ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極限 / だぺろりん

画像の問題で、
(1)はそれぞれ√2 と1
(2)はI_nの式を1回部分積分して、途中の式変形で(cosh x)^2=(sinh x)^2+1を使うことで、(n+2)I_{n+2} = -(n+1)I_n +√2 になりました。(計算ミスがあったら申し訳ありません)
(3)が分かりません。よろしくお願いします。

No.86652 - 2023/10/29(Sun) 22:54:35

☆ Re: 極限 / WIZ

(1)(2)は合っていると思います。

(3)
sinh(x)はxが実数であれば増加関数であり、
0 ≦ x ≦ aで0 ≦ sinh(x) ≦ 1です。
特に、0 < x < aでは0 < sinh(x) < 1です。
⇒ 0 < x < aでは、非負整数nに対して0 < sinh(x)^(n+1) < sinh(x)^n
⇒ 0 < ∫[0,a]{sinh(x)^(n+1)}dx < ∫[0,a]{sinh(x)^n}dx
⇒ 0 < I[n+1] < I[n]
となります。

上記からI[n]は下界があリ単調減少ですから極限を持ちますので、その値をBとします。
I[n+2] > BかつI[n] > Bですから、漸化式から、
√2 = (n+2)I[n+2]+(n+1)I[n] > (2n+3)Bとなりますが、
もしB > 0であれば、nがある一定以上の値で(2n+3)Bが√2以上となってしまい矛盾です。
よって、B = 0でなければなりません。

次に、n*I[n] = n∫[0,a]{sinh(x)^n}dx
= ∫[0,a]{((sinh(x)^n)')sinh(x)/cosh(x)}dx
= [(sinh(x)^n)sinh(x)/cosh(x)]_[0,a]-∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx
= (1/√2)-∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx

ここで、0 ≦ x ≦ aで1 ≦ cosh(x) ≦ √2より、
⇒ 1/2 ≦ 1/(cosh(x)^2) ≦ 1
⇒ ∫[0,a]{(sinh(x)^n)*(1/2)}dx < ∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx < ∫[0,a]{(sinh(x)^n)*1}dx
⇒ (1/√2)-I[n] < n*I[n] < (1/√2)-I[n]/2

n→∞のときI[n]→0ですから、挟み撃ちによりn*I[n]→1/√2となります。

# 検算みたいなもの。
極限が存在すると仮定して、lim[n→∞]{n*I[n]} = Aとすると、
漸化式より、(n+2)I[n+2] = {-(n+1)/n}{n*I[n]}+√2となりますが、
n→∞のとき、(n+2)I[n+2]→A, (n+1)/n→1ですから、
A = -1*A+√2より、A = 1/√2となります。

No.86655 - 2023/10/30(Mon) 19:24:27

★ 複素数 / だぺろりん

画像の問題で、(1)は -αβ であり、(2)で重心が一致する条件が
1+α^2+α^2β^2=α+α^2β-αβ
になって、結局α=βとなることを示せば良いと思うのですが、そこから先が分かりません。よろしくお願いします。

