ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 集合について / 大学生です

集合A,Bがあり、全射である写像ｆ:A→B　を定め、A上の関係Rを次のように定めることにします。
(x1,x2)∈R　≡　f(x1)=f(x2)
さらに写像gをg:X/R→B　と定めるならば写像gが全単射であることを示したいです。

集合A,B、写像ｆに具体例を当てはめて考えると確かにｇが全単射だと確認できましたが、一般化して証明しようとしてもわかりませんでした。

No.67308 - 2020/06/26(Fri) 20:29:17

☆ Re: 集合について / IT

> さらに写像gをg:X/R→B　と定めるならば写像gが全単射であることを示したいです。

g は、どう定まっているのですか？

No.67309 - 2020/06/26(Fri) 20:53:22

☆ Re: 集合について / 大学生です

> g は、どう定まっているのですか？
問題文にはこれしか書いてないです。
二項関係Rは同値関係なので、同値類を集めた商集合の元をBへ移す写像ということだと思います。

No.67315 - 2020/06/26(Fri) 21:37:23

☆ Re: 集合について / IT

気持ちは分りますが、そのままでは、問題不備だと思います。

No.67316 - 2020/06/26(Fri) 21:47:05

☆ Re: 集合について / 大学生です

> 気持ちは分りますが、そのままでは、問題不備だと思います。

わかりました。この問題は飛ばすことにします。
ありがとうございました。

No.67317 - 2020/06/26(Fri) 21:58:46

☆ Re: 集合について / ast

> 写像gをg:X/R→B　と定める
は X/R は誤植で, A/R かあるいは X=A/R と置いて g:X→B なのでしょうね (以下, 後者と理解することにします). No.67315 のいいかたでは g は f:A→B に関係なく商集合 X からの任意の写像と言ってることになり, それでは単射とも全射とすらも言えません.

そういう意図ではないはずなので, (想像でものを言うのは適切とは言えませんが) ここでは, g:X→B は f=g∘π (π:A→X は自然な射影) を満たす写像, すなわち x=[a] (aの属する同値類を [a] であらわした) なるとき g(x):= f(a) (あるいはもっと直接的に g([a])=f(a)) で定義される特定の g だった場合の話に限って考えることとしましょう. すると結局全射・単射の確認は定型通りで, 以下のようになると思います:

全射性: ∀b∈B に対し, 仮定により f は全射ゆえ ∃a∈A が存在して f(a)=b. このとき, g([a])=f(a)=b.
単射性: x,x'∈X に対し g(x)=g(x') となったとする. 同値類 x,x' の代表元をそれぞれ a,a' (つまり x=[a], x'=[a']) とすれば f(a)=g(x)=g(x')=f(a') したがって (a,a')∈R すなわち x=[a]=[a']=x'.

>> そのままでは、問題不備だと思います。
> わかりました。この問題は飛ばすことにします。
問題文だけ切り取ると条件が抜けているが, スコープを問題を含む段落や節 (あるいは章や本全体; 大学の演習課題なら事前の講義) まで広げると条件は実は何らかの形でぜんぶ書いてある (あるいは暗黙の了解として断ってある) ということはよくあります.
# 親切な資料だと, 「○○ (定理何番とか何ページの何項とか) と同じ設定で」と書いてあったりするが
なので, 個人的には「問題文にはこれしか書いてない」という言葉はあまり信用しないし, 返答として適切ではないと考えます.
# いや確かに書かれているべきものが本当に書かれてない場面が多々あるのは承知していますが,
# 調べるスコープが問題文だけで閉じてるのは基本的によくない, という意味で適切でないということです.
## もちろん, 広範囲にわたって暗黙の了解で押し通すテキストがあればそれは行儀が悪いとも思いますが.
ということで, 問題不備という回答は「よく前後を調べて, 載っていないか確認しなおして欲しい」という意図を含むものと考えるべきでしょう.
# とはいえ, 本当に書いてないならどうしようもないのだから, これはただの愚痴みたいなものだが^^;

No.67337 - 2020/06/27(Sat) 05:55:14

☆ Re: 集合について / IT

ast さん＞
>ということで, 問題不備という回答は「よく前後を調べて, >載っていないか確認しなおして欲しい」という意図を含む>ものと考えるべきでしょう.

