ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 積分 / うい

線を引いた部分なのですが、xを無視してしまってもaが出せるのが
ちょっと不思議で理解できません。
確かにxがあると変な式になってうまく進めないのですが……
どうしてか教えていただきたいです。

No.68318 - 2020/07/24(Fri) 22:00:03

☆ Re: 積分 / ヨッシー

ｘを無視しているのではなく、ｘを含んでいない式なので、
気にする必要がないのです。

逆に、「ｘを含んで変になった式」とはどんなものですか？
きっと、存在するはずのないｘを無理矢理入れているものと
想像できます。

No.68319 - 2020/07/24(Fri) 22:12:59

☆ Re: 積分 / うい

含んでいないんですね…
ありがとうございます

No.68320 - 2020/07/24(Fri) 23:34:19

★ 対称式の連立方程式 / 受験生

(2)の問題についてです。xとyの対称式として考えていき、tの2次方程式を導くと思うのですが、t の二次方程式の解が全て正とならなくてはいけないのはどうしてでしょうか？少なくとも一組と言っているので、そこがしっくりきません。

No.68312 - 2020/07/24(Fri) 18:34:42

☆ Re: 対称式の連立方程式 / X

＞＞少なくとも一組
の一組とは
(x,y)
の値の組です。
この組である2つの値であるx,yは
「いずれも」
導くべきtの二次方程式の解です。

No.68315 - 2020/07/24(Fri) 18:39:55

★ 方程式の解 / aiko

この問題なのですが……、

⑴で方程式が正の解ただひとつを持つことを示したいときに、変数を含むe^(ax)をかけて、その方程式が正の解をただひとつ持つことによって、同値的なかんじで、もとの方程式も正の解をただひとつ持つということを証明しているのですが、こんなことしていいんですか？？？

定数ならかけてもいいのわかるんですけど、証明したいときに、変数を含むやつそれごとかけていいんでしょうか？？

No.68309 - 2020/07/24(Fri) 17:31:15

☆ Re: 方程式の解 / X

>>同値的なかんじ
ではなくて、同値変形そのものです。
同値変形であるなら、その際に定数をかけようが
xの関数をかけようが何も問題ありません。

No.68313 - 2020/07/24(Fri) 18:36:15

☆ Re: 方程式の解 / aiko

ふむふむ、ありがとうございます！

ちなみになんでいいんですか？

No.68316 - 2020/07/24(Fri) 19:07:11

☆ Re: 方程式の解 / X

逆に聞きますが、同値変形という言葉の意味は理解できていますか？

No.68325 - 2020/07/25(Sat) 00:22:57

★ ベクトル / shi

この条件からどのようにADとAPを求めてるのですか？

No.68300 - 2020/07/24(Fri) 14:52:47

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

その上の「よって・・・」の式で、
　(3AB＋5AC)/10
をなぜ、
　(3AB＋5AC)/(3+5)
分母を８にしているかを考えましょう。

No.68306 - 2020/07/24(Fri) 16:13:16

☆ Re: ベクトル / shi

> その上の「よって・・・」の式で、
> 　(3AB＋5AC)/10
> をなぜ、
> 　(3AB＋5AC)/(3+5)
> 分母を８にしているかを考えましょう。

内分の形にしているからですか？？

No.68331 - 2020/07/25(Sat) 00:58:50

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

内分の形(分母が係数の和になっている。かつ係数がいずれも正)
になっていると言うことは、
　(3AB＋5AC)/８
で表される点が辺ＢＣ上のどこかにあり、
　ＡＰ＝(4/5)ＡＤ
から、点ＰはＡＤを４：１に内分する点と言うことも分かります。

No.68356 - 2020/07/25(Sat) 13:46:21

★ 学校の課題なんですが・・・ / とある学生

画像の問題の二番の「数列を作り証明せよ」の部分が分かりません。
同じ性質を持つと言うことは（1）と同様にｈの値を定めたときにe^xに収束するような数列ということなのは分かります。

また、担当の先生に聞いたところ（1）と同じようにすればできるそうなのですが与えられた微分方程式を解いて（1）と同様の操作をすると

（1＋ｘ/N）^NX

となり、e^xに収束しません。一応調べてみましたが、括弧内のｘの部分が位置のときにeに収束するというものしかありませんでした。（xの部分が1でなくともeに収束するという記事はありませんでした）

