ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 大学数学質問 / やっちゃん

大学数学の問題で質問です。
解説をお願いしますm(_ _)m

確率変数Xが分布

P(X=k)=p(1-p)^(k-1)、k=1,2,3･･･、(0＜p＜1)

に従うとする。

(1)E[X]を求めよ。
(2)V[X]を求めよ。

No.67267 - 2020/06/25(Thu) 10:00:25

☆ Re: 大学数学質問 / ヨッシー

(1)
Ｅ＝Σkp(1-p)^(k-1)
　＝pΣk(1-p)^(k-1)
Ａ＝Σk(1-p)^(k-1) とすると、
　Ａ＝1＋2(1-p)＋3(1-p)^2＋4(1-p)^3＋…
(1-p)Ａ＝(1-p)＋2(1-p)^2＋3(1-p)^3＋4(1-p)^4＋…
上式から下式を引いて
　pＡ＝1＋(1-p)＋(1-p)^2＋…＝1/p
よって、
　Ａ＝1/p^2
　Ｅ＝1/p　・・・答え
(2)
Ｖ＝Σk^2p(1-p)^(k-1)－Ｅ^2
Ａ＝Σk^2(1-p)^(k-1) とすると
　Ａ＝1＋4(1-p)＋9(1-p)^2＋16(1-p)^3＋…
(1-p)Ａ＝(1-p)＋4(1-p)^2＋9(1-p)^3＋16(1-p)^4＋…
上式から下式を引いて
　pＡ＝1＋3(1-p)＋5(1-p)^2＋7(1-p)^3＋…
(1-p)pＡ＝(1-p)＋3(1-p)^2＋5(1-p)^3＋7(1-p)^4＋…
上式から下式を引いて
　p^2Ａ＝-1＋2(1＋(1-p)＋(1-p)^2＋…)＝2/p－1
　Ａ＝2/p^3－1/p^2
よって、
　Ｖ＝2/p^2－1/p－1/p^2＝1/p^2－1/p

No.67268 - 2020/06/25(Thu) 13:36:56

☆ Re: 大学数学質問 / やっちゃん

ありがとうございます！

No.67269 - 2020/06/25(Thu) 17:09:40

★ 入試問題ではありませんが / たぬき

いつもお世話になっております

一般に

a,b,s,tが自然数のとき
2^a+2^b=2^s+2^t ⇔ (a,b)=(s,t)

は成立するのでしょうか？

なんとなく成り立つ気もするのですが証明がわかりません

対偶を考えてみたりもしましたが

よろしくお願いいたします

No.67243 - 2020/06/24(Wed) 20:45:12

☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT

(a,b)=(s,t) と言うのは
a≧b, s≧t として　a=sかつb=t　ということですよね？

←は、明らかに成立。
→も成り立ちます。
a＞sのとき2^a+2^b＞2^s+2^t
a＝s かつ b＞t のとき2^a+2^b＞2^s+2^t
を示せば良いと思います。

No.67245 - 2020/06/24(Wed) 21:31:46

☆ Re: 入試問題ではありませんが / たぬき

> (a,b)=(s,t) と言うのは
> a≧b, s≧t として　a=sかつb=t　ということですよね？

その通りです。

a＞sのとき2^a+2^b＞2^s+2^b
また仮定より2^a+2^b=2^s+2^t
となるから，2式から2^t>2^b つまり t>b (当たり前)となるだけで何も得られていないような気がします

また，a=sのときは自明ではダメでしょうか？

よろしくお願いいたします

> a＝s かつ b＞t のとき2^a+2^b＞2^s+2^t
> を示せば良いと思います。

No.67248 - 2020/06/24(Wed) 22:08:58

☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT

（→の別証明）
a≧b, s≧t とします。

（A)a≧b, s≧t のとき
　　2^a+2≦2^a+2^b≦2^(a+1)
　　2^s+2≦2^s+2^t≦2^(s+1)
（A)より　2^a+2^b＝2^s+2^t→2^a+2≦2^(s+1)かつ2^s+2≦2^(a+1)　
　→a＜s+1かつs＜a+1
　→a-1＜sかつs＜a+1
　→a＝s
　→a＝sかつb＝t

