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★ 数学クイズ？ / たいぞう
問題 A
昔アラビアのある商人が,ラクダを17頭もっていました。この商人が年をとり死の床についたときに,自分の3人の子供をまくらもとへ呼んで、次のように遺言しました。「わしの 17頭のラクダの1/2 は長男に,1/3 は次男に, 1/9 は三男にやりたいと思う。3人はそれぞれのラクダをもって しっかり商売をやり、いつまでも仲よく暮らすようにしなさい」ところがこの商人が亡くなった後で、兄弟たちが分けようとしましたがどうしてもできないので,すっかり困ってしまいました。この話を聞いたある年寄りが,「よし,そ れならわしがうまく分けてやろう」といって,自分のラクダを1頭つれて,この兄弟のところにやってきました。年寄りは17頭のラクダに自分のラクダを加えて18頭にすると,次のようにいいました。
「長男は、1/2 というのだから, 18頭の1/2の9頭をとりなさい。次男は1/3 というのだから、18頭の1/3 の6頭を とりなさい。三男は1/9 というのだから, 18頭の 1/9の2頭をとりなさい。これで3人とも、おとうさんが言ったとおりのラクダをもらったのだから満足だね。これからは、仲よく暮らすのですよ」さてこの年寄りは, つごう17 頭の ラクダを渡したあと,残った1頭を見を見ると「ああ、これは私のラクダだったね」といって,つれて帰ってしまいま した。 ・ 初め分けることができないと思っていたラクダが見事に分けられましたね。
このお話の解説をしてください。

問題 B
2つの正の分数b/aとd/cがあります。正の数a,b,c,dについてb/a+d/c=(b+d)/(a+c)が成り立つことはあるでしょうか。

お願いします。
No.68166 - 2020/07/20(Mon) 21:50:12
☆ Re: 数学クイズ？ / IT
問題A　数学ではなく　クイズですね。

商人の遺言に反した分け方になっていますね。

問題B　正の数a,b,c,dについてb/a+d/c=(b+d)/(a+c)が成り立つことはないですね。

解くと
a,b正 、c,d負
a,b負 、c,d正　のどちらかになります。
No.68174 - 2020/07/21(Tue) 01:35:08
☆ Re: 数学クイズ？ / たいぞう
変な問題に答えていただき、ありがとうございました。
No.68182 - 2020/07/21(Tue) 10:46:30
★ (No Subject) / 高校生
解説お願いします！
No.68165 - 2020/07/20(Mon) 21:28:48
☆ Re: / X
ベクトルを学習済みであるという前提で回答を。
(ベクトルを学習されていないのであれば
その旨をアップして下さい。)

