ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / かんな

位相幾何の問題です。
3単体s=|P0P1P2P3|についてK(∂s)の単体を全て挙げてください

No.69762 - 2020/09/26(Sat) 13:11:02

☆ Re: / IT

K(∂s)の単体　とは、どういう意味ですか？
テキストによって記法が違うので、K(∂s)が何を表すか定義を明確にされないと回答が着かないと思います。

No.69763 - 2020/09/26(Sat) 15:36:50

☆ Re: / かんな

sを単体としたときsの面全体が作る集合をK(s)として(有限単体的複体)、
K(∂s)はK(s)の単体のうちs自身を除いて得られる集合のことです。

No.69767 - 2020/09/26(Sat) 19:07:01

☆ Re: / IT

２単体：P0,P1,P2,P3 から任意の3つを選ぶ。|P0P1P2|など　４つあります。
１単体：P0,P1,P2,P3 から任意の2つを選ぶ。　６つあります。
０単体：P0,P1,P2,P3 から任意の1つを選ぶ。　４つあります。

全部で14（＝2^4-2) 個になります。

No.69768 - 2020/09/26(Sat) 19:40:43

☆ Re: / かんな

ありがとうございます！

No.69772 - 2020/09/26(Sat) 22:17:03

★ 微分について / よろしくお願いします

f(x,y)=(2x^{2}y)/(x^{2}+y^{4}) という２変数函数（ただし原点では０とする）があり、原点に於ける、∂/∂x(∂f/∂y)を求める、という問題を解いているのですが、不定形が出てきてしまいました。自分の行った計算は以下です。

まず、準備として、原点以外での、∂f/∂y を計算し、
(∂f/∂y)=(2x^{4}-6x^{2}y^{4})/((x^{2}+y^{4})^{2})
つぎに、(∂/∂y)f(0,0) を計算し、
(∂/∂y)f(0,0)=lim[h→0](f(0,h)-f(0,0))/h = 0
となりました。よって、

∂/∂x(∂f/∂y)=lim[h→0](f[y](h,0)-f[y](0,0))/h
=lim[h→0] 2/h
となり、不定形となりました。

また、これ以外の２階偏微分は３つとも０になりました。
どこか計算に誤りや、そもそも考え方に誤りがあるのでしょうか。教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。

No.69757 - 2020/09/26(Sat) 01:33:01

☆ Re: 微分について / 関数電卓

イメージ作りの一助に。

No.69771 - 2020/09/26(Sat) 22:09:03

★ 複素数平面 / あいもょん

教えてください。よろしくお願いします。

以下の条件をみたす実数aを求めよ。

条件
4次方程式 x^4+3x^3+4x^2+ax+1=0 が異なる4つの虚数を解にもち、
さらに、それら4つの虚数と0が複素数平面上である円の円周上にある。

No.69746 - 2020/09/25(Fri) 17:22:16

☆ Re: 複素数平面 / IT

（略解）
４つの解をα,α~,β,β~ とおく。
解と係数の関係から
α+α~+β+β~=-3 …(1)
(α+α~)(β+β~)+αα~+ββ~=4…(2)
αα~(β+β~)+ββ~(α+α~)=-a…(3)
αα~ββ~=1…(4)

0、α,α~ の位置関係から、その円の中心は実軸上にある。
中心をc(実数) とする。
円の半径は|c|.

|c|=|α-c|=|β-c|
∴|α|^2=c(α+α~),|β|^2=c(β+β~)…(5)
(2)に(5)を代入し (4)から　1/c^2+|α|^2+|β|^2=4
(5) から |α|^2+|β|^2= c(α+α~+β+β~)=-3c ∵(1)
よって　　1/c^2-3c=4　∴　3c^3+4c^2-1=0
c=-1 が解の一つなので因数分解できて c=-1,(-1±√13)/6

