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★ 数列 / 大学生
a[0]=1,b[0]=0
a[n+1]=a[n]+b[n],b[n+1]=a[n](n=0,1,2,...)

?@a[n+2]=a[n+1]+a[n]　を示せ


?Aa^2[n]-a[n]b[n]-b^2[n]=(-1)^n

よろしくお願いいたします。
No.67563 - 2020/07/04(Sat) 14:41:48
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(1)
a[n+2]＝a[n+1]＋b[n+1]
　　＝a[n+1]＋a[n]

(2)
c[n]＝a[n]^2-a[n]b[n]-b[n]^2 とおくと、
c[0]＝a[0]^2−a[0]b[0]−b[0]^2＝1
c[1]＝a[1]^2−a[1]b[1]−b[1]^2＝−1
c[n+2]＝a[n+2]^2−a[n+2]b[n+2]−b[n+2]^2
　＝a[n+2]^2−a[n+2]a[n+1]−a[n+1]^2
　＝(a[n+1]＋a[n])^2−(a[n+1]+a[n])a[n+1]−a[n+1]^2
　＝a[n+1]^2＋2a[n+1]a[n]＋a[n]^2−a[n+1]^2−a[n]a[n+1]−a[n+1]^2
　＝a[n+1]a[n]＋a[n]^2−a[n+1]^2
　＝a[n+1]b[n+1]＋b[n+1]^2−a[n+1]^2
　＝−c[n+1]
よって、c[n] はc[0]=1, c[1]＝-1, 公比−１の等比数列なので、
　c[n]＝(-1)^n
No.67571 - 2020/07/04(Sat) 16:44:13
★ お願いします。 / はやと
(2)の従って...f5(z)=zはどういう根拠から出るものでしょうか？上の逆関数の確認がそうなのかと思っているのですが、いまいち分かりません。お願いします。
No.67560 - 2020/07/04(Sat) 12:12:57
☆ Re: お願いします。 / IT
f[10](z)＝f[5](z) の両辺に　f^-5（逆変換f^-1を5回作用させる） を作用させると、

f[5](z)=z となります。

逆に、f[5](z)=zならば、f[10](z)=f[5](f[5](z))=f[5](z)。

したがって、
「任意のz∈Hについてf[10](z)＝f[5](z)」⇔「任意のz∈Hについてf[5](z)＝z」
No.67561 - 2020/07/04(Sat) 12:59:25
☆ Re: お願いします。 / はやと
すごくスッキリしました！言われてみれば確かにそうですね。
こんな質問してすみません。
No.67574 - 2020/07/04(Sat) 17:46:11
★ (No Subject) / 新垣
このルートの中のくくりかたがよくわかりません２乗があるのにくくっていいのですか？？詳しく途中式を教えていただきたいですお願いします。
No.67553 - 2020/07/04(Sat) 10:09:49
☆ Re: / IT
1行目から２行目への変形（0.14をルートの外に出した)
についての質問ですか？
（２行目から３行目も、同様のことをやってますが）
No.67558 - 2020/07/04(Sat) 11:34:45
☆ Re: / 新垣
あ、理解できました！ありがとうございます！
No.67570 - 2020/07/04(Sat) 16:17:49
★ 最後です / aiko
確率回最後です、よろしくお願いします！
No.67552 - 2020/07/04(Sat) 09:57:55
☆ Re: 最後です / ヨッシー
とりあえずこちらを紹介しておきます。
No.67600 - 2020/07/04(Sat) 23:01:45
★ (No Subject) / GACKT
なぜ誤りなのですか？
No.67550 - 2020/07/04(Sat) 09:40:40
☆ Re: / 元中3
xの指数がxの関数だから(つまり指数がxに依らない定数でないから)です。
定義に従って導関数を計算しようとしても指数が定数の時と同じように微分計算ができません。
例えばx^2=x・xですが、当然xは定数ではありませんので(x^2)'≠xです。(cx)'=cのように計算はできません。xを足す回数がxに依るからです。これと同じ要領で、xを掛ける回数がxに依る場合も指数が定数の時と同じようには計算できません。

