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★ 大学一年 / カンパチ
この式の求め方が分かりません...
No.66965 - 2020/06/18(Thu) 11:49:50
★ 中３生です。 / のん
宿題なんですが、答えも解き方もわかりません。
No.66964 - 2020/06/18(Thu) 10:50:12
☆ Re: 中３生です。 / ヨッシー

∠Ｂの二等分線とＡＣとの交点をＥ
ＥからＢＣに下ろした垂線の足をＦ　とすると、
∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ＝∠ＡＣＤ＝20°　となります。
また、△ＡＥＢ≡△ＦＥＢ　より　ＡＥ＝ＥＦ

図のように　ＡＥ＝ＥＦ＝ａ、ＥＣ＝ｂ、ＣＦ＝ｃ とします。

△ＡＤＣ∽△ＡＥＢ　より　(x+y)/a＝(a+b)/x　・・・(i)
△ＡＢＣ∽△ＦＥＣ　より　(x+y)/a＝(a+b)/c　・・・(ii)
(i)(ii) より、ｃ＝ｘ
また、ＢＦ＝ｘ＋ｙ　より
　ＢＣ＝２ｘ＋ｙ
No.66967 - 2020/06/18(Thu) 12:14:31
☆ Re: 中３生です。 / のん
相似を使うんですね。よくわかりました。ありがとうございました。
No.67007 - 2020/06/19(Fri) 11:05:48
★ 整数問題 / にゃにゃし
N,nを整数としてx=-13N-4,y=5n+15N+3であるときx²+y²の最小値とその時の(x,y)を求めよ。
この問題って解けるんですかね？
自作ではないですが他の問題演習をしている時にふと気になりました。
無理があるならば無理と言っていただいて結構です。
よろしくお願いします。

ちなみに答えは(-4,-2)です。
No.66961 - 2020/06/18(Thu) 01:16:16
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
ｘ、ｙともに２乗されているので、ｘ、ｙの絶対値が出来るだけ
小さくなるようにします。
ｘの絶対値はＮ＝０のときの　ｘ＝−４が最小で、次がＮ＝−１のときのｘ＝９ です。
Ｎが決まったとき、|ｙ|はｎによって、０，１，２，３，４ のいずれかにできます。
ｘ＝−４ のとき、仮に|ｙ|＝４ であったとしても、
　４^2＋４^2＜９^2
より、ｘ＝９ とした方が必ず大きくなってしまいます。
よって、Ｎ＝０ のとき、ｎ＝−１ とした ｙ＝−２ が採用され、
　（ｘ，ｙ）＝（−４，−２）
のとき、最小値 ２０ となります。
No.66963 - 2020/06/18(Thu) 06:23:06
☆ Re: 整数問題 / にゃにゃし
> ｘ、ｙともに２乗されているので、ｘ、ｙの絶対値が出来るだけ
> 小さくなるようにします。
> ｘの絶対値はＮ＝０のときの　ｘ＝−４が最小で、次がＮ＝−１のときのｘ＝９ です。
> Ｎが決まったとき、|ｙ|はｎによって、０，１，２，３，４ のいずれかにできます。
> ｘ＝−４ のとき、仮に|ｙ|＝４ であったとしても、
> 　４^2＋４^2＜９^2
> より、ｘ＝９ とした方が必ず大きくなってしまいます。
> よって、Ｎ＝０ のとき、ｎ＝−１ とした ｙ＝−２ が採用され、
> 　（ｘ，ｙ）＝（−４，−２）
> のとき、最小値 ２０ となります。

