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★ 確率 / とい
解法を教えていただけると幸いです
No.66923 - 2020/06/16(Tue) 19:26:54
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(1)取り出し方は
　１，２，２　か　１，１，３　です。
　１，２，２ の並び方　×　１，２，２ を引く確率
　１，１，３ の並び方　×　１，１，３ を引く確率
(2)
１から５　のみが取り出される確率
　から
１から４　のみが取り出される確率
　を引きます。
No.66924 - 2020/06/16(Tue) 19:30:45
☆ Re: 確率 / とい
ありがとうございます！
No.66935 - 2020/06/17(Wed) 01:56:36
★ 底の変換 / 森
自然対数をlogに変換するやり方を教えてください。
たとえば
3ln(|x-3|)-2ln(|x+1|)+(1/x+1)は
ただ単にlnのところをlogxに書き換えるだけでいいんでしょうか？
No.66919 - 2020/06/16(Tue) 18:10:48
☆ Re: 底の変換 / ヨッシー
ここで言う log が何を表しているかですね。
自然対数なら、ln を log に書き換えればいいですが、
ln という関数を使っているにも関わらず、同じ意味で、
log を使うことは考えにくいので、log は常用対数ですかね？

だとすると、
　公式　logab＝logcb/logca
を使って、
　lnｘ＝logｘ/logｅ
です。
No.66920 - 2020/06/16(Tue) 18:33:14
★ 逆三角関数　証明 / 助けてください
この方程式の証明を教えてください
No.66909 - 2020/06/16(Tue) 14:06:30
☆ Re: 逆三角関数　証明 / ast
f(x):=(左辺)-(右辺) を微分すると f'(x)≡0 (恒等的に0) になるので, f(x) は定数. その定数は x=0 における値などを見れば明らかに 0 なので, 証明終了//
No.66914 - 2020/06/16(Tue) 16:21:11
☆ Re: 逆三角関数　証明 / IT
（別解）tan ^-1 はarctan ､sin^-1=arcsin と書きます。
定義にしたがって計算すると
α=arctanx とおくと、-π/2＜α＜π/2で　x=tanα
∴　x/√(1+x^2)=tanα/√(1+(tanα)^2)
=(sinα/cosα)/√(1+(sinα/cosα)^2)
=(sinα/cosα)/√(1/(cosα)^2)
=(sinα/cosα)/(1/cosα) ∵cosα＞0
=sinα

∴arcsin(x/√(1+x^2))=arcsin(sinα)=α ∵-π/2＜α＜π/2
No.66925 - 2020/06/16(Tue) 20:23:18
☆ Re: 逆三角関数　証明 / IT
（逆向きなら）
α=arcsin(x/√(1+x^2))とおくと　
　-１＜x/√(1+x^2)＜1なので-π/2＜α＜π/2
　x/√(1+x^2)＝sinα
　-π/2＜α＜π/2よりcosα＞0なので、
　cosα=√(1-(sinα)^2)
　=√(1-x^2/(1+x^2))
　＝√(1/(1+x^2))
∴tanα=sinα/cosα=(x/√(1+x^2))/√(1/(1+x^2))=x
∴α＝arctanx　（∵-π/2＜α＜π/2)

スッキリ
α＝arcsin(x/√(1+x^2))とおくと-π/2＜α＜π/2
sinα=x/√(1+x^2)
∴cosα=1/√(1+x^2)
∴tanα=sinα/cosα=x
∴α＝arctanx
程度書けばいいかも
No.66927 - 2020/06/16(Tue) 20:41:00
☆ Re: 逆三角関数　証明 / 関数電卓
この問題と同じ！
No.66930 - 2020/06/16(Tue) 21:44:42
★ 大学1年 / まい
この問題が分かる方、回答お願いします
No.66908 - 2020/06/16(Tue) 14:03:12
☆ Re: 大学1年 / ヨッシー
各文字は何を表しますか？実数なのか、複素数なのか、ベクトルなのか、はたまた？
演算子＋、・の意味(定義)は何ですか？
上に引いてある線の意味(定義)は何ですか？

