ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学II　複素数と方程式の解法について / aki

a,bを実数の定数とする。xの方程式 x³+(1-a)x² +3x+b=0 ･･･(*) はx=-1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表わせ。
(2)a=1のとき、(*)を解け。
(3)(*)が異なる3個の実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ
(4)(3)のとき、(*)の-1以外の解を‪α‬、βとする。
f(x)=x² +cx+d(c,dは実数の定数) が次の【条件】を満たすとき、c,dの値の組（c,d）を求めよ。
【条件】
　f(‪α‬)=1/β
　f(β)=1/‪α‬
　f(-1)=-1

この問題の，(4)の解法と答えを教えて頂きたいです。
宜しくお願い致します。

No.68373 - 2020/07/25(Sat) 20:31:33

☆ Re: 数学II　複素数と方程式の解法について / X

(1)の結果から(*)は
(x+1)(x^2-ax+a+3)=0
∴α、βはxの二次方程式
x^2-ax+a+3=0
の解。よって解と係数の関係から
α+β=a (A)
αβ=a+3 (B)
一方、
f(‪α‬)=1/β
f(β)=1/‪α‬
f(-1)=-1
により
α^2+cα+d=1/β (C)
β^2+cβ+d=1/α (D)
1-c+d=-1 (E)
(A)(B)(C)(D)(E)を
a,c,d,α,βについての
連立方程式として解きます。

(C)+(D)に(A)(B)を代入すると
a^2-2(a+3)+ca+2d=a/(a+3) (F)
一方(E)より
c-d=2 (E)'
(F)+(E)'×2より
a^2-2(a+3)+c(a+2)=a/(a+3)+4 (F)'
一方、(C)-(D)より
(α-β){(α+β)+c-1/(αβ)}=0
条件からα≠βゆえ
(α+β)+c-1/(αβ)=0
これに(A)(B)を代入すると
c=-a+1/(a+3) (G)
(G)を(F)'に代入して
a^2-2(a+3)+(a+2){-a+1/(a+3)}=a/(a+3)+4
これより
a^2-2(a+3)-a(a+2)=-2/(a+3)+4
-4a-6=-2/(a+3)+4
-4a=-2/(a+3)+10
-4a(a+3)=-2+10(a+3)
4a^2+22a+28=0
2a^2+11a+14=0
(2a+7)(a+2)=0
∴(3)の結果から
a=-7/2
これと(E)'(F)'により
(c,d)=…

No.68376 - 2020/07/25(Sat) 21:35:35

☆ Re: 数学II　複素数と方程式の解法について / IT

（別解）
α,βは,x^2-ax+a+3=0の２解…?@でα+β＝a…?A、αβ=a+3…?B
f(-1)=-1よりd=c-2

f(α)=α^2+cα+c-2　?@よりα^2=aα-a-3なので
＝(a+c)α+(c-a-5)
f(α)=1/βよりf(α)β＝1
∴(a+c)αβ+(c-a-5)β＝1…?C
同様に(a+c)αβ+(c-a-5)α＝1…?D
?Cｰ?D　(α-β)(c-a-5)=0
α≠βなのでc-a-5=0∴c=a+5
これと?C?Bから(2a+5)(a+3)=1
これを解くとa=-7/2,-2 で-2は不適なので　a=-7/2 ････

No.68377 - 2020/07/25(Sat) 21:44:20

☆ Re: 数学II　複素数と方程式の解法について / X

>>ITさんへ
ごめんなさい。私の方の計算が途中で間違っていました。

>>akiさんへ
ごめんなさい。No.68376で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.68380 - 2020/07/25(Sat) 22:03:20

☆ Re: 数学II　複素数と方程式の解法について / aki

お二人とも非常にわかり易く，理解することができました。
ありがとうございました！

No.68393 - 2020/07/26(Sun) 10:44:02

★ 広義積分 / 教えてください

この広義積分を求めたいです。
∞をRなどと置いて極限を取るのは分かるのですが、aの場合分けは a=0,a>0,a<0 の三通りでいいのでしょうか。
計算も自信がないので教えてほしいです。
よろしくお願いいたします。

