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★ 行列の三角化 / くま
3×3行列の三角化ができません。
(0,1,0)
(1,0,1)
(0,-1,0)

(-1,0,-1)
(0,-1,1)
(-1,-1,-1)

2つの行列の三角化の過程を教えてください。
No.67503 - 2020/07/01(Wed) 21:53:12
☆ Re: 行列の三角化 / ast
厳密さをさておけば, 固有ベクトルを用いた対角化のしかたと同様で, この場合は広義固有ベクトルを並べた正則行列で相似変換すればいい (するとジョルダン標準形がでてくる?) ということになります.

問題の行列を順に A,B とします. A の固有値は 0, B の固有値は -1 のみです.
[i] A^2x=0 なベクトルは Ax=0 (固有ベクトル) または Ax=v≠0 (v が A の固有ベクトル). A^2x=0 となる x=(s,t,u) は u=-s, t:任意で, t=0 のときが固有ベクトル (とりあえず s=1 のをとることにする) だから, t=1, s=0,1 なベクトルを補えばよさそうです. それで計算した結果はこうなる (by WolframAlpha) みたい.

[ii] B+I=((0,0,-1);(0,0,1);(-1,-1,0)), (B+I)^2=((1,1,0);(-1,-1,0);(0,0,0)) だから, (B+I)^2x=0 となる x=(s,t,u) は t=-s, u:任意. u=0 のときが B の固有ベクトルで, u=1, s=0 はそれと独立だけど u=1,s=1 はそれら二つに従属なので, 別のを探す. (B+I)^3=O は零行列だから x は何でもいいので x=(0,1,0) とでもとったらこうなった (by WolframAlpha).

# よくわかってないで計算してるので, 厳密さは勘弁してください. (ほかの方に期待)
No.67518 - 2020/07/02(Thu) 21:26:19
★ (No Subject) / すうらく
4sin(a/2)sin(B/2)cos(a-B)/2の最大値最小値はどうやって計算したら求めれますか？教えてください
(0<a,B<2π)
No.67502 - 2020/07/01(Wed) 21:47:44
☆ Re: / IT
４sin(a/2)sin(B/2)cos((a-B)/2)ですか？

最大値は、sin(a/2)＝sin(B/2)＝cos((a-B)/2)＝1となることがあるので簡単ですね。

最小値は、難しい？（存在しないこともありえます）

大学程度なら偏微分して極値を求める。
両端の値を求める。

（追記）最小値はあるようです。計算ソフトによると
　a=π/3,B=5π/３のときなどに
sin(a/2)sin(B/2)cos((a-B)/2)=-1/8 となりこれが最小値
No.67510 - 2020/07/02(Thu) 13:38:18
★ (No Subject) / たけし
赤線のように置いたときx=1/tとなるとおもうのですが、limのしたのxはなぜそのままtにできるのですか？
No.67500 - 2020/07/01(Wed) 20:12:18
☆ Re: / ヨッシー
ｘ→０　が　ｔ→０ になっているなら、
ｘをそのままｔに換えたと言えますが、
ｔ→∞ なので、ｘ→０ と同義です。
No.67501 - 2020/07/01(Wed) 20:40:40
☆ Re: / たけし
ありがとうございます！
No.67505 - 2020/07/02(Thu) 08:28:46
★ 状態数最小化 / おり
写真にある2つの状態数最小化問題で、□に値する英字がわかりません どのように解けばいいのかわからないので、どなたか教えて下さい
No.67491 - 2020/07/01(Wed) 10:23:11
★ 三角関数 / うい
-1の時のΘの値を出したいのですが、
なぜ-3/4Πと-Π/4に特定できるのですか？
No.67484 - 2020/07/01(Wed) 05:35:07
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
「特定できるのですか？」というのは、
他に、○も□も答えのはずなのに、なぜこの2つが・・・
と言う意味と思われますが、他にどんな角度が考えられますか？