一方　(3)(5)よりa=-(|α|^2|β|^2/c+|β|^2|α|^2/c)
　　　(4)より　=-2/c

α~ はαの共役複素数。
途中必要条件で押しています、何か他にも条件があるかも知れません。
c=-1 のときのa=2 は、OKのようです。他は確認していません。

No.69749 - 2020/09/25(Fri) 19:29:21

☆ Re: 複素数平面 / あいもょん

ありがとうございました。

No.69758 - 2020/09/26(Sat) 03:44:11

☆ Re: 複素数平面 / IT

解と係数の関係と同じことですが
x^4+3x^3+4x^2+ax+1=(x^2+bx+c)(x^2+(3-b)x+(1/c))
4=c+(1/c)+b(3-b),a=(b/c)+(3-b)c
・・・とすると、少し見通しがいいかも知れません。

注)前出のcと上記のcは違うものです。

No.69759 - 2020/09/26(Sat) 08:45:32

★ 複素数 / カーキ

複素数に関する問題です。
z=x+iyに対して、|z+1/z|をxとyを用いて表せ。
この問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。

No.69741 - 2020/09/25(Fri) 13:21:11

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

1/z をａ＋ｂｉ　の形で表すとどうなりますか？

No.69742 - 2020/09/25(Fri) 13:47:23

☆ Re: 複素数 / カーキ

(a-bi)/(a^2-b^2)になりました。

No.69744 - 2020/09/25(Fri) 14:16:25

☆ Re: 複素数 / IT

横から失礼します。
ａ＋ｂｉ　の"形" というアドバイスで、
>(a-bi)/(a^2-b^2)になりました。
この場合、z=x+iy ですから、1/z=(x-iy)/(x^2-y^2) ということでしょうが、　
例えば　ｚ=1+i（≠0）のとき　分母のx^2-y^2＝0となってしまいますので、おかしいです。計算間違いです。

No.69745 - 2020/09/25(Fri) 17:05:12

★ プレゼント / unknown

nは2以上の自然数とする。1からnまでの自然数をそれぞれ1つずつ書いたn枚のカードが、中の見えない箱に入っている。まず1枚のカードを取り出し、その数字を確認する。取り出したカードは戻さずに、次に2枚目のカード
を取り出し、その数字を確認する。この作業を繰り返し、直前に取り出したカードの数字より大きい数字が出たときに、プレゼントがもらえることとする。プレゼントがもらえた時点で、作業を終了する。
（問い）n-1枚目のカードを取り出したときにプレゼントがもらえたとき、最後（n-1枚目）のカードの数字がnである条件付き確率を求めよ。

No.69740 - 2020/09/25(Fri) 12:31:37

☆ Re: プレゼント / ヨッシー

n-2枚目まで引いたとき、つまり残り２枚の状態から
n-1枚目でプレゼントがもらえるパターンは
　１とｎが残っている状態から　ｎを取る
　２とｎが残っている状態から　ｎを取る　または　２を取る
　３とｎが残っている状態から　ｎを取る　または　３を取る
　・・・
　n-1とｎが残っている状態から　ｎを取る　または　n-1を取る
の、2n-3 通りあり、この中の n-1 通りがｎを取った場合です。

No.69743 - 2020/09/25(Fri) 13:55:54

☆ Re: プレゼント / unknown

すいません。または２を取る～またはn-1を取るのところですが、これらをしてしまうとこの作業がn枚目のカードまで続き、最後のカードを取り出したときにも景品が貰えないということになるのではないでしょうか？

No.69751 - 2020/09/25(Fri) 21:22:17

☆ Re: プレゼント / IT

代わって回答します｡
＞・・・または２を取る・・・
・・最後のカードを取り出したときにも景品が貰えないということになる。

なぜ、そう考えられるのか分りませんが、具体的に数字を並べてみると明確だと思います。

2とnが残っているということは、そこまで降順なのでn-2番目は1で､
n-1＞...＞..＞5＞4＞3＞1＜2 です。n-1番目に２を取ったとき景品が貰えます。

最後のカードを取り出したときも景品がもらえないのは
n＞n-1＞....＞３＞２＞１　の場合だけです。

No.69752 - 2020/09/25(Fri) 22:11:36

☆ Re: プレゼント / unknown

わかりやすい説明ありがとうございます。

No.69753 - 2020/09/25(Fri) 23:01:01

☆ 【訂正】Re: プレゼント / ヨッシー

ITさんの挙げられた
n＞n-1＞....＞３＞２＞１
を見て、上の 2n－3 通りでは不十分と気付きました。
つまり、最初にｎを引いた場合もわんさかあることが分かりました。