No.67249 - 2020/06/24(Wed) 22:27:42

☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT

>となるから，2式から2^t>2^b つまり t>b (当たり前)となるだけで何も得られていないような気がします

a＞sのとき
→　2^a≧2*2^s≧2^s+2^t
→　2^a+2^b＞2^s+2^t
a＜sのときも同様なので

2^a+2^b＝2^s+2^t→a＝s→b＝t が言えます｡
　

No.67250 - 2020/06/24(Wed) 22:34:20

☆ Re: 入試問題ではありませんが / たぬき

非常にスッキリしました

ありがとうございました

No.67251 - 2020/06/24(Wed) 22:53:28

☆ Re: 入試問題ではありませんが / IT

a＞b,s＞t の場合、２進数が一意に表せること　を意味しますね。

No.67261 - 2020/06/25(Thu) 02:54:46

★ 積分計算 / katu

積分の問題です。どのように計算するのかどうしても分かりません。お願いします。

No.67242 - 2020/06/24(Wed) 20:42:26

☆ Re: 積分計算 / 関数電卓

私は(1)も(2)も楕円積分だと思ったのですが，(1), (2) となるようですね。
だけど，これで「積分した」ことになるのだろうか！？

No.67244 - 2020/06/24(Wed) 21:23:50

☆ Re: 積分計算 / katu

やはりおかしいですよねそれ。同じくそのアプリを使用してみたのですが化け物みたいな結果が出たので質問してみました…

No.67247 - 2020/06/24(Wed) 22:04:10

☆ Re: 積分計算 / 関数電卓

(1)の被積分関数は
　x≦1 では ≒1－(1/4)x^4＋(5/32)x^8－(15/128)x^12＋…
　1≦x では ≒1/x－1/(4x^4)＋5/(32x^8)－15/(128x^12)＋…
と展開できるので，これを積分したものの方がよほど「積分」らしい。

No.67252 - 2020/06/24(Wed) 23:26:56

☆ Re: 積分計算 / IT

「明解演習　微分積分（小寺平治）」には、

--Ｒｕｌｅ--－－－－－－－－－－－－－－－－－－
∫(x^r)(ax^s+b)^(m/n) dx の置換法

・(r+1)/s　　　:整数→(ax^s+b)^(1/n)＝t

・(r+1)/s+(m/n):整数→(a+bx^-s)^(1/n)＝t

(r,s:有理数、n(＞0),m:整数)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(注）連続函数は必ず原始函数をもつが,それが初等函数で表されるのは,ごく一部の函数である．
２項積分が初等函数で表されるのはこのＲｕｌｅの２つの場合だけであることが知られている．

とあります。

その積分は、課題で出題されたのですか？

No.67262 - 2020/06/25(Thu) 03:09:03

☆ Re: 積分計算 / katu

ITさんへ
はい、課題で出されました。

No.67264 - 2020/06/25(Thu) 04:23:30

☆ Re: 積分計算 / 関数電卓

先生はすべて知っているのでしょうが…
出題の目的は何なのでしょうね？
聞けたら，先生に聞いてみて下さい。

No.67270 - 2020/06/25(Thu) 19:10:50

☆ Re: 積分計算 / IT

(1)下記に載っています。

https://math.stackexchange.com/questions/306027/integral-of-type-displaystyle-int-frac1-sqrt4x41dx

x＞0では
(1/4)log(|1+x/(1+x^4)^(1/4)|/|1-x/(1+x^4)^(1/4)|)+(1/2)arctan(x/(1+x^4)^(1/4))+C
のようです。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281%2F2%29log%28%7C1%2Bx%2F%281%2Bx%5E4%29%5E%281%2F4%29%7C%2F%7C1-x%2F%281%2Bx%5E4%29%5E%281%2F4%29%7C%29%2Barctan%28x%2F%281%2Bx%5E4%29%5E%281%2F4%29%29%29%27&lang=ja

No.67276 - 2020/06/25(Thu) 21:41:14

☆ Re: 積分計算 / IT

(2)も下記に載ってます。（正しいか確認はしていませんが）
https://math.stackexchange.com/questions/3643464/help-with-int-fracx2-1x21-sqrtx41dx?rq=1

No.67279 - 2020/06/25(Thu) 22:13:04

★ 自分の解釈の問題？(物基) / あま

～問題～
Aを速さv2で投げ上げ、Bを鉛直下向きに速さv2で投げ下ろした時、Aが再び地面に戻る前にAとBは衝突した。なお、衝突までの任意の時刻をtと表すものとする。
(b)AとBが衝突する時刻t0を,h,v2を用いて表せ。
～質問～
(b)の問いの前にAに対してのBの相対速度を求めており、相対速度は「-2v2」と、求めることができました。しかし、(b)を自分は衝突する時AとBの変位の合計はhになるので、h=yA+yBより、t0^2=-h/gとしか求められませんでした。解説では、相対速度の-2v2を使ったり、Aに対してのBの変位が-hなどとあり、よくわかりませんでした。なんで相対速度を使うのか、また、何故自分のh=yA+yBで求められないのかというのを教えてください。