一週間ほど地道に考えていたんですがなかなか解けないのでお助けください。

No.68299 - 2020/07/24(Fri) 14:44:48

☆ Re: 学校の課題なんですが・・・ / ast

詳しくはよく知りませんが,

> e^xに収束するような数列ということなのは分かります。
> となり、e^xに収束しません。
y'=-xy の解は (最初に解くよう指示があるのでわかっているはずだけど) e^x ではないので, そもそも目標が誤っていますから, その方針だとやるだけ無駄ということになるかと.
# 2. の後半で exp(-(kh)^2/2) の値と比較せよと書かれているのだから, 目標の函数が何かは
# もうバレバレの状態からのスタートのはずなのだが……

微分を定義する極限 y'(x)=lim (y(x+h)-y(x))/h を離散的な差分 (y(x+h)-y(x))/h で近似して x=x_k のとき y(x_k+h)=:y[k+1], y(x_k)=:y_k と書けば, 1 のときは考える方程式が y'(x)=y(x) だったから問題の数列を定義する漸化式は (y[k+1]-y[k])/h = y[k] になっていた (特に右辺の y[k] は微分方程式の右辺から来てる) わけで,
> 担当の先生に聞いたところ（1）と同じようにすればできる
とはそういう離散近似列の作り方 (たぶん差分スキームとか呼ばれてたりするやつですよね) という意味で同じようにすればいいと仰ったものかと. だから 2. の方程式 y'=-xy の離散化になっているような漸化式をつくらなければいけない.

No.68308 - 2020/07/24(Fri) 16:57:59

★ (No Subject) / あぐのむ

問1の答えは4.3であっていますか？教えて欲しいです。
そらと問1のZu=x+...ってなっているところのxってZxだと思ったのですが、どう思いますか？
あと設問2の答えもできれば教えて欲しいです。
長々と失礼します

No.68288 - 2020/07/24(Fri) 01:24:01

☆ Re: / あぐのむ

> 問1の答えは4.3であっていますか？教えて欲しいです。
> そらと問1のZu=x+...ってなっているところのxってZxだと思ったのですが、どう思いますか？
> あと設問2の答えもできれば教えて欲しいです。
> 長々と失礼します
追加です。問2の答えは2.2ですか？

No.68289 - 2020/07/24(Fri) 01:38:09

☆ Re: / ast

> 問1の答えは4.3であっていますか？
あっています
> Zxだと思ったのですが、どう思いますか？
そうですね.
> あと設問2の答えもできれば教えて欲しいです。
慎重に z_uu, z_uv, z_vv を (検算の意味も込めて念のため z_vu も(これは =z_uv になるはずなので)) 計算するだけだとは思いますが, (x^2-4y)z_yy-2z_y になるはずです.

No.68290 - 2020/07/24(Fri) 02:12:10

☆ Re: / あぐのむ

> > 問1の答えは4.3であっていますか？
> あっています
> > Zxだと思ったのですが、どう思いますか？
> そうですね.
> > あと設問2の答えもできれば教えて欲しいです。
> 慎重に z_uu, z_uv, z_vv を (検算の意味も込めて念のため z_vu も(これは =z_uv になるはずなので)) 計算するだけだとは思いますが, (x^2-4y)z_yy-2z_y になるはずです.
4.2になりました。ありがとうございます

No.68292 - 2020/07/24(Fri) 02:54:01

★ 漸化式 / けん

こちらの問題、どうしてもわかりません。どなたかお願いします。

No.68287 - 2020/07/23(Thu) 22:18:43

☆ Re: 漸化式 / ast

問3 の漸化式は sin(x)^n=(-cos(x))'*sin(x)^(n-1) と見て I[n] を部分積分したのち, cos(x)^2=1-sin(x)^2 を使うと I[n-2] とふたたび I[n] が現れるので, 右辺に現れた I[n] は左辺の I[n] とまとめればよい.
問4 の漸化式も同様にすればいい.

# 初期値 (I[0],I[1] および I[p,0],I[p,1],I[0,q],I[1,q] でいいのかな) は自力で積分する.
# 問題文を見る限り, 問3 は n=0,1,2,… でいいみたいだけど, 問4 は p,q は負の整数もあるっぽいが
# 負の場合もその漸化式で辿っていっていいのかどうかは知らない.