最後の２個に
　１と２が残ったとき　・・・　n-1 枚目でプレゼントがもらえることはない
　１と３以上のどれか１枚が残ったとき　・・・　n-1枚目に１以外のカードを引いたときプレゼントがもらえる
　２～ｎのうちの２枚が残ったとき　・・・　n-1枚目にどちらを引いてもプレゼントがもらえる
以上数え上げると
　(n-2)＋2×(n-1)Ｃ2＝n(n-2)　通り
このうち、n-1枚目にｎを引くのは、前の記事の n-1 通りです。

よって、求める条件付き確率は
　(n-1)/n(n-2)

No.69754 - 2020/09/25(Fri) 23:29:05

★ パラメータ / Tom Riddle

3直線4x-3y = 0、3x-4y + 7 = 0、5x + 12y-7 = 0で作られる三角形の内接円の方程式を求めよ。
この問題を媒介変数表示を使って解いて欲しいです。
例えば内接円上にある点を（p,q）とおきp=rcosθ q=rsinθとかしてやって欲しいです。
ちなみに答えは(x-1/7)^2+(y-8/7)^2＝16/49です。

No.69735 - 2020/09/24(Thu) 18:56:39

☆ Re: パラメータ / X

この問題は、点と直線との間の距離の公式を
使えば、内接円の半径、中心の座標を
求めることができます。
従って、単に媒介変数表示にしたい
のであれば、そこから、例えば

x=(4/7)cosθ+1/7
y=(4/7)sinθ+8/7

となります。

No.69736 - 2020/09/24(Thu) 19:52:38

☆ Re: パラメータ / Tom Riddle

すいません。このx=(4/7)cosθ+1/7
y=(4\7)sinθ+8/7のxとyってなんのことでしょうか？

No.69737 - 2020/09/24(Thu) 20:09:15

☆ Re: パラメータ / Tom Riddle

すいません\→/です

No.69738 - 2020/09/24(Thu) 20:13:20

☆ Re: パラメータ / X

点(x,y)は内接円の円周上の点です。
つまり、内接円の方程式である
(x-1/7)^2+(y-8/7)^2=16/49
を媒介変数表示にしたものです。

No.69736でも書きましたが、
内接円の半径、中心の座標
は求めた後に
円の方程式を使うか
媒介変数表示を使うか
は、その後の円周上の点(x,y)
についての表示の違いに
過ぎません。

No.69747 - 2020/09/25(Fri) 18:20:39

☆ Re: パラメータ / 由香

＞この問題を媒介変数表示を使って解いて欲しいです　
とのことですので、
ベクトルを用いて、その成分のパラメータ表示で解く方法かなと思います。
まず、３直線を順に、l、ｍ、ｎで表し、内接円をＣ、その中心を（ａ、ｂ）　半径をｒとします。
以下、ｓ、ｔ、ｕを実数とし、円Ｃとの接点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒとします。

ｌ、ｍ、ｎの方向ベクトルは、１例としてそれぞれ　（３，４）、（４，３）、（－１２，５）と採れます。
また、各直線の法線ベクトルは、１例としてそれぞれ　（４．-３）、（３，－４）、（５，１２）と採れます。
法線ベクトルでは、以下で必要なので、単位法線ベクトルも考えておきます。
今の例では、それぞれ　（４/５，－３/５）、（３/５，－４/５）、（５/１３，１２/１３）です。
これらの符号を入替えたものももちろんＯＫです。

各直線と円との位置関係を分かるようにできるだけ正確に図を描き、各接点Ｐ，Ｑ，Ｒをベクトルで表すための必要なこととは、
第１；各直線上の通過点を見つける。
第２；単位法線ベクトルの方向を見極めて使用する。
の２点です。

