S=x^2+(1/4)y^2+z^2 で、x,y,zは自然数のとき、
ある値Sをとる(x,y,z)が複数存在しない(Sの値を決めるx,y,zはただ一つである)ようなもののうち、
値が4番目に小さいものは、[?]である。
という問題で、私の答えは(2,2,2)のときの 9となったのですが、あっているでしょうか？
どなたか教えたくださいませんか。
よろしくお願いします。
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No.65914 - 2020/05/28(Thu) 21:05:48
| ☆ Re: / らすかる | | | No.65916 - 2020/05/28(Thu) 21:58:19 |
| ☆ Re: / 整数問題 | | | 返信ありがとうございます。
自分で網羅的に数えようとしても、うまく見つけられません。
答えは幾つになるのでしょうか？
また、どのようにしてその答えを見つければ良いのでしょうか？
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No.65917 - 2020/05/28(Thu) 22:19:10 |
| ☆ Re: / らすかる | | | x≧2またはy≧2のときS(x,y,z)≧5.25なので
S(1,1,1)=2.25, S(1,2,1)=3, S(1,3,1)=4.25 は小さい順の先頭3個。
y=2nのとき
S(x,2n,z)=x^2+n^2+z^2=S(x,2z,n)=S(n,2x,z)から
y≠2xまたはy≠2zのとき条件を満たさないので
条件を満たすものがあればS(n,2n,n)
S(1,2,1)は既出。
S(2,4,2)=12が他の組み合わせで作れるかどうか考えると
x^2,y^2/4,z^2が整数になるときそれぞれ1,4,9,16,…の値しかとらず、
3個足して12になるのは4+4+4しかない。
従って12になるのはS(2,4,2)しかなく、4番目に小さい可能性がある。
y=2n-1のとき
S(x,y,z)が12以下になるためにはx≦3,z≦3,y=1,3,5
x≠zのときS(x,y,z)=S(z,y,x)となって条件を満たさないので
条件を満たすものだけ考えると
S(1,1,1)=2.25 (既出)
S(1,3,1)=4.25 (既出)
S(1,5,1)=8.25
S(2,1,2)=8.25
S(2,3,2)=10.25
S(2,5,2)=14.25＞12
S(3,1,3)=18.25＞12
8.25は二つあるので10.25が他の組み合わせで作れるかどうか考えると
S(1,1,3)=10.25なので他の組み合わせが存在する。
従って4番目に小さいのはS(2,4,2)=12。
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No.65918 - 2020/05/28(Thu) 22:41:19 |
| ☆ Re: / 整数問題 | | | 回答ありがとうございました。
一見、数えれば終わりそうな簡単な問題だと思いましたが、奥が深いですね。
回答を参考にもう一度復習してみます。
ありがとうございました。
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No.65926 - 2020/05/28(Thu) 23:32:25 |
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