No.68291 - 2020/07/24(Fri) 02:30:14

★ 微分 / ぴく

Iを開区間、a∈Iとし、fをIで定義された関数とする。
f∈C^1(I)なら　　　lim(x,y)→(a,a) (f(x)-f(y))/(x-y)=f'(a) が成り立つことを示せ。また、fがIで微分可能だがC^1級とは限らない時、上式が成り立つなら証明し、成り立たないなら反例を与えよ。

No.68285 - 2020/07/23(Thu) 21:22:13

☆ Re: 微分 / IT

前半、平均値の定理を使えばよいのでは？

後半、f(x)=(x^2)sin(1/x) (x≠0),f(x)=0(x=0)、a=0だとどうですか？

No.68296 - 2020/07/24(Fri) 12:17:07

★ 図形の長さと面積 / ｚ

すみません、先生がオンライン授業も1回も行わず問題だけ出されたので全然わかりません。
問１と２で分かる問題がありましたら、解法をお願い致します。

No.68278 - 2020/07/23(Thu) 17:50:53

☆ Re: 図形の長さと面積 / X

方針を。

問題文のうち
「y=f(x)と表される曲線の長さ」 (A)
「パラメータ表示される曲線の長さ」 (B)
と書かれている箇所は読みましたか？

問題1については(A)(B)を
そのまま当てはめるだけです。
(問題文では(A)だけ使うように書かれていますが
後半の問題は(B)を使います。)

問題2について。

(2)はアステロイドの第1象限の部分の
曲線の長さを(B)を使って求めて
結果を4倍します。
(∵)アステロイドのx軸、y軸に関する対称性による。

(1)はアステロイドの第1象限の部分とx,y軸で
囲まれた部分の面積である
∫[x:0→1]ydx (B)
の計算結果を4倍します。
(B)の計算方法ですが、Cに示される等式で
置換積分を行います。

最後に。
例え先生がネット授業を一回も行っていなかったとしても
大学受験を突破してきた大学生ならば、(A)(B)をよく読めば
解ける問題です。
もう少し頑張ってみて下さい。

No.68281 - 2020/07/23(Thu) 18:17:04

★ (No Subject) / スイカ

30人のクラスで数学のテストを行ったところ得点の平均値は20点，標準偏差は8点だった。ここで各得点に対して一律に10点を加えさらに2倍にする後の平均値と標準偏差を求めよ

標準偏差がうまく求められません。解説よろしくお願いします

No.68268 - 2020/07/23(Thu) 15:38:32

☆ Re: / ヨッシー

10点加えた時点では、平均は 10点上がりますが、
分布のばらつきは変わらないので、標準偏差は8点のままです。
2倍すると、平均が2倍になり、ばらつきも2倍に広がるので、標準偏差は16点になります。
平均60点、標準偏差16点です。

この公式を基に計算でやると、
最初：
　平均＝(a1＋a2＋・・・＋a30)/30＝20
　２乗の平均＝(a1²＋a2²＋・・・＋a30²)/30
　　＝分散＋平均²＝64＋400＝464
10点足して２倍した後、
　平均＝{(2a1＋20)＋(2a2＋20)＋・・・＋(2a30＋20)}/30
　　＝2(a1＋a2＋・・・＋a30)/30＋(20×30)/30
　　＝2・20＋20＝60
　２乗の平均＝{(2a1+20)²＋(2a2+20)²＋・・・＋(2a30+20)²}/30
　　＝4(a1²＋a2²＋・・・＋a30²)/30＋80(a1＋a2＋・・・＋a30)/30＋400
　　＝4・464＋80・20＋400
　　＝3856
　分散＝3856－3600＝256
　標準偏差＝√256＝16

No.68273 - 2020/07/23(Thu) 16:49:33

★ 行列の証明について / 鳥海

数学の証明について質問です。
n次正方行列とその余因子行列の積の非対角成分が必ず0となることを証明するには、どう言った流れで証明してあげればよろしいでしょうか？

No.68265 - 2020/07/23(Thu) 15:02:07

☆ Re: 行列の証明について / ast

そのような積の非対角成分は, もとの行列のある行(resp.列)を別の行(resp.列)で置き換えた行列の行列式 (を余因子展開したもの) になっていることを見ればよいです.

