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★ たたみ込み積分について / えみ
画像の信号のたたみ込み積分 f(t)*u(t) の解き方をお教えいただきたいです。
u(t)は単位ステップ信号となっております。

難しい問題かもしれませんが、よろしくお願い致します。
No.69138 - 2020/08/20(Thu) 21:36:17
☆ たたみ込み積分について / えみ
こちらがその信号です。失礼致しました。
No.69139 - 2020/08/20(Thu) 21:38:43
☆ Re: たたみ込み積分について / X
畳み込み積分の定義により
f*u=∫[τ:0→t]f(τ)u(t-τ)dτ
∴
(i)t≦0のとき
f*u=0

(ii)0＜tのとき
f*u=∫[τ:0→t]f(τ)dτ
=…
(f(t)のグラフを見ながらｔについて
更に細かい場合分けをして定積分を計算します。)
No.69144 - 2020/08/21(Fri) 16:37:22
☆ Re: たたみ込み積分について / えみ
ご解答ありがとうございます。
ちなみに信号f(t)は、式に表すと
f(t)=tu(t)-2(t-α)u(t-α)+(t-2α)u(t-2α)
という形で合っていますでしょうか。その場合t=τとして書き換えるわけですが、この定積分は一体どのように計算すればよいでしょう…
No.69157 - 2020/08/22(Sat) 04:25:29
☆ Re: たたみ込み積分について / X
f(t)=tu(t)-2(t-α)u(t-α)+(t-2α)u(t-2α)
で問題ありません。

その場合だと部分積分が適用できますね。
例えば
g(t)の不定積分をG(t)としたとき
∫[τ:0+→t]g(τ)u(τ)dτ=[G(τ)u(τ)][τ:0+→t]-∫[τ:0+→t]g(τ)δ(τ)dτ
=G(t)u(t)-G(0)-g(0)
(注:δ(t)はDiracのδ関数です。但し、上記の計算は間違っているかもしれません。
もし間違っていましたらごめんなさい。)

これを使い、No.69144の(ii)の定積分
を計算すると
g(t)*u(t)=∫[τ:0→t]f(τ)dτ
=∫[τ:0→t]tu(t)dτ-∫[τ:0→t]2(t-α)u(t-α)dτ+∫[τ:0→t](t-2α)u(t-2α)dτ
=…
(第2項、第3項は適当な置換積分を行います。)
No.69158 - 2020/08/22(Sat) 05:59:25
☆ Re: たたみ込み積分について / えみ
X様
迅速かつ的確なご解答誠にありがとうございます。おかげで光明が見えました。この後すぐに取り掛かってみようと思います
No.69161 - 2020/08/22(Sat) 14:05:51
★ (No Subject) / muri
大学1年

∫(0→2π)|sinx-λcosx|dx

この問題が解けなくて困ってます。わかる方いましたらどうかお願いします。
No.69135 - 2020/08/20(Thu) 12:54:39
☆ Re: / ヨッシー
sinx-λcosx＝√(1＋λ^2)sin(x＋α)
であり、積分区間が１周期なので、求める積分値は
　√(1＋λ^2)∫[0〜π]sinｘdx
の２倍と同じなので、
　√(1＋λ^2)２×２＝４√(1＋λ^2)
となります。
No.69136 - 2020/08/20(Thu) 16:31:01
★ (No Subject) / ［晋三］ （ガウス晋三）
わざわざ段階をふんで書くってことは絶対値を付けた式の極限と外した式の極限が異なる場合があるということですか？
No.69133 - 2020/08/20(Thu) 10:26:13
☆ Re: / ヨッシー
|ｘ3sin(1/x)| の話を切り出しているのに、
lim|ｘ3|＝０ であるから　limｘ3sin(1/x)＝０
とするのは、いきなり過ぎるでしょう。

また、一般には
>絶対値を付けた式の極限と外した式の極限が異なる
のが普通です。
　lim[x→1]|−ｘ|＝１　ですが、　　lim[x→1](−ｘ)＝−１
です。
No.69134 - 2020/08/20(Thu) 10:40:13
★ 確率について / ミナ
確率の問題において、(1/6)^2と1/6×1/6では、答えは同じとも、考え方は全く違うと教わりました。これは、事象が一つの場合か、二つの場合か、の違いということでしょうか？なにか具体例を上げて説明していただけると嬉しいです。
No.69128 - 2020/08/19(Wed) 22:00:24
☆ Re: 確率について / IT
(1/6)^2と1/6×1/6は　本質的な違いはないと思いますが、
どんな文脈でそう教えられたのでしょうか？