それとも、ｘ＝-3π/4 や ｘ＝-π/4 が なぜ、
sinｘ＝−1/√2 の解となるのか？という意味ですか？
No.67485 - 2020/07/01(Wed) 05:56:55
★ (No Subject) / うい
√2sin(1＋Θ)かと思ったのですが違いました。
Π/4の出し方を教えてほしいです
No.67483 - 2020/07/01(Wed) 05:19:18
☆ Re: / ast
> √2sin(1＋Θ)かと思った
これも何から出てくると思った "1+" だったのでしょう?
# 同じ様な式を書かれているので一瞬前のスレッドと同じ問題かと思ったら, ぜんぜんちゃうやん^^;
# どんな式を合成しても "±1" かと思ってしまうのでは正直な話, 結構まずいので
# ちゃんと解説 (教科書や参考書の該当箇所の解説も含め) を読み込むようになさってください.

> Π/4の出し方
その式の右側にある図がそれです. sin(θ) の係数 1 が x-座標, cos(θ) の係数 1 が y-座標となる点 (1,1) と原点とを結ぶ線分を描くことで, 斜辺の長さ √2 と角度 π/4 が求まります.
なんでそんな図を書いているかは, 下のスレッドに書いた内容と同じ理由です.
もう一度簡単になぞっておくと: sin(θ) の係数が a*cos(α), cos(θ) の係数が a*sin(α) と書けるとすると a*sin(θ)*cos(α)+a*cos(θ)sin(α)=a*sin(θ+α). いまどちらも係数が 1 ですから, a*cos(α)=1 かつ a*sin(α)=1, a^2=1^2+1^2=2 なので a=√2. このとき, (√2*cos(α),√2*sin(α))=(1,1) となるような角 α は画像に書かれた右側の図のように存在して α=π/4 です.

# 直接 cos(α)=1/√2, sin(α)=1/√2 から α=π/4 としてもよいです.
# また, α は -π/2≤α≤π/2 の範囲 (あるいは 0≤α≤π の範囲) で決めればよいです
# (α は一般角で (考えてもべつに支障はないけど無駄なので) 考える必要はない)
No.67487 - 2020/07/01(Wed) 06:41:02
☆ Re: / IT
（どんどん遡らないといけないようなので）
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=67225

三角関数の最初から教科書で確認された方が、結局は早道かと思います。
No.67490 - 2020/07/01(Wed) 07:31:01
★ 原始関数 / 森
√(1-x^2)の原始関数の求め方が分かりません。お願いします。
No.67476 - 2020/06/30(Tue) 23:48:47
☆ Re: 原始関数 / わっさわ
∫√(1-x^2)dxを計算します。

x=sinθとすると,dx=cosθdθから
∫√(1-x^2)dx
=∫√(1-sin^2θ)cosθdθ
=∫cos^2 θdθ
=∫(1/2+cos2θ/2)dθ....半角の公式
=θ/2+1/4 sin2θ+C
=1/2*arcsin(x)+1/2 sinθcosθ+C....倍角の公式
=1/2*arcsin(x)+1/2 x√(1-x^2)+C

