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(No Subject) / はじめ
(1)についてです!
真ん中に張ってあるのが自分の解答なのですが、絶対値ではなく−1<r<1でやってみたのですが答えが変わってしまいました…どこが間違っているのか教えてください

No.69055 - 2020/08/17(Mon) 09:02:14

Re: / ast
2x-4 を掛けて分母を払うのならば 2x-4 が正か負かを (負のときは不等号の向きが逆になるので) 気にしなければいけません (2x-4 は正にも負にもなるので場合分けをすることになります)
# 絶対値を使った解法でも二乗してから絶対値を外しているように
# この場合も, (2x-4)^2 を掛けて分母を払うならもう少しきれいに処理できます.

No.69057 - 2020/08/17(Mon) 09:17:01

Re: / はじめ
なるほど!だからめんどくさいから回答では絶対値でやってるって感じですかね??
No.69059 - 2020/08/17(Mon) 09:44:51

Re: / ast
それもあるとは思いますが, 等比級数の収束条件をふつう |(公比)|< 1 と書きますから, 自然と絶対値で処理する流れになるのではないでしょうか.
No.69060 - 2020/08/17(Mon) 10:16:36

Re: / はじめ
なるほど!ありがとうございます!
No.69061 - 2020/08/17(Mon) 10:40:20
謎いのでご教示ください / URHANL
失礼いたします。

知人から数年前に教わったのですが、知人も私もなぜこうなるなのか今に至るまで全くわかりません。どうか理由を御教示くださいませ。もしくは反例をご教示ください。


m, n をともに非負整数とします。
p を正の奇数とします。

二変数関数 f を以下のように定めます。
f(m, n) = m(n +2) +((n +2)(n +3))/2

例えば p を 15 とします。

( * を乗法記号とします。 )

f(6, 0) = 6*(0 +2) +((0 +2)*(0 +3))/2 = 15
f(3, 1) = 3*(1 +2) +((1 +2)*(1 +3))/2 = 15
f(0, 3) = 0*(3 +2) +((3 +2)*(3 +3))/2 = 15

ですので
p = 15 = f(m, n)
となるような m, n の組み合わせは 3通りあるわけです。

さて、p = f(m, n)となるような m, n の組み合わせの個数を F(p) とします。
F(15) = 3
ということになります。


理由がわからず不思議なのですが、
F(p) = 1
ならば、 p は素数のようなのです。

理由もしくは反例についてご教示を頂ければと存じます。

No.69051 - 2020/08/16(Sun) 22:52:42

Re: 謎いのでご教示ください / IT
正しいですね。対偶が正しいことを示します。

正の奇数pが合成数のとき,pの最小の素因数をqとすると、
 p=qr,3≦q≦r,(q,rは奇数)とおける。
 このとき(p-3)/2,r-(q+1)/2は非負整数, q-2≧1である。

 f((p-3)/2,0)=p、f(r-(q+1)/2,q-2)=p なので
F(p)≧2となる。

# (m,n)=((p-3)/2,0),(r-(q+1)/2,q-2)は天下り的に書いていますが、
m(n+2)+((n+2)(n+3))/2=(m+(n+3)/2)(n+2)=qr をにらみつけて見つけたものです。

F(1)=0も示す必要がありました。
これは,f(0,0)=3 で f(m,n) がm、nについて増加関数であることから言えますね。

No.69052 - 2020/08/16(Sun) 23:45:11

Re: 謎いのでご教示ください / WIZ
本質問の回答ではないですが、p が奇素数なら F(p) = 1 であることが示せます。

m, n を非負整数、p を奇数である自然数の素数とします。

n+2 > 0 なので、
m(n+2)+(n+2)(n+3)/2 = p
⇒ m = p/(n+2)-(n+3)/2
となります。

(1)
n が奇数であると仮定すると、(n+3)/2 が整数なので、p/(n+2) も整数でなくてはなりません。
p は素数で、n+2 は 1 より大きい p の約数だから、p = n+2 となることが必要です。
よって、m = 1-(n+3)/2 < 1-(1+3)/2 < 0 となって不合理です。

(2)
n が偶数であると仮定すると、ある非負整数 a が存在して、n = 2a とおけます。
m = p/(2a+2)-(2a+3)/2 = (1/2)(p/(a+1)+2a+3)
⇒ 2m = p/(a+1)-2a-3
上記から、p/(a+1) は整数でなければなりません。

