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★ 食塩の問題について / シン
食塩の問題で理解できない点があり質問させてください。
画像の問題と解説で、解説の
「取り出した後と水を加えた後で、食塩の重さは変わらない」
とありますが、食塩は水に溶けているので
食塩水を取り出すと食塩の重さもかわるのではないでしょうか？
このあたり教えていただければと思います。
よろしくお願いいたします。
No.68068 - 2020/07/18(Sat) 18:16:08
☆ Re: 食塩の問題について / ヨッシー
１．取り出す前
２．取り出した後
３．水を加えた後
と分けると、２．と３．は食塩の重さは変わっていません。
No.68070 - 2020/07/18(Sat) 18:51:29
☆ Re: 食塩の問題について / シン
ご丁寧にありがとうございます！
またよろしくお願いいたします。
No.68096 - 2020/07/18(Sat) 22:33:21
★ (No Subject) / 高校生
この問題の解き方を教えていただきたいです！
No.68064 - 2020/07/18(Sat) 15:04:58
☆ Re: / ヨッシー
原点を通る円の式を
　ｘ^2＋ｙ^2−2ax−2by＝0
とすると、この円の中心は (a, b)、半径は√(a^2＋b^2) です。
中心からｙ軸方向に√(a^2＋b^2)進んだ点が、Ｄから出なければ、
条件を満たすので、
　ｂ＋√(a^2＋b^2)≦２
が　(a, b) の満たすべき条件となります。
　ｂ＋√(a^2＋b^2)≦２
変形して
　(０≦)√(a^2＋b^2)≦２−ｂ
両辺２乗して
　a^2＋b^2≦b^2−4b＋4
　b≦−(1/4)ａ^2＋1
グラフは省略します。
No.68065 - 2020/07/18(Sat) 15:23:37
☆ Re: / 高校生
最初のところなのですが、原点を通る円の式は、なぜそのように表せるのでしょうか？
No.68066 - 2020/07/18(Sat) 16:21:34
☆ Re: / らすかる
中心が(a,b)で原点を通る円の半径は√(a^2+b^2)ですから
円の方程式は(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2とあらわせますね。
これを展開すればx^2+y^2-2ax-2bx=0になります。
No.68067 - 2020/07/18(Sat) 16:57:52
★ 比例式の値 / のん
(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/zのとき、この式の値を求めよ。
という問題で、(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/z=kとおいてy+z=xk…?@,z+x=yk…?A,x+y=zk…?Bというようにしました。
そして辺々を加えると(x+y+z)(2-k)=0になります。これよりx+y+z=0または2-k=0になります。
ここで、k=2の場合を考えるのですが、教科書には、例えばx=y=z=a(≠0)とすると、k=(a+a)/a=
(a+a)/a=(a+a)/a=2
となりk=2を満たす実数x,y,zが存在するので与式=2となるのですが、これはx=y=zのときに限りませんか？
k=2を?@、?A、?Bに代入してx=y=zであることを示さねばならないと思ったのですが…。

ご回答よろしくお願い致します。
No.68049 - 2020/07/17(Fri) 20:51:52
☆ Re: 比例式の値 / IT
> となりk=2を満たす実数x,y,zが存在するので与式=2となるのですが、これはx=y=zのときに限りませんか？

そうですね。x=y=z≠0のときに限ります。

> k=2を?@、?A、?Bに代入してx=y=zであることを示さねばならないと思ったのですが…。

要求されてないので、示す必要はないと思います。
No.68050 - 2020/07/17(Fri) 20:58:09
☆ Re: 比例式の値 / のん
> そうですね。x=y=z≠0のときに限ります。
x=y=zでない場合当てはまらない可能性も残っていますよね。例えば、と例示しているものでk=2だというだけで大丈夫なのですか？
No.68051 - 2020/07/17(Fri) 21:06:13
☆ Re: 比例式の値 / らすかる
大丈夫です。「x=y=zでない場合」がどうであろうと関係ありません。
少なくともx=y=zのとき「k=2」が成立していますので、k=2であることはあり得ますね。
この問題は、(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/zが成り立っているときにその値が
どういう値になる可能性があり得るかという、その値をすべて答える問題です。
No.68054 - 2020/07/17(Fri) 21:23:59
☆ Re: 比例式の値 / のん
例えばx=y=z=a(≠0)とすると、k=(a+a)/a=
(a+a)/a=(a+a)/a=2
となりk=2を満たす実数x,y,zが存在するので与式=2
というように、例示しているx=y=z(≠0)の場合のみでk=2であればいいのでしょうか。x=y=zでないときにはk=2でないかもしれないですよね？
先にx=y=zとなることを示したら、x=y=zではないときのことを考えなくて良いので、x=y=zのとき確かにk=2といえる。と言うだけで良いと思うのですが…
上手く説明できていないかもしれません、すみません…
No.68056 - 2020/07/17(Fri) 21:29:40
☆ Re: 比例式の値 / のん
らすかるさん
なるほど、そういうことなんですね。語彙力が足りず上手く説明できておらず申し訳ありませんでした。ありがとうございました。スッキリしました。
No.68057 - 2020/07/17(Fri) 21:30:57
★ 不等式について / さとし
不等式の考え方について質問があります。
例えば下記のような不等式があったとします。