No.67240 - 2020/06/24(Wed) 20:13:18

☆ Re: 自分の解釈の問題？(物基) / IT

> ～質問～
> しかし、(b)を自分は衝突する時AとBの変位の合計はhになるので、h=yA+yBより、t0^2=-h/gとしか求められませんでした。
yA,yBはなんですか？　向きは？
yA,yBをt0で表すとどうなりますか？（それぞれの初速v2も出てくるはずです。）

なお、重力加速度は、相殺されます。

（重力加速度の向き、A,Bの進む向きを勘違いしていませんか？）

No.67241 - 2020/06/24(Wed) 20:28:58

☆ Re: 自分の解釈の問題？(物基) / あま

なるほど、「h=yA+yB」ではなく、「h=yA+|yB|」とyBに絶対値記号を付ける必要があったというわけですね。確かに、変位は向きを含んだ移動距離なので、この場合、絶対値記号を付けないと式が成り立たない。これで、h=v2t0-1/2gt^2+|-v2t0-1/2gt^2|=2v2t0
h=2v2t0 t0=h/2v2となる。
誤解が解けてよかったです。ありがとうございました。

No.67254 - 2020/06/25(Thu) 00:03:13

☆ Re: 自分の解釈の問題？(物基) / あま(返信)

No.67255 - 2020/06/25(Thu) 00:03:52

★ (No Subject) / 大一（文系）

解説をお願いいたします。

No.67239 - 2020/06/24(Wed) 19:43:50

☆ Re: / 関数電卓

(3)
条件から y を消去すると，
　f(x,y)＝g(x)＝xe^x＋(1－e^x)log(1－e^x)
　　(ただし，x≧0 のとき e^x≧1 で実数 y は定まらないから x＜0)
となり，g(x) を微分すると極値を得ることが出来ます。ただ文系の方にはやや厳しいか！
ここの下の方に書いてあるように，
　x＝－log(2) で最小値－log(2)
をとるようです。

No.67256 - 2020/06/25(Thu) 00:04:54

☆ Re: / 関数電卓

(1) x＋y＝k とし，条件式と連立させ y を消去して下さい。
(2) x^2＋y^2＝k とし，条件式と連立させ y^2 を消去して下さい。
(1)(2)いずれも，文系数学の縄張り内で極値が求まります。まずは，ご自身で！

No.67257 - 2020/06/25(Thu) 00:27:11

☆ Re: / 大一（文系）

ありがとうございます！
お陰さまで解決しました。

No.67492 - 2020/07/01(Wed) 11:05:35

★ (No Subject) / サンドラ

この問題の解き方がわかりません。
問題文は＊は任意の実数である。Bへ行基本変形を有限回施すことにより、上のどれかの簡約な階段行列に変形できることを示せ
ヒントとしてb(i.j)の値で場合わけせよと書かれてました。
教えてください

No.67233 - 2020/06/24(Wed) 09:44:29

☆ Re: / ヨッシー

下の４つの簡約な行列を左から（１）（２）（３）（４）とします。

(i) Ｂ＝０のとき、そのままで（１）となります。
(ii) ０が３個の場合
　(ii)-1 b11 のみ０でない場合、１行目をb11 で割ると（３）となる
　(ii)-2 b12 のみ０でない場合　１行目をb12 で割ると（２）となる
　(ii)-3 b21 のみ０でない場合　１行目と２行目を入れ替えると(ii)-1 に帰着できる
　(ii)-4 b22 のみ０でない場合　１行目と２行目を入れ替えると(ii)-2 に帰着できる
(iii) ０が２個の場合
　(iii)-1 b11とb21 が０の場合、・・・
　(iii)-2 b12とb22 が０の場合、・・・
　(iii)-3 b12とb21 が０の場合、・・・
　(iii)-4 b11とb12 が０の場合、・・・
　他の２通りは、１行目と２行目を入れ替えることによって、
　(iii)-3 または (iii)-4 に帰着できる
(iv) ０が１個の場合
(v) ０がない場合

