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★ 難問ですお願いいたします / ゴンさん
お願い致します！！！
No.86030 - 2023/07/27(Thu) 10:38:48
★ 計算お願いいたします / ゴンさん
計算してください、途中式もお願いします。

lim(n→∞)⁡∫[R]e^(-|x|-|x/n|^3 ) 〗 e^(ix/n) cos⁡(x^2/n)dx
No.86029 - 2023/07/27(Thu) 10:27:11
☆ Re: 計算お願いいたします / ast
それは計算 (結果と途中式) だけあれば (論理を無視して) いいという意味か……?
# まあ普通は根拠を述べる (論理のつながりや各種操作の正当性を確認する) のが一番面倒で,
# 数学じゃ計算内容なんてのはどうでもいいこと (得点でいえば1割もないほぼゼロ) 扱いされるとこなので,
# だけでいいなら楽でいいが.

　 lim_[n→∞] ⁡∫_R e^(-|x|-|x/n|^3)e^(ix/n)cos⁡(x^2/n) dx
　 = ∫_R lim_[n→∞]⁡ e^(-|x|-|x/n|^3)e^(ix/n)cos⁡(x^2/n) dx
　 = ∫_R e^(-|x|) dx = 2 ∫_[0,∞) e^(-x) dx = 2[-e^(-x)]_[0,∞) = 2(0-(-e^0)) = 2.
No.86034 - 2023/07/27(Thu) 14:46:29
☆ Re: 計算お願いいたします / ゴンさん
ありがとうございます！！

分かりにくくてすみません、よろしければ論理も組んで頂けると幸いです
No.86038 - 2023/07/27(Thu) 16:17:14
☆ Re: 計算お願いいたします / ast
そういわれても全然文脈も見えてこない (いま使える道具が何かすら開示されてない質問文では, 目隠し状態で綱渡りやれって言われるようなもんなんで困るしかない) けど

　「|e^(-|x|-|x/n|^3)e^(ix/n)cos⁡(x^2/n)| ≤ |e^(-|x|)|, ∫_R |e^(-|x|)| dx < ∞
だから ⁡∫_R e^(-|x|-|x/n|^3)e^(ix/n)cos⁡(x^2/n) dx は広義一様収束して, ……」

みたいなの適当につけときゃいいんじゃないの?
まあ, 合ってるかはこの状況じゃ保証のしようもないんで, 自分でやって, あるいは (少なくとも積分と極限の順序交換に関する定理を含む) 持ち札をちゃんと開示して.
No.86039 - 2023/07/27(Thu) 16:40:03
★ 数学的帰納法を用いた証明(高２) / みかづき
高２の問題です。
√(1*2)+√(3*4)+...+√{(2n-1)*2n} < {n(2n+1)}/2
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ、という問題なのですが
平方根がついていて両辺に同じものを足してもそこからどうすれば良いのかがわからなくなってしまいました。
どなたかご教授いただけましたら幸いです。
No.86028 - 2023/07/27(Thu) 10:07:17
☆ Re: 数学的帰納法を用いた証明(高２) / ast
n=k のとき成立すると仮定して n=k+1 の場合に相当するように
> 両辺に同じものを足し
たのなら, 結論を得るには {k(2k+1)}/2 + √{(2k+1)*(2k+2)} < {(k+1)(2k+3)}/2 が言えれば十分, というところまでは (定石通りとして) 理解できているはずです. これを整理すれば
　√{(2k+1)*(2k+2)} < (2k+3/2),
両辺正だから結局
　(2k+1)*(2k+2) < (2k+3/2)^2
がいえればよくて, 実際 (2k+1)*(2k+2) +1/4 = (2k+3/2)^2 だから上記の不等式は自然数 k に依らず常に成り立ちます (答案としてはこれを遡るような順番で記述するのが自然でしょう).
No.86035 - 2023/07/27(Thu) 15:06:21
★ 線積分の難問です、、、 / たまどら
P(x)はなめらかな曲線Cを含む領域で連続な関数とする。このとき、

F(ω)=??(P(z)dz)/(z-ω)

は、C/C上正則であることを示せ。また、F’をC上の線積分で示せ。
（積分記号とlimを正当な理由なく入れ替えてはいけない）
No.86025 - 2023/07/27(Thu) 09:56:10
☆ Re: 線積分の難問です、、、 / たまどら
すみません、??の部分は線積分の記号です

P(x)はなめらかな曲線Cを含む領域で連続な関数とする。このとき、

F(ω)=∫[C](P(z)dz)/(z-ω)

は、C/C上正則であることを示せ。また、F’をC上の線積分で示せ。
（積分記号とlimを正当な理由なく入れ替えてはいけない）
No.86026 - 2023/07/27(Thu) 10:00:12
☆ Re: 線積分の難問です、、、 / ast
それは "正当な理由があればいい" ってことだろ, 知らんけど.
No.86086 - 2023/07/31(Mon) 17:28:38
★ 連立方程式 / トムソン
4x^3 + xy^2 - 4y =0, 4x^2 y + y^3 -16x=0
この2式を連立して(x,y)の解の組を全て答えよ。

