[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 全単射 / スイカ
実数全体の集合R→[0,1)の全単射の例を教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.69215 - 2020/08/26(Wed) 06:14:51
☆ Re: 全単射 / らすかる
例えばnを自然数として
f(x)={x/(|x|+1)+1}/2
g(x)=
(n-1)/n　(x=n/(n+1))
x　(x≠n/(n+1))
とすればg(f(x))が条件を満たしますね。

# f(x)はf(x)=arctan(x)/π+1/2などでもよい
No.69216 - 2020/08/26(Wed) 11:45:09
☆ Re: 全単射 / IT
g(x)として[0,∞)→[0,1)の全単射となるものを作ります。　例えばg(x)=x/(x+1)

f(x)としてR→[0,∞)の全単射となるものを作ります。
例えば、
[0,1)→[0,1),[1,2)→[2,3),[2,3)→[4,5),...
[-1,0)→[1,2),[-2,-1)→[3,4),[-3,-2)→[5,6),...
となるようにします。

すると g(f(x)) は、条件を満たします。
No.69223 - 2020/08/26(Wed) 21:52:13
☆ Re: 全単射 / らすかる
ITさんのアイデアを使わせて頂くと
[0,1)→[0,1/2)
[-1,0)→[1/2,2/3)
[1,2)→[2/3,3/4)
[-2,-1)→[3/4,4/5)
[2,3)→[4/5,5/6)
[-3,-2)→[5/6,6/7)
・・・
（[n,n+1)→[a,b)の全単射は(b-a)(x-n)+a）
のようにもできますね。

# 上の全単射は
# 1+(2x-2[x]-|4[x]+1|-3)/(8[x]^2+4[x]+2|4[x]+1|+2)
# というわけのわからない一つの式にまとめることができます。
# この式のグラフは↓こちら
No.69224 - 2020/08/27(Thu) 01:45:59
☆ Re: 全単射 / IT
> # 上の全単射は
> # 1+(2x-2[x]-|4[x]+1|-3)/(8[x]^2+4[x]+2|4[x]+1|+2)
> # というわけのわからない一つの式にまとめることができます。

たしかに、なかなかどういう意味か分り難い式ですね。
どうやって導出されたのでしょうか？
xの正負で分ければ
x≧0のとき　
　(x-[x])/((2[x]+1)(2[x]+2))+2[x]/(2[x]+1)
x＜0のとき
　(x-[x])/((2[|x|]+2)(2[|x|]+3))+(2[|x|]+1)/(2[|x|]+2)

と書けて、少し意味（各折れ線の傾きや端点の座標）が分りやすいかもしれませんね。

らすかるさんの最初の関数は、f(x) のままだと,{0} が空いてしまうので　うまく塞いでおられますね。

・可算個の部屋を持つホテルは決して満室にならない。　と同じ原理ですね
No.69263 - 2020/08/29(Sat) 09:38:22
☆ Re: 全単射 / らすかる
定義域の区間の左端から値域の区間の左端の分子に変換する関数、つまり
-1→1, 1→2, -2→3, 2→4, -3→5 と変換する関数は
x≧0のとき2x、x＜0のとき-2x-1なので、これを一つの式にまとめると
(|4x+1|-1)/2
定義域内のある値から定義域の区間の左端に変換する関数は[x]なので、
定義域内のある値から値域の区間の左端の分子に変換する関数は
(|4[x]+1|-1)/2
値域の区間の左端の分母は分子+1なので
(|4[x]+1|+1)/2
右端の分子も同じ
右端の分母はさらに1を足した数なので
(|4[x]+1|+3)/2
よって定義域内のある値xに対して値域の区間は
左端が {(|4[x]+1|-1)/2}/{(|4[x]+1|+1)/2} = (|4[x]+1|-1)/(|4[x]+1|+1)
右端が {(|4[x]+1|+1)/2}/{(|4[x]+1|+3)/2} = (|4[x]+1|+1)/(|4[x]+1|+3)
となり、上の回答内に書いた
「[n,n+1)→[a,b)の全単射は(b-a)(x-n)+a」
の式で
a=(|4[x]+1|-1)/(|4[x]+1|+1)
b=(|4[x]+1|+1)/(|4[x]+1|+3)
n=[x]
x=x
をあてはめて整理したのが（整理したから意味不明になったわけですが）
上の式です。

