ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 大2 / 寺田

お願いします
k 時点の株価を Sk と表す。このとき、Sk+1 は確率 0.4 で 1.15Sk となり、確率 0.6 で 0.9Sk となるとする。但し、どちらの状態になるかは S0, S1, · · · , Sk とは独立に決まるものとする。S0 = 100 のとき、S100 ≥ 110 となる確率 P {S100 ≥ 110} を求めたい。
1. 2 項分布を利用して P {S100 ≥ 110} を求めなさい。
2. 2項分布の正規近似を利用してP{S100 ≥110}を求めなさい。

No.67963 - 2020/07/15(Wed) 17:14:02

☆ Re: 大2 / X

方針を。

1
100時点までにl回株価が上がったとすると
題意を満たすlについて
(1.15^l){0.9^(100-l)}≧1.1
これより
(23/18)^l≧1.1/0.9^100
llog[10](23/18)≧log[10](1.1/0.9^100)
l≧{log[10](1.1/0.9^100)}/log[10](23/18) (A)
(A)を満たす最小のlをl[0]とすると
P[S[100]≧110]=Σ[k=l[0]～100](100Ck)(0.4^k){0,6^(100-k)}
=…

(注:
表計算ソフトなどでの数値計算が必須です。
手計算での数値計算が大変であることを知るための
演習問題でしょうか。)

2
a[k]=(1.15^k){0.9(100-k)}(k=0,…,100)
とすると、条件からS[100]=a[k]となる
確率である
P[k] (B)
は二項分布B[100,0.4]に従います。
よって中心極限定理により、(B)は
正規分布N[100・0.4,√(100・0.4・0.6)]
に近似的に従うので、この分布に対する
確率変数をXとすると
P[S[100]≧110]=P[l[0]≦X≦100]
後はXを正規化して確率を計算します。

No.67973 - 2020/07/15(Wed) 18:57:59

☆ Re: 大2 / 寺田

すみません、1問目の計算式に出てくるCkとは何のことでしょうか。

No.68030 - 2020/07/16(Thu) 22:19:54

☆ Re: 大2 / X

組み合わせのことです。
Ck
ではなくて
100Ck
を一まとめにご覧下さい。

この説明を見た上で数式を見ても
意味が分からないのであれば
以下のサイトを参照してみて下さい。

https://mathtrain.jp/hanpukushikou

No.68045 - 2020/07/17(Fri) 18:56:08

★ (No Subject) / ゆき

赤線の式変形が分かりません…。bnに(-1)^nをかけるとどうしてこうなるのかを詳しく教えて頂きたいです。
指数のところや、マイナスが無いはずなのに{}内がマイナスがかかったかのように数字が逆転してるのも不明です

No.67961 - 2020/07/15(Wed) 16:50:41

☆ Re: / ast

(-1)^n=(-1)^(n-1)×(-1) だから,
　　(-1)^nb[n]=(-1)^(n-1)×(-b[n])
　　=(-1)^(n-1)((1/3)((-2)^(n-1)-1))
　　=(1/3)((-1)^(n-1)×(-2)^(n-1)-1×(-1)^(n-1))
　　=(1/3)(((-1)×(-2))^(n-1)-(-1)^(n-1))
　　=(1/3)(2^(n-1)-(-1)^(n-1)).
ということで
> {}内がマイナスがかかったかのように数字が逆転
実際にマイナスが一個掛かったから逆転したということですね. なので, 残りは n-1 乗です.

No.67966 - 2020/07/15(Wed) 17:58:00

☆ Re: / ゆき

返信遅くなってごめんなさい！
なるほど！とてもよく分かりました！！
(-1)^n=(-1)^(n-1)×(-1)が肝だったんですね！
これからはそのままかけるのではなく他に指数のある数を見て指数を合わせてみるという事を心掛けるようにしたいと思います！

No.67999 - 2020/07/16(Thu) 00:53:12

★ 数列の問題です / Mai

【1】数列a[n]は等差数列で、その公差は0ではない。a[1]=1, 数列a[2], a[5], a[10]は等比数列になっている。このとき、数列a[n]の第50項までの和を求めよ。
【2】群数列　2|2・2^2, 3・2^3|4・2^4, 5・2^5, 6・2^6|…
　　(1) 100・2^100は第何群の何項か。
　　(2) 第n群の末項を求めよ。
　　(3) 第n群の末項までに現れるすべての項の和を求めよ。
【3】a[1]=2, a[2]=5, a[n+2]=(7a[n+1]-3 a[n])/2 (n=1,2,3,……)を満たす数列a[n]の一般項を求めよ。