(2A)
a+1 = p つまり a = p-1 の場合、
2m = p/p-2(p-1)-3 = -2p < 0
となって不合理です。

(2B)
a+1 = 1 つまり a = 0 の場合、
2m = p/1-2*0-3 = p-3
⇒ m = (p-3)/2, n = 2*0 = 0

以上から、p が奇素数なら f(m, n) = p の解は m = (p-3)/2, n = 0 の1通りしかなく、F(p) = 1 と言えます。

No.69067 - 2020/08/17(Mon) 19:29:53

Re: 謎いのでご教示ください / IT
p が奇素数なら F(p) = 1 であることの、少し書き方が違う証明。

pを奇素数とします。
m, n を非負整数でp=f(m,n)とすると、
p=m(n+2)+((n+2)(n+3))/2=(m+(n+3)/2)(n+2)

nが奇数のとき
 nは1以上で、m+(n+3)/2 は2以上の整数、n+2は3以上の整数なのでpは合成数となり不適。

nが偶数のとき
 n=2k(kは非負整数)とおける。
 p=(m+(2k+3)/2)(2k+2)=(2m+2k+3)(k+1)
 pは素数なので k+1=1,2m+2k+3=p
 ∴k=0,m=(p-3)/2,n=0

よってF(p)=1

No.69070 - 2020/08/17(Mon) 20:21:28

Re: 謎いのでご教示ください / URHANL
ITさま、WIZさま。

長年の胸のつかえが取れました。実に爽快な面持ちです。この度はまことに有り難うございました。


ITさま。
># (m,n)=((p-3)/2,0),(r-(q+1)/2,q-2)は天下り的に書いていますが、
>m(n+2)+((n+2)(n+3))/2=(m+(n+3)/2)(n+2)=qr をにらみつけて見つけたものです。


このあたり、私にはとても思い付けそうにありません。痺れました。
また、対偶を証明しようなどとも全く気がつきません。
勉強になります。有り難うございました。


WIZさま。
>本質問の回答ではないですが、p が奇素数なら F(p) = 1 であることが示せます。

あっ、こちらも証明可能なのでしたか。 奇素数なる p でもって片端から F(p) を求めるべく、あやうく実験を始めるところでした。 お恥ずかしいことです。
当方、数学音痴なのだなあと改めて溜め息がでます。

ITさま、WIZさま。
WIZさま、ITさま、の証明を拝見いたしまして、考え込んだ末に以下のような考えに辿り着きました。

p = f(m, n) = m(n +2) +((n +2)(n +3))/2

k を非負整数とします。

n = 0 のとき
p = f(m, 0) = 3 +2m

n = 2k +1 のとき
p = f(m, 2k +1) = (2k +3)(k +2 +m)

n = 2k +2 のとき
p = f(m, 2k +2) = (k +2)(2k +5 +2m)

となります。

n = 2k +1 でも n = 2k +2 でも p は合成数であることがわかります。
従いまして p が奇素数であるためには、n = 0 が必要です。

p = f(m, 0) = 3 +2m
のみが許される形ですが、このとき、 p の値が具体的に与えられれば m がユニークに定まります。

以上より p が奇素数であれば、F(p) = 1 となります。


なお、
f(m, n) = m(n +2) +((n +2)(n +3))/2
は、どこから出てきた形かと申しますと、これは n を非負整数としたときに、連続する(n +2)個の正の自然数の和となっています。

ITさま、WIZさまの証明によりまして以下がわかりました。

3 以上の奇数 p について、 p が2個以上の個数の連続した正の自然数の和として表現する方法をただ一通り有することと、 p が素数であることとは同値です。


お二方とも、大変有り難うございました。

No.69071 - 2020/08/17(Mon) 21:29:01

Re: 謎いのでご教示ください / IT
URHANLさん、すっきりした証明ですね。

私は、「f(m,n)=m(n+2)+((n+2)(n+3))/2=(m+(n+3)/2)(n+2)
=(2m+1+n+2)(n+2)/2 とすると見通しがいいかも」と書き込もうとしていたところですが、

あっさりURHANLさん方式で場合分けするのが良いですね。

No.69073 - 2020/08/17(Mon) 22:30:24

Re: 謎いのでご教示ください / WIZ
> 3 以上の奇数 p について、 p が2個以上の個数の連続した正の自然数の和として
> 表現する方法をただ一通り有することと、 p が素数であることとは同値です。


私は個人的に数論(初等整数論)に興味があるので、上記はとても興味深いですね!
3 以上の奇数である自然数は k を自然数として 2k+1 = k+(k+1) という表現を持つ訳ですが、
奇数合成数である自然数は上記以外の表現も持つ。

今思えは、以下の様な証明も可能ですね。
n を奇数合成数である自然数、p ≧ 3, q ≧ 3 を n の因数とし、n = pq とする。
p-(q-1)/2 から p+(q-1)/2 までの連続する q 個の自然数の和は、

(p-(q-1)/2)+(p-(q-1)/2+1)+・・・(p-1)+p+(p+1)+・・・+(p+(q-1)/2)
= Σ[i=p-(q-1)/2, (q-1)/2]{i}
= q{2(p-(q-1)/2)+(q-1)*1}/2
= pq

q ≧ 3 なので上記は3連続以上であり、2連続の n = k+(k+1) とは別の表現である。
よって、n が奇数合成数である自然数ならば表現数 F(n) > 1 である。

