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★ 統計学ですが大丈夫でしょうか。 / おんよし
「テストの結果で，国語の平均が63点，標準偏差6点，数学の平均が51点，標準偏差8点であるときの合計点の分布を求めめよ．（どちらの点数も正規分布）」
この問題の考え方を教えてください．
なお答えは，平均が114点，標準偏差が10点です．
No.67231 - 2020/06/24(Wed) 07:05:03
☆ Re: 統計学ですが大丈夫でしょうか。 / ヨッシー
結果だけ言うと
　平均ａ、分散ｂ　の正規分布に従う確率変数と
　平均ｃ、分散ｄ　の正規分布に従う確率変数との和は
　平均ａ＋ｂ、分散ｂ＋ｄ　の正規分布に従います。

平均　63＋51＝114
分散　36＋64＝100　・・・　標準偏差は 10
No.67232 - 2020/06/24(Wed) 08:47:10
★ 何度も失礼します / うい
この部分は何の公式から出せたのですか？
No.67225 - 2020/06/24(Wed) 04:53:41
☆ Re: 何度も失礼します / らすかる
cosθ=(底辺)/(斜辺) という式からです。
No.67226 - 2020/06/24(Wed) 05:55:54
★ ベクトル / うい
ベクトルが苦手でどうしても式が理解できません
これはなぜこうなったのですか？
No.67224 - 2020/06/24(Wed) 04:30:56
☆ Re: ベクトル / ast
直下のスレともども, 平面図形の単元で内分点・外分点の解説をしているところを探して復習してください.
# ベクトルで書いても本質は同じなので, ベクトルの単元の中で解説があるならそれを見てくれればいい.
線分 AB を m:n に内分する点が (nA+mB)/(m+n) になる (本当は座標ごとに) というような内容が書いてあったはずです.
# いま t:(1-t) のように m+n=1 で分母が消えるような割合でとっていることに注意.

ベクトルで方程式を立てると, (「図形と式」の単元で出てくるような座標成分に関する方程式と比べると) 実に直観的というかどんな操作をしているか手続き的に記述されていることがわかるので, 感覚に頼る人ほど扱い易い数学的概念だと思います.
No.67228 - 2020/06/24(Wed) 06:05:10
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
ＡＤをｍ：ｎに内分する点をＥとすると
　ＯＥ＝(ｎＯＡ＋ｍＯＤ)/(ｍ＋ｎ)
という内分の公式に
　ｍ＝ｓ、ｎ＝１−ｓ
を代入したものです。
No.67229 - 2020/06/24(Wed) 06:05:15
★ (No Subject) / うい
ベクトルＯＰの求め方を教えてください
No.67223 - 2020/06/24(Wed) 04:06:52
★ もう一つ / サムライ
追加の写真です
No.67221 - 2020/06/23(Tue) 23:59:11
★ もう一度送ります / サムライ
もう一度写真を送ってみます
No.67220 - 2020/06/23(Tue) 23:57:39
★ 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / サムライ
(問4)平行四辺形0, a, b, a+bと，上で与えた作図法に従って，長方形0, a′, b′′, a′+b′′
を図示せよ.
(12) 最後に，以上の変形を反映した行列式の計算を確認しておきましょう.
􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 |A|=􏰀􏰀 a1 a2 􏰀􏰀=􏰀􏰀 a1 a2 􏰀􏰀==􏰀􏰀 a1 0 􏰀􏰀=a1b′′
􏰀bb􏰀􏰀0b′′􏰀 􏰀0b′′􏰀 122
この計算は，P3 による変形のみに基づき，P1 と P2 は用いていないことに，注意する (これは非常に重要).また，b′′ は(問 3)で計算されているはずなので，それを代入
すると 1 つの計算式が得られます(求めてください). • 他の行変形行列 P1 と P2 についても見ておきましょう.
2