x < 3

この場合xの値が1,2などであればこの式はTrueになると思います。
しかし、xが存在しない場合も、この式はTrueになるということが勉強していて判明しました。それはなぜなのでしょうか？
今度人にこれを含んだ内容を発表する機会があり質問させていただきます。宜しくお願いします。
No.68046 - 2020/07/17(Fri) 19:16:38
☆ Re: 不等式について / さとし
自分なりに探したものには、該当するもの（この場合x）が存在しないということは空集合ということになり、Trueになると書いてありました。これをもう少し詳しく説明していただけませんでしょうか？
No.68047 - 2020/07/17(Fri) 19:22:33
☆ Re: 不等式について / のん
解釈が間違えていたらすみません。
xは空集合という集合を持つ。ということになりTrueなのではないでしょうか？
No.68052 - 2020/07/17(Fri) 21:16:29
☆ Re: 不等式について / さとし
その記事には科のように書いてありました。
「集合論では、空集合はあらゆる集合の部分集合という取り決めがあります。このため、論理学における「PならばQ」という命題において、Pを満たすものが存在しない場合(Pを満たす要素の集合が空集合である場合、あるいはPが常に偽である場合)、この命題は無条件で真となるのです。」

この場合Pがxを示し、Qが3を示しているということでしょうか？
そして今はxが空集合なので x < 3は無条件でTrueになるということでしょうか
No.68055 - 2020/07/17(Fri) 21:28:32
☆ Re: 不等式について / のん
そういうことだと思います！
こちらも勉強になりました、ありがとうございます。
No.68058 - 2020/07/17(Fri) 21:32:28
☆ Re: 不等式について / らすかる
x＜3がTrueであるかどうかは、
x＜3が否定される場合があるか、つまり
x≧3を満たす値をとる可能性があるかどうかによって決まります。
存在しなければx≧3という値はとりませんので、Trueです。

この考え方はこの問題に限らない一般論です。
例えば「Aさんの子供は女である」という命題がTrueになるのは、
この命題が否定される場合がない、つまり「Aさんの子供で男」という人がいなければ
Trueになりますので、
・Aさんに子供が1人いて女である場合
・Aさんに子供が複数いて全員が女である場合
・Aさんに子供がいない場合
の3つの場合がTrueとなります。
No.68059 - 2020/07/17(Fri) 21:35:57
☆ Re: 不等式について / さとし
解答ありがとうございます。
理解力がなくて申し訳ないです。
追加で少しお聞きしたいです
しかし、逆に言えば xが3未満の値をとるということも保証されていないのではないでしょうか

正しい解釈としては、
「不等式はその式を満たさない値が見つからない限りはTrueである」

ということでしょうか
この場合xが存在しないため、3以上になることはけしてない（この不等式を否定できない）
つまりTrueという認識でしょうか
No.68060 - 2020/07/17(Fri) 21:54:26
☆ Re: 不等式について / IT
らすかるさん＞
> x＜3がTrueであるかどうかは、
> x＜3が否定される場合があるか、つまり
> x≧3を満たす値をとる可能性があるかどうかによって決まります。
> 存在しなければx≧3という値はとりませんので、Trueです。
(ある)xについてx＜3が真であるかどうかは、(その)xが（実数で）x＜3であるかどうか。以外の何ものでもないのではないかと思いますが違うのでしょうか？
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
（訂正）　x＜3 が登場するところで、らすかるさんのおっしゃるように　x≧3を満たす値をとる可能性がなくなっていれば、x＜3 は真ですね。
No.68061 - 2020/07/17(Fri) 23:10:13
☆ Re: 不等式について / 黄桃
そもそも、
x<3
とはどういう意味ですか？