辺々を引いたり足したりしても上手くいきませんでした。解答よろしくお願いします。
No.86020 - 2023/07/27(Thu) 00:09:39
☆ Re: 連立方程式 / らすかる
実数範囲で考えます。
4x^3+xy^2-4y=0 … (1)
4x^2y+y^3-16x=0 … (2)
(1)×2+(2)から
8x^3+y^3+4x^2y+2xy^2-16x-8y=0
(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)+2xy(2x+y)-8(2x+y)=0
(2x+y)(4x^2+y^2-8)=0
∴2x+y=0,4x^2+y^2-8=0
2x+y=0のとき
(2)に2x=-yを代入して整理すると
y(y^2+4)=0
∴y=0なので(x,y)=(0,0)
4x^2+y^2-8=0のとき
両辺にyを掛けて
4x^2y+y^3-8y=0 … (3)
(2)-(3)を整理して
2x-y=0
(2)に2x=yを代入して整理すると
y(y^2-4)=0
∴y=0,±2
y=0のときx=0、これは既出
y=2のときx=1
y=-2のときx=-1
従って答えは
(x,y)=(0,0),(1,2),(-1,-2)
の3組。

※複素数範囲の場合は、上記のy^2+4=0から導出される
(x,y)=(i,-2i),(-i,2i)が解に加わります。
No.86021 - 2023/07/27(Thu) 00:44:37
☆ Re: 連立方程式 / ast
綺麗でも機械的にできるものでもないが以下のようにも解くことはできる:

明らかに (x,y)=(0,0) は解になるのでそれは置いといて, x≠0 として 4x^3 + xy^2 - 4y =0 を y について解く (これは y に関してただの二次方程式だから容易) ならばそれを他方の式に代入すれば y を消去できる.
結局 x^4(1-x^4)=0 (かつ x≠0) から x=±1 (複素数範囲ならばさらに x=±i) が必要とわかる.
# あるいは y≠0 として 4x^2 y + y^3 -16x=0 を x について解くのでも同様にはできるが
# まあ上のほうが数値は見易いとは思う.
No.86023 - 2023/07/27(Thu) 01:09:53
☆ Re: 連立方程式 / トムソン
皆様、ありがとうございます。
No.86024 - 2023/07/27(Thu) 06:49:37
★ (No Subject) / ncr
1から9までの番号が書かれた9枚のカードがある。
この中から6枚のカードを取り出して箱Aと箱Bに3枚ずつ分けて入れる。
このとき
　(箱Aのカードの番号)-(箱Bのカードの番号)＝1
となる箱Aと箱Bのカードの組がちょうど2組できた。
箱Aと箱Bに入れられたカードの組合せは何通りか。
例えば　A={2,4,6], B={1,5,7} は条件を満たす一例である(2-1=1 と 6-5=1)


かなり昔の「高校への数学」にあった問題なのですが
よろしくおねがいします。
No.86019 - 2023/07/26(Wed) 23:44:53
☆ Re: / らすかる
Aのカードをa,b,c（1≦a＜b＜c≦9）とします。
a=1のとき
b,cは3〜9から二つ、b+1＜cとなるように選ぶので6C2通り
（3〜8から二つ選んで大きいほうに1足せばよい）
このときBのカードのうち2枚はb-1,c-1と決まり、残りの1枚は
残りの4枚のうちのどれでもよいので4通り
従ってa=1の場合は6C2×4=60通り
a≧2,b=a+1の場合
b,cは3〜9から二つ、b+1＜cとなるように選ぶので6C2通り
このときBのカードのうち2枚はa-1,c-1と決まり、残りの1枚は
残りの4枚のうちのどれでもよいので4通り
従ってa≧2,b=a+1の場合も6C2×4=60通り
a≧2,c=b+1の場合
Aの箱はa≧2,b=a+1の場合の組み合わせでbだけa+1でなくc-1に変更すればよいので
上と同じく6C2通り
このときBのカードのうち2枚はa-1,b-1と決まり、残りの1枚は
残りの4枚のうちのどれでもよいので4通り
従ってa≧2,c=b+1の場合も6C2×4=60通り
a≧2,a+1＜b,b+1＜cの場合
a,b,cは2〜9から三つ、a+1＜b,b+1＜cとなるように選ぶので6C3通り
（2〜7から三つ選んで小さい順に+0,+1,+2すればよい）
このときBのカードのうち2枚はa-1,b-1,c-1のうち二つとなり、
残る1枚はa,b,c,a-1,b-1,c-1を除く3枚のどれかになればよいので
3C2×3=9通り
従ってa≧2,a+1＜b,b+1＜cの場合は6C3×9=180通り