そのとおりです。

No.67338 - 2020/06/27(Sat) 06:26:07

★ (No Subject) / 高校生

この問題の(2)で、解答が下にあるのですが、オレンジで矢印をしてあるところがなぜこう言えるのかわかりません。詳しく教えていただきたいです。また、この求め方が1番簡単でしょうか？

No.67304 - 2020/06/26(Fri) 18:29:29

☆ Re: / ヨッシー

矢印がいっぱいありますが、ひときわ濃い
　ＯＨを３：１に・・・
のところですかね？
でもそこは、
　ＯＨの3/4倍　→　(3/4)(ａ＋ｂ＋ｃ)/3＝(ａ＋ｂ＋ｃ)/4
　ＡＪを３：１に内分　→　(ａ＋3ＯＪ)/4＝(ａ＋ｂ＋ｃ)/4
これらは疑いようのないところですし、結果として、
ＯＨ上の点Ｐに対して　ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ
ＡＪ上の点Ｑに対して　ＱＯ＝ＱＢ＝ＱＣ
そして、Ｉはどちらも満たすので、ＩＯ＝ＩＡ＝ＩＢ＝ＩＣ　⇔　Ｉは外心　も明らかです。

その上でまだ不明なところがありますか？

No.67306 - 2020/06/26(Fri) 19:02:18

☆ Re: / 高校生

指摘部分がわかりにくくてすみません。矢印の中身はわかるのですが、なぜ急にこの説明にもっていくのかがわかりません。3:1というのはどこから来るのでしょうか？

No.67319 - 2020/06/26(Fri) 22:11:05

☆ Re: / ヨッシー

正三角形の、重心、内心、外心、垂心は同一の点で、
その点は中線を２：１に内分する、というのは有名な話ですが、
正四面体も、重心、内心、外心、垂心は同一の点で、
その点は中線を３：１に内分する、というのは、ある程度有名な話です。

証明は、△ＡＢＣを底面とすると、高さはＯＨなので、
四面体ＯＡＢＣの体積は　△ＡＢＣ×ＯＨ÷３　です。
一方、四面体ＯＡＢＣの内心は、ＯＨ上のどこかにあり、
それをＩとすると、対称性より４つの四面体
ＩＡＢＣ，ＩＯＡＢ，ＩＯＢＣ，ＩＯＣＡ
は合同な四面体で、体積は四面体ＯＡＢＣの1/4です。
四面体ＩＡＢＣを考えると、四面体ＯＡＢＣと、
底面は共通で、高さがＯＨかＩＨかの違いなので、
　ＯＨ：ＩＨ＝４：１
となります。

このあたりを基礎知識として持っておくと、３：１も見つけやすいでしょう。

これを知らない場合は、ＩはＯＨ上の点なので、
　ＯＩ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)×ｔ
の形になることは明らかです。
一方、ＯＡ＝ａとＯＪ＝(ｂ＋ｃ)／３を
うまく比例配分して
　(ａ＋ｂ＋ｃ)×ｔ
このような形になるようにするには、ＯＡはそのままで、ＯＪの方が３倍
されるような比に内分すれば良いことに気付くと、ＡＪを３：１に内分すれば良いことに気付きます。

No.67325 - 2020/06/26(Fri) 22:47:30

☆ Re: / 高校生

ＯＡはそのままで、ＯＪの方が３倍
されるような比に内分すれば良いことに気付くと、ＡＪを３：１に内分すればいいことに気づきます。
の部分かいまいちわかりません。理解不足ですみませんが、式などを提示してもらってもよいでしょうか？

