{(2,2,3,-2),(-1,5,0,0),(1,0,6,-2),(2,-1,6,-1)}の固有値を求める問題なのですが、計算が難しく求められません。
また、{(2,2,-1,-1),(2,1,0,-1),(4,0,1,-2),(2,2,-1,-1)}のジョルダン標準形を求める問題で、固有値が0,1(3重解)
固有値0の基は(1,0,0,2)まで求められたのですが、固有値1のときの(A-E)^2と(A-E)^3の基が求められません。
(A-E)の基は(0,1,2,0)になりました。
どちらか1問のみでも大丈夫です。
よろしくお願いいたします。
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No.68215 - 2020/07/21(Tue) 23:20:18
| ☆ Re: 線形数学 / はな | | | A= {(2,2,-1,-1),(2,1,0,-1),(4,0,1,-2),(2,2,-1,-1)}と置いています。
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No.68217 - 2020/07/21(Tue) 23:20:59 |
| ☆ Re: 線形数学 / ast | | | 前半:
> 計算が難しく求められません。
難しいのは何の計算ですか? 固有多項式を導くための行列式の計算? 固有値を導くための固有方程式の計算? それとももっと別の何かですか?
# 後半部分を見るに, 4-次行列でも (行列式も方程式も) 求める手段は持ってるように思えるが……
固有方程式が解けない場合であれば, 求めた固有多項式をここに提示してください (解き方の説明の都合もありますが, 行列式の計算間違いをしている可能性も同時につぶすためです).
後半:
> (A-E)^2と(A-E)^3の基
> (A-E)の基
というのが意味不明ですが, 考えるべきは (固有値 λ に対して) (A-λE)x=0 を満たすベクトル x (特に x≠0 のもの) のはずですから, 求めるべきは kernel (Ker(A-E), Ker((A-E)^2), Ker((A-E)^3)) の基底のはずですよね.
Ker(A-E) の基底ベクトルが出せているということは, 連立一次方程式 (A-E)x=0 の解は求められるということのはずです (必然的な理由でこの連立方程式の解は不定になるので, 自由に値をとれる変数が (この場合 1 個だけ) 残り, その自由度が kernel の次元であり, つまり基底ベクトルを与えます). すると Ker((A-E)^2), Ker((A-E)^3) も同様に求められるはずなのですが, 何に詰まっていますか?
[a] 行列 (A-E)^2, (A-E)^3 は求められますか? 求められるなら結果の行列を述べてください.
[b(i)] 連立一次方程式 (A-E)^2x=0, (A-E)^3x=0 を [a] の結果を用いて (変数ベクトルは縦ベクトルで x=(x,y,z,w) としましょうか) 具体的に (つまり行列ではなくて中学校辺りからお馴染みの書き方で) 書き下してください.
[b(ii)] (i) の連立方程式を解くと解には自由に値がとれる変数が残りますが, どれがそうか分かりますか? もし分からなくとも, 解を変数 x,y,z,w を用いて書いてください.
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No.68229 - 2020/07/22(Wed) 13:28:39 |
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