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★ 大学数学　代数学 / やま
2.の(b)(c)(d)が分かりません。どなたか解答を頂けると助かります。ちなみに(C)は素イデアルだと思うんですがこれは正しいでしょうか？
No.68156 - 2020/07/20(Mon) 18:06:56
☆ Re: 大学数学　代数学 / ast
(b) は φ: R→Z/2Z; φ(a+bi):= a-b mod 2 に準同型定理. 最低限確認すべき非自明な事項は φ が環準同型となることおよび Ker(φ)=(1+i)R.
# たとえば似たような Ψ: R→Z; Ψ(a+bi):= a-b は積を保たない (もちろん核も小さい).
(c)に素イデアルと書いて×になることは無いとは思うけど, Z/2Z は体だしより強い結果が言えるので, あんまりいい問題ではない気がする. (c),(d) はセットの問題だと思うので(d)もどうなのかなあ
No.68219 - 2020/07/22(Wed) 00:34:58
★ 大学数学　積分論 / やま
この問題が分かりません。どなたか解答を与えて頂けると助かります。
No.68155 - 2020/07/20(Mon) 18:04:11
☆ Re: 大学数学　積分論 / ast
左辺の定義は?
# 個人的には左辺はこの右辺で定義されると思っているのだけど……
No.68222 - 2020/07/22(Wed) 01:06:01
★ (No Subject) / やま
1.(1)(2)(3)全て分かりません。(1)(2)だけでも良いのでどなたか解答を与えて頂けると助かります。
No.68154 - 2020/07/20(Mon) 18:02:48
☆ Re: / ast
定義の条件を確認するだけだけど, ほとんど自明な等式 (両辺が無限大という意味で等しいみたいな式とか) ばっかりだし特にいうべきことはないのでは……
(3)も後半は自明だから前半だけが問題だけど, それも実質的にはいわゆる区間縮小法で実数が一個特定できるって話でしかないです.
No.68221 - 2020/07/22(Wed) 00:58:04
★ 複素関数論 / たか
積分をしてみたら次のようになりました。合っていますでしょうか…しっかり見直しながらやったのですが答えがなくて不安です。お願いします。

∫[-∞→∞]_cosx/(x^2+1)・dx = π/e

∫[-∞→∞]_sinx/(x^2+1)・dx = 0
No.68149 - 2020/07/20(Mon) 16:44:12
☆ Re: 複素関数論 / ast
どちらもあっています. 過程ではなく結果を訊くのならば, 機械に訊いたほうが待たずにわかるので活用して見られては?
参考: cos(x)/(x^2+1) のほう と, sin(x)/(x^2+1) のほう (Wolfram Alpha).
# まあちゃんと答えを返すように打たないといけないけど, Wolfram Alpha は
# 結構いい加減な入力でもいいように解釈してくれるので, 適当でもまず打ってみるといいと思います.
## (ちゃんと解釈してくれた場合, テキストコピー機能を使うと, 機械フレンドリな入力構文も教えてくれる)
No.68150 - 2020/07/20(Mon) 17:17:09
☆ Re: 複素関数論 / ast
どちらもあっています. 過程ではなく結果を訊くのならば, 機械に訊いたほうが待たずにわかるので活用して見られては?
参考: cos(x)/(x^2+1) のほう と, sin(x)/(x^2+1) のほう (Wolfram Alpha).
# まあちゃんと答えを返すように打たないといけないけど, Wolfram Alpha は
# 結構いい加減な入力でもいいように解釈してくれるので, 適当でもまず打ってみるといいと思います.
## (ちゃんと解釈してくれた場合, テキストコピー機能を使うと, 機械フレンドリな入力構文も教えてくれる)
No.68150 - 2020/07/20(Mon) 17:17:09
★ 複素関数論 / たか
積分をしてみたら次のようになりました。合っていますでしょうか…しっかり見直しながらやったのですが答えがなくて不安です。お願いします。