条件から
↑OA・↑OB=4・3・cos60°=6 (A)
一方、OPは∠AOBの二等分線であることから
AP:BP=OA:OB=4:3
∴↑OP=(3↑OA+4↑OB)/7
となるので
|↑OP|^2=|(3↑OA+4↑OB)/7|^2
=(1/49)(9|↑OA|^2+24↑OA・↑OB+16|↑OB|^2} (B)
(B)に(A)などを代入すると
|↑OP|^2=432/49
∴OP=|↑OP|=(12/7)√3
No.68175 - 2020/07/21(Tue) 05:44:08
★ (No Subject) / 高校生
(1)の解き方を教えてください！
No.68162 - 2020/07/20(Mon) 19:07:00
☆ Re: / X
条件から
S=Σ[l=0〜n-1]{{2^(3l)}cos(2lπ)+{2^(3l+1)}cos(2lπ+2π/3)
+{2^(3l+2)}cos(2lπ+4π/3)}
=Σ[l=0〜n-1]{2^(3l)-{2^(3l+1)}/2-{2^(3l+2)}/2}
=Σ[l=0〜n-1]-2^(3l+1)
=Σ[m=1〜n]-2^(3m-2) (m=l+1と置いた)
=-2Σ[m=1〜n]8^(m-1)
=-2(1-8^n)/(1-8)
=(2/7)(1-8^n)
No.68163 - 2020/07/20(Mon) 19:57:16
★ 微分積分 / りな
こちらの問題分かる方いたら解説して頂きたいです。
No.68161 - 2020/07/20(Mon) 19:06:10
☆ Re: 微分積分 / 関数電卓
f(x) は
　f(x)＝x＋(1/2){1/(x＋1)＋1/(x−1)} …(*)
と書けます。質問者さんは，
　y＝1/(x＋1), y＝1/(x−1)
のグラフを描くことが出来ますか？
これが出来れば，y＝f(x) のグラフを描くことが出来，どこで極値をとるのか，見当がつきます。あとは (*)を微分し，増減表を描いて，きちんと計算します。
No.68209 - 2020/07/21(Tue) 21:24:18
★ 大学数学　積分論 / やま
(1)(2)どちらもわかりません。どなたか解説して頂けると助かります。
No.68160 - 2020/07/20(Mon) 18:50:40
☆ Re: 大学数学　積分論 / ast
無限部分集合で補集合が有限となるものを補有限と呼ぶことにしますが, (1),(2)とも補有限が一つでも混じっていればド・モルガンの法則からそれらの合併が補有限になるのは明らかなので, 有限集合の合併のところがクリティカル((1)は自明な話で(2)は有限の可算合併は可算になりうる).
# 加法族の定義の仕方はいくつかあるが, 非自明な論点はそのくらいだと思うのでまあええやろ
# (つまり, ほかの条件も示せないという場合は, 採用している定義を明らかにすることが必須).
No.68223 - 2020/07/22(Wed) 01:26:19
★ 極方程式 / 瑛
どんな感じで変形していますか？
No.68158 - 2020/07/20(Mon) 18:19:12
☆ Re: 極方程式 / 瑛
解決しました！
No.68164 - 2020/07/20(Mon) 21:13:22
★ 大学数学　代数学 / やま
2.の(b)(c)(d)が分かりません。どなたか解答を頂けると助かります。ちなみに(C)は素イデアルだと思うんですがこれは正しいでしょうか？
No.68156 - 2020/07/20(Mon) 18:06:56
☆ Re: 大学数学　代数学 / ast
(b) は φ: R→Z/2Z; φ(a+bi):= a-b mod 2 に準同型定理. 最低限確認すべき非自明な事項は φ が環準同型となることおよび Ker(φ)=(1+i)R.
# たとえば似たような Ψ: R→Z; Ψ(a+bi):= a-b は積を保たない (もちろん核も小さい).
(c)に素イデアルと書いて×になることは無いとは思うけど, Z/2Z は体だしより強い結果が言えるので, あんまりいい問題ではない気がする. (c),(d) はセットの問題だと思うので(d)もどうなのかなあ
No.68219 - 2020/07/22(Wed) 00:34:58
★ 大学数学　積分論 / やま
この問題が分かりません。どなたか解答を与えて頂けると助かります。
No.68155 - 2020/07/20(Mon) 18:04:11
☆ Re: 大学数学　積分論 / ast
左辺の定義は?
# 個人的には左辺はこの右辺で定義されると思っているのだけど……
No.68222 - 2020/07/22(Wed) 01:06:01
★ (No Subject) / やま
1.(1)(2)(3)全て分かりません。(1)(2)だけでも良いのでどなたか解答を与えて頂けると助かります。
No.68154 - 2020/07/20(Mon) 18:02:48
☆ Re: / ast
定義の条件を確認するだけだけど, ほとんど自明な等式 (両辺が無限大という意味で等しいみたいな式とか) ばっかりだし特にいうべきことはないのでは……
(3)も後半は自明だから前半だけが問題だけど, それも実質的にはいわゆる区間縮小法で実数が一個特定できるって話でしかないです.
No.68221 - 2020/07/22(Wed) 00:58:04
★ 複素関数論 / たか
積分をしてみたら次のようになりました。合っていますでしょうか…しっかり見直しながらやったのですが答えがなくて不安です。お願いします。

∫[-∞→∞]_cosx/(x^2+1)・dx = π/e

∫[-∞→∞]_sinx/(x^2+1)・dx = 0
No.68149 - 2020/07/20(Mon) 16:44:12
☆ Re: 複素関数論 / ast
どちらもあっています. 過程ではなく結果を訊くのならば, 機械に訊いたほうが待たずにわかるので活用して見られては?
参考: cos(x)/(x^2+1) のほう と, sin(x)/(x^2+1) のほう (Wolfram Alpha).
# まあちゃんと答えを返すように打たないといけないけど, Wolfram Alpha は
# 結構いい加減な入力でもいいように解釈してくれるので, 適当でもまず打ってみるといいと思います.
## (ちゃんと解釈してくれた場合, テキストコピー機能を使うと, 機械フレンドリな入力構文も教えてくれる)
No.68150 - 2020/07/20(Mon) 17:17:09
☆ Re: 複素関数論 / ast
どちらもあっています. 過程ではなく結果を訊くのならば, 機械に訊いたほうが待たずにわかるので活用して見られては?
参考: cos(x)/(x^2+1) のほう と, sin(x)/(x^2+1) のほう (Wolfram Alpha).
# まあちゃんと答えを返すように打たないといけないけど, Wolfram Alpha は
# 結構いい加減な入力でもいいように解釈してくれるので, 適当でもまず打ってみるといいと思います.
## (ちゃんと解釈してくれた場合, テキストコピー機能を使うと, 機械フレンドリな入力構文も教えてくれる)
No.68150 - 2020/07/20(Mon) 17:17:09
★ 複素関数論 / たか
積分をしてみたら次のようになりました。合っていますでしょうか…しっかり見直しながらやったのですが答えがなくて不安です。お願いします。

