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★ (No Subject) / あ
上の普通に極限を求めてもいい場合と下のプラスがわマイナスがわで分けなければいけない場合の違いってなんですか？
No.66671 - 2020/06/11(Thu) 17:13:13
☆ Re: / ヨッシー

上の２つは、グラフの左、中のように、−１や０の両側で
同じ値目指して近づいてきます。
一方、下の問題は、右のグラフのように、マイナス側とプラス側で行き先が違っています。
No.66672 - 2020/06/11(Thu) 18:13:55
☆ Re: / あ
なるほど！！
じゃぁプラスとマイナス両方をもとめるべきかは自分で判断しなければいけないのですか？？
No.66684 - 2020/06/11(Thu) 20:33:58
☆ Re: / ヨッシー
そうですが、上の2問は（極限を求める用に）変形するとそれぞれ
　(x-2)/(x^2−x−1)、2/{√(1+x)＋√(1-x)}
と、−１や０を代入してもいい形になります。
こういうのは分けなくてもいい場合が多いです(というか例外を見たことないです)

下の問題のように∞に飛ぶものは要注意ですね。
No.66690 - 2020/06/11(Thu) 21:48:22
☆ Re: / あ
2＜xってでてきますか？？
No.66691 - 2020/06/11(Thu) 22:11:51
☆ Re: / あ
なるほど！ありがとうございます！
No.66693 - 2020/06/11(Thu) 22:16:25
★ (No Subject) / あ
線の部分って
−1＜x/(2x−4)＜1を解くのと同じですか？？
No.66670 - 2020/06/11(Thu) 15:55:48
☆ Re: / ヨッシー
同じです。
やはり、ｘ＜4/3 、ｘ＞４ になります。
　
No.66673 - 2020/06/11(Thu) 18:17:19
☆ Re: / あ
そこで疑問なのですが、これは別の問題なのですが、囲ったところは同じような不等式をといているのですが、なぜこっちは範囲を最後合わせるのに−1＜x/(2x−4)＜1を
−1＜x/(2x−4)と x/(2x−4)＜1で分けて求めた範囲を合わせないのですか？？
No.66682 - 2020/06/11(Thu) 20:30:16
☆ Re: / あ
すみません最後ごっちゃでした
なぜ−1＜x/(2x−4)＜1をといたほうは範囲を合わせないのですか？という意味です。
No.66683 - 2020/06/11(Thu) 20:32:23
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＜4/3 と ｘ＞４ とでは、共通部分がないので、合わせようがないからです。
No.66685 - 2020/06/11(Thu) 20:36:56
☆ Re: / あ
合わせようがないから合わせなくていいということは２枚目の写真は合わさる範囲があるから合わせているってことですか？？
No.66687 - 2020/06/11(Thu) 20:57:49
☆ Re: / ヨッシー
ちょっと正確ではなかったですね。

−１＜x/(2x-4) から得られる
　ｘ＜4/3 または ２＜ｘ　と
x/(2x-4)＜１　から得られる
　ｘ＜２　または　４＜ｘ　
を合わせて
　ｘ＜4/3　または　４＜ｘ
です。
No.66689 - 2020/06/11(Thu) 21:43:55
☆ Re: / あ
2＜xがでて来ないんですけどどういう計算になるのですか？？
No.66692 - 2020/06/11(Thu) 22:16:04
☆ Re: / ヨッシー
−１＜x/(2x-4)　
を解いてみてください。（正確には 解いて見せてください)
No.66721 - 2020/06/12(Fri) 07:03:59
☆ Re: / あ
どうでしょうか？
No.66752 - 2020/06/13(Sat) 07:56:03
☆ Re: / ヨッシー
例えば、ｘ＝−１ は ｘ＞4/3 ではないですが、
　(右辺)＝1/6＞(左辺)
となりますね。
No.66753 - 2020/06/13(Sat) 08:00:23
☆ Re: / あ
本当だ！！正しくはどう解くのですか？？
No.66757 - 2020/06/13(Sat) 09:34:31
☆ Re: / ヨッシー
上の式変形は、両辺に ２ｘ−４ を掛けていますが、
不等号の向きが変わらないと、なぜ言い切れますか？
No.66783 - 2020/06/13(Sat) 18:36:25
★ 線形数学です。 / 森子
過程が分かりません。
解説をお願いいたします。

V=R^3、W=｛x∈R^3 | y=0｝(xz平面)とする。VからWへの正斜影を表す線形写像をFとする。

V,Wの標準基B^V_1=｛e1,e2,e3｝、B^W_1=｛e1,e3｝に対して、Fの(B^V_1,B^W_1)表現行列A1を求めよ。
No.66667 - 2020/06/11(Thu) 09:29:56
★ 線形数学 / まる
線形数学の問題です。
V=R^2、Vの標準基をB^V=｛e1,e2｝、Vにおける原点中心θ回転を表す線形写像をFとする。

1.図を用いてF(e1)、F(e2)をそれぞれ求めよ。
(回転行列を用いずに)

