ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 線形数学 / まる子

大学数学の問題です。
解き方が分かりません。
R[x]をn次以下の実係数多項式全体とする。
このとき、

偶関数全体f(x)=f(-x)、奇関数全体f(x)=-f(-x)の次元と基を求めよ。

R[x]=(偶関数全体)⊕(奇関数全体)であることを示せ。

偶関数、奇関数は共にR[x]である。

よろしくお願いいたします。

No.65885 - 2020/05/28(Thu) 09:28:16

☆ Re: 線形数学 / ast

> R[x]
これは, R が (特に太字で書いて) 実数全体の成す集合を意味するのならば, 実数係数多項式 (すべての次数で考えた) 全体の成す集合の意味で常用されるので, この問題で用いるにはよくない記法だと思います (そもそも n 次以下と言っているのに n が表記に現れないし, 省略するのなら単にPとかXとかアルファベット大文字一文字で表せば十分). おそらくですが, 実際の問題と表記が違うのではありませんか?

> 偶関数、奇関数は共にR[x]である。
も意味不明です, 数学の問題文は「一字違いで大違い」が発生しやすいので, もっと正確に書いてください.

> 解き方
準備問題として
(0-i) n 次以下の実係数多項式の一般形を書け.
(0-ii) 前問の形の任意の多項式 f に偶函数, 奇函数の定義式を適用することにより, n 次以下の偶函数および奇函数となる多項式の一般形を導出せよ.

をご自分でやってください (この準備問題は高校レベルで収まるはずです). そうするともとの問題はもう自明だと思います.

No.65921 - 2020/05/28(Thu) 22:56:23

★ 教えてください / 匿名

xy平面上を運動する物体の、時刻 t における位置を (x(t), y(t)) とし、速度ベクトルを (u(t), v(t)) とする
物体は t=0 に位置 (1,2) にあった

?@ 時刻 t の関数 f(t) を f(t) = x^2-y^2 と定義する。 f(t) の t に関する微分を、x(t), y(t), u(t), v(t) を用いて表せ。
?A 物体の位置と速度を測定したところ、その測定値に u(t) = x(t) および v(t)=y(t) という関係があった f(t) の値を求めよ。
?B前問の位置と速度の関係が成り立っている時、物体の運動の xy 面内の軌跡はどのような曲線か

この問題の解説をお願いします(;_;)

No.65880 - 2020/05/27(Wed) 22:27:57

☆ Re: 教えてください / 関数電卓

> ?@ 時刻 t の関数 f(t) を f(t) = x^2-y^2 と定義する。
意味不明です。問題は書籍中のものですか？原典を撮影またはスキャンして貼り付けて下さい。

No.65882 - 2020/05/27(Wed) 23:42:17

☆ Re: 教えてください / ast

私が懸念すべき点を見落としているだけかもしれませんが, x,y は t の函数なので, x,y を使って t の別の函数を定義することが意味不明ということはないのでは.

そのうえで問題文で与えられた条件は u=x', v=y', x(0)=1, y(0)=2 という仮定を意味するものだと思いますので,

?@ f'(t)=2xx'-2yy'=2xu-2yv
?A x'=x, y'=y から x=Ae^t, y=Be^t と書けて, t=0 と置けば A=x(0)=1, B=y(0)=2. したがって f(t)=(e^t)^2-(2e^t)^2=-3e^(2t).
?B (x,y)=(e^t,2e^t) から y=2x (x>0)

というような運びになると思います.

