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★ 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / サムライ
(問4)平行四辺形0, a, b, a+bと，上で与えた作図法に従って，長方形0, a′, b′′, a′+b′′
を図示せよ.
(12) 最後に，以上の変形を反映した行列式の計算を確認しておきましょう.
􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 |A|=􏰀􏰀 a1 a2 􏰀􏰀=􏰀􏰀 a1 a2 􏰀􏰀==􏰀􏰀 a1 0 􏰀􏰀=a1b′′
􏰀bb􏰀􏰀0b′′􏰀 􏰀0b′′􏰀 122
この計算は，P3 による変形のみに基づき，P1 と P2 は用いていないことに，注意する (これは非常に重要).また，b′′ は(問 3)で計算されているはずなので，それを代入
すると 1 つの計算式が得られます(求めてください). • 他の行変形行列 P1 と P2 についても見ておきましょう.
2

(1)P1(1,r), r̸=0は1行目を，r倍します.r>0の場合は，aの長さをr倍するだけなの で，面積も r 倍されるはずです.r < 0 の場合は，a の長さを |r| 倍すると同時に，その ベクトルの向きは逆にします.a とは逆方向のベクトル ra から b を見ると，前とは逆 回りになっているはずです.つまり，符号が逆転します(数値的には −1 倍).そのた め，もとの行列式の (−1) × |r| = r 倍することになります.つまりどちらの場合であっ ても r 倍です.
􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 |P1(1,r)A|=􏰀􏰀 ra 􏰀􏰀=r􏰀􏰀 a 􏰀􏰀
􏰀b􏰀 􏰀b􏰀 であることを理解してください.これは 2 行目のベクトル b についても同様に考えるこ
とができるので，i = 1, 2 に対して次のように表現できます. |A| = 1r |P1(i, r)A| = r|P1(i, 1/r)A|
特に，r = −1 の場合は，
上の関係式は，|A| の計算が目的がなので，もしも P1(i, 1/r) で A を変形したら，r を
|A| = −|P1(i, −1)A| かけて修正しないと等号にならないという形式で与ています.
(2) P2 (1, 2) は 1 行目と 2 行目を入れ替えます.実は，|P2 (1, 2)A| の計算は P3 と P1 を使っ
て求められます.
()( )
P3(1, 2, 1) a = a + b ba
P3(2, 1, −1) P3(1, 2, 1)
()()
a + b = a + b b −a
()()
a + b = b
−a
が成り立ちます.P3 行列による変形は行列式の値を変化させないので，次のような計
算ができます.
ここまでは，P3 行列しか用いていません.これは，P3 のみを用いて，実質的に P2 の 役割を実現できることを示しています.これにより a ベクトルの符号は変わりますが， 通常はそのまま気にせずに，計算を続けていけます.
P1 についてすでに述べた性質により，その符号(−1)を行列式の外に出せば，目的の P2 に関する公式を得ます.
|A| = |P3(1, 2, 1)P3(2, 1, −1)P3(1, 2, 1)A| 􏰀􏰀 􏰀􏰀
= 􏰀􏰀 b 􏰀􏰀 􏰀 −a 􏰀
􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀 􏰀􏰀
􏰀b􏰀 􏰀b􏰀
|A|=􏰀􏰀 −a 􏰀􏰀=−􏰀􏰀 a 􏰀􏰀=−|P2(1,2)A|
(問 5) n = 2 のとき，次の積を右側から順に計算していき(そのつど計算結果を表 記しながら)，最後に得られた行列を P 行列で表現せよ.
P1(1, −1)P3(2, 1, 1)P3(1, 2, −1)P3(2, 1, 1) =
−a

(3) 上の (2) において，−a の負の符号を外に出すためだけに P1 の性質を用いました.そ の符号を −1 として外に出さなくてもよいとするなら，その性質を使う必要はありませ ん.そう考えると，平行四辺形がつぶれていないときは，P3 のみを用いて，対角行列 に変形できることになります.

