、分散σ^2の分布に従う母集団からランダムサンプリングによって大きさ4の標本x1,x2,x3,x4を抽出する。Y=(x1+x2+x3)/3,Z=(x1+x2+x3+x4)/4の相関係数ρ(Y,Z)を求めなさい。なお、ランダムサンプリングによって得ら
れたx1,x2,x3,x4は互いに独立であると考えることができる。
No.69808 - 2020/09/28(Mon) 21:45:16
★ 重複 / ペンギン
（問1）0,1,2,3,4,5,6の7個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。このとき、3個の数字の合計が3の倍数となる組の総数を求めよ。
（問2）1,2,3,4,5,6の6種の数字を並べて自然数Nを作る。自然数Nのうち3桁で7の倍数のものは全部で何個か求めよ。(ただし、使わない数字があってもよく、また、同じ数字を重複して使っても良いものとする。)
（問3）1,2,3,4,5,6の6個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。このとき、3個の数字の合計が7の倍数となる組の総数を求めよ。
No.69798 - 2020/09/28(Mon) 08:55:16
☆ Re: 重複 / らすかる
問1
0〜6を3で割った余りで分類すると
3で割り切れる数：0,3,6
3で割って1余る数：1,4
3で割って2余る数：2,5
となり、合計が3の倍数になるのは
「3数を3で割った余りが全て等しい場合」と
「3数を3で割った余りが全て異なる場合」ですから、
3H3+2H3+2H3+3×2×2=30組
となります。

問2
上2桁で7の倍数でないとき、残りの1桁に1〜6を入れると
必ずどれか一つだけ7の倍数になります。
上2桁が7の倍数のとき、残りの1桁に1〜6を入れると7の倍数になりません。
従って「3桁で7の倍数になる個数」=「2桁で7の倍数でない個数」
であり、2桁の選び方6^2通りのうち7の倍数は14,21,35,42,56,63の
6個ですから、求める個数は6^2-6=30個となります。

問3
合計が7になるのは(1,1,5)(1,2,4)(1,3,3)(2,2,3)の4組
合計が14になるのは(2,6,6)(3,5,6)(4,4,6)(4,5,5)の4組
なので、全部で8組です。
No.69805 - 2020/09/28(Mon) 11:52:50
☆ Re: 重複 / ペンギン
わかりやすい解説ありがとうございました。
No.69815 - 2020/09/29(Tue) 10:32:27
★ 微積 / 赤
(1)でd^2y/dx^2を求めたいのですがイマイチやり方が分かりません。詳しく解説していただきたいです。よろしくお願いします。
No.69791 - 2020/09/27(Sun) 21:27:19
☆ Re: 微積 / mathmouth
合成関数の微分法を駆使します。
No.69792 - 2020/09/27(Sun) 21:47:41
☆ Re: 微積 / 赤
d/dtはtで微分するという意味だと思いますが、微分するのはdy/dxだけですか？それともdt/dxもですか？理由も教えていただきたいです。
No.69793 - 2020/09/27(Sun) 22:41:36
☆ Re: 微積 / mathmouth
> d/dtはtで微分するという意味だと思いますが、微分するのはdy/dxだけですか？それともdt/dxもですか？

dy/dxのみです。何のために()をつけていると思いますか？

>　理由も教えていただきたいです。
横に∵で書いてある通り、合成関数の微分法を用いています。日本語でいえばxで微分する⇔tで微分してからtのx微分(dt/dx)を掛ける
ということです。
記号の意味や合成関数の微分法が分からないのであれば、問題を解く以前に基礎的な内容の理解に努めるべきです。
No.69794 - 2020/09/27(Sun) 23:04:23
☆ Re: 微積 / 赤
失礼しました。ありがとうございました。
No.69796 - 2020/09/28(Mon) 05:52:22
☆ Re: 微積 / ヨッシー
赤さんへ