No.65883 - 2020/05/28(Thu) 01:17:28

☆ Re: 教えてください / 関数電卓

空間座標を用いて時間の関数を定義？と思い「意味不明」と書いてしまいましたが，確かに
> x,y は t の函数なので
「意味不明」は書き過ぎでした。大変失礼致しました。

No.65911 - 2020/05/28(Thu) 19:28:42

★ 大学数学(ベクトル解析） / KIT

ベクトル解析で、面積分とは結局何なのか？を知りたいです。つまり面積分が何を表しているのか根本的なことが分かっていません。

例題を紹介させていただきます。
　
ttp://get.secret.jp/pt/file/1590560710.jpg
ttp://get.secret.jp/pt/file/1590560773.jpg

この例題６７を見ていただきたいのですが、空間座標で示された図があります。この平面Sと?I軸、y軸、z軸との交点をそれぞれX(1,0,0)、Y(0,1,0)、Z(0,0√2)とすると、△XYZの面積が面積分の値でしょうか？いえ違います。この△XYZの面積は√2/5になります。一方この例題の答えは1/36です。全然違いますよね。この図を見て、どこの値が1/36なのか考えてますが、分かりません。あるいは平面Sの点をf(x,y,z)=√10x^2yzと言う関数で変換した値をすべて足したもの(積分したもの)ということでしょうか？

面積分の動画を観ますと、あたかも空間内の曲面の面積が面積分であるかのように説明されてますが、この例題ではそうではないようです。

もう一つ分からない点は、この２重積分を実際に計算する際にyで積分する範囲を0～(1-x)にしてますが、なぜ1-xが出てくるのか分かりません。Xを固定して、y軸方向に0～(1-x)まで積分して…..と、いろいろ考えてますが、どうしてもわかりません。これもそもそも面積分を分かってない所以だと思います。

No.65879 - 2020/05/27(Wed) 21:42:30

☆ Re: 大学数学(ベクトル解析） / IT

被積分関数ｆがスカラーの場合、おおざっぱに言うと、
面積分の結果は体積といえると思います。

たとえば、すべての範囲でf＝1　とすると　積分結果の値は積分領域の面積の値と等しくなるはずです。

もっと分りやすくてちゃんとした説明が付くまでのつなぎに
書き込みます。

No.65881 - 2020/05/27(Wed) 23:20:13

☆ Re: 大学数学(ベクトル解析） / 通りすがり

例えば、
形状が曲面Sの板があって、密度がf(x,y,z)、つまり場所によって密度が異なるときに、板の重さは\int_S f(x,y,z) dS
になりますね。

No.65884 - 2020/05/28(Thu) 08:24:50

☆ Re: 大学数学(ベクトル解析） / KIT

被積分関数ｆによって置き換えらるの乃だから、図形上の△XYZの面積とは違うこと、いまは分かりました。回答ありがとうございました。

No.66066 - 2020/05/30(Sat) 21:01:55

★ 高校数学（三角関数） / かい

高校数学の三角関数です。
この変形の仕方を教えて欲しいです。

No.65874 - 2020/05/27(Wed) 19:23:38

☆ Re: 高校数学（三角関数） / X

問題の等式において
(左辺)=(-sinθ+icosθ)/(2sinθ)
∴複素数の相等の定義により
1/2=-1/(2tanθ) (A)
(cosθ)/(2sinθ)=-1/(2tanθ) (B)
(A)より
tanθ=-1 (A)'
(B)より
cosθ=0 (B)'
(A)'(B)'を同時に満たすθは存在しないので
問題の等式を満たすθは存在しません。

(問題の等式に誤りはありませんか？)

No.65876 - 2020/05/27(Wed) 20:14:26

☆ Re: 高校数学（三角関数） / かい

>

書き間違えたました、、、
解決しました。
ありがとうございます！

No.65877 - 2020/05/27(Wed) 20:15:59

★ 関数 / とんぼ

京都大学の問題です

（1）方程式x4乗＋2ax二乗ーa＋2＝0が実数解をもたないようなaの範囲を求めよ。
（2）x4乗＋2ax二乗ーa＋2の最小値はm（a）とする。aが（1）の範囲にあるとき、m（a）の最大値を求めよ。