[1] 今回の課題にある(問4)について，以下に与える具体的なaとbにおいて，具体的な図を 描け.また，最後に得られた長方形に基づく対角行列の行列式を求めよ.2 問に答えよ(正確に， 見やすく描いてあるかで評価する).
(1)a=(−2,1), b=(4,1) (2)a=(4,1), b=(2,3)
[2] 今回の課題にある(問 5) に答よ. P1(1, −1)P3(2, 1, 1)P3(1, 2, −1)P3(2, 1, 1) =
No.67215 - 2020/06/23(Tue) 22:39:19
☆ Re: 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / らすかる
私の環境では文字化けがひどいですが、他の人には正常に見えているのでしょうか。
No.67218 - 2020/06/23(Tue) 23:10:53
☆ Re: 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / IT
ソースを見ても　変なコード？　#1113088　がたくさんありますから、ダメのようですね。
No.67219 - 2020/06/23(Tue) 23:18:39
☆ Re: 問題を解いて、正解を書いたものを送って欲しいです / ヨッシー
スマホではちゃんと見えるみたいですが、
いきなり、「上で与えた作図法」と言われても、という感じですね。
#この部分は、パソコンでも見えてますが。
No.67230 - 2020/06/24(Wed) 06:10:31
★ 友達に出された問題 / 高一
?@ f:y=0.02x二乗+20とg:y=-0.01x二乗+16に囲まれた部分の面積を求めよ。

?A数1Aでベン図を使う、最上級に難しい問題を教えてください。
No.67214 - 2020/06/23(Tue) 21:52:57
☆ Re: 友達に出された問題 / ヨッシー
?Aはともかく、?@は囲まれた部分はありません。
No.67236 - 2020/06/24(Wed) 15:20:30
☆ Re: 友達に出された問題 / 高一
すみません。f:y=-0.02x二乗＋16です。マイナスを忘れていました。
No.67246 - 2020/06/24(Wed) 21:36:50
☆ Re: 友達に出された問題 / ヨッシー
20 も 16 に替えるのですか？
それだとまた、囲まれた部分がなくなります。

ｙ＝−0.02ｘ^2＋20
ｙ＝−0.01ｘ^2＋16
だとして、両者連立させて、
　−0.01ｘ^2＋4＝0
　ｘ＝±２０
よって、求める面積は
　0.01×(20＋20)^3/6＝320/3

こちらの公式を使っています。
No.67282 - 2020/06/25(Thu) 22:58:52
★ (No Subject) / アイス
赤線を引いたところなのですが、＞0を確認しているのは素数が正でなければいけないからというのはわかるのですが、n−4＜n+6の確認の意味がわかりません。 またよってn−4=1となるのかがわかりません。n−4かn−6が1がにならなければならないのはわかるのですが、n−6=1ではだめなのですか？
No.67206 - 2020/06/23(Tue) 20:35:22
☆ Re: / ast
pが素数で p=ab と積に書けるとき, (0<)a< b なら a=1 かつ b=p の場合しかありません.
> n−4＜n+6の確認の意味がわかりません。
> またよってn−4=1となるのかがわかりません。
> n−6=1ではだめなのですか？
三つ全部同じ上の理由からきていることはわかりますよね?
No.67207 - 2020/06/23(Tue) 21:08:29
☆ Re: / ヨッシー
いつの間にか、ｎ＋６をｎ−６とすり替えているようですが、ｎ＋６＝１ はあり得ませんね。
No.67208 - 2020/06/23(Tue) 21:10:29
☆ Re: / アイス
納得しました！ありがとうございます！
No.67212 - 2020/06/23(Tue) 21:29:35
★ 線形数学 / くま
過程が分かりません。
No.67204 - 2020/06/23(Tue) 19:13:28
★ 証明問題についてです / えび
この二つの式の証明が全く分かりません...
片方だけでも解ける方いらっしゃいましたら是非お願い致します。
No.67203 - 2020/06/23(Tue) 19:07:28
☆ Re: 証明問題についてです / IT
f(x)＝arcsin(tanhx)、g(x)＝arctan(sinhx)とおく。
arcsinx,tanhx、arctanx,sinhxは狭義単調増加なので
f(x),g(x)は狭義単調増加
またf(x),g(x)の値域は(-π/2,π/2)

