「極限値lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hが存在するとき、これをx=aにおける微分係数といい、f'(a)で表す。f'(a)が存在するならば、f(x)はx=aで微分可能である。」……（１）
のように教科書に書いてありますが、疑問がありますので教えて下さい。
Ｑ1
「x=aが連続でなく、極限値lim[h→0]{f(x+a)-f(a)}/hが存在するとき、f(x)はx=aで微分可能である」……（２）
であると言いますか？
例えば、「不連続な関数 x≠0のとき、f(x)=x^2, x=0のときf(x)=5」
は lim[h→+0]{f(0+h)-f(0)}/h=２,lim[h→-0]{f(0+h)-f(0)}/h=２だから
「極限値lim[h→0]{f(0+h)-f(0)}/hが存在するので、x=0で不連続でもf(x)はx=0で微分可能ですか？
Ｑ２
（１）は次のように「x=aで連続であり」書くべきですか。
「x=aで連続であり、かつ、極限値lim[h→0]{f(x+a)-f(a)}/hが存在するとき、f(x)はx=aで微分可能である」……（３）
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No.87275 - 2024/01/24(Wed) 00:05:45
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / IT | | | No.87276 - 2024/01/24(Wed) 07:47:00 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / あきら | | | 以下のような場合どのようになりますか?
（あ）「不連続な関数 x≠0のとき、f(x)=x^2, x=0のときf(0)=5」
x=0で不連続でもf(x)はx=0で微分可能ですか？
（い）「不連続な関数 x≠0のとき、f(x)=x^2」
x=0で不連続でもf(x)はx=0で微分可能ですか？
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No.87277 - 2024/01/24(Wed) 08:38:48 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / らすかる | | | f(x)がx=aで連続でなければ極限値lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hが存在しませんので、微分不可能です。
f(x)=
x^2 (x≠0)
x=5 (x=0)
ならば
lim[h→+0]{f(0+h)-f(0)}/h
=lim[h→+0](h^2-5)/h
=lim[h→+0](h-5/h)
となり5/h→∞ですから極限値は存在しません。
よって
・「x=aで連続であり」は不要
・(あ)は x=0で微分不可能
・(い)は そもそもx=0が定義域外ですから微分可能も不可能もありません。「f(x)=√xはx=-1で微分可能か？」と聞いているのと同様の話です。
のようになります。
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No.87278 - 2024/01/24(Wed) 09:28:32 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / あきら | | | 今の説明で、x＝aで不連続な場合は微分可能でないことがわかりました。
話が変わって、微分可能、微分不可能は関係ない問題の場合
「f(x)がx=aで連続でなければ極限値lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hが存在しません」は正しいですか?
「f(x)＝x＋6がx=2で連続でなくても極限値lim[h→＋0]{f(2+h)-f(2)}/h＝1
と極限値lim[h→−0]{f(2+h)-f(2)}/h＝1
だから
x＝2連続でなくてもx＝2で極限値は
存在しますよね?
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No.87279 - 2024/01/24(Wed) 10:08:50 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / らすかる | | | > f(x)＝x＋6がx=2で連続でなくても
f(x)=x+6はx=2で連続です。
もしかして
f(x)は定義域がx≠2でf(x)=x+6
と言いたいのでしょうか？
もしそうなら、f(2)が未定義ですから
lim[h→+0]{f(2+h)-f(2)}/hのf(2)が存在せず、計算できません。
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No.87280 - 2024/01/24(Wed) 10:57:59 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / ast | | | よくわからんが, もしかして質問者は可除特異点の話をしたいのか? つまり, 質問者は lim_[x→a]f'(x) と lim_[h→0](f(a+h)-f(a))/h) という全く異なる極限を混同してはいまいか?
## いうまでもないが, "x≠a で微分可能かつ lim_[x→a] f'(x) の存在する函数" というだけでは
## 例えば a=0 として f(x)=x^2 (x≤0), = x^2+1 (x>0) のような jump する不連続点を持つ函数
## なども含まれるので制約として非常に弱い, 逆に言えば "x=a で微分可能" は極めて強い制限.
可除特異点の話なのであれば, 例えば「[問題]: f(x) が x=a を除いて連続かつ微分可能で, lim_[x→a-0] f(x) = lim_[x→a+0] f(x) かつ lim_[x→a-0] f'(x) = lim_[x→a+0] f'(x) ならば, これを使って新しく g(x):=f(x) (x≠a), = lim_[x→a] f(x) (x=a) と定義した g(x) に対して g'(a) は存在するか, するならばその値は?」のような疑問を持つのならば有意 (無論, f(x) と g(x) とは相異なる函数であるという認識は欠かすべからざる要点で, とくに x=a において f(x) が定義されていなくても, あるいは f(a) が存在してどんな値であったとしても, それとは無関係に g(x) の x=a における挙動は一意的に記述できる).
