A={(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,1)}(4次正方行列)としたときのe^Aを求める問題です。正確には、e^Aを成分表示せよ、と書かれています。
ちなみに、こちらのジョルダン標準形は
{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1)}となりました。
よろしくお願いいたします。
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No.68633 - 2020/08/02(Sun) 21:41:57
| ☆ Re: 線形数学 / ast | | | 4×4 単位行列を I として A=I+N と書けば, N^4=O に注意すると
e^A = ?納n=0,1,2,…] A^n/n!
= ?納n=0,1,2,…] (I+n*N+n(n-1)N^2/2!+n(n-1)(n-2)N^3/3!)/n!
= (?納n=0,1,2,…] 1/n!)*I
+(?納n=1,2,…] 1/(n-1)!)*N
+(1/2!*?納n=2,3,…] 1/(n-2)!)*N^2
+(1/3!*?納n=3,4,…] 1/(n-3)!)*N^3
= e*I+e*N+(e/2!)*N^2+(e/3!)*N^3.
I,N,N^2,N^3 はそれぞれの非零成分 (すべて値は 1) の来る位置に重複が無く e,e,e/2,e/6 がそれぞれどの位置に現れるかは明らかなので, これで計算は十分でしょう.
なお, ジョルダン標準形に直してもそのジョルダン標準形に対して結局同じことをするので標準化のために相似変換する分だけ手間が増える結果になりますね.
# 一般論としては, ジョルダン標準形に直すことはジョルダン分解を見つけることとほぼ同義なのですが,
# 本問では最初からジョルダン分解が明らかな A が与えられてるのでそうなります.
# (行列 A を対角化可能行列 (A の半単純成分) と冪零行列 (A の冪零成分) の一意的な和の形
# に書くことを, ジョルダン分解あるいはジョルダン・シュヴァレー分解と言います.)
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No.68641 - 2020/08/03(Mon) 04:05:30 |
| ☆ Re: 線形数学 / ダンボ | | | No.68652 - 2020/08/03(Mon) 14:09:34 |
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