関数f(x)は、?@0≦x<1のとき、f(x)=x^3,?A任意の実数xに対してf(x+1)=f(x)+3x^2+3xを満たしている。
f(x)+f(-x)を求めよ。
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No.87204 - 2024/01/14(Sun) 23:34:09
| ☆ Re: / 板 | | | No.87205 - 2024/01/14(Sun) 23:34:59 |
| ☆ Re: / WIZ | | | べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
0 ≦ x < 1に対して、f(x) = x^3・・・(1)
任意の実数xに対して、f(x+1) = f(x)+3x^2+3x・・・(2)
と解釈して回答します。
(2)より、
f(x+1)+(x^3+1) = f(x)+3x^2+3x+(x^3+1) = f(x)+(x+1)^3
⇒ {f(x+1)-(x+1)^3}+1 = {f(x)-x^3}
g(x) = f(x)-x^3とおくと、
g(x+1)+1 = g(x)・・・(3)
(1)より、0 ≦ x < 1ならばg(x) = 0となりますので、
(3)より、1 ≦ x+1 < 2で、g(x+1) = -1となります。
また(3)でxをx-1で置き換えると、
g(x)+1 = g(x-1)
⇒ g(x-1)-1 = g(x)・・・(4)
(1)より、0 ≦ x < 1ならばg(x) = 0となりますので、
(4)より、-1 ≦ x-1 < 0で、g(x-1) = 1となります。
以上を繰り返し適用することで、kを整数、0 ≦ x < 1としてg(x+k) = -kと言えます。
ガウスの記号を使えば、g(x+k) = -[x+k]です。
yを任意の実数とし、yを超えない最大の整数をk、y-k = xとすると、0 ≦ x < 1となります。
y = x+kより、[y] = kです。
また、x = 0ならば[-y] = -k, 0 < x < 1ならば[-y] = -k-1です。
よって、
f(y) = g(y)+y^3 = y^3-[y]
⇒ f(y)+f(-y) = {y^3-[y]}+{(-y)^3-[-y]} = -[y]-[-y]
となります。
以上から、
yが整数ならばf(y)+f(-y) = -y-(-y) = 0
yが整数でないならばf(y)+f(-y) = -y-(-y-1) = 1
となります。
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No.87206 - 2024/01/15(Mon) 01:50:16 |
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