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★ 定積分の関数決定 / クオーター
f(x)=ax^2+bx+1とする。任意の一次関数g(x)に対して、常に?吐(x)g(x)=0(区間0から1)が成り立つ時、定数a,bの値を求めよ。
~~~~
自分はg(x)=cx+d(c≠0)とおいて、積分しました。
aとbの関係式までしか求められませんでした。ご教授お願いします。
No.69382 - 2020/09/06(Sun) 13:54:20
☆ Re: 定積分の関数決定 / ＣＯＲＮＯ
>任意の一次関数g(x)に対して、
ということは，
>g(x)=cx+d(c≠0)と
おいた式のｃとｄがどんな値であっても，ということです．
つまり考えるべきは「恒等式」です．

このヒントでまだわからないのであれば，
>aとbの関係式までしか求められませんでした。
その関係式を書き込んだ上でレスしてください．
No.69385 - 2020/09/06(Sun) 14:16:12
☆ Re: 定積分の関数決定 / クオーター
a+b=-1つまり、b=-a-1となりました。
No.69389 - 2020/09/06(Sun) 14:28:17
☆ Re: 定積分の関数決定 / ＣＯＲＮＯ
どうも違うようですね．

次の式を書き込んでください．
１．ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)を展開した式．
２．ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)を積分した式．
３．ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)を定積分した結果の式．
No.69390 - 2020/09/06(Sun) 14:47:19
☆ Re: 定積分の関数決定 / クオーター
あ、、、間違っていました。
1. acx^3+(ad+bc)x^2+(bd+c)x+d
2. ac/4•x^4+ad+bc/3•x^3+bd+c/2•x^2+dx
3. ac/4+ad+bc/3+bd+c/2+d となりました。
No.69392 - 2020/09/06(Sun) 15:03:03
☆ Re: 定積分の関数決定 / ＣＯＲＮＯ
すると，
　　ａｃ/４＋(ａｄ＋ｂｃ)/３＋(ｂｄ＋ｃ)/２＋ｄ＝０　　←かっこを使いましょう
となり，両辺に１２をかけて，
　　３ａｃ＋４(ａｄ＋ｂｃ)＋６(ｂｄ＋ｃ)＋１２ｄ＝０
これをｃ，ｄで整理して，
　　(３ａ＋４ｂ＋６)ｃ＋(４ａ＋６ｂ＋１２)ｄ＝０
繰り返しますが，この式がどのようなｃとｄの値に対しても成り立つようにするので，
ｃとｄについての恒等式となるようにａ，ｂの値を定めます．
No.69393 - 2020/09/06(Sun) 15:11:16
☆ Re: 定積分の関数決定 / クオーター
(３ａ＋４ｂ＋６)ｃ＋(４ａ＋６ｂ＋１２)ｄ＝０
はカッコの中が、両方とも0になるだけではなく
(3a+4b+6)c=-(4a+6b+12)dとなるa,bを求めないといけないという
ことですか？(無数にあると思う)
自分のイメージとして、恒等式は
ax^3+bx^2+cx=3(x+6)^3+4みたいな式をイメージしています。
No.69394 - 2020/09/06(Sun) 15:30:21
☆ Re: 定積分の関数決定 / IT
横から失礼します。
ＣＯＲＮＯ　さんの説明で十分と思いますが
>　(３ａ＋４ｂ＋６)ｃ＋(４ａ＋６ｂ＋１２)ｄ＝０　…?@
> 繰り返しますが，この式がどのようなｃとｄの値に対して> も成り立つようにするので，
> ｃとｄについての恒等式となるようにａ，ｂの値を定めます．

c=1,d=0 のとき　?@が成り立つ　→　３ａ＋４ｂ＋６＝0
c=0,d=1 のとき　?@が成り立つ　→　４ａ＋６ｂ＋１２＝０

逆に、３ａ＋４ｂ＋６＝0かつ４ａ＋６ｂ＋１２＝0　であれば、任意のc,dについて?@が成り立ちます。