ちなみに全単射なので当然逆関数も存在し、これも求めました。逆関数は
{(x-1)[1/(1-x)]+1}{[1/(1-x)]+1}-{(-1)^[1/(1-x)]}{2[1/(1-x)]+(-1)^[1/(1-x)]-1}/4
と書けます。
No.69267 - 2020/08/29(Sat) 11:37:14
☆ Re: 全単射 / IT
> -1→1, 1→2, -2→3, 2→4, -3→5 と変換する関数は
> x≧0のとき2x、x＜0のとき-2x-1なので、これを一つの式にまとめると
> (|4x+1|-1)/2

なるほど！絶対値をうまく使って正負の場合分けをやっておられますね。

逆関数もおもしろいですね。
No.69268 - 2020/08/29(Sat) 11:48:04
☆ Re: 全単射 / IT
手持ちのテキストに
少し違いますが　(0,1]→Rの全単射 の例がありましたので参考までに載せておきます。
（容易に[0,1)→R に変えられますが、そのまま書きます）

(0,1)→Rの全単射は、いくらでもある.
　例えば　g(x)=1/(1-x)-1/x 。

(0,1]→(0,1)の全単射は、いくらでもある.
例えば　f(x)＝x/2 (x=1/2^n,nは0以上の整数、のとき）
　　　　　　＝x　（それ以外のとき）

このとき　g(f(x)) は、(0,1]→Rの全単射 。
No.69274 - 2020/08/29(Sat) 15:56:01
★ 高三です。数列について / tomo
この問題についてなんですが、回答は最初にｂn＝a2n-1と置いてやっていたのですが、何故置かずに2^n+1で割ったらできないのでしょうか？
No.69213 - 2020/08/26(Wed) 00:00:59
☆ Re: 高三です。数列について / らすかる
等差数列になるのはa[奇数]、つまり数列の一つおきの項で等差数列になっているからです。
もし置かないでやりたければ、(√2)^(2n+1)で割ればできると思います。
No.69214 - 2020/08/26(Wed) 00:22:30
★ 大学1年生です / Rio
全く方針が立ちません。何卒よろしくお願いします。
No.69212 - 2020/08/25(Tue) 22:53:20
☆ Re: 大学1年生です / IT
f(x) が満たす条件が書いてあるのでは？
f(x) がｎ回連続微分可能である。ということなら、
lim[h→0]∫[a,a+h]|f(n)(x)|dx＝0 は、比較的容易に示せるのでは？
No.69221 - 2020/08/26(Wed) 18:46:15
☆ Re: 大学1年生です / Rio
ありがとうございます　f^(n)は　fのn次導関数で連続という条件です。
微積分の基本定理が突破口というようなヒントがありましたがまだ手が出ません。
No.69258 - 2020/08/29(Sat) 00:36:10
☆ Re: 大学1年生です / IT
f^(n)は連続　であれば、εδ方式を使ってf^(n)は[a,a+h] で有界であることが云えるので、これを使えば良いのでは？

>「微積分の基本定理が突破口」・・・
微積分の基本定理とその証明は、お使いのテキストには、どのように書いてありますか？
No.69266 - 2020/08/29(Sat) 10:42:23
☆ Re: 大学1年生です / rio
テイラー展開の有限の場合を考えています。
積分形の剰余項が→0を示すのに、|積分形の剰余項|＜質問の積分　 という式にもちこんで、右辺の積分は0に収束するのでOKという説明だけがされたのです。
なぜ0に収束するのかについて、簡単に「微積分の基本定理」をつかうのもいいですねとだけでした。
色々と調べているのですが、収束を示せないというのが現状です。
イプシロンデルタの方法を詳しく教えていただけないでしょうか。
No.69279 - 2020/08/29(Sat) 21:35:01
☆ Re: 大学1年生です / IT
εδ方式まで戻らず、
f^(n)は連続なので[a-1,a+1] で最小値ｍ最大値Ｍを持つ。
すなわち[a-1,a+1] でｍ≦f^(n)(x)≦Ｍ
K=max{|ｍ|,|Ｍ|}とおくと
|f^(n)(x)|≦Ｋ

このとき　|h|≦1　について　
　|∫[a,a+h]|f^(n)(x)|dx|　≦Ｋ｜h｜　→0（h→0）
で良いのでは？

途中、
f^(n)は連続なので[a-1,a+1] で有界、すなわち |f^(n)(x)|≦Ｋ となる実数Ｋが存在する。
とあっさり書いても良いと思います。

＞簡単に「微積分の基本定理」をつかうのもいいですね
「微積分の基本定理」の証明にこの事実を使うこともあったような記憶があるので、それで良いか（循環論法にならないか）は少し心配です。
No.69283 - 2020/08/30(Sun) 05:18:17
☆ Re: 大学1年生です / rio
ありがとうございました！
No.69321 - 2020/09/02(Wed) 16:46:54
★ 行列 / うさぎ
A,Bを同じ次数の正方行列とする。次の主張が正しければ証明し、正しくなければ反例をあげよ。
(AB)^2=０であれば、常に(BA)^3=０となる