定義域(-π/2,π/2)におけるf,g の逆関数を考える。

arcsinxの逆関数はsinxで値域は(-1,1)
(-1,1)におけるtanhxの逆関数は(1/2)log((1+x)/(1-x))なので
f(x)の逆関数は(1/2)log((1+sinx)/(1-sinx))
=(1/2)log((1+sinx)^2/(cosx)^2)　
=log((1+sinx)/(cosx)) ∵cosx＞0

arctanxの逆関数はtanxで値域は(-∞,∞)
(-∞,∞)におけるsinhxの逆関数はlog(x+√(x^2+1))なので
g(x)の逆関数はlog(tanx+√((tanx)^2+1))　
＝log(tanx+1/cosx)) ∵cosx＞0
=log((sinx+1)/cosx))　

fの逆関数,gの逆関数は一致する。よってf(x)=g(x)

＃もっとすっきりした証明があるかもしれません。
＃値域とか定義域などは確認してください。
No.67209 - 2020/06/23(Tue) 21:18:37
☆ Re: 証明問題についてです / IT
(2)の左辺は(1) の右辺の(2)の右辺は(1)の左辺の逆関数ですね。　どちらかを証明すれば他方は即、言えますね

(2) から証明したほうが早かったですね。
No.67210 - 2020/06/23(Tue) 21:22:33
☆ Re: 証明問題についてです / ast
機械的にやるなら, f(x):=(左辺)-(右辺) を微分して f'(x)=0 (恒等的に零) ⇒ f(x)=(定数) を得て, (定数)=0 を適当な値を代入して確かめるというパターンでいけると思いますが.
# まあ厳密さを要求する場合は, 当然 f'=0 かどうか厳密に言えてるかどうかを気にはするべきですが.

どうでもいいですが, 個人的には双曲線函数の逆函数は ar を前置して arsinh や artanh と書く派です. (arc 弧 から決まる逆三角函数とは異なり, 逆双曲線函数は area 面積 から決まる量なので)
No.67211 - 2020/06/23(Tue) 21:29:27
☆ Re: 証明問題についてです / WIZ
arctan(sinh(x)) と arcsin(tanh(x)) の値域を (-π/2, π/2) として良いなら

(1)
u = arctan(sinh(x)), v = arcsin(tanh(x)) とおき、
-π/2 < u <π/2 かつ -π/2 < v <π/2 とします。

tan(u) = sinh(x)です。

また cos(u) > 0 なので、
sin(v) = tanh(x)
= sinh(x)/√(1+sinh(x)^2)
= tan(u)/√(1+tan(u)^2)
= tan(u)/√(1/cos(u)^2)
= tan(u)/(1/cos(u))
= sin(u)

つまり (-π/2, π/2) で sin(u) も sin(v) も単調増加なので、
sin(v) = sin(u) より u = v と言えます。

(2)
p = arctanh(sin(x)), q = arcsinh(tan(x)) とおき、
-π/2 < x < π/2 とします。

tanh(p) = sin(x) です。

また cos(x) > 0 なので、
sinh(q) = tan(x)
= sin(x)/cos(x)
= sin(x)/√(1-sin(x)^2)
= tanh(p)/√(1-tanh(p)^2)
= tanh(p)/√(1/cosh(p)^2)
= tanh(p)/(1/cosh(p))
= sinh(p)

sinh(p) と sinh(q) は単調増加なので、sinh(q) = sinh(p) より p = q と言えます。
No.67213 - 2020/06/23(Tue) 21:52:12
☆ Re: 証明問題についてです / えび
3名ともありがとうございます。本当に感謝です。
No.67222 - 2020/06/24(Wed) 01:12:18
★ 線形数学です / ぽんた
V=R^3の標準基をB^V={e1,e2,e3}とする。V内の平面H:4x-3y-2z=0への正射影を表す線形写像Fの(B^V,B^V)表現行列を基の変換を利用して求めよ。

