大学の線形数学の問題です。
A=(-1 -2 1 2/1 2 -1 -2/0 1 -1 -1/1 1 0 -1)の4次正方行列について。
KerAがKerA^2の部分空間であることを示し、KerA^2の基と次元を求めよ。ただし、基を与えるベクトルはKerAの基を含むこと。
KerAの基が{(-1 1 1 0),(0 1 0 1)}であることは求められました。ここから先が分かりません。
よろしくお願いいたします。
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No.67670 - 2020/07/06(Mon) 08:25:30
| ☆ Re: 線形数学 / ast | | | Ker(A) の基底の求め方が分かるなら, 同様に Ker(A^2) も (あらかじめ A^2 さえ計算しとけば) 基底が求められるはずなので, わからないのは部分空間になることなのでしょうかね……?
そうである場合, Ker(A), Ker(A^2) がともに A の定義域となっている空間の部分空間であることは既知の事項と思いますので, 集合として Ker(A)⊂Ker(A^2) であればよいです. "x∈Ker(A) ならば A^2x=A(Ax)=A0=0 だから x∈Ker(A^2)" とでもするか, 最初に Ker(A) の基底を {(-1 1 1 0),(0 1 0 1)} と求めてあるのを利用するなら, A^2(-1 1 1 0)=0 かつ A^2(0 1 0 1)=0 を計算で示してもよいです.
もし「部分空間なのも Ker(A^2) の基底もわかっているが, 求めた Ker(A^2) の基底が既に求めてある Ker(A) の基底ベクトルを含んでいないので, その基底を Ker(A) の基底を延長したものとしてとる方法が分からない」というご質問なら, Ker(A^2) の基底ベクトルから Ker(A) の基底ベクトルたちの適当な線型結合を引いて零ベクトルにできるならそのベクトルは廃棄, 非零な部分が残るなら Ker(A) の基底にそのベクトルを追加 (必要なら複数追加) したものが題意に沿う Ker(A^2) の基底です.
参考1: Ker(A^2) (by Wolfram|Alpha)
参考2: Ker(A) (by Wolfram|Alpha)
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No.67672 - 2020/07/06(Mon) 10:51:14 |
| ☆ Re: 線形数学 / ミーコ | | | 「部分空間なのも Ker(A^2) の基底もわかっているが, 求めた Ker(A^2) の基底が既に求めてある Ker(A) の基底ベクトルを含んでいないので, その基底を Ker(A) の基底を延長したものとしてとる方法が分からない」
まさにこの通りです。
送ってくださった文章を読んだのですが、理解できません。
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？
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No.67673 - 2020/07/06(Mon) 11:17:57 |
| ☆ Re: 線形数学 / ast | | | > まさにこの通りです。
そうであったならば, 求めた Ker(A^2) の基底も書いてくれないと具体的な話ができないし, 分かっている内容をはっきり書いて質問すべきと思います.
とりあえず Wolfram Alpha の結果を利用して説明しますが, Ker(A^2) の基底ベクトルとして α:=(-1,1,0,0), β:=(0,0,1,0), γ:=(1,0,0,1) が求められ, 既知の Ker(A) の基底が {v:=(-1,1,1,0), w:=(0,1,0,1)} であったと問題設定します. このとき, α=s*v+t*w を満たすスカラーの組 s,t は無いので, {v,w,α} は求める基底になります. 実は β=s*v+t*w とか γ=s*v+t*w とかでもそんなスカラー s,t は無いので, {v,w,β} でも {v,w,γ} でも題意を満たす Ker(A^2) の基底となります.
# 要は v,w に一次独立な Ker(A^2) の任意のベクトルを追加すればよいので.
あるいは, 基底を {α,β,γ} とは取らずに {α,β+α,γ+α} と取り直すというのでもよい (この場合, 簡単な計算で v=α+β, w=α+γ が成り立つことが分かるので, 何もしなくても延長になっている).
# 基底 (α,β,γ) を (α,β+α,γ+α) に変換する行列 P が
# P:= ((1;0;0),(1;1;0),(1;0;1)) (右辺は列ベクトルを横に並べた行列)
# で, これがちゃんと正則なことくらいは検算する.
ここでの説明が, 選んだ基底にまったく依存してることはわかるはずだと思いますが, だから質問者が情報小出しにしたり隠したりすると意味がないことまでわかって欲しいと思います.
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No.67676 - 2020/07/06(Mon) 12:25:11 |
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