正数 a, b, c がa+b+c<1をみたしているとき, 次の(1), (2)を証明せよ。
(1) x≧1,y≧1ならば
xy＞ax+by+c
が成り立つ。
(2)x≧a, y≧b, z≧cならば
yz+zx+xy＞a(c+b)x+b(c+a)y+c(a+b)z+3abc
が成り立つ。
教えてください。
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No.66532 - 2020/06/08(Mon) 11:30:58
| ☆ Re: 不等式 / X | | | (1)
x≧1,y≧1により
0＜1/x≦1,0＜1/y≦1,0＜1/(xy)≦1
∴a/y+b/x+c/(xy)≦a+b+c＜1
つまり
a/y+b/x+c/(xy)＜1 (A)
0＜xyに注意して(A)の両辺にxyをかけて
xy＞ax+by+c
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No.66537 - 2020/06/08(Mon) 12:27:08 |
| ☆ Re: 不等式 / X | | | (2)
x/a=X,y/b=Y,z/c=Z
と置くと
x≧a, y≧b, z≧c
により
X≧1, Y≧1, Z≧1 (B)
であり、証明すべき不等式は
bcYZ+caZX+abXY＞(a^2)(c+b)X+(b^2)(c+a)Y+(c^2)(a+b)Z+3abc
⇔bc{YZ-(bY+cZ+a)}+ca{ZX-(cZ+aX+b)}+ab{XY-(aX+bY+c)}＞0 (C)
ということで(C)を証明します。
(B)により、(1)の結果は
x,yの代わりにX,Y,Zのいずれか
二つを代入しても成立し
更に
a+b+c＜1
がa,b,cの対称式であることから
a,b,cの順序を入れ替えても
やはり(1)の結果は成立します。
∴
XY＞aX+bY+c (D)
YZ＞bY+cZ+a (E)
ZX＞cZ+aX+b (F)
(D)(E)(F)により(C)は成立します。
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No.66538 - 2020/06/08(Mon) 12:38:50 |
| ☆ Re: 不等式 / WIZ | | | > Xさん
(2)についてはかなり苦労されて式変形されていますが、以下のようにする方が見通しが良いかも
x/a ≧ 1, y/b ≧ 1, z/c ≧ 1 だから(1)の結果が使えて、
(x/a)(y/b) > a(x/a)+b(y/b)+c ⇒ xy > ab(x+y+c)・・・・・(ア)
(y/b)(z/c) > b(y/b)+c(z/c)+a ⇒ yz > bc(y+z+a)・・・・・(イ)
(z/c)(x/a) > c(z/c)+a(x/a)+b ⇒ zx > ca(z+x+b)・・・・・(ウ)
# 上記はXさんの(D)(E)(F)と事実上く同じ式です。
(ア)(イ)(ウ)の各辺を加えて、
xy+yz+zx > (ab+ca)x+(ab+bc)y+(bc+ca)z+3abc
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No.66554 - 2020/06/08(Mon) 18:26:47 |
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