No.86651 - 2023/10/29(Sun) 21:05:22

☆ Re: 複素数 / X

以下、例えば複素数zの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
\αα=\ββ=1
に注意して、
1+α^2+(α^2)(β^2)=α+(α^2)β-αβ
の両辺に\(αβ)をかけると
αβ+\(αβ)+α\β=\β+α-1
これをθ[1],θ[2]を使って書き直すと
2cos(θ[1]+θ[2])+cos(θ[1]-θ[2])+isin(θ[1]-θ[2])
=cosθ[1]+cosθ[2]-1+i(sinθ[1]-sinθ[2])
∴複素数の相等の定義により
2cos(θ[1]+θ[2])+cos(θ[1]-θ[2])=cosθ[1]+cosθ[2]-1 (A)
sin(θ[1]-θ[2])=sinθ[1]-sinθ[2] (B)
(B)より
2sin{(θ[1]-θ[2])/2}cos{(θ[1]-θ[2])/2}
=2cos{(θ[1]+θ[2])/2}sin{(θ[1]-θ[2])/2}
sin{(θ[1]-θ[2])/2}{cos{(θ[1]+θ[2])/2}-cos{(θ[1]-θ[2])/2}}=0
sin{(θ[1]-θ[2])/2}sin(θ[1]/2)sin(θ[2]/2)=0 (B)'
ここで
θ[1]＞0,θ[2]＞0,θ[1]+θ[2]＜π (C)
により
0＜θ[1]/2＜π/2,0＜θ[2]/2＜π/2 (C)'
∴sin(θ[1]/2)sin(θ[2]/2)≠0
なので、(B)'より
sin{(θ[1]-θ[2])/2}=0
(C)'より
-π/2＜(θ[1]-θ[2])/2＜π/2
∴θ[2]=θ[1] (B)"
(B)"を(A)に代入すると
2cos2θ[1]+1=2cosθ[1]-1
これより
4(cosθ[1])^2-2cosθ[1]=0
(2cosθ[1]-1)cosθ[1]=0
∴cosθ[1]=0,1/2
となるので、(B)"(C)'より
(θ[1],θ[2])=(π/2,π/2),(π/3,π/3)
ところが、(C)により
(θ[1],θ[2])=(π/2,π/2)
のときは不適ゆえ
(θ[1],θ[2])=(π/3,π/3) (D)

∴円周角により
∠ACE={2π-(2θ[1]+2θ[2])}/2
=π-(θ[1]+θ[2])
=π/3 (E)
更に(D)により、点A,Eは直線OCに関し対称ゆえ
△ACEはAC=CEの二等辺三角形 (F)
(E)(F)により△ACEは正三角形になります。

No.86654 - 2023/10/30(Mon) 19:20:10

☆ Re: 複素数 / X

＞＞だぺろりんさんへ
ごめんなさい。No.86654で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.86656 - 2023/10/31(Tue) 18:17:51

★ (No Subject) / 吉田

x = a + 3b - c
y = 2a + b + c
(1 <= a <= 2, 1 <= b <= 2, 1 <= c <= 2)
の通過領域を求めよ

この問題について、それぞれ1文字消去した3式の最大値と最小値を求めてその共通部分が通過領域となる。という解法がありました。

1文字消去していない三式を作って(同値変形、x , y , a, b, c の関係式)それぞれの式で同様に最大値、最小値を評価したものの、共通部分が成す領域が、十分性を持たないのはなぜですか？
媒介変数表示の通過領域について、
1文字消去を絶対に行わないと行けないということでしょうか。それはどうしてなのでしょうか。

No.86639 - 2023/10/26(Thu) 22:14:11

☆ Re: / らすかる

xとyに関連性があるためです。もしxの最小値から最大値の任意の値に対してyも最小値から最大値の任意の値をとるのであれば、共通部分が十分性を持ちますが、そうでない限り十分性は持ちません。
例えばx^2+y^2≦1という単位円の周及び内部の領域があり、xとyを個別に考えると-1≦x≦1,-1≦y≦1ではありますが、「-1≦x≦1かつ-1≦y≦1である領域」は明らかに円ではないですね。それと同じです。

No.86640 - 2023/10/27(Fri) 06:36:42

☆ Re: / 吉田

>> もしxの最小値から最大値の任意の値に対してyも最小値から最大値の任意の値をとるのであれば、共通部分が十分性を持ちます

つまり、xが定まればyが定まるような関係式を立てる必要があり、複数変数の媒介変数表示の場合、十分性を保つためには、その関係式をできるだけ少ない文字で表す事が必要という事ですか？