よろしくお願いします。

No.67959 - 2020/07/15(Wed) 16:11:15

☆ Re: 数列の問題です / ヨッシー

【1】
公差をｄとすると、
　a[2]＝1＋d, a[5]＝1＋4d, a[10]＝1＋9d
これらがこの順に等比数列になるのは、
　(1＋4d)^2＝(1＋d)(1＋9d)
のとき。これを解いて　(中略)
　Ｓ＝a[1]＋a[2]＋・・・＋a[50]
とおくと、
　Ｓ＝50(a[1]＋a[50])/2
　　＝25{1＋(1＋49d)}
　　＝50＋1225d
これに、上で求めたｄを代入して、(以下略)

【2】(1)
数列としての第ｎ項 a[n] は　ｎ・2^n です。
各群の項数は順に　１，２，３・・・　です。
100・2^100 はa[100] なので、
　１＋２＋３＋・・・１３＝９１
より第13群の末項が a[91]。a[100] は第14群の第9項となります。
(2)
１＋２＋３＋・・・ｎ＝n(n+1)/2
より、第ｎ群の末項は a[n(n+1)/2] であるので、
　{n(n+1)/2}・2^{n(n+1)/2}
(3)
　Ｓ＝1・2^1＋2・2^2＋3・2^3＋・・・＋(n-1)2^(n-1)＋n・2^n　・・・(i)
と置きます。
　2S＝　　　　1・2^2＋2・2^3＋3・2^4＋・・・・・・＋(n-1)2^n＋n・2^(n+1)　・・・(ii)
(i)－(ii) より
　-S＝2^1＋2^2＋3^3＋・・・・＋2^n－n・2^(n+1)
　　＝2^(n+1)－2－n・2^(n+1)
　　＝(1-n)2^(n+1)－2
よって、
　Ｓ＝(n-1)2^(n+1)＋2
このｎをn(n+1)/2 に置き換えると、(以下略)

【3】
　a[n+2]=(7a[n+1]-3a[n])/2
を変形して
　a[n+2]－3a[n+1]＝(1/2)(a[n+1]－3a[n])
　b[n]＝a[n+1]－3a[n]
とおくと
　b[n+1]＝(1/2)b[n],　b[1]＝a[2]－3a[1]＝-1
よって、b[n] は初項 -1,公比 1/2 の等比数列なので、
　b[n]＝－(1/2)^(n-1)
つまり、
　a[n+1]－3a[n]＝－(1/2)^(n-1)
これを変形して
　a[n+1]－(4/5)(1/2)^(n+1)＝3{a[n]－(4/5)(1/2)^n}
　c[n]＝a[n]－(4/5)(1/2)^n
とおくと、
　c[n+1]＝3c[n],　c[1]＝8/5
よって、c[n] は初項 8/5, 公比 3 の等比数列なので、
　c[n]＝(8/5)3^(n-1)
　a[n]＝c[n]＋(4/5)(1/2)^n＝(8/5)3^(n-1)＋(4/5)(1/2)^n

No.67965 - 2020/07/15(Wed) 17:56:58

☆ Re: 数列の問題です / Mai

ありがとうございました。

No.67977 - 2020/07/15(Wed) 19:25:36

★ 微分方程式 / amano

解き方が全く分かりません
数学がだいぶ苦手なので出来れば
途中式を詳しくしていただけると幸いです

No.67956 - 2020/07/15(Wed) 12:54:31

☆ Re: 微分方程式 / 関数電卓

x(t)＝(x(t),y(t)) として dx/dt＝Ax を成分表示すると
　dx/dt＝e^t･y …(1)　 dy/dt＝e^t･x …(2)
(1)(2)より
　(d/dt)(x＋y)＝e^t･(x＋y) …(3)
　(d/dt)(x－y)＝－e^t･(x－y) …(4)
(3)(4)を解いて，
　x＋y＝C'e^(e^t), x－y＝D'e^(－e^t)　(C',D' は任意定数)
　∴ x(t)＝Ce^(e^t)＋De^(－e^t), y(t)＝Ce^(e^t)－De^(－e^t)　(C＝C'/2, D＝D'/2 は任意定数)

