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(No Subject) / m
なぜ下線部のようになるのか分かりません。
No.68537 - 2020/08/01(Sat) 08:42:17

Re: / X
↑OA+↑OB+↑OC=↑O
より
↑OC=-↑OA-↑OB
これを使って下線部と同じ行の等式の中辺から
↑OCを消去します。

No.68538 - 2020/08/01(Sat) 08:51:47

Re: / m
わかりました!ありがとうございます!
No.68556 - 2020/08/01(Sat) 17:55:51
(No Subject) / やっさん
微分方程式の問題です。

解説をおねがいしますm(_ _)m

No.68535 - 2020/08/01(Sat) 03:15:26

Re: / GandB
  y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ・・・・・(#)

  D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
  D = -2(3重解)
 よって余関数 Y は
  Y = (C3x^2+C2x+C1)e^(-2x)

 (#)は
  ((D+2)^3)y = 5(x^2)e^(-2x)
と変形できるのでその特殊解 y0 は

  y0 = 5(x^2)e^(-2x)/(D+2)^3
= 5e^(-2x)/( (2+1)(2+2)(2+3) )x^(2+3)
= (x^5/12)e^(-2x)

 したがって(#)の一般解は

  y = (C3x^2+C2x+C1)e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)

 後は略。

No.68589 - 2020/08/02(Sun) 05:51:52

Re: / やっさん
ありがとうございます!
助かりました・・・!

No.68613 - 2020/08/02(Sun) 19:14:05
高3 存在条件の処理について / ふらうん
東京大学理系志望の高校三年生です

途中式の変形で困っています、問題は関係ないので省略します

∃a{(a^2-4a-2-6b<0)かつ(a^2-4a+2+2b<0)}は中の二つの式の判別式が両方正になるという条件でー1<b<1ととけるのに
解けるのに

∃p{(p^2-2p+1+3q>0)かつ(p^2+2p+1+q<0)}は一つめの式の判別式<0かつ二つ目の式の判別式>0で解けないのですか?
解答ではpの二式をpについて解いて、それが共有店を持つ条件として答えを出していたのですが、その結果と判別式で解いた答えが異なって困っています
ちなみに正しい答えは-4-2√3<q<0です

No.68534 - 2020/08/01(Sat) 02:19:13

Re: 高3 存在条件の処理について / IT
> ∃p{(p^2-2p+1+3q>0)かつ(p^2+2p+1+q<0)}は一つめの式の判別式<0かつ二つ目の式の判別式>0で解けないのですか?

(p^2-2p+1+3q≦0) となる 実数p があっても
∃p{(p^2-2p+1+3q>0)かつ(p^2+2p+1+q<0)} となるかも知れません。

No.68536 - 2020/08/01(Sat) 03:23:35

Re: 高3 存在条件の処理について / 黄桃
根本的に誤解しているようです。

P,Qをaに関する条件とします。

∃a (P(a) ∧ Q(a)) ...(*)

(∃a P(a))∧(∃a Q(a)) ...(**)
は異なります。
(*)⇒(**) はいえますが、(**)だからといって(*)はいえません。
(*)では P,Q共通のaが必要ですが、(**)では、P,Q別々のaでもいいからです。

>二つの式の判別式が両方正になるという条件で
解いた、ということは、条件(**)を求めたことに他なりません。

最初の問題の解が一致したのはP,Qが
P: f(a)<g(b)
Q: f(a)<h(b)
という共通の2次関数f(a)とaを含まないbのみの関数g(b),h(b)を使って書けたので、たまたまうまくいっただけにすぎません。

2番目の問題では
P: f1(p)>g(q)
Q: f2(p)<h(q)
とf1,f2が異なっている上、これを判別式で考えたのでは
Pの方は「すべてのpについてPが成立する」(∀p P(p))条件を求め、Qの方は「Qをみたすpが存在する」条件(∃p Q(p))を求めたことになります。
両者の共通部分をとったものは確かに解の一部ではありますが、両者に共通するpが存在する、ということとは同じではありません。
なので、解答のように考える必要があるのです。