過程を教えてください。
No.69209 - 2020/08/25(Tue) 22:28:31
☆ Re: 行列 / ヨッシー
積の結合法則が既知とすると、
　(AB)^2＝ABAB＝０
　(BA)^3＝BABABA＝B(ABAB)A
より、
No.69210 - 2020/08/25(Tue) 22:31:08
★ 集合 / ダンボ
同値類を求める問題です。
X={n|n∈N,n≦10}における同値関係Rは次の条件を満たしている。
・{n,n+4}⊂Xを満たす任意の整数nに対して、n〜Rn+4が成り立つ。
・8〜R10が成り立つ。
・商集合X/Rの元の数は3個である。
このとき、Rによる同値類[1],[2],[3]を求める問題です。

上2つの条件から、{1,5},{2,6},{3,7},{4,6,8,10},{5,9}に分けました。
ここから[1]={1,5},[2]={2,6},[3]={3,7}というところまで求めました。
ただ、{4,6,8,10},{5,9}の2つがどこに入るのかが分かりません。

よろしくお願いいたします。
No.69205 - 2020/08/25(Tue) 20:49:54
☆ Re: 集合 / IT
同値関係ですから
a〜Rb かつ　b〜Rc のとき　a〜Rc
になると思います。
これを使えばまとめられるのでは？
No.69207 - 2020/08/25(Tue) 21:41:06
☆ Re: 集合 / ダンボ
解けました！
ありがとうございました。
No.69208 - 2020/08/25(Tue) 21:56:49
★ 確率 / めい
白玉4個と赤玉3個が入っている袋の中から初めに2個の玉を取り出し、もとにもどさないで、さらに1個の玉を取り出す。初めの2個の玉が同じ色であるとき、次の1個の玉が赤色である確率を求めよ。
私は1/5になったんですが、合っていますでしょうか？
よろしくお願いします。
No.69197 - 2020/08/25(Tue) 18:27:17
☆ Re: 確率 / IT
まちがっていると思います。
最後の答えの値より、導出過程が重要です。（特に、順列・組み合わせ、確率　の問題では）

＞私は1/5になったんですが
それは、「初めの2個の玉が同じ色であり、かつ、次の1個の玉が赤色である確率」では？

問われているのは、「初めの2個の玉が同じ色であったとき、」　という「条件つき確率」だと思います。
No.69200 - 2020/08/25(Tue) 18:48:03
☆ Re: 確率 / めい
ということは
初め白が2個出る確率+初め赤が2個出る確率=3/7で割る必要があるということでしょうか。
(1/5)/(3/7)=7/15
No.69201 - 2020/08/25(Tue) 19:38:34
☆ Re: 確率 / IT
そうですね。
No.69202 - 2020/08/25(Tue) 19:49:23
☆ Re: 確率 / めい
納得しました。ありがとうございました。
No.69203 - 2020/08/25(Tue) 20:06:27
★ ベクトル方程式 / tetsuro
αx+βy+γ=0で表される直線を、媒介変数で表す際に、
(x’,y’)をこの直線上の1つの点とした場合、
αx+βy+γ=αx’+βy’+γという式が表記されていました。
しかし、なぜこのような式になるのか理解できません。
よろしくお願いします。
No.69196 - 2020/08/25(Tue) 18:11:23
☆ Re: ベクトル方程式 / らすかる
その後でその式をどのように使ったのかはわかりませんが、
とりあえず(x’,y’)が直線上の点ならばαx’+βy’+γ=0ですから
最初の式の右辺の0をαx’+βy’+γに置き換えることはできます。
No.69198 - 2020/08/25(Tue) 18:28:32
☆ Re: ベクトル方程式 / tetsuro
ありがとうございます。
そのページを張り付けておきます。
0を置き換えるというのは可能なのでしょうか？
No.69199 - 2020/08/25(Tue) 18:37:05
☆ Re: ベクトル方程式 / らすかる
0を0に等しいものに置き換えるのはいつでも可能です。
例えばA=0ならば0を3-3に置き換えるとA=3-3
0を5×2-10に置き換えるとA=5×2-10
これらは成り立ちますよね。αx'+βy'+γに置き換えるのもこれと全く同じことです。
No.69206 - 2020/08/25(Tue) 20:57:21
★ (No Subject) / みきか
この度数分布表について質問があります。この表から、どのように最小値や第一四分位数を求めているのでしょうか？この単元が苦手で、詳しく教えていただきたいです。
No.69194 - 2020/08/25(Tue) 17:59:14
☆ Re: 度数分布 / ヨッシー
たとえば、100人のサンプルだとすると、
上から順に、2人、15人、3人・・・1人 と考えることが出来ます。
階級(分)の小さい順に、1番目、2番目・・・とすると、
最小値は１人目なので、260〜265の２人のうちの１人です。
第１四分位数は、25番目と26番目の間なので、
累積相対度数が20と30の間の275〜280の中にあります。
中央値は、50番目と51番目の間なので、285〜290
第３四分位数は75番目と76番目なので、290〜295
いずれも、第１四分位数と同じ考え方です。
最大値は100番目なので、295〜300にいる1人です。

