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★ 確率の問題です。 / ああ
解答よろしくお願いします
No.86794 - 2023/11/22(Wed) 22:16:03
★ 代数学 / まさひと
以下の問題を解説してください

よろしくお願いします
No.86793 - 2023/11/22(Wed) 18:49:13
★ 確率？ / えっとう
二つの事例があるとします。
1:サイコロを振ったとき、一回目に1が出るか確率と二回目に1が出る確率はそれぞれ独立している。
2:サイコロを振ったとき、一回目に1がでて、さらに、二回目も1がでる確率は独立していない。
これらがなりたつならば、確率って矛盾していますよね？
どちらも行っていることは同じなのに結論が違います。
真偽を理由とともに教えてください。
No.86778 - 2023/11/21(Tue) 20:27:34
☆ Re: 確率？ / X
2の文章が変です。
＞＞一回目に1がでて、さらに、二回目も1がでる
という事象は２つの事象ではなく、１つの事象です
ので、独立の対象がありません。
No.86780 - 2023/11/21(Tue) 21:15:40
☆ Re: 確率？ / えっとう
もう少し解釈してもらってもいいですか。
すみません。
No.86783 - 2023/11/21(Tue) 21:29:57
☆ Re: 確率？ / らすかる
独立と言えるためには少なくとも
「○の確率」と「□の確率」のように
2個以上の「確率」がなければなりません。
2は確率が一つしかありませんので、
これが「独立」というのは意味不明です。
「3は互いに素」などと言っているのと同様です。
No.86785 - 2023/11/21(Tue) 21:38:23
☆ Re: 確率？ / えっとう
ようするに、1はそれぞれ別のものとして捉えているから、それぞれ1/6の確率より独立、
2は、連続で、、、という意味で捉えているので、1/6*1/6により、1／36と一つ確率を差しているので独立も何も一つしか事柄がないということですか？
No.86787 - 2023/11/21(Tue) 22:36:18
☆ Re: 確率？ / らすかる
はい、そうです。
No.86790 - 2023/11/21(Tue) 22:54:55
☆ Re: 確率？ / X
2の文章が変です。
＞＞一回目に1がでて、さらに、二回目も1がでる
という事象は２つの事象ではなく、１つの事象です
ので、独立の対象がありません。
No.86780 - 2023/11/21(Tue) 21:15:40
☆ Re: 確率？ / えっとう
もう少し解釈してもらってもいいですか。
すみません。
No.86783 - 2023/11/21(Tue) 21:29:57
☆ Re: 確率？ / らすかる
独立と言えるためには少なくとも
「○の確率」と「□の確率」のように
2個以上の「確率」がなければなりません。
2は確率が一つしかありませんので、
これが「独立」というのは意味不明です。
「3は互いに素」などと言っているのと同様です。
No.86785 - 2023/11/21(Tue) 21:38:23
☆ Re: 確率？ / えっとう
ようするに、1はそれぞれ別のものとして捉えているから、それぞれ1/6の確率より独立、
2は、連続で、、、という意味で捉えているので、1/6*1/6により、1／36と一つ確率を差しているので独立も何も一つしか事柄がないということですか？
No.86787 - 2023/11/21(Tue) 22:36:18
☆ Re: 確率？ / らすかる
はい、そうです。
No.86790 - 2023/11/21(Tue) 22:54:55
★ 確率？ / えっとう
二つの事例があるとします。
1:サイコロを振ったとき、一回目に1が出るか確率と二回目に1が出る確率はそれぞれ独立している。
2:サイコロを振ったとき、一回目に1がでて、さらに、二回目も1がでる確率は独立していない。
これらがなりたつならば、確率って矛盾していますよね？
どちらも行っていることは同じなのに結論が違います。
真偽を理由とともに教えてください。
No.86778 - 2023/11/21(Tue) 20:27:34
☆ Re: 確率？ / X
2の文章が変です。
＞＞一回目に1がでて、さらに、二回目も1がでる
という事象は２つの事象ではなく、１つの事象です
ので、独立の対象がありません。
No.86780 - 2023/11/21(Tue) 21:15:40
☆ Re: 確率？ / えっとう
もう少し解釈してもらってもいいですか。
すみません。
No.86783 - 2023/11/21(Tue) 21:29:57
☆ Re: 確率？ / らすかる
独立と言えるためには少なくとも
「○の確率」と「□の確率」のように
2個以上の「確率」がなければなりません。
2は確率が一つしかありませんので、
これが「独立」というのは意味不明です。
「3は互いに素」などと言っているのと同様です。
No.86785 - 2023/11/21(Tue) 21:38:23
☆ Re: 確率？ / えっとう
ようするに、1はそれぞれ別のものとして捉えているから、それぞれ1/6の確率より独立、
2は、連続で、、、という意味で捉えているので、1/6*1/6により、1／36と一つ確率を差しているので独立も何も一つしか事柄がないということですか？
No.86787 - 2023/11/21(Tue) 22:36:18
☆ Re: 確率？ / らすかる
はい、そうです。
No.86790 - 2023/11/21(Tue) 22:54:55
☆ Re: 確率？ / X
2の文章が変です。
＞＞一回目に1がでて、さらに、二回目も1がでる
という事象は２つの事象ではなく、１つの事象です
ので、独立の対象がありません。
No.86780 - 2023/11/21(Tue) 21:15:40
☆ Re: 確率？ / えっとう
もう少し解釈してもらってもいいですか。
すみません。
No.86783 - 2023/11/21(Tue) 21:29:57
☆ Re: 確率？ / らすかる
独立と言えるためには少なくとも
「○の確率」と「□の確率」のように
2個以上の「確率」がなければなりません。
2は確率が一つしかありませんので、
これが「独立」というのは意味不明です。
「3は互いに素」などと言っているのと同様です。
No.86785 - 2023/11/21(Tue) 21:38:23
☆ Re: 確率？ / えっとう
ようするに、1はそれぞれ別のものとして捉えているから、それぞれ1/6の確率より独立、
2は、連続で、、、という意味で捉えているので、1/6*1/6により、1／36と一つ確率を差しているので独立も何も一つしか事柄がないということですか？
No.86787 - 2023/11/21(Tue) 22:36:18
☆ Re: 確率？ / らすかる
はい、そうです。
No.86790 - 2023/11/21(Tue) 22:54:55
★ 規則性 / えっとう
直角二等辺三角形を画像(下)のように敷き詰めていくとき、5枚ずつに赤色のしるしをつけるという問題です。m枚目の三角形が赤色だったとき、それが何枚目の赤色の三角形かは、m=5n-4をとくと表せます。
疑問1:では、m枚目の三角形が塗られていなかったときはそれが何枚目の塗られていない三角形かを式表すことはできますか？
疑問2:m枚目までに赤い三角形は何枚ありますか？
疑問3:m枚目までに、下の図の1枚目のときの向きで赤い三角形は何枚ありますか？
それぞれ式で表してください。不思議な質問ですみません。
No.86774 - 2023/11/21(Tue) 18:07:49
☆ Re: 規則性 / らすかる
疑問2の回答
m枚目が赤い三角形のとき、それは(m+4)/5枚目の赤い三角形なので
m枚目までにある赤い三角形は[(m+4)/5]枚（[ ]はガウス記号）