解き方がわかりません。
よろしくお願いいたします。
No.67202 - 2020/06/23(Tue) 18:13:49
★ たぶん高校1Aだと思います / みん
合同式を満たすx(0≦x<23)を求めよ。
x2≡2(mod 23)
No.67199 - 2020/06/23(Tue) 16:45:33
★ テイラーの定理　質問 / jpdj
1は解けたのですが、2から解けないです。
No.67197 - 2020/06/23(Tue) 15:41:58
☆ Re: テイラーの定理　質問 / トーカ
(2)テイラーの定理からf^(n)をfをn回導関数、cは0とxの間の数とすれば　Rn(x)=f^(n)(c)x^n/n!　とかける。　　　

R4(1/3)=f^(4)(c)(1/3)^4/4!　0<c<1/3
これを計算して　0≦R4(1/3)≦0.015　を導く。
No.67300 - 2020/06/26(Fri) 15:43:17
★ 確率 / とら
(2)で袋Bから1つ取り出すと問題文を変えた時、どう考えれば良いのでしょうか。
No.67196 - 2020/06/23(Tue) 15:10:15
☆ Re: 確率 / らすかる
どこを「袋Bから1つ取り出す」に変えるのですか？
No.67198 - 2020/06/23(Tue) 15:54:43
☆ Re: 確率 / とら
「袋Bから2個同時に取り出す」のところです
No.67216 - 2020/06/23(Tue) 22:50:54
☆ Re: 確率 / らすかる
「袋Bが1つ取り出すとき、2球とも赤球である確率」はおかしいので
「袋Bが1つ取り出すとき、その1球が赤球である確率」のように変更するものと考えれば

Aから赤球を取り出してBから赤球を取り出す確率は
(6/9)×(4/8)=1/3
Aから白球を取り出してBから赤球を取り出す確率は
(3/9)×(3/8)=1/8
なので合計して11/24となります。
No.67217 - 2020/06/23(Tue) 23:08:47
★ 大学数学 / M
画像の問題の解き方を教えていただきたいです
e^x^2の積分を解くと誤差関数というものがあるようですが、まだ習っておらず扱い方がわからないので可能であれば誤差関数を用いない開放を教えていただきたいです
No.67194 - 2020/06/23(Tue) 13:57:40
☆ Re: 大学数学 / ヨッシー
こちらは誤植がないですね（独り言）

こちらに、同じ質問がありますので、ご覧ください。
No.67195 - 2020/06/23(Tue) 14:06:43
☆ Re: 大学数学 / M
無事解くことができました
ありがとうございました
No.67200 - 2020/06/23(Tue) 16:53:18
★ (No Subject) / ky
こちらもお願いしますm(_ _)m
No.67187 - 2020/06/23(Tue) 02:44:24
★ 大学数学　複素関数 / ky
お願いします＜(_ _)＞
No.67186 - 2020/06/23(Tue) 02:43:43
★ ベクトル / あさな
法線ベクトルに着目するのかなという感じなのですがよくわかりません。教えてください。
No.67185 - 2020/06/23(Tue) 00:48:23
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
ａ，ｂ，ｃには、正の数と負の数がそれぞれ１つ以上あります。
正の数が２つのとき、それを仮にａ，ｂとします。
負の数が２つのとき、
　ａ＝−ａ、ｂ＝−ｂ、ｃ＝−ｃ
としても、
　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０
　ａ＋ｂ＋ｃ＝０
が成り立ち、ａ，ｂ，ｃの２つの正の数を仮にａ，ｂとします。