補足で、対数を取らなくても無理やり底をeにしてやればそのまま合成関数の微分法を用いて微分できます。(対数微分法はそのeの指数部分を扱っているだけなので実質的にあまり差異はありませんが)
No.67555 - 2020/07/04(Sat) 10:19:15
☆ Re: / GACKT
詳しくありがとうございます！
No.67557 - 2020/07/04(Sat) 10:30:47
★ (No Subject) / たけし
囲ったところの通分なのですが、この組み合わせでやると分子がきれいになるというのは式を見ればわかるポイントがあるのですか？それとも答えだから一番スムーズな組み合わせで書かれてるだけですか？
No.67547 - 2020/07/04(Sat) 09:16:36
☆ Re: / ヨッシー
「答えだから」というのが真相と思います。
最初に思いついたのがベスト解答と思って、
分子が３次式になってもゴリゴリ進めるのが良いと思います。

こういう模範的なのは、一応心に留めておいて。
No.67548 - 2020/07/04(Sat) 09:23:43
☆ Re: / たけし
わかりました！ありがとうございます！
No.67549 - 2020/07/04(Sat) 09:39:55
★ 発展です / aiko
この問題も教えてください！
No.67542 - 2020/07/03(Fri) 23:07:49
☆ Re: 発展です / X
(1)
1回目に6の目が出て,2,3回目で6以外の目が出ればいいので
求める確率は
(1/6)(5/6)^2=25/216

(2)
(1)と同様に考えると
n-k-1回目に6の目が出て
それ以降からn回目までは6以外の目が出る
ということになればよいので
p[k]=(1/6)(5/6)^k

(3)
(2)の結果により
E[n]=Σ[k=1〜n]kp[k]
=(1/6)Σ[k=1〜n]k(5/6)^k
∴
(5/6)E[n]=(1/6)Σ[k=1〜n]k(5/6)^(k+1)
=(1/6)Σ[k=2〜n+1]k(5/6)^k
(k+1を改めてkと置いた)
=(1/6)Σ[k=2〜n]k(5/6)^k+(1/6)(5/6)^(n+1)

つまり
E[n]=(1/6)Σ[k=1〜n]k(5/6)^k (A)
(5/6)E[n]=(1/6)Σ[k=2〜n]k(5/6)^k+(1/6)(5/6)^(n+1) (B)
(A)-(B)より
(1/6)E[n]=(1/6)Σ[k=1〜n](5/6)^k-(1/6)(5/6)^(n+1)
=(1/6)(5/6){1-(5/6)^n}/(1-5/6)-(1/6)(5/6)^(n+1)
=(1/6)(5/36){1-(5/6)^n}-(1/6)(5/6)^(n+1)
∴E[n]=(5/36){1-(5/6)^n}-(5/6)^(n+1)
No.67545 - 2020/07/04(Sat) 08:49:13
☆ Re: 発展です / ヨッシー
(2) は ｋ＝ｎ のときは例外的に
　p[k]＝(5/6)^k　(k＝n)
となります。

これを基に(3)の期待値を計算すると、
(3)
　Ｅ[n]＝Σ[k=1〜n-1]ｋ・5^k/6^(k+1)＋ｎ・5^n/6^n
で計算できます。
　Ｓ＝Σ[k=1〜n-1]ｋ・5^k/6^(k+1)
とおくと、
　　Ｓ＝1・5/6^2＋2・5^2/6^3＋・・・＋(n-1)・5^(n-1)/6^n
(5/6)Ｓ＝1・5^2/6^3＋3・5^3/6^4・・・＋(n-2)・5^(n-1)/6^n＋(n-1)・5^n/6^(n+1)
上式から下式を引いて
　(1/6)Ｓ＝5/6^2＋5^2/6^3＋5^3/6^4・・・＋5^(n-1)/6^n−(n-1)・5^n/6^(n+1)
　Ｓ＝5/6＋(5/6)^2＋・・・＋(5/6)^(n-1)−(n-1)・(5/6)^n
　　＝5−6(5/6)^n−(n-1)・(5/6)^n
よって、
　Ｅ[n]＝5−6(5/6)^n−(n-1)・(5/6)^n＋ｎ・(5/6)^n
　　＝5−5(5/6)^n
No.67546 - 2020/07/04(Sat) 09:06:39
☆ Re: 発展です / aiko
ヨッシーさんもXさんもありがとうございました！
理解できました。

