ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校数学A / 吉田　

お世話になっております。

?@異なる(labeled)n個の玉を異なる(labeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

?A異なるn個の玉を区別のない(unlabeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

?B区別のないn個の玉を異なるｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

?@は全射の個数と一致して,
?Aは?@をk! で割ったスターリング数と一致しますが,
?Bはなぜ?@を n!で割った数と一致しないんでしょうか。

No.84640 - 2023/01/19(Thu) 16:12:44

☆ Re: 高校数学A / 吉田　

[1] 異なる(labeled)n個の玉を異なる(labeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

[2] 異なるn個の玉を区別のない(unlabeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

[3] 区別のないn個の玉を異なるｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

[1] は全射の個数と一致して,
[2] は [1] を k! で割ったスターリング数と一致しますが,
[3] はなぜ [1] を n! で割った数と一致しないんでしょうか。

> 文字化けしてしまいました。

No.84641 - 2023/01/19(Thu) 16:15:55

☆ Re: 高校数学A / ヨッシー

こういうのは、少なめの数で、実際にやってみれば、仕組みがわかります。
ＡＢＣＤＥ　５個の玉を３つの箱に入れます。
[1] で別々に扱っていた
　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
　Ｄ　ＡＢＣ　Ｅ
　Ｄ　Ｅ　ＡＢＣ
　Ｅ　ＡＢＣ　Ｄ
　Ｅ　Ｄ　ＡＢＣ
の６通りは [2] では１通りと扱われます。
　ＡＢ　ＣＤ　Ｅ
などでも同じで、結局、[2] での１通りに対して、３個の箱をどう並べ替えるかの
違いになるので、[1] は [2] の 3! 倍の場合の数となります。

一方、[3] での１つの入れ方
　〇〇○　○　○
に相当する [1] の入れ方は
　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
　ＡＢＤ　Ｃ　E
　ＡＢＤ　Ｅ　Ｃ
　　・・・
などで、5Ｃ3×２＝２０通り　あります。
これが決して　５！＝１２０通りではないのは、
　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ、ＢＡＣ　Ｄ　Ｅ、ＣＢＡ　Ｄ　Ｅ
などは区別されないので、そこまで多くはならないのです。
また、
　〇〇　〇〇　○
は、5Ｃ2×3Ｃ2＝３０通り　と先程とは違う倍率になります。
これも、一律何かで割る、ということにならない理由です。

No.84643 - 2023/01/19(Thu) 17:42:37

☆ Re: 高校数学A / 吉田　

> こういうのは、少なめの数で、実際にやってみれば、仕組みがわかります。
> ＡＢＣＤＥ　５個の玉を３つの箱に入れます。
> [1] で別々に扱っていた
> 　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
> 　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
> 　Ｄ　ＡＢＣ　Ｅ
> 　Ｄ　Ｅ　ＡＢＣ
> 　Ｅ　ＡＢＣ　Ｄ
> 　Ｅ　Ｄ　ＡＢＣ
> の６通りは [2] では１通りと扱われます。
> 　ＡＢ　ＣＤ　Ｅ
> などでも同じで、結局、[2] での１通りに対して、３個の箱をどう並べ替えるかの
> 違いになるので、[1] は [2] の 3! 倍の場合の数となります。
>
> 一方、[3] での１つの入れ方
> 　〇〇○　○　○
> に相当する [1] の入れ方は
> 　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
> 　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
> 　ＡＢＤ　Ｃ　E
> 　ＡＢＤ　Ｅ　Ｃ
> 　　・・・
> などで、5Ｃ3×２＝２０通り　あります。
> これが決して　５！＝１２０通りではないのは、
> 　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ、ＢＡＣ　Ｄ　Ｅ、ＣＢＡ　Ｄ　Ｅ
> などは区別されないので、そこまで多くはならないのです。
> また、
> 　〇〇　〇〇　○
> は、5Ｃ2×3Ｃ2＝３０通り　と先程とは違う倍率になります。
> これも、一律何かで割る、ということにならない理由です。