No.69084 - 2020/08/18(Tue) 10:15:14

Re: 謎いのでご教示ください / IT
たしかに、pを中心としたq(奇数)個の連続整数の和=pq という事実を使うのが見通しが良いですね。
No.69089 - 2020/08/18(Tue) 19:36:32

Re: 謎いのでご教示ください / URHANL
ITさま、WIZさま。有り難うございます。
お二人のお話をお聴きしまして思ったことを少々申し上げたく存じます。

35以下の奇数を n ごとに分類してみました。

n+2=2; 3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35
n+2=3; 9,15,21,27,33
n+2=4;
n+2=5; 15,25,35
n+2=6; 21,27,33
n+2=7; 35,


例えば p=15 では、 15 を素因数分解した 3 と 5 とに注目いたしますと、n=0 は奇数ですから度外視しておきまして他には

n+2=3 と n+2=5 とで、15 が登場しております。


また p=35 では、 35 を素因数分解した 5 と 7 とに注目いたしますと、n=0 は奇数ですから度外視しておきまして他には

n+2=5 と n+2=7 とで、35 が登場しております。

ですので、ITさまが、69073の投稿でおっしゃった、
>f(m,n)=m(n+2)+((n+2)(n+3))/2=(m+(n+3)/2)(n+2)
>=(2m+1+n+2)(n+2)/2 とすると見通しがいいかも


は、故あることと存じます。 nの偶奇により場合分けが出ますが期待通りと存じます。
※ n+2 が偶数ならばその半分の数の倍数が並んでいます。
n+2=6; 21,27,33
一方、 n+2 が奇数ならばその数の倍数が並んでいます。
n+2=5; 15,25,35

ところで、 p=15 や p=35 と異なりまして、p=9 ですとn+2=3にしか登場しないのは、ある意味当然、ある意味不思議な気がいたします。
(数学音痴なものでして)

No.69097 - 2020/08/18(Tue) 20:51:33

Re: 謎いのでご教示ください / URHANL
とある合成数の素因数のうち最小のものを発見するためのアルゴリズムとして試し割り法があります。
素因数分解しようとする整数 N を小さい順に素数で割ってみて、割り切れるかどうかを調べる手法です。
ここまでご教示頂いたことを元に試し割り法の変種がありうると判明しましたのでご報告いたします。
(実用上では計算量を減らす役には立ちません。)

具体例をひとつ。

合成数 9991 の最小の素因数を探索します。

素数3で割る前に三角数 (3*4)/2=6 を 9991 から減じて 9985 を得ます。この 9985 が 素数3で割りきれるかどうか検査します。

以下同様に下記のリストに従って処理していきます。

3, 6, 9985
5, 15, 9976
7, 28, 9963
11, 66, 9925
13, 91, 9900
17, 153, 9838
19, 190, 9801
23, 276, …
29, 435, …
31, 496, …
37, 703, …
41, 861, …
43, 946, …
47, 1128,…
53, 1431, …
59, 1770, …
61, 1891, …
67, 2278, …
71, 2556, …
73, 2701, …
79, 3160, …
83, 3486, …
89, 4005, …
97, 4753,(9991-4753)/97
101,5151, …
103,5356,(9991-5356)/103

(9991-4753)は97で割りきれますので、9991の最小の素因数は97です。

割り算の計算量だけを考えますと、2進法で最大でも高々1/2ビットだけ省力化になりますが、三角数の作成やそれを n から減じる手間を考えますと差し引き得にはなっていません。

ただただ、試し割り法にはバリエーションがありうるというお話しです。

No.69462 - 2020/09/08(Tue) 22:38:57
最大最小問題 / マキ
(3)の問題で、赤で直しが入って、ピンクのマーカーをしてあるところが、なぜそう言えるのか分かりません。教えていただきたいです。
No.69047 - 2020/08/16(Sun) 21:06:45

Re: 最大最小問題 / マキ
こちらになります。
No.69048 - 2020/08/16(Sun) 21:07:06

Re: 最大最小問題 / X
問題文をもう一度読んでみて下さい。
zがx,yの関数である
という旨が書かれていますよね。

ということはzはx,yの値に対して定義されているわけですので
x,yの値を脇において置いて、zの値について場合分けする
という考え方自体が誤りということです。
それを踏まえてピンクのマーカーの内容を
もう一度ご覧下さい。

No.69049 - 2020/08/16(Sun) 21:25:00

Re: 最大最小問題 / マキ
なぜ、(2,3)がDに含まれないと、マーカーのようになるのですか?
No.69066 - 2020/08/17(Mon) 18:43:49

Re: 最大最小問題 / X
では点(2,3)もDに含まれる場合
z+13=(x-2)^2+(y-3)^2≧0
となることは理解できますか?

