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★ (No Subject) / ポリスメン
三桁の正の整数Nの百の位の数字をa、十の位の数字をb、一の位の数字をcとすると、N=60a+25b+5cとなる。このようなNをすべて求めよ。

という問題の解き方を教えてください。
No.69313 - 2020/09/01(Tue) 21:22:52
☆ Re: / らすかる
N=60a+25b+5c=100a+10b+cを整理して4(10a-c)=15b
4と15は互いに素だからbは4の倍数、10a-cは15の倍数
a≠0から10a-c＞0なのでb≠0、従ってbは4か8
b=4のとき10a-c=15からa=2,c=5
b=8のとき10a-c=30からa=3,c=0
よって答えは N=245,380
No.69316 - 2020/09/01(Tue) 23:27:03
☆ Re: / ポリスメン
なるほど！ありがとうございます！
No.69317 - 2020/09/01(Tue) 23:41:16
★ 確率 / コナンブルー
高1 テーマは確率です。
【じゃんけんについて次の問いに答えよ。ただし全員がグーチョキパーを無作為に出すとする。
(1)A,Bの2人がじゃんけんをする。あいこのときは繰り返すが、じゃんけんの回数は最大n回とする。このときAが勝つ確率を求めよ。

(2)A,B,Cの3人がじゃんけんをする。1回目は3人で始め、負けた者は抜けることにしてじゃんけんを繰り返すが、じゃんけんの回数は最大n回とする。このときAが独り勝ちする確率を求めよ。】
以上です。

(1)はできました。k回目にAが勝つ確率を求め、それを1〜nまでΣで計算しました。問題集の解答にはこれは別解となっていて、基本の回答は、
n回で決着がつかない場合(余事象)を求めて1から引くと言ったものです。こちらは理解しました。問題は(2)です。

(2)の解答を写します。余事象から求めるやり方です。
「3人で1回じゃんけんをしたときあいこになる確率は1/3
よってあいこがn回続く確率は(1/3)^n
次に、n回で2人残っている確率を求める。
3人で1回じゃんけんをしたとき2人が勝ち残る確率は1/3
よって、
k回目で2人になって、n回目の時点でも2人である確率じ(1/3)^n
したがってn回の時点で2人の確率はn×(1/3)^n

以上よりn回で1人だけが勝ち残る確率は
1-(1/3)^n-n(1/3)^n=1-(n+1)(1/3)^n =P(とします)
3人がそれぞれ一人勝ち残る確率は等しいから
求める確率は1/3P」

《ここから質問です》
問題集の注釈で、(2)も直接求められると書いてあります。
その場合の式はどうなりますか？
自分でもやってみたのですが、Σの計算がよくわからなくなって詰みました。
3人のあいこがずっと続き、そこからAが勝つ確率しか求められませんでした。
2人に絞られ、そこからあいこが続きor続かないでAが勝つ場合の式がわかりません。

よろしくお願いします！
No.69308 - 2020/09/01(Tue) 01:05:06
☆ Re: 確率 / IT
k回めにA１人が勝ち残るのは
　k-1回連続で３人あいこのパターン
　 確率((1/3)^(k-1))(1/9)

　途中２人になるパターンは、
　　２人になる回がk-1通り
　　３人があいこになる確率は1/3
　　３人からAを含む２人になる確率は2/9
　　２人があいこになる確率は1/3
　　２人のうちAが勝つ確率は1/3 なので
　　確率　(k-1)(2/9)(1/3)^(k-1)

併せて,k回めにA１人が勝ち残る確率
＝(1/3)^(k+1)+(k-1)(2/9)(1/3)^(k-1)
＝2k(1/3)^(k+1)-(1/3)^(k+1)

これを、k＝1からnまで合計すれば良い。
No.69309 - 2020/09/01(Tue) 03:53:22
★ (No Subject) / のん
∠a<90°かつ∠b<90°は、△abcが鋭角三角形であるための必要条件であるが十分条件ではない。
なぜ必要条件となるのか、そしてなぜ十分条件になるのかよくわかりません。十分条件の方は反例を示していただき、必要条件の方は解説をお願いできませんでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.69306 - 2020/08/31(Mon) 21:46:49
☆ Re: / IT
△abcが鋭角三角形であるということの定義が　書けますか？
（できるだけ "∠a<90°"などの不等式を使って）書いてみてください。
No.69307 - 2020/09/01(Tue) 00:15:44
☆ Re: / のん
∠a＜90°、∠b＜90°、∠c＜90°でしょうか？
No.69310 - 2020/09/01(Tue) 19:03:06
☆ Re: / IT
合っていると思いますが、
正確には、３つの不等式を　"かつ"　か　"または" のどちらかでつないでください。