疑問1の回答
疑問2の回答より、m枚目が白い三角形のとき、それはm-[(m+4)/5]枚目の白い三角形

疑問3の回答
赤い三角形は5枚毎で、m枚目までにある赤い三角形は[(m+4)/5]枚だったので、
20枚毎にある三角形も同様に考えれば[(m+19)/20]枚
No.86782 - 2023/11/21(Tue) 21:28:59
☆ Re: 規則性 / えっとう
ガウス記号とはなんですか
No.86784 - 2023/11/21(Tue) 21:32:16
☆ Re: 規則性 / らすかる
[n]とは「n以下の最大の整数」という意味です。
[2.3]=2
[5]=5
[-0.1]=-1
など。
No.86786 - 2023/11/21(Tue) 21:39:30
☆ Re: 規則性 / えっとう
なぜ[-0.1]=-1なのですか。
上の流れから行くと切り捨てをしているということですよね。ならば0ではないですか？
No.86788 - 2023/11/21(Tue) 22:39:56
☆ Re: 規則性 / えっとう
−0.1以下であれば最大の整数はー1だからということですか？
No.86789 - 2023/11/21(Tue) 22:42:06
☆ Re: 規則性 / らすかる
はい、そうです。ガウス記号は単純な「小数点以下切り捨て」ではありません。ただし、今回の問題では負の値は出てきませんので、結果的に「小数点以下切り捨て」の意味になっています。
No.86791 - 2023/11/21(Tue) 22:56:54
★ (No Subject) / 増田
放物線y=x^2のうち-1≦x≦1を満たす部分をCとする。座標平面上の頂点Oと点A(1,0)を考える。点PがC上を動き、点Rが線分OA上を動くとき、↑OS＝2↑OP＋↑ORを満たす点Sが動く領域の面積を求めよ