No.68371 - 2020/07/25(Sat) 19:56:24

☆ Re: 広義積分 / X

場合分けはその3通りで問題ありません。
(i)a=0のとき
(与式)=0
(ii)a＞0のとき
0≦xに対し
a{e^(ax)}x^2≧ax^2
∴t＞0に対し
∫[0→t]a{e^(ax)}(x^2)dx≧∫[0→t](ax^2)dx
これより
∫[0→t]a{e^(ax)}(x^2)dx≧(1/3)at^3 (A)
t→∞のとき
((A)の右辺)→∞
ですので与式は発散します。
(iii)a＜0のとき
これはご自分でどうぞ。
(部分積分を2回実行します。又
lim[x→∞]xe^(ax)=0
lim[x→∞](x^2)e^(ax)=0
の証明が必要になります。)

No.68379 - 2020/07/25(Sat) 21:50:19

★ ベクトル / shi

下線の部分を逆にするとどうしてもsとtが＝になってしまいます。
ただ単に計算ミスですか？

No.68368 - 2020/07/25(Sat) 19:02:40

☆ Re: ベクトル / IT

それで良いのではないですか？

前の質問は解決しましたか？

No.68369 - 2020/07/25(Sat) 19:17:12

☆ Re: ベクトル / shi

> それで良いのではないですか？
このまま進めたら解答通りになりました；；
最後まで計算せずに質問してしまいすみません。
ありがとうございました！
>
> 前の質問は解決しましたか？
前の質問も理解出来ました！

No.68370 - 2020/07/25(Sat) 19:48:01

★ ベクトル / shi

一次独立を示す理由はなんですか？

No.68365 - 2020/07/25(Sat) 17:41:20

☆ Re: ベクトル / IT

a↑、b↑が一次独立でなければ

sa↑+tb↑＝0↑　だからといって、s=0かつt=0　とは言えません。

No.68366 - 2020/07/25(Sat) 18:02:00

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

ａとｂが一次独立（平面の場合は、平行でない）であれば、
　ｐａ＋ｑｂ＝ｒａ＋ｓｂ
ならば、
　ｐ＝ｒ、ｑ＝ｓ
が言えますが、一次独立でない場合、例えば、
　ｂ＝２ａ
の場合、
　ｐａ＋ｑｂ＝ｒａ＋ｓｂ
だからといって、
　ｐ＝２、ｑ＝３、ｒ＝４，ｓ＝２
のように、
　ｐ＝ｒ、ｑ＝ｓ
でない場合が出てきます。

No.68367 - 2020/07/25(Sat) 18:04:37

★ (No Subject) / 0

この問題はどのように解くのでしょうか？

No.68359 - 2020/07/25(Sat) 14:42:35

☆ Re: / ast

No.68332 の続きですか?
同じ人でも別の人でもどちらにせよ, No.68332の(1)(2)は解けたということであるのならば, (1)で分布函数 (密度函数の積分) はわかるということになりますから, その問題もわかるはずですが (分布函数の差をとるのでもその区間で密度函数を積分するのでも好きな方で).

# にしても, f(x)の分母が b-α に見える (明らかにその右に書かれてる a と字形が違う) んだけど……

No.68363 - 2020/07/25(Sat) 16:20:41

★ 積分 / うい

次の条件を満たす関数f(x)を求めよ｡
(A)y=f(x)のグラフはy=x^2のグラフを平行移動したものである｡
(B)f(1)=0
(C)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積は1/3