したがって、連立方程式３ａ＋４ｂ＋６＝0かつ４ａ＋６ｂ＋１２＝0を解けば良いです。
（?@に至るまでの計算が合っているとして）
No.69420 - 2020/09/06(Sun) 22:06:31
☆ Re: 定積分の関数決定 / クオーター
>>>c=0,d=1 のとき　?@が成り立つ　→　４ａ＋６ｂ＋１２＝０
g(x)は一次関数なので、g(x)=cx+dより、c≠0です。
何度も申し訳ありませんが、
>>>逆に、３ａ＋４ｂ＋６＝0かつ４ａ＋６ｂ＋１２＝0　であれば、任意のc,dについて?@が成り立ちます。
がよくわかりません。
というのも、?@は３ａ＋４ｂ＋６＝0かつ４ａ＋６ｂ＋１２＝0じゃなくとも、2 × 17 -1 × 34 = 0の様にcとdの係数が両方とも0じゃなくとも成り立つことがあると思うからです。
No.69425 - 2020/09/06(Sun) 23:20:47
☆ Re: 定積分の関数決定 / IT
>g(x)は一次関数なので、g(x)=cx+dより、c≠0です。
c=1,d=0 のとき　?@が成り立つ　→　３ａ＋４ｂ＋６＝0 …?A
c=1,d=1 のとき　?@が成り立つ　→　 (３ａ＋４ｂ＋６)+(４ａ＋６ｂ＋１２)＝０…?B
　　　　　　　　?Aより、４ａ＋６ｂ＋１２＝０

これを解くと a=6,b=-6

>>逆に、３ａ＋４ｂ＋６＝0かつ４ａ＋６ｂ＋１２＝0　で>>あれば、任意のc,dについて?@が成り立ちます。
>がよくわかりません。
>というのも、?@は３ａ＋４ｂ＋６＝0かつ４ａ＋６ｂ＋１>２＝0じゃなくとも、2 × 17 -1 × 34 = 0の様にcとdの>係数が両方とも0じゃなくとも成り立つことがあると思うからです。

a,b は定数です。　c,d が変わっても　a,bは変わっては行けません。

c=1,d=0 のときも、c=1,d=1 のときも　?@が成り立つ必要がありますから　a=6,b=-6 は必要条件です。

「逆に、・・・」は、書いたとおりです。何か間違いがありますか？　
少し自分でじっくり考えてから再質問してください。
No.69426 - 2020/09/07(Mon) 00:20:08
☆ Re: 定積分の関数決定 / クオーター
あ、、、確かにa,bは必ず定数で変わらないことを忘れてました。
つまり、
c=1,d=0 のとき　?@が成り立つ　→　３ａ＋４ｂ＋６＝0 …?A
c=1,d=1 のとき　?@が成り立つ　→　 (３ａ＋４ｂ＋６)+(４ａ＋６ｂ＋１２)＝０…?B
とやった様に、自分の好きなc,dの組み合わせを２つを決めて、連立させればいいんですね。(ただ、上記のような組み合わせの方が楽)
これでようやく分かったと思います。
ご教授ありがとうございました！
No.69428 - 2020/09/07(Mon) 00:52:29
★ 数II 三角関数 / ゆうか
高３です！
0＜α＜πのとき、cos‪α‬＞0 sinα＞0で角αが鋭角ならtan2αが0＜2α＜πになる理由がわかりません🙇🏻‍♀️
No.69380 - 2020/09/06(Sun) 09:47:57
☆ Re: 数II 三角関数 / IT
> tan2αが0＜2α＜πになる
というのは、意味不明です。

どの部分が不明ですか？

例えば、
0＜α＜πのとき、
　cos‪α‬＞0 sinα＞0 なら　角αが鋭角である。
は、三角関数の基礎事項です。
cos,sin のグラフや　単位円で確認してください。

0＜α＜πのとき
　角αが鋭角なら　0＜2α＜πになる理由
　は、ほとんど明らかだと思います。
No.69381 - 2020/09/06(Sun) 10:14:43
★ 数学的帰納法の問題 / ゆうな
画像の問題で、途中のn=k+1のときから分かりません。
(1+√3i)^6(k+1)-1=2^6(k+1)-2(1-√3i)…とここから右辺の導き方が分からなくなってしまいました。
ここからどうやって成り立つことを書いていけばいいのでしょうか？
No.69373 - 2020/09/06(Sun) 01:47:19
☆ Re: 数学的帰納法の問題 / ＣＯＲＮＯ
　　(１＋√３ｉ)^6＝２^6