No.68279 - 2020/07/23(Thu) 17:52:33

★ 中学の復習問題 / 数学不得意高１

答え（１）４人　（２）15人　（３）６分　解き方が、わかりません。　詳しい解説よろしくお願いいたします。

No.68260 - 2020/07/23(Thu) 13:52:54

☆ Re: 中学の復習問題 / ぬめら

中1です💦

考え方的にあっているかはわかりませんが、(1)だけわかりました…！

2分後の時点で、連絡が来ている生徒は、A,B,Cの3人です。そして、連絡できる人は先生もいます。3分後の時に、先生はDに、AはEに、BはFに、CはGに連絡できます。
なので、4人だと思います…？

No.68261 - 2020/07/23(Thu) 14:04:32

☆ Re: 中学の復習問題 / ヨッシー

問題文にある図の続きを描けば明らかですが、
最初　次の人に回せる人　１人
１分後　新規に連絡　１人　次の人に回せる人　２人
２分後　新規に連絡　２人　次の人に回せる人　４人
３分後　新規に連絡　４人　次の人に回せる人　８人
４分後　新規に連絡　８人　次の人に回せる人　１６人
のようになります。
(1) ぬめらさんの回答で正しいです。　新規は４人です。
(2) 次に回せる人16人のうち、1人は担任なので、
　連絡を受けるのは　15人です。
(3) 次の人に回せる人の人数が、連絡を受けた人(と担任)
　ですので、
５分後　新規に連絡　１６人　次の人に回せる人　３２人
６分後　新規に連絡　３２人　次の人に回せる人　６４人
ここで、40人に達するので、
６分かかります。

No.68266 - 2020/07/23(Thu) 15:03:57

☆ Re: 中学の復習問題 / 数学不得意高１

詳しい解説ありがとうございました。

No.68354 - 2020/07/25(Sat) 13:37:11

★ 高校のテスト　思考力問題 / くろ

(間違えて投稿しました！すみません！続けます！)

?@から?Dの5つの箱がある。そのうち一つの箱には、偽物のコインが入っている。偽物のコインは他のコインより1グラム軽い。?@から?Dのコインの重さをはかったところ、全部で147gだった。偽物のコインが入っている箱はどの箱か。

という問題です。明らかに不可能な気が…。全然わかりません。答えが返ってきてないのですが、なるべく早く解説を知りたいです。よろしくお願いします！
なので、合っているかどうかはわかりません。すみません。
つまり、説得力だけが命ですね！！

No.68259 - 2020/07/23(Thu) 13:37:25

☆ Re: 高校のテスト　思考力問題 / らすかる

前提がいろいろ抜けていて全く問題になっていませんが、多分・・・
本物のコインは10g、偽物のコインは9gで
?@?A?B?C?Dのうちどれか一つがすべて偽物、他の箱はすべて本物で
?@から1個、?Aから2個、?Bから3個、?Cから4個、?Dから5個とって量り、
全部本物なら150gになるところ3g足りなかったから答えは?B
ぐらいでしょう。

No.68264 - 2020/07/23(Thu) 14:44:33

☆ Re: 高校のテスト　思考力問題 / くろ

いえいえ、本当にこれだけなんですよ。
コインの重さの指定もないし、
それぞれの箱に入っているコインの枚数もないし…

No.68270 - 2020/07/23(Thu) 15:47:31

☆ Re: 高校のテスト　思考力問題 / らすかる

問題がそれだけなら、
「この条件では決定できない。」
が答えです。

# それから、私が「多分・・・ぐらいでしょう」と書いたのは、
# 「くろさんが問題文を全文書いておらず本当はこうでしょう」
# と言っているのではなく、
# 「問題文がそれしかないなら本当の問題は私の書いたような内容で、
# テスト作成者が条件をごっそり書き漏らしたのでしょう」
# という意味です。
# 私が書いた内容の問題は見たことがありますので、もし問題がきちんと書かれていれば
# 多分正解は?Bだったのではないか、という予想を書きました。

No.68272 - 2020/07/23(Thu) 16:20:23

☆ Re: 高校のテスト　思考力問題 / ast

> いえいえ、本当にこれだけなんですよ。
と書かれると, では
> なので、合っているかどうかはわかりません。
は何について言っていたのかという疑問が.