No.67328 - 2020/06/26(Fri) 23:15:33

☆ Re: / ヨッシー

ＯＡ＝ａとＯＪ＝(ｂ＋ｃ)／３を
　(ｍＯＡ＋ｎＯＪ)／(ｍ＋ｎ)
に当てはめて、ａ、ｂ、ｃの係数が全部同じになるようにするには、
ｍ、ｎをいくつにすれば良いですか？
を考えると、ＯＪには 1/3 が付いているので、３を掛けてやれば
係数が１に揃うとわかります。

No.67345 - 2020/06/27(Sat) 11:55:01

☆ Re: / 関数電卓

> AJ を 3：1 に内分すればいい… 式などを提示してもらって
ヨッシーさんが書かれた
　OI＝t(a＋b＋c) …<1>
および，I を AJ を s：1－s に分ける点とすると，
　OI＝(1－s)a＋s･(b＋c)/3 …<2>
<1><2>の a, b の係数を比較して t＝1－s, t＝s/3
これを解いて，t＝1/4, s＝3/4
　∴ s：1－s＝3/4：1/4＝3：1
となります。
式で押せばこの通りですが，ヨッシーさんが書かれている
> 対称性より４つの四面体 IABC, IOAB, IOBC, IOCA は合同な四面体で、体積は四面体 OABC の1/4です。… 高さが OH か IH かの違いなので、OH：IH＝4：1
とするセンスが大変重要です。
ところで，質問の対象ではないので余計なことですが，
> (3) 6 辺すべてに接する球
を 中接球 といいます。

No.67347 - 2020/06/27(Sat) 12:54:31

★ 漸化式 / 大学生

a[0]=1,b[0]=0,

a[n+1]=a[n]+2b[n], b[n+1]=a[n]+b[n](n=0, 1, 2, . . .)

(1)a[n]+b[n]√2=(1+√2)^n を示せ。

(2) a[n]^2－2b[n]^2=(－1)^n を示せ。

上記2問がわかりません。お願いします。
また、数列のAn+1のn+1の部分はどうやって表記するのが正しいのですか？

No.67303 - 2020/06/26(Fri) 18:18:31

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

表記方法はそれでいいです。
要は、A[n]+1 と A[n+1] が区別できれば良いので、
A[n+1], A(n+1), A{n+1} 何でも良いです。
ちなみに、A_n+1 は誰かがコピペをすると、
An+1 になってしまうので、注意が必要です。

問題ですが、数学的帰納法でやってみます。
(1)
　a[n]＋√2b[n]＝(1＋√2)^n ・・・(i)
とします。
n=0 のとき
a[0]＋√2b[0]＝1＋0＝1
(1+√2)^0＝1
より(i) は成り立つ。
ｎ＝ｋのとき (i) が成り立つとき、つまり
　a[k]＋√2b[k]＝(1＋√2)^k　・・・(ii)
のとき、
　a[k+1]＋√2b[k+1]＝(a[n]＋2b[n])＋√2(a[n]+b[n])
　　＝(1＋√2)a[n]＋(2＋√2)b[n]
　　＝(1＋√2)(a[n]＋√2b[n])
　　＝(1＋√2)(1＋√2)^k
　　＝(1＋√2)^(k+1)
よって、ｎ＝ｋ＋１のときも、(i) が成り立つ。
(以下略)

(2)
同様に
　a[n]－√2b[n]＝(1－√2)^n ・・・(iii)
について、
ｎ＝０のとき (iii) は成り立つ。
ｎ＝ｋのとき (iii)が成り立つとき
　a[k+1]－√2b[k+1]＝(a[n]＋2b[n])－√2(a[n]+b[n])
　　＝(1－√2)a[n]＋(2－√2)b[n]
　　＝(1－√2)(a[n]－√2b[n])
　　＝(1－√2)(1－√2)^k
　　＝(1－√2)^(k+1)
よって、(iii) も任意の０以上の整数ｎについて成り立つので、
　(a[n]＋√2b[n])(a[n]－√2b[n])＝(1＋√2)^n・(1－√2)^n
変形して
　a[n]^2－2b[n]^2＝{(1＋√2)(1－√2)}^2＝(-1)^n