回答が付くたびに、元の記事の画像を消すのはやめてください。
他の人が、情報を得たい場合もあるのです。

管理人より
No.69797 - 2020/09/28(Mon) 06:09:59
★ (No Subject) / どひょん
数A確率です。模範回答を教えてください。よろしくおねがいします。
No.69789 - 2020/09/27(Sun) 16:33:32
☆ Re: / ヨッシー
(4)(5) だけ書いておきますので、(1)〜(3) はこれに倣ってください。

(4)
A(1)(赤１個, 白９個) が持ち込まれたとき、赤白赤の順に出る確率は
　1/10×9/10×1/10＝9/1000
A(2)(赤２個, 白８個) が持ち込まれたとき、赤白赤の順に出る確率は
　2/10×8/10×2/10＝32/1000
一般に
A(i)(赤ｉ個, 白10−i個) が持ち込まれたとき、赤白赤の順に出る確率は
　i/10×(10-1)/10×i/10＝i2(10-i)/1000

(5)
f(i)＝i2(10-i) とおくと、
f(1)＝9, f(2)＝32, f(3)＝63, f(4)＝96, f(5)＝125
f(6)＝144, f(7)＝147, f(8)＝128, f(9)＝81
より、A(7) である条件付き確率が高い。
No.69806 - 2020/09/28(Mon) 14:07:03
★ 統計的な推測 / りんか
数学B　確率分布と統計的な推測の単元の質問です。

写真の数式、σ（X1）＝σ（X2）＝,,,,=σの意味を教えていただきたいです。

X１やX2というのは確率変数ですが、例えば、σ（X1）というのはX1というただ一つのデータしかないのに標準偏差が決定されるのはなぜなのでしょう。

標準偏差はいくつもデータがなければ取れないのではないでしょうか。
No.69788 - 2020/09/27(Sun) 16:00:52
☆ Re: 統計的な推測 / 黄桃
そこに「その標本のもつ変量xの値として定まる確率変数」とあるように、確率変数とは、同じ試行を何度も何度も繰り返すことにより、いろいろな標本を（確率に応じて）代入できる変数、と考えてください。
この例であれば、大きさnの無作為標本をとることを何度も繰り返すことを考え、その際に大きさnのうち最初に得られた標本だけに注目したのがX1という確率変数、と考えてください。

そうはいっても、本当に1度しか行わない場合は、確率変数と考えるのはおかしいのではないか、という疑問なら以下を読んでください。

サイコロを1回振った時に出る目を確率変数Xとすれば、Xは１から6までの値をとる変数ということです。
1回しか振らなくても、何がでるかは確率的に考えることができますから、平均や分散を考える意味はあるでしょう。

ご質問のような考え方は、
「1回サイコロを振る試行、を考える時、1回振れば目が決まるのだから、1回振れば6が出たか出ないかは決まっていて確率なんて意味がない」
というようなものではないでしょうか。