解説お願いします。
No.86773 - 2023/11/21(Tue) 17:39:29
☆ Re: / X
条件から
P(t,t^2) (-1≦t≦1)
と置くことができるので
2↑OP=(2t,2t^2)
ここで
2t=u
と置くと
-2≦u≦2
で
2↑OP=(u,(1/2)u^2)
∴点Sの存在する範囲は
y=(1/2)x^2 (-2≦x≦2)
なる曲線C'をx軸方向に1だけ平行移動させるときに
C'が通過する領域となります。
ここで条件から、その領域が直線
x=1/2
に関して対称であることから
1/2≦x≦1+2=3
に対する領域を考えると、それは
(1/2)(x-1)^2≦y≦(1/2)x^2≦2
かつ
0≦y
∴求める面積をWとすると
W=2{∫[1/2→1]{(1/2)x^2}dx+∫[1→2]{(1/2)x^2-(1/2)(x-1)^2}dx
+∫[2→3]{2-(1/2)(x-1)^2}dx}
=∫[1/2→1](x^2)dx+∫[1→2]{x^2-(x-1)^2}dx+∫[2→3]{4-(x-1)^2}dx
=∫[1/2→2](x^2)dx-∫[1→3]{(x-1)^2}dx+4
=8/3-(1/3)(1/8)-(1/3)・2^3+4
=4-1/24
=95/24
No.86775 - 2023/11/21(Tue) 18:27:43
☆ Re: / X
＞＞増田さんへ
ごめんなさい。No.86775において、誤りがありましたので
修正しました。
再度ご覧下さい。
No.86779 - 2023/11/21(Tue) 21:11:03
★ (No Subject) / 増田
xを実数とする、この時、実数全体からなる集合の二つの部分集合P(x)={y|t^2+xt+|y|=0を満たす実数tが存在する}、Q(x)={y|すべての実数tに対してxt^2+yt+1>0が成り立つ}を考える。P(x)
⊂Q(x)が成り立つためのxに関する必要十分条件を求めよ

解説お願いします。
No.86772 - 2023/11/21(Tue) 16:58:11
☆ Re: / X
tの二次方程式
t^2+xt+|y|=0
の解の判別式をD[1]とすると
D[1]=x^2-4|y|
∴P(x)={y|x^2-4|y|≧0}
={y||y|≦(1/4)x^2} (A)
一方、tの二次方程式
xt^2+yt+1=0 (x≠0)
の解の判別式をD[2]とすると
D[2]=y^2-4x
∴Q(x)={y|x＞0かつy^2-4x＞0}
={y|0＜x＜(1/4)y^2}

ここで
|y|=(1/4)x^2
x=(1/4)y^2
をx,yの連立方程式として解いたときの
解のうち、x,yいずれも実数となるものは
(x,y)=(0,0),(4,4),(4,-4)
この３個が(A)(B)の境界線の交点になることに注意して
P(x),Q(x)が満たす領域を図示することにより
求める必要十分条件は
2√|y|≦x＜(1/4)y^2＜4
No.86777 - 2023/11/21(Tue) 19:18:59
☆ Re: / WIZ
>Xさん

任意の実数tでxt^2+yt+1 > 0が成立する条件を求めるのだから、
x, yは実数係数でx ≠ 0とし、tを変数とする放物線xt^2+yt+1が下に凸、
つまりx > 0は良いとして、

放物線全体がt軸の上部にあること、つまりt軸と交わらないのだから、
xt^2+yt+1 = 0となる実数解tは存在しないこと、つまり判別式は負でなくてはならない。
よって、y^2-4x > 0ではなく、y^2-4x < 0であることが必要です。

尚、Q(0) = {0}となると思いますので、
「Q(x) = {y|((0 < x)∧(|y| < 2√x))∨(y = 0)} (B)」となると思います。

P(x) = {y||y| ≦ (1/4)x^2} (A)から、|y| ≦ (1/4)x^2という条件が
|y| < 2√xという条件に含まれるようになるxの条件は
(1/4)x^2 < 2√x
⇒ (x^2)^2 < (8√x)^2
⇒ x^4-64x = x(x-4)(x^2+4x+16) < 0

x^2+4x+16 = (x+2)^2+12 > 0なので、上記不等式が成立するのは0 < x < 4となると思います。
上記は0 < xというQ(x)の条件も満たしています。

また、P(0) = {0}となると思いますが、等しい集合でも含まれると定義されている、
つまり{0}⊂{0}と言えるようなので、x = 0でも題意が成立します。

以上から求めるxの条件は0 ≦ x < 4となります。
No.86781 - 2023/11/21(Tue) 21:23:08
☆ Re: / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞増田さんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
Q(x)での解の判別式の符号を間違えた上に
P(x),Q(x)に対応する領域を下書きで間違えて
図示していたようです。