質問からすると　何の説明もなしに、そう教えられたということでしょうか？　だれにそう教えられたのですか？

当然同じである確率Ｐ（A)(=1/6)を2乗する場合は(1/6)^2 と書き、
異なる事象Ａ，Ｂについて、たまたま確率Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＝１/６のとき、Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）は、　(1/6)^2 と書かずに　(1/6)×(1/6) と書いたほうが良い。
ということですかね。
No.69129 - 2020/08/19(Wed) 22:22:37
★ (No Subject) / さな
この問題の(3)なので、解答が下の写真のようになるのですが、オレンジで丸してあるところが、なぜそのようになるのかわかりません。教えていただきたいです！
No.69120 - 2020/08/19(Wed) 20:40:28
☆ Re: / さな
すみません、逆になってしまいました。
No.69121 - 2020/08/19(Wed) 20:41:44
☆ Re: / さな
こちらが(3)の解答です。
No.69122 - 2020/08/19(Wed) 20:42:18
☆ Re: / ヨッシー
たとえば、１，２，３，４ が揃ったとすると、
１回目、２回目の引き方は
　(1,2)(3,4)　(1,3)(2,4)　(1,4)(2,3)
　(2,3)(1,4)　(2,4)(1,3)　(3,4)(1,2)
の６通りです。つまり、４個の数から、２個を取って、
１回目に取った玉とし、残りを２回目の玉とするのと同じです。
No.69124 - 2020/08/19(Wed) 20:49:56
☆ Re: / さな
理解できました！ありがとうございます😊
No.69127 - 2020/08/19(Wed) 21:57:55
★ (No Subject) / 坂本さん
ばね定数がkである質量が無視できるばねに質量mのおもりをつけ、つりあいの位置x=0を速さvでスタートさせたときの、ばねの最大振れ幅はいくらか。

教えてください
No.69119 - 2020/08/19(Wed) 20:17:18
☆ Re: / X
求める最大振れ幅をAとするとエネルギー保存の法則から
(1/2)mv^2=(1/2)kA^2
∴A=v√(m/k)
No.69125 - 2020/08/19(Wed) 20:53:43
☆ Re: / 関数電卓
> つりあいの位置 x＝0 を速さ v でスタートさせた
とあるので，鉛直方向の単振動ですね。
結果としては，
> A=v√(m/k)
で正しいのですが，重力の位置エネルギーを考慮してもこの結果になることを，きちんと確認して下さいね。
この問題が受験物理であれば，減点される可能性があります。
No.69126 - 2020/08/19(Wed) 21:32:20
☆ Re: / X
鉛直方向の場合の解をアップしておきます。

つりあいの位置におけるばねの伸びをBとすると
kB=mg (A)
一方、求める最大振れ幅をAとすると
ばねの伸びが最大のときに対し、エネルギー保存の法則から
(1/2)mv^2+(1/2)kB^2=(1/2)k(A+B)^2-mgA (B)
(A)を(B)に代入して
(1/2)mv^2+(1/2)kB^2=(1/2)k(A+B)^2-kAB
これより
(1/2)mv^2+(1/2)kB^2=(1/2)k(A^2+2AB+B^2)-kAB
更に整理をして
(1/2)mv^2=(1/2)kA^2
∴A=v√(m/k)
となります。
No.69137 - 2020/08/20(Thu) 17:01:01
★ 数3の定積分について / 修業中
数3の定積分の問題で、途中の式変形が分かりません。

lim(n→∞)1/n^n√(n+1)(n+2)･･･(n+n) (早稲田大学)