見る人が見れば分かるのでしょうけれども。
No.66911 - 2020/06/16(Tue) 15:37:48
☆ Re: 大学1年 / まい
すみません、これだけ課題でポンと出されたので何とも言えないです...
確かにこれだけだと解答し難いですよね:(
No.66913 - 2020/06/16(Tue) 16:12:28
☆ Re: 大学1年 / ヨッシー
せめて、教科とか単元がわかれば。
No.66916 - 2020/06/16(Tue) 16:51:52
☆ Re: 大学1年 / ast
質問者が文脈を明らかにする責任があるのは間違いないところで, 回答側がめったやたらに当て推量をしても混乱が増すだけとは思いますが, 集合とか論理の単元をやっている可能性は無いですか？ ＞質問者さん

# つまり, (+,*,￣) := (合併∪,交わり∩,補∁) or (選言∨,連言∧,否定¬)
# で三つの項に対するド・モルガンの法則を示せという話じゃないのか, と思ってる.
## まあ当てはまる例はこれに限らないのでしょうけれど, ぱっと見で連想したものがこれだった.
## たぶんヨッシーさんも目ぼしつけたうえで敢えてああ云っておられるのだろうなあとも思いつつも,
## どうしても書きたかった (むしゃくしゃしてやった, 後悔は(略))
No.66917 - 2020/06/16(Tue) 17:23:40
☆ Re: 大学1年 / IT
> すみません、これだけ課題でポンと出されたので何とも言えないです...
ほんとなら、むちゃくちゃですね。
出題の前に配信されたテキストに定義が載っているのでは？
No.66922 - 2020/06/16(Tue) 19:13:53
★ 導関数 / ヤマ
xlog(1+x)のn階導関数の求め方を教えてください
No.66907 - 2020/06/16(Tue) 14:01:19
☆ Re: 導関数 / ヨッシー
f(x)＝xlog(1+x)
f'(x)＝log(1+x)＋x/(1+x)＝log(1+x)−1/(1+x)＋1
f"(x)＝1/(1+x)＋1/(1+x)2
f(3)(x)＝−1/(1+x)2−2/(1+x)3
f(4)(x)＝2/(1+x)3＋6/(1+x)4
　・・・
のように、２回目以降は、(1+x) のマイナスの累乗になります。
　(-1)n という形と、総積を表すΠを使って表現できます。
No.66912 - 2020/06/16(Tue) 15:56:54
☆ Re: 導関数 / ast
ヨッシーさんが手計算に適した形で解答を書かれているので, ここでは, やや機械的にできる手順を.

方針: ライプニッツの法則 (積の微分則, の今回は高階版)
　(uv)^(n) = ?納k=0,n]comb(n,k)*u^(k)*v^(n−k)
　(ただし, comb(n,k)は二項係数 (nからk選ぶ組合せの数))
を u=x,v=log(1+x) に適用する.
# 高階のライプニッツの法則自体の証明は通常の積の微分則 (n=1 の場合) から帰納的に示せます (厳密には数学的帰納法でやる).

u'=1, u''=0 なので, k=2 以上の項が全て消えることに注意すれば,
　(x*log(1+x))^(n) = x*log(1+x)^(n) + n*log(1+x)^(n−1).

だから, log(1+x) の高階導函数が分かればよいが, これは容易 (ヨッシーさんの仰る程度の複雑さはありますが, こっちは単項なので推定に面倒はないはず) だと思うので割愛.

で, log(1+x) の高階導函数を代入して整理すれば
　(x*log(1+x))^(n) = (−1)^n(x+n)*(n−2)!/(1+x)^n
　　(分子の (n−2)! は n−2 の階乗)

に, なるのかな?
# 私が計算をミスっていなければ, ヨッシーさんの結果と一致するはず (たぶん^^;)
No.66915 - 2020/06/16(Tue) 16:43:21
★ 大学数学 線形代数 / たまちゃん
1〜3が分かりません！助けてください。
No.66905 - 2020/06/16(Tue) 12:16:55
☆ Re: 大学数学 線形代数 / ヨッシー
(1)

