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★ 中学の復習問題 / 数学不得意高１
答え（1）２００　㎠　（2）∠ＰＡＢ≦　∠ＡＰＢ　図形が苦手でわかりません。詳しい解説よろしくお願いいたします。
No.68111 - 2020/07/19(Sun) 15:19:59
☆ Re: 中学の復習問題 / X
(1)
説明)
条件から、図において
AB//EF
EF//CD
となるので
AB//CD
よって点Pの辺CD上での位置によらず
△ABPの面積は一定です。

面積について)
よって△ABPの面積は△ABCの面積に
等しくなっています。
後は△BECに三平方の定理を適用して
BCの長さを求めます。

(2)
(1)の面積の計算過程から
BP≦BC≦AB
(注:これは(1)でBCの長さを自分で計算した上で
その数値を用いて大小比較して下さい。)
よって△ABPの辺に対応する角を考えて
∠PAB≦∠APB
No.68124 - 2020/07/19(Sun) 20:14:47
☆ Re: 中学の復習問題 / ヨッシー
折った状態では、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝20cm なので、
四角形ＡＢＣＤは正方形となり、点ＰがＣＤ上を動くとき
図のような状態になります。

よって、△ＡＢＰは面積が一定で、面積は
　底辺（ＡＢ）×高さ÷２
で求められます。


図において、ＡＢ＝ＢＣ＝20cm、ＢＥ＝10√2cm であり、△ＡＰＢの形は、点Ｐが
ＣとＥの間（両端を含む）にあるときの図での△ＡＢＰの形と
一致します。
点Ｐが点Ｃの位置にあるとき、△ＡＢＣは直角二等辺三角形なので、
　∠ＰＡＢ＝∠ＡＰＢ＝45°
それ以外のときは、
　∠ＰＡＢ＜45°　
で必然的に
　∠ＡＰＢ＞45°
以上より
　∠ＰＡＢ≦∠ＡＰＢ　（等号は点Ｐが点Ｃの位置にあるとき）
No.68126 - 2020/07/19(Sun) 20:40:17
☆ Re: 中学の復習問題 / 数学不得意高１
詳しい解説ありがとうございました。
No.68179 - 2020/07/21(Tue) 06:45:08
★ 指数関数 数2 / しいき
指数関数について質問です。
解答を見ると、いきなりルートにするのではなく、式を簡単にしてからルートにしています。
いきなりルートにするのはいけないのでしょうか？？
また、どちらでも大丈夫な場合、いきなりルートにする解き方を知りたいです。
No.68110 - 2020/07/19(Sun) 12:57:39
☆ Re: 指数関数 数2 / ヨッシー

こういう変形がすらすら出来るようなら、最初から√にしても良いです。
なぜ、こうなるの？というレベルなら、指数のまま変形する練習を
もう少し重ねる必要があります。

いきなり√のやり方はこうです。

No.68118 - 2020/07/19(Sun) 17:59:17
★ (No Subject) / マシュマロ
[0] V* の元 f,g に対して,
[0-i] 一次結合 αf+βg (α,β はスカラー) とはどのように定義された写像か答えよ
[0-ii] また, この一次結合が線型写像であることを示せ
[0-iii(a)]
f が写像として 0 に等しい (これを f=0 あるいは f≡0 と書きます) とはどういうことか定義を書け
[0-iii(b)] 等式 αf+βg=0 が成り立つとはどういう意味かわかりやすく書け (定義域の元 v∈V における値 f(v), g(v) の言葉で述べよ)
という問題の解答を教えてください。

教科書等を見ても明確な答えがわからなかったので教えてください。
No.68104 - 2020/07/19(Sun) 11:08:54
☆ Re: / IT
前の質問の続きとは思いますが、あらためて質問されるなら
前提条件をすべて書かれる必要があります。

V* からして　何のことか分りません。

主な教科書は、何ですか？
[0-ii] は、「線型写像」の定義が分っていれば容易だと思いますが？「線型写像」の定義はどう書いてありますか？
No.68107 - 2020/07/19(Sun) 11:28:12
☆ Re: / マシュマロ
V*は双対空間のことですが、双対空間はまだ未習です。
双対空間のことにいろいろ調べたのですが、あまり調べても出てきませんでした。基本的な定義は線形写像と同じでいいのでしょうか。
No.68108 - 2020/07/19(Sun) 11:39:15
☆ Re: / ast
# まあこのまま放っておくのも何なので, 少し書きます.
こちらから答えを書かない (つまり定義は提示しない) 理由を既に説明したつもりですが, このような質問をされるということはあまり通じていないのでしょうね. [0] は質問者の使っている教科書がどのような定義を採用しているか提示してくれというものなので, 回答者が教えるのはそもそも不可能です (質問者の教科書をネットワーク越しに見ることができるなら別ですが). それに問題文も改変されて一部意味・趣旨も変わってしまっていますね.
# 例えば, iii(b) は「わかりやすく書け」に改変されているが, もとの文は写像の相等の定義通りに
# という意図です (iii(a),(b) と並行な番号にしたのはそういう意図を示唆してのもの).
# (そして, 写像の相等は値の言葉で定義されているはずだから, 値の言葉で書けと補記した).

定義をこちらから提示しない理由をもう少し書いておきますが, もし図書館などへ行って同分野の複数の教科書を見比べる機会が作れるなら, 一度くらいは読み比べをしてみて欲しいのですけれど, 同じ概念を定義するのでも定義には複数の流儀があることが多々あることを実感して欲しいです. それは例えば細かな表現や用いる記号あるいは単純に述べ方のスタイルがちょっと違う程度の場合もあれば, 見た目も何もかも全然違うものだったりすることもあります.
前者では見た目はほんのちょっとの違いと思っても論理的には全然異なる (大体は同じだったとしても例外などの末節に近い部分などを見ると割と顕著に違ってきたりする) という場合がしばしばあるし, 後者でも論理的には同値だから文脈によって使いやすい定義の仕方を選んでるというパターンは少なくない (同じことを示すのでも楽に述べられるとか整理がしやすいとかで, それぞれの仕方に一長一短あることが多い. なので「よくある定義の仕方でいいから」って言われてもそういうのですら何種類もあって区別ができないというのもザラ), そういった理由で定義のすり合わせをしないと話が合わないということがよくある (ある定義に基づいて説明したけど, 定義を確認したら違ってて, 結局最初から全部説明し直さないといけなくなったみたいなのは回答者も質問者も得しないから避けたい).