私の回答は無視して下さい。
No.86792 - 2023/11/22(Wed) 17:59:50
★ (No Subject) / 増田
原点中心半径1の円の周及び内部をK,4≦x≦6,-1≦y≦1によって表される正方形の周及び内部をSとする。K上を点PがS上をQが動く時PQの中点が動いてできる図形を図示せよ

解説お願いします
No.86770 - 2023/11/20(Mon) 14:02:19
☆ Re: / らすかる
原点をOとします。
Qが(4,1)のときOQの中点は(2,1/2)なので
PQの中点が動いてできる図形は中心(2,1/2)半径1/2の円
Qが(6,1)のときOQの中点は(3,1/2)なので
PQの中点が動いてできる図形は中心(3,1/2)半径1/2の円
図形がx軸に関して対称なので、Qが(4,-1)と(6,-1)のときは
中心(2,-1/2)半径1/2の円と中心(3,-1/2)半径1/2の円
Qが直線上を移動するとき、軌跡も直線的に移動するので、
求める図形は
(a) 中心(2,1/2)半径1/2の円
(b) 中心(3,1/2)半径1/2の円
(c) 中心(2,-1/2)半径1/2の円
(d) 中心(3,-1/2)半径1/2の円
(e) 直線x=3/2と(a)の円と(c)の円で囲まれる部分
(f) 直線x=7/2と(b)の円と(d)の円で囲まれる部分
(g) 直線y=1と(a)の円と(b)の円で囲まれる部分
(h) 直線y=-1と(c)の円と(d)の円で囲まれる部分
(i) (a)(b)(c)(d)の4円で囲まれる部分
をすべて合わせた領域（つまり角が丸まった正方形））
一つの式で表すと
(2x-5-|x-2|+|x-3|)^2+(2y-|y+1/2|+|y-1/2|)^2≦1
No.86771 - 2023/11/21(Tue) 01:36:14
★ 確率の独立に関して / tanaka
４つの事象a, b, c, dがあります。aとbが独立、bとcが独立、cとdが独立であるとき、aとdは独立になるでしょうか？
No.86767 - 2023/11/20(Mon) 08:36:45
☆ Re: 確率の独立に関して / らすかる
なりません。3つの独立な事象a,b,cをもってきてa=dとすれば反例になります。
No.86769 - 2023/11/20(Mon) 11:51:56
★ (No Subject) / 吉田
確率の問題を解説していただきたいです。
a,b,c,d ４つの部屋があります。
aから外に出る確率は1/3、aからbに移る確率は1/3、aからcに移る確率は1/3
bからcに移る確率は1/3、bからaに移る確率は2/3
cからdに移る確率は2/3、cからaに移る確率は1/3
dから外に出る確率は1/3、dからbに移る確率は1/3、dからcに移る確率は1/3

となっています。
スタート地点はaであり、移動回数に制限はありません。dから外に出る確率はいくつになりますでしょうか？

どうぞよろしくお願いいたします。
No.86764 - 2023/11/19(Sun) 22:23:23
☆ Re: / らすかる
bかcに移った後、いずれaかdのどちらかに移ります。
回数は関係ありませんので、まずb,cにいる時に
その後aに移る確率とdに移る確率を求めます。
cにいる時はaに移る確率が1/3、dに移る確率が2/3です。
bにいる時はdに移る確率が(1/3)×(2/3)=2/9なのでaに移る確率は1-2/9=7/9
a,dから外に出なかった場合、bかcに移りますのでいずれ
aかdに移ります。そこでa,dからa,dに移る確率をそれぞれ求めます。
aからaに移る確率は(1/3)×(7/9)+(1/3)×(1/3)=10/27
aからdに移る確率は(1/3)×(2/9)+(1/3)×(2/3)=8/27
dからaに移る確率は(1/3)×(7/9)+(1/3)×(1/3)=10/27
dからdに移る確率は(1/3)×(2/9)+(1/3)×(2/3)=8/27
b,cの通過は無視してaかdにいる時だけを考え、
n回の移動でaにいる確率をp[n]、dにいる確率をq[n]とすると
p[0]=1, q[0]=0
p[n+1]=(10/27)(p[n]+q[n])
q[n+1]=(8/27)(p[n]+q[n])
これよりp[n]+q[n]=(2/3)^nとなるので
q[n+1]=(8/27)(2/3)^n
従ってdから外に出る確率は
(1/3)Σ[k=0〜∞](8/27)(2/3)^k=8/27
# これはq[0]の分を足していませんが、q[0]=0なのでOKです。
# aから外に出る確率を同様の計算で求める場合はp[0]の分を
# 考慮しなければなりませんので、
# (1/3){1+Σ[k=0〜∞](10/27)(2/3)^k}=19/27
# という計算になります。
No.86766 - 2023/11/20(Mon) 02:23:00
★ (No Subject) / 吉田
y > 0, -1 <= cosx <= 1について
4(cosx)^2 + 4√10 * cosx * y + 4y^2 + 6 の最小値を求めよ。
という問題で、
[1]cosx を定数とみて予選決勝法をする場合
[2]y を定数とみて予選決勝法をする場合
の二つの解法で最小値を求めていただけませんか？