全体を1000人とか、10000人にしても同じです。
No.69204 - 2020/08/25(Tue) 20:15:22
★ 直線の傾き / 数学2
2直線の傾きをどうしをかけたら− 1になる公式の証明で、三角形の合同を使って証明するらしいのですが、どのように証明すればいいのかわかりません。わかる方解説よろしくお願いいたします。
No.69186 - 2020/08/25(Tue) 14:01:42
☆ Re: 直線の傾き / ヨッシー
△ＯＨＡ≡△Ｂ”Ｈ”Ｏ である必要はなく、
△ＯＨＡ∽△Ｂ”Ｈ”Ｏ　が言えれば十分です。

合同にしろという問題の条件であれば、
ＯＨ”＝ｍ となるようにＨ”をとれば良いです。
No.69188 - 2020/08/25(Tue) 14:20:57
☆ Re: 直線の傾き / 数学２
解説ありがとうございます。

△ＯＨＡ≡△Ｂ”Ｈ”Ｏ がいいたいのですが、

どの三角形の合同条件を使い、その時の条件をどう導いたのか教えていただけると幸いです。よろしくお願いいたします。
No.69191 - 2020/08/25(Tue) 14:57:49
☆ Re: 直線の傾き / ヨッシー
H" (m,0) とします。
　∠H"OB"＝90°−∠AOH
　∠OAH＝90°−∠AOH
よって、
　∠H"OB"＝∠OAH
また、
　AH＝OH"＝ｍ
よって、一辺両端角相等より、
　△OHA≡△B"H"O
No.69193 - 2020/08/25(Tue) 17:11:26
★ 差集め算 / にこ
解説見ても全くわからないです。分かる方教えてください
No.69185 - 2020/08/25(Tue) 10:25:59
☆ Re: 差集め算 / ヨッシー
問題がないので、何を目指して解いていけば良いのかわかりませんが、
この図からわかることは、
7,5,5,3,3,3,3,…………,3
と配っていくと10個余る、それなら、
3,3,3,3,3,3,3,…………,3
と配ると、7個のうちの4個、5個のうちの2個があまりに加わるので、
　10＋4＋2＋2＝18（個）
余る、ということです。

問題がないので、ここからは想像ですが、全部の個数から18を引いて、
3で割ると人数が出るとか、そんなことではないかと思われます。
No.69187 - 2020/08/25(Tue) 14:15:45
★ (No Subject) / うい
この、5と2を掛けるのが思いつかなくて解けなかったのですが
数字の見つけ方にコツはありますか？
No.69183 - 2020/08/25(Tue) 05:45:16
☆ Re: / ヨッシー
問題がないので、何を目標に式変形しているのか分かりませんが、
どうやら、ｘｙの項を消したいみたいですね。
?Bにある＋4xyと、?Cにある−10xy を消すために、
両者の係数(の絶対値)をそろえます。
４と１０の最小公倍数２０を目指して、
４には５を掛け、１０には２を掛けます。

別に最小ではなくても、係数が揃えば良いので、
?B×10＋?C×４ でも構いません。
その代わり、あとで、「両辺２で割って」というような
操作が必要になります。
No.69184 - 2020/08/25(Tue) 06:14:52
☆ Re: / うい
公倍数ですね…！
ありがとうございます
No.69195 - 2020/08/25(Tue) 18:09:36
★ 集合 / モンスターー
これらがよくわからないです。わかる方解説お願いします。
No.69180 - 2020/08/24(Mon) 19:53:55
☆ Re: 集合 / IT
どこまでは出来ていて、どこが分からないか書かれた方が有効な回答が得られやすいと思います。