∫[-∞→∞]_cosx/(x^2+1)・dx = π/e

∫[-∞→∞]_sinx/(x^2+1)・dx = 0
No.68149 - 2020/07/20(Mon) 16:44:12
☆ Re: 複素関数論 / ast
どちらもあっています. 過程ではなく結果を訊くのならば, 機械に訊いたほうが待たずにわかるので活用して見られては?
参考: cos(x)/(x^2+1) のほう と, sin(x)/(x^2+1) のほう (Wolfram Alpha).
# まあちゃんと答えを返すように打たないといけないけど, Wolfram Alpha は
# 結構いい加減な入力でもいいように解釈してくれるので, 適当でもまず打ってみるといいと思います.
## (ちゃんと解釈してくれた場合, テキストコピー機能を使うと, 機械フレンドリな入力構文も教えてくれる)
No.68150 - 2020/07/20(Mon) 17:17:09
☆ Re: 複素関数論 / ast
どちらもあっています. 過程ではなく結果を訊くのならば, 機械に訊いたほうが待たずにわかるので活用して見られては?
参考: cos(x)/(x^2+1) のほう と, sin(x)/(x^2+1) のほう (Wolfram Alpha).
# まあちゃんと答えを返すように打たないといけないけど, Wolfram Alpha は
# 結構いい加減な入力でもいいように解釈してくれるので, 適当でもまず打ってみるといいと思います.
## (ちゃんと解釈してくれた場合, テキストコピー機能を使うと, 機械フレンドリな入力構文も教えてくれる)
No.68150 - 2020/07/20(Mon) 17:17:09
★ 関数を求める問題 / たきや
A 一般二項係数の上にある問4を教えてください。よろしくお願いします。
No.68147 - 2020/07/20(Mon) 16:29:42
☆ Re: 関数を求める問題 / たきや
一番上にある(5)〜(8)は大丈夫です。
No.68148 - 2020/07/20(Mon) 16:30:50
☆ Re: 関数を求める問題 / ast
4(1): g(x):= 1/(1-x) =?農[n=0,1,2,…] x^n と置けば, 求める函数は x*(x*g'(x))'.
# x/(1-x) =?農[n=1,2,…] x^n から始めても同じ.
No.68151 - 2020/07/20(Mon) 17:37:55
★ 複素関数論 / たか
f(z)=1/(z^2+1)の留数を求めたいのですが1/2iと-1/2iであってますでしょうか。
No.68143 - 2020/07/20(Mon) 15:56:18
☆ Re: 複素関数論 / ast
あっています.
No.68145 - 2020/07/20(Mon) 16:05:12
★ 絶対値のついた関数のグラフの書き方 / すもも
y=|x-1|+|x-2|のグラフを書けという問題なのですが、書けたグラフが画像のような変な形になり不安です。これで合っているのでしょうか？
No.68138 - 2020/07/20(Mon) 14:25:53
☆ Re: 絶対値のついた関数のグラフの書き方 / らすかる
合っていません。y=|x-1|+|x-2|という式から、xの値が決まれば
yの値はただ一つに決まらなければなりませんが、このグラフは
x=0やx=1に対応するyの値が二つありますので、正しくありません。
No.68141 - 2020/07/20(Mon) 15:45:38
☆ Re: 絶対値のついた関数のグラフの書き方 / ast
何でこんなことになったのだろうと少し検討してみましたが, 三種類出てくるはずの直線のうち一つだけ, 消すべき部分と残すべき部分がテレコになってるだけなのですね (変な言い方になるかもしれないが, 見るからに間違っているにも拘らず, だいたいは合っているとも言える).
おそらく場合分けして解こうとされたのだろうと推察されるので, そのうちの一つの場合だけ不等号の向きを間違えたケアレスミス, というようなことではないですか?
No.68144 - 2020/07/20(Mon) 16:00:31
☆ Re: 絶対値のついた関数のグラフの書き方 / すもも
符号ミスしていたみたいです！解答ありがとうございます！
No.68243 - 2020/07/22(Wed) 18:48:32
★ 線形代数 / にんか
Aは　n×n実行列である
(1)ある奇数mがあって、A^m=En(単位行列)であるとき、|A|=1であることを示せ。
(2)tA=-Aであるとする。nが奇数であるとき、|A|=0を示せ。

奇数という条件をどう使えば良いのかわかりません。
よろしくお願い致します。
No.68136 - 2020/07/20(Mon) 11:44:10
☆ Re: 線形代数 / ast
最初から奇数と思わずに単に n は自然数としてまず |A| に関する方程式を作ることを目指すべきです.