大きさnの無作為標本を取る場合も同じで、どんな標本がどのくらいの割合で得られるか？を考えるのは意味のある問題でしょう。
No.69812 - 2020/09/28(Mon) 23:43:52
★ (No Subject) / 蘭
ここの解説をもうすこし噛み砕いて説明していただけないでしょうか…
No.69784 - 2020/09/27(Sun) 13:05:23
☆ Re: / mathmouth
その解説以上丁寧に説明すると言われても図を添えるくらいしかないので、需要にお応えできているかわかりませんが、図を描いてみたらどうですか？
No.69787 - 2020/09/27(Sun) 13:45:30
☆ Re: / 蘭
理解できました！ありがとうございます！
No.69790 - 2020/09/27(Sun) 17:28:38
★ (No Subject) / 赤
(1)の解き方を教えてください。行列を使わない解き方を知りたいです。
答えは(x、y)=(4X/(X^2+Y^2)、4Y/(X^2+Y^2))です。
よろしくお願いします。
No.69781 - 2020/09/27(Sun) 10:57:14
☆ Re: / IT
前提条件と(ii)とから (x,y)=(tX,tY) ､t＞0　とおける.
(i) から　((tX)^2+(tY)^2)(X^2+Y^2)＝4^2
∴　t＝4/(X^2+Y^2)
No.69783 - 2020/09/27(Sun) 11:44:54
☆ Re: / 赤
分かりました。ありがとうございます。
No.69785 - 2020/09/27(Sun) 13:19:10
★ 軌跡 / 赤
(1)の答えは0＜m＜24/7
(2)の答えはx=m(4m-3)/(m^2+1)、y=(-4m+3)/(m^2+1)
です。
(3)の答えを教えてください。
No.69778 - 2020/09/27(Sun) 10:05:51
☆ Re: 軌跡 / mathmouth
(3)はもちろん(2)で求めたx,yのmを含む式から媒介変数mを消去することで得られます。(y≠0のときm=-x/yをx=(mの式)に代入,その他の同値変形等は略)
ただし、この手の問題は図形的に考えてみるのが得策です。
結局換言すればMは点(4,3)をAとして「∠AMO=90°かつMは円Cの内部」または「M=O」を満足するので、あとは円周角の定理より軌跡は直ちに2点O,Aを直径の両端とする円のうち円Cの内部にある部分とわかります。
それぞれ定点をもつ2直線が直交しながら動くときの交点の軌跡は円周角の定理より円となるので、この考え方は押えておくといいと思います。
No.69780 - 2020/09/27(Sun) 10:44:45
☆ Re: 軌跡 / 赤
理解できました。ありがとうございます。
No.69782 - 2020/09/27(Sun) 11:15:12
★ 増殖 / りんりん
1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれ1/2,1/3,1/6であるとする。1個のバクテリアが4分後に6個になっている確率を求めよ。
No.69775 - 2020/09/27(Sun) 00:30:02
☆ Re: 増殖 / らすかる
1分後の0個の確率: 1/6
1分後の1個の確率: 1/3
1分後の2個の確率: 1/2
2分後の0個の確率: 1/6+1/3*1/6+1/2*(1/6)^2=17/72
2分後の1個の確率: 1/3*1/3+1/2*1/3*1/6*2=1/6
2分後の2個の確率: 1/3*1/2+1/2*(1/2*1/6*2+(1/3)^2)=11/36
2分後の3個の確率: 1/2*1/2*1/3*2=1/6
2分後の4個の確率: 1/2*(1/2)^2=1/8
3分後の0個の確率:
17/72+1/6*1/6+11/36*(1/6)^2+1/6*(1/6)^3+1/8*(1/6)^4=2833/10368
3分後の1個の確率:
1/6*1/3+11/36*1/3*1/6*2+1/6*1/3*(1/6)^2*3+1/8*1/3*(1/6)^3*4=41/432
3分後の2個の確率:
1/6*1/2+11/36*(1/2*1/6*2+(1/3)^2)+1/6*((1/3)^2*1/6*3+1/2*(1/6)^2*3)
+1/8*((1/3)^2*(1/6)^2*6+1/2*(1/6)^3*4)=487/2592
3分後の3個の確率:
11/36*(1/2*1/3*2)+1/6*((1/3)^3+1/2*1/3*1/6*6)
+1/8*((1/3)^3*1/6*4+1/2*1/3*(1/6)^2*12)=7/48
3分後の4個の確率:
11/36*(1/2)^2+1/6*(1/2*(1/3)^2*3+(1/2)^2*1/6*3)
+1/8*((1/3)^4+1/2*(1/3)^2*1/6*12+(1/2)^2*(1/6)^2*6)=755/5184
3分後の5個の確率:
1/6*(1/2)^2*(1/3)*3+1/8*(1/2*(1/3)^3*4+(1/2)^2*1/3*1/6*12)=31/432
3分後の6個の確率:
1/6*(1/2)^3+1/8*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)=5/96
3分後の7個の確率: 1/8*(1/2)^3*1/3*4=1/48
3分後の8個の確率: 1/8*(1/2)^4=1/128
4分後の6個の確率:
7/48*(1/2)^3+755/5184*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)
+31/432*(1/2*(1/3)^4*5+(1/2)^2*(1/3)^2*1/6*30+(1/2)^3*(1/6)^2*10)
+5/96*((1/3)^6+1/2*(1/3)^4*1/6*30+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^2*90+(1/2)^3*(1/6)^3*20)
+1/48*((1/3)^6*1/6*7+1/2*(1/3)^4*(1/6)^2*105+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^3*210
+(1/2)^3*(1/6)^4*35)
+1/128*((1/3)^6*(1/6)^2*28+1/2*(1/3)^4*(1/6)^3*280+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^4*420
+(1/2)^3*(1/6)^5*56)
=2053177/26873856
というわけで、求める確率は2053177/26873856です。