∫[-∞→∞]_cosx/(x^2+1)・dx = π/e

∫[-∞→∞]_sinx/(x^2+1)・dx = 0
No.68149 - 2020/07/20(Mon) 16:44:12
☆ Re: 複素関数論 / ast
どちらもあっています. 過程ではなく結果を訊くのならば, 機械に訊いたほうが待たずにわかるので活用して見られては?
参考: cos(x)/(x^2+1) のほう と, sin(x)/(x^2+1) のほう (Wolfram Alpha).
# まあちゃんと答えを返すように打たないといけないけど, Wolfram Alpha は
# 結構いい加減な入力でもいいように解釈してくれるので, 適当でもまず打ってみるといいと思います.
## (ちゃんと解釈してくれた場合, テキストコピー機能を使うと, 機械フレンドリな入力構文も教えてくれる)
No.68150 - 2020/07/20(Mon) 17:17:09
☆ Re: 複素関数論 / ast
どちらもあっています. 過程ではなく結果を訊くのならば, 機械に訊いたほうが待たずにわかるので活用して見られては?
参考: cos(x)/(x^2+1) のほう と, sin(x)/(x^2+1) のほう (Wolfram Alpha).
# まあちゃんと答えを返すように打たないといけないけど, Wolfram Alpha は
# 結構いい加減な入力でもいいように解釈してくれるので, 適当でもまず打ってみるといいと思います.
## (ちゃんと解釈してくれた場合, テキストコピー機能を使うと, 機械フレンドリな入力構文も教えてくれる)
No.68150 - 2020/07/20(Mon) 17:17:09
★ 関数を求める問題 / たきや
A 一般二項係数の上にある問4を教えてください。よろしくお願いします。
No.68147 - 2020/07/20(Mon) 16:29:42
☆ Re: 関数を求める問題 / たきや
一番上にある(5)〜(8)は大丈夫です。
No.68148 - 2020/07/20(Mon) 16:30:50
☆ Re: 関数を求める問題 / ast
4(1): g(x):= 1/(1-x) =?農[n=0,1,2,…] x^n と置けば, 求める函数は x*(x*g'(x))'.
# x/(1-x) =?農[n=1,2,…] x^n から始めても同じ.
No.68151 - 2020/07/20(Mon) 17:37:55
★ 複素関数論 / たか
f(z)=1/(z^2+1)の留数を求めたいのですが1/2iと-1/2iであってますでしょうか。
No.68143 - 2020/07/20(Mon) 15:56:18
☆ Re: 複素関数論 / ast
あっています.
No.68145 - 2020/07/20(Mon) 16:05:12
★ 絶対値のついた関数のグラフの書き方 / すもも
y=|x-1|+|x-2|のグラフを書けという問題なのですが、書けたグラフが画像のような変な形になり不安です。これで合っているのでしょうか？
No.68138 - 2020/07/20(Mon) 14:25:53
☆ Re: 絶対値のついた関数のグラフの書き方 / らすかる
合っていません。y=|x-1|+|x-2|という式から、xの値が決まれば
yの値はただ一つに決まらなければなりませんが、このグラフは
x=0やx=1に対応するyの値が二つありますので、正しくありません。
No.68141 - 2020/07/20(Mon) 15:45:38
☆ Re: 絶対値のついた関数のグラフの書き方 / ast
何でこんなことになったのだろうと少し検討してみましたが, 三種類出てくるはずの直線のうち一つだけ, 消すべき部分と残すべき部分がテレコになってるだけなのですね (変な言い方になるかもしれないが, 見るからに間違っているにも拘らず, だいたいは合っているとも言える).
おそらく場合分けして解こうとされたのだろうと推察されるので, そのうちの一つの場合だけ不等号の向きを間違えたケアレスミス, というようなことではないですか?
No.68144 - 2020/07/20(Mon) 16:00:31
☆ Re: 絶対値のついた関数のグラフの書き方 / すもも
符号ミスしていたみたいです！解答ありがとうございます！
No.68243 - 2020/07/22(Wed) 18:48:32
★ 線形代数 / にんか
Aは　n×n実行列である
(1)ある奇数mがあって、A^m=En(単位行列)であるとき、|A|=1であることを示せ。
(2)tA=-Aであるとする。nが奇数であるとき、|A|=0を示せ。

奇数という条件をどう使えば良いのかわかりません。
よろしくお願い致します。
No.68136 - 2020/07/20(Mon) 11:44:10
☆ Re: 線形代数 / ast
最初から奇数と思わずに単に n は自然数としてまず |A| に関する方程式を作ることを目指すべきです.