No.67305 - 2020/06/26(Fri) 18:53:29

★ 中３の問題です / のん

（x＋１）（y＋２）＝１
（x＋３）（y＋４）＝５のとき
（x＋６）（y＋７）の値を求めよ。

この問題の求め方がわからないので教えていただけませんか？

No.67290 - 2020/06/26(Fri) 10:07:22

☆ Re: 中３の問題です / ヨッシー

(ｘ＋３)(ｙ＋４)＝{(ｘ＋１)＋２}{(ｙ＋２)＋２}
　　＝(ｘ＋１)(ｙ＋２)＋２{(ｘ＋１)＋(ｙ＋２)}＋４
　　＝１＋２{(ｘ＋１)＋(ｙ＋２)}＋４
　　＝２{(ｘ＋１)＋(ｙ＋２)}＋５
　　＝５
よって、
　(ｘ＋１)＋(ｙ＋２)＝０

(ｘ＋６)(ｙ＋７)＝{(ｘ＋１)＋５}{(ｙ＋２)＋５}
　　＝(ｘ＋１)(ｙ＋２)＋５{(ｘ＋１)＋(ｙ＋２)}＋２５
　　＝１＋２５
　　＝２６　・・・答え

No.67291 - 2020/06/26(Fri) 10:31:10

☆ Re: 中３の問題です / のん

どうすれば、こんな考え方が浮かぶのですか？

No.67292 - 2020/06/26(Fri) 10:35:13

☆ Re: 中３の問題です / ヨッシー

最初はこんな図からです。

数字の書いていない部分が０になることから、
最初は「こんな解存在しない」ことを言おうと思って、
式を書いていったら、解けました。

負の数を考えれば、あり得る数だったんですね。

No.67293 - 2020/06/26(Fri) 10:43:30

☆ Re: 中３の問題です / 関数電卓

> 負の数を考えれば、あり得る数…
複素数を考えれば「あり得る数」ですが，これは反則でしょう。私は＜解なし＞派！

No.67294 - 2020/06/26(Fri) 10:58:20

☆ Re: 中３の問題です / ヨッシー

よく吟味してませんでしたが、複素数なんですね。
それは微妙ですね。

No.67295 - 2020/06/26(Fri) 10:59:41

☆ Re: 中３の問題です / らすかる

別解
(x+6)(y+7)=kとおいてそれぞれ展開して
xy+2x+y=-1 … (1)
xy+4x+3y=-7 … (2)
xy+7x+6y=k-42 … (3)
(2)-(1)から2x+2y=-6
∴x+y=-3 … (4)
(3)-(2)から3x+3y=k-35
k-35=3(x+y)=-9
∴k=26

No.67298 - 2020/06/26(Fri) 13:51:20

☆ Re: 中３の問題です / IT

私も、中３の問題なら「解なし」にすべきと思います。

a=x+1,b=y+2 とおくと
ab=1
(a+2)(b+2)=5
展開して、ab+2(a+b)+4=5
ab=1より、a+b=0∴b=-a
ab=1より､-a^2=1
（aが実数のとき)
一般にa^2≧0なので、解なし。　

No.67307 - 2020/06/26(Fri) 20:00:27

☆ Re: 中３の問題です / 黄桃

どうでもいい話ですが、中3の問題であれば私は、ヨッシーさんの
> 微妙ですね。
に賛成します。
実際に実数の範囲で仮定をみたすx,yは存在しないことを示して「解なし」としたのであれば、（解答者が中3なら）それで満点でもいいと思います。

＃数学的には「仮定が偽」なら結論はなんでも真なので、「解なし」ではなく、「なんでもOK」が答だと思います。

高校数学の範囲でも、次のような問題は普通にあります：
「x,y,z,n を整数、nを奇数とする。x^2+y^2+z^2=n の時、x,y,zのうち少なくとも１つは奇数であることを証明してください」
この時、例えばn=7 に対しては仮定を満たすx,y,zは存在しませんが、その場合をわざわざ「これこれの場合は証明できない」とかいったりしませんし、むしろ、いったら誤りでしょう。