# 計算はご確認下さい。
No.69776 - 2020/09/27(Sun) 01:10:41
☆ Re: 増殖 / りんりん
大変な作業ご苦労様そしてありがとうございます。
No.69795 - 2020/09/27(Sun) 23:35:30
☆ Re: 増殖 / URHANL
失礼します。

らすかるさんがお書きになったところで以下の部分、

> 1分後の0個の確率: 1/6
> 1分後の1個の確率: 1/3
> 1分後の2個の確率: 1/2
> 2分後の0個の確率: 1/6+1/3*1/6+1/2*(1/6)^2=17/72

最後の、2分後の0個の確率の式が理解できません。

私が思いまするに、
「2分後の0個の確率」= 「1分後の0個の確率」+ (1/6)*(「1分後の1個の確率」+「1分後の2個の確率」)
= 1/6 + 1/6*(5/6)
= 1/6 + 5/36
= 11/36 ...?@

なのではないかと。

また、背反事象であるところの「2分後に0個ではない確率」を求めてみたいのですが、以下のようになりました。

「2分後に0個ではない確率」= (「1分後の1個の確率」+「1分後の2個の確率」)^2
= (1/2+1/3)^2
= (5/6)^2
= 25/36


この「2分後に0個ではない確率」を 1 から減じると「2分後に0個である確率」になるはずですから、

「2分後に0個である確率」= 1 - 25/36
= 11/36
となり、?@の結果と一致します。
No.69799 - 2020/09/28(Mon) 10:25:55
☆ Re: 増殖 / URHANL
> 1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれ1/2,1/3,1/6であるとする。1個のバクテリアが4分後に6個になっている確率を求めよ。


冷静に考えますと、任意の時刻n(分刻み)において、
バクテリアの個数は 2^k または 0 なのではないでしょうか。ただし、k は 0 < k <= n を満たす自然数です。

従いましてバクテリアの個数が6個になる確率は 0 となります。

私は何か勘違いをしているでしょうか……
No.69800 - 2020/09/28(Mon) 11:03:44
☆ Re: 増殖 / URHANL

> 冷静に考えますと、任意の時刻n(分刻み)において、
> バクテリアの個数は 2^k または 0 なのではないでしょうか。ただし、k は 0 < k <= n を満たす自然数です。
>

間違えました
k は 0 <= k <= n を満たす自然数です。
No.69801 - 2020/09/28(Mon) 11:06:21
☆ Re: 増殖 / ヨッシー
例えば、２個あるバクテリアが、１分後に
　２個とも２倍になるか、１倍になるか、０倍になるか
であれば、そう言えるかも知れませんが、
　１個は２個になり、もう１個は１個のままで、合計３個
という場合もあるので、2^k にならない場合もあります。
No.69802 - 2020/09/28(Mon) 11:19:13
☆ Re: 増殖 / らすかる
2分後に0個になるのは、
1分後に0個であった場合(1/6)と、
1分後に1個であった場合(1/3)にその1個がその1分後に0個になる場合(1/6)と、
1分後に2個であった場合(1/2)に、その2個が2個とも1分後に0個になる場合(1/6)^2
ですから、1/6+1/3*1/6+1/2*(1/6)^2となります。
複数個の場合、それぞれが条件の確率を持って変化しますので、
2個から0個になる確率は1/6ではありません。
No.69803 - 2020/09/28(Mon) 11:19:23
☆ Re: 増殖 / URHANL
らすかるさん、ヨッシーさん。