(1) は仮定から行列式についても |A^m|=|E_n| が成り立ち, (2) も同様に仮定から |tA|=|-A| です
いずれも |A| に関する等式として書き直せば, m,n が奇数のときと偶数のときとで何が違うのかわかると思います.
No.68139 - 2020/07/20(Mon) 14:54:17
☆ Re: 線形代数 / にんか
無事解くことが出来ました！ありがとうございました。
No.68181 - 2020/07/21(Tue) 09:47:51
★ マクローリン、テイラー級数展開 / 大学生
写真の二問がわかりません。途中式も書いてくれると助かります。よろしくお願いします。
No.68135 - 2020/07/20(Mon) 11:14:22
☆ Re: マクローリン、テイラー級数展開 / ast
実質的には, 公式に出てくる f^(n)(a) (問1 なら (sin(2x))^(n)|_{x=π/2}, 問2 なら (x*cos(x^2))^(n)|_{x=0} を計算せよという計算問題ですから, どんどん微分を計算するだけで終わると思いますが, 具体的には何に詰まっているのでしょうか?

まず無いとは思いますが仮に微分すればいいことすら分からないという段階だとこの問題は早すぎるというしかなくなりますし. ありそうな話としては, 一階とか二階の導函数なら計算できるが一般の高階導函数になるとどう表していいか分からないというような意図のご質問でしょうか?
# 三角函数の微分だと数回でパターンを繰り返すようなのがよく出てくるので
# 一般的な表示というのを希求しなくてもあっさり解けることは多いです.
具体的な解説をするにはもっと具体的な疑問点の開示が必要だと思います.

なお, 問2 は公式通りに高階微分係数を求めてももちろん解けますが, 実際には公式通りに計算する必要はなくて cos(x) のマクローリン展開が分かっていれば, 変数に x^2 を放り込んで x を掛けるだけだと思います.
No.68140 - 2020/07/20(Mon) 15:08:06
☆ Re: マクローリン、テイラー級数展開 / 大学生
マクローリン展開は解けました。テイラー級数展開が解けません。写真のように微分して0を代入するところまでいけたのですが、その先が分かりません。
No.68153 - 2020/07/20(Mon) 18:01:09
☆ Re: マクローリン、テイラー級数展開 / ast
> 微分して
微分は問題なさそうですね. しかし,
> 0を代入するところ
x=π/2 における展開なので 0 を代入してもまったく意味がないですね, 展開の n-次の項が f^(n)(π/2)(x-π/2)^n/n! であることをしっかり確認しながら進めてください.
No.68159 - 2020/07/20(Mon) 18:26:36
★ 積分と証明です / つるの
すみません、画像に載ってる問題が分かりません。可能であれば、計算問題は過程も教えていただきたいです。
No.68132 - 2020/07/20(Mon) 01:19:55
☆ Re: 積分と証明です / つるの
(1)は解決しました。
No.68170 - 2020/07/20(Mon) 23:44:15
☆ Re: 積分と証明です / GM
（２）はlogxのx乗ではなくn乗ではないですか？
また（３）はΣを用いた答になりませんか？
No.68244 - 2020/07/22(Wed) 19:35:59
☆ Re: 積分と証明です / つるの
すみません、その通りです。間違えてしまいました。
No.68274 - 2020/07/23(Thu) 16:51:49
★ 大学生の線形代数 / やま
大学2回生です。ファイルの写真の(5)のa.bどちらもわかりません。どなたか解答を与えて頂けると助かります。
No.68130 - 2020/07/20(Mon) 00:34:05
☆ Re: 大学生の線形代数 / ast
5(a): 固有値 λ とそれに属する固有ベクトル x をとれば, 任意の自然数 k に対して A^kx=λ^kx だから前半は明らか. 後半は A^n≠O ならば非零ベクトル x で A^nx≠0 なるものがとれるが, このとき n+1 個のベクトル x, Ax, …, A^nx は (いずれも零ベクトルでなく, かつ) 一次独立となり矛盾.