とおいて、

とします。
Ａの行列式は、
　9−2a＋a−6−a^2＋3＝−a^2−a＋6
これが0になるのは、
　−a^2−a＋6＝−(a−2)(a＋3)＝0
より　ａ＝−3, 2

(2)
　ｘ1， ｘ2, ｘ3 の代わりに ｘ，ｙ，ｚ を使います。
ａ＝−３ とすると、
　ｘ−ｙ＋ｚ＝１　・・・(i)
　ｘ＋３ｙ−３ｚ＝２　・・・(ii)
　２ｘ−３ｙ＋３ｚ＝３　・・・(iii)
(i)×3＋(ii)
　４ｘ＝５、　ｘ＝５／４
(ii)＋(iii)
　３ｘ＝５　　ｘ＝５／３
と解が１つに定まらない。
ａ＝２ とすると、
　ｘ−ｙ＋ｚ＝１　・・・(iv)
　ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝２　・・・(v)
　２ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝３　・・・(vi)
(iv)＋(v) が (iv) に一致し、これら３式は１次従属であり、解は無限にある。
(v)−(vi) より
　４ｙ＋ｚ＝１
　ｚ＝１−４ｙ
(iv) に代入して、
　ｘ＝ｙ−ｚ＋１＝ｙ−(１−４ｙ)＋１
　　＝５ｙ
よって、解は
　(x,y,z)＝(5t, t, 1-4t)　(t は任意の数)

(3)
−a^2−a＋6≠0 のとき、Ａの逆行列が唯一存在し、それをＢとすると、

このように、解がただ１つ存在します。

(3) で、逆行列の存在をどこまで示すかは、レベルによります。
No.66910 - 2020/06/16(Tue) 15:35:16
★ 5⃣6⃣の?@から?Dをうめたいです。 / A
教科書をみたり解説を見たんですが、いまいち理解できず、この場を借りて解説何方かよろしくお願いします。
No.66903 - 2020/06/16(Tue) 11:59:59
☆ Re: 5⃣6⃣の?@から?Dをうめたいです。 / A
また同じミスすいません
No.66904 - 2020/06/16(Tue) 12:00:45
☆ Re: 5⃣6⃣の?@から?Dをうめたいです。 / ヨッシー
５は、こちらで、ほぼ答えが出ています。
４，５まで出来て、６が出来ない道理はありません。
No.66906 - 2020/06/16(Tue) 12:51:29
★ 指数方程式 / 学生F
この計算って、どうやりますか？
解にはX≒1.2とありました。
No.66899 - 2020/06/16(Tue) 00:55:34
☆ Re: 指数方程式 / 学生F
すみません、画像が反転しています。
No.66900 - 2020/06/16(Tue) 00:56:02
☆ Re: 指数方程式 / らすかる
例えば
(1/1000)^x=1/4000
1000^x=4000
xlog[10]1000=log[10]4000
3x=3+2log[10]2≒3.60206（∵log[10]2≒0.30103）
∴x≒1.20069
No.66901 - 2020/06/16(Tue) 01:38:30
★ 導関数 / 助けてください
この問題の3と4の解き方がわかりません。教えてください。
No.66898 - 2020/06/16(Tue) 00:53:54
☆ Re: 導関数 / ヨッシー
まず(3)です。
f(x) の原始関数の一つを F(x) とします。

No.66902 - 2020/06/16(Tue) 09:55:26
★ ストークスの定理の問題です / こはく
写真のストークスの定理がわかりません。rotAの値が出ません。
どなたかお願いします
No.66895 - 2020/06/15(Mon) 21:48:41
☆ Re: ストークスの定理の問題です / X
定義通り計算すれば
rot↑A=2↑k
になります。
No.66918 - 2020/06/16(Tue) 18:08:49
☆ Re: ストークスの定理の問題です / 関数電卓
この課題が課される人にとって，rotA は，算数の掛算九九でしょう。
No.66921 - 2020/06/16(Tue) 18:47:59
★ 二次関数について教えてください。 / YUI
5の（2）の問題の解き方を教えていただきたいです。
No.66888 - 2020/06/15(Mon) 20:06:50
☆ Re: 二次関数について教えてください。 / ヨッシー
Ｍ＝ｔ^2＋at＋ａ^2＝(t＋a/2)^2＋(3/4)ａ^2
より、Ｍはｔ＝−a/2 で最小値(3/4)ａ^2 を取り、ｔ＝−a/2 から
最も遠い値で最大値を取ります。
よって、ｔ＝ａ のとき、Ｍ＝３ａ^2　　・・・最大
これが１２になるので、ａ＝２