2.Fの(B^V,B^V)表現行列Aを求めよ。

解き方がわかりません。よろしくお願いいたします。
No.66666 - 2020/06/11(Thu) 09:12:02
★ (No Subject) / かなた
この問題がわかりません
どなたか解ける方いらっしゃいませんか？
No.66649 - 2020/06/10(Wed) 20:27:13
☆ Re: / かなた
学部3年です
No.66650 - 2020/06/10(Wed) 20:33:36
★ 逆三角関数の微分について / よろしくおねがいします。
y=Arcsin√1-x^2 (-1<x<1)の微分についてです。

y=sin^{-1}t , t＝√1-x^{2}とおいた

y'=dy/dt*dt/dx
=1/√1+t^{2} * -x/√1-x^{2}
=-x/|x|√1-x^{2}

というように考えたんですが、解答を見ると-が付いていないです。どこで間違えているのかがわかりません。
No.66648 - 2020/06/10(Wed) 20:16:54
☆ Re: 逆三角関数の微分について / らすかる
xが正の時減少、負の時増加なので、マイナスが付いていて正解です。
もし解答がx/{|x|√(1-x^2)}となっているのなら、解答が間違っています。
No.66660 - 2020/06/11(Thu) 00:48:39
★ (No Subject) / あ
微分しててふと詰まってしまったのですが、これってtについて微分するとどうなりますか？？
No.66647 - 2020/06/10(Wed) 19:36:44
☆ Re: / らすかる
商の微分公式により
{2/cost}'=2sint/(cost)^2
となります。
No.66659 - 2020/06/11(Thu) 00:42:01
☆ Re: / あ
ありがとうございます！
No.66668 - 2020/06/11(Thu) 09:33:17
★ (No Subject) / なつき
大学3年生です
この問題なのですが、過程がわかりません。解説をお願いしたいです。
No.66646 - 2020/06/10(Wed) 19:27:52
☆ Re: / 関数電卓
以下，[(第１行),(第２行)] で行列を表記します。
　X＝θJ, J＝[(0,1),(−1,0)] …(1)
に対し，逐次計算して
　J^2＝[(−1,0),(0,−1)]＝−I (I：単位行列) …(2)
　J^3＝−J＝[(0,−1),(1,0)] …(3) (∵(2))
　J^4＝−J^2＝I …(4)
以上(1)〜(4)より
(?@) n＝4k (k＝0,1,…) のとき X^n＝θ^nI …(5)
(?A) n＝4k＋1 のとき X^n＝θ^nJ …(6)
(?B) n＝4k＋2 のとき X^n＝−θ^nI …(7)
(?C) n＝4k＋3 のとき X^n＝−θ^nJ …(8)
(5)〜(8)より
　exp(X)の第11成分＝1−θ^2/2!＋θ^4/4!−…＝cosθ
　　第12成分＝θ−θ~3/3!＋θ^5/5!−…＝sinθ
　　第21成分＝−θ＋θ~3/3!−θ^5/5!＋…＝−sinθ
　　第22成分＝1−θ^2/2!＋θ^4/4!−…＝cosθ
以上より
　exp(X)＝[(cosθ,sinθ),(−sinθ,cosθ)]
# 上の結果からお分かりのように，行列 J は，数の虚数単位 i の役割をもつ行列です。
No.66652 - 2020/06/10(Wed) 21:54:32
★ (No Subject) / あ
自分授業を風邪で休んでしまいこの応用例題1をやったらしいのですが、対数微分法というのがいまいちわかりませんでした。応用例題1を使いながら解説して頂きたいです。
No.66638 - 2020/06/10(Wed) 17:43:18
☆ Re: / ヨッシー
一番下に書いてある通り、対数をとってから微分する、というだけです。
対数なので、(log|x|)'＝1/x をふんだんに使います。
気をつけることは、 log|y| を微分したら　y'/y になるところくらいでしょうか？

商の微分でも出来ますが、対数微分のほうが途中が楽になる場合が多いです。
No.66640 - 2020/06/10(Wed) 17:52:24
☆ Re: / あ
理解できました！！ありがとうございます‼️
No.66645 - 2020/06/10(Wed) 19:00:48
★ 数理計画の問題です / こはく
写真の問題です。全く分かりません どなたかお願いします
No.66637 - 2020/06/10(Wed) 17:29:14
★ (No Subject) / 真琴
(3)なのですが、なぜそれまでの説明で、(x-2)^2+(y-3)^2>0となるのかがわかりません。
No.66635 - 2020/06/10(Wed) 17:15:53
☆ Re: / X
x,y実数のとき
(x-2)^2+(y-3)^2≧0
で条件から
(x,y)≠(2,3)
∴(x-2)^2+(y-3)^2≠0
∴(x-2)^2+(y-3)^2＞0
です。
No.66662 - 2020/06/11(Thu) 01:04:50
☆ Re: / 真琴
x≠2,y≠3というのは、これがDに含まれないから、ということですか？
No.66664 - 2020/06/11(Thu) 07:15:28
☆ Re: / ヨッシー
x≠2,y≠3 と (x,y)≠(2,3) は意味が違います。