教科書には、「必要条件」、「十分条件」について　どのように説明してありますか？

『「∠a<90°かつ∠b<90°」は　
「∠a<90°かつ∠b<90°かつ∠c<90°」であるための「必要条件」であること』は、「必要条件」の意味が分っていれば説明なしで分ることだと思います。

『「∠a<90°かつ∠b<90°」は　
「∠a<90°かつ∠b<90°かつ∠c<90°」であるための
「十分条件」でないこと』は、直角三角形、鈍角三角形の３つの角の大きさについて考えれば、直ぐに「反例」が見つかると思います。
No.69311 - 2020/09/01(Tue) 20:03:34
☆ Re: / のん
かつでつなぐべきでしたね。すみません。
反例は∠a=45°,∠b=45°,∠c=90°の時でしょうか？
No.69312 - 2020/09/01(Tue) 21:05:13
☆ Re: / IT
それも反例の１つですね。
No.69314 - 2020/09/01(Tue) 21:25:25
☆ Re: / のん
ありがとうございます！すっきりしました！
No.69334 - 2020/09/02(Wed) 21:05:02
★ (No Subject) / 飯島
なぜ赤線を引いたΣは k=0からでないのですか？
No.69302 - 2020/08/31(Mon) 20:04:38
☆ Re: / IT
y≧0ですから　ｙ＝2k-1 で、k=0だとｙ＝-１で範囲外です。
No.69303 - 2020/08/31(Mon) 20:07:48
☆ Re: / 飯島
納得しました！ありがとうございます！
No.69304 - 2020/08/31(Mon) 20:11:45
★ (No Subject) / 積分素人
?度^2/(1+e^x)dxが求められない理由を証明しなさい。
No.69300 - 2020/08/30(Sun) 23:37:24
★ 確率 / 瑛
6P2でなく6C2になるのはなぜですか？
6c2のところを6p2にして解きました
No.69295 - 2020/08/30(Sun) 20:59:41
☆ Re: 確率 / 瑛
⑶の問題です
No.69296 - 2020/08/30(Sun) 21:00:10
☆ Re: 確率 / IT
まず、赤以外の　２枚を（順番は関係なく）選んでから

[赤赤赤]と併せて、並べています。
後のほう ３！＝６（通り）のところで並び順を考慮しています。
No.69297 - 2020/08/30(Sun) 21:16:21
☆ Re: 確率 / ヨッシー
ＩＴさんと逆の見方をするなら、
赤３枚のかたまりをＡ、他の２枚をＢ，Ｃとすると、並べ方は
　ＡＢＣ，ＡＣＢ，ＢＡＣ，ＢＣＡ，ＣＡＢ，ＣＢＡ
の６通りあります。

一方、カードを、１，２，３，４，５，６，７，８，９ とし、
１，２，３が赤、４，５，６が青、７，８，９が白とします。
もし、赤のカード以外の２枚のカードＢ，Ｃの選び方を　6Ｐ2 で計算すると
　Ｂ＝４，Ｃ＝５　と選んだのと　Ｂ＝５，Ｃ＝４　と選んだのは別の選び方となります。
Ｂ＝４，Ｃ＝５ をＡＢＣに当てはめた　Ａ４５　と
Ｂ＝５，Ｃ＝４ をＡＣＢに当てはめた　Ａ４５　は
同じ並びなのに、別々に数えたことになり、場合の数が２倍になってしまいます。
　
No.69299 - 2020/08/30(Sun) 21:31:08
☆ Re: 確率 / 瑛
ありがとうございました！
No.69301 - 2020/08/30(Sun) 23:52:35
★ 因数分解 / ちび
X^2+(10y-y^2)^2+y^6=2019のXとYの整数の組み合わせを求めます。どのように因数分解したらいいのでしょうか。
No.69290 - 2020/08/30(Sun) 17:00:29
☆ Re: 因数分解 / IT
すべての項が +偶数乗≧0　なので　y^6≦2019からyの範囲を絞ったらどうですか？
y=0,±1,±2,±3 に限られます。（0は即不適が分ります。）

整数解はなさそうですが、元の方程式がまちがっているのでは？
No.69291 - 2020/08/30(Sun) 17:38:41
★ 対偶 / のん
細かい質問なんですけど、命題「nが整数のとき、n^2が偶数ならばnは偶数である」の対偶は「nが整数のとき、nが奇数ならばn^2は奇数である」だと思うのですが、模範解答には「nが整数のとき」というのが抜けています。これは良いのでしょうか?
No.69288 - 2020/08/30(Sun) 11:38:49
☆ Re: 対偶 / X
nが整数
というのは問題の命題の前提条件ですので
問題ありません。
No.69289 - 2020/08/30(Sun) 13:34:48
☆ Re: 対偶 / のん
そうなのですね、ありがとうございます。
No.69292 - 2020/08/30(Sun) 19:51:14
★ 確率漸化式 / A
(2)についてです
漸化式は　p(n+1)=p(n)/3+1/3^n+1 なのですが、ここから一般項を求める時に階差数列の公式を使うことはできないのでしょうか？
答えは　p(n)=n/3^n です。
pnが分かりにくいのでp(n)と書かせていただきました。
No.69280 - 2020/08/29(Sat) 22:48:58
☆ Re: 確率漸化式 / IT
p(n+1)=p(n)/3+1/3^(n+1) ですよね？

