ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / くもり

ある高校では選挙によって投票者数の最も多い一人を生徒会長に選ぶことになり3人の生徒Ａ,Ｂ,Ｃが立候補した。この3人を含む生徒240人は全員Ａ,Ｂ,Ｃのいずれか3人に投票した。投票された240票を開票したところその途中段階での各候補者の得票数はＡが52票,Ｂが36票,Ｃが27票であることが分かった。この時Ａが確実に生徒会長に選ばれるには最低であと何票必要か

?@42 ?A55 ?B68 ?C81 ?D94

答えは?Aの55なんですが…もしこれが答えならＡを選んだ人が全体の約44.5％ってことですよね。これじゃもしかしたらＢを投票した人の割合が51％って場合だってありうると思うんですが…そしたらＢが生徒会長になると思うんですが…
私の答えはＡが全体の半数以上とれば確実に当選するから(240÷2)-52=68人だと思ったんですが…

No.66092 - 2020/05/31(Sun) 09:01:33

☆ Re: / IT

半数より多く（２人がちょうど半数なら抽選になります。）とらなくても当選します。次点者の得票を上回ればよいです。
Aがあと５５票とった場合、残りの票は70票でそれをすべてBがとっても、
　Aの得票＞Bの得票　となります。

No.66095 - 2020/05/31(Sun) 09:08:34

★ サイコロの目についてです。 / 大井　孝信

学年不明です。
サイコロが４つあります。ただそのサイコロは目の数を自由に書き込めます。そのサイコロを４つ同時に振った場合の話です。
普通のサイコロは１～６までの目が同じ確率で出ますが、４つ同時に振った場合、４つのサイコロの目の合計で、１～６までの数字が同じ確率で出るように、４つのサイコロの目（合計２４個の目）をサイコロに書きたいです。たぶんできないと思いましたが、ひょっとしたらできるのではと思い質問させて頂きました。２つのサイコロの場合は、一つ目のサイコロの目を
「１、２、３、１、２、３」とし、
二つ目のサイコロの目を
「０、０、０、３、３、３」とすることで可能と思います。
ちなみに４つのサイコロは６面体以上の多面体でも構いません。突然の書き込みですみません。よろしくお願い致します。

No.66088 - 2020/05/31(Sun) 08:43:47

☆ Re: サイコロの目についてです。 / ヨッシー

たとえば、
「１、２、３、１、２、３」
「０、０、０、３、３、３」
「０、０、０、０、０、０」
「０、０、０、０、０、０」
や
「１、２、３、４、５、６」
「０、０、０、０、０、０」
「０、０、０、０、０、０」
「０、０、０、０、０、０」
では？

No.66090 - 2020/05/31(Sun) 08:55:49

☆ Re: サイコロの目についてです。 / らすかる

4つのサイコロの合計で1～6を等確率にするのは
「すべての目が同じではいけない」という条件のもとでは不可能です。
六面体以外のどんなサイコロでもできませんし、
目に負の数や分数などを許してもダメです。
サイコロを3つにしてもできません。

No.66099 - 2020/05/31(Sun) 10:28:03

☆ Re: サイコロの目についてです。 / 大井　孝信

らすかる様、やはり不可能でしたか。お答え頂き誠にありがとうございました。とても参考になりました。

ヨッシー様、おかげさまで解決致しました。お世話になりました。ありがとうございます。

No.66102 - 2020/05/31(Sun) 11:21:18

★ (No Subject) / みき

(1)についてですが、解答の上に書いた証明の仕方では不十分ですよね？あと、その理由を教えてください。

No.66081 - 2020/05/31(Sun) 06:45:21

☆ Re: / ヨッシー

ａ≠０かつｂ≠０かつｃ≠０であっても、
　α＝β＝γ＝０
でないときがあります。それは、解説で述べられているような
ＯＡＢＣが同一平面にあったり、ＯＡＢが同一直線上にあったりする場合ですが、
それを否定しないと、示したことにはなりません。

