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★ (No Subject) / King of Takeshi
シグモイド関数の2階微分なんですが、
?@→?A、?A→?Bの数式の変換で何を行っているのか理解ができません。
もしお時間ありましたら教えてください！お願いします！
No.68841 - 2020/08/09(Sun) 22:50:31
☆ Re: / ast
?@→?A: (1-ς_a(x))' = 0 - ς_a'(x) とした.
?A→?B: aς_a'(x) が第一項と共通なので括った.

です. 二つ目や三つ目の等号で ς_a'(x) を公式の右辺の形に直さなかったのは, まとめてから最後に計算したほうが式を整理しやすいし直すのも一回で済むからですかね.

# ς が文字化けしていたら申し訳ないが, 異体字のシグマです, 為念.
No.68849 - 2020/08/10(Mon) 03:27:49
☆ Re: / King of Takeshi
理解できた！ありがとうございます先生！
No.68850 - 2020/08/10(Mon) 06:47:52
★ (No Subject) / 高校数学
あるクラスのテスト結果は平均72.8点、標準偏差15点の正規分布に従っています。この時、80点以上90点未満の人は何%いるでしょうか

この問題の回答解説お願いいたします。できれば考え方なども教えていただけると幸いです。
No.68840 - 2020/08/09(Sun) 22:48:59
☆ Re: / ヨッシー
80点は平均より　7.2点高く、これは標準偏差の
　7.2÷15＝0.48
に当たります。90点は、同じく
　17.2÷15≒1.15
に当たります。
正規分布表で、0.48 は 0.1844、1.15 は 0.3749 となっていますので、
　0.3749−0.1844＝0.1905＝１９％

平均から標準偏差0.48個分の間には　0.1844 の人がいます。
平均から標準偏差1.15個分の間には　0.3749 の人がいます。
点数で言うと
72.8点から80点の間には　0.1844 の人がいます。
72.8点から90点の間には　0.3749 の人がいます。
ということになります。
No.68846 - 2020/08/10(Mon) 00:23:22
★ (No Subject) / ブルー
べき級数の収束域を求める問題です。
Σ(n=1→∞){(-1)^n/n^2}x^nについて

lim(n→∞)|a[n+1]/a[n]|を解いたところ、　
lim(n→∞){n^2/(n+1)^2}=0になりました。
ただ、答えは[-1,1]にならないといけません。
間違いを指摘していただきたいです。
よろしくお願いいたします。
No.68839 - 2020/08/09(Sun) 21:33:10
☆ Re: / らすかる
lim(n→∞){n^2/(n+1)^2}は1ですよ。
No.68857 - 2020/08/10(Mon) 13:31:19
★ 計量です / aiko
答えを教えてください
No.68835 - 2020/08/09(Sun) 16:34:43
☆ Re: 計量です / らすかる
(1)2個
(2)5個
のような気がします。
No.68837 - 2020/08/09(Sun) 20:30:12
☆ Re: 計量です / IT
立方体Xの頂点を順にABCD-EFGHとする。
球の半径をrとすると　r=(3/(4π))^(1/3) 1.2＜2r＜1.4＜√2
（１）らすかるさんの回答のとおり２個になりそうです。
・立方体Xの頂点について、隣り合う２頂点間の距離は１、そうでない場合の距離は√2以上。
・隣り合う頂点Ａ,Ｂを球Ｙの内部にすることは可能。
・任意の異なる３頂点を取ると、そのうち少なくとも２つの頂点は互いに隣接でないので距離が√2以上となり、直径2ｒ（＜√2）の球Ｙの内部には含まれない。

（２）らすかるさんの回答のとおり５個になりそうです。
きちんと証明は出来てませんが方針案

ABとGHの距離は√2なので同時に球Yと共有点を持つことはない。
　　（その他同様の位置関係同士の辺についても同様）

・５個の辺が球Yと共有点を持つことがある。

　正方形ABCDの対角線AC上でAP＝r となる点Pを中心とし半径rの円は、
頂点A、辺BC,CDと共有点を持つ。
　この円を含む半径rの球Yは、辺AB,AD,AE,BC,CDと共有点を持つ。