結局, 定義の違いから生じる違いを自分で修正するように求めるのと, 自分 (の学習に使っている本) が採用している定義を提示してもらうのと, 質問者にとってどっちが酷ですか, という話なわけです.

何にしても, 数学のどんな議論も定義から順番に積み重ねられるものなので, 何を調べたのか分からないが定義も知らないという状態からは何の話も始まりません. 問題に取り組むなら, 必要最低限の前提として定義を把握することは済ませてからにして欲しいと思います.

仮にもし, 本当に何も知らない状態から懇切丁寧に全部教えるようなことがもし想定されているのであれば, それはお金払って教師を雇って行うような内容です. 少なくとも掲示板はユーザー同士の互助スペースでしかないので, 質問者側にも質問者なりの努力や工夫はしてもらわなければなりません.

> 教科書等を見ても明確な答えがわからなかった
この書き方だと定義が載ってたのか載ってなかったのかすらわからない曖昧な応答ですけど, その教科書は定義を定義と明記せずに記載するような本なのですか?
> 基本的な定義は線形写像と同じでいいのでしょうか。
何の「基本的な定義」が「線形写像 (の何) と同じ」とお尋ねですか?

細かいところではあるのでしょうけれど, こういった文章の曖昧な読み取り/曖昧な表現をしていることが「見ても分からなかった」「調べてもあまり出てこなかった」に繋がっているのではないかと感じます.
# まあ知りもしない概念に関する問題を解こうとするという, 好奇心の誤った使い方が
# 一番の原因ではあるでしょうけども.
No.68207 - 2020/07/21(Tue) 20:33:31
★ (No Subject) / 梅雨
実数m,nは1≦n≦m-3,n≠(m/2)-1を満たすものとする。

この時mとn＋1が互いに素であるとすると
n＋1,2(n＋1),3(n＋1),…m(n＋1)をmで割った余りはすべて異なる…らしいんですけどなんですべて余りが異なるってわかるんでしょうか？解説よろしくお願いします。
No.68099 - 2020/07/19(Sun) 01:35:20
☆ Re: / IT
互いに素というからには、整数m,n ですよね？

1≦i＜j≦m について
　i(n+1)をmで割った余りと、ｊ(n+1)をmで割った余りと　 が　等しい。とするとどうなりますか？
No.68100 - 2020/07/19(Sun) 01:53:43
☆ Re: / 梅雨
i(n+1)=mQ＋R，ｊ(n+1)=mq＋rとあらわすと
mはi(n+1)=mQ＋Rからm=[i(n＋1)-R]/sと表すことができる。だからj(n＋1)=mq＋rにこれを代入すると
j(n＋1)=i(n＋1)＋r-Rと表せる。
もしr＝Rであればr−R=0になるがj≠iよりj(n＋1)≠i(n＋1)が常に成り立つ。よってr≠R
ってことですかね？それとももっと簡単にr≠Rって言えるんですかね？解説の文の
「mとn＋1が互いに素であるとすると
n＋1,2(n＋1),3(n＋1),…m(n＋1)をmで割った余りはすべて異なる」
って簡単な文からだといちいちこんな風に(上で行った私の証明）なんかいちいちしなくたってわかるでしょ(やり方あっているかはわからないですが）っていう印象を受けてしまうんですが…。それともこれって数学の一般常識で単に私が知らないだけなのでしょうか？すみません…数学苦手だからもしかしたら私が単に知らないだけなのかも…
No.68101 - 2020/07/19(Sun) 09:06:16
☆ Re: / IT
> 解説の文の
「mとn＋1が互いに素であるとすると
n＋1,2(n＋1),3(n＋1),…m(n＋1)をmで割った余りはすべて異なる」って簡単な文から・・・
それは、どういうレベルの何という書籍ですか？
書籍や問題のレベルによっては、（比較的）簡単なことは、既知の事実として使う,あるいは読者に行間を埋めさせる　と思います。

> 数学の一般常識で・・・
「数学の一般常識」のようなものは、ないと思います。学習や研究の分野やレベルは様々ですから。
No.68103 - 2020/07/19(Sun) 09:26:23
☆ Re: / 梅雨
これ2021年度版大学入学共通テストの予想問題集に載っていた問題の解説の一部を切り取った部分なんですが元々の問題は

mと5以上の整数とする。次の手順に従って正m角形A1,A2,A3…Amの頂点を順に線分で結ぶことを考える。ここで正ｍ角形の頂点は半時計周りにA1,A2…Amの順に並ぶものとする

手順
(1)はじめ点A1を結ぶ
(2)選んだ頂点から反時計回りにn個おきに頂点を結ぶ。選ばれた順に頂点の間の線分を結ぶ。ただし1≦ｎ≦ｍ−３,
n≠(m/2)−1とする
(3)一度通った頂点に再び到達した場合一度も通っていない頂点があればそれらのうち一つを選んだうえで再度(2)に従って頂点の間を線分で結ぶ。一度も通っていない頂点がなければその時点でやめる。

例えばm=6,n=1の時(ii)よりA1,A3,A5,A1の順に頂点の間を線分結ぶことができる。ここで点A1に再び到達したがこれまでに点A2は一度も通っていないので(2)に従ってA2,A4,A6,A2の順に頂点の間を線分で結ぶ