となるのはいいでしょうか？

ｎ＝ｋのとき成り立つことを仮定しているので，
　　(１＋√３ｉ)^(6k-1)＝２^(6k-2)･(１−√３ｉ)
すると，
　　(１＋√３ｉ)^｛6(k+1)-1｝＝(１＋√３ｉ)^6･(１＋√３ｉ)^(6k-1)
　　　　　　　　　　　　　　＝２^6･２^(6k-2)･(１−√３ｉ)
　　　　　　　　　　　　　　＝２^｛6(k+1)-2｝･(１−√３ｉ)
No.69374 - 2020/09/06(Sun) 07:37:30
☆ Re: 数学的帰納法の問題 / ゆうな
納得しました。ありがとうございました。
No.69397 - 2020/09/06(Sun) 16:58:06
★ 偏微分について / わたなべ・パン・みほ
添付した写真の問に答えて欲しいです。これよりも複雑な関数を偏微分する際、途中式としてこのようなものを使えるのか教えてほしいです。普通の微分でしたらsin2x=cos2x(2x)'のように'の記号が途中式として記せたのですが、偏微分の際にsinyx^2 =cosyx^2(yx^2)'という風に答案に書くのはまずいですよね？
No.69372 - 2020/09/06(Sun) 00:51:01
☆ Re: 偏微分について / GandB
　　z = sin(t)、t = x^2y
なのだから普通の人は
　　∂z/∂x = (dz/dt)(∂t/∂x) = cos(t)2xy = 2xycos(x^2y)
と記述する。
　　(yx^2)'
という表現はどっちの変数で微分するか明確ではないから当然ダメ。

> これよりも複雑な関数を偏微分する際
　「合成関数の偏導関数」で検索。
No.69376 - 2020/09/06(Sun) 08:50:07
☆ Re: 偏微分について / わたなべ・パン・みほ
分かりました。ありがとうございましたm(_ _)m
No.69377 - 2020/09/06(Sun) 09:01:09
★ (No Subject) / のん
四角形ABCDの辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれP,Q,R,Sとする。
等式AC^+BD^=2(PR^+QS^)を証明せよ。
この問題で各頂点の座標を置く際はそれぞれ、a＞0などの条件がつかないのに対し、
△ABCにおいて、辺AB、BC、CA
を3:2に内分する点を、それぞれD,E,Fとするとき、△ABCと△DEFの重心は一致することを証明せよ。
では、座標に関してx2y1≠0などと条件がつくのはなぜですか？
No.69365 - 2020/09/05(Sat) 20:06:37
☆ Re: / のん
すみません、^のあとに2が抜けてました💦
No.69366 - 2020/09/05(Sat) 20:07:13
☆ Re: / のん
ちなみに1個目の問題は座標平面上に
A(a,b)B(-c,0)C(c,0)D(d,e)
2個目の問題は
A(x1,y1)B(-4・x2,0)C(3・x2,0)
とおきました。
No.69368 - 2020/09/05(Sat) 20:19:58
☆ Re: / X
＞＞a＞0などの条件がつかない
条件が付かないのではありません。
四角形という条件がある時点で
c≠0
等といった条件が付きますが
書かれていないだけです。
No.69370 - 2020/09/05(Sat) 22:37:00
☆ Re: / のん
条件は付くのに書かなくても大丈夫なのですか？
2つ目の問題では条件を明記するのに対し、なぜ1つ目の問題では書かなくて大丈夫なのかよく分からないのですが…。1つ目の問題においても条件は書いたほうがよいのでしょうか？
お手数おかけ致しますがお願いします。
No.69375 - 2020/09/06(Sun) 08:37:13
☆ Re: / X
2つ目の問題に対してもそうですが、証明の際の
式変形で、件の条件を使う必要があるのであれば
明記が必要です。
逆に使わないのであれば明記は不要です。
No.69378 - 2020/09/06(Sun) 09:34:06