返信ありがとうございます。
|y|=0,1,2,3,4というのはどのように決まるのでしょうか？
すみませんがよろしくお願いします。
No.66968 - 2020/06/18(Thu) 13:40:41
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
>|y|=0,1,2,3,4
はちょっと違いました。正しくは
|y|=0,1,2 です。上記の
>ｘ＝−４ のとき、仮に|ｙ|＝４ であったとしても、
>　４^2＋４^2＜９^2
>より、ｘ＝９ とした方が必ず大きくなってしまいます。
は、
>ｘ＝−４ のとき、仮に|ｙ|＝２ であったとしても、
>　４^2＋２^2＜９^2
>より、ｘ＝９ とした方が必ず大きくなってしまいます。
と読み替えてください。

y=5n+15N+3 の 15N＋3 が与えられたとき、ｎを１変えると、
ｙは５ずつ変化します。
つまり、15N＋3 に、５を何回か足したり引いたりして、
０に近づけようとすると、|ｙ| は最大２まで減らすことが出来ます。
|ｙ| が３のとき
　ｙ＝−３ ならｎを＋１して　ｙ＝２
　ｙ＝３ ならｎを−１して　ｙ＝−２
それ以上の場合も同様に、|ｙ|は０，１，２ のいずれかに
たどり着かせることが出来ます。
No.66969 - 2020/06/18(Thu) 13:53:11
★ 単位の問題。 / たかたか
割合は、割、分、厘、毛…と続きます。

1より大きい単位？
万、億、兆、京…
1より小さい
分、厘、毛…
となります。

割合では、『割』があるのに、数字を数える方では『割』がが無いのはなぜでしょうか？
No.66960 - 2020/06/18(Thu) 00:34:47
☆ Re: 単位の問題。 / ヨッシー
割は数値の単位ではなく、割合を表す１単位です。

54% を割合で言うと ５割４分　ですが、
0.54 を漢数字で言うと　五分四厘　となります。

Wikipedia などで調べたことを総合すると、
数値としては、分は1/10、厘は1/100 です。

割合を言うときは、
「割(1/10)を１単位とした量で表します。分はその1/10、厘は1/100です。」
という解釈です。
この場合、全体から見れば、分は1/100 になりますが、分が1/10 を表すという立場は変わっていません。
No.66962 - 2020/06/18(Thu) 06:10:12
☆ Re: 単位の問題。 / 関数電卓
私も，漢字「糎」の読みが『センチメートル』なので，
「何でセンチ！？ ミリじゃないの？！」
と思っておりました。ヨッシーさんの説明で納得です。
No.66979 - 2020/06/18(Thu) 20:11:40
★ (No Subject) / あさひなつ
(1)なのですが、f(α)+f(β)の結果が違っているようなのですが、それまでのどこがいけないのでしょうか？
No.66953 - 2020/06/17(Wed) 17:49:43
☆ Re: / X
添付写真最下行の一つ上の行の末項の一つ前の項が
間違えています。
-6aではなくて-6a^2ですね。
No.66954 - 2020/06/17(Wed) 17:54:59
☆ Re: / IT
α、βはx^2+2ax+a=0の解なので
f(x) をx^2+2ax+aを割った余り（一次式）を使って計算する方法もあります。
No.66956 - 2020/06/17(Wed) 22:31:15
☆ Re: / IT
３次関数のグラフが変曲点に関して対称であることを使えば、計算はより簡単ですね。

f''(x)＝6x+6a なので　y=f(x)の変曲点は(-a,f(-a))
(α,f(α))と(β,f(β)) は、変曲点(-a,f(-a))に関して対称なので、
(f(α)+f(β))/2＝f(-a)
No.66957 - 2020/06/17(Wed) 22:51:34
★ (No Subject) / なつみ
このオレンジでかこってあるところが、なぜこうなるのかわかりません。
No.66950 - 2020/06/17(Wed) 17:29:10
☆ Re: / なつみ
写真が逆さになってしまってすみません！
No.66951 - 2020/06/17(Wed) 17:29:38
☆ Re: / ヨッシー
　fk+1(x)＝(ａｘ＋ｂ)k+1
　fk(x)＝(ａｘ＋ｂ)k
ですので。
No.66952 - 2020/06/17(Wed) 17:35:52
★ ばね / とおます
自然長L0のバネの一端を壁に固定する。もう一方に質量ｍの物体をつけ摩擦がない床の上で振動させた結果、物体は角振動数ωで振動した。このバネを縦方向（重力方向）に吊るし質量ｍの物体を付ける。空気抵抗は考えず、理想的な振動をすると考える。
（１）バネの長さを求めよ。
（２）この状態で振動させたときの角振動数を求めよ。