この手順にしたがつて頂点の間を線分で結んだときにできる図形は次の3パターンに分類することができる

Aパターン 星形正多角形
Bパターン 2つ以上の正多角形が重なった図形
Cパターン 2つ以上の星型背板学系が重なった図形

なお星形正多角形とは正多角形の辺を延ばしてできる図形のうち2つ以上の正多角形が重なった図形以外のことをいう。

(1)(i)m=10,n=1の時できる図形は何パターンか
m＝10，n=2の時できる図形は何パターンは

(ii)Aパターンになるのはn=ウ，エの時でありどちらの場合も星型正十角形ができる。この時オ(⓪n＋1はmの約数　?@n＋1はmの倍数 ?An＋1とｍは互いに素，?Bn＋1とm-n-1のうち少なくとも一方がｍの約数）

の(1)の(ii)のオの解説のところで
＜mとn＋1が互いに素であるとき，mとn＋1が互いに素であるとすると
n＋1,2(n＋1),3(n＋1),…m(n＋1)をmで割った余りはすべて異なる＞。よってA1から数えて反時計回りにn＋1個目，2(n＋1)個目，…ｍ(n＋1)個目の頂点はすべて異なるからこの時星型正m角形ができる。すなわちAパターンとなる。
という解説の＜　　＞のところがわからなくて質問したんです。問題と解いていったら自然に自然に気付かせるようになっているように思えないのに解説文見たら＜　　＞の部分がさも既知事実みたいに出てきて困っているんです。(ところで私が示したr≠Rの証明ってあっているんでしょうか？）
No.68105 - 2020/07/19(Sun) 11:13:29
☆ Re: / 梅雨

ii)Aパターンになるのはn=ウ，エの時でありどちらの場合も星型正十角形ができる。この時AパターンになるのはオでBパターンになるのはカである。

オとカの選択肢(⓪n＋1はmの約数　?@n＋1はmの倍数 ?An＋1とｍは互いに素，?Bn＋1とm-n-1のうち少なくとも一方がｍの約数）
No.68106 - 2020/07/19(Sun) 11:16:33
☆ Re: / IT
＞解説文見たら＜　　＞の部分がさも既知事実みたいに出てきて困っているんです。

　手持ちの数研出版の教科書「高等学校数学A」では、例題・練習問題等にその事実は出てきませんので、大学入試で既知として使うのは危険ですね。
　証明は容易ですから、この問題のような応用問題の中では、証明を省略して使うことはありえるかも知れませんが、
＞ところで私が示したr≠Rの証明ってあっているんでしょうか？）
>i(n+1)=mQ＋R，ｊ(n+1)=mq＋rとあらわすと
>mはi(n+1)=mQ＋Rからm=[i(n＋1)-R]/sと表すことができる。
# sとは何ですか？
# sはQの入力ミスだとしても、Q=0のとき､ダメですね｡
# Q≠0として、進めても
> だからj(n＋1)=mq＋rにこれを代入すると
> j(n＋1)=i(n＋1)＋r-Rと表せる。
どうやってこうなりますか？

（証明例)
1≦i＜j≦m について
i(n+1)をmで割った余りとｊ(n+1)をmで割った余りが等しくr だったとする｡
i(n+1)=mQ＋r，ｊ(n+1)=mq＋rとあらわせる。
差をとると(j-i)(n+1)=m(q-Q)
n+1 はmと互いに素なので、j-i はmの倍数。
0＜j-i＜m なので矛盾。

(証明例２）
1≦i≦j≦m について
i(n+1)をmで割った余りとｊ(n+1)をmで割った余りが等しいならば
　j(n+1)-i(n+1)＝(j-i)(n+1) はmで割り切れる。
　n+1 はmと互いに素なので、j-i はmの倍数。
　よってj-i=0
従ってiとjが異なるならばi(n+1)をmで割った余りとｊ(n+1)をmで割った余りは、互いに異なる。
No.68109 - 2020/07/19(Sun) 12:16:55
★ 群論 / キリン
3次対称群S_3は巡回群ではないことを示せ。

証明が分かりません。
No.68081 - 2020/07/18(Sat) 21:19:52
☆ Re: 群論 / ast
# 同じ人の同系統の問題の一連の質問にしか見えないのに, なんで一個一個全部ハンドル違うの……?

S_3 の位数は 6 なんだから, 全部の元について全体を生成するかどうか確認すれば済む話でしょう.
No.68083 - 2020/07/18(Sat) 21:23:55
★ 大学数学 / 花
証明の問題がどうしても分かりません。

正の実数全体の集合をR_+と表すと、R_+は乗法に関して可換群をなす。
このR_+は加法群Rの部分群でないことを示せ。

お願いいたします。
No.68075 - 2020/07/18(Sat) 20:43:38
☆ Re: 大学数学 / ast
R の単位元 0 が R_+ に入ってない. //[証明終わり]
No.68077 - 2020/07/18(Sat) 20:59:05
☆ Re: 大学数学 / 花
ありがとうございます！
No.68080 - 2020/07/18(Sat) 21:18:34
★ 群論 / マッキー
加法群Z/8Zを生成する元をすべて求めよ。

この問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.68072 - 2020/07/18(Sat) 20:17:50
☆ Re: 群論 / ast
Z/8Z の各元 i mod 8 (i=0,1,2,3,4,5,6,7) に対して, 任意の自然数 n-倍 ni mod 8 をすべて集めた集合がもとの Z/8Z に一致するような i mod 8 を全部答える.
No.68074 - 2020/07/18(Sat) 20:42:53
☆ Re: 群論 / キリン
ではC(0)〜C(7)が答えということでしょうか？
No.68084 - 2020/07/18(Sat) 21:25:49
☆ Re: 群論 / ast
それは例えば, 2 mod 8 (質問者さんの記法だと C(2) でしょうかね) も生成元になるとおっしゃっていることになりますが, であれば n×2 mod 8 が 5 (mod 8) になるような自然数 n があることになるのですが, その n はいくつですか?
# 合同式のよくある記法で書くなら "2x ≡ 5 (mod 8) を解け" ということです.