ちなみに、なんでn=kのときは確率が違うと分かったんですか？普通の思考回路ですか？
No.67554 - 2020/07/04(Sat) 10:13:28
☆ Re: 発展です / ヨッシー
ｋ＝ｎのときは６が出ることがないので、
他とは違うなと思ったことと、そのきっかけになったのは、
　p[k]＝5^k/6^(k+1)
という式です。ｋ＝ｎだと ｎ＋１乗になり、回数を超えるので、
調べてみようと思ったことからです。
No.67559 - 2020/07/04(Sat) 11:36:05
★ 確率です / aiko
この問題の答えを教えてください！
No.67540 - 2020/07/03(Fri) 22:27:48
☆ Re: 確率です / ヨッシー
(1)
２回でＢに到達する確率
　1/2×1/3＝1/6
３回でＢに到達する確率
　Ａ→Ｆ→Ｄ→Ｂ：1/2×1/3×1/2＝1/12
　Ａ→Ｅ→Ｆ→Ｂ：1/2×1/3×1/3＝1/18
　Ａ→Ｅ→Ｄ→Ｂ：1/2×1/3×1/2＝1/12
合計：1/6＋1/12＋1/18＋1/12＝7/18

(2)
ｎ回後にＥまたはＦにある確率をＡ[n]
Ｄにある確率をＢ[n] とします。
　Ａ[1]＝１、Ｂ[1]＝０
　Ａ[n+1]＝Ａ[n]/3
　Ｂ[n+1]＝Ａ[n]/3
よって、
　Ａ[n]＝Ｂ[n]＝1/３^(n-1)　（ｎ≧２）
よって、ｎ回後までにＢまたはＣに到達している確率は
　１−Ａ[n]−Ｂ[n]＝１−２／３^(n-1)
対称性よりｎ回後までにＢに到達している確率は
　1/2−１／３^(n-1)　（ｎ≧２）　・・・答え
No.67544 - 2020/07/04(Sat) 07:50:38
☆ Re: 確率です / aiko
余事象でやるっていう発想がなかったです…、
凄すぎます。
ありがとうございました！
No.67551 - 2020/07/04(Sat) 09:55:43
★ わからん / Ran
これなんですが…、確率漸化式で解くのか、普通にやるのかもわかりません、教えてください。
No.67539 - 2020/07/03(Fri) 22:23:37
☆ Re: わからん / IT
平方数になるのは、２、３がそれぞれ偶数個のときですね。
２、３の個数について偶数、奇数のパターンで３つに分けて　漸化式を立てれば良いのでは？

２、３とも偶数個である確率　a(n)　（これが求める確率）
１方が偶数個で他方が奇数個である確率 b(n)
２、３とも奇数個である確率　c(n)　とおくと

a(n)+b(n)+c(n)=1

a(n+1)=(1/2)a(n)+(1/4)b(n)
b(n+1)=(1/2)a(n)+(1/2)b(n)+(1/2)c(n)=1/2
No.67541 - 2020/07/03(Fri) 22:45:48
☆ Re: わからん / Ran
ありがとうございました！
No.67543 - 2020/07/04(Sat) 00:09:29
★ 命題に関します。 / 難しい
これも命題に関する質問です。
No.67534 - 2020/07/03(Fri) 16:05:55
★ 命題に関します。 / 難しい
命題に関する質問です。
No.67533 - 2020/07/03(Fri) 16:05:26
☆ Re: 命題に関します。 / IT
同値変形で使える規則がテキストに載っているのでは？
すべて載せてみてください。

規則の使い方の例もあると思いますが、各問いと似たようなのがないですか？
No.67538 - 2020/07/03(Fri) 19:20:40
★ 式変形 / そそ
左の式から右の式への変形の途中式が分からなかったので、
教えて頂きたいです。。。
No.67531 - 2020/07/03(Fri) 14:02:01
☆ Re: 式変形 / ヨッシー