No.86641 - 2023/10/27(Fri) 08:24:15

☆ Re: / らすかる

「絶対に必要」ということはないと思いますが、xとyの関係式を立てた方が通過領域がわかりやすくなるのは確かですね。

No.86643 - 2023/10/27(Fri) 13:34:22

☆ Re: / 吉田

なんとなく理解できました。ありがとうございました。

No.86644 - 2023/10/27(Fri) 16:35:06

★ 導関数の公式 / 前進

1/hになる意味がわかりません。よろしくお願いいたします

No.86619 - 2023/10/24(Tue) 23:42:18

☆ Re: 導関数の公式 / 前進

過程です

No.86620 - 2023/10/24(Tue) 23:46:18

☆ Re: 導関数の公式 / GandB

> 1/hになる意味がわかりません。
　？？？

「分数関数の導関数の導出」で検索。
　たとえば
　　https://manabitimes.jp/math/2047
に、より一般的な分数関数 f(x)/g(x) の導出例がある。

No.86622 - 2023/10/25(Wed) 00:30:56

☆ Re: 導関数の公式 / 前進

こちらであっていますでしょうか？

No.86632 - 2023/10/25(Wed) 21:33:43

☆ Re: 導関数の公式 / 前進

一旦ここは飛ばして公式だけ覚えてまた戻ってくるのかもしれません

No.86633 - 2023/10/25(Wed) 21:52:46

☆ Re: 導関数の公式 / 前進

⚪︎(分子)と△(分母)それぞれ囲った部分で分母同士（1/h）を前に出して
残った分子同士が後ろに来るという積み木のようなものが成り立つのでしょうか？それが次の式になります。

あまり戻りたくありませんが、もし教えてくださるのでしたらどの分野に戻った方がいいのか教えていただくことは可能でしょうか？

よろしくお願いたします

No.86634 - 2023/10/25(Wed) 21:57:43

☆ Re: 導関数の公式 / GandB

　何でそんな奇妙な式変形をするのかよくわからんのだが、導関数の定義を使って

　　( 1/g(x) )' = -g'(x)/(g(x))^2

を証明することが目的であれば、あなたが最初提示した画像の中にほとんどその答えは示されている。

　なんか極限の復習も必要な感じ・・・

No.86636 - 2023/10/25(Wed) 23:50:42

☆ Re: 導関数の公式 / 前進

夜分遅くのご返信ありがとうございます。
極限の復習もしていこうと思います。
またよろしくお願いいたします

No.86646 - 2023/10/27(Fri) 21:48:59

★ 点の通過領域 / 吉田

x = 3k - s
y = √3s + √3k(3-2s)
1 <= s <= 3
0 <= t <= 1
の4式を満たすx, y について点P(x, y) の存在範囲をxy平面上に図示せよ。

考えても分かりませんでした。この問題の解き方を教えてください。

No.86610 - 2023/10/24(Tue) 15:38:07

☆ Re: 点の通過領域 / X

＞＞y = √3s + √3k(3-2s)
ですが右辺の√はどこまでかかっていますか。
括弧を使って分かるように書いて再度アップして下さい。

(例えば右辺の√が両方とも、右隣の3までしか
かかっていないのであれば
y = (√3)s + (√3)k(3-2s)
というように書いて下さい。)

No.86616 - 2023/10/24(Tue) 20:08:37

☆ Re: 点の通過領域 / 吉田

y = (√3)s + (√3)k(3-2s)
この表記で正しいです。紛らわしくてすみません。
s, k についてx, y の文字のみで表すことは、kについての二次方程式を解くということですか？

私は x+(√3)y= と(√3)x+y=の二式を求めてそれぞれの最大最小の領域を考えたのですが、これだと十分性が失われてしまう理由も、合わせて教えていただけますでしょうか。

No.86618 - 2023/10/24(Tue) 22:35:54

☆ Re: 点の通過領域 / X

＞＞s, k についてx, y の文字のみで表すことは、kについての二次方程式を解くということですか？
その通りです。
計算が明らかに煩雑になり、お勧めできません
(一旦アップしたレスを消した理由です)が方針だけ。

x=3k-s (A)
y=s√3+k(3-2s)√3 (B)
とします。

(A)より
s=3k-x (A)'
(B)に代入して整理をすると
6k^2-2(x+3)k+x+y/√3=0 (C)
一方、(A)より
k=(x+s)/3
(C)に代入して整理をすると
2(s+x)^2-2(x+3)(s+x)+3x+y√3=0 (D)
よって求める条件は
kについての２次方程式(C)が
1≦k≦3 (E)
なる実数解を少なくとも一つ持ち、かつ
s+xについての２次方程式(D)が
x≦s+x≦x+1 (F)
なる実数解を少なくとも一つ持つ条件
ということになります。