ここまで分ける必要はないかも知れませんが、
０で割る可能性のあるところでは場合分けが必要です。

No.67234 - 2020/06/24(Wed) 14:54:17

☆ Re: / サンドラ

> 下の４つの簡約な行列を左から（１）（２）（３）（４）とします。
>
> (i) Ｂ＝０のとき、そのままで（１）となります。
> (ii) ０が３個の場合
> 　(ii)-1 b11 のみ０でない場合、１行目をb11 で割ると（３）となる
> 　(ii)-2 b12 のみ０でない場合　１行目をb12 で割ると（２）となる
> 　(ii)-3 b21 のみ０でない場合　１行目と２行目を入れ替えると(ii)-1 に帰着できる
> 　(ii)-4 b22 のみ０でない場合　１行目と２行目を入れ替えると(ii)-2 に帰着できる
> (iii) ０が２個の場合
> 　(iii)-1 b11とb21 が０の場合、・・・
> 　(iii)-2 b12とb22 が０の場合、・・・
> 　(iii)-3 b12とb21 が０の場合、・・・
> 　(iii)-4 b11とb12 が０の場合、・・・
> 　他の２通りは、１行目と２行目を入れ替えることによって、
> 　(iii)-3 または (iii)-4 に帰着できる
> (iv) ０が１個の場合
> (v) ０がない場合
>
> ここまで分ける必要はないかも知れませんが、
> ０で割る可能性のあるところでは場合分けが必要です。

ありがとうございます。大変ですが、がんばります

No.67238 - 2020/06/24(Wed) 19:36:56

★ ベクトル / うい

ベクトルが苦手でどうしても式が理解できません
これはなぜこうなったのですか？

No.67224 - 2020/06/24(Wed) 04:30:56

☆ Re: ベクトル / ast

直下のスレともども, 平面図形の単元で内分点・外分点の解説をしているところを探して復習してください.
# ベクトルで書いても本質は同じなので, ベクトルの単元の中で解説があるならそれを見てくれればいい.
線分 AB を m:n に内分する点が (nA+mB)/(m+n) になる (本当は座標ごとに) というような内容が書いてあったはずです.
# いま t:(1-t) のように m+n=1 で分母が消えるような割合でとっていることに注意.

ベクトルで方程式を立てると, (「図形と式」の単元で出てくるような座標成分に関する方程式と比べると) 実に直観的というかどんな操作をしているか手続き的に記述されていることがわかるので, 感覚に頼る人ほど扱い易い数学的概念だと思います.

No.67228 - 2020/06/24(Wed) 06:05:10

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

ＡＤをｍ：ｎに内分する点をＥとすると
　ＯＥ＝(ｎＯＡ＋ｍＯＤ)/(ｍ＋ｎ)
という内分の公式に
　ｍ＝ｓ、ｎ＝１－ｓ
を代入したものです。

No.67229 - 2020/06/24(Wed) 06:05:15

★ 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / サムライ

(問4)平行四辺形0, a, b, a+bと，上で与えた作図法に従って，長方形0, a′, b′′, a′+b′′
を図示せよ.
(12) 最後に，以上の変形を反映した行列式の計算を確認しておきましょう.
􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 |A|=􏰀􏰀 a1 a2 􏰀􏰀=􏰀􏰀 a1 a2 􏰀􏰀==􏰀􏰀 a1 0 􏰀􏰀=a1b′′
􏰀bb􏰀􏰀0b′′􏰀 􏰀0b′′􏰀 122
この計算は，P3 による変形のみに基づき，P1 と P2 は用いていないことに，注意する (これは非常に重要).また，b′′ は(問 3)で計算されているはずなので，それを代入
すると 1 つの計算式が得られます(求めてください). • 他の行変形行列 P1 と P2 についても見ておきましょう.
2