P＝1/n^n√(n+1)(n+2)･･･(n+n)
とおき、両辺の対数をとるのですが
画像の矢印の所への変形が分かりません。どうやって-lognが出てくるのでしょうか。返信お待ちしております。
No.69113 - 2020/08/19(Wed) 18:17:49
☆ Re: 数3の定積分について / ヨッシー
その直前にある、ｎ個の−logｎ を、ｎ個のカッコに振り分けています。
No.69114 - 2020/08/19(Wed) 18:24:27
★ 正三角形 / アイス
よろしくお願いします。東京工業大学の入試問題です。複素数平面上で三角形ABCが正三角形となる必要十分条件がα^2+β^2+γ^2=αβ+βγ+γαであることを示せ。という問題です。
解答は二辺の長さが等しくて、間の角が60度であることを使っています。つまり(γ-α)/(β-α)=cos(±60)+isin(±60)から導いています。
それはわかるのですが、三辺の長さが等しいこと、つまりAB=BC=CAから解答は作れないものでしょうか？
No.69111 - 2020/08/19(Wed) 12:04:45
☆ Re: 正三角形 / らすかる
(γ-α)/(β-α)=cos(±60)+isin(±60)
が導出できるのなら
|γ-α|/|β-α|=|cos(±60)+isin(±60)|=1
が言えますよね。
そうすると対称性から全辺が等しいことが言えると思います。
No.69117 - 2020/08/19(Wed) 20:13:35
☆ Re: 正三角形 / IT
途中まで

まずはα＝0のときを考えます.　このときβγ≠0です。
(必要条件であること)
ABCが正三角形⇔|β|＝|γ|＝|γ-β|
⇔ββ~＝γγ~＝(γ-β)(γ~-β~)＝γγ~-γβ~-βγ~+ββ~…(1)
→β/γ~＝γ/β~ かつ　γγ~-γβ~-βγ~＝0
β/γ~(＝γ/β~)を右側の式の各項に掛けると
βγ-γ^2-β^2=0…(2)

（注）β~ はβの共役複素数を表しています。
(1)から(2) の変形は、いろいろな手順があります。
No.69118 - 2020/08/19(Wed) 20:15:52
☆ Re: 正三角形 / IT
逆は
βγ＝γ^2+β^2
β^2で割って
→(γ/β)^2-(γ/β)+1＝0
t^2-t+1＝0を解いてもいいですし、２解は虚数なので共役複素数で積＝１より絶対値１が言えます。
→|γ/β|＝1,かつ|(γ-β)/β|＝|γ/β-1|＝|(γ/β)^2|＝1
→|β|＝|γ|＝|γ-β|

α≠0のときは αだけ平行移動して考えればいいので
βの代わりにβ-α、γの代わりにγ-αとすればいいです。

例えば、β^2+γ^2＝βγの代わりは、
(β-α)^2+(γ-α)^2＝(β-α)(γ-α)　を展開して考察すればいいと思います。
No.69123 - 2020/08/19(Wed) 20:44:45
☆ Re: 正三角形 / アイス
ラスカルさん、ITさん、ありがとうございます。
思っていた解答とは違いますが、理解が深まりました。
No.69130 - 2020/08/20(Thu) 00:28:23
☆ Re: 正三角形 / IT
> 思っていた解答とは違いますが、理解が深まりました。

思っていた解答とは,どんな解答ですか？
No.69131 - 2020/08/20(Thu) 01:42:28
★ (No Subject) / 透明人間
この問題わからなくて困っています。どなたか教えてください。
No.69107 - 2020/08/19(Wed) 08:50:54
☆ Re: / ヨッシー
位置ｘの変化量が速度ｖなので、
　ｖ＝dx/dt
　ｘ＝∫ｖdt＋Ｃ
です。（Ｃは初期値により決まります）
(1)
　x(t)＝∫ｖdt＝v0ｔ−(α/2)ｔ^2＋Ｃ
t＝０ でｘ＝０ なので、Ｃ＝０
　x(t)＝∫ｖdt＝v0ｔ−(α/2)ｔ^2
(2)
　x(t)＝∫ｖdt＝(α/ω)sin(ωｔ)＋Ｃ
t＝０ でｘ＝０ なので、Ｃ＝０