5(b)は 5(a) から A^2=O なので (A≠I_2 (2-次単位行列)に注意すれば) ハミルトン・ケーリーからすぐに出る.
No.68142 - 2020/07/20(Mon) 15:51:43
★ 整数問題 / うわ
(m,n)=(2,3)は分かるのですが、それ以外の解がないことが示せません。教えてください。
No.68128 - 2020/07/19(Sun) 21:41:51
★ 中間値の定理？ / meow
どのように証明すればよいのかまったくわかりません．
No.68117 - 2020/07/19(Sun) 17:34:50
☆ Re: 中間値の定理？ / IT
もっとストレートな方法があるかも知れませんが、定積分を使ってみました。

b,c ∈(0,a) ,b＜c とする。
f(0)=0 なので､
　f(b)/b=∫[0,b]f'(t)dt/b, f(c)/c=∫[0,c]f'(t)dt/c

f''(x)＞0なので　f'(x)は狭義単調増加
したがって
　x ∈(0,b)でf'(x)＜f'(b) よって ∫[0,b]f'(t)dt＜bf'(b)
　x ∈(b,c)でf'(b)＜f'(x) よって ∫[b,c]f'(t)dt＞(c-b)f'(b)
等号が成り立たないことを示すには、もう少し厳密な議論が要るかも。
∴∫[b,c]f'(t)dt＞(c-b)∫[0,b]f'(t)dt/b

f(c)＝∫[0,b]f'(t)dt+∫[b,c]f'(t)dt
＞∫[0,b]f'(t)dt+(c-b)∫[0,b]f'(t)dt/b
＝(c/b)∫[0,b]f'(t)dt
＝(c/b)f(b)

∴f(c)/c＞f(b)/b
No.68120 - 2020/07/19(Sun) 18:30:53
☆ Re: 中間値の定理？ / IT
ほとんど同じことですが、「定積分の平均値の定理」　を使えば良いですね。

普通の「平均値の定理」でも出来るかも。
No.68121 - 2020/07/19(Sun) 19:06:46
☆ Re: 中間値の定理？ / ast
f(x) を 0 のまわりで (剰余項が 2-階導函数で書けるところまで) テイラー展開すると, f(0)=0 だから f(x)/x = f'(0)+f''(c(x))x/2 (0< c(x)< x) のような形になり, (c(x) は x に依存して変化するので一次式なわけではないが) 各点 x において瞬間の傾き f''(c(x)) は仮定により正なので単調増大であることは十分保証できる, というのはどうでしょうか.
No.68122 - 2020/07/19(Sun) 19:22:46
☆ Re: 中間値の定理？ / IT
普通の平均値の定理で簡単に言えますね。b,c は前記のとおりとします。途中、はしょってますので、埋めてください。
平均値の定理とf"(x)＞0,f(0)=0から、
　f(b)/b=(f(b)-f(0))/(b-0)＝f'(β)＜f'(γ)＝(f(c)-f(b))/(c-b), 　（0＜β＜b＜γ＜c）
通分して整理　cf(b)＜bf(c) ∴ f(b)/b＜f(c)/c
No.68123 - 2020/07/19(Sun) 19:29:49
☆ Re: 中間値の定理？ / 黄桃
昔聞いた方法を紹介します。
以下の(*)は、今の高校数学ではf’’(x)>0からいえるといっていいかどうかわからないですが参考まで。
0<b<cO(0,0), B(b,f(b)),C(c,f(c))
とおきます。示すべきことは、f(b)/b<f(c)/c　です。

f’’(x)>0 とは、f(x)が下に凸ということ。
f(x)が下に凸ということは、O,Cを除く線分OC上の点はy=f(x)より上にあるということ(*)。
つまり、直線OCより下にBがあるということ。したがって、OBの傾きの方がOCの傾きより小さいということ。
これを式でかけば、f(0)=0より、
f(b)/b<f(c)/c
となります。

＃入試問題としてまじめにやるならITさんのように(OBの傾き)<(BCの傾き)を平均値の定理を使って示すのでしょう。
No.68127 - 2020/07/19(Sun) 20:43:33
☆ Re: 中間値の定理？ / meow
皆さん回答ありがとうございます．
マクローリン展開する方法はまったくもって予想外でした．
平均値の定理がいちばん簡潔なのかな？とも思いました．
もう一度確認し，解いてみようと思います．
ITさん，astさん，黄桃さん．ありがとうございました．
No.68129 - 2020/07/20(Mon) 00:26:53
★ 場合の数 / リー
A-Dに行く行き方は何通りあるか？
ただし途中でAには戻れない。
No.68113 - 2020/07/19(Sun) 16:08:05
☆ Re: 場合の数 / リー
この問題の解き方がわかりません。よろしくお願いいたします。
No.68115 - 2020/07/19(Sun) 16:09:33
☆ Re: 場合の数 / IT
A-B間など各区間の経路が１通りだとして、