となります
No.67479 - 2020/07/01(Wed) 02:33:20
☆ Re: 原始関数 / X
別解)
∫√(1-x^2)dx=I
と置くと、部分積分により
I=x√(1-x^2)+∫{(x^2)/√(1-x^2)}dx
=x√(1-x^2)-∫{{-1+(1-x^2)}/√(1-x^2)}dx
=x√(1-x^2)+∫dx/√(1-x^2)-I
∴2I=x√(1-x^2)+∫dx/√(1-x^2)
となるので
I=(1/2)x√(1-x^2)+(1/2)∫dx/√(1-x^2)
=(1/2)arcsinx+(1/2)x√(1-x^2)+C
(Cは積分定数)
No.67498 - 2020/07/01(Wed) 17:26:19
★ マクローリン展開 / 数学
先日五階導関数の質問をした者なのですが、（2)の(x^2)・sin(x)のマクローリン展開が分かりません。よろしくお願いします。
No.67475 - 2020/06/30(Tue) 23:25:22
☆ Re: マクローリン展開 / GandB
　sin(x) をマクローリン展開して、x^2をかけるだけ。
No.67488 - 2020/07/01(Wed) 06:49:01
★ (No Subject) / ぽぽ豆
coshx (-∞<x<=0)の逆関数とその定義域の求め方を教えてください。お願いします。
No.67471 - 2020/06/30(Tue) 22:22:50
☆ Re: cosh の逆関数 / ヨッシー
cosh(x)＝{ｅ^x＋ｅ^(-x)}/2
これを、
　{ｅ^y＋ｅ^(-y)}/2＝ｘ
と置いて、ｙ＝・・・の形にします。
ただし、ｙ≦０。
　Ｙ＝ｅ^y とおくと、
　Ｙ＋1/Ｙ＝2x
　Ｙ^2−2xＹ＋1＝０
解の公式より
　Ｙ＝ｘ±√(ｘ^2−1)
ｙ≦０ より
　Ｙ＝ｘ−√(ｘ^2−1)
　ｅ^y＝ｘ−√(ｘ^2−1)＞０
より
　ｙ＝log{ｘ−√(ｘ^2−1)}
定義域は、ｘ≧１
No.67473 - 2020/06/30(Tue) 22:39:36
☆ Re: / ぽぽ豆
ありがとうございました！
No.67478 - 2020/07/01(Wed) 01:33:02
★ 三角関数の合成 / うい
2sin(x-1)と
2sin(x-2/3Π)は
同じものといえるでしょうか？
No.67466 - 2020/06/30(Tue) 20:46:29
☆ Re: 三角関数の合成 / ast
プロットの欄にグラフがありますが, 一致しているようには見えませんね.
どうして同じだと思ったのか, ネタもとがあるならそちらを訊かれたほうが, 質問者にとっても回答者にとっても意味のあるやり取りになると思います.
No.67467 - 2020/06/30(Tue) 21:03:24
☆ Re: 三角関数の合成 / うい
この問題を解こうとしました…
2sin(x-1)だと思ったのですが
答えは2sin(x-2/3Π)になるそうです
No.67481 - 2020/07/01(Wed) 04:28:59
☆ Re: 三角関数の合成 / うい
反転してしまいました…すみません
No.67482 - 2020/07/01(Wed) 04:29:41
☆ Re: 三角関数の合成 / ast
つまり, f(x)=-sin(x)+√3*cos(x) を sin で合成したいのですよね.
まず sin の加法定理の式はちゃんと覚えていますか? (三角関数の合成というのは, 加法定理の逆の操作をやることをいうので, 加法定理が頭に入っていないのはダメですよ)
　(0) [ア]sin(x+[イ]π/[ウ]) を加法定理で展開します:
　　　=[ア](sin(x)cos([イ]π/[ウ])+cos(x)sin([イ]π/[ウ]))
　　　=[ア]sin(x)cos([イ]π/[ウ]) + [ア]cos(x)sin([イ]π/[ウ])
となるはずです.
　(1) (0) で求めた式と f(x) がまったく同じ式であるようにしたいならどうすればいいでしょうか?
　　　sin(x)の係数: -1 = [ア]cos([イ]π/[ウ])
　　　cos(x)の係数: √3 = [ア]sin([イ]π/[ウ])
であればよいはずですね?
　(2) そのような [ア],[イ],[ウ] は存在するでしょうか?
　　　両辺二乗して辺々加えると:
　　　　(-1)^2+(√3)^2 = [ア]^2(cos^2([イ]π/[ウ])+sin^2([イ]π/[ウ]))
　　　つまり, 4 = [ア]^2. よって [ア]=2.
　　　このとき, cos([イ]π/[ウ])=-1/2.
　　　　　　　　sin([イ]π/[ウ])=√3/2.
　(3) このような条件を満たす弧度法の角度 [イ]π/[ウ] は何ラジアンですか?
　　　(これについては少し上にある次のスレッドの説明にまかせることにします)