途中で、ｗβ/ｒα の分子分母が入れ替わっていることに注意。
No.67532 - 2020/07/03(Fri) 15:29:27
★ 論理回路 状態数最小化 / おり
返答が無いようでしたので内容を変更して再投稿させて頂きます 論理回路の状態数最小化ですが、なぜこうのようになるかが全くわかりません。どなたかご存知の方よろしくお願いします
No.67528 - 2020/07/03(Fri) 10:57:10
☆ Re: 論理回路 状態数最小化 / 難しい
エックスの情だから？
No.67562 - 2020/07/04(Sat) 13:42:56
★ 複素関数 / 無名
どうしてもわからず、お願いいます、
No.67523 - 2020/07/02(Thu) 23:09:47
☆ Re: 複素関数 / ast
複素函数を実部と虚部に分けてふたつの実二変数函数の組にしている時点で, 「正則⇔コーシー・リーマン方程式を満たす」を考えたいのは明らかと言ってしまって差し支えないのではないですか?
No.67526 - 2020/07/03(Fri) 00:10:35
★ 因数分解 / そそ
この因数分解の途中式が分からないので、教えて欲しいです。
No.67520 - 2020/07/02(Thu) 22:07:01
☆ Re: 因数分解 / IT
見やすくするために　s=x^(1/2),t=y^(1/2) とおくと

与式＝3(t/s)+1-2(s/t)
=(1/st)(3t^2+st-2s^2)
=(1/st)(3t-2s)(t+s)
=....
No.67521 - 2020/07/02(Thu) 22:32:12
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
Ｘ＝√ｘ、Ｙ＝√ｙ とおくと、
　(左辺)＝３Ｙ／Ｘ＋１−２Ｘ／Ｙ
　　　＝(1/XY)(−２Ｘ^2＋ＸＹ＋３Ｙ^2)
　−２Ｘ^2＋ＸＹ＋３Ｙ^2＝(−２Ｘ＋３Ｙ)(Ｘ＋Ｙ)
よって、
　(左辺)＝(1/√ｘ√ｙ)(−２√ｘ＋３√ｙ)(√ｘ＋√ｙ)
あとは、1/√ｘ、1/√ｙ をどちらのカッコに入れるかによって、
　(−２/√ｙ＋３/√ｘ)(√ｘ＋√ｙ)
　(−２√ｘ＋３√ｙ)(1/√ｘ＋1/√ｙ)
　(−２＋３√ｙ/√ｘ)(√ｘ/√ｙ＋１)
　(−２√ｘ/√ｙ＋３)(１＋√ｙ/√ｘ)
などが出来ます。
３つ目が、上の場合です。
No.67522 - 2020/07/02(Thu) 22:37:05
☆ Re: 因数分解 / そそ
ありがとうございます！！！
No.67530 - 2020/07/03(Fri) 13:41:06
★ (No Subject) / えり
Ｘ＾２＝５７６
の計算方法を教えてください。
No.67515 - 2020/07/02(Thu) 19:38:45
☆ Re: / X
576=24^2
ですので問題の方程式から
(x-24)(x+24)=0
よって解は
x=24,-24
No.67516 - 2020/07/02(Thu) 19:59:23
☆ Re: / IT
（補足）
20^2=400,30^2=900
二乗して一位の数が6になるのは　4^2=16,6^2=36 ですから
整数解があれば正の整数解は24か26と目星が付きます。
No.67517 - 2020/07/02(Thu) 20:22:17
☆ Re: / ヨッシー
一応、素因数分解による方法を載せておきます。
　576＝2×2×2×2×2×2×3×3
　　＝(2×2×2×3)×(2×2×2×3)
　　＝24^2
で 24 が見つかります。
No.67525 - 2020/07/02(Thu) 23:12:20
★ (No Subject) / たけし
解答と違うやりかたでやって答えが違うのですがこれってちゃんと微分できていますか？
No.67512 - 2020/07/02(Thu) 19:04:12
☆ Re: / ast
問題ないです.
参考: 別の形 (by WolframAlpha)