後は
f(k)=6k^2-2(x+3)k+x+y/√3
と置き、横軸にk、縦軸にf(k)を取ったグラフが
k軸と(E)の範囲で交点を少なくとも一つ持つ条件
と
g(u)=2u^2-2(x+3)u+3x+y√3
と置き、横軸にu、縦軸にg(u)を取ったグラフが
u軸と
x≦u≦x+1
の範囲で交点を少なくとも一つ持つ条件
を求めればよいことになるのですが…

グラフの対称軸の位置関係について、それぞれ
３つの場合分け(つまり合計６つの場合分け)
が必要になります。

注)
解と係数の関係を使って、k,s(或いはk,sそれぞれの定数倍)
が一つの二次方程式の解となるように持っていければ、
まだ方針としてお勧めできるのですが、(C)(D)は
見ての通り、kとsを適当にtとでも置いて、tの二次方程式
と見ても等価ではないので、そのような計算はできないようです。

No.86629 - 2023/10/25(Wed) 19:30:54

☆ Re: 点の通過領域 / X

＞＞私は x+(√3)y= と(√3)x+y=～
その方針では単に座標軸を
x+(√3)y=0
(√3)x+y=0
の2つの直線に変換した
(但し、直交座標ではなく斜交座標への変換になります)
だけで、元の
x=3k-s
y=s√3+k(3-2s)√3
でx,yの最大値、最小値を求めているのと何ら
変わりはありません。

No.86630 - 2023/10/25(Wed) 19:33:51

☆ Re: 点の通過領域 / 吉田

なるほど理解できました！ありがとうございます。

＞＞でx,yの最大値、最小値を求めているのと何ら
変わりはありません。

これとは違う問題で、
x = a + 3b - c
y = 2a + b + c
(1 <= a <= 2, 1 <= b <= 2, 1 <= c <= 2)
の通過領域を求めよ
という問題なのですが、この問題の一つの解法として、三文字のうち一文字を消去したものをそれぞれ３式作って、それぞれ一文字固定法で最大値最小値を出してその三式のなす積集合が真理集合となる、という解法だったのですが、
その方針では問題なく、今回の場合だとうまくいかない理由がわかりません。一文字消去をしていないからでしょうか？
なぜ一文字消去しないと成立しないのでしょうか？
理解が甘くて申し訳ないです。

No.86635 - 2023/10/25(Wed) 23:47:49

☆ Re: 点の通過領域 / X

ごめんなさい。回答が遅くなりました。

次の例題を考えてみます。

例題)
x=t (P)
y=t (Q)
0≦t≦1 (R)
のとき、点(x,y)の存在領域を求めよ

解)
(P)(Q)を(R)に代入することにより
0≦x≦1,0≦y≦1
とはなりますが、これは正解ではありません。
なぜならtによってx,yが連動することを
考慮に入れていないからです。
この「連動するのを考慮に入れる」ことが
媒介変数を消去する、この例題の場合だと
tを消去して
y=x
を導くことに当たります。

No.86610、No.86635で挙がっている問題についても同様です。
但し、これらの場合は媒介変数は複数ですので、それぞれの
文字を消去した上で、それぞれの式の積集合を考える必要が
あります。

ちなみにNo.86635についてですが、消去する文字数は１つである
必要はありません。
方程式2つに対して媒介変数は3つですので、例えば
a,b２つをまとめて消去してできる式でcのみ自由にして
最大最小を考えた式
と
cのみ消去した上でa,bを自由にして
最大最小を考えた式
の積集合を考えても問題ありません。
(計算の煩雑さを考えると、a,b,c１文字づつ消去する
模範解答とどちらがより良い解答かは判断しかねますが。)