という問題で、ＡＢから
ｆx＝２(x-1)（x-ａ）
といえる部分が理解できません。

Bから（x-1）（ｘ－ａ）＝０
とおけるところまではわかりました。

解説していただきたいです

No.68358 - 2020/07/25(Sat) 14:18:54

☆ Re: 積分 / X

x^2の係数は2とはなりません。
(A)(B)からいえることは
f(x)はx^2の係数が1の二次式 (i)
であり
x-1を因数に持つ (ii)
ということです。

(i)より
f(x)を1次式で割った商は1次式
ですので、f(x)をx-1で割った商は
x-aと置くことができ
f(x)=(x-1)(x-a)
となります。

No.68360 - 2020/07/25(Sat) 15:29:46

☆ Re: 積分 / うい

ごめんなさい、打ち損じていました。
y=2x^2のグラフを平行移動したもの、の間違いです。

No.68364 - 2020/07/25(Sat) 16:44:05

☆ Re: 積分 / X

でしたら、以下の内容をNo.68360のそれとの違いに
注意してご覧下さい。

(A)(B)からいえることは
f(x)はx^2の係数が2の二次式 (i)
であり
x-1を因数に持つ (ii)
ということです。

(i)より
f(x)を1次式で割った商は1次式
ですので、f(x)をx-1で割った商は
x-aと置くことができ
f(x)=2(x-1)(x-a)
となります。

No.68390 - 2020/07/26(Sun) 08:52:32

★ (No Subject) / レモン

Oを原点とする座標平面上に点P(cosΘ1,sinΘ1),点Q(cosΘ2,sinΘ2)がありΘ1とΘ2はΘ2-3Θ1=π/2を満たしながら0≦Θ＜2πを動く。

(1)Qの座標をΘ1を用いて表すと(ア，イ）＝(解答-3sinΘ1,cos3Θ1)である。またPQの最大値はウ(2)でありPとQが一致するときのΘ1の最小値はΘ1=3π/4である。

(2)線分PQの長さを2乗したものをyとおく。関数yのグラフは？

解答のほうではPQ＾2の長さを上で求めたQの座標とPの座標を使って三平方の定理で求めていたのですが

PQ=√(2＋2sin2Θ1)
からyのグラフを求めていてやり方は納得したんですが…
私はPQ^2 を求めるのに▲OPQに対して余弦定理を用いてPQ＾2を求めるというやり方(Θの値によって場合分けを行う）で求めていったんですが途中でgive upしてしまったんですが，もし余弦定理を用いてPQ^2を求めていったらどのようになるのでしょうか。ややこしいということは十分わかるのですがやり方教えてもらえないでしょうか？

私のやり方
0≦Θ1＜π/4の時
角度QOP=3Θ1＋π/2-Θ1=2Θ1＋(2/π)

三角形OPQに余弦定理を当てはめると
PQ^2=2-2cos2(Θ1＋(π/4))

π/4≦Θ1≦3π/4
角度POQ=(Θ1＋2π)－(3Θ1＋π/2)＝－2Θ1＋(3π/2)
よって三角形OPQに余弦定理を当てはめると
PQ^2=2-2cos2(Θ1－(3π/4)）

cos2Θは周期2π/2＝πなので2cos2(Θ1＋(π/4))をΘ方向にπだけ移動させたものが2cos2(Θ1－(3π/4)）なので2cos2(Θ1＋(π/4))と2cos2(Θ1－(3π/4)）は同一のグラフである。…こっから後give up！！わかんない

No.68349 - 2020/07/25(Sat) 11:57:09

☆ Re: / X

場合分けがおかしいです。

θ[2]=3θ[1]+π/2
により
θ[2]-θ[1]=2θ[1]+π/2 (A)
一方、△OPQにおいて余弦定理により
PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP・OQcos∠POQ
=2-2cos∠POQ (B)
ここで
0≦θ[1]＜2π (C)
ゆえ(A)より
π/2≦θ[2]-θ[1]＜9π/2