よって全部で 60+60+60+180=360通り

# もし6C2,6C3を使ってはいけないのであれば
# 6C2→(6×5)÷2、6C3→(6×5×4)÷(3×2)として下さい。
No.86022 - 2023/07/27(Thu) 01:04:33
☆ Re: / ncr
ありがとうございました。
こたえがなかったので助かりました。
No.86046 - 2023/07/28(Fri) 00:07:03
☆ Re: / ncr
ちなみに自分なりに考えて次の解答になりました。同じ答えになるのでこれでも大丈夫でしょうか。

Aに入る番号とBに入る番号を1つずつペアにして決めていく。
例えば　A={2,4,6}, B={1,5,7}　は　(21)(65)(47) という風に。
以下　(21),(32),(43),(54),(65),(76),(87),(98) これらを「差1のペア」と呼びます。
題意を満たすABの決め方を、
　まず「差1のペア」を二組選び(それは1〜8から隣接しない2数を選ぶことと同じでC[7,2]通り)、
　さらに残る5数からAの要素とBの要素を1つずつ決める
と考えて　C[7,2]*P[5,2] 通り、としたいところですが、これだと「差1のペア」が3組のものも
カウントしてしまいます。しかも「差1のペア」3組のものをトリプルカウントすることになる。
そして、「差1のペア」を3組選ぶのは、1〜8から隣接しない3数を選ぶのと同じでC[6,3]通り。

よって答えは、C[7,2]*P[5,2] - 3*C[6,3] = 420-60 = 360通り。
No.86062 - 2023/07/28(Fri) 23:04:21
☆ Re: / らすかる
大丈夫です。というか私の方法よりその計算の方が簡潔でいいですね。
No.86067 - 2023/07/29(Sat) 00:37:11
★ コラッツ予想解説 / 成清　愼
宜しくご査収の上ご意見賜りたくお願い申し上げます。
No.86016 - 2023/07/26(Wed) 01:20:01
★ コラッツ予想について / 成清　愼
宜しくご査収の上ご意見賜りたくお願い申し上げます。
No.86015 - 2023/07/26(Wed) 01:18:04
★ 同値関係について / たけし
同値関係について質問です。
R^2において
P〜Qを
(p1-q1)^2+(p2+q2)^2<1
と定義した時の推移律が成立しないことを示したいのですが、よく分からないです。
No.86013 - 2023/07/25(Tue) 23:35:08
☆ Re: 同値関係について / IT
推移律の定義は、分かっていますか？
反例を一つ示せば良いので、簡単のため例えば第2成分が0 の場合を考えると良いかも知れません。
No.86018 - 2023/07/26(Wed) 19:16:30
★ (No Subject) / 第二次導関数
y=alogx + 1/(x+1)が表す曲線が上に凸であるためのaの必要十分条件を求めよ
No.86009 - 2023/07/25(Tue) 20:40:00
☆ Re: / らすかる
y=alogx+1/(x+1)
y'=a/x-1/(x+1)^2
y''=-a/x^2+2/(x+1)^3
={2x^2-a(x+1)^3}/{x^2(x+1)^3}
与式が上に凸であるためには
x＞0で2x^2-a(x+1)^3≦0
a(x+1)^3≧2x^2
(x+1)^3≧(2/a)x^2
a≦0は明らかに条件を満たさないのでa＞0
b=2/a（b＞0）とおいて
f(x)=(x+1)^3-bx^2=x^3+(3-b)x^2+3x+1
とおくと
f'(x)=3x^2+2(3-b)x+3
D/4=(3-b)^2-9=b^2-6b≦0を解くと0＜b≦6（∵b＞0）
なのでb≦6ではf(x)は単調増加でf(0)=1なのでx＞0でf(x)＞0
b＞6のとき
f'(x)=0の解はx={b-3±√(b^2-6b)}/3
f(x)はx={b-3+√(b^2-6b)}/3で極小値をとる
f(x)={(3x+3-b)/9}f'(x)+{(-2b^2+12b)x+3b}/9なので、極小値は
f({b-3+√(b^2-6b)}/3)={(-2b^2+12b){b-3+√(b^2-6b)}/3+3b}/9
={-2b^2+18b-27-2(b-6)√(b^2-6b)}b/27
(極小値)≧0であれば条件を満たすので
{-2b^2+18b-27-2(b-6)√(b^2-6b)}b/27≧0を解く。
-2b^2+18b-27-2(b-6)√(b^2-6b)≧0（∵b＞0）
-2b^2+18b-27≧2(b-6)√(b^2-6b)
(-2b^2+18b-27)^2≧4(b-6)^2(b^2-6b)
整理して
4b≦27
∴b≦27/4
g(b)=-2b^2+18b-27とすると
g(6)=9, g(27/4)=27/8なので
6＜b≦27/4のとき両辺を二乗した時の左辺は正であり、
6＜b≦27/4でf(x)の極小値≧0であることがわかる。
従って0＜b≦27/4で問題の条件を満たす。
b=2/aから0＜b≦27/4⇔a≧8/27なので、
求める必要十分条件は a≧8/27。
No.86010 - 2023/07/25(Tue) 21:49:59
☆ Re: / 第二次導関数
書き方を間違えてました。yはalogxと1/(x+1)の和です。わざわざ解いていただいたのに申し訳ないです。
No.86011 - 2023/07/25(Tue) 22:24:13
☆ Re: / らすかる
alogxと1/(x+1)の和のつもりで解いていますので、問題ないと思います。
No.86012 - 2023/07/25(Tue) 22:33:28
★ 接戦の方程式 / 大学生
これの証明を教えてください。どうしても分かりません。
どなたかよろしくお願いします。
No.86006 - 2023/07/25(Tue) 19:38:38
☆ Re: 接戦の方程式 / X
(i)f'(t^*)≠0のとき
(ii)f'(t^*)=0のとき
で場合分けして考えましょう。
(i)の場合
dy/dx=…ですので…
No.86017 - 2023/07/26(Wed) 17:01:14
★ 最小二乗法 / 過負荷
回帰式によりx=xiの時に推定できるyの値をyi'=a'+ b' xiとする(i=1〜n)。この時、Cov(a', b')について求めよ。また、単回帰yi=a+bxi+u の残差平方和Seの期待値について、E(Se)=nV(a')+Σ(i=1→n)xi^2+V(b')+Σ(i=1→n)V(ei)+2Σ(i=1→n)xiCov(a',b')-2Σ(i=1→n)xiCov(b',ei)-2Σ(i=1→n)Cov(a',ei)が成立することを示せ。但し、E(ui)=0,V(ui)=σ^2を用いて良い。
No.86004 - 2023/07/25(Tue) 11:08:51
★ 複素解析の問題です / りあん
テストの解き直しを行いたいのですが解答がないのでお願いしたいです。
No.86002 - 2023/07/25(Tue) 02:07:08
☆ Re: 複素解析の問題です / りあん
> テストの解き直しを行いたいのですが解答がないのでお願いしたいです。