No.86645 - 2023/10/27(Fri) 18:31:03

★ データ / えっとう

xあたりのyの値がわかるとき、yあたりのxの値はわかりますか。
　　たとえば、一週間の勉強時間とその人数の関係で、
　　　　　　　　　　　　　　(A地域)(B地域)
　　　　　　　　　0以上8未満　　4人、2人
　　　　　　　　　8以上16未満　9人、9人
　　　　　　　　　16以上24未満10人、7人
　　　　　　　　　24以上32未満7人、8人
　　　　　　　　　32以上40人未満2人、4人
のときの1人あたりの学習時間はA地域とB地域のどちらの方が長いかを聞かれたときに、本来なら、階級ごとの階級値を求め、それを度数にかけて、合計人数で割り、平均値を求め比べるが、0以上40未満はA地域が32人でB地域は30人ということだけでも、だせると思います。かんがえました。まず1時間あたりの値は、この情報だけで、A地域は32/20で、B地域は30/20で出せて、これを比例式と考えると、A地域ならy(人数)=1.6x(時間)と表せられるので、1人あたりの時間ははこのyに1を代入するとx=5/8だから5／8と考えれました。これをB地域もすると、B地域の方が長いことが分かりました。実際に平均値を求めてやってみても大小関係は同じくBの方が長くなりましたが、これってあっていますか。

No.86604 - 2023/10/21(Sat) 15:47:09

☆ Re: データ / X

ひとまず問題を脇において、階級の数を２つにした例
を考えてみましょうか。

A,Bにおいて階級の数が２つのこんな例を考えてみます。
0以上20未満　　1人、9人
20以上40未満　9人、1人

このとき、各階級それぞれを考慮して、
セオリー通りの平均を考えたときは
一人当たりの勉強時間はAの方が多くなります。
しかし、えっとうさんの方針だと
一人当たりの勉強時間はA、B共に同じになります。

つまり、えっとうさんの方針は、階級を最初から一つにまとめて
大雑把に考えるというのであれば、数学的には間違っていませんが、
階級を分割してデータを収集しているのに、その点を生かさずに
一人当たりの勉強時間を比較している、という点で
間違えている、ということです。

No.86606 - 2023/10/21(Sat) 21:22:55

☆ Re: データ / えっとう

No.86607 - 2023/10/22(Sun) 16:41:56

☆ Re: データ / えっとう

すみません途中で切れてしまいました。もう一度送り直します

No.86608 - 2023/10/22(Sun) 16:49:38

☆ Re: データ / えっとう

追加で質問させてください。
Xさんは平均値を求めてから大小関係を考えてらっしゃいますが、
たとえば、もし平均値と1人あたりの学習時間が完全に等しいわけではないと仮定すれば、ほかの方法で1人あたりの学習時間の近似値を求められるのではないかと思いました。そこで私は見方を変えて、1時間あたりの人数を求め、それを利用して
1人あたりの学習時間を求めました。たとえばAさんは3時間勉強し、Bさんは2時間勉強したなら、本来なら3時間勉強した人が1人、2時間勉強した人が1人となり、(3x1+2x1)/2で1人あたりの勉強時間は２.5時間と求められますが、そうではなく、2人で5時間勉強したから1時間あたりに勉強している人の数0.4人、1時間あたり0.4人勉強しているのなら1人あたりは1=0.4xより2.5時間勉強しているとわかるわけです。本来の方法では何時間勉強した人が何人、何時間勉強した人が何人と全部知らないといけませんが、私の考えた方法では、合計人数と合計時間がわかればできるのでは？というふうに考えました。実質これだと同じことやっているようなものなのでここで新しく単位を作ります。0〜8の時は4人とありましたがその時の0以上８未満を1d、8以上16未満を2dというふうにしていくと、
　　1d →4
　　2d→9
　　3d→10
　　4d→7
　　5d→2
と表せます。
1時間足す2時間は3時間なのと同じように1d足す2dも3dなので、
(1x4+2x9+3x10+4x7+5x2)=90なので、90/32が1人あたりの平均学習時間(d)です。ちなみにdはてきとうに当てた単位なので気にしないでください。でこのときに、1dあたりの人数は、32/90とわかります。よって最初の方でやったことの逆を辿ると、32人で90d勉強したことがわかります。あとはxdの範囲を考えてそれを９０dに代入し、32人の合計時間(90d)を(？時間)に変換して,通常通りの平均の出し方でやればできると思うのですが私はまだここからの計算技術がないのでやっていただきませんか。お願いします。