・６個の辺が球Yと共有点を持つことはない。

６個の辺が球Yと共有点を持つとする。
　共有点を持つ６個の辺は、AB,BC,CD,DA, AE,BF （のパターンだけ)
（これ以外のパターンは不可能であることは、より簡単に示せる？　）
　球Yに外接し平面ABCに垂直な円柱をZとすると、ZはAB,BC,CD,DA, AE,BFと共有点を持つ。
　円柱Zの平面ABCでの断面は半径rの円Ｏである。
　円Ｏと辺AB,BC,CD,DA,頂点A,B は、それぞれ共有点を持つ。…（１）
（１）が不可能であることを示す。
　
・出典は何ですか？
No.68853 - 2020/08/10(Mon) 11:59:48
☆ Re: 計量です / aiko
遅くなってすいません、出典は阪大過去問だと思います。
No.68924 - 2020/08/12(Wed) 20:06:54
☆ Re: 計量です / aiko
すっごい分かり易かったです！ありがとうございました！
No.68995 - 2020/08/15(Sat) 13:00:32
★ (No Subject) / グラフの形
積分の問題で、e^(-x)sinx という関数が出てきたため、私はこの関数を微分してその概形を求めました。
しかし、先生はこれは積分の問題であるから、そんな正確にグラフの形を求めなくて良いとおっしゃり、その概形はsinx とe^(-x)の積だから容易にわかるよと言ってすぐに概形を書きました。
ですが私にはこの考え方がわかりません。
和の場合(sinx+xとか)ならなんとなくグラフの形というのが想像できますが、積の形だとすぐに想像できません。
何か、考え方のコツなどがあるのでしょうか？
それとも、慣れなのでしょうか？
No.68833 - 2020/08/09(Sun) 16:02:15
☆ Re: / ヨッシー
まあ、慣れと言えば慣れでしょうね。

ｙ＝ｅ^(-x) のグラフは常に正の右下がりのグラフで、
ｙ＝sinｘ はおなじみの波グラフですので、掛け合わさると、
ｙ＝ｅ^(-x) のグラフが、sinｘによって、上下に振られる
感じのグラフになります。

積分範囲がどのように与えられているのか分かりませんが、
不定積分であれば、それこそ、グラフなしで行けますし、
(ある範囲で)ｘ軸と囲まれた部分の面積を求めるなら、
ｅ^(-x) は常に正なので、sinｘ＝０となるとき、
ｅ^(-x) sinｘ がｘ軸と交わります。
No.68834 - 2020/08/09(Sun) 16:33:18
☆ Re: / らすかる
sinxは-1と1の間で振動するグラフなので
例えば0.2sinxだったら-0.2と0.2の間で振動するグラフになりますね。
つまり掛けたものの±の値が振動の幅になるわけで、
e^(-x)を掛ければe^(-x)と-e^(-x)の間を振動するグラフになります。
（sinx=±1の点で±e^(-x)に接する）
No.68838 - 2020/08/09(Sun) 20:36:47
☆ Re: / 関数電卓
余計なお世話ですが…
> e^(-x) を掛ければ e^(-x) と -e^(-x) の間を振動するグラフ

そのままのスケールでグラフを描こうとすると，e^(−x) の減衰があまりに速すぎて「振動」の様子が分かりません。
そこで，減衰をいくらか遅くし e^(−x/3) とすると (sin の周期を短くしても同じこと)，いわゆる 減衰振動 の様子が分かりやすくなります。
No.68845 - 2020/08/09(Sun) 23:25:38
☆ Re: / グラフの形
ヨッシーさん、らすかるさん、関数電卓さん回答ありがとうございます。
具立ち的なイメージを提示してくださったおかげで、なんとなく理解できました！
ありがとうございました！
No.68879 - 2020/08/11(Tue) 10:33:50
★ (No Subject) / マキシマムトマト
正解は緑で囲った部分になるのですが自分の解き方だとどうしても違う答えになってしまいます…どこが間違ってますか？
No.68825 - 2020/08/09(Sun) 10:00:44
☆ Re: / IT
３行目の右辺の１項目がおかしいのでは？
No.68826 - 2020/08/09(Sun) 10:47:29
☆ Re: / マキシマムトマト
またどこか間違ってますか？？
No.68827 - 2020/08/09(Sun) 11:06:55
☆ Re: / IT
下から２行目はどうやって出しましたか、途中をていねいに書いてください。
No.68828 - 2020/08/09(Sun) 11:25:23
☆ Re: / マキシマムトマト
こうしました！
No.68829 - 2020/08/09(Sun) 11:32:11
☆ Re: / IT
３行目から４行目の変形がまちがってます。

