画像の問題がどうしても解けません。。。
解ける問題だけでも大丈夫なので教えてください。お願いいたします。
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No.67744 - 2020/07/08(Wed) 03:33:52
| ☆ Re: 無限和 / X | | | (3)
オイラーの公式により
cosnθ={e^(inθ)+e^(inθ)}/2
∴(与式)=1+2Σ[n=１〜∞](1/2){{re^(iθ)}^n+{re^(-iθ)}^n}
=1+2Σ[n=１〜∞](1/2){{re^(iθ)}^n+{re^(-iθ)}^n}
=1+2lim[n→∞](1/2)[{re^(iθ)}{1-{re^(iθ)}^n}/{1-re^(iθ)}
+{re^(-iθ)}{1-{re^(-iθ)}^n}/{1-re^(-iθ)}]
=1+{re^(iθ)}/{1-re^(iθ)}+{re^(-iθ)}/{1-re^(-iθ)}
=…
(オイラーの公式を元に戻して整理をします。)
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No.67748 - 2020/07/08(Wed) 06:07:24 |
| ☆ Re: 無限和 / ast | | | (2) は分母分子を2倍して
2*?農[n=1,2,…] 1/(2n*(2n+1)) = 2*?農[n=1,2,…] 1/(2n)-1/(2n+1)
と書き直せばいい. すると, (2-倍はひとまず置いといて) ?農[n=1,2,…] 1/(2n)-1/(2n+1) の第 n-部分和
S[n] = (1/2-1/3)+(1/4-1/5)+…+(1/(2n)-1/(2n+1))
は, 交代調和級数 1/1-1/2+1/3-1/4+… の第 (2n+1)-部分和
AH[2n+1] = 1/1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n)-1/(2n+1)
と比較して, S[n] = -(AH[2n+1]-1) であることは容易にわかる. n→∞ とするとき, 交代調和級数の和が log(2) なのは有名な事実 (知らなければ検索すればいくらでも証明が出てくるはず) なので, 求める和は 2(1-log(2)).
参考: ?農[n=1,2,…] 1/(n*(2n+1)).
: ?農[n=1,2,…] (-1)^(n-1)/n = log(2).
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No.67751 - 2020/07/08(Wed) 15:44:36 |
| ☆ Re: 無限和 / at | | | (1)
Σ[n=0,∞]((-1)^n)/(3*n+1)
=∫[x=0,1](1/(1+x^3))dx
=(1/9)*((√3)*π+3*log(2)).
このサイトは日本語が含まれていないと、投稿できないのだな。
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No.67867 - 2020/07/12(Sun) 20:46:35 |
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