この問題で、(1)では実数解を持たないようなaの範囲を求めました。それなのに(2)ではaの範囲を(1)の範囲、つまりxが実数解を持たない範囲で定義しているのに、解答ではt=x^2>0という条件を使っています。なぜxが実数ではないのにx^2>0が言えるのでしょうか。複素数間では大小関係をとれないことは分かっていますが、aが(1)の範囲、つまりxが実数でない範囲をとっている限り、x^2>0となることはないのではないでしょうか。なぜこの条件を使えるのか教えてほしいです。

ちなみに答えは（1）が-2<a<2 （2）が9/4です。わかる方よろしくお願いします。

No.65871 - 2020/05/27(Wed) 18:54:04

☆ Re: 関数 / ヨッシー

x^4＋2ax^2－a＋2 が０になるような実数ｘが無いだけで、
ｘはいろんな数をとれますし、
x^4＋2ax^2－a＋2 もいろんな値をとれます。
もちろん、０にはなりませんが。

No.65872 - 2020/05/27(Wed) 18:59:15

☆ Re: 関数 / とんぼ

分かりました。そこを勘違いしていたんですね。腑に落ちました。

No.65873 - 2020/05/27(Wed) 19:10:01

★ (No Subject) / みき

有理数の説明で、このようにb=1とありますが、なぜb=±1と書かれていないのでしょうか？

No.65869 - 2020/05/27(Wed) 17:54:35

☆ Re: / らすかる

確かに正しくないですが、ここの「b=1の場合である.」はきっと
「b=1としてa/bの形に表せる場合である.」
と解釈して欲しいのでしょうね。
例えばb=2でもa=2なら整数ですから、
b=±1とすれば済むというわけでもないですね。

No.65870 - 2020/05/27(Wed) 18:44:42

★ (No Subject) / あ

赤線で囲ったように座標に数字をつけていく問題なのですが、青線部分のところ、なぜ902が第2象限にくることが分からないかがよく分かりません

No.65858 - 2020/05/27(Wed) 09:58:38

☆ Re: / あ

×「分からないのか」→○「分かるのかが」です。

No.65859 - 2020/05/27(Wed) 10:00:06

☆ Re: / ヨッシー

36くらいまで書くと分かると思いますが、
奇数の２乗　1, 9, 25, ・・・は、原点から右下に並びます。
偶数の２乗　4, 16, 36, ・・・は、(0,1) から左上に並びます。
座標でいうと、
　奇数 2n+1 (n=0,1,2…) の２乗は、(n, -n) にあり、一つ右に行ってから上に進みます。
　偶数 2n (n=1,2,3…) の２乗は、(1-n, n) にあり、１つ左に行ってから下に進みます。

902 に近い平方数は900＝30×30 で、座標は (-14,15)。この後
　901：(-15,15)
　902：(-15,14)
となります。
よって、この辺一帯第２象限です。

No.65860 - 2020/05/27(Wed) 10:16:14

☆ Re: ヨッシー / あ

なるほど、わかりました。

でもこれ、階差数列のとこおかしくないですか？
ほんとはa_n=4n^2+1になって、n=15を代入して901になりませんか？

No.65862 - 2020/05/27(Wed) 14:30:33

☆ Re: / ヨッシー

a_n=4n^2+1 は、１から左上に伸びる
　1, 5, 17, …
の項ですね。その先にはもちろん 901 があります。
座標は (-n,n) です。901 の座標が (-15,15) でその下が 902 (-15,14) です。

No.65868 - 2020/05/27(Wed) 16:44:48

★ 巨大数の一の位 / 真紅音

2018^2017^2016^……^2^1の一の位を求めよ。
2016^…以降は4の倍数だから、2017^…以降の一の位は1だ、というところまで考えたのですが、本題の答えがそれだと奇数乗ということしかわからず、4か6のどっちだろう……とわかりませんでした。
一応上の式が表記的にわかりづらいので補足しておくと、2018の右上に小さい2017が、その上に更に小さい2016が……と言う感じです。
mod使っても構いません。どなたかお答え下さい。