よって、線分OPを基準にして考えると
(i)π/2≦θ[2]-θ[1]＜π、つまり0≦θ[1]＜π/4のとき
∠POQ=θ[2]-θ[1]
(ii)π＜θ[1]-θ[2]＜2π、つまりπ/4＜θ[1]＜3π/4のとき
∠POQ=2π-(θ[2]-θ[1])
(iii)2π＜θ[1]-θ[2]＜3π、つまり3π/4＜θ[1]＜5π/4のとき
∠POQ=(θ[2]-θ[1])-2π
(iv)3π＜θ[1]-θ[2]＜4π、つまり5π/4＜θ[1]＜7π/4のとき
∠POQ=4π-(θ[2]-θ[1])
(v)4π＜θ[1]-θ[2]＜9π/2、つまり7π/4＜θ[1]＜2πのとき
∠POQ=(θ[2]-θ[1])-4π

(i)～(v)のとき
いずれの場合についても
cos∠POQ=cos(θ[2]-θ[1])
∴(A)(B)より
PQ^2=2-2cos(2θ[1]+π/2)
=2+2sin(2θ[1]) (D)

ここで(D)は
θ[1]=π/4,3π/4,5π/4,7π/4
のときも成立。よって
PQ^2=2+2sin(2θ[1])
となります。

No.68353 - 2020/07/25(Sat) 13:21:21

★ (No Subject) / 雨

f(x)＝x^3－2xの時
lim(h→0)【[(f(2＋2h)]^2－[f(2－3h)]＾2】/hの値を求めよ
という問題で
微分係数の定義がf'(a)=lim(h→0)(f(a＋h)-f(a))/hであることを利用して解いていこう。

?@まずlim(h→0)【f(2＋2h)‐f(2－3h)】/hの値を求めてみよう

lim(h→0)【f(2＋2h)‐f(2－3h)】/h
=(h→0)【f(2＋2h)－f(2)－f(2－3h)＋f(2)】/h
=lim(h→0){<【f(2＋2h)－f(2)】/2h>×2－<【f(2－3h)－f(2)/-3h】>×(－3h)}
=2'f(2)＋3'(2)=5f'(2)

?Aよって?@を利用すると
=lim(h→0)【[(f(2＋2h)]^2－[f(2－3h)]＾2】/h
=lim(h→0)
{(f(2＋2h)]＋f(2－3h)}{f(2＋2h)－f(2－3h)}】/h
=lim(h→0){【f(2＋2h)‐f(2－3h)】/h}
×{f(2＋2h)＋f(2－3h)}
=5f'(2)×2f(2)=10f'(2)×f(2)＝400

{f(2＋2h)＋f(2－3h)}=2f(2)ってどのように求めたのでしょうか？y＝x^3－2xにそれぞれx=2＋2h，2－3hを代入してだらだら計算して求めたんでしょうか？この式の流れからみるとそんなことしなくてもf(2＋2h)＋f(2－3h)}=2f(2)って言えるって見えるんですがもしそうならなんでそう言えるんでしょうか？

No.68344 - 2020/07/25(Sat) 10:25:12

☆ Re: / らすかる

{f(2＋2h)＋f(2－3h)}=2f(2)は成り立ちません。
もし最後の数行の部分について言っているのでしたら、
{f(2＋2h)＋f(2－3h)}はlimitの中身ですから
{f(2＋2h)＋f(2－3h)}=2f(2)ではなく
lim[h→0]{f(2＋2h)＋f(2－3h)}=2f(2)という意味です。

No.68346 - 2020/07/25(Sat) 10:29:05

☆ Re: / 雨

ごめんなさい。書き方がいけませんでした。
lim[h→0]{f(2＋2h)＋f(2－3h)}=2f(2)ということはわかってたんですが疑問に思っていることは
lim[h→0]{f(2＋2h)＋f(2－3h)}=2f(2)ってどうやって出したのかしりたいのです。
y＝x＾3－2xにx=2＋2h，2－3hを代入して
(2＋2h)^3－2(2＋2h)＋(2－3h)＾3－2(2－3h)＝19h＾3＋78h＾2－10h＋8としてあと
lim(h→0)(19h＾3＋78h＾2－10h＋8)=8=2×f(2)として求めたのかいちいち展開してh→0にしなくても
lim(h→0）{f(2＋2h)＋f(2－3h)}=2f(2)
って言えるんでしょうか。この式の流れだと
lim(h→0)(19h＾3＋78h＾2－10h＋8)=8=2×f(2)
って言えるでしょって見えるんですが…。