高校数学では、明示的に命題と命題関数（教科書には条件、とあるものです）を区別しないので、こういう疑問が出るのでしょう。

単に
x<3
と書いたら、これはxに関する条件であり、真偽はxに値を入れなければ決まりません。

これがTrueといえるのであれば、高校数学の範囲では
「すべてのxについて、x<3」
という命題を考えていることになります。「すべての」とある場合は、xとして考える対象の全体集合を決めておく必要があります。

これを踏まえて、「すべてのxについてなんとか」という命題（これは真偽が決まる）がTrue となるのは、この反例が存在しない場合、つまり、
「何とかを満たさないxはない」場合です。そして、xの全体集合が空集合であれば、空集合には元がないので、反例は決して存在しません。
だから、全体集合が空集合なら、なんとかの部分が何であっても真になるのです。
例えば xは x^2<0 となる実数全体を動くとすると、「すべてのxについて x>1」も「すべてのxについてx<1」もいずれも真です。

＃なお、xの全体集合をXとすれば、「すべてのxについてなんとか」というのは、「すべてのxについて『x∈X ならば、なんとか』」と同じことであり、
＃したがって、X=空集合、であれば、x∈X が偽になるので、『』内は常に真になる、と考えてもいいです。
No.68062 - 2020/07/18(Sat) 00:00:01
★ 極限集合について / 大学生です
先日、大学の講義で上極限集合と下極限集合について学んだのですが、どうもイメージがわきません。集合列が単調数列の場合はなんとなく理解できるのですが、そうでない場合、例えば
X_n=[-1+1/(3n) , 1+1/(2n) )
に対して上極限と下極限を取るとどうなるのでしょうか。
考えた結果、
上極限が　[-2/3 , 1)で下極限が[-1 , 3/2)
かなと思いました。
No.68042 - 2020/07/17(Fri) 15:52:19
☆ Re: 極限集合について / ast
定義通りにするならば,
　[i] Y_n :=∪_[k≥n] X_k =(-1,1+1/(2n)) と置くと,
　　　limsup_[n→∞]X_n =∩_[n=1,2,…]Y_n = (-1,1].
　[ii] Z_n :=∩_[k≥n] X_k =[-1+1/(3n),1] と置けば,
　　　liminf_[n→∞]X_n =∪_[k=1,2,…]Z_n = (-1,1].

となるのではないでしょうか. 区間列 (開でも閉でも半開でも) の極限なら各区間端点がなす数列の極限をみるだけなので, イメージもしやすいでしょう
# ただし, 端点の極限が極限集合に入るかどうかは考える必要がある
# (外側から近づくなら入る, 内側から近づくなら入らない)

イメージをつかむ方法ですが, たとえばこのブログ記事は参考になるでしょうか.
No.68043 - 2020/07/17(Fri) 16:23:17
☆ Re: 極限集合について / 大学生です
一度に和集合と積集合をまとめてやろうとしてたので、混乱してしまって、端点の閉開を間違えたりしていました。
教えてくださったように１回、Y_n などと置いて考えてみるとすっきりしました。
ちなみに今回は上極限と下極限が一致しているのでlim_[n→∞]X_nも存在して、lim_[n→∞]X_n＝(-1,1]
ということですね。
ありがとうございました。
リンク記事も大変参考になりました。
No.68044 - 2020/07/17(Fri) 17:05:16
★ 対数関数 数2 / しいき
写真の サ シ ス について質問です。
回答を見ると、2直線の交点を通る時にkが最大となる（下線部）と表記されています。なぜ、最大になるとわかるのでしょうか？
No.68033 - 2020/07/16(Thu) 23:36:36
☆ Re: 対数関数 数2 / ヨッシー

