a,bを実数の定数とする。xの方程式 x³+(1-a)x² +3x+b=0 ･･･(*) はx=-1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表わせ。
(2)a=1のとき、(*)を解け。
(3)(*)が異なる3個の実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ
(4)(3)のとき、(*)の-1以外の解をα、βとする。
f(x)=x² +cx+d(c,dは実数の定数) が次の【条件】を満たすとき、c,dの値の組（c,d）を求めよ。
【条件】
f(α)=1/β
f(β)=1/α
f(-1)=-1
この問題の，(4)の解法と答えを教えて頂きたいです。
宜しくお願い致します。
|
No.68373 - 2020/07/25(Sat) 20:31:33
| ☆ Re: 数学II 複素数と方程式の解法について / X | | | (1)の結果から(*)は
(x+1)(x^2-ax+a+3)=0
∴α、βはxの二次方程式
x^2-ax+a+3=0
の解。よって解と係数の関係から
α+β=a (A)
αβ=a+3 (B)
一方、
f(α)=1/β
f(β)=1/α
f(-1)=-1
により
α^2+cα+d=1/β (C)
β^2+cβ+d=1/α (D)
1-c+d=-1 (E)
(A)(B)(C)(D)(E)を
a,c,d,α,βについての
連立方程式として解きます。
(C)+(D)に(A)(B)を代入すると
a^2-2(a+3)+ca+2d=a/(a+3) (F)
一方(E)より
c-d=2 (E)'
(F)+(E)'×2より
a^2-2(a+3)+c(a+2)=a/(a+3)+4 (F)'
一方、(C)-(D)より
(α-β){(α+β)+c-1/(αβ)}=0
条件からα≠βゆえ
(α+β)+c-1/(αβ)=0
これに(A)(B)を代入すると
c=-a+1/(a+3) (G)
(G)を(F)'に代入して
a^2-2(a+3)+(a+2){-a+1/(a+3)}=a/(a+3)+4
これより
a^2-2(a+3)-a(a+2)=-2/(a+3)+4
-4a-6=-2/(a+3)+4
-4a=-2/(a+3)+10
-4a(a+3)=-2+10(a+3)
4a^2+22a+28=0
2a^2+11a+14=0
(2a+7)(a+2)=0
∴(3)の結果から
a=-7/2
これと(E)'(F)'により
(c,d)=…
|
No.68376 - 2020/07/25(Sat) 21:35:35 |
| ☆ Re: 数学II 複素数と方程式の解法について / IT | | | （別解）
α,βは,x^2-ax+a+3=0の２解…?@でα+β＝a…?A、αβ=a+3…?B
f(-1)=-1よりd=c-2
f(α)=α^2+cα+c-2 ?@よりα^2=aα-a-3なので
＝(a+c)α+(c-a-5)
f(α)=1/βよりf(α)β＝1
∴(a+c)αβ+(c-a-5)β＝1…?C
同様に(a+c)αβ+(c-a-5)α＝1…?D
?Cｰ?D (α-β)(c-a-5)=0
α≠βなのでc-a-5=0∴c=a+5
これと?C?Bから(2a+5)(a+3)=1
これを解くとa=-7/2,-2 で-2は不適なので a=-7/2 ････
|
No.68377 - 2020/07/25(Sat) 21:44:20 |
| ☆ Re: 数学II 複素数と方程式の解法について / X | | | >>ITさんへ
ごめんなさい。私の方の計算が途中で間違っていました。
>>akiさんへ
ごめんなさい。No.68376で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
|
No.68380 - 2020/07/25(Sat) 22:03:20 |
| ☆ Re: 数学II 複素数と方程式の解法について / aki | | | お二人とも非常にわかり易く，理解することができました。
ありがとうございました！
|
No.68393 - 2020/07/26(Sun) 10:44:02 |
|