-- (おまけ) --
念のため伺いたいのですが,
> 2sin(x-1)だと思った
には何か根拠があったのでしょうか, それともあてずっぽうでしょうか?
間違いのもとを断つため (今後また同じように引っかからないため) にも, どのように考えた末の結論だったのかその考えの道筋も提示なさった方がいいかもしれません.
No.67486 - 2020/07/01(Wed) 06:29:24
★ 定積分 / あい
知人と協力しているのですがどうしても分かりません…。お願いします。
No.67462 - 2020/06/30(Tue) 20:09:58
☆ Re: 定積分 / あい
画像忘れました。
No.67463 - 2020/06/30(Tue) 20:11:08
☆ Re: 定積分 / X
(3)
a=bだと問題の定積分は存在しませんので
a≠bと仮定します。
(x-a)(b-x)=-ab+(1/4)(a+b)^2-{x-(a+b)/2}^2
=(1/4)(b-a)^2-{x-(a+b)/2}^2
∴問題の定積分において
x-(a+b)/2=(1/2)(b-a)t
と置くと
(与式)={2/|b-a|}∫[-1→1]dt/√(1-t^2)
=2π/|b-a|
No.67469 - 2020/06/30(Tue) 21:33:58
☆ Re: 定積分 / GM
（１）x=sintとおいて置換積分をするとlog(sint)の0からπ/2の定積分になります。
log(sinx)とlog(cosx)の0からπ/2の定積分は等しいので求める定積分をIとすると
2I＝log(sinx)+log(cosx)の0からπ/2の定積分
log(sinx)+log(cosx)=log(sinxcosx)=log(1/2)+log(sin2x)
右辺第２項の定積分は2x=tとおくことで(1/2)log(sint)の0からπの定積分になります。
log(sint)の0からπの定積分は0からπ/2の定積分の２倍なので結局
I=-(π/2)log2

（２）1+cosx=2cos(x/2)^2よりlog(1+cosx)=log2+2log(cos(x/2))
右辺第２項の定積分はx/2=tとおくことで4log(cost)の0からπ/2の定積分になるので
（１）の結果を用いることができます。
No.67780 - 2020/07/09(Thu) 15:55:11
★ 論理関数 / ca
画像の問題なのですが分からないので回答お願いします。両問じゃなくても大丈夫です。
No.67444 - 2020/06/30(Tue) 14:14:26
☆ Re: 論理関数 / ヨッシー
１つ目

No.67445 - 2020/06/30(Tue) 14:32:31
☆ Re: 論理関数 / ca
ありがとうございます！
No.67446 - 2020/06/30(Tue) 14:35:57
☆ Re: 論理関数 / ヨッシー
２つ目

空白（０）の部分を和で表して掛けます。
No.67453 - 2020/06/30(Tue) 17:00:37
☆ Re: 論理関数 / ca
当然のことですが返信待ちではなくあの後も考えていたのですが解にはたどり着けませんでした。本当にありがとうございます。
No.67457 - 2020/06/30(Tue) 18:47:51
★ 関数解析学 / ky
上が問題で下が証明なんですけど、この証明で細かいところがわからないので丁寧に証明をお願いしたいです！
No.67442 - 2020/06/30(Tue) 12:56:34
★ (No Subject) / Megu
自分で調べたりしたけど解けませんでした。
今日中に解かないといけないので、どうか過程も含めて教えていただけないでしょうか？
No.67440 - 2020/06/30(Tue) 11:12:51
☆ Re: / ヨッシー
ωがω3＝1 を満たす複素数のとき、次の行列式を求めよ。


これは出来たのでしょうか？
No.67441 - 2020/06/30(Tue) 11:25:18
☆ Re: / Megu
1が4で2が6ω^2+2ωになりました
No.67447 - 2020/06/30(Tue) 15:00:32
☆ Re: / ヨッシー
途中式は書けますか？
No.67448 - 2020/06/30(Tue) 15:01:40
☆ Re: / Megu
1は余因子展開を用いて2次の正方行列に持ち込みときました。
2は一度余因子展開を用いたのちサラスの公式を用いて解きました
No.67450 - 2020/06/30(Tue) 15:27:25
☆ Re: / ヨッシー
余因子展開ってこういうことですよね？