解答にあるように、図の斜線部が　(x, y) の存在する範囲です。
この範囲内の任意の点（x, y) における ｋ＝ｘ＋ｙ の値は、
その点を通る傾き−１の直線のｙ切片に現れます。
よって、斜線部と共有点を持ちつつ、ｙ切片が最大となる
直線が通る点が、ｋが最大になる点です。
それはどこかと言うと．．．
No.68035 - 2020/07/17(Fri) 00:53:10
★ 微分法の応用 / よろしくお願いいたします
hが実数全体を取るとき、
g(x)={(1+h)^n-(1-h)^n}/(2h)-ｎ≥0
であることを示したいです。
前回質問させていただいた問題の続きになります。教えていただける方いらっしゃいましたらお願いいたします。
No.68029 - 2020/07/16(Thu) 22:02:16
☆ Re: 微分法の応用 / IT
(1+h)^n-(1-h)^n を２項展開して計算すると
2nh+hの奇数次の項（係数は正)が残りますから、これを2h(≠0)で割ると

n以上となります。
No.68031 - 2020/07/16(Thu) 22:46:04
☆ Re: 微分法の応用 / よろしくお願いいたします
ありがとうございます。
二項定理展開して計算していくと、
2*nC1*h+2*nC3*h^3+..........+●
となっていき、ｎの偶奇の場合分けで●が変わってくると思うんですがあってますか？
偶奇どちらの場合でも正で閉じるので2hで割ると2*nC1*hの部分がｎになり、そのあとも正の項が連なってくのでｎ以上という方針でいいのでしょうか
No.68032 - 2020/07/16(Thu) 23:21:02
☆ Re: 微分法の応用 / IT
合っていると思いますが、心配なら具体的な証明を書いてみてください。
No.68036 - 2020/07/17(Fri) 07:15:39
★ (No Subject) / のん
a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2
この等式の証明ですが、一方の辺を変形するor両辺をそれぞれ変形するor一方の辺から他方の辺を引いて0であることを示す
のうちどれで解けば手っ取り早いでしょうか？
No.68022 - 2020/07/16(Thu) 21:28:32
☆ Re: / のん
すみません、間違えて文字の色を緑色にしてしまいました
No.68024 - 2020/07/16(Thu) 21:29:57
☆ Re: / ヨッシー
　両辺をそれぞれ変形する
と
　一方の辺から他方の辺を引いて0であることを示す
は労力はほぼ同じでしょう。
後者の方が、途中でプラマイで消える項がある可能性を考えると、
書く文字数は少なくなる傾向にはあるでしょう。

一方の辺を変形する
ということは、展開してもう一度因数分解しないといけないので、
この問題の場合は、良策とは言えないと思います。
No.68026 - 2020/07/16(Thu) 21:40:36
☆ Re: / IT
間違いにくいのは、「両辺をそれぞれ変形（展開整理）する」かなと思います。
No.68027 - 2020/07/16(Thu) 21:47:14
☆ Re: / のん
お二人ともありがとうございます。両辺をそれぞれ展開して左辺=右辺を示す方法で解くことにしました。
ヨッシーさんのおっしゃる通り、両辺をそれぞれ変形する方法と、一方の辺から他方の辺を引いて0であることを示す方法は大変ですよね。
No.68028 - 2020/07/16(Thu) 21:59:09
★ 漸化式 / Mai
数列a(n)は第n項がa(n)=pn-qというnの1次式で表され、a(n+1)=2a(n)-n+3を満たすとする。このとき、p=?,q=? さらに、次の条件によって定まる数列b(n)を考える。b(1)=1,b(n+1)=2b(n)-n+3　このとき、b(n)=?

お願いします。
No.68018 - 2020/07/16(Thu) 20:30:28
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
a(n+1)＝pn＋p−q
a(n)＝pn−q
を代入して、ｎの恒等式となるように、ｐ，ｑ を求めます。

b(n+1)＝2b(n)−n＋3 を変形して
　b(n+1)−(n+1)＋2＝2{b(n)−n＋2}
c(n)＝b(n)−n＋2 とおくと、c(1)＝2 より
　c(n)＝2^n
よって、
　b(n)＝c(n)＋n−2
　　＝2^n＋n−2
No.68023 - 2020/07/16(Thu) 21:28:47
☆ Re: 漸化式 / Mai
ありがとうございました！またお願いします！
No.68025 - 2020/07/16(Thu) 21:39:52
★ 冪級数の微分 / あおい
分かる方、解説お願いします。
No.68012 - 2020/07/16(Thu) 19:04:28
☆ Re: 冪級数の微分 / ヨッシー
ちょっと荒れてきたので、レスの部分は削除させていただきました。