一般に1/z=(1/x)+(1/y) のとき
　　　　z=x+y ではありません。
No.68831 - 2020/08/09(Sun) 11:36:17
☆ Re: / マキシマムトマト
たどりつけました！本当にありがとうございます！
No.68832 - 2020/08/09(Sun) 11:43:53
★ 場合の数 / 高3
⓪は間違っているそうなのですが、正しい答えの出し方が分かりません。教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.68820 - 2020/08/09(Sun) 09:06:13
☆ Re: 場合の数 / IT
対象の個数を少なくして考える。図化して考えるのも有効です。

男○女◎２人ずつの場合を考えると
＊○＊○＊
女子◎は＊のうちどこか２箇所に並べば良いです。
No.68822 - 2020/08/09(Sun) 09:21:38
☆ Re: 場合の数 / 高3
わかりました。ありがとうございます。
No.68824 - 2020/08/09(Sun) 09:30:16
★ 二次方程式 / 高3
(ト)についてききたいです。
答えは?Bで軸x=-b/2aが0かそれより小さければ良いと書いてあったのですが、軸が1より小さければ条件を満たすのではないのでしょうか？
No.68817 - 2020/08/09(Sun) 08:10:41
☆ Re: 二次方程式 / IT
例えばa＝-1,b＝1のとき　どんなグラフになりますか？

それでも納得できないようなら、問題文をもう一度よく読んでみてください。
No.68819 - 2020/08/09(Sun) 08:25:29
☆ Re: 二次方程式 / 高3
あ、理解できました。最小値しか考えていなかったです。
ありがとうございました。
No.68821 - 2020/08/09(Sun) 09:15:20
★ 複素数平面 / たかし
(3)のarg(β＋1)がなぜこうなるのでしょうか？
No.68811 - 2020/08/08(Sat) 23:16:52
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー

(2π−θ2)/2 は左図のような位置に来ますので、これは違います。

ｘ＝arg(β＋１) とおくと、これの求め方はいくつかあって、
(1)ｘの角度を２倍する（角度ｘからさらにｘだけ進むと）と、
　∠ＢＯＢ’＝∠Ｂ’ＯＰ
であることから、１周回って、Ｂの角度θ2 の位置に来ます。
よって、
　２ｘ＝2π＋θ2
より、
　ｘ＝(2π＋θ2)/2