やっぱりそういう事ですよね。ありがとうございました。

No.84662 - 2023/01/20(Fri) 13:49:19

★ 教えてください。 / いち

【中３】です。

　図のように、線分ＡＢを直径とする円Ｏがある。また、線分ＡＢ上にＡ、Ｂと異なるＣをとり、ＡＣを直径とする円を円Ｏ‘とする。点Ｂから円Ｏ’に２つの接戦をひき、接点をそれぞれＰ、Ｑとする。さらに、２つの直線をＢＰ、ＢＱと円Ｏとの交点で、Ｂ以外の点をぞれぞれＤ、Ｅとする。
(２)円Ｏの半径を３cm、円Ｏ‘の半径を２cmとするとき、△ＣＰＥの面積を求めよ。

No.84633 - 2023/01/19(Thu) 14:53:31

☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー

図のように、ＦＧＨを決めます。

△Ｏ’ＰＢは直角三角形で、
　Ｏ’Ｐ＝２、Ｏ’Ｂ＝４
なので、△Ｏ’ＰＢ、△ＡＤＢ、△ＡＦＤなどは、３辺が
　１：２：√３
の直角三角形になります。

ＤＰ：ＰＢ＝ＥＱ：ＱＢ＝ＡＯ’：Ｏ’Ｂ＝１：２
メネラウスの定理より
　(ＰＧ/ＧＥ)(ＥＱ/ＱＢ)(ＢＤ/ＤＰ)＝１
よって、
　ＰＧ：ＧＥ＝２：３
つまり
　ＨＧ：ＧＦ＝２：３

ＡＦ：ＦＤ＝ＦＤ：ＦＢ＝１：√３　より
　ＡＦ：ＦＢ＝１：３
また、ＦＨ：ＨＢ＝ＤＰ：ＰＢ＝１：２　および、ＡＣ：ＣＢ＝２：１　より、
　ＡＦ：ＦＧ：ＧＨ：ＨＢ＝５：３：２：１０
　ＡＦ：ＦＧ：ＧＨ：ＨＣ：ＣＢ＝15：9：6：10：20

△ＡＤＢ＝３×３√３÷２＝(9/2)√3
四角形ＡＥＢＤ＝9√3
△ＤＥＢ＝(3/4)9√3＝(27/4)√3
△ＥＰＢ＝(2/3)(27/4)√3＝(9/2)√3
△ＣＰＥ＝(4/9)(9/2)√3＝2√3
と順に求められます。

No.84638 - 2023/01/19(Thu) 15:56:59

☆ Re: 教えてください。 / いち

メネラウスの定理を学習していません！それでも解けますか？

No.84657 - 2023/01/20(Fri) 04:25:49

☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー

メネラウスは不要でしたね。

ＰＧ：ＧＥ＝ＰＱ：ＤＥ＝ＰＢ：ＤＢ＝Ｏ’Ｂ：ＡＢ＝２：３

です。

No.84659 - 2023/01/20(Fri) 08:33:37

★ 複素数の計算 / ともや

iを虚数単位、nを自然数、zを0でない複素数、wをw=cos(2π/n)+i*sin(2π/n)とするとき、
(z-(1/z))*(wz-(1/(wz)))*(w^2*z-(1/(w^2*z)))*・・・*(w^(n-1)*z-(1/(w^(n-1)*z)))=z^n-(1/z^n)
が成り立つことを示したいのですが、左辺を展開してもうまくいきません。
教えてください。

w^(n-1)*zは、w^(n-1)かけるzを表しています。
1/(w^(n-1)*z))は、1を（w^(n-1)かけるz）で割っています。

No.84629 - 2023/01/19(Thu) 11:29:44

☆ Re: 複素数の計算 / ポテトフライ

n=2で成り立ちません。

問題はあっていますか？

No.84631 - 2023/01/19(Thu) 13:53:06

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

nを3以上の奇数に訂正します。

No.84632 - 2023/01/19(Thu) 14:23:40

☆ Re: 複素数の計算 / ポテトフライ

> nを3以上の奇数に訂正します。

自作問題ということですか？
それならば、自作問題であることを明記すべきです。（自作問題は不備があることが多く、世に出回る問題は何度も考え直されて、きちんと解けるようになっていることがほとんどです。個人でそれをやり切ることはかなり至難です。）

奇数の場合として
n=3
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)(x-ωy)(x-ω~y)
ただしω=(-1+i*√3)/2、ω~でωの複素共役

となるので得たい形にはならないと思います。

関連するであろう話題として「円分多項式」があると思います。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F