問題の意味がまったく分らないなら　少々の解説では理解できないと思います。
No.69182 - 2020/08/24(Mon) 21:16:02
★ 部分分数分解 / ラッキ
s/{(s^2 +4)^2}
上記式を部分分数分解するにはどのようにすればよいでしょうか。虚数は学んでおります。よろしくお願いします。
No.69179 - 2020/08/24(Mon) 18:56:50
☆ Re: 部分分数分解 / mathmouth
部分分数分解の目的は何ですか？
もしも仮に積分計算であれば、2s=(s^2+4)'より、所謂置換積分法で処理できます。
分母が２次なので、実数係数の範囲では部分分数分解できないとおもいます。
No.69189 - 2020/08/25(Tue) 14:21:15
☆ Re: 部分分数分解 / mathmouth
参考までに
No.69190 - 2020/08/25(Tue) 14:35:40
★ 最大最小問題 / さゆか
この問題の添削をお願いします。また、この問題の後半の解答をみると、3-b(b≧-a+1),3a+2b(b≦-a+1)となっているのですが、b=-a+1のときの最小値a+2は、なぜ必要ないのでしょうか？
No.69170 - 2020/08/23(Sun) 15:09:38
☆ Re: 最大最小問題 / さゆか
1枚目です。
No.69171 - 2020/08/23(Sun) 15:10:04
☆ Re: 最大最小問題 / さゆか
2枚目です。
No.69172 - 2020/08/23(Sun) 15:10:28
☆ Re: 最大最小問題 / IT
> また、この問題の後半の解答をみると、3-b(b≧-a+1),3a+2b(b≦-a+1)となっているのですが、b=-a+1のときの最小値a+2は、なぜ必要ないのでしょうか？

b=-a+1　のときは　b≧-a+1、b≦-a+1の両方に含まれていますね。　
当然、最小値も等しくなります。
b=-a+1　のとき, 3-b＝3a+2b＝a+2
No.69173 - 2020/08/23(Sun) 15:15:41
☆ Re: 最大最小問題 / さゆか
確かにそうでした。この解答としては過不足ないでしょうか？
No.69174 - 2020/08/23(Sun) 15:41:31
☆ Re: 最大最小問題 / IT
特に問題ないと思います。

強いて言えば、最小値を持つための条件も併せて書いたほうが良いかもしれません。
（問題文に、「また、"その場合"...」と書いてあるので、あらためて書かなくても良いような気もしますが）

f(x)が最小値を持つとき、その最小値はf(-1)とf(2)の小さい方、と考えてもいいです。
No.69176 - 2020/08/23(Sun) 17:12:11
★ (No Subject) / スイカ
三角形ABCにおいて→AB＝→b，→AC＝→cとし→AP=s→AB＋t→ACであらわされるベクトル→APの終点Pのの動く範囲について考える

s，tがｓ≧0，t≧0，s＋t≦1を満たすときの点Pが動く範囲の面積をSとすると

Sを用いてs，tが0≦s≦3,1≦t≦2を満たすときの点Pが描く図形の面積はSを用いてどのように表せるか。

模範解答があり一応やり方はわかるのですがどうしてこれからやるようなやり方だとうまくいかないのかわかりません。

0≦s≦3,1≦t≦2よりs＋tの取り得る値の範囲は
0≦s＋t≦5…?@

s＋t=kとすると
(s/k)＋（t/k)=1から
→AP=s→AB＋t→AC＝(s/k)×k→AB＋（t/k)×k→AC
k→AB=AD,k→AC=AEとすると
＝(s/k)×→AD＋（t/k)×→AE
(s/k)＋（t/k)=1より点Pは直線DE上の点である。
また?@より0≦k≦5。
よつて点PはAB'=5AB,AC'=5ACを満たすB'C'とB,Cで囲
まれた部分を動くことになる。
ってどこがいけないんでしょうか？
No.69165 - 2020/08/22(Sat) 23:42:50
☆ Re: / IT
>0≦s≦3,1≦t≦2よりs＋tの取り得る値の範囲は
>0≦s＋t≦5…?@

0≦s≦3,1≦t≦2　の条件がこの後で出てきませんが

「0≦s≦3かつ1≦t≦2」と「0≦s＋t≦5」は、同じ範囲ではありませんからダメです。

0≦s＋t≦5 の中には、例えばs=5,t=0 の場合がありますよ。
No.69166 - 2020/08/23(Sun) 02:00:34
★ 平行線と比の定理の証明につきまして / naooo316
お世話になっております。