＞ここから一般項を求める時に階差数列の公式を使う
質問の趣旨がはっきりとは分りませんが、
q(n)=(3^n)p(n) と置くなどしないとできないのでは？
No.69282 - 2020/08/30(Sun) 01:02:15
☆ Re: 確率漸化式 / A
分かりました。ありがとうございます。
No.69285 - 2020/08/30(Sun) 07:48:14
★ (No Subject) / モンスター！
二重否定を外してヨみたいなやつをAみたいなやつに変えるとこまでいけました
No.69278 - 2020/08/29(Sat) 18:07:58
★ (No Subject) / のんのん
画像でなぜABH∽ATCになるのでしょうか？？
No.69275 - 2020/08/29(Sat) 16:29:02
☆ Re: / IT
２角（したがって３角）が相い等しいからです。
探してみてください。
No.69277 - 2020/08/29(Sat) 17:23:53
★ (No Subject) / のんのん
画像で、外接円の半径の求め方を教えてください。
No.69270 - 2020/08/29(Sat) 15:21:13
☆ Re: / ヨッシー

円周角の性質より、図のθの角度は
　θ＝135×2＝270°
よって、△ＢＯＣは直角二等辺三角形になります。
No.69272 - 2020/08/29(Sat) 15:35:10
☆ Re: / ヨッシー
正弦定理を知っているなら、
　２Ｒ＝ＢＣ/sin135°
です。Ｒが外接円の半径です。
No.69273 - 2020/08/29(Sat) 15:36:32
★ 集合と論理の同値変形について / middle
この同値変形がいくら考えてもわかりません。解説できる方お願いいたします。
No.69269 - 2020/08/29(Sat) 15:06:33
☆ Re: 集合と論理の同値変形について / IT
どんな同値変形を習いましたか？

まず、適当に　否定を同値変形すれば良いと思います。
No.69271 - 2020/08/29(Sat) 15:26:00
★ ベルヌーイの不等式　数学?V / kitano
kitano です。

数学?V 指数関数とベルヌーイの不等式

こんにちは、

何卒宜しく御願い致します。

問題
No.69260 - 2020/08/29(Sat) 01:54:14
☆ Re: ベルヌーイの不等式　数学?V / X
方針を。
(1)
a=1+h(h＞0)
と置き、ベルヌーイの不等式を使います。

(2)
(i)a=0のとき
(ii)0＜a＜1のとき
(iii)-1＜a＜0のとき
に場合分けして
lim[n→∞]a^n=0 (A)
を証明します。

(i)のときは(A)の成立は明らか。
(ii)のときは
a=1/(1+h) (h＞0)
(iii)のときは
a=-1/(1+h) (h＞0)
と置き、それぞれベルヌーイの不等式を使います。
No.69262 - 2020/08/29(Sat) 09:03:35
☆ Re: ベルヌーイの不等式　数学?V / kitano
X さん、ご回答有難うございます。

以下のように考えました

https://imgur.com/a/Ioht2Uq

ベルヌーイの法則をなぜ利用しなければいけないのかわかりません

どうか教えて下さい
No.69284 - 2020/08/30(Sun) 07:45:16
☆ Re: ベルヌーイの不等式　数学?V / X
この問題は、アルキメデスの公理とベルヌーイの不等式
を使うのに慣れるためか、或いは別の理由で
敢えて使用を指定しているのだと思います。

従って、命題の証明が数学的に正しかったとしても
アルキメデスの公理とベルヌーイの不等式を証明に
使っていなければ、ご質問の問題に対する解答と
しては誤りです。
No.69286 - 2020/08/30(Sun) 09:56:43
☆ Re: ベルヌーイの不等式　数学?V / IT
>二項定理より
>　・・・・(1+h)^n=....＞nh

のところは、「ベルヌーイの不等式」　では？
これを途中証明なしに使っても良いよという親切だと思いますが。
No.69287 - 2020/08/30(Sun) 10:15:02
☆ Re: ベルヌーイの不等式　数学?V / kitano
Xさん。ITさん。

ご回答有難うございました。

kitano

また、宜しく御願い致します。
No.69305 - 2020/08/31(Mon) 20:35:31
★ 同値変形 / middle
これら2問の同値変形について解説お願いします。
No.69257 - 2020/08/28(Fri) 19:49:10
★ 微分積分の問題 / Casper
下記の問題の解答と解答式をご教授して頂ければ幸いです。