いうまでもないかもしれないですが, 問題があるのは i=2 だけではないです.
No.68086 - 2020/07/18(Sat) 21:35:54
☆ Re: 群論 / キリン
では他の数字も同様に考えると、i=1しか残らないということですか？
No.68088 - 2020/07/18(Sat) 21:48:16
☆ Re: 群論 / ast
あてずっぽうで言っているのではないと信じますが
> i=1しか残らない
の根拠は?

各元 i mod 8 に対して, 集合 {ni mod 8 | n:自然数} はそれぞれ以下のようになるはずです (mod 8 は面倒なので省略します):
i=0: {0} ≠ Z/8Z
i=1: {0,1,2,3,4,5,6,7} = Z/8Z
i=2: {0,2,4,6} ≠ Z/8Z
i=3: {0,3,6,1,4,7,2,5} = Z/8Z
i=4: {0,4} ≠ Z/8Z
i=5: {0,5,2,7,4,1,6,3} = Z/8Z
i=6: {0,6,4,2} ≠ Z/8Z
i=7: {0,7,6,5,4,3,2,1} = Z/8Z
# 群の位数が 8 なので, 各元の位数はラグランジュの定理により 1,2,4,8 しかない.
No.68089 - 2020/07/18(Sat) 21:59:02
☆ Re: 群論 / キリン
やっと意味がわかりました。
対応してくださり、ありがとうございました。
No.68091 - 2020/07/18(Sat) 22:06:37
☆ Re: 群論 / キリン
何度もすみません。
加法群なのにni、という乗法の表記になっているのはなぜでしょうか？
意味がわかった、と言った後にすみません。
No.68094 - 2020/07/18(Sat) 22:25:19
☆ Re: 群論 / ast
「(各)元が生成する(単項生成あるいは巡回的)部分群」の定義が要求している元である (i mod 8)+(i mod 8)+…+(i mod 8) (n項の和) を n(i mod 8) と書いているからです.
# n(i mod 8) が ni mod 8 に一致するのは面倒なのでいちいち説明しないけど.

これはもとの群の演算とは関係ない別の作用域の (具体的には整数の加法群 Z の) 作用を定義するものということはできますが, n を (Z/8Z の演算として) 掛けているわけではない.
# 乗法的な記法なら a の生成する部分群を ⟨a⟩ = {a^n | n:整数} と n-乗の冪に書いてるはずだけど
# (だから, 本問はむしろ加法的記法だからこそ n-倍), そこは疑問じゃないのか……?
## まあ自然数とか整数とか無関係な一般の形式的な群でも同じような定義で整数 n の作用が入る
## というあたりまで進めば, 意味は自ずとわかると期待するけども.

> 意味がわかった、と言った後に
別にそれはぜんぜん問題ないです. 気づいたら聞き直せばいい.
# ほかでこっそり訊いてたりするよりよっぽどいい.
ただ, 逆質問などを投げかけて問題点を深く追求しようとしてる流れのときは, 逆質問をスルーしたりあまり早々に話を切り上げようとしないことです (まあ質問者が損をするだけだから, 回答者としてはどうでもいいこと言えなくはないけど).
No.68097 - 2020/07/18(Sat) 22:46:47
★ (No Subject) / マシュマロ
どのように証明したらいいのかわかりません。ご教授いただきたく思います。
No.68071 - 2020/07/18(Sat) 19:31:15
☆ Re: / ast
一次独立であること: αf+βg=0 のとき, (αf+βg)(x,y)=(α+5β)x+(-2α+3β)y≡0. よって [α+5β=0 かつ 2α-3β=0] ⇔ α=β=0.
生成系であること: 任意の h∈V* をとり, h(1,0)=γ, h(0,1)=δ と書く. このとき, h=(1/13)(3γ-5δ)f+(1/13)(2γ+δ)g が成り立つ.
# dim(V)=dim(V*) を使ってもいいなら一次独立を言うだけで終わりでもいい.
No.68073 - 2020/07/18(Sat) 20:34:33
☆ Re: / マシュマロ
一次独立であることと生成系であることを言えたので、基と言えるという認識で宜しいでしょうか？
また、問題の{f,g}という書き方は合成関数のことを表してますか？なにのことか分からないので教えてください。
No.68076 - 2020/07/18(Sat) 20:58:39
☆ Re: / ast
> 基と言えるという認識で宜しいでしょうか？
イエスかノーかというならイエスだけど, これはさすがに聞き返しているようだとまずいので, 基の定義をちゃんと確認してください. あるいは基の定義ではそのような条件を見ればいいとは読み取れないので証明になっているのか分からないということであれば, 使っているテキストの基の定義に合わせて証明を書くべきでしょうから定義を全部提示してください.