下記画像の平行線と比の定理について質問させてください。
下記画像の「定理の証明」箇所の
＞両辺にBC/DEをかけると
とありますが、ここでこれをしなければならない理由は何なのでしょうか？

よろしくお願い申し上げます。

元リンク
https://math.005net.com/yoten/sojiTeiri.php
No.69164 - 2020/08/22(Sat) 23:38:33
☆ Re: 平行線と比の定理の証明につきまして / らすかる
AB/DE=BC/EF という式を導出するためです。
No.69168 - 2020/08/23(Sun) 05:50:35
☆ Re: 平行線と比の定理の証明につきまして / naooo316
ありがとうございます。
No.69169 - 2020/08/23(Sun) 14:31:12
★ 演習問題3⃣につきまして / ブラッドマミ
お世話になっております。今回は演習問題3⃣につきまして質問があります。記号の意味が分かりません。誰か分かる方、教えてください。R_θ(P)とR_θ(Q)とR(θ)の記号の意味するところが分かりません。申し訳ないですが教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。
No.69159 - 2020/08/22(Sat) 13:16:13
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / IT
一般的でなくかつ演習問題の中で定義されていない記号の意味は、推測はできても、出題者と演習に先立つ講義を受けている人にしか正確には分らないのでは？
No.69162 - 2020/08/22(Sat) 19:31:32
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ast
R(θ) は問題文に書かれているのが定義式と思われるし, のこりの二つは, 前回 (No.68962) 質問者さんご自身で
> Ｒ_θは原点oに対して反時計回りに回転移動する変換です。
とはっきりお書きになられているのに,
> 意味するところが分かりません
というのは些か奇妙に聞こえます…….
No.69163 - 2020/08/22(Sat) 20:18:53
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ブラッドマミ
例えば点P=(a,b),点Q=(c,d)とおけば、ベクトルPQ=(c-a,d-b)
となり、左辺=ベクトルPQ・R_θ=((c-a)*(x*cosθ-ysinθ,(d-b)*(x*sinθ+y*cosθ))となることまで導けました。

ですが、右辺=ベクトル(R_θ(P)*R_θ(Q))についてはどう考えていったらいいかわかりません。

分かる方教えてください。よろしくお願いします。
No.69175 - 2020/08/23(Sun) 17:05:45
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ast
> 左辺=ベクトルPQ・R_θ=((c-a)*(x*cosθ-ysinθ,(d-b)*(x*sinθ+y*cosθ))となることまで導けました。
ちょっと何言ってるか分からないんですが, ベクトルPQ・R_θ は全く意味を為さない式だと思います, これはどこから来た式なのでしょうか (これは問題文の等式の左辺でも右辺でもない式ですよね?), あと x,y も何を表しているのかわかりません. どういう計算を行ったと主張されていますか?

> 右辺=ベクトル(R_θ(P)*R_θ(Q))についてはどう考えていったらいいかわかりません。
これは (右辺じゃなく左辺の話でしょうけれども),
> 点P=(a,b),点Q=(c,d)とおけば、ベクトルPQ=(c-a,d-b)
とまったく同じようにすればいい話ですね, 点が P, Q から R_θ(P), R_θ(Q) に変わっただけです. 点 R_θ(P) や点 R_θ(Q) がどのような点かはわかりますよね? (「点P=(a,b),点Q=(c,d)とお」いたのなら, それらの像 R_θ(P) および R_θ(Q) は θ (もちろんこの場合は cos(θ),sin(θ) の形で) とそれぞれ a,b および c,d で書ける).

# この画像の問題では R^2 の点は (行列の積を考えるときには) 横ベクトルとして扱われているようで,
# それを反映して R(θ) も右から掛かってはいますが, 本質的に本問「2×2 行列 R(θ) を求めよ」とは,
#「回転変換 R_θ を行列表示せよ」と読み取るべき内容です.
# 当然ながら, 求めようとする R(θ) の4つの成分を文字 (それらは実際には θ の函数になります) で置いて,
# 等式の両辺の計算結果を比較しなければ R(θ) は求まりません.
No.69178 - 2020/08/23(Sun) 19:57:43
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ブラッドマミ
ご返信ありがとうございます。すごく参考になります。
ここまでで私が分かったことは、左辺のR_θ(P)=R_θ(a,b)=(a*cosθ-b*sinθ,a*sinθ+b*cosθ)
左辺のR_θ(Q)=R_θ(c,d)=(c*conθ-d*sinθ,c*sinθ+d*cosθ)
のところまで理解しました。ただ左辺のベクトルR_θ(P)R_θ(Q)はどちらも1行2列で行列の演算が成立しません。ここからはどう進めて行っていいか分かりません。またベクトルPQ=(c-a,d-b)と置いても大丈夫でしょうか？
最後にR_(θ)は2×2行列でR_(θ)=(α　β
　　　　　　　　　　　　　　　　γ　δ)
と置いてからR_(θ)を導きだすと言う事でしょうか？
ここまでが自分の理解の限界です。もし足りなかったり、おかしいと思う場所がありましたらご指摘お願いします。
よろしくお願いします。
No.69181 - 2020/08/24(Mon) 20:22:07
☆ Re: 演習問題3⃣につきまして / ast
> どちらも1行2列で行列の演算が成立しません
というのは正しい主張ですが, 本問に全く関係ない話ですので, その意味ではおかしいです.