(1) は仮定から行列式についても |A^m|=|E_n| が成り立ち, (2) も同様に仮定から |tA|=|-A| です
いずれも |A| に関する等式として書き直せば, m,n が奇数のときと偶数のときとで何が違うのかわかると思います.
No.68139 - 2020/07/20(Mon) 14:54:17
☆ Re: 線形代数 / にんか
無事解くことが出来ました！ありがとうございました。
No.68181 - 2020/07/21(Tue) 09:47:51
★ マクローリン、テイラー級数展開 / 大学生
写真の二問がわかりません。途中式も書いてくれると助かります。よろしくお願いします。
No.68135 - 2020/07/20(Mon) 11:14:22
☆ Re: マクローリン、テイラー級数展開 / ast
実質的には, 公式に出てくる f^(n)(a) (問1 なら (sin(2x))^(n)|_{x=π/2}, 問2 なら (x*cos(x^2))^(n)|_{x=0} を計算せよという計算問題ですから, どんどん微分を計算するだけで終わると思いますが, 具体的には何に詰まっているのでしょうか?

まず無いとは思いますが仮に微分すればいいことすら分からないという段階だとこの問題は早すぎるというしかなくなりますし. ありそうな話としては, 一階とか二階の導函数なら計算できるが一般の高階導函数になるとどう表していいか分からないというような意図のご質問でしょうか?
# 三角函数の微分だと数回でパターンを繰り返すようなのがよく出てくるので
# 一般的な表示というのを希求しなくてもあっさり解けることは多いです.
具体的な解説をするにはもっと具体的な疑問点の開示が必要だと思います.

なお, 問2 は公式通りに高階微分係数を求めてももちろん解けますが, 実際には公式通りに計算する必要はなくて cos(x) のマクローリン展開が分かっていれば, 変数に x^2 を放り込んで x を掛けるだけだと思います.
No.68140 - 2020/07/20(Mon) 15:08:06
☆ Re: マクローリン、テイラー級数展開 / 大学生
マクローリン展開は解けました。テイラー級数展開が解けません。写真のように微分して0を代入するところまでいけたのですが、その先が分かりません。
No.68153 - 2020/07/20(Mon) 18:01:09
☆ Re: マクローリン、テイラー級数展開 / ast
> 微分して
微分は問題なさそうですね. しかし,
> 0を代入するところ
x=π/2 における展開なので 0 を代入してもまったく意味がないですね, 展開の n-次の項が f^(n)(π/2)(x-π/2)^n/n! であることをしっかり確認しながら進めてください.
No.68159 - 2020/07/20(Mon) 18:26:36
★ 積分と証明です / つるの
すみません、画像に載ってる問題が分かりません。可能であれば、計算問題は過程も教えていただきたいです。
No.68132 - 2020/07/20(Mon) 01:19:55
☆ Re: 積分と証明です / つるの
(1)は解決しました。
No.68170 - 2020/07/20(Mon) 23:44:15
☆ Re: 積分と証明です / GM
（２）はlogxのx乗ではなくn乗ではないですか？
また（３）はΣを用いた答になりませんか？
No.68244 - 2020/07/22(Wed) 19:35:59
☆ Re: 積分と証明です / つるの
すみません、その通りです。間違えてしまいました。
No.68274 - 2020/07/23(Thu) 16:51:49
★ 大学生の線形代数 / やま
大学2回生です。ファイルの写真の(5)のa.bどちらもわかりません。どなたか解答を与えて頂けると助かります。
No.68130 - 2020/07/20(Mon) 00:34:05
☆ Re: 大学生の線形代数 / ast
5(a): 固有値 λ とそれに属する固有ベクトル x をとれば, 任意の自然数 k に対して A^kx=λ^kx だから前半は明らか. 後半は A^n≠O ならば非零ベクトル x で A^nx≠0 なるものがとれるが, このとき n+1 個のベクトル x, Ax, …, A^nx は (いずれも零ベクトルでなく, かつ) 一次独立となり矛盾.