(1)P1(1,r), r̸=0は1行目を，r倍します.r>0の場合は，aの長さをr倍するだけなの で，面積も r 倍されるはずです.r < 0 の場合は，a の長さを |r| 倍すると同時に，その ベクトルの向きは逆にします.a とは逆方向のベクトル ra から b を見ると，前とは逆 回りになっているはずです.つまり，符号が逆転します(数値的には −1 倍).そのた め，もとの行列式の (−1) × |r| = r 倍することになります.つまりどちらの場合であっ ても r 倍です.
􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 |P1(1,r)A|=􏰀􏰀 ra 􏰀􏰀=r􏰀􏰀 a 􏰀􏰀
􏰀b􏰀 􏰀b􏰀 であることを理解してください.これは 2 行目のベクトル b についても同様に考えるこ
とができるので，i = 1, 2 に対して次のように表現できます. |A| = 1r |P1(i, r)A| = r|P1(i, 1/r)A|
特に，r = −1 の場合は，
上の関係式は，|A| の計算が目的がなので，もしも P1(i, 1/r) で A を変形したら，r を
|A| = −|P1(i, −1)A| かけて修正しないと等号にならないという形式で与ています.
(2) P2 (1, 2) は 1 行目と 2 行目を入れ替えます.実は，|P2 (1, 2)A| の計算は P3 と P1 を使っ
て求められます.
()( )
P3(1, 2, 1) a = a + b ba
P3(2, 1, −1) P3(1, 2, 1)
()()
a + b = a + b b −a
()()
a + b = b
−a
が成り立ちます.P3 行列による変形は行列式の値を変化させないので，次のような計
算ができます.
ここまでは，P3 行列しか用いていません.これは，P3 のみを用いて，実質的に P2 の 役割を実現できることを示しています.これにより a ベクトルの符号は変わりますが， 通常はそのまま気にせずに，計算を続けていけます.
P1 についてすでに述べた性質により，その符号(−1)を行列式の外に出せば，目的の P2 に関する公式を得ます.
|A| = |P3(1, 2, 1)P3(2, 1, −1)P3(1, 2, 1)A| 􏰀􏰀 􏰀􏰀
= 􏰀􏰀 b 􏰀􏰀 􏰀 −a 􏰀
􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀
􏰀b􏰀 􏰀b􏰀
|A|=􏰀􏰀 −a 􏰀􏰀=−􏰀􏰀 a 􏰀􏰀=−|P2(1,2)A|
(問 5) n = 2 のとき，次の積を右側から順に計算していき(そのつど計算結果を表 記しながら)，最後に得られた行列を P 行列で表現せよ.
P1(1, −1)P3(2, 1, 1)P3(1, 2, −1)P3(2, 1, 1) =
−a

(3) 上の (2) において，−a の負の符号を外に出すためだけに P1 の性質を用いました.そ の符号を −1 として外に出さなくてもよいとするなら，その性質を使う必要はありませ ん.そう考えると，平行四辺形がつぶれていないときは，P3 のみを用いて，対角行列 に変形できることになります.

[1] 今回の課題にある(問4)について，以下に与える具体的なaとbにおいて，具体的な図を 描け.また，最後に得られた長方形に基づく対角行列の行列式を求めよ.2 問に答えよ(正確に， 見やすく描いてあるかで評価する).
(1)a=(−2,1), b=(4,1) (2)a=(4,1), b=(2,3)
[2] 今回の課題にある(問 5) に答よ. P1(1, −1)P3(2, 1, 1)P3(1, 2, −1)P3(2, 1, 1) =
No.67215 - 2020/06/23(Tue) 22:39:19
☆ Re: 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / らすかる
私の環境では文字化けがひどいですが、他の人には正常に見えているのでしょうか。
No.67218 - 2020/06/23(Tue) 23:10:53
☆ Re: 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / IT
ソースを見ても　変なコード？　#1113088　がたくさんありますから、ダメのようですね。
No.67219 - 2020/06/23(Tue) 23:18:39
☆ Re: 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / ヨッシー
スマホではちゃんと見えるみたいですが、
いきなり、「上で与えた作図法」と言われても、という感じですね。
#この部分は、パソコンでも見えてますが。
No.67230 - 2020/06/24(Wed) 06:10:31
★ 友達に出された問題 / 高一
?@ f:y=0.02x二乗+20とg:y=-0.01x二乗+16に囲まれた部分の面積を求めよ。