No.68539 - 2020/08/01(Sat) 08:53:06

Re: 高3 存在条件の処理について / ふらうん
お二方ご返信ありがとうございます

黄桃さんに質問なのですが、
確かに判別式で解くのは任意のpについてPが成立する条件だということは理解しましたがほかのところがいまいち理解できません。
何故同じ関数二つだと答えが一致して関数が違うとアウトなのでしょうか
それはつまり、例えば上のaの存在条件に関して、どちらかの式のaの係数が変わっただけで 不等号の向きが同じでも同様な解き方が出来なくなるということですか?その理由が分かりません

下に突な放物線なのでPが成立するpが存在するというのは任意のpで成り立つと考えられて
任意のqでPが成立して Qの判別式>0を満たすqの条件はq<0なのだから、両方を満たすqの条件はq<0に思われるのですが。。。

∃a (P(a) ∧ Q(a)) ...(*)

(∃a P(a))∧(∃a Q(a)) ...(**)が異なるというのもいまいち理解できません

詳しく解説していただいたのにすみません

No.68544 - 2020/08/01(Sat) 11:39:45

Re: 高3 存在条件の処理について / ふらうん
訂正です

下に突な放物線なのでPが成立するpが存在するというのは任意のpで成り立つと考えられて
任意のqでPが成立して Qの判別式>0を満たすqの条件はq<0なのだから、両方を満たすqの条件はq<0に思われるのですが。。。

下に突な放物線なのでPが成立するpが存在するというのは
任意のqで成立して Qの判別式>0を満たすqの条件はq<0なのだから、両方を満たすqの条件はq<0に思われるのですが。。。

No.68545 - 2020/08/01(Sat) 11:43:15

Re: 高3 存在条件の処理について / ふらうん
ITさんへ
> > ∃p{(p^2-2p+1+3q>0)かつ(p^2+2p+1+q<0)}は一つめの式の判別式<0かつ二つ目の式の判別式>0で解けないのですか?
>
> (p^2-2p+1+3q≦0) となる 実数p があっても
> ∃p{(p^2-2p+1+3q>0)かつ(p^2+2p+1+q<0)} となるかも知れません。


(p^2-2p+1+3q≦0) となる 実数pは(p^2-2p+1+3q>0)という条件に反するので
> ∃p{(p^2-2p+1+3q>0)かつ(p^2+2p+1+q<0)}は満たさない気がするのですが、どうでしょうか?
∃p{(p^2-2p+1+3q>0)または(p^2+2p+1+q<0)}なら満たす可能性があると思うのですが

No.68546 - 2020/08/01(Sat) 11:49:15

Re: 高3 存在条件の処理について / IT
> ITさんへ

> (p^2-2p+1+3q≦0) となる 実数pは(p^2-2p+1+3q>0)という条件に反するので
> > ∃p{(p^2-2p+1+3q>0)かつ(p^2+2p+1+q<0)}は満たさない気がするのですが、どうでしょうか?


(p^2-2p+1+3q≦0) となる 実数pが
 (p^2-2p+1+3q>0)かつ(p^2+2p+1+q<0) を満たさなくても
他の実数 p[1] があって
 (p[1]^2-2p[1]+1+3q>0)かつ(p[1]^2+2p[1]+1+q<0) を満たせば、
 ∃p{(p^2-2p+1+3q>0)かつ(p^2+2p+1+q<0)}は、真。となります。
 

No.68547 - 2020/08/01(Sat) 12:11:07

Re: 高3 存在条件の処理について / IT
> ∃a (P(a) ∧ Q(a)) ...(*)
> と
> (∃a P(a))∧(∃a Q(a)) ...(**)が異なるというのもいまいち理解できません


根本的なことですので、これが分らないと、同様の問題を正しく解くことは出来ないと思います。

黄桃さんが解説しておられますが、

言い方を変えると
(*)では、P(a) が真となるaとQ(a)が真となるaは、同一です。
(**)では、P(a) が真となるaとQ(a)が真となるaは、同一でなくてもよいです。
(∃a P(a))∧(∃b Q(b)) と書いても同じです。

なお、∃、∧の記号を使わずに書くとそれぞれどうなりますか?

No.68548 - 2020/08/01(Sat) 13:41:05

Re: 高3 存在条件の処理について / ふらうん
> > ∃a (P(a) ∧ Q(a)) ...(*)
> > と
> > (∃a P(a))∧(∃a Q(a)) ...(**) なお、∃、∧の記号を使わずに書くとそれぞれどうなりますか?