実数 x, y の関数 f(x) = x^4 + 4x^3 − 12x^2，g(y) = y^2 について。
下記の?@〜?Cの問に解答せよ。
※f(x) = x^4(xの4乗) + 4x^3(4xの3乗) − 12x^2(12xの2乗)、g(y) = y^2(yの2乗)

?@
関数 f(x) のグラフをかけ。

?A
∫[-2,0] f(x) dx を求めよ。また、これは何を求めていることに対応するか述べよ。

?B
ベクトル v = (x, y)、ベクトルd = (f′(x), g′(y)) 。
ベクトル w = ベクトルv − ベクトルd を x と y を用いて表せ。
※f′(x)はf(x) = x^4 + 4x^3 − 12x^2 の微分、g′(y)はg(y) = y^2 の微分

?C
ベクトルv と ベクトルw のなす角を θ とする。
ただし、0 ≤ θ < π 。
x = 1, y = 1 のときの tan θ の値を求めよ。
No.69256 - 2020/08/28(Fri) 19:44:54
★ 積分 / れいな
xyz空間内で、O(0,0,0)を中心とする半径3の球の内部をP,A(2,0,0)を中心とする半径3の内部をQとする。このとき、領域P∩Qの体積は、(56/3)πである。

解法が思いつきません。よろしくお願いします。
No.69254 - 2020/08/28(Fri) 19:15:48
☆ Re: 積分 / IT
図を描くことが大切です
１　xy平面での断面図（図１）を描きます。
　　　半径３の円が２つ出来ます。
　　２つの円の交点のx座標を求めます

２　x軸に垂直な平面での断面を考えます。
　領域P∩Qの断面は、xの値によって半径が変化する円になります。

３　円の面積を積分して体積を求めます。
No.69255 - 2020/08/28(Fri) 19:36:20
☆ Re: 積分 / れいな
V=2π∫[1~3]{9 - x^2}dx
=(56/3)π

ということでしょうか。
No.69259 - 2020/08/29(Sat) 01:02:14
☆ Re: 積分 / IT
そうですね。
No.69261 - 2020/08/29(Sat) 03:30:17
☆ Re: 積分 / れいな
ありがとうございました。
No.69276 - 2020/08/29(Sat) 17:20:10
★ 確率の最大値について / しょう
質問なのですが、この問題の精講の言ってる内容が理解しづらいのですが、どういうことなのでしょうか？漠然とした質問で申し訳ないです。
No.69252 - 2020/08/28(Fri) 18:30:59
☆ Re: 確率の最大値について / IT
分ることと分らないことを、できるだけ明確にされる必要があります。

一文一文よく読んでその上で、
特にどこが分らないか（複数あるなら複数でも）を書かれないと補足説明のしようがないと思います。
No.69253 - 2020/08/28(Fri) 18:43:09
★ 因数分解 / モンスター！
b^2＋2b＋3＝0
因数分解してみてください
No.69247 - 2020/08/28(Fri) 16:25:20
☆ Re: 因数分解 / 関数電卓
因数分解は
　b^2＋2b＋3＝(b＋1＋(√2)i)(b＋1−(√2)i)
No.69248 - 2020/08/28(Fri) 16:45:58
★ (No Subject) / のんのん
画像の三角形の外接円の半径の求め方を教えてください。
No.69243 - 2020/08/28(Fri) 15:01:37
☆ Re: / のんのん
すみません。画像を貼り忘れてました。
No.69244 - 2020/08/28(Fri) 15:03:28
☆ Re: / ヨッシー
ＢＣの中点をＭとし、ＡＯ＝ｘ　とすると
ＯＢ＝ＯＣ＝ｘ、ＯＭ＝８−ｘ
△ＯＢＭにおいて、
　ｘ^2＝(８−ｘ)^2＋３^2
これを解きます。
No.69245 - 2020/08/28(Fri) 15:31:38
☆ Re: / のんのん
なぜAOの延長にMがあるといえるんですか？
No.69249 - 2020/08/28(Fri) 16:46:04
☆ Re: / ヨッシー
それは、図形を描く順番が違います。

ＡＯの延長上にある点Ｍにおいて、ＡＯに垂直な直線を引き
円との交点をＢ，Ｃとすると、ＢＭ＝ＣＭ となる。
です。

ＢＭ＝ＣＭ　は△ＯＭＢ≡△ＯＭＣ を証明することにより示せます。
No.69250 - 2020/08/28(Fri) 17:39:30
☆ Re: / のんのん
なるほど。ありがとうございます！
No.69251 - 2020/08/28(Fri) 17:50:40
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