☆ Re: / のん
納得しました。ありがとうございました！
No.69384 - 2020/09/06(Sun) 14:13:49
★ 有理化 / 瑛
1/2√2は有利化すると2/√2になりますか？
自分は√2/4だと思うのですが…
No.69364 - 2020/09/05(Sat) 19:53:20
☆ Re: 有理化 / のん
私も√2/4になると思います！少なくとも2/√2にはならないですね。
No.69367 - 2020/09/05(Sat) 20:13:27
★ 代数学の問題 / ひらやま
大学2年の代数学概論の課題で解き方が全くわからない問題があります。解き方を含めて教えて頂けたら幸いです。よろしくお願い致します。

問 正三角形の二面体群D6の自明でない部分群をすべて求めよ
No.69356 - 2020/09/05(Sat) 11:50:59
☆ Re: 代数学の問題 / IT
正三角形の二面体群D6　とは、どんな群で、群の位数はいくらで
どんな元からなるか分りますか？
No.69357 - 2020/09/05(Sat) 12:35:08
☆ Re: 代数学の問題 / ひらやま
群と元は写真の通りです
位数 1 2 3 6
No.69369 - 2020/09/05(Sat) 22:22:55
☆ Re: 代数学の問題 / IT
自明な部分群は、「単位元のみからなる部分群」と「正三角形の二面体群D6」ですから、

それ以外の部分群を網羅すればよいのでは？
位数6の群の自明でない部分群の位数は２か３ですから
巡回群です。
e以外の元から生成される巡回群から重複を除けば良いのでは？
No.69371 - 2020/09/05(Sat) 23:35:40
★ 数列 / あやね
この☆印の部分で、cnを変形すると、次の写真のようになぜなるのか分かりません。kとnとの関係がぐちゃぐちゃしてわからなくなってしまいます。
No.69353 - 2020/09/05(Sat) 10:13:31
☆ Re: 数列 / あやね
こちらです。
No.69354 - 2020/09/05(Sat) 10:13:58
☆ Re: 数列 / ＣＯＲＮＯ
２枚目の画像の☆印の行を１行目として
何行目からわからなくなるのでしょうか？
No.69355 - 2020/09/05(Sat) 11:36:36
☆ Re: 数列 / あやね
一行目の式です。
No.69358 - 2020/09/05(Sat) 12:46:03
☆ Re: 数列 / ＣＯＲＮＯ
数列｛ｘ[n]｝の階差数列を｛ｙ[n]｝とすると，
　　ｘ[n]＝ｘ[1]＋Σ[k=1→n-1]ｙ[k]
という公式があります．
今，数列｛ｃ[n]｝の階差数列が｛ｄ[n]｝ですから，
　　ｃ[n]＝ｃ[1]＋Σ[k=1→n-1]ｄ[k]
となり，これを項を書き並べる形にすると，
　　ｃ[n]＝ｃ[1]＋(ｄ[1]＋ｄ[2]＋……＋ｄ[n-1])
となります．これが２行目の式ですね．
さらに，
　　ｄ[n]＝ｃ[n+1]−ｃ[n]
ですから，
　　ｃ[n]＝ｃ[1]＋(ｃ[2]−ｃ[1])＋(ｃ[3]−ｃ[2])＋……＋(ｃ[n]−ｃ[n-1])
となります．これが１行目の式です．
No.69359 - 2020/09/05(Sat) 14:25:37
☆ Re: 数列 / あやね
それでは、これは二行目の式から一行目の式にさかのぼって考えた方が良いということでしょうか？
No.69360 - 2020/09/05(Sat) 15:11:02
☆ Re: 数列 / ＣＯＲＮＯ
問題では，数列｛ｃ[n]｝の話を数列｛ｄ[n]｝の話に置き換えて進めています．
推測するに，解説もその流れにしたがって進めているのではないかと思います．
公式の
　　ｘ[n]＝ｘ[1]＋Σ[k=1→n-1]ｙ[k]
の導出も教科書では同じ流れでやっているのではないでしょうか．

ただ，問題の解き方としては人それぞれなのであまり気にしない方がいいと思います．
私が答案を作るなら，多分
　　ｃ[n]＝ｃ[1]＋Σ[k=1→n-1]ｄ[k]
から始めると思います．