No.86763 - 2023/11/19(Sun) 21:30:50
★ 数３微分 / 6
lim（1＋h）＾1/h＝e
この両辺対数をとっても良いですか？理由も併せてお聞きしたいです
No.86750 - 2023/11/19(Sun) 17:16:45
★ 極限と対数について / 6
lim（1＋h）＾1/h＝e
この両辺対数をとっても良いですか？理由も併せてお聞きしたいです
No.86748 - 2023/11/19(Sun) 17:15:18
☆ Re: 極限と対数について / らすかる
a=b＞0であればlog(a)=log(b)は成り立ちますので、
極限の式かどうかにかかわらず（式の値は正なので）対数はとれます。つまり
log(lim[h→0](1+h)^(1/h))=log(e)
は成り立ちます。
No.86754 - 2023/11/19(Sun) 19:16:52
☆ Re: 極限と対数について / IT
lim[h→0]log((1+h)^(1/h))=log(lim[h→0](1+h)^(1/h))＝log(e)　としていいか？　という質問でしょうか？
No.86760 - 2023/11/19(Sun) 20:32:38
★ 中3図形 / てな
答えは28度なのですが、解説をお願いしたいです。よろしくお願いします。
No.86743 - 2023/11/19(Sun) 13:56:27
☆ Re: 中3図形 / X
まず
△ABD∽△ABC (P)
であることを証明します。
証明)
条件から
AB:BD=6:4=3:2
BC:AB=9:6=3:2
ですので
AB:BD=BC:AB (A)
一方
∠ABD=∠ABC (B)
(A)(B)より、２辺の比と、それを挟む角が等しいので
△ABD∽△ABC
(証明終わり)

(P)を使って、対応する角を考えてみましょう。
No.86747 - 2023/11/19(Sun) 16:38:36
☆ Re: 中3図形 / てな
ありがとうございます！
よく理解できました！
No.86752 - 2023/11/19(Sun) 18:14:28
★ 数学中3 / そら
解いてくださいませんか？
No.86742 - 2023/11/19(Sun) 13:30:33
☆ Re: 数学中3 / X
(1)
○1,○2をx,yについての連立方程式として解くと
(x,y)=(2,8),(-1,2)
となるので
A(-1,2),B(2,8)

(2)
直線○2とy軸との交点をDとすると、条件から
点Cは線分ODの中点となります、
ここで条件から
D(0,4)
よって
C(0,2)

(3)
これは(2)で使っている方針がヒントになっています。
(2)の場合はODの中点の座標としてCを求めていますが
今度は点Oが点Dに対して、線分の中点となるように、
y軸上の点の座標を求めれば、点P,Qのうちの
片方の座標は求められます。
ではもう片方のy軸上の点の座標はどう求めればよいか？
そのことを頭の片隅において、以下の方針を
ご覧下さい。

(2)の過程から、
点Qは
切片が4-4×2=-4(これが点Oを中点とする場合です)
である傾き2の直線(これを(M)とします)
とx軸との交点

であり、点Pは
切片が4+4×2=12
である傾き2の直線(これを(L)とします)
とx軸との交点
となります。

ここで直線(L)の方程式は
y=2x+12
ゆえ、点Pのx座標について
2x+12=0
これより
x=-6
なので、P(-6,0)

一方、直線(M)の方程式は
y=2x-4
ゆえ、点Qのx座標について
2x-4=0
これより
x=2
なので、Q(2,0)

(4)
(1)(3)の結果から点Qは点Bからx軸に下した
垂線の足になっていることに注意して、
求める体積をVとすると
V=(1/3)(πBQ^2)×PQ
=(1/3)π×(8^2)×{2-(-6)}
=512π/3
No.86745 - 2023/11/19(Sun) 16:21:50
☆ Re: 数学中3 / WIZ
>Xさん

(2)は△CABの面積が△OABの面積の2倍だから、
OD = 4に対して、DC = 4*2 = 8となるy > 0である点がCです。
よって、C(12, 0)となると思います。

