cos(a+b)+cos(a)sin(b)=0
cos(a+b)+sin(a)cos(b)=0
をa.bについて解け
タンジェントの式を作ってまとめようとしたのですが、うまくいきませんでした。これはどのように解きますか？よろしくお願いします。
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No.68982 - 2020/08/15(Sat) 03:04:42
| ☆ Re: 三角関数の連立方程式 / らすかる | | | a,bの範囲は指定されていないのですか？実数全体ですか？
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No.68983 - 2020/08/15(Sat) 03:41:54 |
| ☆ Re: 三角関数の連立方程式 / X | | | 方針を。
cos(a+b)+cosasinb=0 (A)
cos(a+b)+sinacosb=0 (B)
とします。
(A)-(B)より
sin(b-a)=0
∴b-a=nπ (nは任意の整数)
となるので
b=a+nπ (C)
(C)を(A)又は(B)に代入してbを消去します。
こちらの計算ではa,bは綺麗な値にはなりません
でした。
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No.68984 - 2020/08/15(Sat) 07:19:18 |
| ☆ Re: 三角関数の連立方程式 / らすかる | | | もしa,bが実数全体ならば、以下のようになると思います。
2式の差をとると
sinacosb-cosasinb=0
sin(a-b)=0
a-b=nπ … (1)
2式を足すと
2cos(a+b)+sin(a+b)=0
(2/√5)cos(a+b)+(1/√5)sin(a+b)=0
sin(a+b+α)=0 （sinα=2/√5,cosα=1/√5）
a+b+α=mπ … (2)
(1)(2)から
a={(m+n)π-α}/2={(m+n)π-arccos(1/√5)}/2
b={(m-n)π-α}/2={(m-n)π-arccos(1/√5)}/2
（m,nは任意の整数）
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No.68988 - 2020/08/15(Sat) 11:24:24 |
| ☆ Re: 三角関数の連立方程式 / じおらま | | | No.69002 - 2020/08/15(Sat) 16:19:20 |
| ☆ Re: 三角関数の連立方程式 / らすかる | | | それならば
a={(m+n)π-α}/2
b={(m-n)π-α}/2
まで出た後、
0＜a,b＜2πから
0＜(m+n)π-α＜4π
0＜(m-n)π-α＜4π
0＜α＜π/2なので
1≦m+n≦4, 1≦m-n≦4
これより
(m,n)=(1,0),(2,-1),(2,0),(2,1),(3,-1),(3,0),(3,1),(4,0)
なので
(a,b)=((π-α)/2,(π-α)/2), ((π-α)/2,(3π-α)/2), ((2π-α)/2,(2π-α)/2),
((3π-α)/2,(π-α)/2), ((2π-α)/2,(4π-α)/2), ((3π-α)/2,(3π-α)/2),
((4π-α)/2,(2π-α)/2),((4π-α)/2,(4π-α)/2)
=
((π-arccos(1/√5))/2,(π-arccos(1/√5))/2), ((π-arccos(1/√5))/2,(3π-arccos(1/√5))/2),
((2π-arccos(1/√5))/2,(2π-arccos(1/√5))/2), ((3π-arccos(1/√5))/2,(π-arccos(1/√5))/2),
((2π-arccos(1/√5))/2,(4π-arccos(1/√5))/2), ((3π-arccos(1/√5))/2,(3π-arccos(1/√5))/2),
((4π-arccos(1/√5))/2,(2π-arccos(1/√5))/2), ((4π-arccos(1/√5))/2,(4π-arccos(1/√5))/2)
追記
arccos(1/√5)=arctan2を使って
(a,b)=((2π±π-arctan2)/2,(2π±π-arctan2)/2),
((3π±π-arctan2)/2,(3π±π-arctan2)/2) （いずれも複合任意）
とまとめると綺麗ですね。
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No.69007 - 2020/08/15(Sat) 18:14:35 |
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