この方法はさておき。
この3×3の行列でもいいですし、元の問題の(1) でも良いですが、
「ある行を何倍化して、別の行に足す（引く）」
を使って、２行１列目の成分を０にしてみましょう。
No.67451 - 2020/06/30(Tue) 16:07:25
☆ Re: / ヨッシー
とりあえず、今日までということなので、
こちらのこの式を紹介しておきましょう。

No.67452 - 2020/06/30(Tue) 16:36:02
☆ Re: / Megu
ただいま確認しました。
この紹介していただいた式は3にしか使えませんよね？
1と2はどのような方針で解けば良いでしょうか？
No.67460 - 2020/06/30(Tue) 19:20:04
☆ Re: / ヨッシー
(1) はとりあえず、
>「ある行を何倍化して、別の行に足す（引く）」
>を使って、２行１列目の成分を０にしてみましょう。
です。
No.67472 - 2020/06/30(Tue) 22:24:28
☆ Re: / Megu
すみません、1はなんとか解けました
2はどうすればいいでしょう？
No.67474 - 2020/06/30(Tue) 23:13:51
☆ Re: / ast
> 式は3にしか使えませんよね？
その公式は巡回行列式全部に使えます (どの変数に何を代入するか考えるだけ). (1)(2) も巡回行列式であることに変わりないですから, もちろん通用します.
# 行の入れ替え (-1 が掛かる) 回数くらいは気にしないといけないけど

(1)(2)(3)は一貫した続き問題なのに, なんで一個一個バラバラで考えて, 一個解説されても残りに対して通用するかまともに考えずに脳みそリセットしようとするのかなあ……

問題文しかない丸投げスレのうえに, 回答付いたのに複数回リセットしようとするのも含めて, 質問者が回答をどう受け取って何か考えたのか全然フィードバックする気がないせいで, 無駄なやり取りしかほぼないスレッドになってる印象だな……
# たとえばNo.67447がおかしいから間違い箇所指摘するために途中式を書いてみろと言われたのに
# まともにとりあわずに方針だけ曖昧に答えるし, それに対してNo.67451で
# その方針での正しい計算が書かれたのにそれには何も反応しないし, 結局また話がゼロからになってて,
# いったい何のやり取りだったのかって流れになってる.
No.67480 - 2020/07/01(Wed) 03:07:03
★ 五階導関数 / 数学
写真の二門が分かりません。面倒臭いと思いますがよろしくお願いします。
No.67431 - 2020/06/29(Mon) 21:13:41
☆ Re: 五階導関数 / ヨッシー
ライプニッツの公式
　{f(x)g(x)}(5)＝f(x)g(x)(5)＋5f(1)(x)g(4)(x)＋10f(2)(x)g(3)(x)＋10f(3)(x)g(2)(x)＋5f(4)(x)g(1)(x)＋f(5)(x)g(x)
に
(1)　f(x)＝ｘ^3、g(x)＝ｅ^(2x)
(2)　f(x)＝ｘ^2、g(x)＝sin(x)
をそれぞれ代入して計算します。
No.67438 - 2020/06/30(Tue) 07:06:59
★ (No Subject) / のん
nを3以上の自然数とする。(x^n)-1を(x-1)^3で割った時の余りを求めよ。という問題を積分で解く方法を詳しく教えて頂けると有難いです。
No.67429 - 2020/06/29(Mon) 20:51:06
☆ Re: / IT
微分でなくて積分ですか？
No.67437 - 2020/06/29(Mon) 23:04:03
☆ Re: / のん
失礼しました、微分でした。すみません。
No.67464 - 2020/06/30(Tue) 20:24:12
☆ Re: / IT
(x^n)-1を(x-1)^3で割った時の商をQ(x)余りをax^2+bx+c とおいて,(x^n)-1＝・・・　とします。