A-Dに行く行き方を　すべて書いてください。
No.68116 - 2020/07/19(Sun) 17:14:49
★ 場合の数 / リー
8種類のジュースと3種類の缶から、ジュースとかんをそれぞれ1種類づつ選ぶときの選び方は何通り？
No.68112 - 2020/07/19(Sun) 16:06:26
☆ Re: 場合の数 / リー
この問題の解き方がわかりません。詳しい解説よろしくお願いいたします。
No.68114 - 2020/07/19(Sun) 16:08:54
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
８×３＝２４
２４通り
No.68119 - 2020/07/19(Sun) 18:06:32
★ 中学の復習問題 / 数学不得意高１
答え（1）２００　㎠　（2）∠ＰＡＢ≦　∠ＡＰＢ　図形が苦手でわかりません。詳しい解説よろしくお願いいたします。
No.68111 - 2020/07/19(Sun) 15:19:59
☆ Re: 中学の復習問題 / X
(1)
説明)
条件から、図において
AB//EF
EF//CD
となるので
AB//CD
よって点Pの辺CD上での位置によらず
△ABPの面積は一定です。

面積について)
よって△ABPの面積は△ABCの面積に
等しくなっています。
後は△BECに三平方の定理を適用して
BCの長さを求めます。

(2)
(1)の面積の計算過程から
BP≦BC≦AB
(注:これは(1)でBCの長さを自分で計算した上で
その数値を用いて大小比較して下さい。)
よって△ABPの辺に対応する角を考えて
∠PAB≦∠APB
No.68124 - 2020/07/19(Sun) 20:14:47
☆ Re: 中学の復習問題 / ヨッシー
折った状態では、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝20cm なので、
四角形ＡＢＣＤは正方形となり、点ＰがＣＤ上を動くとき
図のような状態になります。

よって、△ＡＢＰは面積が一定で、面積は
　底辺（ＡＢ）×高さ÷２
で求められます。


図において、ＡＢ＝ＢＣ＝20cm、ＢＥ＝10√2cm であり、△ＡＰＢの形は、点Ｐが
ＣとＥの間（両端を含む）にあるときの図での△ＡＢＰの形と
一致します。
点Ｐが点Ｃの位置にあるとき、△ＡＢＣは直角二等辺三角形なので、
　∠ＰＡＢ＝∠ＡＰＢ＝45°
それ以外のときは、
　∠ＰＡＢ＜45°　
で必然的に
　∠ＡＰＢ＞45°
以上より
　∠ＰＡＢ≦∠ＡＰＢ　（等号は点Ｐが点Ｃの位置にあるとき）
No.68126 - 2020/07/19(Sun) 20:40:17
☆ Re: 中学の復習問題 / 数学不得意高１
詳しい解説ありがとうございました。
No.68179 - 2020/07/21(Tue) 06:45:08
★ 指数関数 数2 / しいき
指数関数について質問です。
解答を見ると、いきなりルートにするのではなく、式を簡単にしてからルートにしています。
いきなりルートにするのはいけないのでしょうか？？
また、どちらでも大丈夫な場合、いきなりルートにする解き方を知りたいです。
No.68110 - 2020/07/19(Sun) 12:57:39
☆ Re: 指数関数 数2 / ヨッシー

こういう変形がすらすら出来るようなら、最初から√にしても良いです。
なぜ、こうなるの？というレベルなら、指数のまま変形する練習を
もう少し重ねる必要があります。

いきなり√のやり方はこうです。

No.68118 - 2020/07/19(Sun) 17:59:17
★ (No Subject) / マシュマロ
[0] V* の元 f,g に対して,
[0-i] 一次結合 αf+βg (α,β はスカラー) とはどのように定義された写像か答えよ
[0-ii] また, この一次結合が線型写像であることを示せ
[0-iii(a)]
f が写像として 0 に等しい (これを f=0 あるいは f≡0 と書きます) とはどういうことか定義を書け
[0-iii(b)] 等式 αf+βg=0 が成り立つとはどういう意味かわかりやすく書け (定義域の元 v∈V における値 f(v), g(v) の言葉で述べよ)
という問題の解答を教えてください。