それと同じで、この問題は仮定をみたすx,yがもしあったとすればどうなるか、という形式なので、（中3の出題として適切かどうかは別として）数学の問題の解としては「解なし」というのはちょっと変と思います（だから「微妙ですね」を支持）。

No.67357 - 2020/06/27(Sat) 16:09:35

★ 相似？ / m

全く解き方がわかりません。教えて欲しいです。
答えは隣に書いてあります。

No.67287 - 2020/06/26(Fri) 01:10:34

☆ Re: 相似？ / ヨッシー

(1)
△ＢＤＥは、△ＡＢＣに対して、
底辺 1/2倍、高さ 1/3倍なので、
　△ＢＤＥ＝1×1/2×1/3＝1/6　・・・答え
(2)

Ｅを通り、ＢＣに平行な直線と、ＡＤの交点をＧとします。
△ＡＤＣ∽△ＡＧＥ　より
　ＧＥ：ＢＤ＝ＧＥ：ＤＣ＝ＡＥ：ＡＣ＝２：３
よって、
　ＧＦ：ＦＤ＝２：３
これと、ＡＧ：ＧＤ＝２：１より
　ＡＧ：ＧＦ：ＦＤ＝１０：２：３
よって、
　ＡＤ：ＦＤ＝５：１
△ＢＤＦは、△ＡＢＣに対して、
底辺 1/2倍、高さ 1/5倍なので、
　△ＢＤＦ＝1×1/2×1/5＝1/10　・・・答え

No.67288 - 2020/06/26(Fri) 06:58:36

☆ Re: 相似？ / ヨッシー

メネラウスの定理
　(ＡＦ/ＦＤ)(ＤＢ/ＢＣ)(ＣＥ/ＥＡ)＝１
より、
　ＡＦ：ＦＤ＝４：１
とする方法もあります。

No.67289 - 2020/06/26(Fri) 07:00:54

☆ Re: 相似？ / m

ありがとうございます！

No.67301 - 2020/06/26(Fri) 17:08:39

★ 一次関数急いでいます！ / 白雪

(1)一次関数ｙ＝ax＋ｂ(a＜0)で、xの変域が－1≦x≦3のとき
yの変域が－3≦y≦12である。このときのa、bの値

(2)一次関数ｙ＝ax＋ｂで、xの変域が－2≦x≦3のとき
yの変域が－3≦y≦12である。このときのa、bの値の組を
全て求めなさい。

答え (1)a＝－2 b＝3 (2)a＝5 b＝2 a＝-5 b＝2

この2つの問題がわからないです。

2つともaは求められたけどbを求めても
答えが違いました。
詳しい途中式を教えて欲しいです。
明日のテストに出るので急いでいます
m(_ _)mよろしくお願いします

No.67272 - 2020/06/25(Thu) 21:10:26

☆ Re: 一次関数急いでいます！ / X

では(1)だけでもいいのでaの値をどのように求めたかを
アップして下さい。

No.67273 - 2020/06/25(Thu) 21:18:33

☆ Re: 一次関数急いでいます！ / ヨッシー

(1)
ａ＜０から
　ｘ＝－１のときｙ＝１２
　ｘ＝３のときｙ＝－３
これより
　－ａ＋ｂ＝１２
　３ａ＋ｂ＝－３
これを解いて、
　ａ＝-15/4, ｂ＝33/4