No.84634 - 2023/01/19(Thu) 14:57:41

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

自作ですが、成り立つと思います。

(wz-1/wz)(w^2z-1/w^2z)
=w^3z^2-1/w-w/z+1/w^3z
=z^2-1/w-w+1/z^2
=z^2-w^2-w+1/z^2
=z^2+1+1/z^2
より
(z-1/z)(z^2+1+1/z^2)
=z^3+z+1/z-z-1/z-1/z^3
=z^3-1/z^3

どこか計算がおかしいでしょうか？

n=5と7と9の時も計算してみましたが成り立っていました。
どこからか成り立たなくなるのでしょうか？

No.84637 - 2023/01/19(Thu) 15:32:47

☆ Re: 複素数の計算 / ポテトフライ

>n=5と7と9の時も計算してみましたが成り立っていました。

なるほど。
私は細かく計算してないのでともやさんの計算を信じます。

あと題意の証明は帰納法くらいでしょうか。

※規則性が突然成り立たなくなる例はけっこうあります。
例えば、円分多項式の実数範囲での因数分解ではn=104までは係数が0、±1のどれかだが、n=105で係数に2が登場する、なんてこともあるので、もしかしたらどこかで不成立になる可能性もあるのかもしれないです。

No.84639 - 2023/01/19(Thu) 16:05:19

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

数学的帰納法も試したのですが、n=k⇒k+1の時の証明が私ではうまくいきませんでした。

No.84642 - 2023/01/19(Thu) 16:20:49

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

(z-(1/z))*(wz-(1/(wz)))*(w^2*z-(1/(w^2*z)))*・・・*(w^(2k-1)*z-(1/(w^(2k-1)*z)))に(w^(2k)*z-(1/(w^(2k)*z)))*(w^(2k+1)*z-(1/(w^(2k+1)*z)))をかけてz^(2k+1)-1/z^(2k+1)になるという証明になると思うのですが、
(w^(2k)*z-(1/(w^(2k)*z)))*(w^(2k+1)*z-(1/(w^(2k+1)*z)))(z^(2k-1)-1/z^(2k-1)がz^(2k+1)-1/z^(2k+1)にならないです。

No.84647 - 2023/01/19(Thu) 19:50:28

☆ Re: 複素数の計算 / ヨッシー

f(k)=(w^kz-(1/(w^kz))) で表すとすると、

z=5 のときの
　f(0)*f(1)*f(2)*f(3)*f(4)=z^5-1/z^5
を、z=3 のときの
　f(0)*f(1)*f(2)=z^3-1/z^3
から導こうとしても、z=5 のときは、
　f(0)*f(1)*f(2)=z^3-1/z^3
は成り立たない（w の値が違う）ので、
単純な帰納法ではうまくいかないと思います。

No.84648 - 2023/01/19(Thu) 20:05:38

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

ということは直接計算しないといけないのでしょうか？

No.84649 - 2023/01/19(Thu) 20:34:36

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

n=5と7と9でやるとwがすべてなくなり、

(z-1/z)(z^4+z^2+1+1/z^2+1/z^4)
(z-1/z)(z^6+z^4+z^2+1+1/z^2+1/z^4+1/z^6)
(z-1/z)(z^8+z^6+z^4+z^2+1+1/z^2+1/z^4+1/z^6+1/z^8)

になります。
nが奇数(2m+1)だとおそらく
(z-1/z)(z^2m+z^(2m-2)+…+1/z^2+1/z^4+…+1/z^2m)
になるのだと思います。

式の展開の途中でw^2m+w^2m-1+…+w=-1を使うところがたくさん出てきそうな気がしていますがなかなかうまく示せません。

No.84651 - 2023/01/19(Thu) 22:06:52

☆ Re: 複素数の計算 / IT

これぐらい規則的な等式が一般に成り立つなら、すでに発見・発表されてそうですね。

No.84652 - 2023/01/19(Thu) 22:55:08

☆ Re: 複素数の計算 / ものすごく当たり前なのでは？

両辺にz^nをかけてx=z^2とおくと
ただのx^n-1の因数分解では？

No.84653 - 2023/01/19(Thu) 23:09:06

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

(z-(1/z))*(wz-(1/(wz)))*(w^2*z-(1/(w^2*z)))*・・・*(w^(n-1)*z-(1/(w^(n-1)*z)))=z^n-(1/z^n)」
の両辺にz^nをかけてx=z^2と置いたときにwはどのように処理すれば良いのでしょうか？