これを1回､2回微分すれば､元の式と併せて３つの式が出来ます｡
それぞれx=1 とおいて出来た連立方程式から､a,b,c を求めます。
やってみてください｡
No.67465 - 2020/06/30(Tue) 20:30:54
☆ Re: / のん
x^n-1＝(x-1)^3＊Q(x)＋ax^2＋bx＋c
x＝1 を代入して 0＝a＋b＋c
xについて微分すると
n＊x^(n-1)＝???＋2ax＋b　となったのですが
(x-1)^3＊Q(x)ってどう微分すればよいのでしょうか？微分の方法についての質問になってしまって申し訳ありません^^;
No.67468 - 2020/06/30(Tue) 21:20:55
☆ Re: / IT
積の微分法を使って微分します。
Q(x)の微分はQ'(x) と書けば良いです。

積の微分法を習っておられないならこの問題を解くのは、まだ早いです。
習ったが忘れたのなら教科書で確認してください。
No.67470 - 2020/06/30(Tue) 21:37:54
☆ Re: / のん
まだ習っていないので、今のところ二項定理で解いておきます。また習ったら再度挑戦してみます！
ありがとうございました。
No.67497 - 2020/07/01(Wed) 17:04:53
★ (No Subject) / でかかく子ちゃん
赤線を引っ張った部分の因数分解がわかりません！教えて頂きたいですお願いします
No.67426 - 2020/06/29(Mon) 20:12:37
☆ Re: / ヨッシー
kn＋k−165n＋ｃ＝(ｋ＋ａ)(ｎ＋ｂ)
と書けたとします。
　(右辺)＝kn＋bk＋an＋ab
なので、明らかに ａ＝−165、ｂ＝１、ｃ＝−165 です。
kn＋k−165n＝225 の左辺が
　kn＋k−165n−165
になるように、両辺に −165 を足すと
　kn＋k−165n−165＝60
となります。
No.67430 - 2020/06/29(Mon) 21:03:25
☆ Re: / でかかく子ちゃん
理解できました！ありがとうございます！
No.67432 - 2020/06/29(Mon) 21:23:54
★ 道路コスパ / Aki
文系成人です。道路建設のコストと経済効果の関係について考えていて、自分で思いついた問題です。

平面上の1辺1kmの正方形の頂点の位置にA,B,C,Dの4都市が存在します。いまA,B,C,Dの4都市を連絡する道路網の建設を計画しています。

道路の建設には1kmあたり1億円の費用がかかります。道路建設後は、6台のトラックを使い、2都市間のピストン輸送（A⇔B、A⇔C、A⇔D、B⇔C、B⇔D、C⇔D）にそれぞれ従事させます。そして、輸送が1回完了するたびに、1万円の経済効果が生まれます。

どのような形の道路網を敷いたときに、一番早く建設費を経済効果が上回るでしょうか。

ただし、
・トラックは常に最短経路を通り、6台とも同じ一定速度で走る。
・どの2都市間にも等しく無限の輸送需要がある（たとえばA⇔B間輸送に従事するトラックは A→B輸送完了と同時にB→A輸送開始可能）。


考察：
・全2都市間に直線道路を敷く場合、平均輸送距離は(4+2*sqrt(2))/6 kmと最短になるが、建設費は(4+2*sqrt(2))億円と高くつく。
・Ｘ字型に敷くと、平均輸送距離はsqrt(2) kmだが、建設費は2*sqrt(2)億円で済むので、上記より明らかに回収が早い。
・4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）で敷くと、建設費はもちろん最小になるが、輸送効率との比でもこの型が最強なのか？
・→そうではなさそう。計算ソフトを使ってPとQを真ん中に向かって接近させてみたところ、なぜか角APB=角CQD=約108.8度くらいの時に最強と出た。でもこの型がコスパ最強の保証はない。

