a≧b≧0,p≧q≧0を満たす実数a,b,p,qに対し
f(x)=e^(ax)+e^(bx)
g(x)=e^(px)+e^(qx)とおく。
任意の実数xに対してf'(x)=g(x)となる(a,b,p,q)の組を全て求めよ。
高校3年です。
答えがわからないので教えていただきたいです。
f'(x)=g(x)の両辺を微分したりx=0を代入したりして試行錯誤していると、
(1,1,1,1)や(2,0,2,2)という組を見つけたのですがそこで手が止まってしまいました。
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No.68860 - 2020/08/10(Mon) 15:38:26
| ☆ Re: 関数方程式？ / IT | | | 一般に（A)が成立します。
(A)実数定数a,b,c,d,任意の実数xについて ce^(ax)+de^(bx)＝0
⇔(c=d=0)または(a=bかつd=-c)
f'(x)-g(x)=ae^(ax)+be^(bx)-e^(px)-e^(qx)=0…(1)
x=0とおくと a+b=2. ∴a≧1
e^(px)で割ると
ae^(ax-px)+be^(bx-px)-1-e^(qx-px)=0
a＞p のとき x→∞のとき 左辺→∞
a＜p のとき x→∞のとき 左辺→負
よって a=p.
これを(1)に代入、(a-1)e^(ax)+be^(bx)-e^(qx)=0…(2)
a＝1のとき b=1,p=1
∴e^(x)-e^(qx)=0 ∴ q=1
a＞1 のとき
a＞q ならば、(2)の左辺→∞(x→∞) なので、 a＝q
これとb=2-aを(2)に代入
(a-2)e^(ax)+(2-a)e^((2-a)x)＝0
(A)とa＞1よりa=2
∴b=0,p=q=a=2
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No.68865 - 2020/08/10(Mon) 18:04:28 |
| ☆ Re: 関数方程式？ / WIZ | | | h(x) = f'(x)-g(x) = a(e^(ax))+b(e^(bx))-e^(px)-e^(qx) とおきます。
任意の実数 x に対して h(x) = 0 でなければいけないので、
h(0) = a(e^(a*0))+b(e^(b*0))-e^(p*0)-e^(q*0) = a+b-2 = 0・・・・・(1)
h'(x) = 0 ですので、h'(0) = 0 です。
h'(x) = (a^2)(e^(ax))+(b^2)(e^(bx))-p(e^(px))-q(e^(qx))
⇒ h'(0) = a^2+b^2-p-q = 0・・・・・(2)
以下、計算は省略しますが、h''(0) = 0 と h'''(0) = 0 から下記が導かれます。
a^3+b^3-p^2-q^2 = 0・・・・・(3)
a^4+b^4-p^3-q^3 = 0・・・・・(4)
計算の見通しを良くする為、ab = t とおきます。
(1)(2)より、
a^2+b^2-p-q = (a+b)^2-2ab-p-q = 0
⇒ 2t+p+q = (a+b)^2 = 2^2 = 4・・・・・(5)
(1)(2)(3)より、
a^3+b^3-p^2-q^2 = (a+b)^3-3ab(a+b)-(p+q)^2+2pq = 0
⇒ (a+b)^3+2pq = 3t(a+b)+(p+q)^2
⇒ 2^3+2pq = 3t*2+(4-2t)^2
⇒ 8+2pq = 6t+(16-16t+4t^2)
⇒ pq = 4-5t+2t^2・・・・・(6)
(1)(2)(3)(4)より、
a^4+b^4-p^3-q^3 = (a^2+b^2)^4-2(a^2)(b^2)-(p+q)^3+3pq(p+q) = 0
⇒ (4-2t)^2-2t^2-(4-2t)^3+3(4-5t+2t^2)(4-2t) = 0
⇒ (16-16t+4t^2)-2t^2-(64-96t+48t^2-8t^3)+3(16-20t+8t^2-8t+10t^2-4t^3) = 0
⇒ -4t+8t^2-4t^3 = 0
⇒ t(t-1)^2 = 0
よって、t = ab は 0 または 1 です。
a ≧ b かつ a+b = 2 です。また、p ≧ q かつ(5)(6)より、p+q = 4-2t, pq = 4-5t+2t^2 ですから、
t = ab = 0 のとき、a, b は y^2-2y+0 = 0 の解で (a, b) = (2, 0)
p+q = 4-2*0 = 4, pq = 4-5*0+2*0^2 = 4 で、p, q は z^2-4z+4 = 0 の解で (p, q) = (2, 2)
t = ab = 1 のとき、a, b は y^2-2y+1 = 0 の解で (a, b) = (1, 1)
p+q = 4-2*1 = 2, pq = 4-5*1+2*1^2 = 1 で、p, q は z^2-2z+1 = 0 の解で (p, q) = (1, 1)
以上から、スレ主さんが見つけた (a, b, p, q) = (2, 0, 2, 2)(1, 1, 1, 1) 以外に解は無いということですね!
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No.68868 - 2020/08/10(Mon) 19:09:41 |
| ☆ Re: 関数方程式？ / えのき | | | お二方とも、回答ありがとうございました。
極限を扱う考えも、微分して代入してを繰り返すのも、どちらもとても分かりやかったです。
まだまだ勉強が足りていないと感じましたが、これからもっと頑張りたいと思います。
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No.68875 - 2020/08/11(Tue) 00:39:17 |
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