この問題の（１）について教えていただきたいです。ばね定数も重力加速度も設定されていないのでどうやって解けばいいのかわかりません。
また（２）の答えはωであっていますか？
No.66947 - 2020/06/17(Wed) 15:02:34
☆ Re: ばね / 関数電卓
> ばね定数も重力加速度も設定されていない
「床の上を角振動数ωで振動」とあります。ばね定数を k とすれば ω＝√(k/m) ですので，k＝mω^2 です。
> (1) バネの長さ
おもりを吊したつり合い位置での長さを求めているのでしょうが，のび d は d＝mg/k で，これは g が与えられていないと答えようがありません。
> (2) 縦方向で振動させたときの角振動数
運動方程式が ma＝mg−k(d＋x)＝−kx で水平面上と同じですので，角振動数は ω で OK です。
No.66948 - 2020/06/17(Wed) 16:42:09
☆ Re: ばね / とおます
gをどう処理すればよいのか困っていました。やはりgは与えられているものとして解いていいのですね。
ご回答ありがとうございました。
No.66949 - 2020/06/17(Wed) 17:10:55
★ 証明が解りません / りんご
内包量である速さはどのような外延量の商であるかを示した上で平均の速さを例に量の加法性が一般に成り立たないことを説明せよ。という問題です。
No.66946 - 2020/06/17(Wed) 14:15:34
☆ Re: 証明が解りません / IT
前半も分りませんか？　
後半、　例えば、平均時速1ｋｍで１時間、平均時速1ｋmで１時間同じ方向に進んだときの平均の速さを考える。
No.66955 - 2020/06/17(Wed) 18:11:40
★ 縮尺 / √
教えてください。

相似比が【１：２】のとき
面積比は【１：４】になりますが、

地図上の面積が１
実際の面積が４の時
【縮尺】は１／２でいいんですよね？
縮尺＝相似比だと考えて良いですか？

実際には１／４の大きさになっているけど、
【縮尺】という言い方をしたら１／４は
間違いですよね？
No.66943 - 2020/06/17(Wed) 12:48:20
☆ Re: 縮尺 / らすかる
はい、その通りです。
縮尺の「尺」は長さの意味ですから、長さの比、すなわち相似比です。
No.66944 - 2020/06/17(Wed) 13:08:37
☆ Re: 縮尺 / √
らすかるさん
有難うございました。
No.66945 - 2020/06/17(Wed) 13:19:31
★ (No Subject) / うい
図からf(x)＝x(x-2)で答えは2番だと思いましたが、
1番だそうです。
f(x)＝Ax(x-2)
として考えるらしいのですが、この図だけではまだ
Aが特定できないのはどうしてですか？
No.66936 - 2020/06/17(Wed) 02:11:59
☆ Re: / らすかる
Aが特定できるかどうかは関係なく、f'(x)はx=1のとき0ですから
x軸上のx=1の位置を横切らなければならず、正解は1番と決まります。
（つまり「図からf(x)=x(x-2)」は正しいですが「2番」は間違いです。）
No.66937 - 2020/06/17(Wed) 02:16:18
☆ Re: / IT
> として考えるらしいのですが、この図だけではまだ
> Aが特定できないのはどうしてですか？

特定できるのでは？　なぜ、特定できないと考えましたか？
No.66941 - 2020/06/17(Wed) 07:31:43
★ 微積 / うい
(2)を解いています。
y-y1=(y2-y1/x2-x1)(x-x1)でとこうとしたのですが、
0になってしまいうまくいきませんでした。
どう考えるのですか？
No.66933 - 2020/06/17(Wed) 01:45:45
☆ Re: 微積 / うい
解説の式ですが、
これはどう導いたんでしょうか…？
No.66934 - 2020/06/17(Wed) 01:46:41
☆ Re: 微積 / らすかる
「y-y1=(y2-y1/x2-x1)(x-x1)」は2点を通る「直線」（一次関数）の式ですから、
(2)には使えません。
「x軸とx=b,cで交わる二次関数の式はy=a(x-b)(x-c)」を使います。
No.66938 - 2020/06/17(Wed) 02:19:03
☆ Re: 微積 / うい
分かりました
ありがとうございます！
No.66940 - 2020/06/17(Wed) 03:46:15
★ 線形数学 / ぽんた
線形数学の問題です。
V=R^2の標準基をB^V=｛e1,e2｝とする。次のV上の線形写像の(B^V,B^V)表現行列を、基の変換を利用して求めよ。