No.68347 - 2020/07/25(Sat) 11:29:19

☆ Re: / IT

f(x)＝x^3－2x　は、連続関数なので
lim(h→0）{f(2＋2h)＋f(2－3h)}
（　=lim(h→0）f(2＋2h)＋lim(h→0）f(2－3h)　）
（　=f(2)+f(2) ）　途中省略可
＝2f(2) で良いと思います。

No.68348 - 2020/07/25(Sat) 11:40:57

☆ Re: / らすかる

> lim[h→0]{f(2＋2h)＋f(2－3h)}=2f(2)ってどうやって出したのか
f(x)が連続関数なので、f(2＋2h)＋f(2－3h)のhに0を代入するだけです。

No.68357 - 2020/07/25(Sat) 13:59:38

★ (No Subject) / Go To

三角形ABCが（半径12）の円に内接している。この時
三角形ABCの辺BCの中点は点Oであるとする。
さらに点Aにおけるこの円の接線をℓとしℓと辺BCの延長線との交点をDとする。またℓ上にAD=2AEとなる点Eをとり直線OEと辺ABの交点をFとする。ただし二点D,Eはℓ上で点Aに関して互いに異なる側にある。この時三角形OEDの面積は144であった。

（1）線分ADの長さは　答え 16
（2）三角形ADCの面積は答え192/5
（3）三角形FOBの面積をS1,三角形FEAの面積をS2とすると
S1/S2の値は (答え 27/20)

(3)の答えが合いません。模範解答よろしくお願いします。

No.68341 - 2020/07/25(Sat) 10:06:17

☆ Re: / ヨッシー

(3) はどのようにやって、答えはどうなりましたか？
　

No.68350 - 2020/07/25(Sat) 12:30:40

☆ Re: / Go To

(3)▲ABDと直線OEからメネラウスの定理を用いると
(BO/OD)×(DE/EA)×(AF/FB)=1
AF/FB=1/3
よって▲OBA=▲OAC＝▲OED×(2/3)×(3/5)
▲FOB＝▲OAC×3/4=3/10▲OED

▲EOPと直線ABからメネラウスの定理を用いると
(EF/FO)×(OB/BD)×(DA/AE)=1
FE/FO=1
より
▲FEA=▲OED×(1/3)×(1/2)=1/6▲OED

よって▲FOB/▲FEA=3/10÷1/6=9/5？

No.68352 - 2020/07/25(Sat) 13:09:59

☆ Re: / ヨッシー

>メネラウスの定理を用いると
>(BO/OD)×(DE/EA)×(AF/FB)=1
において
　BO/OD＝3/5
　DE/EA＝3/1
なので、
>AF/FB=1/3
にはなりません。

No.68355 - 2020/07/25(Sat) 13:38:26

★ 2次方程式 / 受験生

こちらの問題も添削をお願いしたいです。

No.68338 - 2020/07/25(Sat) 09:30:51

☆ Re: 2次方程式 / ヨッシー

上から３行目は、
　ｙ＝f(x) は、軸がｘ＝ｍの・・・
ですね。

(3) は見落としがあります。
(i)(ii) 以外にも、条件を満たす場合があります。
求めたｍの範囲を数直線上にとってみましょう。
何か不自然なところはありませんか？