No.86609 - 2023/10/22(Sun) 17:20:16

☆ Re: データ / ヨッシー

一般には　１人あたりａ時間であれば、１時間あたり 1/a 人です。
ただし、ａ＝０であってはいけませんし、1/a という数字に意味があるのかはケースバイケースです。

この問題がややこしくなっているのは、範囲のある時間の何を使って平均を求めるかが決められていないからです。
0～8 時間を代表する数値は何か？下限の０なのか？中間値の４なのか？上限の８なのか？
上限と決めたなら、
　　1d→4
　　2d→9
　　3d→10
　　4d→7
　　5d→2
は正しく、ｄ＝８です。よって、90d＝720 であり、32人で720時間なので、
１人あたり、720/32＝22.5時間。１時間あたり 32/720＝2/45人。

中間値と決めたなら、
　　1d→4
　　3d→9
　　5d→10
　　7d→7
　　9d→2
となり、ｄ＝４です。合計は 148d＝592 であり、32人で592時間なので、
１人あたり、592/32＝18.5時間。１時間あたり　32/592＝2/37人。

下限に決めたなら
　　0d→4
　　1d→9
　　2d→10
　　3d→7
　　4d→2
となり、ｄ＝８です。合計は 58d＝464 であり、32人で464時間なので、
１人あたり、464/32＝14.5時間。　１時間あたり　32/464＝2/29人。

となります。代表値を４時間ずつずらしているので、平均も４時間ずつずれます。

No.86611 - 2023/10/24(Tue) 15:48:43

★ 一個下は間違えました / チム小3

73÷6のさくらんぼ計算でなぜ間違えてしまうのかを教えてください。
73を70と3にわけました。
70÷6を計算するときに、0を一旦隠して、7÷6＝1あまり1になり、0をどちらにもつけると10あまり10になりました。この時点でおかしいと感じました。なにがいけないのでしょうか？
73を60と13で分けて計算したらちゃんとできました。
なぜ73を70と3にわけるとうまく計算できなかったのでしょうか？
ちなみに、最初の70÷6をするときに0を一旦隠すのは、2桁の割り算がまだできないからです。

No.86592 - 2023/10/17(Tue) 22:21:18

☆ Re: 一個下は間違えました / ヨッシー

一個下の記事は消しましたが、一行目が
>70÷6のさくらんぼ計算で・・・
となっているものでした。

さて、73÷6 の「÷6」とはどういうことでしょうか？
よく、「6つに分ける」という言い方をされますが、
この考え方は、あまり良くなくて、「６が何回引けるか」
というふうに考えましょう。

73個（または70個）のさくらんぼから、
６個持ってきて、６人に１個ずつ上げる、でも良いですし
６個持ってきて、ふくろに入れる、でも良いです。
これを何回かやって、残っている分を「あまり」にしましょう
というのが、「割り切れない割り算」の考え方です。

ですから、70÷6 を、10 あまり 10 （6を10回引いて、10残っている）
も、間違いではありません。
ただ、「もう、これ以上引けない時の残りをあまりにしましょう」という
ルールがありますので、あまりの 10 からもう１回6を引いて
　10 あまり 10　→　11 あまり 4
と直してあげれば、問題ありません。

これに、最初に分けておいた3を加えると、もう１回6が引けますので、
　73÷6＝12 あまり 1
となります。

>2桁の割り算がまだできない
と言われますが、「何回引けるか」が割り算ですので、
引き算が出来れば、2桁でも3桁でも、答えを出すことは出来ます。
ただ、筆算など、便利なやり方は、今後習っていくということです。