?A数1Aでベン図を使う、最上級に難しい問題を教えてください。
No.67214 - 2020/06/23(Tue) 21:52:57
☆ Re: 友達に出された問題 / ヨッシー
?Aはともかく、?@は囲まれた部分はありません。
No.67236 - 2020/06/24(Wed) 15:20:30
☆ Re: 友達に出された問題 / 高一
すみません。f:y=-0.02x二乗＋16です。マイナスを忘れていました。
No.67246 - 2020/06/24(Wed) 21:36:50
☆ Re: 友達に出された問題 / ヨッシー
20 も 16 に替えるのですか？
それだとまた、囲まれた部分がなくなります。

ｙ＝−0.02ｘ^2＋20
ｙ＝−0.01ｘ^2＋16
だとして、両者連立させて、
　−0.01ｘ^2＋4＝0
　ｘ＝±２０
よって、求める面積は
　0.01×(20＋20)^3/6＝320/3

こちらの公式を使っています。
No.67282 - 2020/06/25(Thu) 22:58:52
★ (No Subject) / アイス
赤線を引いたところなのですが、＞0を確認しているのは素数が正でなければいけないからというのはわかるのですが、n−4＜n+6の確認の意味がわかりません。 またよってn−4=1となるのかがわかりません。n−4かn−6が1がにならなければならないのはわかるのですが、n−6=1ではだめなのですか？
No.67206 - 2020/06/23(Tue) 20:35:22
☆ Re: / ast
pが素数で p=ab と積に書けるとき, (0<)a< b なら a=1 かつ b=p の場合しかありません.
> n−4＜n+6の確認の意味がわかりません。
> またよってn−4=1となるのかがわかりません。
> n−6=1ではだめなのですか？
三つ全部同じ上の理由からきていることはわかりますよね?
No.67207 - 2020/06/23(Tue) 21:08:29
☆ Re: / ヨッシー
いつの間にか、ｎ＋６をｎ−６とすり替えているようですが、ｎ＋６＝１ はあり得ませんね。
No.67208 - 2020/06/23(Tue) 21:10:29
☆ Re: / アイス
納得しました！ありがとうございます！
No.67212 - 2020/06/23(Tue) 21:29:35
★ 線形数学 / くま
過程が分かりません。
No.67204 - 2020/06/23(Tue) 19:13:28
★ 証明問題についてです / えび
この二つの式の証明が全く分かりません...
片方だけでも解ける方いらっしゃいましたら是非お願い致します。
No.67203 - 2020/06/23(Tue) 19:07:28
☆ Re: 証明問題についてです / IT
f(x)＝arcsin(tanhx)、g(x)＝arctan(sinhx)とおく。
arcsinx,tanhx、arctanx,sinhxは狭義単調増加なので
f(x),g(x)は狭義単調増加
またf(x),g(x)の値域は(-π/2,π/2)

定義域(-π/2,π/2)におけるf,g の逆関数を考える。

arcsinxの逆関数はsinxで値域は(-1,1)
(-1,1)におけるtanhxの逆関数は(1/2)log((1+x)/(1-x))なので
f(x)の逆関数は(1/2)log((1+sinx)/(1-sinx))
=(1/2)log((1+sinx)^2/(cosx)^2)　
=log((1+sinx)/(cosx)) ∵cosx＞0

arctanxの逆関数はtanxで値域は(-∞,∞)
(-∞,∞)におけるsinhxの逆関数はlog(x+√(x^2+1))なので
g(x)の逆関数はlog(tanx+√((tanx)^2+1))　
＝log(tanx+1/cosx)) ∵cosx＞0
=log((sinx+1)/cosx))　

fの逆関数,gの逆関数は一致する。よってf(x)=g(x)

＃もっとすっきりした証明があるかもしれません。
＃値域とか定義域などは確認してください。
No.67209 - 2020/06/23(Tue) 21:18:37
☆ Re: 証明問題についてです / IT
(2)の左辺は(1) の右辺の(2)の右辺は(1)の左辺の逆関数ですね。　どちらかを証明すれば他方は即、言えますね

(2) から証明したほうが早かったですね。
No.67210 - 2020/06/23(Tue) 21:22:33
☆ Re: 証明問題についてです / ast
機械的にやるなら, f(x):=(左辺)-(右辺) を微分して f'(x)=0 (恒等的に零) ⇒ f(x)=(定数) を得て, (定数)=0 を適当な値を代入して確かめるというパターンでいけると思いますが.
# まあ厳密さを要求する場合は, 当然 f'=0 かどうか厳密に言えてるかどうかを気にはするべきですが.