No.69361 - 2020/09/05(Sat) 15:18:23
☆ Re: 数列 / あやね
私もそうやったので、解答に少し違和感を感じました。納得しました、ありがとうございます！
No.69362 - 2020/09/05(Sat) 15:22:56
★ (No Subject) / 命題
(1)がわかりません。(2)は解答あっていますでしょうか？よろしくお願いいたします。
No.69350 - 2020/09/05(Sat) 01:40:17
☆ Re: / 命題
必要条件か十分条件か求める問題です。
No.69351 - 2020/09/05(Sat) 01:40:57
☆ Re: / IT
問題文をそのまま書いてください。

→　の　左右のどちらが、どちらの「必要条件」「十分条件」　かを調べるのか。

(2) 「nは3の倍数」は、「n＝9」の「必要条件」であるが「十分条件」ではない。
ということなら合っています。

また、（２）は、なぜ　その答え（「必要条件」）だと判断したのか。

（　（１）も（２）と同様に考えれば出来ると思います）
No.69352 - 2020/09/05(Sat) 05:10:00
★ (No Subject) / のん
△ABCの重心をGとするとき、次の等式を証明せよ。
AB^2+AC^2=BG^2+CG^2+4AG^2
という問題で座標平面上にA(a,b),B(-c,0),C(c,0)とおきました。
これらの文字の範囲はb＞0,c＞0と習ったのですがこれでよいでしょうか？
なぜa＞0が要らないのかがよく分かりません。
よろしくお願いします。
No.69346 - 2020/09/04(Fri) 21:46:45
☆ Re: / IT
三角形を左右反転して考えれば
　a≧0　のときだけ考えても良いとは思いますが、
そうせずa＜0のときも考えるのは、問題ありません。
（その方がストレートにすべての場合を証明したことになります。）

a＜0、a＝0､a＞0　の場合のそれぞれについて
図を描いて考えてみてください。
No.69347 - 2020/09/04(Fri) 23:22:26
☆ Re: / のん
なるほど！ありがとうございます。図を描いて確認しておきます。
No.69363 - 2020/09/05(Sat) 18:17:58
★ (No Subject) / ヤマダ
この問題の解説をお願いします
No.69345 - 2020/09/04(Fri) 17:54:55
★ 証明をお願いします。 / ビター
平面上の点Xと、正三角形ABCについて。
点Xが三角形ABCの外接円の弧BC上にないときはAX＜BX＋CX　が成り立つ。

証明をお願いします。
No.69343 - 2020/09/03(Thu) 23:13:46
☆ Re: 証明をお願いします。 / らすかる
xy平面上にA(0,t√3), B(-t,0), C(t,0)となるように正三角形を置き、X(x,y)とする。
AX=√{x^2+(y-t√3)^2}, BX=√{(x+t)^2+y^2}, CX=√{(x-t)^2+y^2}なので
AX≧BX+CXと仮定すると
√{x^2+(y-t√3)^2}≧√{(x+t)^2+y^2}+√{(x-t)^2+y^2}
両辺を2乗して整理すると（これは同値変形）
-{x^2+(y+t√3)^2-4t^2}≧2√{(x^2-t^2)^2+2(x^2+t^2)y^2+y^4}
この両辺を2乗して整理すると
(x^2+y^2-(2/√3)ty-t^2)^2≦0（これは同値変形ではない）
なので
AX≧BX+CX
⇔-{x^2+(y+t√3)^2-4t^2}≧0 かつ (x^2+y^2-(2/√3)ty-t^2)^2≦0
⇔x^2+(y+t√3)^2≦(2t)^2 かつ x^2+(y-t/√3)^2=(2t^2/√3)^2
これは△ABCの外接円の周上の弧BCの部分だから
「AX≧BX+CX」⇒「Xは弧BC上にある」が成り立つ。
よって対偶の
「Xは弧BC上にない」⇒「AX＜BX+CX」も成り立つ。

# この方法だと式変形がかなり大変ですので、
# おそらくもっと良い方法があると思います。
No.69344 - 2020/09/04(Fri) 06:34:22