No.68351 - 2020/07/25(Sat) 12:41:45

☆ Re: 2次方程式 / 受験生

x=1を解に持つとき、が抜けているということでしょうか？解が1のとき、軸が1より大きいという条件はひつようでしょうか？

No.68385 - 2020/07/25(Sat) 23:03:47

☆ Re: 2次方程式 / ヨッシー

>x=1を解に持つとき、が抜けているということでしょうか？
そうです。
解の一つが１で、もう一つが１より大きい場合ですね。
このとき、どんなグラフになるべきかを考えます。
例えば、(ii) の延長で、
　f(1)=0 かつ軸：ｍ＞１かつ f(m)＜0
としたとき、このうちの、軸:ｍ＞１を外したとき、必ずそういうグラフになるか、
別のグラフの可能性はないかを調べれば、軸の条件が必要かどうかが分かると思います。

No.68388 - 2020/07/26(Sun) 07:14:48

☆ Re: 2次方程式 / 受験生

ありがとうございます。解答はm>1で合っていますか？

No.68389 - 2020/07/26(Sun) 07:28:19

☆ Re: 2次方程式 / ヨッシー

解答というのは、この問題全体の解答ですか？
(i)(ii) の解が
　２≦ｍ＜３，３＜ｍ
であり、それに解の一つが１で、もう一つが１より大きい場合
　f(1)=0 かつ軸：ｍ＞１かつ f(m)＜0
が加わっただけで、そこまで範囲が広がらないでしょう。

解の一つが１で、もう一つが１より大きい場合のｍは何ですか？

No.68397 - 2020/07/26(Sun) 12:30:05

★ 対称式 / 受験生

(2)の問題の添削をお願いします。細かいことでも構いません。

No.68336 - 2020/07/25(Sat) 09:12:22

☆ Re: 対称式 / 受験生

こちらが(ii)です。

No.68337 - 2020/07/25(Sat) 09:13:03

☆ Re: 対称式 / IT

（２）の(ii)
最初の「・・・t^3-pt^2+qt+r=0 の解であるから」のp,q,r が唐突な感じです。

「解と係数の関係からx,y,z はtの３次方程式t^3-at^2+(a-7)t+6(a-1)=0 の３つの解である。」
とした方が良いのでは？

No.68339 - 2020/07/25(Sat) 10:02:12

☆ Re: 対称式 / 受験生

(2)の最初のところで一応触れたのですが、やはり唐突でしょうか？

No.68340 - 2020/07/25(Sat) 10:04:30

☆ Re: 対称式 / IT

(2)の(i) 別解

x^3-ax^2+(a-7)x-r=0
y^3・・・・ -r=0
z^3-az^2+(a-7)z-r=0
辺辺加えてx+y+z=a などを代入してrを求める。

数学的なことではないですが、
(2)の(ii) 最後の１行は直前の１行と同じことですから不要と思います。「…（答）」を直前の行に加えればよいのでは。

No.68342 - 2020/07/25(Sat) 10:12:08

☆ Re: 対称式 / IT

＞　(2)の最初のところで一応触れたのですが、やはり唐突でしょうか？
すみません。見落としていました。

定数項は-r ですね？
x,y,z は、・・・・の「３つの解」とした方が正確だと思います。

ｑが数字の９に見えますので気を付けた方が良いかも知れません。

No.68343 - 2020/07/25(Sat) 10:13:26

★ (No Subject) / てんちみ

p.qを複素数としてzについての三次方程式z^3+pz+q=0の解a,b,cを用いた(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2をp,qの多項式の成分とした三次行列式として表す方法がわかりません。またそれをp,qの多項式として表
すこともできません

No.68334 - 2020/07/25(Sat) 03:12:00

☆ Re: / WIZ

解答ではなく参考情報です。

複数項に対して、2項づつの差を取り、それら全部を掛け合わせた式を積差と言います。
質問のケースでは、a, b, c が項であり、(a-b)(b-c)(c-a) が積差となります。
勿論、a と b を入れ替えれば積差は (b-a)(a-c)(c-b) となり符号が反転しますが、
この様な性質を持つ式を交代式と言います。
積差とは概念であり、唯一の式を表すものではありません。