　ａｘ＋ｂｙ＝(ａ＋ｂ)ｚ
なので、図のような関係になります。
　|ｘ|＝|ｙ|＝|ｚ|
より、この三角形の辺の比が ａ：ｂ：(ａ＋ｂ) であり
これが成り立つのは、
　ｘ、ｙ、ｚ が同じ向きの場合
よって、
　|ｘ|＝|ｙ|＝|ｚ|
から
　ｘ＝ｙ＝ｚ
が言えます。
No.67190 - 2020/06/23(Tue) 07:29:43
☆ Re: ベクトル / X
別解)
↑x,↑yの向きが同じであるということを示す
という方針自体はヨッシーさんと同じですが
内積で詰めてみます。

|↑x|=|↑y|=|↑z| (A)
a+b+c=0 (B)
a↑x+b↑y+c↑z=↑0 (C)
とします。
(B)より
c=-(a+b) (B)'
これを(C)に代入して
a↑x+b↑y=(a+b)↑z
∴|a↑x+b↑y|^2=|(a+b)↑z|^2
左辺を展開し、(A)を用いると
(a^2+b^2)|↑x|^2+2ab↑x・↑y={(a+b)^2}|↑x|^2
整理して
2ab(↑x・↑y-|↑x|^2)=0
条件からab≠0ゆえ
↑x・↑y=|↑x|^2
これと(A)により
↑x・↑y=|↑x||↑y|
これは
↑xと↑yの向きが同じである
ことを示しているので
(A)により
↑x=↑y (E)

(E)と(C)により
(a+b)↑x+c↑z=↑0
更に(B)より
a+b=-c
∴-c↑x+c↑z=↑0
c(↑z-↑x)=↑0
条件からc≠0ゆえ
↑z=↑x (F)
(E)(F)より
↑x=↑y=↑z
No.67205 - 2020/06/23(Tue) 20:30:25
★ 大学数学証明 / かなぞう
f(x),g(x)が(a,b)で微分可能である時、次式を満たすc(a<c<b)が存在することを証明せよ。

　f(b)-f(a) / g(b)-g(a) = f'(c) / g'(c)

お願いします。
No.67182 - 2020/06/22(Mon) 23:46:51
☆ Re: 大学数学証明 / らすかる
例えば
f(a)=0
f(x)=1（a＜x＜b）
f(b)=2
g(x)=x
のとき条件を満たすcは存在しないのでは？
No.67183 - 2020/06/22(Mon) 23:55:42
☆ Re: 大学数学証明 / IT
条件が不足しているようですね。
「コーシーの平均値の定理」で検索すると加える条件や証明が出てきます。
No.67191 - 2020/06/23(Tue) 07:32:20
★ 行列 / a
この２つの行列の簡約化の具体的な手順を教えて欲しいです。
よろしくお願いします。
No.67181 - 2020/06/22(Mon) 23:35:23
☆ Re: 行列 / ヨッシー
左
ａ＝０ のとき
　２行目を１行目から引く
　完了
ａ≠０ のとき
　３行目を 1/a 倍する
　３行目を１行目、２行目から引く
　２行目を 1/a 倍する
　２行目を１行目から引く
　１行目を 1/a 倍する
　完了

右
ａ＝０ のとき
　１行目を２倍して２行目から引く
　１行目を３行目から引く
　２行目を１行目から引く
　完了
ａ≠０ のとき
　１行目を２倍して２行目から引く
　１行目を３行目から引く
　２行目を１行目から引く
　３行目を 1/a 倍する。
　３行目を 3−5a 倍して１行目から引く
　３行目を 4a−2 倍して２行目から引く
　完了
No.67192 - 2020/06/23(Tue) 11:04:41
★ 微分方程式について / 初学者です
物理学で扱う運動方程式ですが、質問内容は微分方程式についてです。任意時刻の加速度、速度、位置をそれぞれa(t),v(t),x(t)とします。それ以外は定数です。

a(t)=-Gm/4x^2(t)