よろしければ問1と問2とお願い致します。
No.86003 - 2023/07/25(Tue) 02:08:23
☆ Re: 複素解析の問題です / X
問題1)
(√2+i√2)^i={2e^(iπ/4)}^i
={e^(-π/4)}2^i
={e^(-π/4)}e^(iln2)

問題2)
(1)
条件から実軸上、虚軸上のの線積分は0。
残りの４分の１円上の経路、つまり
x=cosθ,y=sinθ(θ:0→π/2)
での線積分を考えて
(与式)=∫[θ:0→π/2]{-cosθsinθ(-sinθ)+(cosθ)^2}dθ
=∫[θ:0→π/2]{cosθ(sinθ)^2+(cosθ)^2}dθ
=∫[θ:0→π/2]{cosθ(1-cos2θ)/2+(1+cos2θ)/2}dθ
=∫[θ:0→π/2]{(1/2)cosθ-(1/4)cos3θ-(1/4)cosθ+1/2+(1/2)cos2θ}dθ
=∫[θ:0→π/2]{(1/4)cosθ-(1/4)cos3θ+1/2+(1/2)cos2θ}dθ
=[(1/4)sinθ-(1/12)sin3θ+θ/2+(1/4)sin2θ][θ:0→π/2]
=1/4+1/12+π/4
=1/3+π/4

(2)
D={(x,y)|x^2+y^2≦1,0≦x,0≦y}
とすると、Greenの定理により
((1)の線積分)=∫∫[D]{(∂/∂x)x-(∂/∂y)(-xy)}dxdy
=∫∫[D](x+1)dxdy
ここでDを極座標に変換すると
((1)の線積分)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→1](rcosθ+1)rdrdθ
=∫[θ:0→π/2]{(1/3)cosθ+1/2}dθ
=1/3+π/4
No.86005 - 2023/07/25(Tue) 17:31:50
☆ Re: 複素解析の問題です / りあん
Xさんありがとうございます！

問3、問4の解答もよろしければお願い致します！
No.86008 - 2023/07/25(Tue) 20:22:46
★ 最大最小の追加です / りお
なぜ緑のf(x)は関数なのに、傾きと不等号で比べることができるのでしょうか？
No.85988 - 2023/07/24(Mon) 16:33:11
☆ Re: 最大最小の追加です / りお
この緑です
No.85989 - 2023/07/24(Mon) 16:33:44
☆ Re: 最大最小の追加です / X
No.85967のご質問の回答を理解した上で
もう一度考えてみて下さい。
No.85993 - 2023/07/24(Mon) 17:49:44
☆ Re: 最大最小の追加です / ast
緑線の直前まで, f(θ) の値を (点Pを, したがってθを, パラメータとする) 特定の直線族に属する直線の傾きとして実現して, f(θ) の値の大小をそれら直線の傾きの大小として直観的に認識・比較できるようにするという手順を長々とやっているのに, それを全部忘れたかのように「なぜ傾きと比較してるのか」と問うのは鳥頭すぎて不可解 (解答を読む気があるのか疑うレベル).