No.65855 - 2020/05/26(Tue) 23:11:27

☆ Re: 巨大数の一の位 / IT

任意の自然数nについて 2017^n≡1 (mod4) なので
2018^2017^2016^……^2^1≡8 (mod10)

ではないかと思います｡

No.65856 - 2020/05/27(Wed) 02:34:46

★ 対数の計算について / あゆ

log<2>3+3/log<2>3-4という式があったとして、この式はもういじりようがありませんか？
通分して(2log<2>3+3)/log<2>3-4というのは出来ませんよね？

No.65853 - 2020/05/26(Tue) 22:05:53

☆ Re: 対数の計算について / らすかる

式が良くわかりませんが
(log[2]3) + (3/log[2]3) - 4
でしょうか。それならば通分すると
{(log[2]3)^2+3-4log[2]3}/log[2]3
={(log[2]3-1)(log[2]3-3)}/log[2]3
={(log[2]3-log[2]2)(log[2]3-log[2]8)}/log[2]3
={log[2](3/2)}{log[2](3/8)}/log[2]3
={log[2](3/2)}{log[2](3/8)}{log[3]2}
などと変形できますが、元の式の方がシンプルでよいと思います。
他には分母のlogをなくして
3/log[2]3=3log[3]2
とすることはできますが、底が複数種類になるのはきれいでない気がします。

No.65854 - 2020/05/26(Tue) 22:36:37

★ ボイルシャルルの法則 / 学生

150kg/cm2の3.3l酸素ボンベには、1気圧換算で何m3の酸素が充填されているか。またこのボンベが屋外にあり、15℃から25℃まで気温が上昇した場合、ボンベの圧力はいくらになるか。

解説と式、解答教えてください！

No.65847 - 2020/05/26(Tue) 15:59:55

☆ Re: ボイルシャルルの法則 / 関数電卓

単位があまりにもグチャグチャ過ぎて！どう統一するかですが，常用されている SI 単位で統一します。また，おそらく 150kg/cm² は 150 kgw/cm² と思われますので…
　150 kgw/cm²＝150×9.8 N/10^-4m²＝1.47×10⁷ Pa …(1)
また，1 気圧＝1.013×10⁵ Pa だから，これで割って (1)＝145 気圧
一方 3.3 L＝3.3×10^-3 m³ だから
　充填量＝145×3.3×10^-3＝0.479 m³
　圧力＝145×(273＋25)/(273＋15)＝150 気圧

ところで，検索で見つけたここを見ていたら，kg/cm² はこの業界では慣用されている単位のようですね。10 kg/cm² は精密には 0.98 MPa ですが…

No.65878 - 2020/05/27(Wed) 20:37:30

★ 体積 / Ran

曲線√x+√y+√z=1とxy yz zx 平面で囲まれる立体の体積を求めよ。

という問題で、わたしは、z=tで固定した時の断面積を求めようとしたんですが、計算が複雑で、やったのはやったんですが、あってるか自信がありませんでした。

答えをみてると、⑵でxy平面での断面積が1/6で、それの(1-√t)^2倍というキレイな解き方だったんですけど、

なんでそうわかるんですか？？いうならば相似比的なのが(1-√t)^2より、面積比はその二乗の(1-√t)^4になりませんか？？？

よろしくお願いします。

No.65846 - 2020/05/26(Tue) 15:51:42

☆ Re: 体積 / ヨッシー

√x＋√y＝1 ・・・(i) のグラフと √x＋√y＝ａ・・・(ii) のグラフを比べたとき、
(i) 上の (m, (1－√m)^2) に対して、(ii) 上のｘ座標 ma^2 の点を考えると、
　ｙ＝(ａ－a√m)^2＝ａ^2(1－√m)^2
より、ａ^2 倍の相似の位置にあります。
よって、(ii) は (i) のａ^2 倍の相似形となります。