> ベクトルPQ=(c-a,d-b)と置いても大丈夫でしょうか？
少なくとも「〜と置く」のはダメですね. 非自明な内容ですしちゃんと導出する (か公理として与えられている) のでないといけない内容のはずです (No.69175では「ベクトルPQ=(c-a,d-b)となり」と書いてらっしゃるのでお使いのテキストでは何らかの記述があって導出済みの既知の事項なのだろうと思っていました). どのように導出すればいいのかは, そもそもこの問題の前提となる公理をどう与えているかで全然違ってくると思いますので, これ以上の補足は (質問者がそれらについて提示できるということでない限りは) できません.

画像の問題から察するに, お使いのテキストはアフィン幾何の話をやろうとしているのだとは思いますが, アフィン空間の例として R^2 はあまりに具体的過ぎて (アフィン空間としての性質以外の) 余計な性質を持ちすぎているため, お使いのテキストが何を既知の性質として用いてよいと考えているのかわからないときちんとした記述が困難です.
# 例えば, 提示された画像だけからは, “点とベクトルの和” として P+PQ=Q が成り立つのは自明,
# しかしこれを点の座標およびベクトルの成分についての等式 (a,b)+(x,y)=(c,d) と見て
# x=c-a, y=d-b と結論付けてよいかは非自明な (というかテキストの文脈による) 事実となります.
# (そして, 上で述べたように, 公理が不明だとこれで PQ=(c-a,d-b) を導出したと言っていいかすら不明)
## ITさんが No.69162 で
## > 推測はできても、出題者と演習に先立つ講義を受けている人にしか正確には分らない
## と仰ったことをぜひ軽んじないでいただきたい.
No.69192 - 2020/08/25(Tue) 15:26:54
★ 正値式の和形 / kitano
宜しく、御願いします。

どうにか、正値式の和形にしたいのですが

何卒、宜しく御願い致します。
No.69156 - 2020/08/21(Fri) 22:13:07
☆ Re: 正値式の和形 / WIZ
変数(?) a, x, y, z は実数であり、「正値式」とは変数の値に関わらず
常に正の実数値を取る式の意味と解釈してコメントします。

与式が正値式の和になるということは、与式自身が変数の値に関わらず
常に正の実数値となっていることが必要だと思います。

2ax^2+2y^2+2az^2-2xy-2yz-2zx
= 2ax^2-2x^2+2az^2-2z^2+(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)
= 2(a-1)(x^2+z^2)+(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2

上記は x = y = z > 0 かつ a < 1 ならば負の値となりますので、
正値式の和への変形は不可能だと思います。
# 変数の値の範囲に何等かの制限があるのなら可能かもしれません。
# 例えば、a > 1 かつ x, y, z は全て異なる値とか。
No.69160 - 2020/08/22(Sat) 14:04:33
☆ Re: 正値式の和形 / kitano
WIZ　様

有難うございます。

感謝致します。
No.69167 - 2020/08/23(Sun) 02:07:13
★ (No Subject) / 三人称のs
赤線を用いてどう解いたのでしょうか…
No.69145 - 2020/08/21(Fri) 17:43:28
☆ Re: / X
?@×cosθ+?A×sinθ
と
?@×sinθ-?A×cosθ
を計算してみましょう。
No.69146 - 2020/08/21(Fri) 18:24:42
☆ Re: / 三人称のs
解けました！ありがとうございます😆
No.69148 - 2020/08/21(Fri) 18:39:30
★ 不等式を満たすxの最大整数値 / ヒカリ
不等式 x < (3a-2)/4 を満たすxの最大の整数値が5である時、定数aの範囲を求めよ。

※青チャート式数学I + Bの問題です。

解説では
x < (3a-2)/4を満たすxの最大の整数値が5であるから
5 < x < (3a-2)/4 <= 6
を解けばいいとありました。

また次の動画も参考にさせていただきました。
https://www.youtube.com/watch?v=MGWmWGo1IZA
これらを踏まえて質問したい事は2つあります。

1
(3a -2) / 4 = 5であった場合、
5<=としてしまっても、その不等式を満たすxの最大値は5であるように感じるのですが、何故5 < でなければならないのですか？
動画では1分50秒あたりで解説されてますがよくわかりません。
元の問題が < だからという理由ならばわかるのですが...