教科書等を見ても明確な答えがわからなかったので教えてください。
No.68104 - 2020/07/19(Sun) 11:08:54
☆ Re: / IT
前の質問の続きとは思いますが、あらためて質問されるなら
前提条件をすべて書かれる必要があります。

V* からして　何のことか分りません。

主な教科書は、何ですか？
[0-ii] は、「線型写像」の定義が分っていれば容易だと思いますが？「線型写像」の定義はどう書いてありますか？
No.68107 - 2020/07/19(Sun) 11:28:12
☆ Re: / マシュマロ
V*は双対空間のことですが、双対空間はまだ未習です。
双対空間のことにいろいろ調べたのですが、あまり調べても出てきませんでした。基本的な定義は線形写像と同じでいいのでしょうか。
No.68108 - 2020/07/19(Sun) 11:39:15
☆ Re: / ast
# まあこのまま放っておくのも何なので, 少し書きます.
こちらから答えを書かない (つまり定義は提示しない) 理由を既に説明したつもりですが, このような質問をされるということはあまり通じていないのでしょうね. [0] は質問者の使っている教科書がどのような定義を採用しているか提示してくれというものなので, 回答者が教えるのはそもそも不可能です (質問者の教科書をネットワーク越しに見ることができるなら別ですが). それに問題文も改変されて一部意味・趣旨も変わってしまっていますね.
# 例えば, iii(b) は「わかりやすく書け」に改変されているが, もとの文は写像の相等の定義通りに
# という意図です (iii(a),(b) と並行な番号にしたのはそういう意図を示唆してのもの).
# (そして, 写像の相等は値の言葉で定義されているはずだから, 値の言葉で書けと補記した).

定義をこちらから提示しない理由をもう少し書いておきますが, もし図書館などへ行って同分野の複数の教科書を見比べる機会が作れるなら, 一度くらいは読み比べをしてみて欲しいのですけれど, 同じ概念を定義するのでも定義には複数の流儀があることが多々あることを実感して欲しいです. それは例えば細かな表現や用いる記号あるいは単純に述べ方のスタイルがちょっと違う程度の場合もあれば, 見た目も何もかも全然違うものだったりすることもあります.
前者では見た目はほんのちょっとの違いと思っても論理的には全然異なる (大体は同じだったとしても例外などの末節に近い部分などを見ると割と顕著に違ってきたりする) という場合がしばしばあるし, 後者でも論理的には同値だから文脈によって使いやすい定義の仕方を選んでるというパターンは少なくない (同じことを示すのでも楽に述べられるとか整理がしやすいとかで, それぞれの仕方に一長一短あることが多い. なので「よくある定義の仕方でいいから」って言われてもそういうのですら何種類もあって区別ができないというのもザラ), そういった理由で定義のすり合わせをしないと話が合わないということがよくある (ある定義に基づいて説明したけど, 定義を確認したら違ってて, 結局最初から全部説明し直さないといけなくなったみたいなのは回答者も質問者も得しないから避けたい).

結局, 定義の違いから生じる違いを自分で修正するように求めるのと, 自分 (の学習に使っている本) が採用している定義を提示してもらうのと, 質問者にとってどっちが酷ですか, という話なわけです.

何にしても, 数学のどんな議論も定義から順番に積み重ねられるものなので, 何を調べたのか分からないが定義も知らないという状態からは何の話も始まりません. 問題に取り組むなら, 必要最低限の前提として定義を把握することは済ませてからにして欲しいと思います.

仮にもし, 本当に何も知らない状態から懇切丁寧に全部教えるようなことがもし想定されているのであれば, それはお金払って教師を雇って行うような内容です. 少なくとも掲示板はユーザー同士の互助スペースでしかないので, 質問者側にも質問者なりの努力や工夫はしてもらわなければなりません.