5(b)は 5(a) から A^2=O なので (A≠I_2 (2-次単位行列)に注意すれば) ハミルトン・ケーリーからすぐに出る.
No.68142 - 2020/07/20(Mon) 15:51:43
★ 整数問題 / うわ
(m,n)=(2,3)は分かるのですが、それ以外の解がないことが示せません。教えてください。
No.68128 - 2020/07/19(Sun) 21:41:51
★ 中間値の定理？ / meow
どのように証明すればよいのかまったくわかりません．
No.68117 - 2020/07/19(Sun) 17:34:50
☆ Re: 中間値の定理？ / IT
もっとストレートな方法があるかも知れませんが、定積分を使ってみました。

b,c ∈(0,a) ,b＜c とする。
f(0)=0 なので､
　f(b)/b=∫[0,b]f'(t)dt/b, f(c)/c=∫[0,c]f'(t)dt/c

f''(x)＞0なので　f'(x)は狭義単調増加
したがって
　x ∈(0,b)でf'(x)＜f'(b) よって ∫[0,b]f'(t)dt＜bf'(b)
　x ∈(b,c)でf'(b)＜f'(x) よって ∫[b,c]f'(t)dt＞(c-b)f'(b)
等号が成り立たないことを示すには、もう少し厳密な議論が要るかも。
∴∫[b,c]f'(t)dt＞(c-b)∫[0,b]f'(t)dt/b

f(c)＝∫[0,b]f'(t)dt+∫[b,c]f'(t)dt
＞∫[0,b]f'(t)dt+(c-b)∫[0,b]f'(t)dt/b
＝(c/b)∫[0,b]f'(t)dt
＝(c/b)f(b)

∴f(c)/c＞f(b)/b
No.68120 - 2020/07/19(Sun) 18:30:53
☆ Re: 中間値の定理？ / IT
ほとんど同じことですが、「定積分の平均値の定理」　を使えば良いですね。

普通の「平均値の定理」でも出来るかも。
No.68121 - 2020/07/19(Sun) 19:06:46
☆ Re: 中間値の定理？ / ast
f(x) を 0 のまわりで (剰余項が 2-階導函数で書けるところまで) テイラー展開すると, f(0)=0 だから f(x)/x = f'(0)+f''(c(x))x/2 (0< c(x)< x) のような形になり, (c(x) は x に依存して変化するので一次式なわけではないが) 各点 x において瞬間の傾き f''(c(x)) は仮定により正なので単調増大であることは十分保証できる, というのはどうでしょうか.
No.68122 - 2020/07/19(Sun) 19:22:46
☆ Re: 中間値の定理？ / IT
普通の平均値の定理で簡単に言えますね。b,c は前記のとおりとします。途中、はしょってますので、埋めてください。
平均値の定理とf"(x)＞0,f(0)=0から、
　f(b)/b=(f(b)-f(0))/(b-0)＝f'(β)＜f'(γ)＝(f(c)-f(b))/(c-b), 　（0＜β＜b＜γ＜c）
通分して整理　cf(b)＜bf(c) ∴ f(b)/b＜f(c)/c
No.68123 - 2020/07/19(Sun) 19:29:49
☆ Re: 中間値の定理？ / 黄桃
昔聞いた方法を紹介します。
以下の(*)は、今の高校数学ではf’’(x)>0からいえるといっていいかどうかわからないですが参考まで。
0<b<cO(0,0), B(b,f(b)),C(c,f(c))
とおきます。示すべきことは、f(b)/b<f(c)/c　です。

f’’(x)>0 とは、f(x)が下に凸ということ。
f(x)が下に凸ということは、O,Cを除く線分OC上の点はy=f(x)より上にあるということ(*)。
つまり、直線OCより下にBがあるということ。したがって、OBの傾きの方がOCの傾きより小さいということ。
これを式でかけば、f(0)=0より、
f(b)/b<f(c)/c
となります。

＃入試問題としてまじめにやるならITさんのように(OBの傾き)<(BCの傾き)を平均値の定理を使って示すのでしょう。
No.68127 - 2020/07/19(Sun) 20:43:33
☆ Re: 中間値の定理？ / meow
皆さん回答ありがとうございます．
マクローリン展開する方法はまったくもって予想外でした．
平均値の定理がいちばん簡潔なのかな？とも思いました．
もう一度確認し，解いてみようと思います．
ITさん，astさん，黄桃さん．ありがとうございました．
No.68129 - 2020/07/20(Mon) 00:26:53
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