> 問題の{f,g}という書き方は(中略)なにのことか分からない
それ自体は一般的な集合の(外延的)記法ですが, たとえば V の基はどう表していたのですか? (その基に属する基底ベクトルが分かっているときの話です)
V* はその元が写像だというだけでただのベクトル空間 (要するに f も g もただのベクトル) なので, 普通の一般のベクトル空間の場合と比べて特異な記法を使わないといけないわけではないですね.
また, これが何のことか分からないなら, No.68073 がなぜ f と g の一次結合を計算したり f と g で V* の任意の元を表せるか調べている理由もわかっていないということになりますので, この追加質問は見過ごせないくらい深刻です.
No.68078 - 2020/07/18(Sat) 21:09:50
☆ Re: / IT
V* の意味も分っておられないのでは？
No.68079 - 2020/07/18(Sat) 21:10:05
☆ Re: / ast
IT さん> V* の意味も
そうかもしれませんね. だとすると, 写像 f と x (任意の値) における値 f(x) の区別もできてない状態ということも想定しなければいけないのかもしれません.
No.68082 - 2020/07/18(Sat) 21:20:13
☆ Re: / マシュマロ
そうですね。そもそも双対空間で基底をどのように証明すべきからわかりません。
No.68085 - 2020/07/18(Sat) 21:29:23
☆ Re: / IT
証明は、ast　さんが 提示しておられます(No.68073)が？
分らないようなら　ast　さんのアドバイス(No.68078 )
をよく読んだ上で、テキストの定義に戻ることをお勧めします。
No.68087 - 2020/07/18(Sat) 21:47:50
☆ Re: / 上白石萌音
失礼します。双対空間とは一体何なのか教えていただきたいです。
No.68090 - 2020/07/18(Sat) 22:01:41
☆ Re: / ast
No.68078で書いた通り, 双対空間と言っても (その元の具体的な正体を無視すれば) ただのベクトル空間なので, No.68085のような疑問は追求していけばベクトル空間 V* における基本概念である (線型)写像のスカラー倍, (線型)写像の(元ごとの)和, 写像が等しいということの定義が分かってるかどうかに行きつくのではないでしょうか.

本問に挑む前段として以下の問題を追加しておきます:
　[0] V* の元 f,g に対して,
　　[0-i] 一次結合 αf+βg (α,β はスカラー) とはどのように定義された写像ですか?
　　[0-ii] また, この一次結合が線型写像であることは示せますか?
　　[0-iii(a)] f が写像として 0 に等しい (これを f=0 あるいは f≡0 と書きます) とはどういうことか定義を書いてください
　　[0-iii(b)] 等式 αf+βg=0 が成り立つとはどういう意味か分かりますか? (定義域の元 v∈V における値 f(v), g(v) の言葉で述べてください)
No.68092 - 2020/07/18(Sat) 22:11:24
☆ Re: / ast
> 双対空間とは一体何なのか教えていただきたいです。
(曖昧な書き方の質問なので意図がうまく汲めないけど) そこまでいくとさすがに掲示板でやるような話ではない (体系的に解説するには大仰すぎるし半端にかいつまんでやっても誤解や誤読を生むだけになりかねない) と思われるので, 教科書真面目に読んでくれとしかいいようがなくなります.
No.68093 - 2020/07/18(Sat) 22:23:59
☆ (No Subject) / マシュマロ
No.68092
このレベルからやり直したいので、前段の問題の答えの追加を希望します。ご丁寧に本当ありがとうございます。
No.68095 - 2020/07/18(Sat) 22:29:11
☆ Re: / ast
No.68092の [0] はこちらから積極的に答えを書き出すつもりはしていません (もちろん答案が提示されれば添削はしますが). これは, (No.68093 でも書いたけれど) 基本事項 (とくに定義) が (質問者自身が納得して自信もってこうだと) それなりに書けるようになってからじゃないと説明しても誤解させるだけになりかねないと思う (ので, 納得いくまで自分で考えて欲しい) からです.

これらの定義はさすがに教科書にあるはずなので, 探せると期待します (書いてないのにこの問題が出るとは思いづらいですが, もし本当に書いてないなら出題者に文句を言ってこの問題は免除してもらうという手もあるかもしれません (あるとは言ってない)).
# まあ普通に考えると, 手持ちのテキストが心許ない内容の場合は,
# まともな線型代数の教科書を一冊買い足すのがまっとうでいいんじゃないですかね.
あるいは, 教科書に記述があるのは見つけたが意味がよく分からないというようなときは, 具体的にどういう記述があってどんな風に分からないか書いてくれれば補足するくらいはできるかもしれません (すると保証したということではないので先にそれは謝っておきますが).
No.68098 - 2020/07/18(Sat) 23:31:55
★ 食塩の問題について / シン
食塩の問題で理解できない点があり質問させてください。
画像の問題と解説で、解説の
「取り出した後と水を加えた後で、食塩の重さは変わらない」
とありますが、食塩は水に溶けているので
食塩水を取り出すと食塩の重さもかわるのではないでしょうか？
このあたり教えていただければと思います。
よろしくお願いいたします。
No.68068 - 2020/07/18(Sat) 18:16:08
☆ Re: 食塩の問題について / ヨッシー
１．取り出す前
２．取り出した後
３．水を加えた後
と分けると、２．と３．は食塩の重さは変わっていません。
No.68070 - 2020/07/18(Sat) 18:51:29
☆ Re: 食塩の問題について / シン
ご丁寧にありがとうございます！
またよろしくお願いいたします。
No.68096 - 2020/07/18(Sat) 22:33:21
★ (No Subject) / 高校生
この問題の解き方を教えていただきたいです！
No.68064 - 2020/07/18(Sat) 15:04:58
☆ Re: / ヨッシー
原点を通る円の式を
　ｘ^2＋ｙ^2−2ax−2by＝0
とすると、この円の中心は (a, b)、半径は√(a^2＋b^2) です。
中心からｙ軸方向に√(a^2＋b^2)進んだ点が、Ｄから出なければ、
条件を満たすので、
　ｂ＋√(a^2＋b^2)≦２
が　(a, b) の満たすべき条件となります。
　ｂ＋√(a^2＋b^2)≦２
変形して
　(０≦)√(a^2＋b^2)≦２−ｂ
両辺２乗して
　a^2＋b^2≦b^2−4b＋4
　b≦−(1/4)ａ^2＋1
グラフは省略します。
No.68065 - 2020/07/18(Sat) 15:23:37
☆ Re: / 高校生
最初のところなのですが、原点を通る円の式は、なぜそのように表せるのでしょうか？
No.68066 - 2020/07/18(Sat) 16:21:34
☆ Re: / らすかる
中心が(a,b)で原点を通る円の半径は√(a^2+b^2)ですから
円の方程式は(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2とあらわせますね。
これを展開すればx^2+y^2-2ax-2bx=0になります。
No.68067 - 2020/07/18(Sat) 16:57:52
★ 比例式の値 / のん
(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/zのとき、この式の値を求めよ。
という問題で、(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/z=kとおいてy+z=xk…?@,z+x=yk…?A,x+y=zk…?Bというようにしました。
そして辺々を加えると(x+y+z)(2-k)=0になります。これよりx+y+z=0または2-k=0になります。
ここで、k=2の場合を考えるのですが、教科書には、例えばx=y=z=a(≠0)とすると、k=(a+a)/a=
(a+a)/a=(a+a)/a=2
となりk=2を満たす実数x,y,zが存在するので与式=2となるのですが、これはx=y=zのときに限りませんか？
k=2を?@、?A、?Bに代入してx=y=zであることを示さねばならないと思ったのですが…。