(1)P1(1,r), r̸=0は1行目を，r倍します.r>0の場合は，aの長さをr倍するだけなので，面積も r 倍されるはずです.r < 0 の場合は，a の長さを |r| 倍すると同時に，そのベクトルの向きは逆にします.a とは逆方向のベクトル ra から b を見ると，前とは逆回りになっているはずです.つまり，符号が逆転します(数値的には－1 倍).そのため，もとの行列式の (－1) × |r| = r 倍することになります.つまりどちらの場合であっても r 倍です.
􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 |P1(1,r)A|=􏰀􏰀 ra 􏰀􏰀=r􏰀􏰀 a 􏰀􏰀
􏰀b􏰀 􏰀b􏰀 であることを理解してください.これは 2 行目のベクトル b についても同様に考えるこ
とができるので，i = 1, 2 に対して次のように表現できます. |A| = 1r |P1(i, r)A| = r|P1(i, 1/r)A|
特に，r = －1 の場合は，
上の関係式は，|A| の計算が目的がなので，もしも P1(i, 1/r) で A を変形したら，r を
|A| = －|P1(i, －1)A| かけて修正しないと等号にならないという形式で与ています.
(2) P2 (1, 2) は 1 行目と 2 行目を入れ替えます.実は，|P2 (1, 2)A| の計算は P3 と P1 を使っ
て求められます.
()( )
P3(1, 2, 1) a = a + b ba
P3(2, 1, －1) P3(1, 2, 1)
()()
a + b = a + b b －a
()()
a + b = b
－a
が成り立ちます.P3 行列による変形は行列式の値を変化させないので，次のような計
算ができます.
ここまでは，P3 行列しか用いていません.これは，P3 のみを用いて，実質的に P2 の役割を実現できることを示しています.これにより a ベクトルの符号は変わりますが，通常はそのまま気にせずに，計算を続けていけます.
P1 についてすでに述べた性質により，その符号(－1)を行列式の外に出せば，目的の P2 に関する公式を得ます.
|A| = |P3(1, 2, 1)P3(2, 1, －1)P3(1, 2, 1)A| 􏰀􏰀 􏰀􏰀
= 􏰀􏰀 b 􏰀􏰀 􏰀 －a 􏰀
􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀
􏰀b􏰀 􏰀b􏰀
|A|=􏰀􏰀 －a 􏰀􏰀=－􏰀􏰀 a 􏰀􏰀=－|P2(1,2)A|
(問 5) n = 2 のとき，次の積を右側から順に計算していき(そのつど計算結果を表記しながら)，最後に得られた行列を P 行列で表現せよ.
P1(1, －1)P3(2, 1, 1)P3(1, 2, －1)P3(2, 1, 1) =
－a

(3) 上の (2) において，－a の負の符号を外に出すためだけに P1 の性質を用いました.その符号を－1 として外に出さなくてもよいとするなら，その性質を使う必要はありません.そう考えると，平行四辺形がつぶれていないときは，P3 のみを用いて，対角行列に変形できることになります.

[1] 今回の課題にある(問4)について，以下に与える具体的なaとbにおいて，具体的な図を描け.また，最後に得られた長方形に基づく対角行列の行列式を求めよ.2 問に答えよ(正確に，見やすく描いてあるかで評価する).
(1)a=(－2,1), b=(4,1) (2)a=(4,1), b=(2,3)
[2] 今回の課題にある(問 5) に答よ. P1(1, －1)P3(2, 1, 1)P3(1, 2, －1)P3(2, 1, 1) =

No.67215 - 2020/06/23(Tue) 22:39:19

☆ Re: 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / らすかる

私の環境では文字化けがひどいですが、他の人には正常に見えているのでしょうか。

No.67218 - 2020/06/23(Tue) 23:10:53

☆ Re: 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / IT

ソースを見ても　変なコード？　#1113088　がたくさんありますから、ダメのようですね。

No.67219 - 2020/06/23(Tue) 23:18:39

☆ Re: 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / ヨッシー

スマホではちゃんと見えるみたいですが、
いきなり、「上で与えた作図法」と言われても、という感じですね。
#この部分は、パソコンでも見えてますが。

No.67230 - 2020/06/24(Wed) 06:10:31

★ (No Subject) / アイス

赤線を引いたところなのですが、＞0を確認しているのは素数が正でなければいけないからというのはわかるのですが、n－4＜n+6の確認の意味がわかりません。またよってn－4=1となるのかがわかりません。n－4かn－6が1がにならなければならないのはわかるのですが、n－6=1ではだめなのですか？

No.67206 - 2020/06/23(Tue) 20:35:22

☆ Re: / ast

pが素数で p=ab と積に書けるとき, (0<)a< b なら a=1 かつ b=p の場合しかありません.
> n－4＜n+6の確認の意味がわかりません。
> またよってn－4=1となるのかがわかりません。
> n－6=1ではだめなのですか？
三つ全部同じ上の理由からきていることはわかりますよね?