(3)は精査していませんが、点Pと点Qをx軸上の点として計算されていますが、
問題文では放物線上の点となっているため、
P(-6, 0)とQ(2, 0)は間違っていると思います。

方針としては、点Cを通り直線〇2と平行な直線を〇3とすると、
この〇3と放物線〇2の交点がPとQとなると思うので、
〇3: y = 2x+12から、P(3, 18), Q(-2, 8)となるのではないかと思います。
# (2)は上記の直線のy切片を求める為の誘導ですね。

(4)も精査していませんが、(3)の結果を前提としているので違うと思います。

# もし私の勘違いだったらごめんなさい!
No.86751 - 2023/11/19(Sun) 18:05:46
☆ Re: 数学中3 / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞そらさんへ
ごめんなさい。(2)(3)については、WIZさんの仰る通り
問題文の読み間違いです。
(2)(3)の方針については、WIZさんのそれで
問題ないと思います。
No.86758 - 2023/11/19(Sun) 19:34:37
☆ Re: 数学中3 / X
(4)については改めて回答を。

(4)
点Pからy軸に下した垂線の足をH、
直線BQとy軸との交点をIとして

点Oを頂点とし、点Hを底面の中心、
PHを底面の半径とする円錐の体積をP、

点Oを頂点とし、点Iを底面の中心、
BIを底面の半径とする円錐の体積をQ、

点Cを頂点とし、点Hを底面の中心、
PHを底面の半径とする円錐の体積をR、

求める体積をVとすると

V=P-Q-R
=(1/3)(πPH^2)×OH-(1/3)(πBI^2)×OI-(1/3)(πPH^2)×CH
=(1/3)π×(3^2)×18-(1/3)π×(2^2)×8-(1/3)π×(3^2)×(18-12)
=(1/3)π×9×12-(1/3)π×4×8
=76π/3
No.86759 - 2023/11/19(Sun) 20:05:11
★ グラフの問題 / hj
グラフの定義域と値域、切片を求める。

また、X軸、Y軸、または原点に関する対称性を見つける。

答えは、
定義域 (−𝜋, 𝜋)
値域　(-1, 1)
(0,0)→y切片 0
(−𝜋,0), (−𝜋/2,0), (𝜋/2,0), (𝜋,0)→x切片 −𝜋, −𝜋/2, 0, 𝜋/2, 𝜋

グラフは原点とX軸に対して対称である。

でいいですか？
No.86740 - 2023/11/19(Sun) 07:00:47
☆ Re: グラフの問題 / らすかる
「x軸に関して対称」とは「x軸で折ると上下のグラフがピッタリ重なる」という意味ですから、「x軸に関して対称」ではありません。
No.86741 - 2023/11/19(Sun) 13:02:57
☆ Re: グラフの問題 / hj
返信ありがとうございます。
yに対して対称でしょうか？
もしよろしければ、答えをご教授していただきたいです。
No.86744 - 2023/11/19(Sun) 15:06:04
☆ Re: グラフの問題 / らすかる
「y軸に関して対称」は「y軸で折ると左右のグラフがピッタリ重なる」という意味ですから、「y軸に関して対称」でもありません。原点に関して180°回転して元のグラフと同じになれば「原点に関して対称」ですから、このグラフは「原点に関して対称」だけ成り立ちます。
No.86755 - 2023/11/19(Sun) 19:19:24
★ (No Subject) / ありす
y=x^3-xを考える。座標平面上の任意の点Pについて、この曲線と相異なる交点を3つもつような点Pを通る直線Lが存在することを示せ。
という問題なのですが、

https://math.nakaken88.com/problem/tokyo-u-r-2022-4/
ここにあるように、結論としてはP(a, b)として直線Lの傾きをkとおけば、kを十分大きく取ったときに成立する
というような感じなんですが、これはつまりk→∞ということはLはx=aの直線ということですよね？この直線がy=x^3-xと交点を3つもつ気がしないのですが、どういう事なのでしょうか？
No.86734 - 2023/11/18(Sat) 18:13:29
☆ Re: / IT
kを十分大きく取ったときに成立する
のkは有限な値です。　
Pの位置によって１かも知れませんし1000かも知れませんが。
No.86735 - 2023/11/18(Sat) 18:37:21
☆ Re: / ありす
kが仮に有限値だったとしても、Pは任意の点だからa, b が十分大きいときはｋ->∞でとらないとだめじゃないですか？
あと、(10, -10)とかでも相異なる三点で交わるようなｋが思いつかないんですけど。。。どんな値になりますか？
No.86736 - 2023/11/19(Sun) 00:35:24
☆ Re: / らすかる
Pが(10,-10)の場合は、例えば直線Lをy=799x-8000とすれば
(-10-10√5,-15990-7990√5)
(-10+10√5,-15990+7990√5)
(20,7980)
の3点で交わりますね。