No.69069 - 2020/08/17(Mon) 20:20:15

Re: 最大最小問題 / マキ
はい、わかります。
No.69093 - 2020/08/18(Tue) 20:26:47

Re: 最大最小問題 / X
>>z+13=(x-2)^2+(y-3)^2≧0
から不等号の下の等号成立の条件である
(x,y)=(2,3)
を除いた場合が件のピンクのマーカーで
書かれている内容です。

No.69106 - 2020/08/19(Wed) 06:36:28
数列 / 赤
写真の問題で証明する式の等号について質問したいことがあります。
No.69036 - 2020/08/16(Sun) 15:37:23

Re: 数列 / 赤
これは先生に頂いた解答なのですが、赤線を引いた部分では等号が成り立っていません。問題文には等号がついており、この解答だと証明できていないようにも思えるのですが、不等号の問題では等号が成立していなくてもいいのでしょうか。
文章が分かりにくくて申し訳ありませんが、どなたか説明していただけないでしょうか。

No.69037 - 2020/08/16(Sun) 15:43:26

Re: 数列 / IT
a[1]=0 なので、問題文の(1) では 0≦a[n] とせず、0<a[n]と書くと間違いです。

一方、先生の証明途中の赤線部分ではa[k+1]=0となることはありませんので0<a[k+1] でOKです。
(0≦a[k+1] と書いても間違いではないですが、そのあとで、nが2以上のときa[n]≠0が意味を持つことがあるかもしれませんので、0<a[k+1] と書いたほうが良いと思います。)

No.69042 - 2020/08/16(Sun) 16:05:11

Re: 数列 / 赤
細かい説明ありがとうございます。
(3)については等号が成り立っていませんがそこは大丈夫なのでしょうか。

No.69062 - 2020/08/17(Mon) 15:04:45

Re: 数列 / IT
大丈夫です。
一般に a<b ならば a≦b ですから。

No.69065 - 2020/08/17(Mon) 18:43:16

Re: 数列 / 赤
くどくなってしまい申し訳ないのですが、確認させてください。
私はa≦bと書いてあると、a=bとなる場合が必ず存在するのだと思っていたのですが、a<bだとa=bは成り立たないことになりますよね。
a≦bというのは等号が成り立たない場合でも書いていいということでしょうか?

No.69074 - 2020/08/17(Mon) 22:57:45

Re: 数列 / IT
> a≦bというのは等号が成り立たない場合でも書いていいということでしょうか?

そうですね。
たとえば、2≦3 は正しい不等式です。

ただし、ある条件を満たす x の範囲を求めよ。などという問題では、ぴったりにする必要があります。

2<x<3が正解のとき 2≦x≦3 と書くと間違いです。

No.69076 - 2020/08/17(Mon) 23:28:34

Re: 数列 / 赤
とてもよく分かりました。何度も説明いただきありがとうございました。
No.69086 - 2020/08/18(Tue) 14:44:43

Re: 数列 / ヨッシー
写真の問題で
という質問に、解決したからと言って、写真を消されたら、
後で見返したときに、全く意味のない記事になってしまうので、
写真(画像)は消さないでください。

No.69132 - 2020/08/20(Thu) 09:12:52
(No Subject) / PUNK
z^2 + az + b = 0 について
a, b がともに実数であるとき、方程式の2つの解がともにRe(z) < 0を満たすための必要十分条件を求めよ

この問題の答えが
a > 0, b > 0
になっているのですが計算過程を教えてください

No.69033 - 2020/08/16(Sun) 14:48:45

Re: / IT
f(z)=z^2 + az + b とおく。

方程式の2つの解がともにRe(z) < 0のとき
(1) 2つの解が実数のとき
  2つの解の和=-a<0 かつ 2つの解の積=b>0
  → a>0かつb>0
(2) 2つの解が虚数のとき
  f(0)=b>0かつ 2つの解の実部 -a/2<0
  → a>0かつb>0
   
よって、a>0かつb>0 は必要条件。

逆にa>0かつb>0のとき
 f(z)=0が2つの実数解を持つとき
  2つの解の積=b>0、2つの解の和=-a<0
  ∴2つの解はともに負

 f(z)=0が2つの虚数解を持つとき
  2つの虚数解の実部は-a/2<0

No.69035 - 2020/08/16(Sun) 15:34:40

Re: / PUNK
とてもわかりやすい解説ありがとうございました
No.69043 - 2020/08/16(Sun) 16:15:24
(No Subject) / かさす
A=U^(1/3)×2Y^(1/3)×X^(-1/3) について、
Yで偏微分する時の途中式を教えていただきたいです。
偏微分の知識はあるのですが、分数が入ってきたらこんがらがってしまいました。。。

