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割合 / 一般中学生
この問題がよく分かりません。
No.76988 - 2021/07/26(Mon) 12:34:09

Re: 割合 / ヨッシー
中学生なので、方程式でいいのかな?

原価をx円とすると、
定価はx+100円
売値は 0.9(x+100)=0.9x+90
利益は 0.9x+90−x=90−0.1x
これが原価の5分に当たるので、
 90−0.1x=0.05x
 0.15x=90
これを解きます。

No.76989 - 2021/07/26(Mon) 12:49:57
積分 / 積分
力学授業の中で出てきたものなのですが、3行目から5行目の式変換がわかりません。
∫(1/v)dv が log(v(t)/v(t-t0)) に対応しているように見えるのですが、
∫(1/v)dv=logvだと思うので辻褄があわず何が何だかよく分かりません。
どなたか解決していただけないでしょうか。

No.76981 - 2021/07/26(Mon) 03:12:27

Re: 積分 / ヨッシー
一言で言うと、時刻t0 から t までの定積分を意味していると思われます。

−∫dt(b/m)=∫(1/v)dv
を積分して、
 −(b/m)t=log(v)+C (Cは積分定数)
ですが、
 C=−log(v0)−(b/m)t0 (v0 はt=t0のときのv(t)の値)
として、時刻t0 のときに0になるようにして、そこからの
距離だか速度だか何かわかりませんが、ある物理量をtで
表しているものと思われます。

No.76984 - 2021/07/26(Mon) 05:57:12

Re: 積分 / 大学一年
気づきませんでした......。
ありがとうございます。

No.77012 - 2021/07/27(Tue) 15:11:25
テイラー展開 / 大学一年
写真はf(t0)のテイラー展開の公式に、一行目を代入した場合を説明したものなのですが、右辺(Right)がなぜ写真にかいてあるようになるのか分かりません。
f(t0)はcos(t0)=1なのでRight=1+...の形になるのではないかと思ったのですが、なぜシグマ記号の部分しか残っていないのでしょうか。
また、シグマ記号の部分についても、なぜ写真の形になるのか分かりませんでした。
全く理解できていない状態で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。

No.76980 - 2021/07/26(Mon) 01:08:35

Re: テイラー展開 / 高校三年生
x^0 = 1

これは、x=0でも成り立つのかな?

No.76983 - 2021/07/26(Mon) 05:12:01
テイラー展開 / 大学一年
R(t)ベクトルのテイラー展開にx(t)ベクトルをかけるとx成分のテイラー展開になるというのがどうしてか分かりません。
R(t)ベクトルにx(t)ベクトルをかけるとx成分になるということですか?
どうしてそうなるのかわからないので教えてください。よろしくお願いします。

No.76979 - 2021/07/26(Mon) 00:57:48

Re: テイラー展開 / 編入受験生
ベクトルのテイラー展開っていうのはようは、
各成分についてのテイラー展開をまとめて表記してるというだけのはなし。
だから、e_x = (1,0,0)との内積を取れば,yとz成分が消えて,
x成分だけ残るというだけのことです。

No.76982 - 2021/07/26(Mon) 03:46:12

Re: テイラー展開 / 大学一年
ありがとうございます!
No.77011 - 2021/07/27(Tue) 15:09:09
解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中
問題
放物線Y^2=4Xと焦点を共有して、頂点がこの曲線の上にあり、軸がY軸に平行な放物線の方程式を求めよ。

解答
放物線Y^2=4Xと焦点は 点(1,0)です。
また放物線の軸がY軸に平行ですので、この軸は直線 X=1 です。

この文の放物線の軸がY軸と平行だから軸はX=1というところが理解できておりません。お手数ですが教えていただけますでしょうか。
宜しくお願い致します。

No.76977 - 2021/07/25(Sun) 23:32:28

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / ヨッシー

青が求める放物線(の1つ)です。
軸はy軸に平行であり、点(1,0)を通るので、
その式は x=1 です。

No.76978 - 2021/07/25(Sun) 23:48:52

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中
ヨッシーさん、返答ありがとうございます。
2行目に書かれている「点(1,0)を通る」というのが、
なぜ決まるのかが分からないのですが、
教えていただけますでしょうか。
宜しくお願い致します。

No.76985 - 2021/07/26(Mon) 07:09:54

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / らすかる
焦点は軸上にあるからです。
No.76987 - 2021/07/26(Mon) 08:26:48

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中
らすかるさん、返答ありがとうございます。
焦点について理解がまだ不十分でした。
放物線では、焦点が必ず軸上にあると認識して大丈夫でしょうか。

No.76990 - 2021/07/26(Mon) 12:51:29

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / らすかる
大丈夫です。
焦点がどういう点であるか調べると、軸上以外はあり得ないことがわかると思います。

No.76991 - 2021/07/26(Mon) 12:56:15

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中
ありがとうございます。
早速調べてみます。

No.76993 - 2021/07/26(Mon) 13:23:33
(No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について質問です。
No.76972 - 2021/07/25(Sun) 22:00:39

Re: / 数学苦手
接している面が4cm2あるのは
裏表も入れているからですか?