グラフは省略
No.69108 - 2020/08/19(Wed) 09:44:14
★ 極限の問題 / わたなべ・みほ・パン
四角で囲まれている部分が模範誤答らしいんですが、なぜ誤答なのかが分からないです。誤っている部分を教えていただけたら幸いです
No.69099 - 2020/08/18(Tue) 21:30:02
☆ Re: 極限の問題 / らすかる
例題1.1.1の内容がわかりません。
No.69100 - 2020/08/18(Tue) 21:35:12
☆ Re: 極限の問題 / わたなべ・みほ・パン
おそらくプリントの表記ミスなのですが、以下の定理を利用して解くのだと思います。(例題1.1.1はまるで関係の無い内容でしたので…)
No.69103 - 2020/08/18(Tue) 22:54:00
☆ Re: 極限の問題 / らすかる
例題1.1.1の内容を見てみないとなんとも言えませんが、
もし定理1.1.2を利用するなら
lim[n→∞](1+1/(-n))^(-n)はその定理では言っていませんので
「(1+1/(-n))^(-n)→eであるから」が言えませんね。
No.69105 - 2020/08/19(Wed) 01:46:34
★ 線形数学 / ダンボ
ジョルダン標準形に関する問題です。
A,Qをn次正方行列とする。Aのジョルダン標準形と次の行列のジョルダン標準形の関係(ジョルダン標準形と変換行列について)説明せよ。
(1)A^-1
(2)Q^-1AQ
よろしくお願いいたします。
No.69096 - 2020/08/18(Tue) 20:44:53
☆ Re: 線形数学 / ast
前回の転置行列のときとほぼ同じ手順で, A がジョルダン細胞のときに帰着できるので, 始めからそうである場合を調べればよいということになります.
# というか, (2) は何も調べる必要がないレベルの自明な話ではないかと思いますが…….
# (ジョルダン標準形は相似変換に対する不変量なので)
No.69109 - 2020/08/19(Wed) 10:33:45
★ (No Subject) / マキ
添削お願いしたいです。
No.69094 - 2020/08/18(Tue) 20:28:09
☆ Re: / マキ
こちらが裏です。
No.69095 - 2020/08/18(Tue) 20:28:42
☆ Re: / ヨッシー
問題ないとは思いますが、(2) の?@?Aのくだりはいらないと思います。
特に、?Aは問題の主旨とちょっとずれています。

また、(1) の(iii) は、
１，２，３ に分ける場合　3!×6Ｃ1×5Ｃ2＝360
１，１，４ に分ける場合　3×6×5＝90
２，２，２ に分ける場合　(i) より　90
よって、合計 540　としても出来ます。
No.69116 - 2020/08/19(Wed) 19:51:40
★ 場合の数 / マキ
添削をお願いします。
No.69092 - 2020/08/18(Tue) 20:25:59
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
良いと思います。

(2) の後半は、
　240÷５＝48
でも出来ます。
No.69115 - 2020/08/19(Wed) 19:39:29
★ 体積 / Ran
この問題をみてください、解説のところに(マーカーのとこです)、y[1]^2を-1〜1まで積分とあるのですが、ここって定義なしの区間じゃないですか？？未定義なのに、積分というのがよくわからないです。

誰かお願いします！
No.69090 - 2020/08/18(Tue) 19:45:03
☆ Re: 体積 / Ran
マーカーひくのわすれました。すいません。
V[1]を積分してるところの、1行目から2行目への変換のところです。
No.69091 - 2020/08/18(Tue) 19:46:07
☆ Re: 体積 / IT
たしかに、気持ち悪いですね。

[-1,1]を含む[α,β]の区間で定積分した値から
[-1,1]区間の定積分した値を引いていますので、[-1,1]区間の定積分値がどうであっても、結果には影響しないということだと思いますが、

形式的？とはいえ、ｙ[1]^2=x^2-1 ＜0　となるのも、奇妙な感じがしますね。
No.69098 - 2020/08/18(Tue) 21:18:04
☆ Re: 体積 / Ran
やっぱ気持ち悪いですよね！
でもそうなると、α、βを上手く使えなくなるんですけど、そこは、ただただ計算して、解と係数の関係からやるしかないですか？
No.69102 - 2020/08/18(Tue) 22:11:46
☆ Re: 少し切り替えます / 由香
> やっぱ気持ち悪いですよね！
> でもそうなると、α、βを上手く使えなくなるんです

それで、何かいい方法は？と考え、解答のようになっているのです。
１行目から２行目への、被積分関数のｙ(_1)^2＝ｘ^2−１は、もはや双曲線（の上半分）をあらわす式でなくて、一般の２次関数の式ｙ＝ｘ^2−１・・・放物線です。

※放物線上の積分（両端α、β）は、途中の負の領域での積分は負になるのでした。
No.69112 - 2020/08/19(Wed) 13:24:56
☆ Re: 体積 / Ran
ありがとうございました！
No.69177 - 2020/08/23(Sun) 17:40:15
★ ベクトル / ｍ
複素ベクトルx=[-3+i,-2+i3,-i2]
の長さlxlの求め方を教えていただきたいです
No.69085 - 2020/08/18(Tue) 13:25:03
☆ Re: ベクトル / X
複素ベクトルの内積の定義の復習をしましょう。
No.69087 - 2020/08/18(Tue) 17:31:56
★ ローラン展開に関して / 白桃
ローラン展開について書いてある最後のページの問題の(1)に関しての質問です。