私がおおバカでした。

お教えくださりましたこと有り難うございました。
スッキリ理解いたしました。
No.69807 - 2020/09/28(Mon) 19:46:41
☆ Re: 増殖 / URHANL
らすかるさんから以下、ご教示賜りました。

> 1分後の0個の確率: 1/6
> 1分後の1個の確率: 1/3
> 1分後の2個の確率: 1/2
> 2分後の0個の確率: 1/6+1/3*1/6+1/2*(1/6)^2=17/72
> 2分後の1個の確率: 1/3*1/3+1/2*1/3*1/6*2=1/6
> 2分後の2個の確率: 1/3*1/2+1/2*(1/2*1/6*2+(1/3)^2)=11/36
> 2分後の3個の確率: 1/2*1/2*1/3*2=1/6
> 2分後の4個の確率: 1/2*(1/2)^2=1/8
> 3分後の0個の確率:
> 17/72+1/6*1/6+11/36*(1/6)^2+1/6*(1/6)^3+1/8*(1/6)^4=2833/10368
> 3分後の1個の確率:
> 1/6*1/3+11/36*1/3*1/6*2+1/6*1/3*(1/6)^2*3+1/8*1/3*(1/6)^3*4=41/432
> 3分後の2個の確率:
> 1/6*1/2+11/36*(1/2*1/6*2+(1/3)^2)+1/6*((1/3)^2*1/6*3+1/2*(1/6)^2*3)
> +1/8*((1/3)^2*(1/6)^2*6+1/2*(1/6)^3*4)=487/2592
> 3分後の3個の確率:
> 11/36*(1/2*1/3*2)+1/6*((1/3)^3+1/2*1/3*1/6*6)
> +1/8*((1/3)^3*1/6*4+1/2*1/3*(1/6)^2*12)=7/48
> 3分後の4個の確率:
> 11/36*(1/2)^2+1/6*(1/2*(1/3)^2*3+(1/2)^2*1/6*3)
> +1/8*((1/3)^4+1/2*(1/3)^2*1/6*12+(1/2)^2*(1/6)^2*6)=755/5184
> 3分後の5個の確率:
> 1/6*(1/2)^2*(1/3)*3+1/8*(1/2*(1/3)^3*4+(1/2)^2*1/3*1/6*12)=31/432
> 3分後の6個の確率:
> 1/6*(1/2)^3+1/8*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)=5/96
> 3分後の7個の確率: 1/8*(1/2)^3*1/3*4=1/48
> 3分後の8個の確率: 1/8*(1/2)^4=1/128
> 4分後の6個の確率:
> 7/48*(1/2)^3+755/5184*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)
> +31/432*(1/2*(1/3)^4*5+(1/2)^2*(1/3)^2*1/6*30+(1/2)^3*(1/6)^2*10)
> +5/96*((1/3)^6+1/2*(1/3)^4*1/6*30+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^2*90+(1/2)^3*(1/6)^3*20)
> +1/48*((1/3)^6*1/6*7+1/2*(1/3)^4*(1/6)^2*105+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^3*210
> +(1/2)^3*(1/6)^4*35)
> +1/128*((1/3)^6*(1/6)^2*28+1/2*(1/3)^4*(1/6)^3*280+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^4*420
> +(1/2)^3*(1/6)^5*56)
> =2053177/26873856
> というわけで、求める確率は2053177/26873856です。
>
> # 計算はご確認下さい。