No.68276 - 2020/07/23(Thu) 17:48:21

★ (No Subject) / Go To

三角形ABCが円に内接している。この時
三角形ABCの辺BCの中点は点Oであるとする。
さらに点Aにおけるこの円の接線をℓとしℓと辺BCの延長線との交点をDとする。またℓ上にAD=2AEとなる点Eをとり直線OEと辺ABの交点をFとする。ただし二点D,Eはℓ上で点Aに関して互いに異なる側にある。この時三角形OEDの面積は144であった。

（1）線分ADの長さは　答え 16
（2）三角形ADCの面積は答え192/5
（3）三角形FOBの面積をS1,三角形FEAの面積をS2とすると
S1/S2の値は (答え 27/20)

(3)の答えが合いません。模範解答よろしくお願いします。

No.68257 - 2020/07/23(Thu) 10:20:32

☆ Re: / ヨッシー

問題文はこれで全てですか？
一字一句抜けてませんか？

もちろん、抜けている抜けていないを聞いているのではなくて
抜けていると思われるので、見直してください、という意味です。

No.68262 - 2020/07/23(Thu) 14:08:09

☆ Re: / Go To

三角形ABCの辺BCの中点は点Oであるとする
→三角形ABCの辺BCの中点はこの円の中心Oであるとする

No.68269 - 2020/07/23(Thu) 15:42:07

☆ Re: / ヨッシー

いえ、そういう些細なことではないんですけど。
逆に、それが抜けているのが分かったら奇跡です。

これだけの条件では、下の図のように、ＡＤが一意に決まりません。

No.68275 - 2020/07/23(Thu) 17:31:09

★ 積分と証明です / つるの

すみません、ニ回目ですが、(2)と(3)がどうしても解けないのでお願いします。

No.68255 - 2020/07/23(Thu) 03:53:33

☆ Re: 積分と証明です / 黄桃

(2)には明らかなミスがありますので、まずはそれを確認しましょう。

＃x=1 を代入すれば成り立たないことは明らかです。
＃このミスに気づかないのは致命的に思えるので答えにくいです。

No.68263 - 2020/07/23(Thu) 14:41:44

☆ Re: 積分と証明です / つるの

失礼しました、{(-1)^nx^n(log(x))^n}/n!です。
x乗ではないですね。

No.68267 - 2020/07/23(Thu) 15:17:35

☆ Re: 積分と証明です / 黄桃

それなら、(2)は x=e^log(x) であることを使うのでしょう。級数の形にしたいのですから、何かのテイラー展開に持ち込むことを考えてはどうでしょうか。

(3)は(2)を項別積分して(1)の結果を使うのでしょう（最終結果はΣを使わない形では書けないような気がしますが）。項別積分できるかどうか、細かいところはご自分で確認してください。

No.68271 - 2020/07/23(Thu) 15:56:12

★ (No Subject) / ヒマワリ

N=2^5・3＾4・5＾3・7とする。またx，yは自然数とする

（1）m=2^3・3＾5・5・7＾2とする。N/xが自然数でありかつmの約数となる最小のxは？（答え100）

（2）X^2=Nyでありかつyはxの約数とする。この時x=ay（aは自然数）とするとa,N,yの関係式は？また，(x,y)の組は全部で何組あるか（解答；N=a^2・ｙ,18組）

模範解答よろしくお願いします

No.68253 - 2020/07/23(Thu) 01:17:11

☆ Re: / ヨッシー

(1)
Ｎを最小の自然数で割って、ｍの約数にするには、
Ｎ/ｘの各素因数の指数が、ｍのものを上回らないようにすれば良いので、
　ｘ＝２²・５²＝１００

(2) Ｘとｘは同じものと解釈します。
　ｘ＝ａｙをｘ²＝Ｎｙに代入して
　ａ²ｙ²＝Ｎｙ
　Ｎ＝ａ²ｙ

　Ｎ＝２⁵３⁴５³７
に対して、ａ² として考えられるのは、
　２に対して、２⁰、２²、２⁴
　３に対して、３⁰、３²、３⁴
　５に対して、５⁰、５²
のそれぞれ3通り、3通り、2通りからいずれかを選んで掛け合わせた数なので
　3×3×2＝18(組)
ａが決まれば、ｘ、ｙが１組決まるので、(x,y)の組も18組。

No.68293 - 2020/07/24(Fri) 09:10:42