そのうち、
ａ、ｂ、ｃが一次独立なので、
　αａ＋βｂ＋γｃ＝０
より、α＝β＝γ＝０
というような書き方をするようになりますが、それは、こういう
例題を乗り切った後の話です。

No.66082 - 2020/05/31(Sun) 07:25:33

★ これわかりません / 灘中3年

この長さ求めてください

No.66077 - 2020/05/31(Sun) 02:04:51

☆ Re: これわかりません / ヨッシー

半円の紙を折ったのだという情報がないと伝わりません。
（伝わったけどね）

点Ｂで直径に接するように、半径３の円を描くと
２つの交点間の距離ＥＦが求める長さです。
△ＡＢＣにおいて
　ＡＣ^2＝３^2＋１^2＝１０
よって
　ＡＣ＝√10
　ＡＤ＝√10/2
△ＡＥＤにおいて
　ＤＥ^2＝ＡＥ^2－ＡＤ^2＝９－5/2＝13/2
　ＤＥ＝√26/2
よって、
　ＥＦ＝√26

２で割って、また２を掛けるのが面倒なら、ＡＥを含む直径ＥＧを
考えて、
　ＦＧ^2＝ＡＣ^2＝１０
　ＥＦ^2＝ＥＧ^2－ＥＦ^2＝36－10＝26
　ＥＦ＝√26
とすることも出来ます。

No.66080 - 2020/05/31(Sun) 06:02:16

★ (No Subject) / ＰＰＰＰ

連立方程式
・2x-k(3x^2-3y)=0
・2y-k(3y^2-3x)=0
・x^3-3xy+y^3=0
の(x,y)の解が分かりません。
宜しくお願い致します。

No.66072 - 2020/05/30(Sat) 22:39:07

☆ Re: / IT

kは実数ですか？　複素数ですか？

No.66073 - 2020/05/30(Sat) 23:38:25

☆ Re: / IT

kが実数のときを考えます。（複素数でもできますが）
簡単のため　a=3k とおくと

a＝0のとき　x=y=0
a≠0のとき
　2x-a(x^2-y)=0…(1) →　ax^3=2x^2+axy…(1)'
　2y-a(y^2-x)=0…(2) →　ay^3=2y^2+axy…(2)'
　x^3-3xy+y^3=0…(3)
　(3),(1)'(2)'より　2x^2-axy+2y^2=0…(3)'
　(1)+(2) (a+2)(x+y)-a(x^2+y^2)=0…(4)
　(3)'(4) より　xy=(2(a+2)/a^2)(x+y)…(5)
　(1)-(2)　(x-y)(2-a-a(x+y))=0∴x-y= 0 または　2-a-a(x+y)=0
　x-y=0のとき　y=x を(3)に代入
　　x^3-3x^2+x^3=0∴x^2(2x-3)=0∴ x=0 またはx=3/2
　　x=y=0のとき　aは任意、 x=y=3/2のとき a=4。

　2-a-a(x+y)=0すなわち　x+y=(2-a)/a…(6)のとき
　　x^2+y^2+2xy=(2-a)^2/a^2
　　(3)'より　(1/2)axy+2xy=(2-a)^2/a^2
　　(5)(6) より　xy=(2(a+2)/a^2)((2-a)/a) なので
　　(a/2 +2)(2(a+2)/a^2)((2-a)/a)=(2-a)^2/a^2
　　a^3を掛けて、(a+4)(a+2)(2-a)=a(2-a)^2
　　移項して整理、(2-a)(a^2+2a+4)=0
　　aが実数のとき、a^2+2a+4≠0なので、2-a=0。
　　このとき(6) より、x+y=0 ∴y=-x
　　(1)に代入、2x-2(x^2+x)=0 ∴x=0 ∴y=0