No.69032 - 2020/08/16(Sun) 14:26:47

Re: / ast
どれが独立変数でどれが函数なのか (函数の場合はどの独立変数が引数なのかも) 明示されないとまともにコメントはつかないと見ますが……
No.69058 - 2020/08/17(Mon) 09:31:59
積分 / さく
u(x,0)= ∫ [0 ∞]{C(y)sin(yx)}dy=δ(x-π)
∫ [0 ∞]{δ(x-a)f(x)}dx = f(a)
上式における
C(y)の求め方を教えてください。

No.69031 - 2020/08/16(Sun) 14:12:21
線形代数 / たお
どうしめせば良いのか方針がわかりません。
宜しくお願い致します。

No.69027 - 2020/08/16(Sun) 10:52:27

Re: 線形代数 / IT
1行目が零ベクトルの場合、そうでない場合 などと"地道に場合分け"して、
簡約行列の定義(満たすべき4つの性質)に基づいて、絞っていけばよいのでは。

No.69029 - 2020/08/16(Sun) 11:31:43
合同式(高1) / pineapple
17x -36y=1の整数解を全て求めよ.
合同式で解いていただきたいです

No.69025 - 2020/08/16(Sun) 09:18:38

Re: 合同式(高1) / WIZ
合同式で解くという意味が良く分かりませんが、
17x-36y ≡ -2y ≡ 1 (mod 17)
⇒ 2y ≡ -1 ≡ 16 (mod 17)
⇒ y ≡ 8 (mod 17)

よって、t を整数として、y = 17t+8 です。
17x-36(17t+8) = 1
⇒ 17(x-36t) = 1+36*8 = 289
⇒ x-36t = 17
⇒ x = 36t+17

No.69028 - 2020/08/16(Sun) 10:54:06
群論 / ブルー
G=GL(2,R)(一般線形群)の正規部分群H=SL(2,R)(特殊線形群)による剰余群G/Hについて。
(1)A∈Hを満たす元Aを求めよ。また、A∈Hであることを証明せよ。
(2)B∈GかつB/∈Hを満たす元Bを1つ求めよ。また、B∈GかつB/∈Hであることを証明せよ。
(3)積A~B~∈G/Hについて、A~B~=C~かつAB≠Cを満たすC∈Gを求めよ。また、A~B~=C~かつAB≠Cが成り立つことを証明せよ。

/∈は、∈の否定のことです。また、~はバーを表しています。
よろしくお願いいたします。

No.69018 - 2020/08/15(Sat) 21:52:19

Re: 群論 / ast
> また、~はバーを表しています。
記号を代用したことは伝わりますが, じゃあ本来の「バー」で何を表したかったのか, 記号じゃなくその記号が表す概念 (もっと言えば, A~ の A は何で, A~ と A はどんな関係なのか) を言わないと意味のない注釈になってしまいます.
本問では予想するに A~∈G/H は A∈G の属する同値類 (G/H の元で A∈G を代表元に取ることができるとき A~ と書いている) ということですよね? この想像が正しくない場合には以下は無意味になります.

((1),(2)は自明な例を挙げるだけなので割愛するとして,) 行列式をとることで与えられる全射準同型 det: G→R^×; A→|A| を考えれば, H が det の核になるのは明らかだから, G/H≅R^× の元は行列式の値だけで決まることに注意します. すると (3) は |A||B|=|C| かつ AB≠C なる C を訊かれていることにほかならないことがわかります.
(まあ, そんな面倒なことを一切考えずとも, このような C は AB に H に属する単位行列でない任意の元を掛ければ容易に作れることはすぐにわかるはずだとは思いますが……)

ただ, 問題文がなんだか奇妙というか座りが悪い感じに思うんですが, (1) は例を一つ挙げればいいのか, 求めよというからには全部を網羅しないといけないのか ((2)が一つ求めよとはっきり書いてることを思うと全部挙げないといけない気もするが, 逆に言えば例を挙げるだけのことでさえ「求め」ると表現する出題者ということなので, いまひとつ断定の根拠にできない), 判断に困りますね. また (3) の A,B は (1),(2) でとった A,B をそのまま使えという意味なのでしょうか……?
# 仮にそうでないとすると「〜を満たす組 A,B,C を求めよ」と書いてありそうなものですし.
# ただ, そうだとした場合も, A~ は G/H の単位元なので, 積の形で考える意味が全然ないんだよなあ…….
A,B が (1),(2) で挙げたものという意図なのであれば, やはり (1),(2) とも一例を挙げれば十分ということなのかもしれない (じゃないと, (1) で網羅した全部に対してそれぞれの C となる行列を答えないといけなくなる).
なんというか, 変な問題文で, それだけでもこれは悪問だと思います.