No.67207 - 2020/06/23(Tue) 21:08:29

☆ Re: / ヨッシー

いつの間にか、ｎ＋６をｎ－６とすり替えているようですが、ｎ＋６＝１はあり得ませんね。

No.67208 - 2020/06/23(Tue) 21:10:29

☆ Re: / アイス

納得しました！ありがとうございます！

No.67212 - 2020/06/23(Tue) 21:29:35

★ 証明問題についてです / えび

この二つの式の証明が全く分かりません...
片方だけでも解ける方いらっしゃいましたら是非お願い致します。

No.67203 - 2020/06/23(Tue) 19:07:28

☆ Re: 証明問題についてです / IT

f(x)＝arcsin(tanhx)、g(x)＝arctan(sinhx)とおく。
arcsinx,tanhx、arctanx,sinhxは狭義単調増加なので
f(x),g(x)は狭義単調増加
またf(x),g(x)の値域は(-π/2,π/2)

定義域(-π/2,π/2)におけるf,g の逆関数を考える。

arcsinxの逆関数はsinxで値域は(-1,1)
(-1,1)におけるtanhxの逆関数は(1/2)log((1+x)/(1-x))なので
f(x)の逆関数は(1/2)log((1+sinx)/(1-sinx))
=(1/2)log((1+sinx)^2/(cosx)^2)　
=log((1+sinx)/(cosx)) ∵cosx＞0

arctanxの逆関数はtanxで値域は(-∞,∞)
(-∞,∞)におけるsinhxの逆関数はlog(x+√(x^2+1))なので
g(x)の逆関数はlog(tanx+√((tanx)^2+1))　
＝log(tanx+1/cosx)) ∵cosx＞0
=log((sinx+1)/cosx))　

fの逆関数,gの逆関数は一致する。よってf(x)=g(x)

＃もっとすっきりした証明があるかもしれません。
＃値域とか定義域などは確認してください。

No.67209 - 2020/06/23(Tue) 21:18:37

☆ Re: 証明問題についてです / IT

(2)の左辺は(1) の右辺の(2)の右辺は(1)の左辺の逆関数ですね。　どちらかを証明すれば他方は即、言えますね

(2) から証明したほうが早かったですね。

No.67210 - 2020/06/23(Tue) 21:22:33

☆ Re: 証明問題についてです / ast

機械的にやるなら, f(x):=(左辺)-(右辺) を微分して f'(x)=0 (恒等的に零) ⇒ f(x)=(定数) を得て, (定数)=0 を適当な値を代入して確かめるというパターンでいけると思いますが.
# まあ厳密さを要求する場合は, 当然 f'=0 かどうか厳密に言えてるかどうかを気にはするべきですが.

どうでもいいですが, 個人的には双曲線函数の逆函数は ar を前置して arsinh や artanh と書く派です. (arc 弧から決まる逆三角函数とは異なり, 逆双曲線函数は area 面積から決まる量なので)

No.67211 - 2020/06/23(Tue) 21:29:27

☆ Re: 証明問題についてです / WIZ

arctan(sinh(x)) と arcsin(tanh(x)) の値域を (-π/2, π/2) として良いなら

(1)
u = arctan(sinh(x)), v = arcsin(tanh(x)) とおき、
-π/2 < u <π/2 かつ -π/2 < v <π/2 とします。

tan(u) = sinh(x)です。

また cos(u) > 0 なので、
sin(v) = tanh(x)
= sinh(x)/√(1+sinh(x)^2)
= tan(u)/√(1+tan(u)^2)
= tan(u)/√(1/cos(u)^2)
= tan(u)/(1/cos(u))
= sin(u)

つまり (-π/2, π/2) で sin(u) も sin(v) も単調増加なので、
sin(v) = sin(u) より u = v と言えます。

(2)
p = arctanh(sin(x)), q = arcsinh(tan(x)) とおき、
-π/2 < x < π/2 とします。

tanh(p) = sin(x) です。

また cos(x) > 0 なので、
sinh(q) = tan(x)
= sin(x)/cos(x)
= sin(x)/√(1-sin(x)^2)
= tanh(p)/√(1-tanh(p)^2)
= tanh(p)/√(1/cosh(p)^2)
= tanh(p)/(1/cosh(p))
= sinh(p)

sinh(p) と sinh(q) は単調増加なので、sinh(q) = sinh(p) より p = q と言えます。

No.67213 - 2020/06/23(Tue) 21:52:12

☆ Re: 証明問題についてです / えび

3名ともありがとうございます。本当に感謝です。

No.67222 - 2020/06/24(Wed) 01:12:18