以上をまとめると　k=4/3 のとき　x=y=0,x=y=3/2、k≠4/3なる実数のとき　x=y=0。

kが虚数もありえるならa^2+2a+4=0 のときを考えます。
少し煩雑ですね。もう少しすっきりした式変形があるのかも知れません。　出典は何ですか？

No.66076 - 2020/05/31(Sun) 01:54:55

☆ Re: / ＰＰＰＰ

kは実数です。
出典はラグランジュの未定乗数法です！

No.66083 - 2020/05/31(Sun) 07:26:32

☆ Re: / ＰＰＰＰ

kは実数です！
出典はラグランジュの未定乗数法です。

No.66084 - 2020/05/31(Sun) 07:27:28

☆ Re: / IT

もともとの問題は、どう書いてありますか？　何かの問題を解く途中で出てきたのでしょうか？

なお、私が知りたかった「出典」とは、この問題が書いてある　テキスト名のことです。

No.66085 - 2020/05/31(Sun) 07:35:08

☆ Re: / IT

x,y も実数のようですね。では、下記の方が簡単ですね。

a≠0のとき
　2x=a(x^2-y) →　2xy=a(x^2-y)y
　2y=a(y^2-x) →　2xy=a(y^2-x)x
　∴　(x^2-y)y-(y^2-x)x=0 整理して(x-y)(xy+x+y)=0
　∴x-y=0またはxy+x+y=0

　x-y=0 のとき・・・
　　前記と同じ。

　xy+x+y=0のとき
　　x^3-3xy+y^3=0
　　x^3+y^3=3xy=-(x+y)
　　(x+y)(x^2-xy+y^2)=-(x+y)
　　x+y=0 または x^2-xy+y^2+1=0
　　x^2-xy+y^2+1=(x-y/2)^2+(3/4)y^2+1 ＞0なので
　　x+y=0すなわちy=-x
　　x^3+3x^2-x^3=0 ∴x=0,y=0

No.66093 - 2020/05/31(Sun) 09:03:38

★ (No Subject) / Yuika

6x^2-6x-12,2x^3-2xの最小公倍数を求めよという問題なのですが、
6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)
2x^3-2x=2x(x+1)(x-1)
となり、最小公倍数は「どちらかの式にある因数をもれなく拾う」と書いてあったので12x(x+1)(x-1)(x-2)となると思ったのですが、答えはx(x+1)(x-1)(x-2)となっています。どのように導いたのでしょうか…？
解説お願い致します。

No.66050 - 2020/05/30(Sat) 18:29:40

☆ Re: / ast

多項式の整除関係では実は定数倍はどうでもいいので, どちらもあっていて, まちがいではないです.
# が, 係数を付けるにしたって 2 と 6 の整数としての最小公倍数は 6 なので, 係数は 6 のほうがいいような気がしますね.
# 参考: 6x^2-6x-12と2x^3-2xの最小公倍数 (Wolfram alpha)

# 「どうでもいい」は厳密に言うなら正しいとは言えない主張なのですが,
# 無視する根拠が多項式の割り算のしかた(定義)によるものなので,
# ふつうは実数係数多項式と思って割り算するので, 0 を除くすべての定数倍を無視します.
# もし, 整数係数多項式の中だけで議論しないといけないとすれば, 違ってくるわけですね.
## そうは言っても, 高校までの数学では係数の範囲を明確に指定することもまずないでしょうし,
## 出題者の意図と違っていてもあまり気にしないことです.

No.66053 - 2020/05/30(Sat) 18:48:57

☆ Re: / IT

私のテキストでは、「「数係数」は無視しても良い。」とあります。

数係数を無視すれば、x(x+1)(x-1)(x-2)　で、
考慮すれば,6x(x+1)(x-1)(x-2)　ですね。

No.66054 - 2020/05/30(Sat) 18:49:44

☆ Re: / IT

手持ちの大学向けのテキストでは、整式の最大公約数、最小公倍数を考えるときは「モニック」（最高次の係数が１であるもの）であるものを考える。　としてあります。

No.66056 - 2020/05/30(Sat) 18:56:37

☆ Re: / Yuika

なるほど。皆さんありがとうございました。納得しました。

No.66089 - 2020/05/31(Sun) 08:50:26

★ 集合論（大学数学） / ぴこまる

X, Y を集合とし, f : X → Y , gk : Y → X とする. g1 ◦ f = idX かつ f ◦ g2 = idY が成立すれば, f は全単射であり
g1 = g2 = f^{−1} となる事を示せ.