また、大学以上の内容で、
　２晩レスのつかないもの、
　回答者の投げかけに２４時間レスのないもの
は削除するようにしています。
No.68041 - 2020/07/17(Fri) 15:48:29
☆ Re: 冪級数の微分 / IT
計算だけでも解けますが、グラフを描いてイメージを掴んだほうが見通しが良いと思います。

y=ｆ[n](x) のグラフは、どんなグラフか描いてみてください。
No.68063 - 2020/07/18(Sat) 10:19:25
★ 答えのない過去問 / もも
問7は1、3　とわかったのですが
問8と問9がわかりません。。どなたか教えてくれませんか。。
No.68000 - 2020/07/16(Thu) 01:37:55
☆ Re: 答えのない過去問 / ヨッシー
問８
ｙ＝g(x) のグラフをしっかり描くことが全てです。
あとは、点(0,13) からあれこれ線を引いて、
共有点が 1個、2個、3個、4個 と変化するので、
３個となるときを見つけ、条件から式を求めます。


問９
それぞれ図の部分となります。

No.68004 - 2020/07/16(Thu) 10:39:12
☆ Re: 答えのない過去問 / もも
ヨッシー様、ありがとうございます。m(__)m
No.68034 - 2020/07/17(Fri) 00:52:23
★ 計算問題 / ぐみ
すみません、解ける方お願いします。。。
No.67998 - 2020/07/16(Thu) 00:50:20
☆ Re: 計算問題 / X
(1)
π/x=t
と置くと
(与式)=lim[t→+0](sint+cost)^(π/t)
=lim[t→+0]{(sint+cost)^2}^{π/(2t)}
=lim[t→+0](1+sin2t)^{π/(2t)}
=lim[t→+0]{(1+sin2t)^(1/sin2t)}^{π(sin2t)/(2t)}
=e^π
No.68008 - 2020/07/16(Thu) 17:45:51
☆ Re: 計算問題 / 関数電卓
(2)
　I＝∫[π/8,3π/8]1/(1＋(tan(x))^√2)･dx
　 ＝∫[π/8,3π/8](cos(x))^√2/{(cos(x))^√2＋(sin(x))^√2}･dx
　J＝∫[π/8,3π/8](sin(x))^√2/{(cos(x))^√2＋(sin(x))^√2}･dx　とおくと
　I＋J＝∫[π/8,3π/8]dx＝π/4
sin(x)＝cos(π/2−x) だから I＝J。 ∴ I＝π/8
No.68011 - 2020/07/16(Thu) 18:57:16
★ (No Subject) / あ
x2乗y−2x2乗z+2y2乗z−xy2乗　解説お願いします
No.67986 - 2020/07/15(Wed) 20:59:14
☆ Re: / X
因数分解をしたいのであれば、例えばxの二次式とみて
整理をし、たすき掛けをします。
No.67990 - 2020/07/15(Wed) 22:13:03
★ 三項間漸化式の基本問題です / ま
解いてみましたが答えが合いません。どなたか解いてくださりますか？
5と-1がn乗になっているので変形すればそうなるのかと思いましたが変形も思いつきません。
No.67984 - 2020/07/15(Wed) 20:46:26
☆ Re: 三項間漸化式の基本問題です / 関数電卓
あなたの解答で n＝1 とすると (−1)^0 が出てきますが，a^0 が定義されるのは a＞0 のとき です。そこで，正答では巧みにこの記述を避けているのです。
No.67987 - 2020/07/15(Wed) 21:04:03
☆ Re: 三項間漸化式の基本問題です / ま
具体的にどういう式変形を行えばよいのですか？
No.67989 - 2020/07/15(Wed) 21:25:05
☆ Re: 三項間漸化式の基本問題です / X
横から失礼します。

添付写真の正答となっているa[n]の式は間違っていますね。
n=3のとき
正答によるa[n]では
a[3]=21
一方、元の漸化式で計算すると
a[3]=13
となります。
No.67992 - 2020/07/15(Wed) 22:27:17
☆ Re: 三項間漸化式の基本問題です / 関数電卓
漸化式の特性方程式の解が 5,−1 ですから
　a[n]＝A･5^2＋B(−1)^n …(1)
と書くことが出来ます。
　n＝1 として a[1]＝5A−B＝1 …(2)
　n＝2 として a[2]＝25A＋B＝2 …(3)
(2)(3)を解いて A＝1/10, B＝−1/2
これを(1)に戻して a[n]＝(1/10)5^n−(1/2)(−1)^n