を解いてv(t)を求めたいですがなかなかうまくいきません。微分方程式はまだ大学で扱っていないため、ご教授お願いいたします。
No.67178 - 2020/06/22(Mon) 20:58:08
☆ Re: 微分方程式について / ビブ
初期条件はないのでしょうか？
No.67179 - 2020/06/22(Mon) 21:26:24
☆ Re: 微分方程式について / X
以下の二つのキーワードをネットなどで調べてみて下さい。
・エネルギー積分(又は、エネルギーの方法)
・変数分離法
No.67201 - 2020/06/23(Tue) 18:13:10
★ 合同式 / 大学生
a ≡ 3 (mod 4) のとき、
x^2 + y^2 = a を満たす整数の組 (x, y) は存在し
ないことを証明せよ。
No.67175 - 2020/06/22(Mon) 19:46:25
☆ Re: 合同式 / ヨッシー
ｘ，ｙともに、(mod 4) の値は
　０，１，２，３
のいずれかで、これらを２乗した数の (mod 4)の値は
　０，１，０，１
であるので、これらを２つ加えても、３とはならない。

のようなことを、理路整然と書けば良いです。
No.67176 - 2020/06/22(Mon) 19:51:17
★ (No Subject) / 微分
答えは全て出せました。a=27,b=-100となりました。その後は極大値と分かりました。合ってるか確認したいので是非お願いします。
No.67171 - 2020/06/22(Mon) 18:07:45
☆ Re: / ヨッシー
a=27,b=-100 は合っています。
(23) は「理由も」と書かれているので、根拠がないと
正否は言えません。
No.67173 - 2020/06/22(Mon) 18:49:52
☆ Re: / 微分
23は2回微分したf（x）にlog3を代入して負になるから、極大値としました
No.67177 - 2020/06/22(Mon) 20:33:43
☆ Re: / IT
wolfram によると極小値のようです。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=27coshx-100tanhx%2B36&lang=ja
No.67180 - 2020/06/22(Mon) 21:42:05
☆ Re: / ビブ
ITさんリンクに飛べないのですが。
No.67184 - 2020/06/23(Tue) 00:42:44
☆ Re: / らすかる
> 2回微分したf（x）にlog3を代入して負になるから
負になりません。微分が間違っていると思います。

> ITさんリンクに飛べないのですが。
URLをコピーしてアドレスバーに貼り付けましょう。
No.67188 - 2020/06/23(Tue) 05:18:09
★ 極限値 / 大学生1年生です。
写真の解き方、答えを教えてください。
No.67161 - 2020/06/22(Mon) 15:09:54
☆ Re: 極限値 / らすかる
lim[x→0]tan(3x)/sin(4x)
=lim[x→0]1/cos(3x)・sin(3x)/sin(4x)
=lim[x→0]1/cos(3x)・sin(3x)/(3x)・(4x)/sin(4x)・3/4
=3/4
となります。
No.67166 - 2020/06/22(Mon) 16:16:44
☆ Re: 極限値 / 大学生1年生です。
ありがとうございます😊
No.67172 - 2020/06/22(Mon) 18:30:38
★ 複素指数関数の積分 / さんた
画像の２問の積分のやり方を教えてください．複素化をして部分積分を用いないで解くように指示が出されています．
(?A)を複素化すると，
∫e^(ax)・{cos(bx)+isin(bx)}dx
で合っているでしょうか．またここから部分積分を用いずに積分する方法が分からないので教えていただければ幸いです．
No.67154 - 2020/06/22(Mon) 11:55:15
☆ Re: 複素指数関数の積分 / ヨッシー
話の流れとしては、
(ii) を複素数であることを気にせずに積分してみる。
　→ｅa+bi/(a+bi)
これを複素化して　Ａ＋Ｂｉ の形にする。
一方、(ii) を複素化して
　∫ｅaxcos(bx)dx＋ｉ∫ｅaxsin(bx)dx
　∫ｅaxcos(bx)dx＝Ａ
　∫ｅaxsin(bx)dx＝Ｂ
とすれば、部分積分を使わずに求めることが出来る。
ということを確認したいのではないかと思います。
No.67157 - 2020/06/22(Mon) 13:09:13
☆ Re: 複素指数関数の積分 / さんた
ありがとうございます．(?A)は前者の考え方で解きました．
ところで(?B)なのですが，（?A）を用いるなりして，部分積分をせずに求める方法はありませんでしょうか．
うまくいきそうなのにもどかしいです．
No.67162 - 2020/06/22(Mon) 15:11:53
☆ Re: 複素指数関数の積分 / ヨッシー
> ところで(?B)なのですが，（?A）を用いるなりして，部分積分をせずに求める方法はありませんでしょうか．