という問題についてです。ｆが全単射であることは証明できましたが、g1,g2=fの逆写像という証明ができません、、。

No.66045 - 2020/05/30(Sat) 18:03:14

☆ Re: 集合論（大学数学） / IT

例えば f ◦ g2 = idY　は、言い換えるとどう表せますか？

そして、g2=「fの逆写像」を示すために、何を示せば良いかを考えます。

No.66048 - 2020/05/30(Sat) 18:19:15

☆ Re: 集合論（大学数学） / ぴこまる

> まず、何を示せば良いかを考えます。
任意のYの元ｙに対して、ある元ｘがXに存在してｙ＝ｆ（ｘ）というような形にできたら証明できるなと指針を立てながら考えてます。

No.66052 - 2020/05/30(Sat) 18:44:28

☆ Re: 集合論（大学数学） / ast

f が全単射と分かった時点で f^(-1) の存在を言ったことになるので, 仮定の式に f^(-1) を右または左から掛けるだけでは?

No.66055 - 2020/05/30(Sat) 18:51:24

☆ Re: 集合論（大学数学） / IT

astさんのヒントでできると思います。
なお、写像の合成について結合律が成り立ちます。

No.66059 - 2020/05/30(Sat) 19:09:30

☆ Re: 集合論（大学数学） / ぴこまる

astさん、ITさんありがとうございました。証明できました。

No.66060 - 2020/05/30(Sat) 19:15:40

★ (No Subject) / 高３理系

(１)〜(３)までは分かるのですが(４)がどういうテクニックでこうなるのか分かりません教えて頂きたいです。

No.66040 - 2020/05/30(Sat) 17:09:07

☆ Re: / らすかる

a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
という公式を使っています。

No.66043 - 2020/05/30(Sat) 17:28:05

☆ Re: / 高３理系

やっぱり公式があったんですね！ありがとうございます

No.66044 - 2020/05/30(Sat) 17:40:42

☆ Re: / ast

> やっぱり公式があった
因数分解の公式として

　x^n-y^n = (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+…+ xy^(n-2)+y^(n-1)),
とくに
　1-t^n = (1-t)(1+t+t^2+…+t^(n-1))

を覚えてもいいと思いますが, これ要は等比数列の和の公式 (右辺の第二因子がちょうど等比数列) なので, たぶん既知なんですよね (気づきさえすれば, ですが).

No.66049 - 2020/05/30(Sat) 18:26:39

☆ Re: / IT

astさんのおっしゃるとおり、等比数列の和の公式の応用あるいはアナロジーとして発想するのが良いと思います。

なお、
x^n-y^nはx=y のとき０になるので(x-y) を因数に持つことが分ります。
では x^n+y^n はどうでしょう｡

No.66058 - 2020/05/30(Sat) 19:06:06

☆ Re: / トーカ

もう解決されたので別にかまわないのですが
(4)の解法は(1)～(3)の流れから
　3^5x-3^-5x
　=(3^4x+3^-4x)(3^x-3^-x)+3^3x-3^-3x
　=(3^4x+3^-4x)(3^x-3^-x)+(3^x-3^-x)(3^2x+1+3^-2x)
　=194*(±2√3)+(±2√3)*(14+1)
　が自然かと思われるが、もしかすると出題業者と解答業者　が異なる？
　個人的にx^n-y^n = (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+…+ xy^(n-2)+y^(n-1))　に気づかない。気づかないのが　悪いと言われればそれまでですけど・・・・

No.66075 - 2020/05/31(Sun) 01:14:27

☆ Re: / ast

a+1/a と a-1/a の両方分かっている状態で a^n+1/a^n や a^n-1/a^n をいくつかの n に対して求めさせる問題としては, n=2,3 を調べてそれらを掛けて n=5 の計算に利用 ((a^2+1/a^2)(a^3-1/a^3)=(a^5-1/a^5)+(a-1/a) とか) みたいな組み合せを工夫するのも定番だと思います.