ご回答よろしくお願い致します。
No.68049 - 2020/07/17(Fri) 20:51:52
☆ Re: 比例式の値 / IT
> となりk=2を満たす実数x,y,zが存在するので与式=2となるのですが、これはx=y=zのときに限りませんか？

そうですね。x=y=z≠0のときに限ります。

> k=2を?@、?A、?Bに代入してx=y=zであることを示さねばならないと思ったのですが…。

要求されてないので、示す必要はないと思います。
No.68050 - 2020/07/17(Fri) 20:58:09
☆ Re: 比例式の値 / のん
> そうですね。x=y=z≠0のときに限ります。
x=y=zでない場合当てはまらない可能性も残っていますよね。例えば、と例示しているものでk=2だというだけで大丈夫なのですか？
No.68051 - 2020/07/17(Fri) 21:06:13
☆ Re: 比例式の値 / らすかる
大丈夫です。「x=y=zでない場合」がどうであろうと関係ありません。
少なくともx=y=zのとき「k=2」が成立していますので、k=2であることはあり得ますね。
この問題は、(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/zが成り立っているときにその値が
どういう値になる可能性があり得るかという、その値をすべて答える問題です。
No.68054 - 2020/07/17(Fri) 21:23:59
☆ Re: 比例式の値 / のん
例えばx=y=z=a(≠0)とすると、k=(a+a)/a=
(a+a)/a=(a+a)/a=2
となりk=2を満たす実数x,y,zが存在するので与式=2
というように、例示しているx=y=z(≠0)の場合のみでk=2であればいいのでしょうか。x=y=zでないときにはk=2でないかもしれないですよね？
先にx=y=zとなることを示したら、x=y=zではないときのことを考えなくて良いので、x=y=zのとき確かにk=2といえる。と言うだけで良いと思うのですが…
上手く説明できていないかもしれません、すみません…
No.68056 - 2020/07/17(Fri) 21:29:40
☆ Re: 比例式の値 / のん
らすかるさん
なるほど、そういうことなんですね。語彙力が足りず上手く説明できておらず申し訳ありませんでした。ありがとうございました。スッキリしました。
No.68057 - 2020/07/17(Fri) 21:30:57
★ 不等式について / さとし
不等式の考え方について質問があります。
例えば下記のような不等式があったとします。

x < 3

この場合xの値が1,2などであればこの式はTrueになると思います。
しかし、xが存在しない場合も、この式はTrueになるということが勉強していて判明しました。それはなぜなのでしょうか？
今度人にこれを含んだ内容を発表する機会があり質問させていただきます。宜しくお願いします。
No.68046 - 2020/07/17(Fri) 19:16:38
☆ Re: 不等式について / さとし
自分なりに探したものには、該当するもの（この場合x）が存在しないということは空集合ということになり、Trueになると書いてありました。これをもう少し詳しく説明していただけませんでしょうか？
No.68047 - 2020/07/17(Fri) 19:22:33
☆ Re: 不等式について / のん
解釈が間違えていたらすみません。
xは空集合という集合を持つ。ということになりTrueなのではないでしょうか？
No.68052 - 2020/07/17(Fri) 21:16:29
☆ Re: 不等式について / さとし
その記事には科のように書いてありました。
「集合論では、空集合はあらゆる集合の部分集合という取り決めがあります。このため、論理学における「PならばQ」という命題において、Pを満たすものが存在しない場合(Pを満たす要素の集合が空集合である場合、あるいはPが常に偽である場合)、この命題は無条件で真となるのです。」

この場合Pがxを示し、Qが3を示しているということでしょうか？
そして今はxが空集合なので x < 3は無条件でTrueになるということでしょうか
No.68055 - 2020/07/17(Fri) 21:28:32
☆ Re: 不等式について / のん
そういうことだと思います！
こちらも勉強になりました、ありがとうございます。
No.68058 - 2020/07/17(Fri) 21:32:28
☆ Re: 不等式について / らすかる
x＜3がTrueであるかどうかは、
x＜3が否定される場合があるか、つまり
x≧3を満たす値をとる可能性があるかどうかによって決まります。
存在しなければx≧3という値はとりませんので、Trueです。

この考え方はこの問題に限らない一般論です。
例えば「Aさんの子供は女である」という命題がTrueになるのは、
この命題が否定される場合がない、つまり「Aさんの子供で男」という人がいなければ
Trueになりますので、
・Aさんに子供が1人いて女である場合
・Aさんに子供が複数いて全員が女である場合
・Aさんに子供がいない場合
の3つの場合がTrueとなります。
No.68059 - 2020/07/17(Fri) 21:35:57
☆ Re: 不等式について / さとし
解答ありがとうございます。
理解力がなくて申し訳ないです。
追加で少しお聞きしたいです
しかし、逆に言えば xが3未満の値をとるということも保証されていないのではないでしょうか

