p.qを複素数としてzについての三次方程式z^3+pz+q=0の解a,b,cを用いた(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2をp,qの多項式の成分とした三次行列式として表す方法がわかりません。またそれをp,qの多項式として表
すこともできません
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No.68334 - 2020/07/25(Sat) 03:12:00
| ☆ Re: / WIZ | | | 解答ではなく参考情報です。
複数項に対して、2項づつの差を取り、それら全部を掛け合わせた式を積差と言います。
質問のケースでは、a, b, c が項であり、(a-b)(b-c)(c-a) が積差となります。
勿論、a と b を入れ替えれば積差は (b-a)(a-c)(c-b) となり符号が反転しますが、
この様な性質を持つ式を交代式と言います。
積差とは概念であり、唯一の式を表すものではありません。
交代式の平方は対象式になります。
対象式は基本対象式で表すことができます。
a, b, c が3次方程式の解であれば、その3次方程式の係数が基本対象式の値となります。
質問のケースでは、a+b+c = 0, ab+bc+ca = p, abc = -q ですね。
尚、代数方程式において、解の積差の平方のことを特に判別式と言います。
質問のケースの3次方程式の判別式は
{(a-b)(b-c)(c-a)}^2 = -4p^3-27q^2
であることが知られています。
また、代数方程式において、係数から判別式の値を求める行列式は知られていますが、
代数方程式の次数を n とすると、行列式の次数は 2n-1 となり、
質問のケースだと5次の行列式となってしまいますね。
Googleで「代数方程式 判別式 行列」などで検索すると「判別式 - Wikipedia」がヒットしますので、
参考になるかと思います。
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No.68361 - 2020/07/25(Sat) 15:46:06 |
| ☆ Re: / ast | | | > 積差と言います。
名称は "差積" (difference-product) ですね. 任意の差に対して総積をとったもの, 差の積 (product of differences) というそのままの構成が言葉の成り立ちです.
# 積和 (product-sum), 和積 (sum-product), 冪和 (power-sum), 冪積 (power-product) など
# 同じ構成の数学用語がいっぱいあります.
## なので高校の三角函数のところで出てくる, "●を×に直す公式" を "●×(の)公式" と呼ぶ方言は
## 個人的にはあまり好きではない.
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No.68362 - 2020/07/25(Sat) 16:07:21 |
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