以下、ベクトル方程式を成分表示して示しますので、各単位法線ベクトルを何故こう採っているのか、図上から読み取ってください。

→ＯＰ＝（０，０）　　＋ｓ（３，４）＝（ａ，ｂ）＋ｒ（４/５，－３/５）
→ＯＱ＝（－７/３，０）＋ｔ（４，３）＝（ａ，ｂ）＋ｒ（－３/５，４/５）
→ＯＲ＝（０，７/１２）＋ｕ（－１２，５）＝（ａ，ｂ）＋ｒ（－５/１３，－１２/１３）

未知数６個で、方程式６個（成分に分けて）ですから、解けます。
ｓ、ｔ、ｕを消去して、ａ、ｂ、ｒだけ求めます。

No.69786 - 2020/09/27(Sun) 13:26:34

★ (No Subject) / あい

正三角形OABにおいて、Oは原点、Aの座標は(6,0)である。いま、二点P,Qの座標を次のように定める。
１回目のサイコロの目の数をPのx座標、
２回目のサイコロの目の数をPのy座標、
３回目のサイコロの目の数をQのx座標、
４回目のサイコロの目の数をQのy座標とする。

(1)P,Qがともに△OABの内部の点になる確率を求めよ。
(2)P,Qがともに△OABの内部に点になり、さらに線分PQの長さが4以上になる確率を求めよ。

No.69733 - 2020/09/24(Thu) 17:57:01

☆ Re: / ヨッシー

(1) △ＯＡＢ内の点は図の13個です。
(2) △ＯＡＢ内の点を結んでできる線分で長さ４以上のものは、図の６本です。
　

No.69734 - 2020/09/24(Thu) 18:12:40

★ 複素積分 / あか

(3)の問題を教えてください。

No.69728 - 2020/09/24(Thu) 17:03:04

☆ Re: 複素積分 / あか

自分が解くと画像のようになりました。
間違えてるでしょか。それともie^(-4πi/5)が1/sin(π/5)に変形できるのでしょうか。

No.69729 - 2020/09/24(Thu) 17:04:54

☆ Re: 複素積分 / X

一行目の最後の項である1/2はどのような意味で
付けられましたか？

No.69730 - 2020/09/24(Thu) 17:27:44

☆ Re: 複素積分 / あか

求める積分範囲が[0,∞]なので、[-∞、∞]の半分になると考えました。

No.69731 - 2020/09/24(Thu) 17:32:30

☆ Re: 複素積分 / X

間違えています。
それは積分路が上半分の半円になる場合です。
(1)の結果をよく見ましょう。

積分路であるD_Rの境界をCとして
Cを
C[1]:z=x(x:0→R)
C[2]:z=Re^(iθ) (θ:0→2π/5)
C[3]:z=xe^(i2π/5)(x:R→0)
に分けて積分をすると
∫[C]f(z)dz=∫[C[1]]f(z)dz+∫[C[2]]f(z)dz+∫[C[3]]f(z)dz (A)
(A)の左辺には留数定理を使い、右辺の
第1項、第3項は置換積分を使うと
2πie^(-i4π/5)={1-e^(i2π/5)}∫[x:0→R]dx/(1+x^5)+∫[C[2]]f(z)dz
ここでR→∞を考えると
∫[C[2]]f(z)dz→0 (証明は省略します)
∴2πie^(-i4π/5)={1-e^(i2π/5)}∫[x:0→∞]dx/(1+x^5)
となるので
∫[x:0→∞]dx/(1+x^5)={2πie^(-i4π/5)}/{1-e^(i2π/5)}
=2πi/{e^(i4π/5)-e^(i6π/5)}
=2πi/{e^(i4π/5)-e^(-i4π/5)}
=2πi/{2isin(4π/5)}
=π/sin(4π/5)
=π/sin(π/5)
となります。

No.69732 - 2020/09/24(Thu) 17:46:06

☆ Re: 複素積分 / GandB

> ∫[x:0→∞]dx/(1+x^5)=
> ・・・・・
> =π/sin(π/5)

　　∫[x:0→∞]dx/(1+x^5) = π/5sin(π/5)