それを、上で書いたつもりですが、答えが合いませんか？
「合う」とは、
(ii) を複素化した結果と、
部分積分を使った結果とが一致するということです。
No.67163 - 2020/06/22(Mon) 15:59:14
☆ Re: 複素指数関数の積分 / ast
e^{(a+bi)x}=e^(ax)(cos(bx)+i*sin(bx) はただの恒等式 (場合によっては複素指数の定義通り) で何も変化がない (とくに前も後も実変数(?)の複素数値函数であることは変わりない) ので, ∫e^{(a+bi)x}dx=∫e^(ax)(cos(bx)+i*sin(bx)dx を複素「化」と呼ぶのは違和感しかないんですが……
# 実変数 x を複素変数 z に換えるとか, 実係数の e^(ax) を複素係数の e^((a+bi)x) に換えるとか,
# そういうのだったら, (実数が複素数に化けているので) それを複素化と呼ぶのはわかる.

むしろ (iii) で二つの実積分を ∫e^(ax)cos(bx)+i∫e^(ax)sin(bx) と複素数の形にペアリングすることを「複素化」と呼んでいるのだったらまだ理解できる. (すると (iii) は (ii) という複素数値函数の積分に帰着される)
# 要は (ii) は普通に計算できる積分として与えられていて, (ii) を「複素化」しようというのは
# ナンセンス (そもそも (ii) は「複素化して解け」という指示とは無縁) なのでは, という話.
#
## というかそもそもこの文脈でテキストや出題者が (ii) の e^{(a+bi)x} や
## その積分をいったいなんだと捉えているのか（どういうものと定義しているのか）が
## よくわからんというか, ものすごく怪しい (循環論法で堂々巡りしてる可能性もある).
## 実際, 複素数値函数の積分を実部虚部それぞれの実函数としての積分の線型結合と定義している場合
## (ii)は(iii)の結果から定義されるので(ii)に帰着して(iii)を求めてはいけない.
No.67165 - 2020/06/22(Mon) 16:11:47
☆ Re: 複素指数関数の積分 / WIZ
astさんのコメントにある循環論法云々を度外視すれば(!)

逆複素化(?)により(iii)は
∫{(e^(ax))cos(bx)}dx = ∫{(e^(ax))(e^(ibx)+e^(-ibx))/2}dx = (1/2)∫{e^(ax+ibx)+e^(ax-ibx)}dx
∫{(e^(ax))sin(bx)}dx = ∫{(e^(ax))(e^(ibx)-e^(-ibx))/(2i)}dx = (1/(2i))∫{e^(ax+ibx)-e^(ax-ibx)}dx
となって、(ii)が部分積分を用いず積分できるというなら、上記も同様と言えるかと。

或いは、複素化が
∫{(e^((a+bi)x)}dx = ∫{(e^(ax))cos(bx)}dx+i∫{(e^(ax))sin(bx)}dx
ということなら、b の符号を反転すると
∫{(e^((a-bi)x)}dx = ∫{(e^(ax))cos(bx)}dx-i∫{(e^(ax))sin(bx)}dx
なので、
∫{(e^((a+bi)x)}dx と ∫{(e^((a-bi)x)}dx が部分積分を用いず積分できるのなら、
その結果を用いて上記連立方程式(?)を解いて、
∫{(e^(ax))cos(bx)}dx と ∫{(e^(ax))sin(bx)} を求めることができるかと。

失礼しました。
No.67193 - 2020/06/23(Tue) 12:05:22
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