もとの出題だと, n=3 には一切触れなかったため, (3) までの流れを n=2^k の場合は n=2 のやり方に帰着できると理解する余地も出てくるので, そのように見た場合 (4) はやや場違い感あります.

とはいえ, a^n-1/a^n の因数分解の式からは
　 n が奇数なら n 以下の偶数乗の場合が全部わかってれば計算できる
　 n が偶数なら n 以下の奇数乗の場合が全部わかってれば計算できる
みたいなことも読み取れる (実際もとの出題でも n=2,4 の直後に n=5 は (n=3 を飛ばしても) 求まります).
x^n-y^n の因数分解を持ち出すのは確かに一般化しすぎの感はあるでしょうけれど, 式の意味を上のように整理しておくと類題の検討もしやすく, 解くにあたっての場当たり感なども感じなくて済むと思います.

No.66110 - 2020/05/31(Sun) 16:20:49

★ 拡散ロジスティック方程式 / あ

関数 m(x) は区間[0.1] 上で連続かつ微分可能であって, m{x) >0(0≦x≦1)をみたすとする. また, dは正
の定数とする。このとき、拡散ロジスティック方程式の境界値問題
du"(x) + u(x)(m(x) – u(x)) = (0≦x≦1)
u'(0) =u'(1) = 0
について次の問に答えよ。ただし, dとm(x) に応じて, 上の境界値問題が一意的な正値解 u(x) >0 (0≦x≦1)
をもつことは認めてよい。
(1) u(x) と m(x) のグラフは, 区間(0,1) 上で共有点をもつことを証明せよ。
(2) とくにm(x) が区間 (0,1) 上で単調減少ならば, u(x)も区間 (0,1)上で単調減少なことを証明せよ。

分かる方教えていただけると嬉しいです。

No.66038 - 2020/05/30(Sat) 16:56:09

★ (No Subject) / はなげはなげぇ

三角関数の極限を求める問題ってlimの下の
x→0の0は角度のことを表しているのですか？？

No.66027 - 2020/05/30(Sat) 14:45:36

☆ Re: / IT

具体的に書かれないと、答えようがないと思います。

No.66029 - 2020/05/30(Sat) 15:29:29

☆ Re: / ast

もともと角の開き具合を表す「量」とその量の大きさをあらわす「数」(「数値」) とを特に区別せずに扱ってどちらも「角度」と呼んでいる（下手すると角という幾何学的対象すら角度と区別せずにあつかって全部「角」で済ませることもある）という状況下で厳密な説明をしても余計こんがらかるだけなので, 深く詮索しない方がよいとは思いますが, そこの 0 はたんなる数としての 0 です (ついでにその x も).