No.69030 - 2020/08/16(Sun) 13:53:36
数?A 対数不等式と領域の図示 / health-p
どうやったら青線の式が後の青線の式に変形できますか?教えてくださいお願いします。
No.69015 - 2020/08/15(Sat) 21:17:52

Re: 数?A 対数不等式と領域の図示 / mathmouth
左辺の2でない項を右辺に移項して辺々2で割っただけです。
No.69016 - 2020/08/15(Sat) 21:20:15

Re: 数?A 対数不等式と領域の図示 / health-p
ありがとうございます!
No.69041 - 2020/08/16(Sun) 16:02:03
確率 / aiko
この問題なのですが、

私は?@ と?Aのとこまでいって、最後の答えるとき、
1≦a≦nのとき ?@のこたえ
a≧n+1のとき?Aのこたえ 
みたいな感じで場合分けしてこたえました。

そしたら答えが、背反だから足す。
と言うのでびっくりしました。

これなんで足していいんですか?

No.69001 - 2020/08/15(Sat) 16:02:37

Re: 確率 / IT
> そしたら答えが、背反だから足す。
「背反」ではなくて、「排反」ですね。

> と言うのでびっくりしました。
>
> これなんで足していいんですか?


この場合に、確率を足していい理由は「確率の加法定理」で、これは確率の基本事項ですから、びっくりしたなら、たいへんです。
教科書でしっかり確認することをお勧めします。

高校数学Aの「場合の数と確率」の「排反」、「排反事象」、確率の基本性質「確率の加法定理」などをご覧ください。

No.69003 - 2020/08/15(Sat) 16:23:03
立体の計量 / Ran
立体の計量についての問題です。

⑵について、授業ではこのような板書をとったのですが、今考えてみると、球は半径4なので、ノート左上図は何か違う気がするし、展開図についてもよくわかりません。

また、まぁ図はいいとして、z=4cosθ/2 と求まったとして、そこからx軸で積分しているのですが、x=2θ という関係式がどこからきたのかもわからないです。だから置換積分もできなくて困ってます。


よろしくお願いします

No.69000 - 2020/08/15(Sat) 15:42:23

Re: 立体の計量 / mathmouth
私の勘違いかもしれませんが、問題と板書が対応していない気がします。別の問題とかではありませんか?
No.69005 - 2020/08/15(Sat) 17:12:20

Re: 立体の計量 / IT
>球は半径4なので、ノート左上図は何か違う気がするし、展開図についてもよくわかりません。

この問題の実際とはかなりずれがありますね。書き間違いかも知れませんし、思考途中のイメージ的な図ということかも。

また、サイズについて、先生は、半径を4に限らず、一般的な大きさの場合の図を描かれたのではないでしょうか?

ご自分で、より正しい図を描いてみられるといいとおもいます。

xy平面(z=0)に円柱Tの断面図(円R)を描いてみるといいかも知れません。

球の中心A(2,0,0)から円Rに沿って角θ行った点Bの直上での、
球面と円柱面とが交わる点Qのz座標hを求めます。

三角比(sin)の定義から、AB=2*2sin(θ/2)。

Qは、中心A半径4の球面S上の点なので、Aからの距離は4。
よって、AB^2+h^2=4^2
∴h^2=4^2-(4^2)(sin(θ/2))^2=(4cos(θ/2))^2
∴h=4cos(θ/2)

>x=2θ という関係式がどこからきたのかもわからないです。
半径2の円の中心角θに対応する円周 (弧)の長さは、2θです。

No.69011 - 2020/08/15(Sat) 20:42:58

Re: 立体の計量 / mathmouth
No.69005は無視してください。
本当にこちらの勘違いでした

No.69045 - 2020/08/16(Sun) 18:50:30

Re: 立体の計量 / Ran
お二方ともありがとうございました!
わかりました!

No.69079 - 2020/08/18(Tue) 00:22:49
わからないです… / みーさん
2の1/3乗が有理数を係数とする二次方程式の解にならないことを示せ

という問題です。全然わからないので、解説お願いします

No.68994 - 2020/08/15(Sat) 12:53:04

Re: わからないです… / mathmouth
もっと簡単な解き方があると思いますが、とりあえず無難な背理法での証明を紹介します。
最後はaについて平方完成するほうがいいですね。

No.68996 - 2020/08/15(Sat) 13:21:11

Re: わからないです… / YUKI
2^(1/3)が無理数であることは既知とします。

2^(1/3)が有理数を係数とする2次方程式x^2+ax+b=0
の解であるとする。x^3-2をx^2+ax+bで割ったときの
商をx+c,余りをpx+qとする。c,p,qは有理数。
x^3-2=(x^2+ax+b)(x+c)+px+q
x=2^(1/3)を代入すると0=p・2^(1/3)+q
p≠0とすると2^(1/3)=-q/pとなって2^(1/3)は有理数。
これは矛盾であるからp=0,q=0

x^3-2=(x^2+ax+b)(x+c)
x=-cを代入すると(-c)^3-2=0
従って-c=2^(1/3)となって2^(1/3)は有理数となり矛盾。

No.68997 - 2020/08/15(Sat) 13:22:27
公式を作りました。 / YUKI
公式を作りました。どうでしょうか?評価をお願いします。
No.68992 - 2020/08/15(Sat) 11:42:47