もうちょっと典型的な例として, 「x,y が特定の領域 D を動くときの x^2+y^2 の変域を求めよ (この解答の定石は "x^2+y^2=k^2 とおいて x^2+y^2 の値 (=k^2) の大小を 円 x^2+y^2=k^2 の半径 k の大小として比較する", "その円上に D の点があれば, その点の x,y 座標の値を使って k^2 は実現できる" というもの)」のような問いがおそらく教科書や大抵の問題集にあると思うので, まずはそういうのを探して解くところからやるのがよいのでは.
No.85999 - 2023/07/24(Mon) 21:51:34
★ nに当てはまる数字 / ふゆ＠中3生
【問題】
√53−2n(−2nもルートの中に入ってます)が整数となるような自然数nの個数を求めなさい。

これがさっぱりわかりません。
どうやって求めればいいのでしょうか？
教えていただけるとありがたいです
No.85986 - 2023/07/24(Mon) 15:29:16
☆ Re: nに当てはまる数字 / らすかる
53-2nは1以上53未満の奇数になりますので、
それが平方数になるようなnの個数が答えです。
1以上53未満の奇数の平方数は
1^2=1,3^2=9,5^2=25,7^2=49
の4つですから、答えは4個となります。
また、そのときのnの具体値は
例えば53-2n=25のような方程式を解けば算出できます。
No.85991 - 2023/07/24(Mon) 17:36:08
☆ Re: nに当てはまる数字 / ふゆ＠中3生
なるほど〜
こちらも丁寧な解説、ありがとうございましたっ！
No.85997 - 2023/07/24(Mon) 20:55:45
★ 円の中心 / ふゆ＠中3生
円の中心の求め方がわかりません
教えていただけるとありがたいです
問題↓
No.85983 - 2023/07/24(Mon) 14:24:08
☆ Re: 円の中心 / らすかる
弧AB上の真ん中あたり（端の方だと作図の精度が下がるから）に点Cをとれば、
弦ACの垂直二等分線と弦BCの垂直二等分線の交点が円の中心となります。
図を見た感じでは多分ウですね。
No.85984 - 2023/07/24(Mon) 14:39:54
☆ Re: 円の中心 / ふゆ＠中3生
その点Cを選ぶのは適当でいいんですか？
No.85985 - 2023/07/24(Mon) 15:03:05
☆ Re: 円の中心 / ふゆ＠中3生
答えはウです
あと、どうしてその方法で求められるのでしょうか？
(アホな質問、すみません💦)
No.85987 - 2023/07/24(Mon) 15:30:27
☆ Re: 円の中心 / らすかる
Cは適当でいいです。
円の中心は弦の垂直二等分線上にありますので、
弦の垂直二等分線を二つ引けば中心がわかります。
No.85990 - 2023/07/24(Mon) 17:33:25
☆ Re: 円の中心 / ふゆ＠中3生
丁寧な解説、本当にありがとうございましたっ！
No.85996 - 2023/07/24(Mon) 20:54:19
★ 正弦定理余弦定理 / 花
半径65/8の円に内接する四角形ABCDは周の長さの和が44、BC＝CD＝13である。このとき残りの辺の長さはいくつか？
No.85977 - 2023/07/23(Sun) 19:26:54
☆ Re: 正弦定理余弦定理 / X
2倍角の公式を学習済みでない、という前提で回答します。

△BCDにおいて正弦定理により
13/sin∠CBD=2・65/8
∴sin∠CBD=4/5
従って、点Cから辺BDに下した垂線の足をHとすると
BC:CH:BH=5:4:3
(つまり、△BCHは三四五の直角三角形です。)
BH=DH
∴BC:BD=5:6
となるので
BD=(6/5)BC=78/5
∴∠BCD=θ
と置くと、△BCDにおいて余弦定理により
cosθ={13^2+13^2-(78/5)^2}/(2・13・13)
=18/25 (A)
一方、△ABDにおいて余弦定理により
(78/5)^2=AB^2+AD^2-2AB・ADcos(180°-θ)
これより
(78/5)^2=AB^2+AD^2+2AB・ADcosθ
(A)を代入すると
(78/5)^2=AB^2+AD^2+36AB・AD/25 (B)
更に条件から
AB+AD+13+13=44 (C)
(B)(C)をAB,ADについての連立方程式として解きます。
((C)からAB+ADの値を求め、これを(B)に用いて
AB・ADの値を求めれば、二次方程式の解と係数の関係
を使ってAB,ADの値を求められます。)
No.85981 - 2023/07/23(Sun) 22:20:05
☆ Re: 正弦定理余弦定理 / 花
返信が遅くなりすみません。