# 個人的には, y=(1/16)(sin(2x))^4 として
# 　y'=(1/16)*4(sin(2x))^3*(cos(2x)*2) = (1/2)(sin(2x))^3*cos(2x)
# とやりたいが. 検算
No.67513 - 2020/07/02(Thu) 19:28:52
☆ Re: / ヨッシー
解答の方法というのは、
　(sin^4ｘ)’＝4sin^3ｘcosｘ
　(cos^4ｘ)’＝−4cos^3ｘsinｘ
から、
　ｙ’＝4sin^3ｘcos^5ｘ−4cos^3ｘsin^5ｘ
というものでしょうか？
これをもう少し変形すると、
　ｙ’＝4sin^3ｘcos^5ｘ−4cos^3ｘsin^5ｘ
　　＝4sin^3ｘcos^3ｘ(cos^2ｘ−sin^2ｘ)
　　＝4sin^3ｘcos^3ｘcos(2x)
となり、同じ式だとわかります。

どちらがいいということはありません。
No.67514 - 2020/07/02(Thu) 19:32:30
★ 場合の数 / あさな
共有点を持たない2本の対角線を求める問題です。
解答で重複して数えている対角線の組が7組あると書いてあるのですが、どのように考えたら7組だとわかるのかがわかりません。教えてください。
No.67508 - 2020/07/02(Thu) 12:44:17
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
いきなり７組とわかるというより以下のように考えましょう。
　３×７＝２１（組）
の内訳は
　短い対角線と長い対角線　７組
　短い対角線２本　１４組
ですが、短い対角線２本　１４組の内、２組ずつが重複しているので、
　１４÷２＝７（組）
減らす必要があります。
No.67509 - 2020/07/02(Thu) 12:52:34
★ この問題の解き方、教えて下さい！サンドウィッチの詰め方 / セキヤ
高1対象です。
宿題の問題は以下の通りです。
「縦12?p(3?p×4)、横20?p(10?p×2)の大きさの容器に、パン屋の店員が、縦×横=3?p×10?pの大きさの4種類(ツナ、タマゴ、ハム、チーズ)のサンドウィッチを各2個ずつ、計8個、隙間なく詰めるとする。このとき、サンドウィッチの詰め方は何通りあるか？

ただし、実際はたかが4種類しかないが、パッと見、もっと色んな種類が入っているように客に見せるために、
?@サンドウィッチの短い辺同士が隣り合う場合は、互いに異なる種類のサンドウィッチ同士でなければならないとし、また、
?A各縦の列にサンドウィッチを詰める際は、4種類すべてのサンドウィッチを詰めなければならないとする。
(これら?@、?Aの条件を無視した詰め方をすると、
「商品として不合格！」と店長から叱られてしまうので、詰め方としては数えられない。人生は塩辛いのである。)。
また、容器を回転して同じ配列の場合は、同じ詰め方とする
(今回は容器なので、裏返しにすると、載せることは出来ても、
詰めることは出来ないので注意。店長は飽くまで、パンパンに詰めて販売したいのである。店長なりのサービス精神である。)。
ちなみに、同じ種類のサンドウィッチ同士は区別がつかないものとする。」

という宿題です。

回答宜しくお願い致します。
No.67507 - 2020/07/02(Thu) 09:25:25
☆ Re: この問題の解き方、教えて下さい！サンドウィッチの詰め方 / トーカ
もっと楽な方法があるかも知れませんが、以下のように地道に場合分けして合計すればよいでしょう。
4種類8個の内訳（4,2,1,1）、(3,3,1,1)、(3,2,2,1)、(2,2,2,2)
No.67556 - 2020/07/04(Sat) 10:20:26
★ (No Subject) / たけし
赤線って真数と約分しているのですか？？
No.67504 - 2020/07/02(Thu) 08:28:25
☆ Re: / ヨッシー
>赤線って真数と約分しているのですか？？
これに沿った言い方をするなら、
「真数の指数と約分しています」
なぜなら、
　log４＝log(２^2)＝2log２
だからです。

式が１つ省略されていますね。
　2/2xlog４＝1/xlog(２^2)＝1/2xlog２
とすればどうでしょう？
No.67506 - 2020/07/02(Thu) 08:54:01
☆ Re: / たけし
理解できました！ありがとうございます！
No.67511 - 2020/07/02(Thu) 17:32:51
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