y=2xに関する線対称移動G

よろしくお願いいたします。
No.66929 - 2020/06/16(Tue) 21:21:06
★ 大学数学 / ぺっくす
写真の2番の問題が出来ません。どなたかお願いします。
No.66926 - 2020/06/16(Tue) 20:27:03
☆ Re: 大学数学 / ヨッシー
−π＜ｘ≦0 のとき
　f(x)＝−ｘ＋ｅ^(-x)
　f’(x)＝−１−ｅ^(-x)＜０　単調減少
　f”(x)＝ｅ^(-x)＞０　　下に凸
　f(0)＝１，f’(0)＝−２
0≦ｘ＜π は、−π＜ｘ≦0 の部分と、y軸に関して対称。
グラフは

No.66931 - 2020/06/16(Tue) 22:07:36
☆ Re: 大学数学 / 関数電卓
出題意図は何なんでしょうね？！？
フーリエ級数展開？
No.66932 - 2020/06/16(Tue) 22:40:32
☆ Re: 大学数学 / らすかる
x=±π,±3π,±5π,…に対応する点は白丸にしないと減点されるかも知れませんね。
No.66939 - 2020/06/17(Wed) 02:21:49
☆ Re: 大学数学 / ぺっくす
フーリエ級数展開です！
No.66942 - 2020/06/17(Wed) 11:27:43
★ 確率 / とい
解法を教えていただけると幸いです
No.66923 - 2020/06/16(Tue) 19:26:54
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(1)取り出し方は
　１，２，２　か　１，１，３　です。
　１，２，２ の並び方　×　１，２，２ を引く確率
　１，１，３ の並び方　×　１，１，３ を引く確率
(2)
１から５　のみが取り出される確率
　から
１から４　のみが取り出される確率
　を引きます。
No.66924 - 2020/06/16(Tue) 19:30:45
☆ Re: 確率 / とい
ありがとうございます！
No.66935 - 2020/06/17(Wed) 01:56:36
★ 底の変換 / 森
自然対数をlogに変換するやり方を教えてください。
たとえば
3ln(|x-3|)-2ln(|x+1|)+(1/x+1)は
ただ単にlnのところをlogxに書き換えるだけでいいんでしょうか？
No.66919 - 2020/06/16(Tue) 18:10:48
☆ Re: 底の変換 / ヨッシー
ここで言う log が何を表しているかですね。
自然対数なら、ln を log に書き換えればいいですが、
ln という関数を使っているにも関わらず、同じ意味で、
log を使うことは考えにくいので、log は常用対数ですかね？

だとすると、
　公式　logab＝logcb/logca
を使って、
　lnｘ＝logｘ/logｅ
です。
No.66920 - 2020/06/16(Tue) 18:33:14
★ 逆三角関数　証明 / 助けてください
この方程式の証明を教えてください
No.66909 - 2020/06/16(Tue) 14:06:30
☆ Re: 逆三角関数　証明 / ast
f(x):=(左辺)-(右辺) を微分すると f'(x)≡0 (恒等的に0) になるので, f(x) は定数. その定数は x=0 における値などを見れば明らかに 0 なので, 証明終了//
No.66914 - 2020/06/16(Tue) 16:21:11
☆ Re: 逆三角関数　証明 / IT
（別解）tan ^-1 はarctan ､sin^-1=arcsin と書きます。
定義にしたがって計算すると
α=arctanx とおくと、-π/2＜α＜π/2で　x=tanα
∴　x/√(1+x^2)=tanα/√(1+(tanα)^2)
=(sinα/cosα)/√(1+(sinα/cosα)^2)
=(sinα/cosα)/√(1/(cosα)^2)
=(sinα/cosα)/(1/cosα) ∵cosα＞0
=sinα