(2)
　θ2 の半分がｘ−πであるので、
　ｘ＝π＋θ2/2
No.68812 - 2020/08/08(Sat) 23:46:17
★ 線形代数 / 張り切りチャイティーヨ
この問題なのですが最終的にどのような形で答えを表せばいいのかが分かりません。可能でしたら答えを導出するまでの過程も解説して下さるとありがたいです
No.68810 - 2020/08/08(Sat) 22:47:35
☆ Re: 線形代数 / 張り切りチャイティーヨ
年齢は大1で、解答の過程として(l,m,n)=P−1(a,b,c)の形で表すことはできました。でも、正直オンライン授業の関係上、線形代数に対する知識が疎く、問題文にある一次変換の行列表示を求めよに対する答えをどのように記述すればいいのかが分からないです。
No.68813 - 2020/08/08(Sat) 23:57:16
☆ Re: 線形代数 / X
その過程で求めた
τ(l,m,n)={P^(-1)}{τ(a,b,c)}
(τは転置であることを示す記号とします)
を求める行列表示として問題ないと思います。
No.68814 - 2020/08/09(Sun) 00:23:23
★ RE:素数と対数：双子素数 / CEGIPO / とらんじっと
> （※DS BBSという別の数学掲示板に投稿した内容の再掲です。ここに書いてもいいですか？
> （あちらのシステムが大分旧く、傷んできたようなので発言の引っ越し先を検討中です）
>
> （一部改））
>
> (双子素数関連の話題：予想です)
>
> 【素数と対数：素数定理などとも何か関係ありそう】
>
> ※a^bはaのb乗の事とします。
> ※対数log(n)は自然対数とします。
>
> /**************************************/
> (予想1)
>
> nが7以上の自然数の時
>
> n≦p1＜p2(=p1+2)≦2n-1
>
> を満たす双子素数の組(p1,p2)が
> 少なくとも1組存在する。
> /**************************************/
> /**************************************/
> (予想2(予想1より（かなり）強い予想))
>
> nが7以上の自然数の時
>
> n≦p1＜p2(=p1+2)≦n+(log(n))^3
>
> を満たす双子素数の組(p1,p2)が
> 少なくとも1組存在する。
> /**************************************/
>
> ※計算機（プログラム）検証
> による予想のみの提示で申し訳ないです。
>
> ざっと検算した限りでは成り立ちそうに見えます。
>
> ちなみに予想2はもし成り立てば
> かなり効率の良い式です。
>
> (いずれの予想ももし成立すれば
> 双子素数が無限組存在する事が
> 即座に導ける予想です。
> （したがって当然未解決）)
>
> 必定、僕の現在の数学力では到底証明できそうもないので
> 見識のある方、将来証明（もしくは反例を示す）
> していただけると嬉しいです。

∈……………∋


取り敢えず https://ci.nii.ac.jp/naid/110001260553 をご覧になりまして 25億くらいまでは大丈夫だと検証なさってください。
No.68807 - 2020/08/08(Sat) 22:19:10
☆ Re: RE:素数と対数：双子素数 / CEGIPO / とらんじっと
失礼いたしました。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?quote=68761&id=yosshy&mode=res&resto=68761
への応答です。
No.68809 - 2020/08/08(Sat) 22:21:09
☆ Re: RE:素数と対数：双子素数 / CEGIPO / とらんじっと
CEGIPO> nが7以上の自然数の時
CEGIPO>
CEGIPO> n≦p1＜p2(=p1+2)≦2n-1
CEGIPO>
CEGIPO> を満たす双子素数の組(p1,p2)が
CEGIPO> 少なくとも1組存在する。

ということは。
m = n -1
として、

mが6以上の自然数の時

(m +1)≦p1＜p2(=p1+2)≦2(m +1) -1

を満たす双子素数の組(p1,p2)が
少なくとも1組存在する。


ということは。

mが6以上の自然数の時

m ＜p1＜p2(=p1+2)＜2(m +1)

すなわち
m ＜p1＜2m
m +2 ＜p2 ＜2m +2

ですか

■ベルトラン・チェビシェフの定理.
全ての自然数 n に対して，n<p≦2n を満たす. 素数 p が存在する。

と見た目は似ていて本質はまるで違うわけですね。


全ての自然数 n に対して，n<p1≦2n を満たす. 双子素数 p1,p2=p1+2 が存在する。


かなり強烈ですねえ。
No.68873 - 2020/08/10(Mon) 23:45:01
★ (No Subject) / ブルー
べき級数の収束域を求める問題です。
1.Σ(n=1→∞){(-1)^n/n^2}x^n

2. Σ(n=1→∞){1/√n}x^2n

3. Σ(n=1→∞){(-1)^n+1/log(n+1)}x^n

よろしくお願いいたします。
No.68806 - 2020/08/08(Sat) 21:23:59
☆ Re: / ブルー
質問をした後に解き進め、1と2は解けましたので、3のみお願いいたします。
No.68808 - 2020/08/08(Sat) 22:20:35
★ (No Subject) / あ
ここの式変形ってどうなっているのですか？
No.68801 - 2020/08/08(Sat) 16:46:51
☆ Re: / ヨッシー
以下の通りです。

No.68802 - 2020/08/08(Sat) 17:08:50
★ 積分 / まいこ
曲線y=xcox(0≦x≦π)について次の問いに答えよ。

(1)曲線上の点P(t,tcost)(t>0)における接線が原点Oを通るとき、t=?
(2)(1)の接線と曲線とで囲まれる領域をx軸のまわりに回転してできる立体の体積は?