☆ Re: 証明をお願いします。 / ヨッシー

図はＢを通る中線と、Ｃを通る中線を引いたものです。
赤の部分に点Ｘがあると、既に　ＡＸ≦ＣＸ
青の部分に点Ｘがあると、既に　ＡＸ≦ＢＸ
であるので、ＡＸ＜ＢＸ＋ＣＸ が成り立つ。

それ以外の場合について、

図のように△ＡＢＸを点Ａを中心に60°回転すると
点Ｘが弧ＢＣ上にある(真ん中の図)場合だけ、
　ＡＸ＝ＸＹ＝ＸＣ＋ＣＹ＝ＢＸ＋ＣＸ　（ＸＣＹが直線となるため）
が成り立ち、それ以外の場合は、
　ＡＸ，ＢＸ，ＣＸ
で三角形が出来るので、
　ＡＸ＜ＢＸ＋ＣＸ
が成り立ちます。
No.69348 - 2020/09/05(Sat) 00:28:34
☆ Re: 証明をお願いします。 / ビター
らすかるさん
座標設定は思いつきませんでした。計算してみます。ありがとうございます。トレミーの不等式を用いる解法もあるそうです。

ヨッシーさん
理解致しました。ありがとうございました！
No.69421 - 2020/09/06(Sun) 22:07:02
★ (No Subject) / 葉月
この問題の解説もお願いします。答えはなんとなくで？導き出せて
ちゃんとした解説が知りたいです。お願いします。
No.69340 - 2020/09/03(Thu) 22:08:57
☆ Re: / X
条件から
16∈A∩B
∴16∈A
なので
a^2=16
∴a=4,-4
a=4のとき
B={4,3,b+4,16}
∴3∈A∩Bとなり不適。
a=-4のとき
B={4,-5,b-4,16}
ここで
5∈A∩B
∴5∈B
なので
b-4=5
∴b=9

以上から
a=-4,b=9
No.69342 - 2020/09/03(Thu) 23:03:30
☆ Re: / 葉月
ありがとうございます。
No.69405 - 2020/09/06(Sun) 18:17:11
★ (No Subject) / 葉月
この問題の解説をお願いします。
答えは64/27です。
No.69339 - 2020/09/03(Thu) 21:31:12
☆ Re: / X
極限を求める式の対数を考えます。
lim[n→∞]log{{(3n+1)(3n+2)…(3n+n)/{(n+1)(n+2)…(n+n)}}^(1/n)}
=lim[n→∞](1/n)log{{(3+1/n)(3+2/n)…(3+n/n)/{(1+1/n)(1+2/n)…(1+n/n)}}
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]{log(3+k/n)-log(1+k/n)}
=∫[0→1]{log(3+x)-log(1+x)}dx
=[(3+x)log(3+x)-(1+x)log(1+x)][0→1]-∫[0→1]{(3+x)/(3+x)-(1+x)/(1+x)}dx
=4log4-2log2-3log3
=6log2-3log3
=log(64/27)
∴(与式)=e^{log(64/27)}=64/27
No.69341 - 2020/09/03(Thu) 22:57:14
☆ Re: / 葉月
なぜ

∴(与式)=e^{log(64/27)}=64/27が
出てきたのかわかりません。
詳しくお願いします。
No.69407 - 2020/09/06(Sun) 18:40:55
☆ Re: / X
{{(3n+1)(3n+2)…(3n+n)/{(n+1)(n+2)…(n+n)}}^(1/n)}
=e^{log{{(3n+1)(3n+2)…(3n+n)/{(n+1)(n+2)…(n+n)}}^(1/n)}}
となるからです。
No.69454 - 2020/09/07(Mon) 23:36:07
★ 教えてください / よーへい
これの25番教えてください。ごちゃごちゃしててすいません
No.69337 - 2020/09/03(Thu) 19:15:12
☆ Re: 教えてください / X
既に解答が鉛筆で書き込まれていますが、その内容が
理解できない、ということですか？