No.86593 - 2023/10/18(Wed) 07:33:22

☆ Re: 一個下は間違えました / チム小3

ありがとうございました！

No.86596 - 2023/10/18(Wed) 19:13:55

★ 移項 / あみ

基本的なことですみません。なぜこうなるのか分からない移項があり、ルールのようなものがあれば教えてほしいです。

?@0.14-g=4÷50
　　　↓
?A0.14-4÷50＝g　（gは0.006であることを解かせる問題）

どうして?@を?Aのように変形させられるのでしょうか？
同じ数を足したり引いたりかけたりという移項のルールでは説明できない気がしました。

No.86581 - 2023/10/17(Tue) 09:49:43

☆ Re: 移項 / あみ

文字化けしてしまいましたが、
？＠はまるいち、？Aはまるにを入力していました。

No.86582 - 2023/10/17(Tue) 09:50:31

☆ Re: 移項 / ヨッシー

4÷50 のような割り算（掛け算も）は、足し算、引き算よりも
先に計算します。
移項も足し算、引き算を使った変形ですので、4÷50 は、移項よりも先に行います。

　0.14-g=(4÷50)
と書くとわかりやすいでしょうか。

ちなみに、ｇは0.006 ではなく、0.06 になります。

No.86583 - 2023/10/17(Tue) 10:08:39

☆ Re: 移項 / あみ

さっそくありがとうございます！
0.14-g=(4÷50)
で、
１．()部分を丸ごと左に移項させたということなのでしょうか。
２．左に移項させたので-（）の形になっているのですね？
３．ｇも同じく右に移動させたので＋になっているのですね。
４．移項は今回のような割り算だけでなく、足し算、引き算、掛け算の式も（）の考え方でまるごと移すことができるのですね？数字や英字ひとつ単位でしかできないと思っていました。
５．（）の考え方で式ごと移しても÷や＋はかわらず（÷が×になったりせず）、式の先頭の正負が逆になるだけなのですね。
念のため上の５点を確認させてください。

計算間違えについても教えてくれてありがとうございます！

No.86584 - 2023/10/17(Tue) 10:36:42

☆ Re: 移項 / あみ

上の１－５は
0.14-g=4÷50
　　　↓
0.14-4÷50＝g
の変形理由について詳しく伺っている質問です。

No.86585 - 2023/10/17(Tue) 10:38:37

☆ Re: 移項 / ヨッシー

この問題はわかりますか？
　ａ＋ｂ＋ａ×ｂ
　ｘ－ｙ＋ｘ÷ｚ
は、項がいくつで、それらは何と何ですか？

実際はこういう問題は出ることはなくて、その前段階で、
　ａ＋ｂ＋ａ×ｂ
　ｘ－ｙ＋ｘ÷ｚ
上の式を、×、÷ を使わずに表しましょう。
というのがあります。

これが理解出来れば、項を動かす、という操作の意味が
理解できるのではないかと思います。

ちなみに、一番上の問題の答えは
　３個：ａとｂとａ×ｂ
　３個：ｘと－ｙとｘ÷ｚ
です。

何度も言いますが、項を動かすのです。

No.86586 - 2023/10/17(Tue) 11:11:09

☆ Re: 移項 / あみ

そもそも項の考え方を間違っていたことがわかりました！
とても詳しく丁寧に教えてくださってありがとうございます。
項がただしくわかったので最初の質問についても簡単なことだと理解できました。

No.86587 - 2023/10/17(Tue) 11:22:57

★ 代数学 / まゆき

代数学についての質問です。

問題4.17を教えてください。

よろしくお願いします。

No.86580 - 2023/10/17(Tue) 01:23:27

☆ Re: 代数学 / ast

# 上付きのバーは表記しづらいので, ここでは "^-" で表す:
# 例えば Z_n において n-1 (≡-1 (mod n)) の属する剰余類は (n-1)^- (=(-1)^-).
# (追記:) あと, これは単なる確認だけど, Aff(1,Z_n) の定義中, 行列の成分にある 0,1 は
# Z_n の零元 (加法単位元) 0 と単位元 (乗法単位元) 1.
## 整数の 0, 1 を用いると (記号の濫用で) 0=0^-, 1=1^- (左辺の 0,1 は Z_n の, 右辺の 0,1 は Z の).
## 同様に, 整数の -1 に対して (-1)^- は Z_n の単位元 1 の逆元だから (Z_n の) -1 とも書き得る: i.e. -1=(-1)^-.