(1)はπ、(2)は3/16π^2(π^2-2)です。
解説をお願いします！
No.68800 - 2020/08/08(Sat) 16:18:45
☆ Re: 積分 / 関数電卓
取り急ぎ(2)のみ。
求める回転体は，
　図の黄緑部分を回転させた円錐から水色部分を回転させた立体を除いたもの
です。体積の計算は，こちら。
No.68803 - 2020/08/08(Sat) 17:30:12
☆ Re: 積分 / X
(1)
y=xcosx (A)
より
y'=cosx-xsinx
∴点(t,tcosx)における(A)の接線の方程式は
y=(cost-tsint)(x-t)+tcost
これが原点を通るので
0=(cost-tsint)(-t)+tcost
これより
(t^2)sint=0
条件から
0＜t≦π (B)
ゆえ
sint=0
∴(B)より
t=π
No.68805 - 2020/08/08(Sat) 21:21:25
☆ Re: 積分 / まいこ
ありがとうございました！
No.68869 - 2020/08/10(Mon) 19:56:37
★ (No Subject) / 受験生
この問題について質問ですが、二直線が交わらず、平行にならないことを示せれば、ねじれの位置ということになるのはわかります。
No.68796 - 2020/08/08(Sat) 11:53:41
☆ Re: / 受験生
このようにやったのですが、続きをどう書いて良いのかわかりません。
No.68797 - 2020/08/08(Sat) 11:54:53
☆ Re: / ヨッシー
?A?B?Cを同時に満たすｓ、ｔは存在しないので、ｌとｍは交わらない
で良いと思います。
No.68798 - 2020/08/08(Sat) 11:57:31
★ 積分計算 / Ran
?怒-4log(cos^2x)・tanx}dx

の解き方を教えてください。
答えが4(log |cosx|)^2 +C (Cは積分定数)なのですが、これを微分しても上の式にならなくて困ってます
No.68794 - 2020/08/08(Sat) 11:30:24
☆ Re: 積分計算 / IT
微分したらどうなりましたか？
なお、a>0について log(a^2)=2loga です。
No.68795 - 2020/08/08(Sat) 11:41:11
★ 入門統計学　ポアソン分布 / れい
どなたかこの問題を教えてください。解き方もお願いします。

あるレンタカーの営業所には 3 台の車があり、1 日単位で貸し出す。レンタカーの需 要は 1 日平均 2 台のポアソン分布に従うとする。1 台を 1 日貸すと 7000 円の収入が得られ る。他方、営業所全体の経費として 1 日当たり 8000 円かかる。その営業所全体での 1 日の 利益の期待値を求めよ。
No.68789 - 2020/08/08(Sat) 06:52:00
☆ Re: 入門統計学　ポアソン分布 / IT
平均値２のポアソン分布の確率関数（P(x)とします） は分りますか？

貸し出し台数は、0,1,2,3 のいずれかですから

(P(1)+2P(2)+3P(3))*7000-8000 が求める期待値になると思います。
No.68793 - 2020/08/08(Sat) 11:12:49
☆ Re: 入門統計学　ポアソン分布 / ヨッシー
本件、投稿主から削除依頼が来ていますが、回答も付いていることですし、
メールアドレスだけ削除して、記事はひとまずこのままとします。
何かの懸賞とか、差し障りのある問題でしたら、お知らせください。
No.69053 - 2020/08/17(Mon) 00:36:52
★ 不等式の証明 / あか
画像の問題の解き方を教えてください。
sinxをマクローリン展開してとこうとしてもうまくいきませんでした
No.68785 - 2020/08/08(Sat) 01:53:01
☆ Re: 不等式の証明 / WIZ
f(x) = sin(x)-ax とおくと、f'(x) = cos(x)-a です。