驚くべきことに他掲示板で、一般化された問題について質問があがっていました。

下記にまるごと引用いたします。

：：：

◆数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板
バクテリア 名前：Tom 日付：2020/9/18(金) 13:16
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=86149

1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれp,q,rであるとする。1個のバクテリアがn分後に6個になっている確率をPnとおく（nは1以上の自然数とする）。
(1)P3をp,q,rを用いて表せ。
(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。

（2）を教えて欲しいです。
ちなみに（1）の答えはp^5(4pr+6q^2+2q)らしいです。
難易度が高すぎるのでとても時間がかかるようだったら諦めても構いません。

：：：


ちなみに
p^5(4pr+6q^2+2q)
に p=1/2, q=1/3, r=1/6 を代入したところ、その値は、らすかるさんによる計算の一部、すなわち、

> 3分後の6個の確率:
> 1/6*(1/2)^3+1/8*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)=5/96

に一致しています。

ビックリなのですが、

(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。

と、二項間の漸化式が本当に作れるのかと？

作れるのならば Pn の一般項も求められるのでしょうか。

一般項を使って、 20分後に バクテリアの数が 6 である確率も求められるのかどうかと。
No.69880 - 2020/10/02(Fri) 13:11:34
☆ Re: 増殖 / URHANL
1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれp,q,rであるとして。1個のバクテリアが3分後に6個になっている確率をP3とする。
(1)P3をp,q,rを用いて表せ。

⇒
P3=p^5(4pr+6q^2+2q)

単純にゴリゴリと計算したところ一致しました。

それにしても P_{n+1}が P_nと p,q,rで書けるとは未だに思えないでいます。
No.69886 - 2020/10/02(Fri) 23:05:02
☆ Re: 増殖 / URHANL
> 3分後の7個の確率: 1/8*(1/2)^3*1/3*4=1/48
> 3分後の8個の確率: 1/8*(1/2)^4=1/128
> 4分後の6個の確率:

「3分後の7個の確率」と「3分後の8個の確率」とがなくとも、「4分後の6個の確率」は求められる、ということでいいでしょうか。

「n分後の0個の確率」と「n分後の1個の確率」と「n分後の2個の確率」と「n分後の3個の確率」と「n分後の4個の確率」と「n分後の5個の確率」と「n分後の6個の確率」とから
「(n+1)分後の6個の確率」
が求められる気がいたします。

「n分後に7個以上の確率」を使わない、「n分後に7個以上だったのに(n+1)分後に6個までに減少した」計算をしないですみそうな。
No.69902 - 2020/10/03(Sat) 23:24:50
☆ Re: 増殖 / URHANL
> 1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれ1/2,1/3,1/6であるとする。1個のバクテリアが4分後に6個になっている確率を求めよ。

紙とペンとで手計算をしていくとついつい間違えてしまいがちです。

以下のような手法で多項式の展開を機械的に行うことで手計算の煩雑さを避けることができるようです。なお、適宜、多項式の展開をしてくれるサイトや、アプリをダウンロードして利用することとします。

?@問題文に従って以下の多項式を書きくだします。

((3/6)*((3/6)*((3/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))+(1/6))+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*((3/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))+(1/6))+(1/6))+(1/6))

?A多項式展開計算サービスを利用して、?@の多項式を展開します。結果は《例えば》以下。

(6561*x^16+34992*x^15+134136*x^14+353808*x^13+857628*x^12+1700784*x^11+3153096*x^10+4880784*x^9+8077702*x^8+11244432*x^7+16425416*x^6+18220464*x^5+25763100*x^4+22851600*x^3+25470200*x^2+12376752*x+63439393)/214990848

?Bx^6 の項の係数をみます。今回の計算では
16425416/214990848
です。適宜約分を行って答えとします。（私は素因数分解サービスを利用しました。）