考え方の手掛かりがつかめません。アイデアをお持ちでしたらご教示いただきたく。
No.67422 - 2020/06/29(Mon) 19:08:48
☆ Re: 道路コスパ / X
条件設定が足りません。

「経済効果」の定義が多重化していて、何を最適化したいのか
がはっきりしません。

例えば、都市間の経済効果の総和が建設費を
最も早く上回る、ということであれば
都市間の最短直線ルートの一つである、例えば
AB間の直線ルートのみを作り、6台全てを
このルートに走らせればよいことになります。
No.67424 - 2020/06/29(Mon) 19:50:27
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
> 一番早く建設費を経済効果が上回るでしょうか。
「建設費を償却するする時間が最短な建設の仕方は？」と読めますが，それで良いのだろうか？
No.67425 - 2020/06/29(Mon) 19:57:51
☆ Re: 道路コスパ / Aki
たしかに不明確でした。一番早く建設費を償却できる敷き方という解釈で結構です。ある期間内に経済効果最大になる敷き方が全都市間最短距離敷設なのは当然ですね。
No.67427 - 2020/06/29(Mon) 20:25:50
☆ Re: 道路コスパ / Aki
なお、6台は常にそれぞれがAB間、AC間、AD間、BC間、BD間、CD間の専用線という設定で、全部がAB間を走ったりすることはありません。AB間をピストン輸送するのは同一の1台だけです。
No.67428 - 2020/06/29(Mon) 20:40:20
☆ Re: 道路コスパ / IT
> 平均輸送距離はsqrt(2) kmだが

その条件の場合は、平均輸送距離を評価するのではなくて

６つのルートの距離の逆数の和（∝輸送回数の和）を評価する必要があるのでは？

全体としては、　６つのルートの距離の逆数の和/建設距離の和　が最大になるようにする。
No.67434 - 2020/06/29(Mon) 21:43:06
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
> 一番早く建設費を償却できる敷き方という解釈で結構
> 1辺1kmの正方形の頂点の位置にA,B,C,Dの4都市
> 道路の建設には1kmあたり1億円
> 輸送が1回完了するたびに、1万円の経済効果（稼ぎ）
このような設定の場合，都市間にのべ数万回以上の輸送が必要なわけで，
> 2都市間にも等しく無限の輸送需要がある
> A→B輸送完了と同時にB→A輸送開始可能 ← 時間の無駄はない
とき，単位時間あたりの稼ぎは，道路の総距離に反比例する。…(1)
建設費は距離に比例する …(2) から，償却時間は (2)/(1) で，距離の２乗に比例する。よって，これが最小なのは距離が最小となる
　・4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）
である。現時点では，私はこう思いますが，全幅の自信は…やや…？！？
No.67435 - 2020/06/29(Mon) 22:04:09
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
IT さんが正しいですね。失礼しました。
No.67436 - 2020/06/29(Mon) 22:23:02
☆ Re: 道路コスパ / Aki
大変わかりやすい解説ありがとうございます。

ITさん、関数電卓さんの説明を合わせて考えると、
「6つのルートの距離の逆数の和/建設距離の和が最大になる」
図形とは、結局
「4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）」
ということになるのでしょうね。
No.67455 - 2020/06/30(Tue) 18:33:24
☆ Re: 道路コスパ / IT
> 「6つのルートの距離の逆数の和/建設距離の和が最大になる」
> 図形とは、結局
> 「4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）」
> ということになるのでしょうね。
違うと思います。
No.67456 - 2020/06/30(Tue) 18:38:34
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
私も「違います」。
IT さんの
　６つのルートの距離の逆数の和（∝輸送回数の和）を評価する必要がある
が本質です。具体的な評価を，後に書きたいと思います。
No.67458 - 2020/06/30(Tue) 18:52:06
☆ Re: 道路コスパ / Aki