*PかつQを満たすaが存在する条件
**Pを満たすaが存在する条件かつQを満たすaが存在する条件
ということでよろしいでしょうか

*ではPQを満たすaは同一であることと、**ではそれぞれ別のaが存在する条件だという考えは理解しましたが、
たとえそうだとしても共通部分をとれば同じではないですか?ベン図を描いて考えてみましたが、やはり図は*を満たすaの条件も**を満たすaの条件も同じになりました

※おそらく私が未熟なためにお二方のご回答を理解するに至ってないだけで、お二方の回答は正しくて明快なものだとは思います。度重なる質問でイライラさせていたら申し訳ありません。

No.68551 - 2020/08/01(Sat) 15:35:52

Re: 高3 存在条件の処理について / IT
>たとえそうだとしても共通部分をとれば同じではないですか?
>ベン図を描いて考えてみましたが、やはり図は*を満たすaの条件も**を満たすaの条件も同じになりました


おっしゃる意味がどういうことか正確には分りません。

同じものを見ながら リアルタイムで質疑応答しないと質問を正しく理解し正しい回答をできそうもありません。

もう一度、黄桃さんの回答などを読んで、じっくり考えて見られて、それでも分らないようなら 身近な人(先生・友人など)に直接聞かれた方が良いと思います。

No.68554 - 2020/08/01(Sat) 16:11:05

Re: 高3 存在条件の処理について / ふらうん
わかりました
お二方とも長きにわたりありがとうございました

No.68560 - 2020/08/01(Sat) 18:45:53
(No Subject) / S.W
α,β∈Rのとき
x(t)=e^(αt)cos(βt)x(0)
y(t)=e^(αt)sin(βt)y(0)のx-yグラフを,α,βの正負で場合分けして求めよ。

という問題です。
2つの式をどちらもt=の形にして等式でつなぎy(t)=Ax(t)+Bの形にすると考えたのですがその先がよくわかりません。
教えていただけると嬉しいです。

No.68533 - 2020/08/01(Sat) 02:16:55

Re: / ast
問題の置かれた文脈がよくわからないのですが, 一般論としては x(t), y(t) をそれぞれ t の函数として扱って, 増減表を書くなどして, それらの組としての曲線上の点を t に沿って追跡していくという方法論が求められている蓋然性が高そうな場面にも見えますね…….

> 2つの式をどちらもt=の形にして
というのは, それぞれ単独で変形をして t を x,y それぞれを変数とする一変数の既知函数を用いて表すという意味なのであれば無理でしょう.
二変数 x,y の函数として t について解くならいくつか考えられますが, たとえば
 [i] sin(βt), cos(βt) (引数が βt で同じ) の基本関係から (x(t)/x(0))^2+(y(t)/y(0))^2 = (e^(αt))^2,
 [ii] 辺々割れば e^(αt) は共通因数なので消えて (x(t)/x(0))/(y(t)/y(0))=1/tan(βt)
などは単純な思い付きでも出ると思うので, よって
 log((x(t)/x(0))^2+(y(t)/y(0))^2)/(2α)=t=arctan((y(t)/y(0))/(x(t)/x(0)))/β
のような形で t を消去することはできるでしょうが, よい手には思えないですね.

i,ii を利用するのであれば, x(t)/x(0), y(t)/y(0) を改めて x,y と置き換えてから, 極座標変換 r=√(x^2+y^2), θ=arctan(y/x) を用いて極方程式 r=e^(αθ/β) (になるかな?) で見る方法を考えたほうがマシでしょう (複素数平面で見るという話でも同じことになるかな).
# これが螺旋の式なのは割と有名な気もするが, 既知の事項としてよいとは思わないので,
# そのように考えるべき, 考えたほうが良い, とは書かずに「マシ」とした.
## 既知なのであれば, 問いの但し書き「α,βの正負で場合分けして求めよ」という部分が,
## 螺旋が内巻きか外巻きか、右巻きか左巻きかみたいなことが訊かれているのだろうと察せられますね.
### もちろん,「x(t)/x(0), y(t)/y(0) を改めて x,y と置き換え」たのをもとに戻す必要はありますが,
### (xy-直交座標系でなら軸方向に縮小/拡大するだけだが) 極座標で考えているうちは無理かな…….

