解析学の演習問題で実数全体集合の部分集合XでsupX=5,infX=2を満たす例を５つ挙げよという問題があり、
X={x : ２＜ｘ＜５}
X={x : ２≦ｘ≦５}
X={x : ２＜ｘ≦５}
X={x : ２≦ｘ＜５}
の４つは挙げられたんですが、ほかにどんな例がありますか？というか４つしかないのではないかと思いました。
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No.66832 - 2020/06/14(Sun) 16:17:27
| ☆ Re: 解析学 / X | | | 集合に関数を使う場合で
例えば
X={y|y=(3/2)sinx+7/2,x∈R}
というのが考えられます。
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No.66833 - 2020/06/14(Sun) 16:56:29 |
| ☆ Re: 解析学 / 大学生です | | | なるほど、納得しました。
特に三角関数だと周期性があるので扱いやすそうです。
ありがとうございました。
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No.66837 - 2020/06/14(Sun) 17:03:25 |
| ☆ Re: 解析学 / IT | | | Xには、他に何か条件がありますか？
ないのなら、X＝{2,5},{2,3,4,5} とかでも良いのでは？
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No.66839 - 2020/06/14(Sun) 17:43:39 |
| ☆ Re: 解析学 / IT | | | {y|y=(3/2)sinx+7/2,x∈R}＝{x : ２≦ｘ≦５}では？
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No.66845 - 2020/06/14(Sun) 19:12:52 |
| ☆ Re: 解析学 / X | | | ＞＞ITさんへ
確かにその通りですが、見かけ上異なる表現
なら問題ないと判断しました。
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No.66854 - 2020/06/14(Sun) 20:32:30 |
| ☆ Re: 解析学 / ast | | | 個人的には, 部分集合として同じものなのでNGという立場をとりたいですが, やや改変して
{y | y=(3/2)sin(x)+7/2, x∈Q}
とすれば少し面白い (例えばこれは, {x | 2< x< 5, x∈R} や {x | 2< x< 5, x∈Q} とはおそらく一致しないとは思いますが, (特に前者と) 一致しないことは自明ではない) 例となるのではと思います.
# infとsupが指定のものになっていること非自明かもしれないが,
# ±π/2 の有理数近似 (あるいは小数展開) を考えれば示せるということになると思うので,
# まあ自明と言っていいような気もしなくもない.
> というか４つしかないのではないかと思いました。
部分集合として (連結な) 区間しか考えてはいけないのであればそうかもしれません. しかしそうでないのであれば, 安直な例だけに限って考えても, 既に指摘されているように有限部分集合が排除されていないのなら, 二点のみからなる {2, 5} なども条件を満たす部分集合ですね.
有限集合だと sup,inf が max,min で取れてしまうのがつまらないなどの理由でどうしても無限部分集合を挙げなければいけないということなら, これも安直ですが, {x∈Q | 2≤x≤5} のようなものもとれます. あるいは, 十分小さな ε>0 をとって {x | 2<x<2+ε or 5-ε<x<5} のような二つの区間の和集合の形 (この例だと二つのεは同じものをとっているが, 別々のε,ε'にしてもいい) などを考えれば (つまらない水増しかもしれないが) 無数に作れますね.
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No.66864 - 2020/06/14(Sun) 21:34:54 |
| ☆ Re: 解析学 / 大学生です | | | 教科書で上限や下限を導入した後についていた簡単な確認のような趣旨の問題でしたので、おそらく要素を並べただけのものも正解だと思います。難しく考えすぎていました。返信してくださった皆さん、とても参考になりました。ありがとうございました。
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No.66869 - 2020/06/14(Sun) 22:40:22 |
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