＃問題一見の直観とはだいぶ違った答えなのでやや戸惑っているのですが，間違っていたらごめんなさい。

No.67962 - 2020/07/15(Wed) 17:06:50

★ (No Subject) / ぽんす

この問題の答えが知りたいです。
私の計算では
(-1/4α+7/4b-3/4c)V1+(-1/4α+5/4b+1/4c)V2+(3/4α+
1/4b+1/4c)V3=aとなったのですがあっていますでしょうか

No.67942 - 2020/07/15(Wed) 00:39:00

☆ Re: / ヨッシー

(-1/4a+7/4b-3/4c)+(-1/4a+5/4b+1/4c)+2(3/4a+1/4b+1/4c)=a
(-1/4a+7/4b-3/4c)+2(-1/4a+5/4b+1/4c)+(3/4a+1/4b+1/4c)=b
2(-1/4a+7/4b-3/4c)+(-1/4a+5/4b+1/4c)+(3/4a+1/4b+1/4c)=c
となれば正解ですが、どうも、そうならないようです。

係数に 1/4 が出てくるのは合っています。

No.67946 - 2020/07/15(Wed) 09:07:42

☆ Re: / ast

こうなるみたいです. (こっちのほうが見やすいかな?)
# 行列やベクトルの一貫した記法が獲得できるのが線型代数の魅力ですが,
# こういう問題自体は言ってしまうと中学レベルの連立一次方程式の問題でしかないので,
# 間違いもケアレスミス程度でしょうから, 計算は計算機まかせで一向に問題ないと思います.

No.67947 - 2020/07/15(Wed) 09:09:24

☆ Re: / ぽんす

> (-1/4a+7/4b-3/4c)+(-1/4a+5/4b+1/4c)+2(3/4a+1/4b+1/4c)=a
> (-1/4a+7/4b-3/4c)+2(-1/4a+5/4b+1/4c)+(3/4a+1/4b+1/4c)=b
> 2(-1/4a+7/4b-3/4c)+(-1/4a+5/4b+1/4c)+(3/4a+1/4b+1/4c)=c
> となれば正解ですが、どうも、そうならないようです。
>
> 係数に 1/4 が出てくるのは合っています。
ありがとうございます。私の計算ミスでした

No.67949 - 2020/07/15(Wed) 09:50:34

☆ Re: / ぽんす

> こうなるみたいです. (こっちのほうが見やすいかな?)
> # 行列やベクトルの一貫した記法が獲得できるのが線型代数の魅力ですが,
> # こういう問題自体は言ってしまうと中学レベルの連立一次方程式の問題でしかないので,
> # 間違いもケアレスミス程度でしょうから, 計算は計算機まかせで一向に問題ないと思います.
私の計算ではミスでした。ありがとうございます

No.67950 - 2020/07/15(Wed) 09:51:20

☆ Re: / ぽんす

> (-1/4a+7/4b-3/4c)+(-1/4a+5/4b+1/4c)+2(3/4a+1/4b+1/4c)=a
> (-1/4a+7/4b-3/4c)+2(-1/4a+5/4b+1/4c)+(3/4a+1/4b+1/4c)=b
> 2(-1/4a+7/4b-3/4c)+(-1/4a+5/4b+1/4c)+(3/4a+1/4b+1/4c)=c
> となれば正解ですが、どうも、そうならないようです。
>
> 係数に 1/4 が出てくるのは合っています。
すみません、検算のやり方がわからないのですが、
さっきと逆の計算を行なっていき、単位行列が出るのを確認すればよいのでしょうか？

No.67951 - 2020/07/15(Wed) 10:04:11

☆ Re: / ぽんす

> (-1/4a+7/4b-3/4c)+(-1/4a+5/4b+1/4c)+2(3/4a+1/4b+1/4c)=a
> (-1/4a+7/4b-3/4c)+2(-1/4a+5/4b+1/4c)+(3/4a+1/4b+1/4c)=b
> 2(-1/4a+7/4b-3/4c)+(-1/4a+5/4b+1/4c)+(3/4a+1/4b+1/4c)=c
> となれば正解ですが、どうも、そうならないようです。
>
> 係数に 1/4 が出てくるのは合っています。
1001
0101
0011 というのがでてきました。