正しい解釈としては、
「不等式はその式を満たさない値が見つからない限りはTrueである」

ということでしょうか
この場合xが存在しないため、3以上になることはけしてない（この不等式を否定できない）
つまりTrueという認識でしょうか
No.68060 - 2020/07/17(Fri) 21:54:26
☆ Re: 不等式について / IT
らすかるさん＞
> x＜3がTrueであるかどうかは、
> x＜3が否定される場合があるか、つまり
> x≧3を満たす値をとる可能性があるかどうかによって決まります。
> 存在しなければx≧3という値はとりませんので、Trueです。
(ある)xについてx＜3が真であるかどうかは、(その)xが（実数で）x＜3であるかどうか。以外の何ものでもないのではないかと思いますが違うのでしょうか？
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
（訂正）　x＜3 が登場するところで、らすかるさんのおっしゃるように　x≧3を満たす値をとる可能性がなくなっていれば、x＜3 は真ですね。
No.68061 - 2020/07/17(Fri) 23:10:13
☆ Re: 不等式について / 黄桃
そもそも、
x<3
とはどういう意味ですか？

高校数学では、明示的に命題と命題関数（教科書には条件、とあるものです）を区別しないので、こういう疑問が出るのでしょう。

単に
x<3
と書いたら、これはxに関する条件であり、真偽はxに値を入れなければ決まりません。

これがTrueといえるのであれば、高校数学の範囲では
「すべてのxについて、x<3」
という命題を考えていることになります。「すべての」とある場合は、xとして考える対象の全体集合を決めておく必要があります。

これを踏まえて、「すべてのxについてなんとか」という命題（これは真偽が決まる）がTrue となるのは、この反例が存在しない場合、つまり、
「何とかを満たさないxはない」場合です。そして、xの全体集合が空集合であれば、空集合には元がないので、反例は決して存在しません。
だから、全体集合が空集合なら、なんとかの部分が何であっても真になるのです。
例えば xは x^2<0 となる実数全体を動くとすると、「すべてのxについて x>1」も「すべてのxについてx<1」もいずれも真です。

＃なお、xの全体集合をXとすれば、「すべてのxについてなんとか」というのは、「すべてのxについて『x∈X ならば、なんとか』」と同じことであり、
＃したがって、X=空集合、であれば、x∈X が偽になるので、『』内は常に真になる、と考えてもいいです。
No.68062 - 2020/07/18(Sat) 00:00:01
★ 極限集合について / 大学生です
先日、大学の講義で上極限集合と下極限集合について学んだのですが、どうもイメージがわきません。集合列が単調数列の場合はなんとなく理解できるのですが、そうでない場合、例えば
X_n=[-1+1/(3n) , 1+1/(2n) )
に対して上極限と下極限を取るとどうなるのでしょうか。
考えた結果、
上極限が　[-2/3 , 1)で下極限が[-1 , 3/2)
かなと思いました。
No.68042 - 2020/07/17(Fri) 15:52:19
☆ Re: 極限集合について / ast
定義通りにするならば,
　[i] Y_n :=∪_[k≥n] X_k =(-1,1+1/(2n)) と置くと,
　　　limsup_[n→∞]X_n =∩_[n=1,2,…]Y_n = (-1,1].
　[ii] Z_n :=∩_[k≥n] X_k =[-1+1/(3n),1] と置けば,
　　　liminf_[n→∞]X_n =∪_[k=1,2,…]Z_n = (-1,1].

となるのではないでしょうか. 区間列 (開でも閉でも半開でも) の極限なら各区間端点がなす数列の極限をみるだけなので, イメージもしやすいでしょう
# ただし, 端点の極限が極限集合に入るかどうかは考える必要がある
# (外側から近づくなら入る, 内側から近づくなら入らない)

イメージをつかむ方法ですが, たとえばこのブログ記事は参考になるでしょうか.
No.68043 - 2020/07/17(Fri) 16:23:17
☆ Re: 極限集合について / 大学生です
一度に和集合と積集合をまとめてやろうとしてたので、混乱してしまって、端点の閉開を間違えたりしていました。
教えてくださったように１回、Y_n などと置いて考えてみるとすっきりしました。
ちなみに今回は上極限と下極限が一致しているのでlim_[n→∞]X_nも存在して、lim_[n→∞]X_n＝(-1,1]
ということですね。
ありがとうございました。
リンク記事も大変参考になりました。
No.68044 - 2020/07/17(Fri) 17:05:16
★ 対数関数 数2 / しいき
写真の サ シ ス について質問です。
回答を見ると、2直線の交点を通る時にkが最大となる（下線部）と表記されています。なぜ、最大になるとわかるのでしょうか？
No.68033 - 2020/07/16(Thu) 23:36:36
☆ Re: 対数関数 数2 / ヨッシー

解答にあるように、図の斜線部が　(x, y) の存在する範囲です。
この範囲内の任意の点（x, y) における ｋ＝ｘ＋ｙ の値は、
その点を通る傾き−１の直線のｙ切片に現れます。
よって、斜線部と共有点を持ちつつ、ｙ切片が最大となる
直線が通る点が、ｋが最大になる点です。
それはどこかと言うと．．．
No.68035 - 2020/07/17(Fri) 00:53:10
★ 微分法の応用 / よろしくお願いいたします
hが実数全体を取るとき、
g(x)={(1+h)^n-(1-h)^n}/(2h)-ｎ≥0
であることを示したいです。
前回質問させていただいた問題の続きになります。教えていただける方いらっしゃいましたらお願いいたします。
No.68029 - 2020/07/16(Thu) 22:02:16
☆ Re: 微分法の応用 / IT
(1+h)^n-(1-h)^n を２項展開して計算すると
2nh+hの奇数次の項（係数は正)が残りますから、これを2h(≠0)で割ると