回答ありがとうございます。
計算したら14と4と出てきました。

> △BCDにおいて正弦定理により
> 13/sin∠CBD=2・65/8
> ∴sin∠CBD=4/5
> 従って、点Cから辺BDに下した垂線の足をHとすると
> BC:CH:BH=5:4:3
> (つまり、△BCHは三四五の直角三角形です。)

が全く思いつきませんでした。すごいです。

それからもう一つ質問ですが、私はこの問題を以下のように考えました。（うまくいきませんでした）


BD=y、∠BCD=α、AB=xとして
△ABDと△BCDで余弦定理で
y^2=x^2+(18-x)^2-2x(18-x)cos(180°-α(
=13^2+13^2-2*13*13cosα
また正弦定理で
y/sinα=2*65/8
これらより計算しようとしたのですが詰まってしまった。


なぜこれではだめなのでしょうか？うまくいかない理由を知りたいです。

また、私は高3理系なので倍角の公式もわかります。
No.86053 - 2023/07/28(Fri) 18:07:56
★ 過去問の添削 / 農場長
高校入試の過去問ですが、解答が公表されていません。
自分の解き方が合っているかどうかを添削していただけないでしょうか。

問題：正の整数m,nに対して数h(m,n)を
h(m,n)=(1/2)(m+n)(m+n-1)-m+1
と定める。例えば、h(1,1)=1、h(2,1)=2、h(1,2)=3である。
次の各問いに答えよ。

問１　h(27,2)+h(26,3)を計算せよ。
(1/2)×29×28-27+1+(1/2)×29×28-26+1=766…(答)

問２　等式h(3m,3m+4)=1987を満たす正の整数mの値をすべて求めよ。
(1/2)×(6m+4)×(6m+3)-3m+1=1987
3(3m+2)(2m+1)-3m-1986=0
(3m+2)(2m+1)-m-662=0
6m^2+6m-660=0からm^2+m-110=0となり、m>0なので、m=10…(答)
「すべて求めよ」とありますが、１つしか見つかりませんでした。
どこがいけないのでしょうか？

問３　h(m,n)=2023を満たす正の整数の組(m,n)をすべて求めよ。
h(m,n)=(1/2){(m+n)(m+n-1)-2m+2}と変形して、
(1/2){(m+n)(m+n-1)-2m+2}=2023
(m+n)(m+n-1)-2m+2=4046
(m+n)(m+n-1)=4044+2m
ここで、m+nとm+n-1は連続する２つの正の整数だから、
２乗して4044に近い数を考えると、
63^2=3969より、64×63=4032だから、正の整数mは無い
64^2=4096より、65×64=4160だから、2m=116より、m=58
m+n=65なので、n=7
同様に、65^2=4225より、66×65=4290だから、2m=246より、m=123
m+n=66なので、正の整数nは無い
したがって、(m,n)=(58,7)…(答)
こちらも１つしか見つかりませんでした。
問２と合わせて添削をお願いします。
No.85973 - 2023/07/23(Sun) 18:00:56
☆ Re: 過去問の添削 / ast
問1のケアレスミスを除けば答えは合っている (WolframAlpha に訊いた) ので, 贅沢を言わないなら別にこれでよいのでは.

> １つしか見つかりませんでした。
> どこがいけないのでしょうか？
「すべて求めよ」という文言に対し1つしか見つからなかったなら, 考えるべきは「どこがいけない」ではなく「その1つで本当にすべてなのか」, つまり「それ以外の可能性はきちんと潰せている証明が書けているか」だと思います. 例えば問2は (負の数を含めても, あるいはたとえ m が複素数の範囲で探しても) m の二次方程式の根なのでどうあがいても2つしか可能性はないわけなので, ちゃんとそれで全てだと言えていると思います.

---
まあ本当に贅沢を言うなら, たとえば問3 は, 例えば
> m+nとm+n-1は連続する２つの正の整数だから、
> ２乗して4044に近い数を考えると、
> 63^2=3969より、
> 64^2=4096より、
> 65^2=4225より、
が論理的には無意味な文言や値なので答案から削除すべきです (目安とするために計算用紙のたぐいにメモするぐらいならかまわないですが, そのまま計算用紙ごとゴミ箱行きが真っ当です).
# 論理的には, (m+n)(m+n-1)-4044=2m > 0 (必要条件) に対して
# 64×63-4044 < 0, 65×64-4044 > 0 だから m+n≥65 (必要条件), とでもすれば十分ですし,
# 同様の論法で, かつ m<m+n (必要条件) にも照らして, m+n<66 (必要条件) を得られればいいので,
# 上記の文言が用を為さないというのは納得してもらえると思います.
No.86000 - 2023/07/24(Mon) 22:23:59
☆ Re: 過去問の添削 / 農場長
astさん