-- 以下駄文 (ちゃんとした資料に基づいて説明すべきだが, いま資料さえないので完全な与太) --
# いい加減な言い方をすれば, 量のほうには単位があり, 量の単位を無視したただの数値とは別に扱う.
# 同じ「角度」を表す量で単位が違うというのは 1 という数値で表される基準量が違うということなので, 逆に言えば同じ数値でも単位の基準量の「比」(「比率」) が掛かる分だけ異なる (π[rad]=180[°] みたいなこと).
# それで弧度法を用いる場合, radian は長さ(量)を長さ(量)で割って定義する (だから単位はキャンセルされる) ので, radian を単位とする量の大きさを表す数は, 長さの単位を無視した長さ(数)を長さ(数)で割った比と一致するので, ただの数とみなしていいとかそういう話になっていきます.
# radian で測った角度(量)を長さ(数)の比と見なすと都合がよいのは, それが単位円上を動く動点の弧長変数として振る舞うため, 角度(数)の値そのままで長さ(数)としても意味のある数値を示すからです (別の単位だったら比率を補正しないといけない).
# つまり, 例えば長さと角度を足したり掛けたりしてるように見えても, 長さ同士の計算としてちゃんと意味がある式になってる.
## いやまあ長さ同士を掛けるって何だよ, とか長さ掛けると面積なの? とか, 実は似たようなことをスルーしまくってるのに, 弧度法のあたりになると急に気になる人が出始めるみたいなのは割と不思議で意味のある現象なのかも.

No.66051 - 2020/05/30(Sat) 18:32:44

★ 確率統計の問題がわかりません / 大学生

確率変数Xの分布関数F(x)がある定数cに対して
F(x)={ce^x x<0 2c-ce^-x x≧0
で与えられている時次の問いに答えよ
(1) cの値を求めよ
(2) 確率 P(-2<X≦3)を分布関数を用いた式で表、値を求めよ
(3)確率密度関数 f(x)を求めよ
(4)期待値E(X)を求めよ
この問題です。解き方だけでもいいので教えて貰えるとたすかります

No.66016 - 2020/05/30(Sat) 11:42:37

☆ Re: 確率統計の問題がわかりません / ヨッシー

元の記事に回答しました。

No.66021 - 2020/05/30(Sat) 12:40:39

☆ Re: 確率統計の問題がわかりません / 大学生

すみません大変助かりました！ありがとうございます

No.66028 - 2020/05/30(Sat) 15:14:24

★ 中学受験 / あい

箱の中に、赤玉が白玉より30こ多く入っている。
この箱の中から、赤玉6個と白玉4個を同時に出す
赤玉１個白玉３個残った。
はじめに入っていた赤玉の数は？

No.66012 - 2020/05/30(Sat) 10:45:00

☆ Re: 中学受験 / ヨッシー

> 箱の中に、赤玉が白玉より30こ多く入っている。
> この箱の中から、赤玉6個と白玉4個を同時に出す
ことを繰り返し行うと
> 赤玉１個白玉３個が残った。
> はじめに入っていた赤玉の数は？
ということですかね？

赤１個、白３個（赤が２個少ない）の状態から、
赤６個白４個を入れていくと、１回につき赤が２個ずつ多くなっていく。
赤が２個少ないのを、赤が30個多い状態にするには、
　32÷2＝16（回）
行えばよい。
最初の赤玉の数は
　１＋6×16＝97（個）

No.66013 - 2020/05/30(Sat) 10:46:36

☆ Re: 中学受験 / あい

ありがとうございました！
とても分かり易かったです

No.66018 - 2020/05/30(Sat) 11:55:22

★ (No Subject) / 開成高校４年

赤で囲った部分の範囲だと少数第１０位にはじめて０でない数字が現れるという感覚がイマイチ理解できませんわかりやすく教えてほしいです

No.66011 - 2020/05/30(Sat) 10:37:53

☆ Re: / ヨッシー

10^0＝1　これより少しでも小さいと　0.99… と小数第１位に初めて現れる
10^(-1)＝0.1　これより少しでも小さいと　0.099…　と小数第２位に初めて現れる。
10^(-2)＝0.01　これより少しでも小さいと　0.099…　と小数第３位に初めて現れる。
ですので、
　10^(-n) は小数第ｎ位に１がある数で、これより少しでも小さいと、小数第n-1位に初めて0以外の数が現れる

No.66014 - 2020/05/30(Sat) 10:57:37

☆ Re: / 開成高校４年

納得できました!ありがとうございます!

No.66015 - 2020/05/30(Sat) 11:39:13