> 教科書等を見ても明確な答えがわからなかった
この書き方だと定義が載ってたのか載ってなかったのかすらわからない曖昧な応答ですけど, その教科書は定義を定義と明記せずに記載するような本なのですか?
> 基本的な定義は線形写像と同じでいいのでしょうか。
何の「基本的な定義」が「線形写像 (の何) と同じ」とお尋ねですか?

細かいところではあるのでしょうけれど, こういった文章の曖昧な読み取り/曖昧な表現をしていることが「見ても分からなかった」「調べてもあまり出てこなかった」に繋がっているのではないかと感じます.
# まあ知りもしない概念に関する問題を解こうとするという, 好奇心の誤った使い方が
# 一番の原因ではあるでしょうけども.
No.68207 - 2020/07/21(Tue) 20:33:31
★ (No Subject) / 梅雨
実数m,nは1≦n≦m-3,n≠(m/2)-1を満たすものとする。

この時mとn＋1が互いに素であるとすると
n＋1,2(n＋1),3(n＋1),…m(n＋1)をmで割った余りはすべて異なる…らしいんですけどなんですべて余りが異なるってわかるんでしょうか？解説よろしくお願いします。
No.68099 - 2020/07/19(Sun) 01:35:20
☆ Re: / IT
互いに素というからには、整数m,n ですよね？

1≦i＜j≦m について
　i(n+1)をmで割った余りと、ｊ(n+1)をmで割った余りと　 が　等しい。とするとどうなりますか？
No.68100 - 2020/07/19(Sun) 01:53:43
☆ Re: / 梅雨
i(n+1)=mQ＋R，ｊ(n+1)=mq＋rとあらわすと
mはi(n+1)=mQ＋Rからm=[i(n＋1)-R]/sと表すことができる。だからj(n＋1)=mq＋rにこれを代入すると
j(n＋1)=i(n＋1)＋r-Rと表せる。
もしr＝Rであればr−R=0になるがj≠iよりj(n＋1)≠i(n＋1)が常に成り立つ。よってr≠R
ってことですかね？それとももっと簡単にr≠Rって言えるんですかね？解説の文の
「mとn＋1が互いに素であるとすると
n＋1,2(n＋1),3(n＋1),…m(n＋1)をmで割った余りはすべて異なる」
って簡単な文からだといちいちこんな風に(上で行った私の証明）なんかいちいちしなくたってわかるでしょ(やり方あっているかはわからないですが）っていう印象を受けてしまうんですが…。それともこれって数学の一般常識で単に私が知らないだけなのでしょうか？すみません…数学苦手だからもしかしたら私が単に知らないだけなのかも…
No.68101 - 2020/07/19(Sun) 09:06:16
☆ Re: / IT
> 解説の文の
「mとn＋1が互いに素であるとすると
n＋1,2(n＋1),3(n＋1),…m(n＋1)をmで割った余りはすべて異なる」って簡単な文から・・・
それは、どういうレベルの何という書籍ですか？
書籍や問題のレベルによっては、（比較的）簡単なことは、既知の事実として使う,あるいは読者に行間を埋めさせる　と思います。

> 数学の一般常識で・・・
「数学の一般常識」のようなものは、ないと思います。学習や研究の分野やレベルは様々ですから。
No.68103 - 2020/07/19(Sun) 09:26:23
☆ Re: / 梅雨
これ2021年度版大学入学共通テストの予想問題集に載っていた問題の解説の一部を切り取った部分なんですが元々の問題は

mと5以上の整数とする。次の手順に従って正m角形A1,A2,A3…Amの頂点を順に線分で結ぶことを考える。ここで正ｍ角形の頂点は半時計周りにA1,A2…Amの順に並ぶものとする

手順
(1)はじめ点A1を結ぶ
(2)選んだ頂点から反時計回りにn個おきに頂点を結ぶ。選ばれた順に頂点の間の線分を結ぶ。ただし1≦ｎ≦ｍ−３,
n≠(m/2)−1とする
(3)一度通った頂点に再び到達した場合一度も通っていない頂点があればそれらのうち一つを選んだうえで再度(2)に従って頂点の間を線分で結ぶ。一度も通っていない頂点がなければその時点でやめる。