丁寧に添削していただきまして、ありがとうございました！
確かに、問１は計算ミスしていました。761でしょうか？
問２以上に、問３のご指摘に感謝します。
そうやって記述したり、考えればいいんですね。
ありがとうございました！
No.86014 - 2023/07/25(Tue) 23:57:52
★ 絶対値 / 彩
大学入試の過去問です。解答は公表していないので、自力で解きなんとか解答までたどり着けました。合っているのかどうかご確認していただき、不備等ありましたらご指摘していただけたら助かります。
また問2の「この演算については|x|・|y|≧|(x,y)|が成り立つ。このことを証明済みとして」とありますが、この成り立つ式を証明したいと思いましたが、私にはできませんでした。こちらの証明についても教えていただけると大変助かります。



問題
　任意の実ベクトルxとyの組に実数（スカラー）値を対応させる演算（x、y）が以下を満たすものとする。
　（a）（x、y）＝（y、x）
（b)　任意の実数λに対して（λx、y）＝λ(x、y）
　（c）（x＋z、y）＝（x、y）＋（z、y）
　（d) （x、x）≧0であり、等号はx＝0の場合に限る。

さらに|x|＝√(x、x）と定義するとき、以下の問いに答えよ。
（√(x、x）はルートの中に(x、x）が入っています。うまく書けなかったのでこのようになりました。申し訳ないです。）

問（1）（x＋y、x−y）＝|x|^2-|y|^2を示せ

解答
　
（x＋y、x−y）＝（x、x）＋（y、−y）・・・（c）
　　　　　　　 ＝（x、x）＋（−y、y）・・・（a)
＝（x、x）−（y、y）・・・・（b)
＝　|x|^2-|y|^2・・・・|x|＝√(x、x）より


問（2）この演算については|x|・|y|≧|(x,y)|が成り立つ。
　　　 このことを証明済みとして、|x|＋|y|≧|x＋y|を示せ。

解答
　(|x|＋|y|)^2−|x＋y|^2＝|x|^2＋2|x|・|y|＋|y|^2−|x＋y|^2
　　　　　　　　　　　　＝（x、x）＋2|x|・|y|＋（y、y）−（x＋y、x＋y）・・・?@

　ここで（x＋y、x＋y）＝（x＋y、x）＋（x＋y、y）
　　　　　　　　　　　＝（x、x）＋（y、x）＋（x、y）＋(y、y）・・・（ｃ）

　このように変形でき、また|x|・|y|≧|(x,y)|なので

　?@≧（x、x）＋2|(x,y)|＋（y、y）−（x、x）−（y、x）−（x、y）−(y、y）
＝2(|(x,y)|−（x、y）)

|(x,y)|≧（x、y）なので　2(|(x,y)|−（x、y）)≧0
No.85969 - 2023/07/23(Sun) 14:30:24
☆ Re: 絶対値 / IT
＞　「この演算については|x|・|y|≧|(x,y)|が成り立つ。
概要　
y≠0 のとき
　|x+λy|^2 ≧0　で左辺を展開し、λ=-(x,y)/|y|^2 とおく。
「シュワルツの不等式」として有名です。
No.85970 - 2023/07/23(Sun) 15:54:00
☆ Re: 絶対値 / 彩
ご返信ありがとうございます。
「シュワルツの不等式」は初めて知りました。

ところで私の解答過程は正しいでしょうか。
No.85971 - 2023/07/23(Sun) 16:11:49
☆ Re: 絶対値 / ast
> ところで私の解答過程
概ね良いので出題者・採点者次第ではありますが, 厳密に与えられた条件のみからきちんと導出しているかという観点では, たとえば
> （x＋y、x−y）＝（x、x）＋（y、−y）・・・（c）
(x+y,x-y) に (c) を適用しても (x,x)+(x,-y)+(y,x)+(y,-y) にしかならず, (a),(b) を必要なだけ適用して (x,-y)=-(y,x) としないと (あるいは (x,-y)=-(x,y) かつ (y,x)=(x,y)) としないときちんと消えることを述べられているとは言えません.

また例えば,
> |x|^2＋2|x|・|y|＋|y|^2−|x＋y|^2
　　　　　　　　　　　　＝（x、x）＋2|x|・|y|＋（y、y）−（x＋y、x＋y）・・・?@
> 〜(snip)〜 このように変形でき、
は間違ってはいませんが, 問(1) があるのだからそれを適用 (すなわち, |x|^2-|x+y|^2=(2x+y,-y)=2(x,y)-|y|^2) として
　|x|^2+2|x|⋅|y|+|y|^2-|x+y|^2=2(x,y)+2|x|⋅|y|
とそのまま式を続けたほうが読み易いと思います. それで
> |(x,y)|≧（x、y）なので
にも根拠 (実数の性質として自明ではありますが, 例えばこれが複素数とその絶対値だったならそもそもこんなことできないので) を述べておくとなおよいと感じます.
No.85974 - 2023/07/23(Sun) 18:07:47
☆ Re: 絶対値 / 彩
ast様