問題か答えか両方が違います
ｙの変域が－３≦ｙ≦５　か、ｘの変域が -9/2≦ｘ≦３
かもしれません。

(2)
ａ＞０のとき
　ｘ＝－２のときｙ＝－３
　ｘ＝３のときｙ＝１２
これより
　－２ａ＋ｂ＝－３
　３ａ＋ｂ＝１２
これを解いて、　ａ＝３，ｂ＝３

ａ＜０のとき
　ｘ＝－２のときｙ＝１２
　ｘ＝３のときｙ＝－３
これより
　－２ａ＋ｂ＝１２
　３ａ＋ｂ＝－３
これを解いて、　ａ＝－３，ｂ＝６

こちらも問題か答えか両方が違います。
どう違うかは、もう何が何だか。

No.67274 - 2020/06/25(Thu) 21:27:13

☆ Re: 一次関数急いでいます！ / 白雪

訂正
(1)一次関数ｙ＝ax＋ｂ(a＜0)で、xの変域が－1≦x≦3のとき
yの変域が－3≦y≦5である。このときのa、bの値

(2)一次関数ｙ＝ax＋ｂで、xの変域が－2≦x≦3のとき
yの変域が－3≦y≦12である。このときのa、bの値の組を
全て求めなさい。

答え (1)a＝－2 b＝3 (2)a＝5 b＝－3 a＝-5 b＝2

壮大に間違えました
途中式詳しく書いてくれたのにすみません

No.67278 - 2020/06/25(Thu) 22:06:10

☆ Re: 一次関数急いでいます！ / ヨッシー

(2) はまだ違いますね。
Ｘさんの言われるように、一度書いてみてもらった方が良いでしょうね。

というか、ここまで来たら、自力で出来るのでは？

No.67281 - 2020/06/25(Thu) 22:17:08

★ 大学数学質問 / やっちゃん

大学数学の問題で質問です。
解説をお願いしますm(_ _)m

確率変数Xが分布

P(X=k)=p(1-p)^(k-1)、k=1,2,3･･･、(0＜p＜1)

に従うとする。

(1)E[X]を求めよ。
(2)V[X]を求めよ。

No.67267 - 2020/06/25(Thu) 10:00:25

☆ Re: 大学数学質問 / ヨッシー

(1)
Ｅ＝Σkp(1-p)^(k-1)
　＝pΣk(1-p)^(k-1)
Ａ＝Σk(1-p)^(k-1) とすると、
　Ａ＝1＋2(1-p)＋3(1-p)^2＋4(1-p)^3＋…
(1-p)Ａ＝(1-p)＋2(1-p)^2＋3(1-p)^3＋4(1-p)^4＋…
上式から下式を引いて
　pＡ＝1＋(1-p)＋(1-p)^2＋…＝1/p
よって、
　Ａ＝1/p^2
　Ｅ＝1/p　・・・答え
(2)
Ｖ＝Σk^2p(1-p)^(k-1)－Ｅ^2
Ａ＝Σk^2(1-p)^(k-1) とすると
　Ａ＝1＋4(1-p)＋9(1-p)^2＋16(1-p)^3＋…
(1-p)Ａ＝(1-p)＋4(1-p)^2＋9(1-p)^3＋16(1-p)^4＋…
上式から下式を引いて
　pＡ＝1＋3(1-p)＋5(1-p)^2＋7(1-p)^3＋…
(1-p)pＡ＝(1-p)＋3(1-p)^2＋5(1-p)^3＋7(1-p)^4＋…
上式から下式を引いて
　p^2Ａ＝-1＋2(1＋(1-p)＋(1-p)^2＋…)＝2/p－1
　Ａ＝2/p^3－1/p^2
よって、
　Ｖ＝2/p^2－1/p－1/p^2＝1/p^2－1/p

No.67268 - 2020/06/25(Thu) 13:36:56

☆ Re: 大学数学質問 / やっちゃん

ありがとうございます！

No.67269 - 2020/06/25(Thu) 17:09:40

★ 入試問題ではありませんが / たぬき

いつもお世話になっております

一般に

a,b,s,tが自然数のとき
2^a+2^b=2^s+2^t ⇔ (a,b)=(s,t)