No.68550 - 2020/08/01(Sat) 15:04:33
数学 / ななし
この問題がわかりません。
No.68532 - 2020/08/01(Sat) 00:41:39
複素関数 / 語末
自分で解いてみましたがわかりません、お願いします
No.68530 - 2020/07/31(Fri) 23:56:52

Re: 複素関数 / X
(1)
条件からζに対し
ζ^5=1
これより
ζ^5-1=0
(ζ-1)(ζ^4+ζ^3+ζ^2+ζ^2+1)=0
ζ-1≠0ゆえ
ζ^4+ζ^3+ζ^2+ζ^2+1=0

(2)
条件から
a=ζ+ζ^(-1)
={cos(2π/5)+isin(2π/5)}+1/{cos(2π/5)+isin(2π/5)}
={cos(2π/5)+isin(2π/5)}+{cos(2π/5)-isin(2π/5)}
=2cos(2π/5)>0

(3)
ζ^4+ζ^3+ζ^2+ζ^2+1=0
をζ^2で割ると
ζ^2+ζ+1+1/ζ+1/ζ^2=0
これより
ζ^2+2+1/ζ^2+(ζ+1/ζ)-1=0
(ζ+1/ζ)^2+(ζ+1/ζ)-1=0
∴求めるaの二次方程式は
a^2+a-1=0

(4)
(2)(3)の結果から
a=(-1+√5)/2
∴ζ+1/ζ=(-1+√5)/2
これより
2ζ^2-(-1+√5)ζ+2=0
条件からζの虚部が正であることに注意すると
ζ={(-1+√5)+i√(2+2√5)}/4

ζの実部は(-1+√5)/4
ζの虚部は(1/4)√(2+2√5)

No.68540 - 2020/08/01(Sat) 09:06:21

Re: 複素関数 / ヨッシー
問題の問われ方からすると
>a=(-1+√5)/2
は (3) の中に入れる方が良いでしょう。

また、最後は、
 ζ={(-1+√5)+i√(10+2√5)}/4
となります。

No.68541 - 2020/08/01(Sat) 09:42:35

Re: 複素関数 / X
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>語末さんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。

No.68542 - 2020/08/01(Sat) 10:47:01

Re: 複素関数 / 語末
お二方ご回答ありがとうございます!!
No.68562 - 2020/08/01(Sat) 19:01:50
(No Subject) / うい
x>0のとき log(3)xの取り得る値の範囲は実数全体
というのがわかりません。

log(3)x=……
の答えがどういう数字かを考えるのであっていますか?

正の実数全体 という気がしてしまいます。

No.68525 - 2020/07/31(Fri) 21:22:05

Re: / X
>>正の実数全体 という気がしてしまいます。
例えば
log[3](1/3)=-1
です。

No.68527 - 2020/07/31(Fri) 21:47:06

Re: / うい
なるほど…!
ありがとうございます

No.68529 - 2020/07/31(Fri) 22:00:54
教えてください、お願いします。 / jet
教えてください。
f(x)は(a,b)で微分可能とし、a<c<bとする。このとき、以下の条件を満たす{x}が存在することを示せ。
(1)c<x_n<b
(2)lim n→∞ x_n=c
(3)lim n→∞ f'(x_n)=f'(c)
f'(x)の連続性は何も仮定されていない。

No.68522 - 2020/07/31(Fri) 17:34:12

Re: 教えてください、お願いします。 / IT
f'(c)の定義と 「平均値の定理」を使って、εδ方式で示せば良いのでは。

グラフを描いて、イメージすることも有効です。

No.68524 - 2020/07/31(Fri) 19:54:10

Re: 教えてください、お願いします。 / jet
存在することを示せとは、どのようにしてしめすのですか?
全くわからないです...

No.68611 - 2020/08/02(Sun) 18:31:37
ベクトル / shi
Nが直線OA上にあり、4点が同一平面上にないことからなぜ下線部のように導かれるのですか?
No.68519 - 2020/07/31(Fri) 17:23:17

Re: ベクトル / ヨッシー
たとえば、がx軸、がy軸、がz軸として、座標(p,q,r) を表すベクトル
 p+q+r
が、x軸上にあるには、
 q=r=0
ですよね?

