どのように証明すればよいのかまったくわかりません．
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No.68117 - 2020/07/19(Sun) 17:34:50
| ☆ Re: 中間値の定理？ / IT | | | もっとストレートな方法があるかも知れませんが、定積分を使ってみました。
b,c ∈(0,a) ,b＜c とする。
f(0)=0 なので､
f(b)/b=∫[0,b]f'(t)dt/b, f(c)/c=∫[0,c]f'(t)dt/c
f''(x)＞0なので f'(x)は狭義単調増加
したがって
x ∈(0,b)でf'(x)＜f'(b) よって ∫[0,b]f'(t)dt＜bf'(b)
x ∈(b,c)でf'(b)＜f'(x) よって ∫[b,c]f'(t)dt＞(c-b)f'(b)
等号が成り立たないことを示すには、もう少し厳密な議論が要るかも。
∴∫[b,c]f'(t)dt＞(c-b)∫[0,b]f'(t)dt/b
f(c)＝∫[0,b]f'(t)dt+∫[b,c]f'(t)dt
＞∫[0,b]f'(t)dt+(c-b)∫[0,b]f'(t)dt/b
＝(c/b)∫[0,b]f'(t)dt
＝(c/b)f(b)
∴f(c)/c＞f(b)/b
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No.68120 - 2020/07/19(Sun) 18:30:53 |
| ☆ Re: 中間値の定理？ / IT | | | ほとんど同じことですが、「定積分の平均値の定理」 を使えば良いですね。
普通の「平均値の定理」でも出来るかも。
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No.68121 - 2020/07/19(Sun) 19:06:46 |
| ☆ Re: 中間値の定理？ / ast | | | f(x) を 0 のまわりで (剰余項が 2-階導函数で書けるところまで) テイラー展開すると, f(0)=0 だから f(x)/x = f'(0)+f''(c(x))x/2 (0< c(x)< x) のような形になり, (c(x) は x に依存して変化するので一次式なわけではないが) 各点 x において瞬間の傾き f''(c(x)) は仮定により正なので単調増大であることは十分保証できる, というのはどうでしょうか.
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No.68122 - 2020/07/19(Sun) 19:22:46 |
| ☆ Re: 中間値の定理？ / IT | | | 普通の平均値の定理で簡単に言えますね。b,c は前記のとおりとします。途中、はしょってますので、埋めてください。
平均値の定理とf"(x)＞0,f(0)=0から、
f(b)/b=(f(b)-f(0))/(b-0)＝f'(β)＜f'(γ)＝(f(c)-f(b))/(c-b), （0＜β＜b＜γ＜c）
通分して整理 cf(b)＜bf(c) ∴ f(b)/b＜f(c)/c
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No.68123 - 2020/07/19(Sun) 19:29:49 |
| ☆ Re: 中間値の定理？ / 黄桃 | | | No.68127 - 2020/07/19(Sun) 20:43:33 |
| ☆ Re: 中間値の定理？ / meow | | | 皆さん回答ありがとうございます．
マクローリン展開する方法はまったくもって予想外でした．
平均値の定理がいちばん簡潔なのかな？とも思いました．
もう一度確認し，解いてみようと思います．
ITさん，astさん，黄桃さん．ありがとうございました．
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No.68129 - 2020/07/20(Mon) 00:26:53 |
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