No.69338 - 2020/09/03(Thu) 20:27:01
★ おしえてくだはいぃ / よーへい
符号が変わったら変わらなかったり、よくわかんないです
No.69336 - 2020/09/03(Thu) 19:14:02
★ (No Subject) / る
解き方がわかりません。
宿題なんですが答えがないので答えもお願いします！
No.69325 - 2020/09/02(Wed) 18:32:55
☆ Re: / ヨッシー
最大金額はもちろん420円です。

10円と50円だけで
　10,20,30,・・・100
が10円刻みですべて作れるなら、そこに100円を足せば、
　110,120,130・・・200
　210,220,230・・・300
　310,320,330・・・400
が作れます。
No.69326 - 2020/09/02(Wed) 18:39:59
★ 数lll 積分 / どひょん
学校で解答を渡されなくて困っています。どなたか模範解答教えてください。
No.69324 - 2020/09/02(Wed) 18:14:25
☆ Re: 数lll 積分 / mathmouth
計算ミスがあるかもしれません。
No.69327 - 2020/09/02(Wed) 19:19:02
☆ Re: 数lll 積分 / X
横から失礼します。
mathmouthさんの解答は断面を取る平面の位置に関する
場合分けが抜けていますので、それを補完する形で
回答を。

問題の直円柱の底面のうち、Dの底面と重なっている側の
中心に原点Oを取り、問題文中の「長さ√3の線分」に
平行となるようにx軸を取ります。

今、原点を通り、x軸に垂直な平面によるDの断面
(αとします)を考えると
この断面は直角三角形になっており、
底辺の長さは
1+√{1-{(√3)/2}^2}=1+1/2=3/2
高さは1

さて、x軸上のx座標がxである点を通り、x軸に垂直な
平面でDを切った断面の面積をS(x)とすると
(i)0≦x≦(√3)/2のとき
断面はαと相似な直角三角形
となっており、更に底辺の長さは
√(1-x^2)+1/2
∴S(x)=(1/2){√(1-x^2)+1/2}・(2/3){√(1-x^2)+1/2}
=(1/3){√(1-x^2)+1/2}^2
=(1/3){5/4-x^2+√(1-x^2)}

(ii)(√3)/2＜x＜1のとき
断面は下底の長さが
(2/3){√(1-x^2)+1/2}
=(2/3)√(1-x^2)+1/3
高さが
2√(1-x^2)
上底の長さが
(2/3)√(1-x^2)+1/3-(2/3)・2√(1-x^2)
=-(2/3)√(1-x^2)+1/3
の台形になっているので
S(x)=(1/2){{-(2/3)√(1-x^2)+1/3}+{(2/3)√(1-x^2)+1/3}}・2√(1-x^2)
=(2/3)√(1-x^2)

原点を通り、x軸に垂直な平面に関してDが対称
であることに注意すると
V=2∫[0→1]S(x)dx
=2{∫[0→(√3)/2](1/3){5/4-x^2+√(1-x^2)}dx+∫[(√3)/2→1]{(2/3)√(1-x^2)}dx}
=(2/3)∫[0→(√3)/2]{5/4-x^2+√(1-x^2)}dx+(4/3)∫[(√3)/2→1]√(1-x^2)}dx
=(2/3)∫[0→(√3)/2](5/4-x^2)dx+(2/3)∫[0→1]√(1-x^2)}dx
+(2/3)∫[(√3)/2→1]√(1-x^2)}dx
=(2/3)[(5/4)x-(1/3)x^3][0→(√3)/2]+(2/3)・(1/4)(半径1の円の面積)
+(2/3)∫[π/3→π/2]{(cosθ)^2}dθ
(注：第3項はx=sinθと置いて置換積分した)
=1/√3+π/6+(1/3)∫[π/3→π/2](1+cos2θ)dθ
=1/√3+π/6+(1/3)[θ+(1/2)sin2θ][π/3→π/2]
=1/√3+π/6+(1/3){π/6-(√3)/4}
=(√3)/4+2π/9
No.69329 - 2020/09/02(Wed) 19:57:21