最小値 (3/4)ａ^2 が１２のとき、
　(3/4)ａ^2＝12
より　ａ＝４
No.66890 - 2020/06/15(Mon) 20:32:00
★ 連続性についてです / はじめまして
この問題がわからないので教えてほしいです。
f(x,y)＝x/(1+e^{1/x}),g(x,y)=1/(x^2+y^2)の連続性を調べるという問題です。まったくわからないのでソフト？で関数を書いてみて大体の形は分かったのですが、数学的にどうやって調べたらいいのかわかんないです。
No.66886 - 2020/06/15(Mon) 19:48:53
☆ Re: 連続性についてです / IT
問題をそのまま正しく書いてください。

f(x,y)はyが出てきませんが合っていますか？

それぞれ分母＝0となる(x,y) では定義されてないので不連続です。

テキストでは連続性の確認方法は、どうやっていますか？

εδ方式か

lim[x→a]{f(x)+g(x)}=lim[x→a]f(x)+lim[x→a]g(x)
（x,a は2次元でもOK）
など極限の性質を使って、より簡単な関数に帰着する方法か
No.66892 - 2020/06/15(Mon) 20:57:33
☆ Re: 連続性についてです / はじめまして
> 問題をそのまま正しく書いてください。
>
> f(x,y)はyが出てきませんが合っていますか？
>
> それぞれ分母＝0となる(x,y) では定義されてないので不連続です。
>
> テキストでは連続性の確認方法は、どうやっていますか？
>
> εδ方式か
>
> lim[x→a]{f(x)+g(x)}=lim[x→a]f(x)+lim[x→a]g(x)
> （x,a は2次元でもOK）
> など極限の性質を使って、より簡単な関数に帰着する方法か
失礼しました。
1つ目は一変数なのでｆ（ｘ）の誤りです。
分母が０となる点での関数値は０とすると書かれています。
余力があればεδ論法でと書かれています。ですので、性質で帰着する方法でお願いします。
No.66894 - 2020/06/15(Mon) 21:24:21
☆ Re: 連続性についてです / IT
それぞれ分母＝0となる点での　連続性を調べます。その他では性質に帰着して連続が言えます。

lim[x→0]{x/(1+e^{1/x})}=0
　|x/(1+e^{1/x})|＜|x|を使って､挟み撃ちで示せば良いと思います。

lim[(x,y)→(0,0)]{1/(x^2+y^2)} 発散（∞）

です途中計算はやってみてください。
No.66896 - 2020/06/15(Mon) 21:51:32
★ (No Subject) / マクローリン展開
sin(x^2+x)がマクローリン展開可能であることは自明でしょうか？
解説になんの注もなく使われていたのですが、どのようにすれば、sin(x^2+x)がマクローリン展開可能と証明できるでしょうか？
どなたか指針を教えてくださいませんか？

f(x)=sin(x^2+x)の誤差項を求めようにもf^(n)(0)の値が具体的に求まらず、証明できません。

あと、余談なのですが、この関数のマクローリン展開はf(0),f’(0),f’’(0)というふうに、k次導関数を全て求めなければ評価できないのでしょうか？
k次導関数がすぐにはわからない場合、どのようにしてマクローリン展開の一般項を求めるのでしょうか？
No.66883 - 2020/06/15(Mon) 17:44:20
☆ Re: / 関数電卓
> 自明でしょうか？
自明です。sin(x) は −∞＜x＜∞ でマクローリン展開ができますので。
> f(0),f’(0),f’’(0)というふうに、k次導関数を全て求めなければ…
　sin(x＋x^2)＝x＋x^2−(1/3!)(x＋x^2)^３＋(1/5!)(x＋x^2)^5−…
　　　　＝Σ[n=0,∞]{(−1)^n/(2n＋1)!}･x^(2n+1)･(1＋x)^(2n+1)