確かに，書かれた「正答」は間違っていますね。
No.67994 - 2020/07/15(Wed) 22:41:49
★ 確率の問題 / れい
答えは13ですが解き方が分かりません。
どなたか解説お願いします。
No.67978 - 2020/07/15(Wed) 19:31:32
☆ Re: 確率の問題 / れい
解読していただけないでしょうか……。
無視して違った解き方をしてくださってもありがたいです。
No.67980 - 2020/07/15(Wed) 19:38:20
☆ Re: 確率の問題 / れい
確率苦手で分かるところがないので細かい解説が欲しいです。
No.67981 - 2020/07/15(Wed) 19:39:59
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
n回目に取り出した球が3個目の赤球ということは
n-1回で赤球2個、白球n-3個を取り出し、n回目で赤球を取り出すということです。
（当然3≦n≦18である必要があります。）
n-1回で赤球2個、白球n-3個を取り出す確率は {15C(n-3)・4C2}/19C(n-1)
そのとき残りの赤球は2個、白球は15-(n-3)=18-n個なので
n回目が赤球になる確率は2/{2+(18-n)}=2/(20-n)
よって
p[n]={15C(n-3)・4C2}/19C(n-1)・2/(20-n)
=15!/{(n-3)!(18-n)!}・(n-1)!(20-n)!/19!・12/(20-n)
=(n-1)(n-2)(19-n)/7752
p[n+1]とp[n]の差をとって
p[n+1]-p[n]=(1/7752){n(n-1)(18-n)-(n-1)(n-2)(19-n)}
=-(n-1)(3n-38)/7752
これはn=1,38/3で0となる上に凸の放物線なので
n＜38/3すなわちn≦12のときp[n+1]-p[n]＞0すなわちp[n+1]＞p[n]
n＞38/3すなわちn≧13のときp[n+1]-p[n]＜0すなわちp[n+1]＜p[n]
つまり
p[3]＜p[4]＜p[5]＜…＜p[11]＜p[12]＜p[13]＞p[14]＞…＞p[18]
となりますので、p[3],p[4],p[5],…,p[18]の中でp[13]が最大、
従って求めるnは13となります。

# 解読はしていませんが、同様の内容だと思います。
No.67982 - 2020/07/15(Wed) 19:57:12
☆ Re: 確率の問題 / IT
元の解法では

P(n+1)/P(n) を使って P(n+1)とP(n)を比較しているようですね
P(n+1)＞0、P(n)＞0のときは、
　P(n+1)/P(n) ＞1　⇔　P(n+1)＞P(n)
　P(n+1)/P(n) ＝1　⇔　P(n+1)＝P(n)
　P(n+1)/P(n) ＜1　⇔　P(n+1)＜P(n)
です。
No.67983 - 2020/07/15(Wed) 20:12:03
☆ Re: 確率の問題 / れい
お二方ともありがとうございます。
とてもよく分かりました。
No.67988 - 2020/07/15(Wed) 21:08:00
★ (No Subject) / り
最大値も教えてほしいです。
答えがなくて全然わかりません、、お願いします
No.67972 - 2020/07/15(Wed) 18:33:57
☆ Re: / IT
y=2x^2-4ax+1 のグラフはどんな曲線か分りますか？

(1≦x≦3)　という条件がない場合の、　その関数ｙの最小値と最小値をとるときのxの値は分りますか？
No.67974 - 2020/07/15(Wed) 18:58:33
★ 図形問題 / 数学不得意高１
中学の復習なのですが（５）が解けませんでした。長さは３√２ｃｍです。詳しい解説よろしくお願いいたします。
No.67971 - 2020/07/15(Wed) 18:31:23
☆ Re: 図形問題 / 関数電卓
(5) BE は∠ABC の２等分線だから AE＝(2/3)√5, CE＝(4/3)√5。
BE＝x, DE＝y, CD＝z と置くと
△ABE∽△DCE∽△DBC だから，対応する辺の比で
　2：(2/3)√5：x＝z：y：(4/3)√5＝x＋y：z：4
丹念に２項ずつの比をとりこれを解くと x＝(4/3)√2, y＝(5/3)√2, z＝√10
よって，BD＝x＋y＝3√2