No.76973 - 2021/07/25(Sun) 22:02:04

Re: / ヨッシー
接している面の面積が 4cm2 である理由は?
というご質問であれば、
 1辺が2cm の正方形だから
です。

No.76975 - 2021/07/25(Sun) 22:31:15

Re: / 数学苦手
切り口の中に含まれている面で、接している面ですよね
No.76992 - 2021/07/26(Mon) 13:08:00

Re: / 数学苦手
4cm平方で、6面あるという部分が分からないです。
No.76999 - 2021/07/26(Mon) 18:11:22

Re: / 数学苦手
この色の部分ですよね?ここの裏表のぶんで6面ですね!
No.77000 - 2021/07/26(Mon) 19:08:30
線形代数学 / デンキ
定理の証明を教えてください。
Aをn次正方行列とする。
このとき、Aが正則⇔rank(A)=n
この定理の証明を教えてください。

No.76971 - 2021/07/25(Sun) 21:58:44

Re: 線形代数学 / デンキ
解決しました!
No.77001 - 2021/07/26(Mon) 19:23:27
全微分可能 / あい
f(x,y),g(x,y)が全微分可能ならば、f(x,y)・g(x,y)も全微分可能であることを示せ。
という問題がわかりません。教えてほしいです!

No.76969 - 2021/07/25(Sun) 21:22:27
中学数学の問題について教えてください / みしぇる
初めて質問させて頂きます。宜しくお願い致します。
高校入試問題に取り組んでいますが(現在中3)、以下の問題の(2)がわかりません。
答えは17/5センチです。解説をお願いてきますか。

No.76968 - 2021/07/25(Sun) 21:09:07

Re: 中学数学の問題について教えてください / ヨッシー
(1)

△ABGと△ACDにおいて、
 AB=AC ・・・(i)
ADに立つ円周角より
 ∠ABG=∠ACD ・・・(ii)
BD//CF における錯角より
 ∠BGF=∠CFG
四角形AFCDは円に内接するので、
 ∠ADC=180°−∠CFG
また
 ∠AGB=180°−∠BGF
よって、
 ∠ADC=∠AGB
必然的に
 ∠BAG=∠CAD ・・・(iii)
(i)(ii)(iii)より一辺両端角相等より
 △ABG≡△ACD (証明終わり)


(2)
∠ABH=∠ACB=∠AFBより
 △ABH∽△AFB
AG=AD=3 より AF=10 であるので
相似比は AB:AF=4:5
よって、
 AH=AB×4/5=32/5
 GH=AH−AG=32/5−3=17/5

No.76974 - 2021/07/25(Sun) 22:22:13

Re: 中学数学の問題について教えてください / みしぇる
ヨッシー様、
お忙しいところ、ご丁寧な解説をありがとうございました!よくわかりました!!

No.76986 - 2021/07/26(Mon) 07:57:40
数列 / はな
(4)(5)の答え教えてください
一般項を求める問題です

No.76963 - 2021/07/25(Sun) 19:43:59

Re: 数列 / ヨッシー
(4)
 a[n+1]−3=4(a[n+1]−3)
と変形できるので、
b[n]=a[n]−3 とおくと、
 b[1]=4−3=1
 b[n+1]=4b[n]
という等比数列の漸化式となります。
よって
 b[n]=4^(n-1)
 a[n]=b[n]+3=4^(n-1)+3

(5)
 a[n+1]−5/3=−2(a[n]−5/3)
と変形できるので、
(以下(4) と同じ流れで解けます)

No.76964 - 2021/07/25(Sun) 20:13:04
数列 / かずううう
途中式も含めて答え教えて欲しいです
No.76962 - 2021/07/25(Sun) 19:39:19

Re: 数列 / ヨッシー
このレベル以上の問題に限り解けないのか、
数学的帰納法全般にわたり解けないのかわかりませんので、
的確な回答ができません。

この単元の初期の部分で、これなら解けるという
数学的帰納法の問題および解答を上げてもらえますか?