No.67952 - 2020/07/15(Wed) 10:16:10

☆ Re: / ヨッシー

どうやって求めたかにもよりますが、
V1,V2,V3 を並べた行列の逆行列から求めたとすると、本当に
その１次結合でａができるかの確認がまだなわけですから
No. 67946 の記事に書いたような
　・・・・・＝ａ
　・・・・・＝ｂ
　・・・・・＝ｃ
ができれば良いと思います。

No.67953 - 2020/07/15(Wed) 10:16:21

☆ Re: / ast

> 検算のやり方がわからないのですが、
問題の要求する一次結合としての表示 c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3=a を得るために (どんな方法を使うにせよ) 何らかの方法で係数 c_1,c_2,c_3 が求まったということならば, (求まった c_1,c_2,c_3 を代入の上で) 確かに c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3=a が成り立っているということをちゃんと成分計算を行って確認することが問題の言う「検算により検証」の意図だと思われます.

そうすると, 結局のところヨッシーさんがお書きになったようなことになる.

No.67955 - 2020/07/15(Wed) 10:59:42

★ (No Subject) / 大学数学

経路の計算はどのようにしたらいいのでしょうか。

No.67928 - 2020/07/14(Tue) 20:52:57

☆ Re: / ast

> 経路の計算
というのが何を指しているのかよくわかりません, 経路を表す式が知りたいのか, 経路を決めたときの積分計算がわからないのか, どっちでしょうか (あるいはもっとべつのことなのか)?

経路の式ならば, 例えば I なら 0≤t≤ を動くパラメータ t を使って,
　　(x,y)=(0,4t) (0≤t≤1/2 のとき), =(6(t-1/2),2) (1/2≤t≤1 のとき)
としてもいいし, 弧長パラメータ s のほうが計算に都合がいいなら
　　(x,y)=(0,s) (0≤s≤2 のとき), =(3(s-2),2) (2≤s≤5 のとき)
などを取っても構わない. ほかにも無数にあるが,
　　(x,y)=(0,2u) (0≤u≤1 のとき), =(3(u-1),2) (1≤u≤2 のとき)
あたりもパッと見わかりやすいかな……?

No.67948 - 2020/07/15(Wed) 09:19:07

★ (No Subject) / のん

二乗すると-1になり、実数でない数をiとしたとき、{(1+2ai)/(2+bi)}-[3+{(a-1)i/(2-bi)}]
←すみません、見にくくなってしまいました汗　が純虚数となるとき実数a,bの値を求めなさい。
という問題なのですが、整理して実部と虚部に分けて実部=0,虚部≠0としました。ちなみに実部は(3ab-b-4)/4+b^2=0で虚部は(2a-4b+2)/4+b^2≠0となります。
このあと、解答では実部の方程式からb(3a-1)=4でa,bは自然数だからbは4の約数で…また3a-1≧2だから…b=1のとき…b=2のとき…などと試していくのですが、このような面倒くさい解法しかないのでしょうか？

No.67927 - 2020/07/14(Tue) 20:50:40

☆ Re: / ast

> 実数a,bの値を求めなさい。
は誤植か何かで,
> a,bは自然数だから
の記述のほうが正当なのですよね?

では, [0] b(3a-1)=4 を満たす自然数 a,b を求めよ, という問題が与えられたとき, のんさんならどのように a,b の候補を絞ろうと思いますか?
提示された模範解答(?)(の一部)の記述は順当に候補の数をバッサリ絞り込んでいて, 個人的には面倒臭いとは正反対の印象です.

No.67929 - 2020/07/14(Tue) 21:01:07

☆ Re: / のん

回答ありがとうございます。
> > 実数a,bの値を求めなさい。
> は誤植か何かで,
> > a,bは自然数だから
> の記述のほうが正当なのですよね?
確かに、そうですね。
> では, [0] b(3a-1)=4 を満たす自然数 a,b を求めよ, という問題が与えられたとき, のんさんならどのように a,b の候補を絞ろうと思いますか?
> 提示された模範解答(?)(の一部)の記述は順当に候補の数をバッサリ絞り込んでいて, 個人的には面倒臭いとは正反対の印象です.
場合分けをするといつも何かしら抜かしてしまったりとミスするので、場合分けがあまり好きではなく面倒くさいと思ったのです…が、今回は確かに候補を絞り込めていますね。