詳細な解説ありがとうございました。
No.85975 - 2023/07/23(Sun) 18:25:58
☆ Re: 絶対値 / 彩
ast様

ところでご教示くださった
(2x+y,-y)=2(x,y)-|y|^2)ですが、
左辺から右辺への導出過程がわからないのですが、
教えていただけますか。
No.85976 - 2023/07/23(Sun) 18:43:22
☆ Re: 絶対値 / ast
ああ確かにtypoですね, すみません.
× (2x+y,-y)=2(x,y)-|y|^2 && |x|^2+2|x|⋅|y|+|y|^2-|x+y|^2=2(x,y)+2|x|⋅|y|
○ (2x+y,-y)=-2(x,y)-|y|^2 && |x|^2+2|x|⋅|y|+|y|^2-|x+y|^2=2|x|⋅|y|-2(x,y)
No.85980 - 2023/07/23(Sun) 20:27:19
☆ Re: 絶対値 / 彩
ast様

度々申し訳ございません。

○ (2x+y,-y)=-2(x,y)-|y|^2

この式ですが、左辺から右辺への過程を詳しく
教えていただけますか。よくわかりませんでした。
No.85995 - 2023/07/24(Mon) 20:00:58
☆ Re: 絶対値 / 彩
ast様

先ほどの質問ですが、何とか考えて以下のようになりました。
合っているかご確認願います。

(2x+y,-y)=(2x,-y)+(y,-y)
=(2x,-y)-(y,y)
=(-y,2x)-|y|^2
=-(y,2x)-|y|^2
=-(2x,y)-|y|^2
=-2(x,y)-|y|^2
No.85998 - 2023/07/24(Mon) 21:15:39
☆ Re: 絶対値 / ast
それで合っています.
# そこから訊かれているとは思っていなかった. だったら
# |y|^2-|x+y|^2=(x+2y,-x)=(x,-x)+(2y,-x)=(-x,x)+2(y,-x)=-(x,x)+2(-x,y)=-|x|^2-2(x,y),
# とか (|x|^2-|x+y|^2=-(|x+y|^2-|x|^2) だから)
# |x+y|^2-|x|^2=(2x+y,y)=(2x,y)+(y,y)=2(x,y)+|y|^2
# とかから話を進めたほうがよかった (多少は記述量で楽できた) のかもしれない.
## なお, 与えられた条件だけから
## 　(b') 任意の実数 λ に対して (x,λy)=λ(x,y)
## 　(c') (x,y+z) = (x,y)+(x,z)
## 　　(あるいはまとめて (αx+βy,γz+δw)=αγ(x,z)+αδ(x,w)+βγ(y,z)+βδ(y,w))
## あたりは容易に導出できるので,
## それをあらかじめ断っておけば, 答案はもっと柔軟に記述できるのでは.
No.86001 - 2023/07/24(Mon) 22:44:11
☆ Re: 絶対値 / 彩
ast様

ご回答と適確なアドバイスありがとうございました。
No.86007 - 2023/07/25(Tue) 20:07:51
★ 最大最小問題 / りお
お願いいたします。
No.85967 - 2023/07/23(Sun) 11:46:06
☆ Re: 最大最小問題 / りお
なぜx^2＋y^2＝1との共有点を考えれば良いのでしょうか？
No.85968 - 2023/07/23(Sun) 11:47:39
☆ Re: 最大最小問題 / X
点Pは単位円、つまり
円x^2+y^2=1
の上の点であることはよろしいですか？
それを踏まえてもう一度解答をご覧下さい。
それでも分からない場合はその旨をアップして下さい。
No.85972 - 2023/07/23(Sun) 16:37:33
☆ Re: 最大最小問題 / りお
ありがとうございます。そこまではわかりました。なぜ共有点を考えるのでしょうか？
No.85982 - 2023/07/24(Mon) 06:52:12
☆ Re: 最大最小問題 / X
f(θ)のことは脇に置いて、次の補題を考えます。

補題)
点A(-2,-1)を通る直線が
円C:x^2+y^2=1
を通るとき、この直線の傾きの値の範囲を求めよ。

(ご質問の問題の解答の４行目以降はこの補題の
解答となっています。)

この補題の別解として、円C上の点の座標をある変数(tとします)
の関数で表した上で直線の傾きをtの関数で表し、その値域を求める
という方針も考えられます。
円C上の点の座標を関数として表す方法は色々あります。

例えば、y座標が正に限定するのであれば
(t,√(1-t^2))
としてもいいでしょう。この場合、問題の直線の傾きmは
m={√(1-t^2)+1}/(t+2)
となりますので、mをtの関数として値域を求めることになります。

最もシンプルなのは、三角関数を使って
(cost,sint)
(0≦t＜2π)
と置くものです。これがご質問の問題に対応しています。
No.85994 - 2023/07/24(Mon) 18:13:32
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