結果は、らすかるさんによる
>求める確率は2053177/26873856です。
と一致しました。

※?@の多項式は、次のように求めます。

f(x)=(3/6)*x^2 + (2/6)x +(1/6)
とします。

２分後のバクテリアの数の評価を得るには、
f(f(x))
の各項の係数を使います。x^k の係数が k個になっている確率です。

３分後のバクテリアの数の評価を得るには、
f(f(f(x)))
を、
４分後のバクテリアの数の評価を得るには、
f(f(f(f(x))))
を使えば良いです。
No.70180 - 2020/10/14(Wed) 09:58:26
☆ Re: 増殖 / URHANL
◆数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板
バクテリア 名前：Tom 日付：2020/9/18(金) 13:16
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=86149

より引用します。

：：：

1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれp,q,rであるとする。1個のバクテリアがn分後に6個になっている確率をPnとおく（nは1以上の自然数とする）。
(1)P3をp,q,rを用いて表せ。
(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。

（2）を教えて欲しいです。
ちなみに（1）の答えはp^5(4pr+6q^2+2q)らしいです。
難易度が高すぎるのでとても時間がかかるようだったら諦めても構いません。

：：：

表記のお約束を変更します。

1個のバクテリアがn分後にm個になっている確率を
P(n,m)
と書くことにします。

P(1,2)=1/2
P(1,1)=1/3
P(1,0)=1/6

という増殖の設定で
P(4,6)=2053177/26873856
を、らすかるさんが示されました。

P(1,2)=p
P(1,1)=q
P(1,0)=r

という増殖の設定で
P(4,6)=p^5(4pr+6q^2+2q)
も、正しいです。

再度引用しますが
：：：

(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。

：：：

は、新しい表記のお約束では、

P((n+1),6)
を、p,q,rとP(n,6)とで表す漸化式を求めよということだと思います。

ですが、私にはこのことはとても難解です。かろうじてわかることは以下です。

7次元ベクトル
P↓(n) = (P(n,0),P(n,1),P(n,2),P(n,3),P(n,4),P(n,5),P(n,6))
を考えると

P↓(n+1) と P↓(n) との間には、ある7行7列の行列Ａがあって

P↓(n+1) = ＡP↓(n)

と表せるだろうということです。


P(n+1,1) = q*P(n,1) +p(P(n,0)*P(n,1) +P(n,1)*P(n,0))

P(n+1,2) = q*P(n,2) +p(P(n,0)*P(n,2) +P(n,1)*P(n,1) +P(n,0)*P(n,2))

P(n+1,3) = q*P(n,3) +p(P(n,0)*P(n,3) +P(n,1)*P(n,2) +P(n,2)*P(n,1) +P(n,3)*P(n,0))

P(n+1,4) = q*P(n,4) +p(P(n,0)*P(n,4) +P(n,1)*P(n,3) +P(n,2)*P(n,2) +P(n,3)*P(n,1) +P(n,4)*P(n,0))

P(n+1,5) = q*P(n,5) +p(P(n,0)*P(n,5) +P(n,1)*P(n,4) +P(n,2)*P(n,3) +P(n,3)*P(n,2) +P(n,2)*P(n,3) +P(n,1)*P(n,4) +P(n,0)*P(n,5))

P(n+1,6) = q*P(n,6) +p(P(n,0)*P(n,6) +P(n,1)*P(n,5) +P(n,2)*P(n,4) +P(n,3)*P(n,3) +P(n,4)*P(n,2) +P(n,5)*P(n,1) +P(n,6)*P(n,0))

P(n+1,0) と P(n,0) との間の関係式は別途に。
No.70202 - 2020/10/14(Wed) 23:31:40
☆ Re: 増殖 / URHANL
P(n+1,0) と P(n,0) との間の関係式については次のようになります。

P(n+1,0) = r +q*P(n,0) +p*(P(n,0)*P(n,0))


ここであらためて元の問題
「(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。」
を、新しい表記方法で書くと
「P(n+1,6) を P(n,6) と p,q,rで表せ」ということですから、