は成立するのでしょうか？

なんとなく成り立つ気もするのですが証明がわかりません

対偶を考えてみたりもしましたが

よろしくお願いいたします

No.67243 - 2020/06/24(Wed) 20:45:12

☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT

(a,b)=(s,t) と言うのは
a≧b, s≧t として　a=sかつb=t　ということですよね？

←は、明らかに成立。
→も成り立ちます。
a＞sのとき2^a+2^b＞2^s+2^t
a＝s かつ b＞t のとき2^a+2^b＞2^s+2^t
を示せば良いと思います。

No.67245 - 2020/06/24(Wed) 21:31:46

☆ Re: 入試問題ではありませんが / たぬき

> (a,b)=(s,t) と言うのは
> a≧b, s≧t として　a=sかつb=t　ということですよね？

その通りです。

a＞sのとき2^a+2^b＞2^s+2^b
また仮定より2^a+2^b=2^s+2^t
となるから，2式から2^t>2^b つまり t>b (当たり前)となるだけで何も得られていないような気がします

また，a=sのときは自明ではダメでしょうか？

よろしくお願いいたします

> a＝s かつ b＞t のとき2^a+2^b＞2^s+2^t
> を示せば良いと思います。

No.67248 - 2020/06/24(Wed) 22:08:58

☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT

（→の別証明）
a≧b, s≧t とします。

（A)a≧b, s≧t のとき
　　2^a+2≦2^a+2^b≦2^(a+1)
　　2^s+2≦2^s+2^t≦2^(s+1)
（A)より　2^a+2^b＝2^s+2^t→2^a+2≦2^(s+1)かつ2^s+2≦2^(a+1)　
　→a＜s+1かつs＜a+1
　→a-1＜sかつs＜a+1
　→a＝s
　→a＝sかつb＝t

No.67249 - 2020/06/24(Wed) 22:27:42

☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT

>となるから，2式から2^t>2^b つまり t>b (当たり前)となるだけで何も得られていないような気がします

a＞sのとき
→　2^a≧2*2^s≧2^s+2^t
→　2^a+2^b＞2^s+2^t
a＜sのときも同様なので

2^a+2^b＝2^s+2^t→a＝s→b＝t が言えます｡
　

No.67250 - 2020/06/24(Wed) 22:34:20

☆ Re: 入試問題ではありませんが / たぬき

非常にスッキリしました

ありがとうございました

No.67251 - 2020/06/24(Wed) 22:53:28

☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT

a＞b,s＞t の場合、２進数が一意に表せること　を意味しますね。

No.67261 - 2020/06/25(Thu) 02:54:46

★ 積分計算 / katu

積分の問題です。どのように計算するのかどうしても分かりません。お願いします。

No.67242 - 2020/06/24(Wed) 20:42:26

☆ Re: 積分計算 / 関数電卓

私は(1)も(2)も楕円積分だと思ったのですが，(1), (2) となるようですね。
だけど，これで「積分した」ことになるのだろうか！？

No.67244 - 2020/06/24(Wed) 21:23:50

☆ Re: 積分計算 / katu

やはりおかしいですよねそれ。同じくそのアプリを使用してみたのですが化け物みたいな結果が出たので質問してみました…

No.67247 - 2020/06/24(Wed) 22:04:10

☆ Re: 積分計算 / 関数電卓

(1)の被積分関数は
　x≦1 では ≒1－(1/4)x^4＋(5/32)x^8－(15/128)x^12＋…
　1≦x では ≒1/x－1/(4x^4)＋5/(32x^8)－15/(128x^12)＋…
と展開できるので，これを積分したものの方がよほど「積分」らしい。

No.67252 - 2020/06/24(Wed) 23:26:56

☆ Re: 積分計算 / IT

「明解演習　微分積分（小寺平治）」には、

--Ｒｕｌｅ--－－－－－－－－－－－－－－－－－－
∫(x^r)(ax^s+b)^(m/n) dx の置換法

・(r+1)/s　　　:整数→(ax^s+b)^(1/n)＝t

・(r+1)/s+(m/n):整数→(a+bx^-s)^(1/n)＝t

(r,s:有理数、n(＞0),m:整数)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(注）連続函数は必ず原始函数をもつが,それが初等函数で表されるのは,ごく一部の函数である．
２項積分が初等函数で表されるのはこのＲｕｌｅの２つの場合だけであることが知られている．