Re: 公式を作りました。 / らすかる
8年前に↓この問題で導出したことがありますが、
http://shochandas.xsrv.jp/question/question26.htm
それ以外に必要になったことはありませんので、
覚えておいても使う場面はまず出てこないのではないかと思います。
また、倍角の公式からすぐに導出できますので、
公式として覚える必要もないでしょうね。

No.68993 - 2020/08/15(Sat) 12:38:36

Re: 公式を作りました。 / YUKI
ありがとうございます!
No.68998 - 2020/08/15(Sat) 13:22:56
(No Subject) / Ran
この問題を見てください…。

⑵でmin{ a|p-2|/2 ……のところまではわかるのですが、最後に、p=√(1-r^2) cosθ と q=√(1-r^2) sinθ とおいて、そこから図示して最大値を求めているのですが…、ここがわかりません。
この図は何を意味して、r=1のとき最大といっていますが、r=0のときのほうが、r/√2とp qのグラフの差が大きいようにみえるのですが…。よろしくお願いします!

No.68986 - 2020/08/15(Sat) 10:50:04

Re: / IT
最後の質問への回答だけ、
> r=1のとき最大といっていますが、r=0のときのほうが、r/√2とp qのグラフの差が大きいようにみえるのですが…。

min{,} は、r=0のときは、低いほうのグラフの値kとr/√2(=0)との差kですから、r=1のときの1/√2 より小さいということのようです。

No.68987 - 2020/08/15(Sat) 11:14:07

Re: / Ran
なんとなくわかりました!
cosθ とsinθ また1-r^2って1以下なので、1/√2より小さいですよね!ありがとうございました!

No.68999 - 2020/08/15(Sat) 15:36:56

Re: / IT
> なんとなくわかりました!
> cosθ とsinθ また1-r^2って1以下なので、1/√2より小さいですよね!ありがとうございました!


(書き)まちがえていると思います。
|min{cosθ,sinθ}|≦1/√2 また |1-r^2|って1以下なので・・ ですね。

No.69004 - 2020/08/15(Sat) 16:44:13

Re: / Ran
うう(((

メンタル…。
教えてくれてありがとうございました!

No.69080 - 2020/08/18(Tue) 00:25:20
偏微分 / かさす
X=U^(1/3)×(2Py)^(1/3)×(Px)^(-1/3) について、
Pyで偏微分する時の途中式を教えていただきたいです。
偏微分の知識はあるのですが、分数が入ってきたらこんがらがってしまいました。。。

No.68985 - 2020/08/15(Sat) 10:41:11
三角関数の連立方程式 / じおらま
cos(a+b)+cos(a)sin(b)=0
cos(a+b)+sin(a)cos(b)=0
をa.bについて解け
タンジェントの式を作ってまとめようとしたのですが、うまくいきませんでした。これはどのように解きますか?よろしくお願いします。

No.68982 - 2020/08/15(Sat) 03:04:42

Re: 三角関数の連立方程式 / らすかる
a,bの範囲は指定されていないのですか?実数全体ですか?
No.68983 - 2020/08/15(Sat) 03:41:54

Re: 三角関数の連立方程式 / X
方針を。
cos(a+b)+cosasinb=0 (A)
cos(a+b)+sinacosb=0 (B)
とします。
(A)-(B)より
sin(b-a)=0
∴b-a=nπ (nは任意の整数)
となるので
b=a+nπ (C)
(C)を(A)又は(B)に代入してbを消去します。

こちらの計算ではa,bは綺麗な値にはなりません
でした。

No.68984 - 2020/08/15(Sat) 07:19:18

Re: 三角関数の連立方程式 / らすかる
もしa,bが実数全体ならば、以下のようになると思います。

2式の差をとると
sinacosb-cosasinb=0
sin(a-b)=0
a-b=nπ … (1)
2式を足すと
2cos(a+b)+sin(a+b)=0
(2/√5)cos(a+b)+(1/√5)sin(a+b)=0
sin(a+b+α)=0 (sinα=2/√5,cosα=1/√5)
a+b+α=mπ … (2)
(1)(2)から
a={(m+n)π-α}/2={(m+n)π-arccos(1/√5)}/2
b={(m-n)π-α}/2={(m-n)π-arccos(1/√5)}/2
(m,nは任意の整数)