No.67932 - 2020/07/14(Tue) 21:42:18

★ 大学3年 / たろう

すいません、本当に困ってます。
例1～3どれでもいいので教えてください。

No.67918 - 2020/07/14(Tue) 14:34:17

☆ Re: 大学3年 / X

例1,2,3いずれも添付写真1枚目の上の方に書かれている
Taylor展開の例であることはよろしいですか？

解析学で実数関数のTaylor展開を学習されていると思いますが
その対象が正則な複素関数に変わっただけで展開式の導出方針
は同じです。

この説明で分からないようであれば、解析学の教科書で
Taylor展開の復習をしてみて下さい。

Taylor展開に限らず、複素関数で使われている定理は
実数関数の定理の拡張であるものもあります。
その意味でも解析学の復習をしてみて下さい。

No.67919 - 2020/07/14(Tue) 14:46:34

★ 複素数平面の問題 / Mai

zは複素数でz^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0を満たす。
(1) z^6=1
(2) |z|=1
(3) |z-2|^2+|z+2|^2=10

解法が知りたいです。お願いします！

No.67917 - 2020/07/14(Tue) 14:06:31

☆ Re: 複素数平面の問題 / X

z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0 (A)
とします。

(1)
(A)の両辺にz-1をかけて左辺を展開すると
z^6-1=0
∴z^6=1

(2)
(1)の結果から
|z^6|=1
これより
|z|^6=1
|z|は|z|≧0なる実数ゆえ
|z|=1

(3)
証明すべき等式を(B)とします。
以下、例えば複素数zの共役複素数を\zと
書くことにします。
((B)の左辺)=(z-2)\(z-2)+(z+2)\(z+2)
=(z-2)(\z-2)+(z+2)(\z+2)
=…
(展開して整理をし、(2)の結果を使います。)

No.67920 - 2020/07/14(Tue) 14:53:07

☆ Re: 複素数平面の問題 / Mai

よくわかりました。ありがとうございました！

No.67921 - 2020/07/14(Tue) 15:17:05

★ 関数の連続 / Ran

この問題を解いたのですが、答えがなくって困ってます。

お願いします！

No.67914 - 2020/07/14(Tue) 10:41:56

☆ Re: 関数の連続 / ヨッシー

(1)
0≦ｘ＜1 では [x]＝0 なので、[x] は０に置き換え、ｘはそのまま。
(2)
1≦ｘ＜2 では [x]＝1 なので、[x] は１に置き換え、ｘはそのまま。
(3)
(1) の式に(定義はされていませんが)ｘ＝１を代入すると
　f(1)＝１
よって、ｘが１よりやや小さい値から１にどんどん近づくと f(x) の
値は、１に近づきます。
一方、(2) の f(1) が１になるようにａを調節すれば、f(x) はｘ＝１で連続に
なります。
(4)
f(x+1)－f(x)＝1－(x+1)＋(x+1)^2＋a[x+1]－2(x+1)[x+1]＋[x+1]^2－1＋x－x^2－a[x]＋2x[x]－[x]^2
　　＝1－(x+1)＋(x+1)^2－1＋x－x^2　＋　a[x+1]－2(x+1)[x+1]＋[x+1]^2－a[x]＋2x[x]－[x]^2
　　＝2x　＋　a([x+1]－[x])－2x([x+1]－[x])－2[x+1]＋([x+1]－[x])([x+1]＋[x])
[x+1]－[x]＝1 より
f(x+1)－f(x)＝2x　＋　a－2x－2[x+1]＋([x+1]＋[x])
　　＝a － ([x+1]－[x])
　　＝a－1
(5)
f(x+1)＝f(x) となるので、f(x) は周期１の周期関数になります。
ですので、
　∫[0～n]f(x)dx＝ｎ∫[0～n]f(x)dx
よって、0≦ｘ＜1 の範囲のみ考えればよく
　∫[0～1]f(x)dx＝5/6
より、
　∫[0～n]f(x)dx＝5n/6