n以上となります。
No.68031 - 2020/07/16(Thu) 22:46:04
☆ Re: 微分法の応用 / よろしくお願いいたします
ありがとうございます。
二項定理展開して計算していくと、
2*nC1*h+2*nC3*h^3+..........+●
となっていき、ｎの偶奇の場合分けで●が変わってくると思うんですがあってますか？
偶奇どちらの場合でも正で閉じるので2hで割ると2*nC1*hの部分がｎになり、そのあとも正の項が連なってくのでｎ以上という方針でいいのでしょうか
No.68032 - 2020/07/16(Thu) 23:21:02
☆ Re: 微分法の応用 / IT
合っていると思いますが、心配なら具体的な証明を書いてみてください。
No.68036 - 2020/07/17(Fri) 07:15:39
★ (No Subject) / のん
a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2
この等式の証明ですが、一方の辺を変形するor両辺をそれぞれ変形するor一方の辺から他方の辺を引いて0であることを示す
のうちどれで解けば手っ取り早いでしょうか？
No.68022 - 2020/07/16(Thu) 21:28:32
☆ Re: / のん
すみません、間違えて文字の色を緑色にしてしまいました
No.68024 - 2020/07/16(Thu) 21:29:57
☆ Re: / ヨッシー
　両辺をそれぞれ変形する
と
　一方の辺から他方の辺を引いて0であることを示す
は労力はほぼ同じでしょう。
後者の方が、途中でプラマイで消える項がある可能性を考えると、
書く文字数は少なくなる傾向にはあるでしょう。

一方の辺を変形する
ということは、展開してもう一度因数分解しないといけないので、
この問題の場合は、良策とは言えないと思います。
No.68026 - 2020/07/16(Thu) 21:40:36
☆ Re: / IT
間違いにくいのは、「両辺をそれぞれ変形（展開整理）する」かなと思います。
No.68027 - 2020/07/16(Thu) 21:47:14
☆ Re: / のん
お二人ともありがとうございます。両辺をそれぞれ展開して左辺=右辺を示す方法で解くことにしました。
ヨッシーさんのおっしゃる通り、両辺をそれぞれ変形する方法と、一方の辺から他方の辺を引いて0であることを示す方法は大変ですよね。
No.68028 - 2020/07/16(Thu) 21:59:09
★ 漸化式 / Mai
数列a(n)は第n項がa(n)=pn-qというnの1次式で表され、a(n+1)=2a(n)-n+3を満たすとする。このとき、p=?,q=? さらに、次の条件によって定まる数列b(n)を考える。b(1)=1,b(n+1)=2b(n)-n+3　このとき、b(n)=?

お願いします。
No.68018 - 2020/07/16(Thu) 20:30:28
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
a(n+1)＝pn＋p−q
a(n)＝pn−q
を代入して、ｎの恒等式となるように、ｐ，ｑ を求めます。

b(n+1)＝2b(n)−n＋3 を変形して
　b(n+1)−(n+1)＋2＝2{b(n)−n＋2}
c(n)＝b(n)−n＋2 とおくと、c(1)＝2 より
　c(n)＝2^n
よって、
　b(n)＝c(n)＋n−2
　　＝2^n＋n−2
No.68023 - 2020/07/16(Thu) 21:28:47
☆ Re: 漸化式 / Mai
ありがとうございました！またお願いします！
No.68025 - 2020/07/16(Thu) 21:39:52
★ 冪級数の微分 / あおい
分かる方、解説お願いします。
No.68012 - 2020/07/16(Thu) 19:04:28
☆ Re: 冪級数の微分 / ヨッシー
ちょっと荒れてきたので、レスの部分は削除させていただきました。

また、大学以上の内容で、
　２晩レスのつかないもの、
　回答者の投げかけに２４時間レスのないもの
は削除するようにしています。
No.68041 - 2020/07/17(Fri) 15:48:29
☆ Re: 冪級数の微分 / IT
計算だけでも解けますが、グラフを描いてイメージを掴んだほうが見通しが良いと思います。

y=ｆ[n](x) のグラフは、どんなグラフか描いてみてください。
No.68063 - 2020/07/18(Sat) 10:19:25
★ 答えのない過去問 / もも
問7は1、3　とわかったのですが
問8と問9がわかりません。。どなたか教えてくれませんか。。
No.68000 - 2020/07/16(Thu) 01:37:55
☆ Re: 答えのない過去問 / ヨッシー
問８
ｙ＝g(x) のグラフをしっかり描くことが全てです。
あとは、点(0,13) からあれこれ線を引いて、
共有点が 1個、2個、3個、4個 と変化するので、
３個となるときを見つけ、条件から式を求めます。


問９
それぞれ図の部分となります。

No.68004 - 2020/07/16(Thu) 10:39:12
☆ Re: 答えのない過去問 / もも
ヨッシー様、ありがとうございます。m(__)m
No.68034 - 2020/07/17(Fri) 00:52:23
★ 計算問題 / ぐみ
すみません、解ける方お願いします。。。
No.67998 - 2020/07/16(Thu) 00:50:20
☆ Re: 計算問題 / X
(1)
π/x=t
と置くと
(与式)=lim[t→+0](sint+cost)^(π/t)
=lim[t→+0]{(sint+cost)^2}^{π/(2t)}
=lim[t→+0](1+sin2t)^{π/(2t)}
=lim[t→+0]{(1+sin2t)^(1/sin2t)}^{π(sin2t)/(2t)}
=e^π
No.68008 - 2020/07/16(Thu) 17:45:51
☆ Re: 計算問題 / 関数電卓
(2)
　I＝∫[π/8,3π/8]1/(1＋(tan(x))^√2)･dx
　 ＝∫[π/8,3π/8](cos(x))^√2/{(cos(x))^√2＋(sin(x))^√2}･dx
　J＝∫[π/8,3π/8](sin(x))^√2/{(cos(x))^√2＋(sin(x))^√2}･dx　とおくと
　I＋J＝∫[π/8,3π/8]dx＝π/4
sin(x)＝cos(π/2−x) だから I＝J。 ∴ I＝π/8
No.68011 - 2020/07/16(Thu) 18:57:16
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