∴arcsin(x/√(1+x^2))=arcsin(sinα)=α ∵-π/2＜α＜π/2
No.66925 - 2020/06/16(Tue) 20:23:18
☆ Re: 逆三角関数　証明 / IT
（逆向きなら）
α=arcsin(x/√(1+x^2))とおくと　
　-１＜x/√(1+x^2)＜1なので-π/2＜α＜π/2
　x/√(1+x^2)＝sinα
　-π/2＜α＜π/2よりcosα＞0なので、
　cosα=√(1-(sinα)^2)
　=√(1-x^2/(1+x^2))
　＝√(1/(1+x^2))
∴tanα=sinα/cosα=(x/√(1+x^2))/√(1/(1+x^2))=x
∴α＝arctanx　（∵-π/2＜α＜π/2)

スッキリ
α＝arcsin(x/√(1+x^2))とおくと-π/2＜α＜π/2
sinα=x/√(1+x^2)
∴cosα=1/√(1+x^2)
∴tanα=sinα/cosα=x
∴α＝arctanx
程度書けばいいかも
No.66927 - 2020/06/16(Tue) 20:41:00
☆ Re: 逆三角関数　証明 / 関数電卓
この問題と同じ！
No.66930 - 2020/06/16(Tue) 21:44:42
★ 大学1年 / まい
この問題が分かる方、回答お願いします
No.66908 - 2020/06/16(Tue) 14:03:12
☆ Re: 大学1年 / ヨッシー
各文字は何を表しますか？実数なのか、複素数なのか、ベクトルなのか、はたまた？
演算子＋、・の意味(定義)は何ですか？
上に引いてある線の意味(定義)は何ですか？

見る人が見れば分かるのでしょうけれども。
No.66911 - 2020/06/16(Tue) 15:37:48
☆ Re: 大学1年 / まい
すみません、これだけ課題でポンと出されたので何とも言えないです...
確かにこれだけだと解答し難いですよね:(
No.66913 - 2020/06/16(Tue) 16:12:28
☆ Re: 大学1年 / ヨッシー
せめて、教科とか単元がわかれば。
No.66916 - 2020/06/16(Tue) 16:51:52
☆ Re: 大学1年 / ast
質問者が文脈を明らかにする責任があるのは間違いないところで, 回答側がめったやたらに当て推量をしても混乱が増すだけとは思いますが, 集合とか論理の単元をやっている可能性は無いですか？ ＞質問者さん

# つまり, (+,*,￣) := (合併∪,交わり∩,補∁) or (選言∨,連言∧,否定¬)
# で三つの項に対するド・モルガンの法則を示せという話じゃないのか, と思ってる.
## まあ当てはまる例はこれに限らないのでしょうけれど, ぱっと見で連想したものがこれだった.
## たぶんヨッシーさんも目ぼしつけたうえで敢えてああ云っておられるのだろうなあとも思いつつも,
## どうしても書きたかった (むしゃくしゃしてやった, 後悔は(略))
No.66917 - 2020/06/16(Tue) 17:23:40
☆ Re: 大学1年 / IT
> すみません、これだけ課題でポンと出されたので何とも言えないです...
ほんとなら、むちゃくちゃですね。
出題の前に配信されたテキストに定義が載っているのでは？
No.66922 - 2020/06/16(Tue) 19:13:53
★ 導関数 / ヤマ
xlog(1+x)のn階導関数の求め方を教えてください
No.66907 - 2020/06/16(Tue) 14:01:19
☆ Re: 導関数 / ヨッシー
f(x)＝xlog(1+x)
f'(x)＝log(1+x)＋x/(1+x)＝log(1+x)−1/(1+x)＋1
f"(x)＝1/(1+x)＋1/(1+x)2
f(3)(x)＝−1/(1+x)2−2/(1+x)3
f(4)(x)＝2/(1+x)3＋6/(1+x)4
　・・・
のように、２回目以降は、(1+x) のマイナスの累乗になります。
　(-1)n という形と、総積を表すΠを使って表現できます。
No.66912 - 2020/06/16(Tue) 15:56:54
☆ Re: 導関数 / ast
ヨッシーさんが手計算に適した形で解答を書かれているので, ここでは, やや機械的にできる手順を.