何か背景がある問題ですか？ 紙の上だけの問題ですか？
No.66885 - 2020/06/15(Mon) 19:09:43
☆ Re: / マクローリン展開
すいません、自分の勘違いでした。
sin(g(x))のマクローリン展開は、sinx のマクローリン展開の、xをg(x)にしたものですよね。
よく見たら、きちんと教科書にもこの定理？について記述がありました。

回答ありがとうございました
No.66893 - 2020/06/15(Mon) 21:11:08
★ 行列のn乗 / あ
この行列のn乗を導く過程を教えて欲しいです。
お願い致します。
No.66880 - 2020/06/15(Mon) 15:00:26
☆ Re: 行列のn乗 / 関数電卓
こちら をご覧下さい。
No.66881 - 2020/06/15(Mon) 15:49:50
☆ Re: 行列のn乗 / ヨッシー
この行列をＡとします。
Ａ^2, Ａ^3, Ａ^4 を計算して、見当をつけます。

それを、数学的帰納法で示します。
No.66882 - 2020/06/15(Mon) 15:55:20
★ 重積分 / ＰＰＰＰ
訂正しましたので、再掲載いたします。
解き方が全然わかりません、、、
No.66879 - 2020/06/15(Mon) 08:23:21
☆ Re: 重積分 / X
(1)だけ解きますので、(2)(3)はもう一度ご自分で
考えてみて下さい。

(1)
これは
∫[0→1]f(x,t)dx
が存在し、f(x,t)が区間[0,1]で偏微分可能であるとき
(d/dt)∫[0→1]f(x,t)dx=∫[0→1](∂/∂t)f(x,t)dx
となることを使います。

H'(t)=(d/dt){∫[0→t]{e^(-x^2)}dx}^2+(d/dt)∫[0→1]{e^{-(t^2)(x^2+1)}/(x^2+1)}dx
=2{∫[0→t]{e^(-x^2)}dx}e^(-t^2)+∫[0→1](∂/∂t){e^{-(t^2)(x^2+1)}/(x^2+1)}dx
=2{∫[0→t]{e^(-x^2)}dx}e^(-t^2)-∫[0→1]2t{e^{-(t^2)(x^2+1)}dx
=2{∫[0→t]{e^(-x^2)}dx}e^(-t^2)-2{∫[0→1]t{e^{-(t^2)(x^2)}}dx}e^(-t^2)
第2項においてtx=uと置いて置換積分をすると
H'(t)=2{∫[0→t]{e^(-x^2)}dx}e^(-t^2)-2{∫[0→t]{e^(-u^2)}du}e^(-t^2)
=0
No.66887 - 2020/06/15(Mon) 19:56:37
☆ Re: 重積分 / ＰＰＰＰ
ありがとうございます！
No.66897 - 2020/06/15(Mon) 23:07:16
★ (No Subject) / めんへら
Excelにて計算したところ，x=1のときにΣの値が-516.7641になり，明らかにおかしいと感じているのですが，どうしてでしょうか．x=2,x=3はそれらしい数値が出ています．
No.66874 - 2020/06/15(Mon) 00:40:46
☆ Re: / めんへら
ajに関してはこちらからa(j+1)=(2j+1)ajとして計算しています．
No.66875 - 2020/06/15(Mon) 00:43:45
☆ Re: / らすかる
それだけしか書かれないと誰にも理由はわからないと思いますが、
明らかにおかしいならExcelに入力している式または値が正しくないのでは？
No.66876 - 2020/06/15(Mon) 00:45:52
☆ Re: / めんへら
個人的にはajの式が間違っているのではないかと思います．x=1では(-1)aj*exp(-1/2)となるのでajが発散していくのだと思います．手計算でx=1のときと一致していたのでexcelの式はあっていると思います．
No.66877 - 2020/06/15(Mon) 00:51:37
☆ Re: / らすかる
Σの式はnが大きい偶数のとき大きい値、
大きい奇数のとき負で絶対値が大きい値になりますので、
もし問題のどこかが間違っているとしたら
≦I0(x), n=0,2,4,…,
≧I0(x), n=1,3,5,…,
の不等号が逆（あるいは右側の偶数奇数が逆）なのではないかと思います。
No.66878 - 2020/06/15(Mon) 04:12:38
★ 標準偏差 / うい
ここでの標準偏差の求め方がわからないです。
この式はどう考えて導いたのですか？
No.66861 - 2020/06/14(Sun) 21:14:13
☆ Re: 標準偏差 / X
x=x[0]+cu
ですのでx,uの分散について
s[x]^2=(c^2)s[u]^2
c＞0により
s[x]=cs[u]
です。
No.66865 - 2020/06/14(Sun) 21:36:35
☆ Re: 標準偏差 / うい
理解力が低くて申し訳ないです。
c^2にs[u]^2を掛けることでs[x]^2が出せることを
もう少し詳しく教えてほしいです。
公式を利用しているのでしょうか…？
No.66866 - 2020/06/14(Sun) 21:53:12
☆ Re: 標準偏差 / X
一般に変量Xに対する分散をV[X]とするとき
定数a,bに対し
V[aX]=(a^2)V[X] (A)
V[X+b]=b (B)
教科書か参考書に書かれているはずですので
調べてみて下さい。