No.76965 - 2021/07/25(Sun) 20:17:09

Re: 数列 / はな
1番下の問題のn=k+1の時がわからないです
No.76970 - 2021/07/25(Sun) 21:37:16

Re: 数列 / ヨッシー
 1・2+2・3+・・・+(2n-1)・2n=(1/3)n(n+1)(4n-1) ・・・(a)
n=1 のとき
 (左辺)=1・2=2
 (右辺)=(1/3)1・2・3=2
より、(a)は成り立つ。
n=k のとき (a) が成り立つとき、つまり
 1・2+2・3+・・・+(2k-1)・2k=(1/3)k(k+1)(4k-1)
であるとき、n=k+1 のときを考えると、
 1・2+2・3+・・・+(2k-1)・2k+(2k+1)(2k+2)
  =(1/3)k(k+1)(4k-1)+(2k+1)(2k+2)
  =(1/3)(k+1)(4k^2-k)+(1/3)(k+1)(12k+6)
  =(1/3)(k+1)(4k^2+11k+6)
  =(1/3)(k+1)(k+2)(4k+3)
  =(1/3)(k+1){(k+1)+1}{4(k+1)-1}
となり、n=k+1 のときも、(a) が成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して(a) は成り立つ。

No.76976 - 2021/07/25(Sun) 22:49:11
集合の濃度 / りこ
この集合の濃度が自然数全体の集合の濃度と等しいか実数全体の集合の濃度と等しいか教えて下さい。
No.76955 - 2021/07/25(Sun) 17:56:30

Re: 集合の濃度 / りこ
画像を貼り忘れました。すみません。
No.76956 - 2021/07/25(Sun) 17:57:50

Re: 集合の濃度 / IT
「ベルンシュタインの定理」は、既知ですか?
No.76959 - 2021/07/25(Sun) 19:13:34

集合の濃度 / りこ
ベルンシュタインの定理は習いました。
全単射をどのように構成すれば良いかわかりません。

No.76960 - 2021/07/25(Sun) 19:21:27

Re: 集合の濃度 / IT
ベルンシュタインの定理を使っていいなら、全単射を具体的に構成しなくても、
その集合から実数全体の集合への単射と逆向きの単射を構成できればいいと思います。

ベルンシュタインの定理を確認してください。

No.76961 - 2021/07/25(Sun) 19:32:11

Re: 集合の濃度 / りこ
ありがとうございます。確認します!
No.76966 - 2021/07/25(Sun) 20:24:11

Re: 集合の濃度 / IT
具体的な全単射を構成するなら

例えばRから{x∈R:x<0}ヘの全単射g(x)を構成して
xが自然数でないときはf(x)=g(x)とし、
xが自然数のとき
 奇数のときは、自然数に順に対応させ
 偶数のときは、{x∈R:x<0}の空いた穴を順に埋めます。

f(1)=1とし、空いた穴をf(2)=g(1) で埋める。
その穴をf(4)=g(2) で埋める。
f(3)=2とし、その穴をf(6)=g(3)で埋める。
f(5)=3とし、・・・

これを繰り返す。

グラフを描いてみるとイメージしやすいと思います。

No.76967 - 2021/07/25(Sun) 21:04:09
(No Subject) / なみ
2^26 mod53
の求め方と答えを教えてください。

No.76953 - 2021/07/25(Sun) 17:09:39

Re: / IT
フェルマーの小定理は、既習ですか?

フェルマーの小定理を使えば容易です。

フェルマーの小定理を使わないなら、
 2^26=(2^13)^2=8192^2なので
 8192 を53で割った余りを計算し、それを2乗したものを53で割った余りを計算する。
などでしょうか。

No.76954 - 2021/07/25(Sun) 17:33:48

Re: / 編入受験生
> 2^26 mod53
> の求め方と答えを教えてください。


2^10 = 1024から,53で割った余りは17,
2^6 = 64から,53で割った余りは11.
よって 2^10 ≡ 17 mod 53かつ2^6 ≡ 11 mod 53.
ここで、合同式の性質(a ≡ b mod nとc ≡ d mod nが成り立つとき, ac ≡ bd mod nが成立)から,
2^10×2^10×2^6 = 2^26 ≡ 17^2×11 mod 53.
17^2×11 = 289×11 = 3179より53で割ると,
3179 = 53×60 - 1 = 53×59 + 52より余りは52である.