# 結構大変ですね。
No.67997 - 2020/07/15(Wed) 22:55:53
☆ Re: 図形問題 / ヨッシー

点ＣからＢＤに垂線ＣＱを引きます。
△ＢＱＣは直角二等辺三角形なので、ＢＣ＝４に対して
　ＢＱ＝ＣＱ＝2√2
△ＣＱＤ≡∽△ＣＢＡ　より　　∽に訂正
　ＱＤ＝(1/2) ＱＣ＝√2
よって、
　ＢＤ＝2√2＋√2＝3√2
となります。
No.68005 - 2020/07/16(Thu) 11:28:55
☆ Re: 図形問題 / 関数電卓
うまいですね〜，脱帽！
No.68007 - 2020/07/16(Thu) 13:10:28
☆ Re: 図形問題 / 数学不得意高１
　2：(2/3)√5：x＝z：y：(4/3)√5＝x＋y：z：4すみません比例式の解き方がわかりません。よろしくお願いいたします。
No.68013 - 2020/07/16(Thu) 19:23:29
☆ Re: 図形問題 / ヨッシー
>丹念に２項ずつの比をとり
です。

ｘ＞０、ｙ＞０、ｚ＞０ であり、
　2：(2/3)√5：x＝z：y：(4/3)√5
から得られる
　2/z＝(2/3)√5/y＝x/(4/3)√5　・・・(i)
および
　z：y：(4/3)√5＝x＋y：z：4
から得られる
　z/(x+y)＝y/z＝(4/3)√5/4　・・・(ii)
を解きます。(i)より
　2y＝(2z/3)√5　　・・・(iii)
　xy＝40/9　　・・・(iv)
(ii)より
　3z＝(x+y)・√5　・・・(v)
(iii) より
　z＝3y/√5
(v) に代入して
　y＝5x/4
(iv) に代入して
　x(5x/4)＝40/9　
　x^2＝32/9　
ｘ＞０ より
　ｘ＝(4/3)√2
（以下略）
No.68016 - 2020/07/16(Thu) 20:08:20
☆ Re: 図形問題 / 関数電卓
有り難うございます。
No.68020 - 2020/07/16(Thu) 20:50:11
★ 線形代数 / Saya
これの示し方がわからないです。教えてください。
No.67970 - 2020/07/15(Wed) 18:22:58
☆ Re: 線形代数 / 関数電卓
ネット内のかなり色々なところを探してみたのですが，直接の証明の記述を見つけることは出来ませんでした。
私の手許にある『行列と行列式』(古谷茂) には出ているのですが，とてもここには書けません。図書館で他の本を当たって下さい。
No.67985 - 2020/07/15(Wed) 20:54:25
☆ Re: 線形代数 / IT
ｎ行分行基本変形したあと、ｎ列分列基本変形すれば良いのでは？

https://math.stackexchange.com/questions/502467/determinants-of-block-matricies
No.67991 - 2020/07/15(Wed) 22:23:32
☆ Re: 線形代数 / IT
齋藤正彦「線形代数学」では、列基本変形からやっていました。行・列どちらが先でも同じです。
　ｊ列（１≦ｊ≦ｎ）にｎ+ｊ列を足す。
　ｎ+j行（１≦ｊ≦ｎ）からｊ行を引く。
　これの行列式を求める。
No.67993 - 2020/07/15(Wed) 22:37:20
☆ Re: 線形代数 / Saya
|AB|
|BA|をいつものような行列と見立てて行基本変形するということでしょうか？
No.67995 - 2020/07/15(Wed) 22:45:07
☆ Re: 線形代数 / IT
> |AB|
> |BA|をいつものような行列と見立てて行基本変形するということでしょうか？

見立てるのではなく。"いつものような行列"そのものでは？
No.67996 - 2020/07/15(Wed) 22:53:16
☆ Re: 線形代数 / ast
関数電卓さんのおっしゃるネット上に「直接の証明の記述」が見当たらない, というのは |X,O;Y,Z|=|X||Z| …?@ (零行列 O が左下にくる場合も同様. なお "," で横の区切り, ";" で縦の区切りとしています) は既知の事項として証明している, という意味と思われるので, IT さんの示されたページも同様であると思います.

齋藤も（佐武も）演習としてこれが出ていますが, 実は行列式の基本変形による特徴付けの話の一部として本文で?@を解説してあるので, そこを抜かしたのでは
> すれば良いのでは？
と言うにはラフすぎる回答になってしまうのではないでしょうか. (まあ, 質問者自身が?@ならば既習であるという可能性もありますし, 既習であれば単純な基本変形の話ですから, そのくらいの平易な扱いの問題ということにはなりますが.)