> Pは任意の点だからa, b が十分大きいときはｋ->∞でとらないとだめじゃないですか？
kはa,bの値に依存してとればよい値ですから、k→∞と考えるのは正しくありません。つまり「任意のa,bに対して成り立つkを考える」のではなく、「どんなa,bをとってもそれに対してあるkをとれば条件を満たす」という考え方です。
上記の例の(10,-10)の場合はkを799やもっと大きい定数にすれば3点で交わりますので、「∞」にする必要はありません。
No.86737 - 2023/11/19(Sun) 00:56:40
☆ Re: / ありす
なるほど、、、
では(a,b) = (∞、∞)というような点PだとどんなKを取ればいいんでしょうか？
No.86753 - 2023/11/19(Sun) 18:58:11
☆ Re: / らすかる
∞という数はありませんので、そのような点Pはとれません。
つまり、「座標平面上の任意の点P」に(∞,∞)のようなものは含まれません。
No.86756 - 2023/11/19(Sun) 19:20:17
☆ Re: / ありす
ある実数aに対して、aよりも大きいa'は実数になりますから、a'についても成立することを示さないといけませんよね？
任意の点P(a, b)についてということは、P'(a', b') (a < a', b < b') となるような点P'についても成り立つことを言わなければいけなくて、という事を繰り返していけば（∞、∞）を実質的に考えなければならない事になりませんか？
No.86762 - 2023/11/19(Sun) 21:27:59
☆ Re: / らすかる
なりません。「任意の大きな数」と「∞」は意味が全く異なります。おそらく具体的にkをaとbの式で表せると思いますので、それで証明は終わります。
No.86765 - 2023/11/19(Sun) 22:55:09
★ 反比例 / えっとう
比例は比例定数、二乗に比例する関数なら(p<x<q)のときは(p+q)aで変化の割合がもとめられますが、反比例、二次関数、三次関数、ではそのような公式は存在するのですか。もしぞんざいするなら、その式にいたるまでの過程も教えてください。お願いします。
No.86724 - 2023/11/15(Wed) 20:43:39
☆ Re: 反比例 / ヨッシー
１次関数：ｙ＝ａｘ＋ｂ
　２点(p, ap+b), (q, aq+b) の変化の割合
　{(aq+b)−(ap+b)}/(q-p)＝ａ
　比例の場合も含みます。
２次関数：ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ
　２点(p, ap^2+bp+c), (q, aq^2+bq+c) の変化の割合
　{(aq^2+bq+c)−(ap^2+bp+c)}/(q-p)＝ａ(p+q)＋b
　２乗に比例の場合はｂ＝ｃ＝０とする。
３次関数：ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
　２点(p, ap^^3+bp^2+cx+d), (q, aq^3+bq^2+cq+d) の変化の割合
　{(aq^3+bq^2+cq+d)−(ap^^3+bp^2+cx+d)}/(q-p)＝ａ(p^2+pq+q^2)＋b(p+q)+c
　q^3−p^3＝(q-p)(q^2+pq+p^2) を利用
反比例：ｙ＝ａ／ｘ
　２点(p, a/p), (q, a/q) の変化の割合
　(a/q−a/p)/(q-p)＝-a/pq

ちなみに、それぞれにおいて、q を p に近づけていった結果
３次関数の場合だと　ａ(p^2+pp+p^2)＋b(p+p)+c＝3ap^2＋2bp＋c
を、ｘ＝ｐにおける微分係数と言います。
No.86729 - 2023/11/16(Thu) 09:33:49
★ 円周上の点と直線の最長、最短距離について / あかあお
円周と直線(問題でいうPQ)の最小値についてですが、赤枠に書かれている条件を満たすときに距離が最小値となるのは当然のことだと思いますが、もしよろしければ、赤枠のことを理論的な説明？
や証明をおねがいします。
「この直線を円と接するように平行移動したら、確かに成り立つ」や「補助線や垂線を引っ張ってみると明らかにそう」などというのは思いついたのですが、これらは全て「視覚的にそうだよね」と示しているだけだと思います。僕的には三平方や三角比、ベクトルなどを使って数値や式的に成り立つことを示したいと思ったのですが、どうやれば示せるかわかりませんでした
No.86721 - 2023/11/15(Wed) 10:45:01
☆ Re: 円周上の点と直線の最長、最短距離について / ヨッシー
「この直線を円と接するように平行移動したら」からでも、ちゃんとした証明になると思いますけど。