No.76957 - 2021/07/25(Sun) 18:08:31
代数学 / ぱぴおか
この問題がわかりません!
わかる方ご教授お願いします(・_・;

No.76947 - 2021/07/25(Sun) 14:31:14

Re: 代数学 / IT
ζ、ζの2 乗、3乗、n乗、....24乗は、それぞれどんな複素数ですか?
複素平面上にプロットしてみてください。

No.76948 - 2021/07/25(Sun) 15:27:46

Re: 代数学 / ぱぴおか
ITさん
複素平面上にプロットしたんですが、あってますか?
そこからどうしたら良いのでしょうか?

あと、位数と部分群Cの大きさがよくわかってません…

No.76949 - 2021/07/25(Sun) 15:45:32

Re: 代数学 / IT
> ITさん
> 複素平面上にプロットしたんですが、あってますか?

合ってます。

> そこからどうしたら良いのでしょうか?
部分群Cの元は、それら24個の元がすべてです。

>
> あと、位数と部分群Cの大きさがよくわかってません…

群Cの元ζ^mの位数が24 である。とはどういうことか、テキストで確認してください。

No.76951 - 2021/07/25(Sun) 16:12:45
(No Subject) / 編入受験生
1辺が1の正方形の面を持った自動塗りロボットを考える.
このロボットは、正方形の面を塗りたい面に接触しながら動くことで、
ペンキで色を塗っていく機械である.
しかしこの機械は左右上下にしか動くことができず,
またどの方向に動くかは完全にランダムである.
以下の問いに答えよ.

1辺が1の正方形の面Sを持つ機械Cの面のいずれか頂点を原点となるように,また面Sの直行する二つの辺のいずれかがx軸と平行となるように座標平面上におく.
機械Cはx軸の正方向,負方向,y軸の正方向,負方向のいずれかに1秒あたり1動くものとし,
機械Cの面Sと接触している面は瞬時に色が塗られるものし,
色は決して消えることはないものとする.
さらに,どの方向も同じ確率(1/4)で動くものとする.

このときどんな大きい実数Rにたいしても,十分時間がたてば,機械Cで塗られた面積の期待値はR×Rよりも大きくなるか?
すなわち,
t秒後に機械Cが塗る面積の期待値をE(t)とする.
tを十分大きくすれば, どんな大きい実数Rに対しても,
E > R×Rとなるか?

No.76944 - 2021/07/25(Sun) 05:00:49
直角二等辺三角形の条件? / 中3数学
問題は解けるのですが、途中のシールを剥がした部分が解説なしに直角二等辺三角形として扱われているりゆうがわかりません。解説をお願いいたします。
No.76938 - 2021/07/24(Sat) 23:42:18

Re: 直角二等辺三角形の条件? / らすかる
AからBCに垂線AHを下すとBH=2cm、AH=2cmだから△ABHは直角二等辺三角形
よって∠ABC=45°
シールをはがして折ったら当然EBと折り返した辺の長さは等しいから
二等辺三角形であり、上から底角は45°なので直角二等辺三角形。

No.76943 - 2021/07/25(Sun) 04:41:46
数列 / たらちね
b(n)=-16(3/2)^(n-1)とする時、b(1)-b(2)+b(3)-b(4)+..-b(100)を計算しよ。
解答はΣ(k=1→100)-16(-3/2)^(k-1)で解いていたのですが、自分は、{Σ(k=1→50)-16(3/2)^(2k-1)}-{Σ(k=1→50)-16(3/2)^(2k)} と偶奇で分けて計算しようとしました。すると、48/5{(9/4)^(50)-1}になりました。正答は32/5{(9/4)^(50)-1}になります。どこか間違えている所を教えてください。

No.76928 - 2021/07/24(Sat) 18:32:54

Re: 数列 / ヨッシー
{Σ(k=1→50)-16(3/2)^(2k-1)} が b(1)+b(3)+…
{Σ(k=1→50)-16(3/2)^(2k)} が b(2)+b(4)+…
を想定していると思いますが、
Σ(k=1→50)-16(3/2)^(2k-1) の第1項と b(1)
Σ(k=1→50)-16(3/2)^(2k) の第1項と b(2) が一致しません。
たぶん、それ以外の項も全部一致しないのでしょう。

No.76929 - 2021/07/24(Sat) 18:37:12

Re: 数列 / たらちね
え、、指数部分が一致しているのに、正しく一致していないんですか? 具体的に教えていただけると嬉しいです。
No.76930 - 2021/07/24(Sat) 20:18:40