No.84654 - 2023/01/19(Thu) 23:17:09

☆ Re: 複素数の計算 / ヨッシー

両辺ｚ^n を掛けて

(z^2-1)*(wz^2-(1/w))*(w^2*z^2-(1/w^2))*・・・*(w^(n-1)*z^2-(1/(w^(n-1))))=z^2n-1
（左辺）＝０は、ｎ個のカッコが掛けられており、それぞれから
　ｚ＝±1, ±1/w, ±1/w^2, ・・・±1/w^(n-1)
の２ｎ個の異なる解を持ちます。
一方、ｗ^(2n)＝１であるので、これら２ｎ個のｚは、(右辺)＝０の解でもあります。

さらに、左辺のｚ^2n の係数は
　w^{1+2+3+・・・(n-1)}＝w^{n(n-1)/2}＝(w^n)^{(n-1)/2}＝1　（ｎは奇数であるので)
以上より、左辺と右辺は恒等的に等しくなります。

No.84655 - 2023/01/20(Fri) 00:09:03

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

みなさんありがとうございました。
質問が初めて解決して嬉しいです。

No.84658 - 2023/01/20(Fri) 07:18:15

★ (No Subject) / 榊

円筒座標系の三次元熱伝導方程式の導出について教えてほしいです。
参考のURLだけでも構いません。よろしくお願いします

No.84626 - 2023/01/19(Thu) 00:14:42

☆ Re: / X

x,yの組を極座標に変換して2回偏微分するだけです。

解析学の教科書で合成関数の偏微分の項目を
復習しましょう。

No.84627 - 2023/01/19(Thu) 06:34:45

☆ Re: / 榊

熱伝導方程式のxとyをそれぞれx=rcos θ y=rsinθ
にして2回偏微分するってことですか？

No.84636 - 2023/01/19(Thu) 15:28:28

☆ Re: / X

偏微分可能な関数f(x,y,z)に対し、合成関数の偏微分により
∂f/∂r=(cosθ)(∂f/∂x)+(sinθ)(∂f/∂y)
∂f/∂θ=(-rsinθ)(∂f/∂x)+(rcosθ)(∂f/∂y)
これらを∂f/∂x,∂f/∂yについての連立方程式
として解くと
∂f/∂x=(cosθ)(∂f/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂f/∂θ) (A)
∂f/∂y=(sinθ)(∂f/∂r)+{(1/r)cosθ}(∂f/∂θ) (B)
(A)から
{(∂^2)/∂x^2}f={(cosθ)(∂/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂/∂θ)}{(cosθ)(∂f/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂f/∂θ)}
=…
(B)から
{(∂^2)/∂y^2}f={(sinθ)(∂/∂r)+{(1/r)cosθ}(∂/∂θ)}{(sinθ)(∂f/∂r)+{(1/r)cosθ}(∂f/∂θ)}
=…

No.84644 - 2023/01/19(Thu) 18:19:10

☆ Re: / さんばのべ

Xさん、よろしければその続きも教えてほしいです。m(_ _;)m
m(_ _;)m

No.84664 - 2023/01/20(Fri) 18:12:19

☆ Re: / X

{(∂^2)/∂x^2}fだけ計算するので、参考にして
{(∂^2)/∂y^2}fはご自分でどうぞ。

{(∂^2)/∂x^2}f={(cosθ)(∂/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂/∂θ)}{(cosθ)(∂f/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂f/∂θ)}
={(cosθ)(∂/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂/∂θ)}{{(cosθ)(∂f/∂r)}
-{(cosθ)(∂/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂/∂θ)}{{(1/r)sinθ}(∂f/∂θ)}}

={(cosθ)^2}{(∂^2)/∂r^2}f+{(1/r)(sinθ)^2}(∂f/∂r)-{(1/r)sinθcosθ}{(∂^2)/(∂θ∂r)}f
+(cosθ){(1/r^2)sinθ}(∂f/∂θ)-(1/r)(cosθsinθ){(∂^2)/∂r∂θ}f
+(1/r^2)sinθcosθ(∂f/∂θ)+{{(1/r)sinθ}^2}{(∂^2)/∂θ^2}f

={(cosθ)^2}{(∂^2)/∂r^2}f+{(1/r)(sinθ)^2}(∂f/∂r)
-(2/r)(sinθcosθ){(∂^2)/∂r∂θ}f+(2/r^2)sinθcosθ(∂f/∂θ)
+{{(1/r)sinθ}^2}{(∂^2)/∂θ^2}f