☆ Re: 数lll 積分 / IT
(√3)/2＜x＜1のとき 断面は台形では？

計算に自信ないですが、
∫[0,√3/2](2/3)((1/2+√(1-x^2))^2)dx+2∫[√3/2,1]((1/3)2√(1-x^2))dx
=2π/9+√3/4

一部の定積分は,不定積分から計算し、
一部の定積分は,特別角30°がらみなので図形的に求めるのが簡単かもしれません。
No.69330 - 2020/09/02(Wed) 20:09:09
☆ Re: 数lll 積分 / ヨッシー
茶々だけですが、
> (√3)/2≦x≦1のとき 断面は台形では？
ただし、上底と下底の平均は常に1/3 なので、
ほぼ長方形として扱えます。
No.69331 - 2020/09/02(Wed) 20:19:42
☆ Re: 数lll 積分 / IT
断面を90度変えると、切り口はすべて長方形になります。

半分の体積は
∫[0,1](√(1-x^2)(1/3+2x/3)dx+∫[0,1/2](√(1-x^2)(1/3-2x/3)dx
=(1/3)∫[0,1]√(1-x^2)dx+(1/3)∫[0,1/2]√(1-x^2)dx+(2/3)∫[1/2,1]x√(1-x^2)dx
No.69332 - 2020/09/02(Wed) 20:56:16
☆ Re: 数lll 積分 / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>どひょんさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
No.69329を直接修正しましたので
再度ご覧下さい。
No.69333 - 2020/09/02(Wed) 20:59:07
☆ Re: 数lll 積分 / どひょん
>>mathmouth、X、ヨッシー、ITさんたちへ
みなさん、丁寧に教えて頂きありがとうございました。本当に助かります！今後ともよろしくおねがいします。
No.69335 - 2020/09/02(Wed) 21:16:26
☆ Re: 数lll 積分 / mathmouth
既にご指摘の通り、√3/2≦lxl≦1での断面を正しく捉えておりませんでした。
申し訳ありません。
No.69349 - 2020/09/05(Sat) 00:52:05
★ 速度 / ふんぐー
時速 81km/h の長さ 190m の電車が時速 63km/h の電車に追いついてか ら追い越すまで 1 分 14 秒かかった。追い越された電車の長さは何 m か?
No.69322 - 2020/09/02(Wed) 17:11:22
☆ Re: 速度 / X
追い越す電車の追い越される電車に対する速さは
81[km/h]-63[km/h]=18[km/h]
よって追い越される電車の長さは
18[km/h]×{(1+14/60)/60}[h]-190[m]
=37/100[km]-190[m]
≡370[m]-190[m]
=180[m]
No.69323 - 2020/09/02(Wed) 17:16:14
★ (No Subject) / 飯島
(1)で0,0が除外されるのはどこをみて判断するのですか？？
No.69315 - 2020/09/01(Tue) 21:50:04
☆ Re: / ヨッシー
２度ばかり出てくる
　ｘ≠０ であるから
という言葉ですかね。
No.69319 - 2020/09/01(Tue) 23:54:47
☆ Re: / IT
x=1/(1+t^2) の値域を調べると　0＜x≦1
y=t/(1+t^2) の値域も調べる・・・
円のグラフを描いて、上記を留意して除外点を考える。
かな。

下記サイトなどを参考にされるといいかも知れません。
examist.jp/mathematics/parameter-polar/en-daen-baikai/
No.69320 - 2020/09/02(Wed) 07:27:10
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