例えばm=6,n=1の時(ii)よりA1,A3,A5,A1の順に頂点の間を線分結ぶことができる。ここで点A1に再び到達したがこれまでに点A2は一度も通っていないので(2)に従ってA2,A4,A6,A2の順に頂点の間を線分で結ぶ

この手順にしたがつて頂点の間を線分で結んだときにできる図形は次の3パターンに分類することができる

Aパターン 星形正多角形
Bパターン 2つ以上の正多角形が重なった図形
Cパターン 2つ以上の星型背板学系が重なった図形

なお星形正多角形とは正多角形の辺を延ばしてできる図形のうち2つ以上の正多角形が重なった図形以外のことをいう。

(1)(i)m=10,n=1の時できる図形は何パターンか
m＝10，n=2の時できる図形は何パターンは

(ii)Aパターンになるのはn=ウ，エの時でありどちらの場合も星型正十角形ができる。この時オ(⓪n＋1はmの約数　?@n＋1はmの倍数 ?An＋1とｍは互いに素，?Bn＋1とm-n-1のうち少なくとも一方がｍの約数）

の(1)の(ii)のオの解説のところで
＜mとn＋1が互いに素であるとき，mとn＋1が互いに素であるとすると
n＋1,2(n＋1),3(n＋1),…m(n＋1)をmで割った余りはすべて異なる＞。よってA1から数えて反時計回りにn＋1個目，2(n＋1)個目，…ｍ(n＋1)個目の頂点はすべて異なるからこの時星型正m角形ができる。すなわちAパターンとなる。
という解説の＜　　＞のところがわからなくて質問したんです。問題と解いていったら自然に自然に気付かせるようになっているように思えないのに解説文見たら＜　　＞の部分がさも既知事実みたいに出てきて困っているんです。(ところで私が示したr≠Rの証明ってあっているんでしょうか？）
No.68105 - 2020/07/19(Sun) 11:13:29
☆ Re: / 梅雨

ii)Aパターンになるのはn=ウ，エの時でありどちらの場合も星型正十角形ができる。この時AパターンになるのはオでBパターンになるのはカである。

オとカの選択肢(⓪n＋1はmの約数　?@n＋1はmの倍数 ?An＋1とｍは互いに素，?Bn＋1とm-n-1のうち少なくとも一方がｍの約数）
No.68106 - 2020/07/19(Sun) 11:16:33
☆ Re: / IT
＞解説文見たら＜　　＞の部分がさも既知事実みたいに出てきて困っているんです。

　手持ちの数研出版の教科書「高等学校数学A」では、例題・練習問題等にその事実は出てきませんので、大学入試で既知として使うのは危険ですね。
　証明は容易ですから、この問題のような応用問題の中では、証明を省略して使うことはありえるかも知れませんが、
＞ところで私が示したr≠Rの証明ってあっているんでしょうか？）
>i(n+1)=mQ＋R，ｊ(n+1)=mq＋rとあらわすと
>mはi(n+1)=mQ＋Rからm=[i(n＋1)-R]/sと表すことができる。
# sとは何ですか？
# sはQの入力ミスだとしても、Q=0のとき､ダメですね｡
# Q≠0として、進めても
> だからj(n＋1)=mq＋rにこれを代入すると
> j(n＋1)=i(n＋1)＋r-Rと表せる。
どうやってこうなりますか？

（証明例)
1≦i＜j≦m について
i(n+1)をmで割った余りとｊ(n+1)をmで割った余りが等しくr だったとする｡
i(n+1)=mQ＋r，ｊ(n+1)=mq＋rとあらわせる。
差をとると(j-i)(n+1)=m(q-Q)
n+1 はmと互いに素なので、j-i はmの倍数。
0＜j-i＜m なので矛盾。

(証明例２）
1≦i≦j≦m について
i(n+1)をmで割った余りとｊ(n+1)をmで割った余りが等しいならば
　j(n+1)-i(n+1)＝(j-i)(n+1) はmで割り切れる。
　n+1 はmと互いに素なので、j-i はmの倍数。
　よってj-i=0
従ってiとjが異なるならばi(n+1)をmで割った余りとｊ(n+1)をmで割った余りは、互いに異なる。
No.68109 - 2020/07/19(Sun) 12:16:55
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