(既約剰余類群 (Z_n)^* の定義, および二面体群 D_[2n] の生成元と基本関係式は既知であるものとしてここで解説するつもりはしてないが) 求める同型を与える同型写像 λ: Aff(1,Z_n) → D_[2n]=⟨a,b|a^2=1,b^n=1,aba=b^(-1)⟩ が,
　λ((-1, 0; 0, 1)))=a,
　λ((1, 1; 0, 1))=b
で決まること (この2点での値から λ が Aff(1,Z_n) 上の準同型に延ばせること, 延ばした λ が全単射になること) を見ればよい.
# この議論は φ(n)=2 となる n でのみ有効であることに注意する.

No.86594 - 2023/10/18(Wed) 14:28:19

☆ Re: 代数学 / まゆき

返信ありがとうございます。

各元の位数を計算したりはしたんですが、、、

解説を聞いてもいまいち理解できません。

延ばせるというのもよく分かりません。

n=3の場合のみ示してもらってもよろしいでしょうか。

よろしくお願いします。

No.86595 - 2023/10/18(Wed) 15:45:06

☆ Re: 代数学 / ast

> n=3の場合のみ示してもらってもよろしいでしょうか。
「のみ」は実質無理だと思いますが (単に n (ただし φ(n)=2) と書けばいいだけのところを強いて3と書かない限り, 普通に証明書いたら3,4,6を個別にという証明にはならない).
さりとてこちらが全部の場合を示すという形は ("代行" になってしまうので) 私個人のスタンスとして基本的にとりたくありません (とは言っても結局ほとんどのことは述べてる).

> 延ばせるというのもよく分かりません。
ガチガチの用語で言うなら「定義域の延長 (拡張, 拡大ともいう)」です (これ自体は解析学では頻出の概念なので知らないというのはたぶんないはず). 少なくとも, (用語を知っているかはともかくとして) 線型代数学では「線型写像は基底の行き先で決まる (基底の行き先を決めるとそれを線型に拡張して空間全体で定義された線型写像にできる)」という形で本件のアナロジーが既出なのでは?
# アナロジー (論理的な構造が同じ) だというのは,
# "線型写像"="線型空間という代数系における準同型", "基底"="線型空間の生成系" で,
# 本件が「"群という代数系における準同型" が "群の生成系" での値で決まる」という
# 対比ができるということ.

まあでも, (本質的には同じことのはずだが) 上に書いたのとは逆向きの写像 μ: D_[2n]→Aff(1,Z_n) を考えたほうが記述の見通しが立つかなあと思い直したので少し訂正を述べることにします. すなわち:

二元 a,b で生成される自由群を G, a^2,b^n,(ab)^2 で生成される G の正規部分群を N とすれば D_[2n]=G/N. G から Aff(1,Z_n) への準同型 ν を ν(a)=((-1)^-,0; 0, 1), ν(b)=(1,1; 0,1) (を準同型に拡張したもの) で定めると, N⊂Ker(ν) は容易に確かめられるから, 準同型定理 (の一種) により ν は準同型 μ: D_[2n]→Aff(1,Z_n) (μ(aN)=ν(a),μ(bN)=ν(b)) を誘導する.
(のであとはこの ν が全単射であることを言えばいい)
# 見通し云々は, 上で述べた λ が well-defined であることを直截的に述べるよりは
# 準同型定理 (が含意している μ のそれ) にまかせるほうがいいかなとか,
# μ, ν の Image や Kernel の計算が行列の計算に終始するので,
# とかいったような意味合いです.

No.86601 - 2023/10/19(Thu) 13:27:13