α,β∈Rのとき
x(t)=e^(αt)cos(βt)x(0)
y(t)=e^(αt)sin(βt)y(0)のx-yグラフを,α,βの正負で場合分けして求めよ。
という問題です。
２つの式をどちらもt=の形にして等式でつなぎy(t)=Ax(t)+Bの形にすると考えたのですがその先がよくわかりません。
教えていただけると嬉しいです。
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No.68533 - 2020/08/01(Sat) 02:16:55
| ☆ Re: / ast | | | 問題の置かれた文脈がよくわからないのですが, 一般論としては x(t), y(t) をそれぞれ t の函数として扱って, 増減表を書くなどして, それらの組としての曲線上の点を t に沿って追跡していくという方法論が求められている蓋然性が高そうな場面にも見えますね…….
> ２つの式をどちらもt=の形にして
というのは, それぞれ単独で変形をして t を x,y それぞれを変数とする一変数の既知函数を用いて表すという意味なのであれば無理でしょう.
二変数 x,y の函数として t について解くならいくつか考えられますが, たとえば
[i] sin(βt), cos(βt) (引数が βt で同じ) の基本関係から (x(t)/x(0))^2+(y(t)/y(0))^2 = (e^(αt))^2,
[ii] 辺々割れば e^(αt) は共通因数なので消えて (x(t)/x(0))/(y(t)/y(0))=1/tan(βt)
などは単純な思い付きでも出ると思うので, よって
log((x(t)/x(0))^2+(y(t)/y(0))^2)/(2α)=t=arctan((y(t)/y(0))/(x(t)/x(0)))/β
のような形で t を消去することはできるでしょうが, よい手には思えないですね.
i,ii を利用するのであれば, x(t)/x(0), y(t)/y(0) を改めて x,y と置き換えてから, 極座標変換 r=√(x^2+y^2), θ=arctan(y/x) を用いて極方程式 r=e^(αθ/β) (になるかな?) で見る方法を考えたほうがマシでしょう (複素数平面で見るという話でも同じことになるかな).
# これが螺旋の式なのは割と有名な気もするが, 既知の事項としてよいとは思わないので,
# そのように考えるべき, 考えたほうが良い, とは書かずに「マシ」とした.
## 既知なのであれば, 問いの但し書き「α,βの正負で場合分けして求めよ」という部分が,
## 螺旋が内巻きか外巻きか、右巻きか左巻きかみたいなことが訊かれているのだろうと察せられますね.
### もちろん,「x(t)/x(0), y(t)/y(0) を改めて x,y と置き換え」たのをもとに戻す必要はありますが,
### (xy-直交座標系でなら軸方向に縮小/拡大するだけだが) 極座標で考えているうちは無理かな…….
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No.68550 - 2020/08/01(Sat) 15:04:33 |
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