交代式の平方は対象式になります。
対象式は基本対象式で表すことができます。
a, b, c が3次方程式の解であれば、その3次方程式の係数が基本対象式の値となります。
質問のケースでは、a+b+c = 0, ab+bc+ca = p, abc = -q ですね。

尚、代数方程式において、解の積差の平方のことを特に判別式と言います。
質問のケースの3次方程式の判別式は
{(a-b)(b-c)(c-a)}^2 = -4p^3-27q^2
であることが知られています。

また、代数方程式において、係数から判別式の値を求める行列式は知られていますが、
代数方程式の次数を n とすると、行列式の次数は 2n-1 となり、
質問のケースだと5次の行列式となってしまいますね。

Googleで「代数方程式判別式行列」などで検索すると「判別式 - Wikipedia」がヒットしますので、
参考になるかと思います。

No.68361 - 2020/07/25(Sat) 15:46:06

☆ Re: / ast

> 積差と言います。
名称は "差積" (difference-product) ですね. 任意の差に対して総積をとったもの, 差の積 (product of differences) というそのままの構成が言葉の成り立ちです.
# 積和 (product-sum), 和積 (sum-product), 冪和 (power-sum), 冪積 (power-product) など
# 同じ構成の数学用語がいっぱいあります.
## なので高校の三角函数のところで出てくる, "●を×に直す公式" を "●×(の)公式" と呼ぶ方言は
## 個人的にはあまり好きではない.

No.68362 - 2020/07/25(Sat) 16:07:21

★ 分布関数、期待値 / クロックス

夜分遅くにすみません。この問題がわかりません
以下の確率密度をもつ確率変数Xに対していかの問に答えよ
f(x)= {1/b-a a<x<b
{0 otherwise

(1)この時の分布関数F(x)の計算
(2)a=0 b=2のときの期待値と分散
(3)a=0 b=2のとき、P(1<X<1.3)

ご聡明な方ご回答よろしくお願いします。

No.68332 - 2020/07/25(Sat) 01:55:57

☆ Re: 分布関数、期待値 / クロックス

途中式もお願いしたいです。すみません

No.68333 - 2020/07/25(Sat) 02:43:54

★ 微積 / ぴえん

夜遅くに質問失礼します。。。

(2)(3)の問題の座標を、(x,y)=(2,3)にした場合の答えがわからず困っています…

自分なりに数時間向き合ったのですが、授業ではなく資料配布型だったため質問もできずにいました…
聡明な方、助けていただけると幸いです。ご検討よろしくお願いします。

No.68324 - 2020/07/25(Sat) 00:21:08

☆ Re: 微積 / X

(x,y)の値が問題文通りの場合は(2)(3)を解くことはできますか？

No.68378 - 2020/07/25(Sat) 21:44:29

☆ Re: 微積 / ぴえん

Xさん、返信ありがとうございます！
(1,1)の場合は解説を読んで理解できました。
(2)は解決しそうですが、(3)はさっぱりです、、、

No.68382 - 2020/07/25(Sat) 22:29:52

★ (No Subject) / うい

d/dx∫f(t)dt＝f(x)
を使って考えるのだろうな、とは思うのですが
うまく使えずx^2+x-2
になるのがわかりません。
教えてください

No.68321 - 2020/07/24(Fri) 23:36:17

☆ Re: / X

解答の前に一言。
>>d/dx∫f(t)dt＝f(x)
ですが
∫f(t)dt
は独立変数がtですので
成立しません。

成立するのは
積分範囲の上端がx、下端が定数である積分に対して
(d/dx)∫[a→x]f(t)dt=f(x) (A)
或いは独立変数がxである不定積分に対して
(d/dx)∫f(x)dx=f(x)
です。