直線Ｌと円Ｃ1 は最初は離れているものとする。
直線Ｌを円Ｃ1に接するまで平行移動したときの直線をＭ、接点をＱ、
ＬとＭの間隔をｄとします。
ＱからＭまでの距離は０であるので、ＱからＬまでの距離（＝ＰＱ）はｄであるが、
円Ｃ1上のＱ以外の点ＳとＭは離れており、その距離をｅ（＞０）とすると、
ＳからＬまでの距離はｄ＋ｅ（＞ｄ＝ＰＱ）　となり、
Ｑが直線Ｌから最も近い点と言える。
No.86723 - 2023/11/15(Wed) 14:28:33
★ ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
一辺が10mの正方形の部屋の中に、n人の人間がいる。
このn人が、互いにできる限り距離をとろうとしているとき、
n人の最善の配置を考え、その距離を答えなさい。

n=2,3,4までは簡単なのですが、5以上がさっぱりです。
No.86718 - 2023/11/14(Tue) 22:15:37
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / IT
最善の配置 かどうかは、どうやって評価するのですか？
最短距離が最大とか？

n=5 のときは、一辺が5mの正方形４つに分割して考えれば良いのでは？
No.86719 - 2023/11/14(Tue) 22:25:17
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
n=3はどうなりましたか？
No.86720 - 2023/11/15(Wed) 00:41:26
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
> 最善の配置 かどうかは、どうやって評価するのですか？
> 最短距離が最大とか？
>
> n=5 のときは、一辺が5mの正方形４つに分割して考えれば良いのでは？
「最善の配置」は、おっしゃる通り、人間同士の距離の最短距離の最大値で考えています。
No.86725 - 2023/11/15(Wed) 22:20:27
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
> n=3はどうなりましたか？

n=3のときは、正方形をO(0,0),A(10,0),B(10,10),C(0,10)としたとき、1人をOに固定し、後の2人をAB上とBC上に置き、正三角形ができる配置を最大と考えました。
No.86726 - 2023/11/15(Wed) 22:23:19
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
回答ありがとうございます。
で、n=5の場合はITさんのヒントでわかりましたか？
No.86727 - 2023/11/15(Wed) 22:56:01
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
わかりました。
(0,0),(10,0),(10,10),(0,10),(5,5)に
配置すればいいんですね。
n=6以上が難しそうですね。

一般化なんて夢のまた夢です
No.86730 - 2023/11/16(Thu) 19:26:44
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
n=6の場合は
(0,0),(10,0),(5,10/3),(0,20/3),(10,20/3),(5,10)
のように配置するのが良いようです。
n=20ぐらいまでの解はわかりますが、一般化は無理だと思います。
No.86731 - 2023/11/16(Thu) 21:27:41
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
n=6のときは、n=3のときの正三角形の各辺から垂直二等分線を引いて、それと外郭の正方形との交点が最適な位置になると思っていましたが、違いますか？

n=20まですぐ出るなんて。すごいです。
何かコツがありますか？
No.86732 - 2023/11/18(Sat) 00:03:48
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
> n=6のときは、n=3のときの正三角形の各辺から垂直二等分線を引いて、それと外郭の正方形との交点が最適な位置になると思っていましたが、違いますか？
違います。それだと最短距離が5(√6-√2)≒5.176になりますよね。
私が書いた座標にすると最短距離が5√13/3≒6.009となり、より長くなります。

> 何かコツがありますか？
いろいろネット検索して正解を見つけるのがコツです。
No.86733 - 2023/11/18(Sat) 01:32:30
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
＞いろいろネット検索して正解を見つけるのがコツです。
ネットに同じような問題があるんですか？
私も検索はしてみたんですが、見つからず、知りませんでした。
どんなワードで検索されたんですか？
No.86757 - 2023/11/19(Sun) 19:33:50
☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
「点を配置する」ものがあるかどうかはわかりませんが、正方形を大きくすれば
「円を正方形に詰め込む」問題と同様になります。
「詰め込み」はpacking、「円」はcircle、「正方形」はsquareなので
例えば「packing circle in square」のように検索すると
↓このページが見つかります。
https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_square
ここにn=20までの図があり、表のdnの値を10倍したものが
今回の問題の答えになります。
この図を見るとわかるように、例えばn=10などは一見きれいに見える図ですが
上の2個と右の3個を除いたサイコロの目のような配置の5個は上の2個のy座標が微妙に
異なるなど、かなり複雑な配置になっています。（n=10のdnの値は
18次方程式の解らしいです。）ここらへんが「一般化は無理」と思う理由です。
No.86761 - 2023/11/19(Sun) 20:36:10
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