式14はどっから出てきたのでしょうか？
1/1-zなどが解説の部分で出てきますが、式(1)と式(14)の関係はあるのでしょうか？
以下は私の質問に対する考えです。
1の留数とはcが1の時の留数が1/2ということだと思いますが、(1)をシグマの形に展開すると式14になり、
その式14でローラン展開の公式を使い、積分の分数の形にした場合、cの部分が1であり、積分すると2πiになり、その式の係数が1/2ということでしょうか？

どうか詳しい計算を踏まえて教えて頂けると幸いです。

こちらが問題のURLです。
https://www.docdroid.net/QpMKGPS/d4-pdf#page=3
No.69081 - 2020/08/18(Tue) 06:20:20
★ (No Subject) / もも
この問題の(2)の解答の"ゆえに"の形がなぜそうなるのかわかりません。
また(3)の解答の一行目の変形もわかりません。。、
No.69077 - 2020/08/18(Tue) 00:09:09
☆ Re: / もも
解答はこれです。どなたかわかる方何卒解説をおねがいします。
No.69078 - 2020/08/18(Tue) 00:10:00
☆ Re: / X
>>(2)の解答の"ゆえに"の形がなぜそうなるのかわかりません。
ご質問の等式の一行上の等式をa[n+1]についての方程式
とみて解きましょう。

>>また(3)の解答の一行目の変形もわかりません
a[n+1]=(2/3)a[n]-2/3 (A)
において、a[n]の係数が2/3であることから
(A)を
a[n+1]-α=(2/3){a[n]-α}
(αは定数)
の形に変形できると仮定してαを求めることを
考えましょう。
(一つ目の質問の回答の内容が理解できていれば
応用で解けます。考えてみて下さい。)
No.69082 - 2020/08/18(Tue) 06:52:34
★ 中国剰余定理 / 前進
お世話になっております、
赤線の矢印がなぜ成り立つのかが分かりません。
簡単な例で説明して頂けますと非常に助かります。
宜しくお願い致します。
また微分積分などの高校数学を質問する際は何卒よろしくお願い申し上げます。
No.69072 - 2020/08/17(Mon) 22:29:52
☆ Re: 中国剰余定理 / 前進
https://www.youtube.com/channel/UCOjBG3Bu6sDxfGi15SMNF1Q

Masaki Kogaさんの動画も参考にしながら考えていきます。
今後とも高校数学宜しくお願い致します。
No.69075 - 2020/08/17(Mon) 23:04:23
★ (No Subject) / さくや
小３です。どうしてもわからない問題があって、こまっています。教えてください。

青テープは黄テープの２倍の長さ、赤テープは青テープの３倍です。赤テープは黄テープの何倍の長さでしょう。
No.69063 - 2020/08/17(Mon) 17:56:49
☆ Re: / ヨッシー
こういう図を描きましょう。

No.69064 - 2020/08/17(Mon) 18:26:51
☆ Re: / さくや
図をかきました。
作ってもらったのにごめんなさい。まだよくわかりません。
２×３＝６の６倍ということで合っていますか？
式はわかったけど、説明ができないです。
No.69068 - 2020/08/17(Mon) 20:16:37
☆ Re: / ヨッシー
青のテープに黄色のテープを重ねていくと２本はまります。
赤のテープに青のテープを重ねていくと３本はまります。
この３本の青の１本１本を２本の黄色に変えると、
赤には黄色が６本はまることになります。
式は
　２×３＝６
です。

まずは、赤のテープ１本と、黄色のテープ６本とが
同じ長さであることを、図で理解しましょう。
式はそのあとです。
No.69083 - 2020/08/18(Tue) 08:15:39
☆ Re: / のん
小学校時代にどのような考え方をしていたか考えてみたところ、こんな風に解いてみるといいのではないでしょうか？
黄テープの長さを?@とします。すると、青テープは?Aの長さになりますよね？赤テープは青テープの3倍の長さなので?A×3=?Eの長さになります。すると、赤テープの長さ?Eは黄テープの長さ?@の6倍のになります！
どうでしょう？？わかりましたか？
No.69110 - 2020/08/19(Wed) 11:05:42
★ (No Subject) / はじめ
これです
No.69056 - 2020/08/17(Mon) 09:02:32
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