いつもお世話になっております
一般に
a,b,s,tが自然数のとき
2^a+2^b=2^s+2^t ⇔ (a,b)=(s,t)
は成立するのでしょうか？
なんとなく成り立つ気もするのですが証明がわかりません
対偶を考えてみたりもしましたが
よろしくお願いいたします
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No.67243 - 2020/06/24(Wed) 20:45:12
| ☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT | | | (a,b)=(s,t) と言うのは
a≧b, s≧t として a=sかつb=t ということですよね？
←は、明らかに成立。
→も成り立ちます。
a＞sのとき2^a+2^b＞2^s+2^t
a＝s かつ b＞t のとき2^a+2^b＞2^s+2^t
を示せば良いと思います。
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No.67245 - 2020/06/24(Wed) 21:31:46 |
| ☆ Re: 入試問題ではありませんが / たぬき   | | | > (a,b)=(s,t) と言うのは
> a≧b, s≧t として a=sかつb=t ということですよね？
その通りです。
a＞sのとき2^a+2^b＞2^s+2^b
また仮定より2^a+2^b=2^s+2^t
となるから，2式から2^t>2^b つまり t>b (当たり前)となるだけで何も得られていないような気がします
また，a=sのときは自明ではダメでしょうか？
よろしくお願いいたします
> a＝s かつ b＞t のとき2^a+2^b＞2^s+2^t
> を示せば良いと思います。
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No.67248 - 2020/06/24(Wed) 22:08:58 |
| ☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT | | | （→の別証明）
a≧b, s≧t とします。
（A)a≧b, s≧t のとき
2^a+2≦2^a+2^b≦2^(a+1)
2^s+2≦2^s+2^t≦2^(s+1)
（A)より 2^a+2^b＝2^s+2^t→2^a+2≦2^(s+1)かつ2^s+2≦2^(a+1)
→a＜s+1かつs＜a+1
→a-1＜sかつs＜a+1
→a＝s
→a＝sかつb＝t
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No.67249 - 2020/06/24(Wed) 22:27:42 |
| ☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT | | | >となるから，2式から2^t>2^b つまり t>b (当たり前)となるだけで何も得られていないような気がします
a＞sのとき
→ 2^a≧2*2^s≧2^s+2^t
→ 2^a+2^b＞2^s+2^t
a＜sのときも同様なので
2^a+2^b＝2^s+2^t→a＝s→b＝t が言えます｡
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No.67250 - 2020/06/24(Wed) 22:34:20 |
| ☆ Re: 入試問題ではありませんが / たぬき | | | No.67251 - 2020/06/24(Wed) 22:53:28 |
| ☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT | | | a＞b,s＞t の場合、２進数が一意に表せること を意味しますね。
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No.67261 - 2020/06/25(Thu) 02:54:46 |
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