文脈から、平均E[X]に対し
E[aX+b]=aE[X]+b
が成立することは学習されていると
見受けられるのに、(A)(B)を学習されて
いないのが不思議ですが。
No.66867 - 2020/06/14(Sun) 22:20:01
★ 接線の傾き / あんに
f(x,y)=1/2^(1/2) x^1/5 y^(4/5) (ただしx>0,y>0)
について、曲線f(x,y)=f(2,4)の点(x,y)=(2,4)における接線の傾きを求めよ。
という問題で、問題の趣旨がよく分かりません。全微分したものにx=2,y=4を代入すればよいのでしょうか。
No.66859 - 2020/06/14(Sun) 20:56:28
☆ Re: 接線の傾き / X
高校数学の範囲で計算してみましょう。

f(x,y)=f(2,4)
から
(1/√2){x^(1/5)}{y^(4/5)}=(1/√2){2^(1/5)}{2^(8/5)}
これより
xy^4=512
y^4=512/x
∴(4y^3)y'=-512/x^2
y'=-128/{(x^2)(y^3)}
これに(x,y)=(2,4)を代入して
y'=-1/2
No.66863 - 2020/06/14(Sun) 21:30:05
☆ Re: 接線の傾き / あんに
返信ありがとうございます！
私、変な解釈していました。ほんと助かりました！！
No.66884 - 2020/06/15(Mon) 18:45:08
★ (No Subject) / ヤムチャ
囲った部分の変形がわかりません。教えてください。お願いしまs
No.66856 - 2020/06/14(Sun) 20:36:43
☆ Re: / Cinnamon
(1-cos^2θ)/(1-cosθ)
=(1-cosθ)(1+cosθ)/(1-cosθ)
=1+cosθ
というように変形されているのではないでしょうか。
No.66860 - 2020/06/14(Sun) 20:59:11
☆ Re: / ヤムチャ
なるほど！ありがとうございます！
No.66862 - 2020/06/14(Sun) 21:19:02
★ (No Subject) / ヤムチャ
この+0の意味がわかりません。教えてください。お願いしまs
No.66852 - 2020/06/14(Sun) 20:21:39
☆ Re: / X
横軸にx,縦軸にθを取った
θ=1/x
のグラフを考えます。
このグラフにおいて
x→∞
のとき、θはθ＞0の側から0に近づいていますよね。
No.66853 - 2020/06/14(Sun) 20:28:12
☆ Re: / ヤムチャ
なるほど！ありがとうございます！
No.66855 - 2020/06/14(Sun) 20:35:23
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