方針: ライプニッツの法則 (積の微分則, の今回は高階版)
　(uv)^(n) = ?納k=0,n]comb(n,k)*u^(k)*v^(n−k)
　(ただし, comb(n,k)は二項係数 (nからk選ぶ組合せの数))
を u=x,v=log(1+x) に適用する.
# 高階のライプニッツの法則自体の証明は通常の積の微分則 (n=1 の場合) から帰納的に示せます (厳密には数学的帰納法でやる).

u'=1, u''=0 なので, k=2 以上の項が全て消えることに注意すれば,
　(x*log(1+x))^(n) = x*log(1+x)^(n) + n*log(1+x)^(n−1).

だから, log(1+x) の高階導函数が分かればよいが, これは容易 (ヨッシーさんの仰る程度の複雑さはありますが, こっちは単項なので推定に面倒はないはず) だと思うので割愛.

で, log(1+x) の高階導函数を代入して整理すれば
　(x*log(1+x))^(n) = (−1)^n(x+n)*(n−2)!/(1+x)^n
　　(分子の (n−2)! は n−2 の階乗)

に, なるのかな?
# 私が計算をミスっていなければ, ヨッシーさんの結果と一致するはず (たぶん^^;)
No.66915 - 2020/06/16(Tue) 16:43:21
★ 大学数学 線形代数 / たまちゃん
1〜3が分かりません！助けてください。
No.66905 - 2020/06/16(Tue) 12:16:55
☆ Re: 大学数学 線形代数 / ヨッシー
(1)

とおいて、

とします。
Ａの行列式は、
　9−2a＋a−6−a^2＋3＝−a^2−a＋6
これが0になるのは、
　−a^2−a＋6＝−(a−2)(a＋3)＝0
より　ａ＝−3, 2

(2)
　ｘ1， ｘ2, ｘ3 の代わりに ｘ，ｙ，ｚ を使います。
ａ＝−３ とすると、
　ｘ−ｙ＋ｚ＝１　・・・(i)
　ｘ＋３ｙ−３ｚ＝２　・・・(ii)
　２ｘ−３ｙ＋３ｚ＝３　・・・(iii)
(i)×3＋(ii)
　４ｘ＝５、　ｘ＝５／４
(ii)＋(iii)
　３ｘ＝５　　ｘ＝５／３
と解が１つに定まらない。
ａ＝２ とすると、
　ｘ−ｙ＋ｚ＝１　・・・(iv)
　ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝２　・・・(v)
　２ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝３　・・・(vi)
(iv)＋(v) が (iv) に一致し、これら３式は１次従属であり、解は無限にある。
(v)−(vi) より
　４ｙ＋ｚ＝１
　ｚ＝１−４ｙ
(iv) に代入して、
　ｘ＝ｙ−ｚ＋１＝ｙ−(１−４ｙ)＋１
　　＝５ｙ
よって、解は
　(x,y,z)＝(5t, t, 1-4t)　(t は任意の数)

(3)
−a^2−a＋6≠0 のとき、Ａの逆行列が唯一存在し、それをＢとすると、

このように、解がただ１つ存在します。

(3) で、逆行列の存在をどこまで示すかは、レベルによります。
No.66910 - 2020/06/16(Tue) 15:35:16
★ 5⃣6⃣の?@から?Dをうめたいです。 / A
教科書をみたり解説を見たんですが、いまいち理解できず、この場を借りて解説何方かよろしくお願いします。
No.66903 - 2020/06/16(Tue) 11:59:59
☆ Re: 5⃣6⃣の?@から?Dをうめたいです。 / A
また同じミスすいません
No.66904 - 2020/06/16(Tue) 12:00:45
☆ Re: 5⃣6⃣の?@から?Dをうめたいです。 / ヨッシー
５は、こちらで、ほぼ答えが出ています。
４，５まで出来て、６が出来ない道理はありません。
No.66906 - 2020/06/16(Tue) 12:51:29
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