/* 上記の [問題] に関しては高校範囲で考えるにはやや難で, (真面目に厳密さを追ってはいないが)以下のような話をすることになると思う:
lim_[h→0] (g(a+h)-g(a))/h
= lim_[h→0] f(a+h)-(lim_[η≠0,η→0]f(a+η))/h
= lim_[h→0]lim_[η≠0,η→0] (f(a+η+h)-f(a+η))/h - lim_[h→0]lim_[η≠0,η→0](f(a+h+η)-f(a+h))/h (*)
ここで第一項の二つの極限の順番を交換出来るならば(†), 交換して
(*) = lim_[η≠0,η→0] f'(a+η) - 0 =: g'(a)
# (†): 二重極限 lim_[√(h^2+η^2) → 0] (f(a+η+h)-f(a+η))/h が存在すれば交換するに十分.
# 区間 [a+η,a+η+h] or [a+η+h,a+η] で平均値の定理を適用して
# (f(a+η+h)-f(a+η))/h = f'(c) (a+η<c<a+η+h or a+η+h<c<a+η)
# と書けば, √(h^2+η^2) → 0 のとき c→a で, 仮定からlim_[c→a]f'(c) は存在して有限, したがって左辺の二重極限も存在.
/*
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No.87281 - 2024/01/24(Wed) 11:39:54 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / あきら | | | ラスカルさんの質問でわかりましたが
別の問題で質問があります。
x＝5で不連続な関数f(x)＝x＋3では
x＝5で極限値をもちますか？
lim[x→5+0]f(x）＝8
lim[x→5−0]f(x）＝8
だから
x＝5で不連続でも極限値をもちますか？
x＝5で不連続でもx→5+0とx→5−0は使うことがありますよね。
例えばy＝1/（x−9）の時、x＝9で不連続でもlim[x→9+0]y
lim[x→9−0]yで使いますよね。（この場合は極限値をもたないですが）
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No.87282 - 2024/01/24(Wed) 11:41:36 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / ast | | | > ラスカルさんの質問でわかりました
らすかるさんのご指摘が何も通じてないようにしか見えない. つまり,
> 別の問題で質問があります。
> x＝5で不連続な関数f(x)＝x＋3では
に対して
> > f(x)＝x＋6がx=2で連続でなくても
> f(x)=x+6はx=2で連続です。
> もしかして
> f(x)は定義域がx≠2でf(x)=x+6
> と言いたいのでしょうか？
と全く同じやりとりが容易に適用される.
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No.87283 - 2024/01/24(Wed) 11:53:08 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / ast | | | 質問者のおかしな脳内は置いておいて, 例えば
・f(x)=(x^2-4)/(x-2) (注意: x=2 では値を定義しない)
・g(x)=(x^2-4)/(x-2) (x≠2), = 0 (x=2)
・h(x)=(x^2-4)/(x-2) (x≠2), = 4 (x=2)
・F(x)=x+2 (x は任意の実数)
のどれがどれとどう違っているかとか, どれとどれは同じ函数といえたりするのかとか, そういったことを考えるのは初等解析学において基本中の基本的かつ典型的な問いではある.
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No.87284 - 2024/01/24(Wed) 12:05:18 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / らすかる | | | > x＝5で不連続な関数f(x)＝x＋3
「x=5で不連続な関数f(x)」とは、
f(5)が定義されていて、かつ
「lim[x→5+0]f(x)≠f(5)またはlim[x→5-0]f(x)≠f(5)」
が成り立つような関数のことを言います。
x=5が定義域外の場合はx=5で連続も不連続もありませんので
「x=5で不連続」とは言いません。
あと「x=5で極限値をもつ」のような言い方もあまりしないと思います。
（「x→5の極限値をもつ」ならば問題ありません）
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No.87285 - 2024/01/24(Wed) 12:32:03 |
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / あきら | | | 皆さんのコメントとらすかるさんの最後の「x=5で不連続な関数f(x)」についての説明で、理解できました。
ありがとうございました。
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No.87292 - 2024/01/24(Wed) 20:51:57 |
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