どうでもいいですが, 個人的には双曲線函数の逆函数は ar を前置して arsinh や artanh と書く派です. (arc 弧 から決まる逆三角函数とは異なり, 逆双曲線函数は area 面積 から決まる量なので)
No.67211 - 2020/06/23(Tue) 21:29:27
☆ Re: 証明問題についてです / WIZ
arctan(sinh(x)) と arcsin(tanh(x)) の値域を (-π/2, π/2) として良いなら

(1)
u = arctan(sinh(x)), v = arcsin(tanh(x)) とおき、
-π/2 < u <π/2 かつ -π/2 < v <π/2 とします。

tan(u) = sinh(x)です。

また cos(u) > 0 なので、
sin(v) = tanh(x)
= sinh(x)/√(1+sinh(x)^2)
= tan(u)/√(1+tan(u)^2)
= tan(u)/√(1/cos(u)^2)
= tan(u)/(1/cos(u))
= sin(u)

つまり (-π/2, π/2) で sin(u) も sin(v) も単調増加なので、
sin(v) = sin(u) より u = v と言えます。

(2)
p = arctanh(sin(x)), q = arcsinh(tan(x)) とおき、
-π/2 < x < π/2 とします。

tanh(p) = sin(x) です。

また cos(x) > 0 なので、
sinh(q) = tan(x)
= sin(x)/cos(x)
= sin(x)/√(1-sin(x)^2)
= tanh(p)/√(1-tanh(p)^2)
= tanh(p)/√(1/cosh(p)^2)
= tanh(p)/(1/cosh(p))
= sinh(p)

sinh(p) と sinh(q) は単調増加なので、sinh(q) = sinh(p) より p = q と言えます。
No.67213 - 2020/06/23(Tue) 21:52:12
☆ Re: 証明問題についてです / えび
3名ともありがとうございます。本当に感謝です。
No.67222 - 2020/06/24(Wed) 01:12:18
★ 線形数学です / ぽんた
V=R^3の標準基をB^V={e1,e2,e3}とする。V内の平面H:4x-3y-2z=0への正射影を表す線形写像Fの(B^V,B^V)表現行列を基の変換を利用して求めよ。

解き方がわかりません。
よろしくお願いいたします。
No.67202 - 2020/06/23(Tue) 18:13:49
★ たぶん高校1Aだと思います / みん
合同式を満たすx(0≦x<23)を求めよ。
x2≡2(mod 23)
No.67199 - 2020/06/23(Tue) 16:45:33
★ テイラーの定理　質問 / jpdj
1は解けたのですが、2から解けないです。
No.67197 - 2020/06/23(Tue) 15:41:58
☆ Re: テイラーの定理　質問 / トーカ
(2)テイラーの定理からf^(n)をfをn回導関数、cは0とxの間の数とすれば　Rn(x)=f^(n)(c)x^n/n!　とかける。　　　

R4(1/3)=f^(4)(c)(1/3)^4/4!　0<c<1/3
これを計算して　0≦R4(1/3)≦0.015　を導く。
No.67300 - 2020/06/26(Fri) 15:43:17
★ 確率 / とら
(2)で袋Bから1つ取り出すと問題文を変えた時、どう考えれば良いのでしょうか。
No.67196 - 2020/06/23(Tue) 15:10:15
☆ Re: 確率 / らすかる
どこを「袋Bから1つ取り出す」に変えるのですか？
No.67198 - 2020/06/23(Tue) 15:54:43
☆ Re: 確率 / とら
「袋Bから2個同時に取り出す」のところです
No.67216 - 2020/06/23(Tue) 22:50:54
☆ Re: 確率 / らすかる
「袋Bが1つ取り出すとき、2球とも赤球である確率」はおかしいので
「袋Bが1つ取り出すとき、その1球が赤球である確率」のように変更するものと考えれば