と思ったのですが、試しに


V= (6つのルートの距離の逆数の和/建設距離の和)
と置いて、

「4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）のとき」...(1)
と
「(1)のときの点Pと点Qをそれぞれ正方形の重心方向へまっすぐわずかにスライドさせ、角APB＝CQD＝118度になる形のとき」...(2)
でVの値を比較してみたら、

(2)のときの方が大きくなってしまいました。違いますね。

結局どんな図形のときVが最大になるのでしょう。
No.67459 - 2020/06/30(Tue) 18:52:20
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
縦横の対称性は考えて良い(？)でしょうから，図左のように道路を建設したとします。
図のように x を定めると，
　道路の距離の和　＝4√(1＋x^2)＋2−2x …(1)
　6 経路の逆数の和＝1/√(1＋x^2)＋2/(√(1＋x^2)＋1−x) …(2)
(2)/(1)をグラフにすると図右のようになり，x≒0.596 で最大値≒0.390 をとり，
このとき ∠APB≒118.4°になるようです。最短路 120°にかなり近い。
尚，計算は こちら にやってもらいました。
No.67477 - 2020/06/30(Tue) 23:54:27
☆ Re: 道路コスパ / Aki
ご丁寧にありがとうございます。やはり縦横の対称性はあると考えてよろしいんですかね？　感覚的な話ですけど、非線対称だけど点対称な図形、あるいは四方対称な図形の一部みたいな形が最大になる可能性って考えなくてもいいですか？
No.67489 - 2020/07/01(Wed) 07:13:53
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
非対称な場合等をきちんと考察して除いた訳ではありませんが，おそらく↑が本星でしょう。
評価すべき関数がこれだけ複雑になると，考えてみようという食指が動きません。すみません。
実際問題としては数値的に調べるのが一番堅実で，ABCD 内を細かな格子に分割 (初めは 1/10 or 1/20 程度に) し，P, Q をすべてに置く虱潰しを敢行する。大きな傾向がわかったら，その点の近傍をさらに細分して調べる。この程度ならば，Excel でマクロを組んでもさほど大変ではありません。
No.67495 - 2020/07/01(Wed) 16:21:38
☆ Re: 道路コスパ / Aki
思ったより複雑ですね。やはりしらみつぶし的な解法しかないんでしょうかね。PQ枝分かれ型が正解の保証もなさそうですから、ちゃんとやろうとすると計算膨大になっちゃいますね。
ありがとうございました。
No.67499 - 2020/07/01(Wed) 17:55:32
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
No.67477 の結果が「コスパ最良」の証明ではありません。しかしながら，(憶測ですが) これより劇的に良いルートがあるとも考えにくい。
この結果が『最短ルートに』かなり近いことを考えると，ルートが長くなるほど建設費がかさむ訳で，今回のモデルでは考慮されていない
・建設のための借入金返済のための利払い
・長くなるほど，メンテナンス経費も膨らむ
等の事情もあり，(私見ですが) 現実的には 最短ルートが良い ことになるように思われます。　
No.67519 - 2020/07/02(Thu) 21:42:19
★ 線形代数です / やす
行列A,B,Cのサイズをそれぞれl×m,l×n,n×mとしてA=BC,m＜nが成り立っている時
rankB=n,rankC=mならばrankA=mである
これは正誤どちらでしょうか？
No.67421 - 2020/06/29(Mon) 18:50:56
★ 複素関数論 / かく
複素関数論の問題です。
Im ∫c f(z)dz = ∫c Imf(z)dz は成り立つか？
No.67419 - 2020/06/29(Mon) 17:35:36
☆ Re: 複素関数論 / X
問題の命題は成立しません。
反例)
f(z)=i
C={z|z=(1+i)t,t:0→1}
とすると
Im[∫[C]f(z)dz]=Im[(1+i)i∫[t:0→1]dt]
=1
∫[C]Im[f(z)]dz=(1+i)∫[t:0→1]dt
=1+i
∴Im[∫[C]f(z)dz]≠∫[C]Im[f(z)]dz
No.67420 - 2020/06/29(Mon) 18:04:14
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