もし、もx軸を表す(4点が同一平面上にある)なら、
q=0 とは限りません。

  

No.68521 - 2020/07/31(Fri) 17:28:43
(No Subject) / jaka.f
頼みます
No.68517 - 2020/07/31(Fri) 14:41:19
関数解析 / 銀
急いでます、お願いします
No.68514 - 2020/07/31(Fri) 11:57:10
たびたびすみません / Kちん
連続になってしまいすみません,
次の連立微分方程式の解き方も教えてください.

No.68512 - 2020/07/31(Fri) 04:59:21

Re: たびたびすみません / X
方針を。
y[1]'=3y[1]-2y[2] (A)
y[2]'=2y[1]-y[2] (B)
とします。
(A)-(B)より
(y[1]-y[2])'=-(y[1]-y[2])
これを解いて
y[1]-y[2]=Ce^(-x) (C)
(Cは任意定数)
(C)を用いて例えば(A)からy[2]を消去します。

No.68528 - 2020/07/31(Fri) 21:51:00
微分方程式の解き方教えてください / Kちん
この二問の微分方程式の解き方を教えてください.
No.68511 - 2020/07/31(Fri) 04:43:24

Re: 微分方程式の解き方教えてください / WIZ
y' = dy/dx と解釈して回答します。

(1) (1-x(e^(-y)))y'+e^(-y) = 0

z = 1-x(e^(-y)) とおくと、
dz/dx = = -(e^(-y))+x(e^(-y))y' = (e^(-y))(xy'-1)
です。

よって、
(1-x(e^(-y)))y'+e^(-y) = y'-(e^(-y))(xy'-1) = y'-z' = 0
⇒ y-z = C (Cは積分定数)
⇒ y-(1-x(e^(-y))) = C
⇒ y+x(e^(-y)) = C+1 = D (Dは定数)
⇒ x = (D-y)(e^y)

(2) y' = (x-2y)/(2x+y)

(x-2y)/(2x+y) = (5x-2(2x+y))/(2x+y) = 5x/(2x+y)-2
⇒ y'+2 = 5x/(2x+y)
⇒ 2(2x+y)(y'+2) = 2*5x
⇒ {(2x+y)^2}' = 10x
⇒ (2x+y)^2 = 5x^2+C (Cは積分定数)
⇒ 2x+y = ±√(5x^2+C)
⇒ y = -2x±√(5x^2+C)

(1)(2)共に特異解については分かりませんでした。

No.68520 - 2020/07/31(Fri) 17:28:20
空間ベクトル / れいな
座標空間における2点A(1,2,3)B(2,1,4)を通る直線Lを考える。
(1) 直線Lとxz平面の交点Pの座標を求めよ。
(2) L上の点Qにおいて、原点OとQを結ぶ直線が直線Lと垂直に交わるとき、点Qの座標を求めよ。

よろしくお願いします。

No.68508 - 2020/07/30(Thu) 20:51:15

Re: 空間ベクトル / れいな
すみません。解決しました。
No.68509 - 2020/07/30(Thu) 22:23:59
複素数 / tkg
2/i を極形式であらわすとどうなるか
教えてください

No.68504 - 2020/07/30(Thu) 10:20:55

Re: 複素数 / tkg
z=2/i です
No.68505 - 2020/07/30(Thu) 10:21:42

Re: 複素数 / ヨッシー
2=−2(i^2) なので、
 z=−2i
です。

No.68506 - 2020/07/30(Thu) 11:00:10
確率 / 瑛
⑵の前半まで解いたのですが(答えがないので合っているか分かりません)後半の解き方を教えてください
No.68498 - 2020/07/29(Wed) 20:51:22

Re: 確率 / ヨッシー
(1)
1回目に1を引くのは、6枚中2枚ですが、それは袋に戻さないので、
2回目には、5枚中1枚になっています。よって、
 2/6×1/5=1/15
(2)
1を2枚、0を1枚引いたときに、3回の操作後に点Pが2の位置にあります。
引く順は 3C2 通りあり、求める確率は
 3C2×(2×1×4)/(6×5×4)=1/5
2回の操作後に1の位置にあり、3回後に2の位置に来る確率は、
 2C1×(2×4)/(6×5)×1/4=2/15
よって、求める条件付き確率は
 (2/15)÷(1/5)=2/3

No.68500 - 2020/07/29(Wed) 22:39:27

Re: 確率 / 瑛
解けましたー!
ありがとうございます!