Aから赤球を取り出してBから赤球を取り出す確率は
(6/9)×(4/8)=1/3
Aから白球を取り出してBから赤球を取り出す確率は
(3/9)×(3/8)=1/8
なので合計して11/24となります。
No.67217 - 2020/06/23(Tue) 23:08:47
★ 大学数学 / M
画像の問題の解き方を教えていただきたいです
e^x^2の積分を解くと誤差関数というものがあるようですが、まだ習っておらず扱い方がわからないので可能であれば誤差関数を用いない開放を教えていただきたいです
No.67194 - 2020/06/23(Tue) 13:57:40
☆ Re: 大学数学 / ヨッシー
こちらは誤植がないですね（独り言）

こちらに、同じ質問がありますので、ご覧ください。
No.67195 - 2020/06/23(Tue) 14:06:43
☆ Re: 大学数学 / M
無事解くことができました
ありがとうございました
No.67200 - 2020/06/23(Tue) 16:53:18
★ (No Subject) / ky
こちらもお願いしますm(_ _)m
No.67187 - 2020/06/23(Tue) 02:44:24
★ 大学数学　複素関数 / ky
お願いします＜(_ _)＞
No.67186 - 2020/06/23(Tue) 02:43:43
★ ベクトル / あさな
法線ベクトルに着目するのかなという感じなのですがよくわかりません。教えてください。
No.67185 - 2020/06/23(Tue) 00:48:23
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
ａ，ｂ，ｃには、正の数と負の数がそれぞれ１つ以上あります。
正の数が２つのとき、それを仮にａ，ｂとします。
負の数が２つのとき、
　ａ＝−ａ、ｂ＝−ｂ、ｃ＝−ｃ
としても、
　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０
　ａ＋ｂ＋ｃ＝０
が成り立ち、ａ，ｂ，ｃの２つの正の数を仮にａ，ｂとします。

　ａｘ＋ｂｙ＝(ａ＋ｂ)ｚ
なので、図のような関係になります。
　|ｘ|＝|ｙ|＝|ｚ|
より、この三角形の辺の比が ａ：ｂ：(ａ＋ｂ) であり
これが成り立つのは、
　ｘ、ｙ、ｚ が同じ向きの場合
よって、
　|ｘ|＝|ｙ|＝|ｚ|
から
　ｘ＝ｙ＝ｚ
が言えます。
No.67190 - 2020/06/23(Tue) 07:29:43
☆ Re: ベクトル / X
別解)
↑x,↑yの向きが同じであるということを示す
という方針自体はヨッシーさんと同じですが
内積で詰めてみます。

|↑x|=|↑y|=|↑z| (A)
a+b+c=0 (B)
a↑x+b↑y+c↑z=↑0 (C)
とします。
(B)より
c=-(a+b) (B)'
これを(C)に代入して
a↑x+b↑y=(a+b)↑z
∴|a↑x+b↑y|^2=|(a+b)↑z|^2
左辺を展開し、(A)を用いると
(a^2+b^2)|↑x|^2+2ab↑x・↑y={(a+b)^2}|↑x|^2
整理して
2ab(↑x・↑y-|↑x|^2)=0
条件からab≠0ゆえ
↑x・↑y=|↑x|^2
これと(A)により
↑x・↑y=|↑x||↑y|
これは
↑xと↑yの向きが同じである
ことを示しているので
(A)により
↑x=↑y (E)

(E)と(C)により
(a+b)↑x+c↑z=↑0
更に(B)より
a+b=-c
∴-c↑x+c↑z=↑0
c(↑z-↑x)=↑0
条件からc≠0ゆえ
↑z=↑x (F)
(E)(F)より
↑x=↑y=↑z
No.67205 - 2020/06/23(Tue) 20:30:25
★ 大学数学証明 / かなぞう
f(x),g(x)が(a,b)で微分可能である時、次式を満たすc(a<c<b)が存在することを証明せよ。

　f(b)-f(a) / g(b)-g(a) = f'(c) / g'(c)

お願いします。
No.67182 - 2020/06/22(Mon) 23:46:51
☆ Re: 大学数学証明 / らすかる
例えば
f(a)=0
f(x)=1（a＜x＜b）
f(b)=2
g(x)=x
のとき条件を満たすcは存在しないのでは？
No.67183 - 2020/06/22(Mon) 23:55:42
☆ Re: 大学数学証明 / IT
条件が不足しているようですね。
「コーシーの平均値の定理」で検索すると加える条件や証明が出てきます。
No.67191 - 2020/06/23(Tue) 07:32:20
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