2
5< (3a-2)/4 < 6 ではなく 5 < (3a-2)/4 <= 6 でなければならないと書いた合ったのですが、これだと、最大の整数が6でも満たしてしまうように感じるのですが、何故 <= なのですが？
No.69141 - 2020/08/21(Fri) 02:53:10
☆ Re: 不等式を満たすxの最大整数値 / IT
簡単のため、 (3a-2)/4 のところを　b と書き換えてもう一度確認してみてください。

１の質問を書き換えると
　ｂ＝５であった場合、
　その不等式　x < ｂを満たすxの最大値は5であるように感じる・・・・

　x ＜５を満たすxの最大値は5であるように感じる。

ということですが　5＜５は　真ですか偽ですか？

" x ＜ ５を満たす実数xの最大値は、存在しません。"
No.69142 - 2020/08/21(Fri) 03:53:02
☆ Re: 不等式を満たすxの最大整数値 / ヒカリ
返信ありがとうございます。
すいません。質問文の <= の部分は ≦ です。
プログラミングの手癖でつい<=と書いてしまってました。


x ＜５を満たすxの最大値は5であるように感じる。

ではなく x ≦ 5 を満たすxの最大値が5であるように感じるです。

5 < 5 はもちろん偽です。

b = 5であった場合
x ≦ b を満たすxの最大値は5ですよね？
にもかかわらず、何故 5 < b でなければならないのかがよくわかりません。
問題が x < b についての問いだからという理由なのでしょうか？

また 5 < b ≦ 6 であれば、xを満たす最大の整数は6になりますよね？
No.69147 - 2020/08/21(Fri) 18:37:43
☆ Re: 不等式を満たすxの最大整数値 / ヒカリ
最初の質問に間違いがありました。

訂正前の文
↓
解説では
x < (3a-2)/4を満たすxの最大の整数値が5であるから
5 < x < (3a-2)/4 <= 6
を解けばいいとありました。

訂正後(3行目)
↓
解説では
x < (3a-2)/4を満たすxの最大の整数値が5であるから
5 < (3a-2)/4 <= 6
を解けばいいとありました。
No.69149 - 2020/08/21(Fri) 18:41:20
☆ Re: 不等式を満たすxの最大整数値 / IT
> 問題が x < b についての問いだからという理由なのでしょうか？

当然です。問題を変えたらいけません。
元の問題を解こうとしているのではないのですか？
No.69150 - 2020/08/21(Fri) 18:46:51
☆ Re: 不等式を満たすxの最大整数値 / IT
> また 5 < b ≦ 6 であれば、xを満たす最大の整数は6になりますよね？

「xを満たす」とはどういう意味ですか？
No.69151 - 2020/08/21(Fri) 19:07:41
☆ Re: 不等式を満たすxの最大整数値 / ヒカリ
返信ありがとうございます。

改めて本の解説や動画を読み返していると、
5 ≦ ではいけない理由
6 ≦ でなければならない理由がようやくわかりました。

問題の不等式と、問題の不等式の最大整数xを解く為の不等式をごっちゃにしてしまっていたのが原因でした^^:。

こんな質問に回答してくださってありがとうございます。<(_ _)>
また機会がありましたらまたよろしくお願いいたします。
No.69152 - 2020/08/21(Fri) 19:18:24
☆ Re: 不等式を満たすxの最大整数値 / ヒカリ

>「xを満たす」とはどういう意味ですか？

x < b についてxを満たす整数という事なのに
いつの間にか「xを満たす = bを満たす」にすり替わっていましたね。。。
失礼しました
No.69153 - 2020/08/21(Fri) 19:22:21
☆ Re: 不等式を満たすxの最大整数値 / ヒカリ
正確には「xを満たす = xの最大の整数値が5である時、定数aの範囲を求める為の不等式のbを満たす」にすり替わっていたですね。
No.69155 - 2020/08/21(Fri) 19:28:13
全22612件 [ ページ : << 1 ... 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 ... 1131 >> ]