それで(A)の見方ですが、(A)の左辺の被積分関数の
f(t)
の独立変数tをxに入れ替えたものが
(A)の右辺になる、という考え方で
問題ありません。

No.68327 - 2020/07/25(Sat) 00:31:58

☆ Re: / ヨッシー

公式そのまま使うなら、
　(d/dx)∫[a～x]g(t)dt＝g(x)
において、g(x)＝x^2＋x－2 であるので、そのまま
　f(x)＝g(x)＝x^2＋x－2

公式の証明をするなら、
g(x) の原始関数をG(x) とすると、dG(x)/dx＝g(x)
　∫[a～x]g(t)dt＝G(x)－G(a)
G(a) は定数なので、
　(d/dx)∫[a～x]g(t)dt＝dG(x)/dx＝g(x)

公式を使わないなら、
　∫[a～x](t^2＋t－2)dt＝[t^3/3＋t^2/2－2t][a～x]
　　＝x^3/3＋x^2/2－2x－(a^3/3＋a^2/2－2a)
よって
　f(x)＝(d/dx)∫[a～x](t^2＋t－2)dt
　　＝(d/dx){x^3/3＋x^2/2－2x－(a^3/3＋a^2/2－2a)}
　　＝x^2＋x－2

No.68328 - 2020/07/25(Sat) 00:32:48

★ 積分 / うい

線を引いた部分なのですが、xを無視してしまってもaが出せるのが
ちょっと不思議で理解できません。
確かにxがあると変な式になってうまく進めないのですが……
どうしてか教えていただきたいです。

No.68318 - 2020/07/24(Fri) 22:00:03

☆ Re: 積分 / ヨッシー

ｘを無視しているのではなく、ｘを含んでいない式なので、
気にする必要がないのです。

逆に、「ｘを含んで変になった式」とはどんなものですか？
きっと、存在するはずのないｘを無理矢理入れているものと
想像できます。

No.68319 - 2020/07/24(Fri) 22:12:59

☆ Re: 積分 / うい

含んでいないんですね…
ありがとうございます

No.68320 - 2020/07/24(Fri) 23:34:19

★ 対称式の連立方程式 / 受験生

(2)の問題についてです。xとyの対称式として考えていき、tの2次方程式を導くと思うのですが、t の二次方程式の解が全て正とならなくてはいけないのはどうしてでしょうか？少なくとも一組と言っているので、そこがしっくりきません。

No.68312 - 2020/07/24(Fri) 18:34:42

☆ Re: 対称式の連立方程式 / X

＞＞少なくとも一組
の一組とは
(x,y)
の値の組です。
この組である2つの値であるx,yは
「いずれも」
導くべきtの二次方程式の解です。

No.68315 - 2020/07/24(Fri) 18:39:55

★ 方程式の解 / aiko

この問題なのですが……、

⑴で方程式が正の解ただひとつを持つことを示したいときに、変数を含むe^(ax)をかけて、その方程式が正の解をただひとつ持つことによって、同値的なかんじで、もとの方程式も正の解をただひとつ持つということを証明しているのですが、こんなことしていいんですか？？？

定数ならかけてもいいのわかるんですけど、証明したいときに、変数を含むやつそれごとかけていいんでしょうか？？

No.68309 - 2020/07/24(Fri) 17:31:15

☆ Re: 方程式の解 / X

>>同値的なかんじ
ではなくて、同値変形そのものです。
同値変形であるなら、その際に定数をかけようが
xの関数をかけようが何も問題ありません。

No.68313 - 2020/07/24(Fri) 18:36:15

☆ Re: 方程式の解 / aiko

ふむふむ、ありがとうございます！

ちなみになんでいいんですか？

No.68316 - 2020/07/24(Fri) 19:07:11

☆ Re: 方程式の解 / X

逆に聞きますが、同値変形という言葉の意味は理解できていますか？

No.68325 - 2020/07/25(Sat) 00:22:57