ということで
　[0] |X,O;Y,Z|=|X||Z| を示せ.
を (これを未習と仮定して) 問題を追加します.
佐武や斎藤本に従って問題 [0] の証明のスケッチだけ書いておきますが, X 以外を固定して |X,O;Y,Z|=f(X) と見るとき, X に関する列変形を見ると, X の下ブロックが O なおかげで行列式の特徴付けである基本変形に対する性質を f はすべて満たすので, |X,O;Y,Z|= f(I)|X| と書けることはすぐにわかります. あとは |X| の係数として出てきた X に単位行列 I を代入したときの値が f(I)=|Z| であることを行列式の定義 (置換を用いた明示公式によるもの) に戻って示します.
# 転置をとってOを左下にしたり, f を X でなく Z の函数と見たりしても基本的には同様にできます.

## 真面目に全部かくとなると, (I,O;Y,Z) の行列式の非零項があらわれるのは
## X=I に属する成分上は恒等的に作用する置換のところだけなので, この置換を
## n 文字の置換とみなせること, そのときの項へのX=I の寄与は 1 であること,
## などから |Z| の定義式が現れていることを確認する.
## という作業になりますので, たぶん掲示板でやっても読みづらくて混乱するだけ
## (成書で読んでても理解するのが大変) だと思いますので, No.67985 に一票.
No.68003 - 2020/07/16(Thu) 08:33:16
★ 平面図形 / 高3
解法が分からないのでどなたか教えていただきたいです。
BM=35/t+5、AQ=30/t です。
よろしくお願いします。
No.67967 - 2020/07/15(Wed) 18:00:08
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

△ＡＢＣ＝△ＡＰＱより
　ＡＢ・ＡＣ＝ＡＰ・ＡＱ
よって、
　ＡＱ＝30/t
よって、
　ＣＱ＝30/t−６
メネラウスの定理
　(BM/MC)(CQ/QA)(AP/PB)＝１
より
　BM/MC＝(QA/CQ)(PB/AP)
　　　＝30/t(30/t−6)・(5-t)/t
　　　＝5/t
よって、
　ＢＭ＝35/(5+t)
No.67969 - 2020/07/15(Wed) 18:17:29
☆ Re: 平面図形 / 高3
とても分かりやすい解説をありがとうございます。
No.67976 - 2020/07/15(Wed) 19:21:42
★ 大2 / 寺田
お願いします
k 時点の株価を Sk と表す。このとき、Sk+1 は確率 0.4 で 1.15Sk となり、確率 0.6 で 0.9Sk となるとする。但し、どちらの状態になるかは S0, S1, · · · , Sk とは独立に決ま るものとする。S0 = 100 のとき、S100 ≥ 110 となる確率 P {S100 ≥ 110} を求めたい。
1. 2 項分布を利用して P {S100 ≥ 110} を求めなさい。
2. 2項分布の正規近似を利用してP{S100 ≥110}を求めなさい。
No.67963 - 2020/07/15(Wed) 17:14:02
☆ Re: 大2 / X
方針を。

1
100時点までにl回株価が上がったとすると
題意を満たすlについて
(1.15^l){0.9^(100-l)}≧1.1
これより
(23/18)^l≧1.1/0.9^100
llog[10](23/18)≧log[10](1.1/0.9^100)
l≧{log[10](1.1/0.9^100)}/log[10](23/18) (A)
(A)を満たす最小のlをl[0]とすると
P[S[100]≧110]=Σ[k=l[0]〜100](100Ck)(0.4^k){0,6^(100-k)}
=…

(注:
表計算ソフトなどでの数値計算が必須です。
手計算での数値計算が大変であることを知るための
演習問題でしょうか。)

2
a[k]=(1.15^k){0.9(100-k)}(k=0,…,100)
とすると、条件からS[100]=a[k]となる
確率である
P[k] (B)
は二項分布B[100,0.4]に従います。
よって中心極限定理により、(B)は
正規分布N[100・0.4,√(100・0.4・0.6)]
に近似的に従うので、この分布に対する
確率変数をXとすると
P[S[100]≧110]=P[l[0]≦X≦100]
後はXを正規化して確率を計算します。
No.67973 - 2020/07/15(Wed) 18:57:59
☆ Re: 大2 / 寺田
すみません、1問目の計算式に出てくるCkとは何のことでしょうか。
No.68030 - 2020/07/16(Thu) 22:19:54
☆ Re: 大2 / X
組み合わせのことです。
Ck
ではなくて
100Ck
を一まとめにご覧下さい。

この説明を見た上で数式を見ても
意味が分からないのであれば
以下のサイトを参照してみて下さい。

https://mathtrain.jp/hanpukushikou
No.68045 - 2020/07/17(Fri) 18:56:08
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