Re: 数列 / らすかる
指数部分は一致していませんよ。
No.76931 - 2021/07/24(Sat) 20:21:32

Re: 数列 / IT
b(n)=-16(3/2)^(n-1) を良く見直すと良いと思います。
No.76932 - 2021/07/24(Sat) 21:08:16

Re: 数列 / ヨッシー
Σ(k=1→50)-16(3/2)^(2k-1) の第1項とは
 -16(3/2)^(2k-1) に k=1 を代入したものです。
b(1) とは
 -16(3/2)^(n-1) に n=1 を代入したものです。

一致しませんね。

No.76945 - 2021/07/25(Sun) 06:39:23
情報代数学 / SHM
情報代数学の問題です。
この問題が、ヒントを見ても全く分からないです。
教えてくだい。

No.76924 - 2021/07/24(Sat) 17:11:57

Re: 情報代数学 / IT
ヒントをそのまま使って

Σの中の各1-(α-β)^(q-1) の値がどうなるかを考えれば良いのでは?

No.76927 - 2021/07/24(Sat) 18:30:02
指数関数 / りょう
上が自分が考えた方で下が答えなのですがどうしてこうなるのでしょうか。教えてください
No.76922 - 2021/07/24(Sat) 17:07:51

Re: 指数関数 / X
以下の通りです。

(2√2)^3={2^(3/2)}^3=2^{(3/2)・3}
=2^(9/2)

No.76923 - 2021/07/24(Sat) 17:09:55

Re: 指数関数 / りょう
{2^(3/2)}^3になるのですか?
No.76925 - 2021/07/24(Sat) 17:13:06

Re: 指数関数 / りょう
あ、すいませんわかりました。ありがとうございます
No.76926 - 2021/07/24(Sat) 17:15:28
ラグランジュ / カメムシ
⑴からわからないです
No.76918 - 2021/07/24(Sat) 13:55:13

Re: ラグランジュ / 編入受験生
> ⑴からわからないです

1.は頭の中でイメージしましょう.
点(x,y,z)を通るx軸に平行な直線を頭の中で引いてみてください。その直線が球面を切り取る線分の長さは,2|x|のはずです。
厳密な論証としては以下のベクトル方程式Pで表された直線と
球面の共有点を求め、それらの間の距離を出せばよいです.
実際, 直方体Rの各辺は各軸に平行なのだから,
頂点(x,y,z)を結ぶ直方体Rの三つの辺のうちx軸に平行な直線のベクトル方程式P_xは,P_x - (x,y,z) = t(1,0,0)とおけるので,
P_x = (x+t,y,z)となる.
いま,このベクトル方程式があらわす直線と球面との共有点をもとめると,
すなわち(x+t)^2+y^2+z^2 = 1..(1)である.
また,(x,y,z)は球面上の点だから,x^2+y^2+z^2 = 1..(2)であるので,
(1)から(2)をひくと,(x+t)^2 - x^2 = 0.
これを解くと,すなわちt^2 +2xt = t(t+2x) = 0より,
t = 0, -2xから,二つの共有点の間の距離d_xは,
d_x = |(x,y,z) - (-x,y,z)| = |(2x,0,0)| = √(4x^2) = 2|x|となるから, 直方体Rのx軸に平行な辺の長さは2|x|.
同様にもとめると,y軸に平行な辺の長さは2|y|,z軸に平行な辺の長さは2|z|であることがわかる.
よって, f(x,y,z) = 2|x|2|y|2|z| = 8|xyz|.

2. 頂点(x,y,z)は半径一の球面上の点なのだから,
x^2+y^2+z^2 = 1

3.球面の球対称性を考えれば,第一象限のみについて考えるだけでよいから,f(x,y,z) = 8xyz(x,y,z >= 0). 第一象限とはx,y,z>0となる部分.
よって極値関数が8xyz、拘束条件がx^2+y^2+z^2 = 1のもとで,
ラグランジュの未定乗数法を用いて求めればいい.
ここからは自分でできるはずなので、自力で頑張ってください.一応ラグランジュの未定乗数法の式をかいておくと,
F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 - 1とおいて,
φ(x,y,z,λ) = f(x,y,z) - λF(x,y,z)とおくとき,
φ_x = φ_y = φ_z = φ_λをみたす(x,y,z)が極値の候補である.
また,x,y,z >= 0という条件を見落とさないように.

No.76940 - 2021/07/25(Sun) 03:05:19
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