なので（分母の5を追加）留数のところがおかしいのでは？

No.69739 - 2020/09/24(Thu) 23:23:03

☆ Re: 複素積分 / X

＞＞GandBさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞あかさんへ
ごめんなさい。GandBさんの仰る通りです。
留数の値の分母の5が抜けていました。

No.69748 - 2020/09/25(Fri) 18:29:08

★ (No Subject) / あい

袋の中に、1,2,3,4の数字が書かれた球が、一個ずつ合計4個入っている。この袋の中から球を一個取り出し、数字を確認してからもとに戻す。よくかき混ぜたのちに、同じように球を取り出すことを計四回繰り返す。このとき、
一回目に取り出した球の数字を点Aのx座標とし、
二回目に取り出した球の数字を点Aのy座標とする。
三回目に取り出した球の数字を点Bのx座標とし、

4点P(1,1)、Q(4,1)、R(4,4)、S(1,4)を正方形の頂点とする。このとき、直線ABが正方形PQRSの面積を二等分する確率を求めよ。

この問題を自分で解いてみたら、答えは2/81になりました。ですが、解答がついていなかったので、自信がありません。申し訳ないのですが、どなたか解いてもらって、あっているかどうか教えてもらえませんか。
間違っていたら、解説の方もよろしくお願いします。

No.69721 - 2020/09/23(Wed) 17:18:07

☆ Re: / ヨッシー

四回目に取り出した球の数字を点Bのy座標とする。
と推測します。

Ａの座標の現れ方は16通り。
Ｂも16通りなので、直線ＡＢの組み合わせは、
点Ａと点Ｂが一致する場合も含めて、
　16×16＝256（通り）
なので、分母は 256 か、その約数になるはずです。

No.69722 - 2020/09/23(Wed) 17:37:01

☆ Re: / あい

ついサイコロだと思って6^4としてしまっていました。
1/8ではどうでしょうか？

No.69725 - 2020/09/23(Wed) 23:09:12

☆ Re: / IT

合っていると思いますが、考え方が大切です。

No.69726 - 2020/09/23(Wed) 23:36:48

☆ Re: / あい

わかりました！ありがとうございます！

No.69727 - 2020/09/24(Thu) 17:02:43

★ 二重積分 / yeah

(問題)連立不等式 x^2-x+y-6<=0, x-y+2<=0 で表される領域Dにおいて, 2重積分∬(2x-y)dxdyを計算せよ.

自分でやったら
∫(-2,2)∫(-x^2+x+6,x+2)(2x-y)dydxっていう式がたって、結果 -192/5になりました。マイナスになっちゃったんですけど考え方あってるんですかね？

No.69708 - 2020/09/22(Tue) 20:43:46

☆ Re: 二重積分 / IT

考え方があってるかどうかは分りませんが
その領域Dでは2x-y≦0　（１点(2,4) を除いて2x-y＜0)　

なので　その積分はマイナスでおかしくないです。

No.69715 - 2020/09/22(Tue) 22:29:30

☆ Re: 二重積分 / IT

考え方も合ってるようです。（積分計算結果は確認していません。）

No.69716 - 2020/09/22(Tue) 22:35:45

☆ Re: 二重積分 / yeah

> 考え方も合ってるようです。（積分計算結果は確認していません。）

ありがとうございました！

No.69719 - 2020/09/23(Wed) 16:33:52

★ 回転行列について / あああああ

2次元上での話です。
回転行列では下記の行列を使って x' y'を求めますが、
cosθ－sinθ
sinθ cosθ

要素をわざわざ分ける理由がわかりません。
またこの行列を実行すると( x(1 , 0) y (0 , 1)と仮定)
x'(cosθ,0) y'(0, cosθ)になり
x'を求めるときに使う－sinθ
y'を求めるときに使うsinθが意味をなしていない気がします。なぜこのような形なのでしょうか？

No.69705 - 2020/09/22(Tue) 20:11:03

☆ Re: 回転行列について / GandB

　書いている内容がさっぱりわからない。

> 要素をわざわざ分ける理由がわかりません。

　何のことかわからんwwwwww

No.69714 - 2020/09/22(Tue) 22:03:02