No.68503 - 2020/07/30(Thu) 08:18:37
教えてください神よ / 透明人間
質点を水平前方Lにおかれたhのネットを越えるように打ち出すときの初速の大きさV0と水平面となす角度θの関係を求めよ。

どなたかおしえてください。

No.68496 - 2020/07/29(Wed) 18:40:02

Re: 教えてください神よ / IT
下記で x=L として y>hとなるのが条件です。

http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/rakutai/syahou2.html

No.68497 - 2020/07/29(Wed) 20:07:04
あまり自信がないです… / ぱおぱお
この問題を解いてみたところ、(1)15%の誤差の限界は+-2.14(2)
62.86<u<67.14 (3)母集団の分散が大きくなれば信頼区間の幅も大きくなる
となったのですが、あまり自信がありません。
どなたか分かる方がいましたら、計算式と解答を教えてもらえませんでしょうか??

No.68491 - 2020/07/29(Wed) 12:26:55
ルートを外す / てり
1.96×√200/n<5 という問題があり、回答にはn>30.73と書いてあります。 どなたか計算式を教えてもらえませんでしょうか??
No.68483 - 2020/07/29(Wed) 01:33:04

Re: ルートを外す / ast
1.96×√(200/n)<5 (n分の一も根号の中) ですよね?
# "を解け" という指示がないと問題じゃなくただの式だけども.

両辺 1.96 で割って, 両辺自乗すると 200/n < (5/1.96)^2, 両辺の逆数とって n/200 > 1/(5/1.96)^2, 分母払って n > 200/(5/1.96)^2 です (あとは電卓か何かでぽちぽちやればいいと思います).

No.68486 - 2020/07/29(Wed) 06:05:06

Re: ルートを外す / てり
本当にありがとうございます。n分の一もルートの中です。
別の問題で言い換えると、
1.96×√10000/n<20 はn>10000/(20/1.96)^2となりこれを計算すれば良いということですよね??

No.68490 - 2020/07/29(Wed) 12:13:25

Re: ルートを外す / ast
ご賢察の通りです.
No.68492 - 2020/07/29(Wed) 12:37:16

Re: ルートを外す / てり
大変助かりました。
非常に分かりやすい説明ありがとうございました。

No.68493 - 2020/07/29(Wed) 13:23:08
クラメルの公式 / おは
解ける方いましたら解法お願いいたしますm(._.)m
No.68474 - 2020/07/28(Tue) 18:17:08

Re: クラメルの公式 / 関数電卓
…クラメルの公式ではないけれど…
ここ の中ほどにある逆行列に (−i, 1+3i, −2i) を掛ける。
計算は,ご自分で。

No.68477 - 2020/07/28(Tue) 19:33:03

Re: クラメルの公式 / おは
そちらのサイトは結構使ってるのですがクラメルの公式使わないとこの問題は0点にすると言われてしまいました…
No.68481 - 2020/07/29(Wed) 00:24:30

Re: クラメルの公式 / ast
解法は指定されてる (クラーメルの公式に当てはめるだけだ) し, 当てはめた時点で3×3の行列式を4つほど計算するだけのただの計算問題だし, なにをウダウダ言う必要があるのかさっぱりわからない.
No.68487 - 2020/07/29(Wed) 06:13:24

Re: クラメルの公式 / ヨッシー
この連立方程式を行列を使って書けるか、ということもそうですし、
この行列式が苦もなく求められるかという点を
チェックする必要があります。

出来ないなら、行列式をやり直し、
出来るなら、クラメルの公式をネットで検索
です。

No.68488 - 2020/07/29(Wed) 08:23:25

Re: クラメルの公式 / おは
すみません、時間かけてしまいましたがヨッシーさんの言う通りまずはこの連立方程式がしっかり解けるか確認し、その後に参考書や教科書もしっかり見直したらなんとかできましたm(_ _)m
関数電卓さんもご協力ありがとうございました。_(._.)_

No.68495 - 2020/07/29(Wed) 16:59:44
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