No.84670 - 2023/01/20(Fri) 19:51:07

★ 速さの変換について / やゆん

算数小学6年です。
問) Aの自動車のタイヤは、1秒間に5回転し、そのときの時速が40kmです。また、同じタイヤで、Bの自動車は、1秒間に8回転します。Bの自動車の時速を求めなさい。

解法)40÷5=8より、1秒間にタイヤが1回転するときの時速8km、これに8をかけると8回転するときの時速が求められる。8×8=64

答え)時速64km

質問)1秒間に→秒速で、時速と変換なしで計算してしまって大丈夫でしょうか。

No.84622 - 2023/01/18(Wed) 22:11:12

☆ Re: 速さの変換について / ast

# FYI: No.84167 から始まるスレッドの続きですね.

一度, 単位を変換して計算してみるのがよいでしょう. それだけできっとお望みの理由も含めてたくさんのことが分かると思います.

No.84624 - 2023/01/18(Wed) 22:54:46

☆ Re: 速さの変換について / やゆん

> # FYI: No.84167 から始まるスレッドの続きですね.
>
> 一度, 単位を変換して計算してみるのがよいでしょう. それだけできっとお望みの理由も含めてたくさんのことが分かると思います.

割り切れませんでした。

No.84645 - 2023/01/19(Thu) 18:47:33

☆ Re: 速さの変換について / ast

分数のままどうぞ

No.84646 - 2023/01/19(Thu) 19:39:25

☆ Re: 速さの変換について / やゆん

> 分数のままどうぞ

答えが同じになりました。
何故そうなったかは分かりません。

No.84673 - 2023/01/20(Fri) 20:32:07

★ 2重積分 / あ

(2)や(3)のような、絶対値がついている場合や三乗の場合の積分範囲の決め方が分かりません。(2)と(3)の積分範囲と、このような問題の積分範囲のいいとり方などがありましたら教えて下さい。よろしくお願い致します。
何度やっても写真が横向きになってしまい申し訳ありません。

No.84606 - 2023/01/18(Wed) 11:42:35

☆ Re: 2重積分 / ast

> 絶対値がついている場合
地道に場合分けしてちゃんと領域を図示するしかない.
# 各場合には絶対値が出てこないように (絶対値の定義通りの場合分けで) 分ける.
# (もしそれでも無理というのであれば問題の根源は絶対値の有無ではないということになるし.)
この問題にあるような単純な形で絶対値を用いている例なら「領域は適当な直線に関して対称」という状況が多いはずだから, 分かっている人間なら対称性を意識してサボれる部分は多いだろうが, そうでない人間が地道にやることを忌避したら目も当てられない結果になるだけ.
# べつに WolframAlpha のような機械を使ってはいけないとは言わんが.
# (それでも機械は訊かれたことを訊かれた通りに処理するだけなので, 保証は自分でしないといけないことに変わりはない)

> 三乗の場合
(個別の問題には個別の抜け道もあるかもしれないが, 一般論として) これが二乗などの場合と何が違うと考えているのかよく分からない. ひとつの変数を任意の値で固定したら一変数の不等式の問題を解く話と見なせるし, 一変数の多項式不等式 (一次不等式, 二次不等式, 三次不等式,…) なんて多項式函数の (定義域が制限された場合の) 最大値・最小値の問題と等価 (というのは高校までで十分やってきてるはず) だから, わからないのであればそのあたりの話まで遡って復習しないとダメってだけなんじゃないかな.

### 例えば問題の (3) なら (場合分けをして絶対値のなくなった各場合をみるのは当然だが)
### x=(rcos(θ))^(2/3), y=(rsin(θ))^(2/3) と変数変換すれば cos(θ)^2+sin(θ)^2=1 を通じて処理できる
### というようなことが「個別の問題の個別の抜け道」.