とあります。

その積分は、課題で出題されたのですか？

No.67262 - 2020/06/25(Thu) 03:09:03

☆ Re: 積分計算 / katu

ITさんへ
はい、課題で出されました。

No.67264 - 2020/06/25(Thu) 04:23:30

☆ Re: 積分計算 / 関数電卓

先生はすべて知っているのでしょうが…
出題の目的は何なのでしょうね？
聞けたら，先生に聞いてみて下さい。

No.67270 - 2020/06/25(Thu) 19:10:50

☆ Re: 積分計算 / IT

(1)下記に載っています。

https://math.stackexchange.com/questions/306027/integral-of-type-displaystyle-int-frac1-sqrt4x41dx

x＞0では
(1/4)log(|1+x/(1+x^4)^(1/4)|/|1-x/(1+x^4)^(1/4)|)+(1/2)arctan(x/(1+x^4)^(1/4))+C
のようです。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281%2F2%29log%28%7C1%2Bx%2F%281%2Bx%5E4%29%5E%281%2F4%29%7C%2F%7C1-x%2F%281%2Bx%5E4%29%5E%281%2F4%29%7C%29%2Barctan%28x%2F%281%2Bx%5E4%29%5E%281%2F4%29%29%29%27&lang=ja

No.67276 - 2020/06/25(Thu) 21:41:14

☆ Re: 積分計算 / IT

(2)も下記に載ってます。（正しいか確認はしていませんが）
https://math.stackexchange.com/questions/3643464/help-with-int-fracx2-1x21-sqrtx41dx?rq=1

No.67279 - 2020/06/25(Thu) 22:13:04

★ 自分の解釈の問題？(物基) / あま

～問題～
Aを速さv2で投げ上げ、Bを鉛直下向きに速さv2で投げ下ろした時、Aが再び地面に戻る前にAとBは衝突した。なお、衝突までの任意の時刻をtと表すものとする。
(b)AとBが衝突する時刻t0を,h,v2を用いて表せ。
～質問～
(b)の問いの前にAに対してのBの相対速度を求めており、相対速度は「-2v2」と、求めることができました。しかし、(b)を自分は衝突する時AとBの変位の合計はhになるので、h=yA+yBより、t0^2=-h/gとしか求められませんでした。解説では、相対速度の-2v2を使ったり、Aに対してのBの変位が-hなどとあり、よくわかりませんでした。なんで相対速度を使うのか、また、何故自分のh=yA+yBで求められないのかというのを教えてください。

No.67240 - 2020/06/24(Wed) 20:13:18

☆ Re: 自分の解釈の問題？(物基) / IT

> ～質問～
> しかし、(b)を自分は衝突する時AとBの変位の合計はhになるので、h=yA+yBより、t0^2=-h/gとしか求められませんでした。
yA,yBはなんですか？　向きは？
yA,yBをt0で表すとどうなりますか？（それぞれの初速v2も出てくるはずです。）

なお、重力加速度は、相殺されます。

（重力加速度の向き、A,Bの進む向きを勘違いしていませんか？）

No.67241 - 2020/06/24(Wed) 20:28:58

☆ Re: 自分の解釈の問題？(物基) / あま

なるほど、「h=yA+yB」ではなく、「h=yA+|yB|」とyBに絶対値記号を付ける必要があったというわけですね。確かに、変位は向きを含んだ移動距離なので、この場合、絶対値記号を付けないと式が成り立たない。これで、h=v2t0-1/2gt^2+|-v2t0-1/2gt^2|=2v2t0
h=2v2t0 t0=h/2v2となる。
誤解が解けてよかったです。ありがとうございました。

No.67254 - 2020/06/25(Thu) 00:03:13

☆ Re: 自分の解釈の問題？(物基) / あま(返信)

No.67255 - 2020/06/25(Thu) 00:03:52