P(n+1,6) = q*P(n,6) +p(P(n,0)*P(n,6) +P(n,1)*P(n,5) +P(n,2)*P(n,4) +P(n,3)*P(n,3) +P(n,4)*P(n,2) +P(n,5)*P(n,1) +P(n,6)*P(n,0))

において、P(n,0)、P(n,1)、P(n,2)、P(n,3)、P(n,4)、P(n,5) のそれぞれを p,q,r で表す、つまり一般項を計算して、代入することとなりそうです。

恐らくは P(n,k) については、k が小さいほうから順に 一般項を求めていくことになるのでしょう。
No.70216 - 2020/10/15(Thu) 15:34:32
☆ Re: 増殖 / URHANL
P(n,0)の一般項は、p,q,rでもってどのように表すことができるのでしょうか？

P(0,0)=0
P(1,0)=r
P(2,0)=p*r^2+(q+1)*r
P(3,0)=p^3*r^4+(2*p^2*q+2*p^2)*r^3+(p*q^2+3*p*q+p)*r^2+(q^2+q+1)*r
P(4,0)=p^7*r^8+(4*p^6*q+4*p^6)*r^7+(6*p^5*q^2+14*p^5*q+6*p^5)*r^6+(4*p^4*q^3+18*p^4*q^2+18*p^4*q+6*p^4)*r^5+(p^3*q^4+10*p^3*q^3+19*p^3*q^2+15*p^3*q+5*p^3)*r^4+(2*p^2*q^4+8*p^2*q^3+12*p^2*q^2+10*p^2*q+2*p^2)*r^3+(p*q^4+3*p*q^3+6*p*q^2+3*p*q+p)*r^2+(q^3+q^2+q+1)*r

かなり難しいですね。
No.70230 - 2020/10/15(Thu) 22:46:16
☆ Re: 増殖 / URHANL
別の表現を試みます。

f(x)= p*x^2 +q*x +r
とします。すると計算上では

P(0,0)=0
P(1,0)=r
P(2,0)=f(r)
P(3,0)=f(f(r))
P(4,0)=f(f(f(r)))
となっていました。

P(n,0) (ただし n ≧ 5)
ではどうなのか、計算での確認はしていません。

多項式関数f を含まない形で、p,q,r および n からなる、
P(n,0) の一般項の表現はどうなっているのか、まだ見当がついていません。

これではとてもP(n,6) の一般項の表現には届きません。

まだやってみてはいないことがあります。

p+q+r=1 という拘束条件がありますから、この条件下で、P(0,0)=0,P(1,0)=r,P(2,0)=f(r),P(3,0)=f(f(r)),P(4,0)=f(f(f(r)))
を書き直して見通しのよいものが作り出せるかどうか、試してはいません。
No.70239 - 2020/10/16(Fri) 14:26:59
★ (No Subject) / 確率　中学2年生
大、中、小3個のサイコロを同時になげる時、大、中、小のサイコロの出た目をそれぞれa,b,c,とする。a>b>cとなる時の確率を求めなさい。　　答え5／54
私は3つ取ってから大きい順に並べてa,b,cを決めるでいいと思ったので6×5×4÷6^3で5／9になってしまいました。どこで考え方が間違ってるのか教えていただけると嬉しいです。
No.69773 - 2020/09/26(Sat) 23:10:22
☆ Re: / らすかる
「3つ取る」のは(6×5×4)÷(3×2×1)通りです。
6×5×4は「3つ取って取った順番を区別する」場合の数です。
「3つ取ってから大きい順に並べる」のなら、
例えば「3,5,2」と「2,3,5」は同じものですから
これを別々にカウントしてはまずいですよね。
6×5×4という計算はこれらを別々にカウントするものですから、
3×2×1で割る必要があります。
No.69774 - 2020/09/27(Sun) 00:06:45
☆ Re: / 確率　中学2年生
とてもよくわかりました！ありがとうございます！
No.69779 - 2020/09/27(Sun) 10:42:21
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