----
# あと, これ↓自体はそれ以外のすべての問題も同様だから言うまでもないはずではあるが:
もちろん, 領域を図示できたならその領域を短冊切りや賽の目切りにして何がどこまで変化するのか (境界線がどのような曲線なのかなど) ちゃんと確認する.
# 短冊切りするときには後で積分するほうの文字に対して垂直に無限に細く切る.
# 後で積分する文字を任意の値で固定したときそれに対応する短冊というのは,
# 先に積分する文字に関する一変数の積分範囲そのもの.
# (賽の目切りにするというのは各短冊上では普通の一変数の積分をやることにほかならない.)
積分順序を変更する問題などはこれができていないとふつうは話にならない (複数の領域に分かれたりまたがったりするのをきちんと処理できる自信があるなら図を描くのをサボってもいいけど).

No.84610 - 2023/01/18(Wed) 13:21:45

★ 2重積分 / あ

この問題について、答えが微妙に違うのですが自分の解答の間違っている部分を教えて下さい。よろしくお願い致します。

No.84605 - 2023/01/18(Wed) 11:36:23

☆ Re: 2重積分 / ast

本来の領域 D: 3≤x≤y^2≤6 には例えば (3,-√3) のような y が負の点も含まれるのに, 答案では最初の行の D 以降すべての積分範囲においてそれらの点を完全に無視しているのが大きな間違い.
# あと最後の行へは単純に計算間違いしてると思うが.

No.84608 - 2023/01/18(Wed) 12:30:12

☆ Re: 2重積分 / あ

確かにおっしゃる通りです。ではこの場合だと、
-‪√‬3≦y≦‪-‪√‬6と、‪√‬3≦‪y≦‪√‬6をそれぞれ計算して足せば良いということでしょうか。

No.84611 - 2023/01/18(Wed) 13:23:26

☆ Re: 2重積分 / ast

> -‪√‬3≦y≦‪-‪√‬6
は手が滑っただけと思いたいが……
> それぞれ計算して足せば良い
のはその通り (まあふつうは対称領域での偶函数の積分は……).

No.84612 - 2023/01/18(Wed) 14:12:03

☆ Re: 2重積分 / あ

ありがとうございました。

No.84613 - 2023/01/18(Wed) 15:16:41

★ (No Subject) / 11th

任意の整数kに対してxの方程式2x^2+(2k-1)x+ak=0が整数の解を持つような実数aの値を求めよ
よろしくお願いします

No.84599 - 2023/01/17(Tue) 17:22:14

☆ Re: / X

問題の方程式((A)とします)の解の判別式をDとすると
D=(2k-1)^2-8ak=4k^2-4(2a+1)k+1 (B)
題意を満たすためには、少なくとも
(B)がkの平方式
でなければならないので
D=0をkの二次方程式を見たときの
解の判別式をD[2]とすると
D[2]/4=4(2a+1)^2-4=0
これより
a=0,-1
(i)a=0のとき
(A)より
x=0,(2k-1)/2
∴題意を満たします。
(ii)a=-1のとき
(A)より
x=-1/2,-k
∴題意を満たします。

以上から求めるaの値は
a=0,-1

No.84600 - 2023/01/17(Tue) 18:00:04

☆ Re: / 11th

なぜ平方式でなければいけないのでしょうか。

No.84601 - 2023/01/17(Tue) 18:26:59

☆ Re: / IT

横から失礼します。

＃任意の整数kに対して(2k-1)^2-8ak が平方数である。ためには、(2k-1)^2-8akがkについて平方式でなければならない。というのは正しいかも知れませんが、証明は簡単ではなさそうなので使わずに進める。＃

問題の方程式の解を解の公式（判別式を含みます）で表して
(-(2k-1)±√(2k-1)^2-8ak))/4
これら２解のうち少なくとも１つが整数であるためには、(2k-1)^2-8ak が平方数であることが必要

よって,(2k-1)^2-8ak≧0、8akは整数（aはb/8,bは整数の形の有理数）が必要。

k=1,-1 のときを調べる・・・　とするとどうですか？

No.84602 - 2023/01/17(Tue) 19:16:49

☆ Re: / X

＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。説明不足でした。

＞＞11thさんへ
ITさんがおっしゃる通り、題意を満たすためには
√D(つまり解の公式を使った時の√の項)が
自然数でなければなりません。

従って、√Dは少なくとも有理数
つまり
D=(有理数)^2
とならなければならないという必要条件
を考えた上でaの値を求め、
得られたaの値に対して、十分性があるか
どうかという意味で二次方程式の解を
求めて確認をしています。