(A) a ≦ cos(1) の場合
x ∈ (0, 1) で cos(x) は単調減少なので、cos(x) > cos(1) > 0 が成立します。
よって、a ≦ cos(1) ならば、 f'(x) > 0 となり、f(x) は単調増加となり、f(x) > f(0) = 0 となります。
よって、この場合、f(x) < 0 となる x は存在しません。

(B) a > cos(1) の場合
0 < x < arccos(a) で f'(x) > 0 なので、f(x) は単調増加、この範囲で f(x) > f(0) = 0 です。
x = arccos(a) で f'(x) = 0 なので、f(x) は極大、f(x) > 0 です。
arccos(a) < x < 1 で f'(x) < 0 なので、f(x) は単調減少です。
この範囲で、f(x) > f(1) = sin(1)-a*1 ですので、
f(1) = sin(1)-a < 0 つまり sin(1) < a なら題意の x は存在し、sin(1) ≧ a なら存在しないと言えます。

sin(1) > cos(1) ですので、(A)(B)より「a > sin(1) なら成立し、a ≦ sin(1) なら成立しない」となります。

# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!
No.68799 - 2020/08/08(Sat) 14:58:34
★ 比を求める / だい
中3の数学です。

△ABCの辺BCの中点をM、辺ACの３等分点をD、Eとする。また、AMとBDの交点をFとする。２点B、Eを結び、AMとの交点をGとする。
このとき、BG:GEを求めなさい。

という問題が分かりません。

よろしくお願いいたします。
No.68779 - 2020/08/07(Fri) 23:57:31
☆ Re: 比を求める / らすかる
Eを通りAMに平行な直線とBCの交点をHとすると
△CEH∽△CAMなのでMH：HC=AE：EC=2：1
よってBM：MH：HC=3：2：1なので
△BMG∽△BHEからBG：GE=BM：MH=3：2
No.68782 - 2020/08/08(Sat) 00:17:23
☆ Re: 比を求める / だい
らすかるさん、ご回答ありがとうございました。
平行線を引くのがポイントなのですね。
理解できました。
大変助かりました。
No.68792 - 2020/08/08(Sat) 11:07:36
★ 線分の長さ / だい
中3の数学です。

平行四辺形ABCD。
BE:EC=3:2。
AE=16cmのとき、線分AFの長さを求めよ。

という問題が分かりません。

よろしくお願いいたします。
No.68778 - 2020/08/07(Fri) 23:46:35
☆ Re: 線分の長さ / らすかる
BE：EC=3：2から△EABと△EGCの相似比は3：2なので
AE：EG=3：2、AB：CG=3：2
AB：CG=3：2からAB：DG=3：5なので
△FABと△FGDの相似比は3：5、よってAF：FG=3：5
AE：EG=3：2=24：16
AF：FG=3：5=15：25
なので
AF：FE：EG=15：9：16
よってAF=16(AF/AE)=16(15/24)=10cm
No.68781 - 2020/08/08(Sat) 00:12:45
☆ Re: 線分の長さ / √
別解かも。

ＢＥ：ＥＣ＝３：２
だからＡＤ＝５

三角形ＡＦＤと、三角形ＥＦＢは相似
だからＡＦ：ＥＦ＝５：３
ＡＦ＝１６ｃｍｘ（５／８）＝１０ｃｍ
かな？

Ｇは全く必要ないよーな。
No.68783 - 2020/08/08(Sat) 00:43:57
☆ Re: 線分の長さ / らすかる
その方法の方がはるかに簡単ですね。
私の解答は遠回りしていました。
No.68784 - 2020/08/08(Sat) 01:29:46
☆ Re: 線分の長さ / だい
らすかるさん、√さん、ご回答ありがとうございました。
理解することができました。
大変助かりました。
No.68791 - 2020/08/08(Sat) 11:06:14
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