つまり、√x＋√y＋√z＝1 において、
　ｚ＝ｔの断面 √x＋√y＝１－√t は
　ｚ＝０の断面 √x＋√y＝１の (１－√t)^2 倍の相似です。
よって、面積は (１－√t)^4 倍になります。

これは、(3) の解答の１行上に書いてあります。

No.65848 - 2020/05/26(Tue) 16:26:45

★ 放物線と2本の接線 / Ayuyu

放物線と2本の接線があるとき、放物線とこの2本の接線で挟まれる面積を2本の接線の交点からy軸に平行に引いた線が2等分しますよね。画像がなく文章だけで申し訳ないのですが…これは何故なんでしょうか？証明でなくても簡単な説明で大丈夫です、教えていただけると嬉しいです。

No.65839 - 2020/05/26(Tue) 11:37:34

☆ Re: 放物線と2本の接線 / ヨッシー

ｙ＝ａx^2＋ｂｘ＋ｃ　(ａ≠０) 上の２点
　(ｐ，ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ)
　(ｑ，ａｑ^2＋ｂｑ＋ｃ)
における接線を考えます。ただし　ｐ≠ｑ
接線の式はそれぞれ
　ｙ－(ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ)＝(２ａｐ＋ｂ)(ｘ－ｐ)
　ｙ－(ａｑ^2＋ｂｑ＋ｃ)＝(２ａｑ＋ｂ)(ｘ－ｑ)
両式を連立して解くと、
　(ａｑ^2＋ｂｑ＋ｃ)－(ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ)＝(２ａｐ＋ｂ)(ｘ－ｐ)－(２ａｑ＋ｂ)(ｘ－ｑ)
　ａ(ｑ^2－ｐ^2)＋ｂ(ｑ－ｐ)＝２ａ(ｐ－ｑ)ｘ＋２ａ(ｑ^2－ｐ^2)＋ｂ(ｑ－ｐ)
ｑ－ｐ≠０　で割って、
　ａ(ｑ＋ｐ)＋ｂ＝－２ａｘ＋２ａ(ｑ＋ｐ)＋ｂ
　２ｘ＝ｐ＋ｑ
　ｘ＝(ｐ＋ｑ)/２

簡単には説明できませんでした。

No.65840 - 2020/05/26(Tue) 12:14:21

☆ Re: 放物線と2本の接線 / Ayuyu

なるほど！分かりやすかったです！ありがとうございます🙏

No.65841 - 2020/05/26(Tue) 12:26:47

★ (No Subject) / あ

【問題】y=sinx (0≦x≦π) とx軸で囲まれる図形をy軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

なぜこのような積分になるのかがよくわかりません。

No.65838 - 2020/05/26(Tue) 11:14:05

☆ Re: / ヨッシー

左の図をｙ軸（ここでは横軸）周りに回転させた立体から
右の図をｙ軸回りに回転させた立体を引くと、求める立体が
出来ます。

前者Ｖ1 は
　Ｖ1＝π∫[0～1]ｘ^2dy
ここで、ｙ＝sinｘより
　dy/dx＝cosｘ
　dy＝cosｘdx
0≦ｙ≦1 は π≧ｘ≧π/2 に相当
よって、
　Ｖ1＝∫[π～π/2]ｘ^2cosｘdx

後者も同様です。

No.65842 - 2020/05/26(Tue) 13:39:24

★ (No Subject) / 高校生

この問題の解答について、mとnは互いに素と述べていませんが、なぜ述べなくてよいのでしょうか？

No.65832 - 2020/05/26(Tue) 10:24:24

☆ Re: / らすかる

互いに素である必要がないからです。

No.65836 - 2020/05/26(Tue) 10:40:17

☆ Re: / 高校生

しかし、この問題では、互いに素となっていますが、どう言うことでしょうか？

No.65861 - 2020/05/27(Wed) 11:52:52

☆ Re: / らすかる

最後に「aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する」と言いたいためです。
互いに素と仮定しておかないと、これは言えません。

No.65866 - 2020/05/27(Wed) 16:05:04