No.67915 - 2020/07/14(Tue) 13:25:05

☆ Re: 関数の連続 / Ran

………….、ありがとうございました！

よくわからんかったけど、助かりました！

No.67957 - 2020/07/15(Wed) 14:46:03

☆ Re: 関数の連続 / ヨッシー

いえ。
助からないかも知れませんよ。

(1) から順番に解いていかないと、理解できないように書いていますし、
答えも違ってるかも知れませんしね。

役立つかどうかは本人次第です。

No.67958 - 2020/07/15(Wed) 14:56:46

★ (No Subject) / のん

nを2以上の自然数とする。x^nを(x-2)^2で割ったときの余りを求めよ。
二項定理と剰余の定理で解くそうです。どなたか解ける方がいらっしゃったらお願いします。

No.67899 - 2020/07/13(Mon) 21:03:53

☆ Re: / IT

出きるところまでは自分でやられた方がいいと思います。

x^nを(x-2)^2で割ったときの余りは何次式か分りますか？
x^nを(x-2)^2で割ったときの商をQ(x) とし、Q(x) などを使うと　x^n＝　はどう書けますか
－－－ここまでは自力で出来ないと、基本が分ってないということですから、この問題を解くのは難しいと思います。

その式で　x=t+2 とおくとどうなりますか？

No.67901 - 2020/07/13(Mon) 21:20:05

☆ Re: / のん

二項定理を使って、次数を比較してやってみました！アドバイスありがとうございます。
方針も分かって答えの出し方も分かったのですが、ひとつ分からないところが出てきました。
b=2^n-2a=2^n-2^n×n=2^n(1-n)としたら、
解答にはb=-(n-1)2^nと書いてあります。同じことを言っていますが、なぜわざわざ-でくくるんでしょうか？私の書き方でも大丈夫なんでしょうか？
教えていただけますと有難いです！

No.67902 - 2020/07/13(Mon) 21:40:38

☆ Re: / IT

> b=2^n-2a=2^n-2^n×n=2^n(1-n)としたら、
> 解答にはb=-(n-1)2^nと書いてあります。同じことを言っていますが、なぜわざわざ-でくくるんでしょうか？私の書き方でも大丈夫なんでしょうか？

互いに等しいので、どちらでも良いです。

n-1 > 0 なので、-(n-1) と書いたほうが、bが負であることが、少し読み取りやすいですね。

No.67904 - 2020/07/13(Mon) 21:53:01

☆ Re: / のん

なるほど！そうなんですね！ありがとうございました。助かりました。

No.67905 - 2020/07/13(Mon) 22:15:27

★ 円の接線 / 円の接線

８になりません。お願いいたします。

No.67896 - 2020/07/13(Mon) 20:35:45

☆ Re: 円の接線 / X

質問の意味が不明です。何の値が8にならないのですか？

No.67898 - 2020/07/13(Mon) 20:44:46

☆ Re: 円の接線 / 円の接線

rの値ですが解答は８だそうです。

No.67900 - 2020/07/13(Mon) 21:06:01

☆ Re: 円の接線 / ヨッシー

図のようにａ，ｂをおき、
　赤い三角形より　ａとｒの関係を出す
　青い三角形より　ｂとｒの関係を出す
　黄色の三角形から導かれる式に、上の２式を適用し、ｒだけの式にする
で　ｒ＝８　となります。

No.67903 - 2020/07/13(Mon) 21:49:23

☆ Re: 円の接線 / 関数電卓

ヨッシーさんとほぼ同じ方法でいまやっと解けたのですが，とんでもない計算ですね。これって，画像にある中学校の定期考査の問題なのかしら？

No.67906 - 2020/07/13(Mon) 22:21:18

☆ Re: 円の接線 / 円の接線

> ヨッシーさんとほぼ同じ方法でいまやっと解けたのですが，とんでもない計算ですね。これって，画像にある中学校の定期考査の問題なのかしら？
そうです。

No.67907 - 2020/07/13(Mon) 22:34:43

☆ Re: 円の接線 / 円の接線

>
> 図のようにａ，ｂをおき、
> 　赤い三角形より　ａとｒの関係を出す
> 　青い三角形より　ｂとｒの関係を出す
> 　黄色の三角形から導かれる式に、上の２式を適用し、ｒだけの式にする
> で　ｒ＝８　となります。
迅速な対応ありがとうございました。

No.67908 - 2020/07/13(Mon) 22:35:44