No.84618 - 2023/01/18(Wed) 18:21:50

★ y=xまわりに回転体の体積 / ともや

pを2以上の自然数とします。第1象限で
x^(1/p)+y^(1/p)=1とx軸とy軸とで囲まれる部分の図形をy=xのまわりに回転させて得られる体積を求めたいのですが、うまく求まりません。
教えてください。

√2/12*π-√2/4*π*∫（1-(1-t^(1/p))^p-t)^2*(-1+(1-t^(1/p))^(p-1)*t^((1/p)-1))dt（t=0から1/(2^p)）

だと思うのですが、積分が実行できません。

ちなみに∫は積分を実行する記号を表しています。
∫f(x)dx（x＝aからb）とかくと、関数f(x)をx＝aからbまで積分することを表しています。
πは円周率のことを表しています。
x^pと書くと、xのp乗のことを表しています。
*は掛け算の記号です。

No.84554 - 2023/01/13(Fri) 13:59:26

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや

解答が付かないので、おそらく何らかの質問の仕方に不備があると思い、図を追加しました。

図の薄紫色の部分をy=xのまわりに１回転させた時に通過する部分の体積になります。

No.84628 - 2023/01/19(Thu) 11:22:11

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT

題意はNo.84554 でわかってました。（他の方もだと思います）　
計算が難しいのでは？　
どんなレベル（出典）の問題ですか？

No.84672 - 2023/01/20(Fri) 20:04:06

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや

最初はx軸とy軸のまわりに回転させる問題があったので、
それをy=x軸やy=-x軸でも回転させてみて下さいと先生に言われたので
回転させてみています。
Σの形で書かないといけないと思っています。

No.84674 - 2023/01/21(Sat) 08:46:58

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT

先生に聞いて見ればいいのでは？

No.84675 - 2023/01/21(Sat) 09:04:24

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや

昨年末で退職されました。

No.84676 - 2023/01/21(Sat) 09:32:38

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT

罪な先生ですね。受験生なら　進学後に考えた方が良いと思います。

No.84677 - 2023/01/21(Sat) 12:16:54

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや

お気遣いありがとうございます。
受験生でしたが、特色入試なのであとは最後の結果待ちです。

ただ、質問をしたのに受験生なら今は考えない方が良いと言われると少し辛いものがあります。

No.84682 - 2023/01/21(Sat) 17:31:55

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT

失礼しました。特色入試が済んだのなら別です。
（京大数理科学系の特色なら２次合格で実質合格ってことかな？　勝手な推測ですが）
大学数学の微積分の問題集もみましたがこんな難しい（そうな）のはないですね。
「それをy=x軸やy=-x軸でも回転させてみて下さいと先生に言われた」高校+αレベルでの答えを知っておられて言われたのか、まず解けないと知っていて言われたのか微妙ですね。
私も引き続き考えてみます。
（大分下になったので、もう一度、改めて投稿された方が良いかも知れません。式は転記するには入力のが良いですが、見るには手書きの方が良いですね）

個別のpの値（２，３、４．．）については、計算できるので、そこから規則性を見つけるとかですかね。

御存知かも知れませんが、下記数学質問サイトなどもかなり多くのQAがあります。TAGで分野を選べます。
https://math.stackexchange.com/questions/tagged/integration

No.84683 - 2023/01/21(Sat) 18:03:37

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT

∫（1-(1-t^(1/p))^p-t)^2*(-1+(1-t^(1/p))^(p-1)*t^((1/p)-1))dt

の部分はどういう計算で出されましたか？

No.84684 - 2023/01/21(Sat) 20:26:28

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT

(x-(1-x^(1/p))^p)^2を積分すると「超幾何関数」が出て来ますね。

https://ja.wolframalpha.com/input?i=%28x-%281-x%5E%281%2Fp%29%29%5Ep%29%5E2%E3%82%92%E7%A9%8D%E5%88%86

No.84686 - 2023/01/21(Sat) 21:23:39

☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや

数理科学系の2次合格で、あとは共通テストの結果と合わせて最終合格が決まります。

∫（1-(1-t^(1/p))^p-t)^2*(-1+(1-t^(1/p))^(p-1)*t^((1/p)-1))dt

の部分は、曲線上の点からy=xまでの距離を半径とする円をy=xを軸として積み重ねて計算しています。

難しそうなので諦めます。
おっしゃっているように大学に入ってから考えてみます。
色々と協力していただきありがとうございます。

No.84687 - 2023/01/21(Sat) 23:42:18