No.68988 - 2020/08/15(Sat) 11:24:24

Re: 三角関数の連立方程式 / じおらま
すみません!範囲は0<a,b<2πです。
No.69002 - 2020/08/15(Sat) 16:19:20

Re: 三角関数の連立方程式 / らすかる
それならば
a={(m+n)π-α}/2
b={(m-n)π-α}/2
まで出た後、
0<a,b<2πから
0<(m+n)π-α<4π
0<(m-n)π-α<4π
0<α<π/2なので
1≦m+n≦4, 1≦m-n≦4
これより
(m,n)=(1,0),(2,-1),(2,0),(2,1),(3,-1),(3,0),(3,1),(4,0)
なので
(a,b)=((π-α)/2,(π-α)/2), ((π-α)/2,(3π-α)/2), ((2π-α)/2,(2π-α)/2),
((3π-α)/2,(π-α)/2), ((2π-α)/2,(4π-α)/2), ((3π-α)/2,(3π-α)/2),
((4π-α)/2,(2π-α)/2),((4π-α)/2,(4π-α)/2)
=
((π-arccos(1/√5))/2,(π-arccos(1/√5))/2), ((π-arccos(1/√5))/2,(3π-arccos(1/√5))/2),
((2π-arccos(1/√5))/2,(2π-arccos(1/√5))/2), ((3π-arccos(1/√5))/2,(π-arccos(1/√5))/2),
((2π-arccos(1/√5))/2,(4π-arccos(1/√5))/2), ((3π-arccos(1/√5))/2,(3π-arccos(1/√5))/2),
((4π-arccos(1/√5))/2,(2π-arccos(1/√5))/2), ((4π-arccos(1/√5))/2,(4π-arccos(1/√5))/2)

追記
arccos(1/√5)=arctan2を使って
(a,b)=((2π±π-arctan2)/2,(2π±π-arctan2)/2),
((3π±π-arctan2)/2,(3π±π-arctan2)/2) (いずれも複合任意)
とまとめると綺麗ですね。

No.69007 - 2020/08/15(Sat) 18:14:35
大学微分積分 / よしひこ
R²上のC²級関数U(x,y)とx=rcosθ、y=rsinθの合成関数を
V(r,θ)=U(rcosθ,rsinθ)とする。(x,y)≠(0,0)のとき、
 Vxx+Uyy=Vrr+(1/r)Vr+(1/r²)Vθθを示せ。

とっかかりが全く分からないのでヒントを頂けると嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

No.68975 - 2020/08/14(Fri) 16:00:04

Re: 大学微分積分 / X
条件から
V_r=(U_x)cosθ+(U_y)sinθ (A)
V_rr(U_xx)(cosθ)^2+(U_yy)(sinθ)^2 (B)
V_θ=-(U_x)rsinθ+(U_y)rcosθ (C)
V_θθ=(U_xx)(rsinθ)^2-(U_x)rcosθ+(U_yy)(rcosθ)^2-(U_y)rsinθ (D)
(A)(B)(D)から
(証明すべき等式の右辺)=…

No.68978 - 2020/08/14(Fri) 17:44:57

Re: 大学微分積分 / よしひこ
ありがとうございます!無事解けました。
No.68981 - 2020/08/15(Sat) 00:18:41
(No Subject) / のん
添付画像の(1)についてなのですが、「よって」の前に、「a,b,cは実数であるからa-b,b-c,c-aも実数になるので」と書く必要はないのでしょうか?()内がもし虚数だったら0より小さくなってしまうと思うのですが…。
No.68969 - 2020/08/14(Fri) 10:07:28

Re: / X
不等式の証明問題であるので
使われている変数は実数である
前提になっています。
ですので書く必要はないと思います。

No.68973 - 2020/08/14(Fri) 10:46:38

Re: / のん
ご返信ありがとうございます。前提が実数だから書く必要はないのですね。
お手を煩わせて申し訳ないのですが、さっき解いた問題の解答(画像を添付しました)には「実数であるから」と書いてあるのです…。何故でしょうか…
これも前提として使われている変数は実数なので、書く必要はないと言うことになりますよね。念押しするために一応書いてある、ということでしょうか?
ご回答いただけますと有り難いです。

No.68974 - 2020/08/14(Fri) 11:21:52

Re: / X
仰る通り、念押しで書いてあります。
No.68977 - 2020/08/14(Fri) 17:38:06

Re: / IT
まとめて「実数^2≧0 であるから」などと書いてもいいかも知れませんね。
No.68979 - 2020/08/14(Fri) 18:46:28

Re: / のん
お二人ともありがとうございます!確かに、まとめて書いた方がすっきりしていていいですね。
解答する際は、一応「実数^2≧0だから」と書いておくことにします!

No.68980 - 2020/08/14(Fri) 19:33:57
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