>これがDに含まれないから、ということですか？
まぁ、そうなんですけど、この問題の場合、重要なのは
>(2,3) はＤに含まれない
であって、わざわざ
(x-2)^2+(y-3)^2≧0 を (x-2)^2+(y-3)^2＞0 に書き換える意味はないと思います。
どうせ、(2,3) に相当する ｚ＝-13 は、値域から外れるので。

解答の後半が見えていないので、ひょっとしたら、≧ を ＞ に変えることが意味のある解き方をしているかも知れませんが。
No.66665 - 2020/06/11(Thu) 08:44:29
★ 大学数学 / みあ
この(2)がわかりません。
左辺の集合の元をとりそれが右辺の集合の元になること。その逆を示さなければならないということは分かります。
そして、(x,y)∈A’×B’の定義を用いて表せばいいのでしょうか。
分かる方いましたら教えてください。
よろしくお願いします。
No.66633 - 2020/06/10(Wed) 16:09:13
☆ Re: 大学数学 / トーカ
例えば(1)でしたら以下のようにすれば示せば良いでしょう。
　(x,y)∈(A×B)∩(A'×B')
⇔(x,y)∈(A×B)かつ(x,y)∈(A'×B')
⇔x∈Aかつy∈Bかつx∈A'かつy∈B'
⇔x∈Aかつx∈A'かつy∈Bかつy∈B'
⇔x∈(A∩A')かつy∈(B'∩B')
⇔(x,y)∈(A∩A')∩(B'∩B')
∴(A×B)∩(A'×B')=(A∩A')∩(B'∩B')
No.66644 - 2020/06/10(Wed) 18:39:20
☆ Re: 大学数学 / みあ
ありがとうございます！
(2)は分かりますか？
No.66661 - 2020/06/11(Thu) 00:57:31
☆ Re: 大学数学 / トーカ
(2)も同じように
　(x,y)∈(A×B)＼(A'×B')
⇔(x,y)∈(A×B)かつ(x,y)∉(A'×B')
⇔x∈Aかつy∈Bかつ(x∉A'またはy∉B')
⇔(x∈Aかつx∉A'かつy∈B)または(x∈Aかつy∈Bかつy∉B')
⇔(x∈A＼A'かつy∈B)または(x∈Aかつy∈B＼B')
⇔(x,y)∈((A＼A')×B)または(x,y)∈((A×(B＼B'))
⇔(x,y)∈((A＼A')×B)∪((A×(B＼B'))
No.66688 - 2020/06/11(Thu) 21:32:11
★ 因数分解 / 学生s
太文字わかりません
No.66625 - 2020/06/10(Wed) 15:32:50
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
ａで整理すると
　a(bc+b+c+1)+bc+b+c+1
＝(a+1)(bc+b+c+1)
＝(a+1)(b+1)(c+1)
No.66627 - 2020/06/10(Wed) 15:35:49
★ 解説お願いします　4⃣　5⃣ / A
考え方がわかりませせん。何方か解説お願いします。
No.66618 - 2020/06/10(Wed) 14:34:26
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / A
画像貼り間違えかな
No.66619 - 2020/06/10(Wed) 14:35:22
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / ヨッシー
?Cも?Dも、とりあえず?@〜?D を埋めましょうか。
?Cの場合　ｙ＝２ｘ2 のｘに−２を入れたときの
ｙの値が?@です。
No.66620 - 2020/06/10(Wed) 14:41:05
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / A
> ?Cも?Dも、とりあえず?@〜?D を埋めましょうか。
> ?Cの場合　ｙ＝２ｘ2 のｘに−２を入れたときの
> ｙの値が?@です。
つまり4⃣の?@は4でしょうか？
No.66621 - 2020/06/10(Wed) 15:15:36
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / ヨッシー
答えだけだと、当てずっぽうなのか、計算したのかわからないので、
式を書いて頂けますか？
No.66622 - 2020/06/10(Wed) 15:22:28
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / A
> 答えだけだと、当てずっぽうなのか、計算したのかわからないので、
> 式を書いて頂けますか？
-2×かける-2で＋4
No.66623 - 2020/06/10(Wed) 15:29:00
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / ヨッシー
そう書いていただくと、ｘ2 は計算したけれども
最初にある２を掛け忘れていますよ、と指摘できますね。
No.66624 - 2020/06/10(Wed) 15:31:09
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / A
> そう書いていただくと、ｘ2 は計算したけれども
> 最初にある２を掛け忘れていますよ、と指摘できますね。

とういうことは＋ぷらす8になるのでしょうか？
No.66626 - 2020/06/10(Wed) 15:33:40
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / ヨッシー
2×(-2)×(-2)＝8 または 2×(-2)2＝8
ですね。
他のもどんどん行きましょう。
No.66628 - 2020/06/10(Wed) 15:38:48
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / A
> 2×(-2)×(-2)＝8 または 2×(-2)2＝8
> ですね。
> 他のもどんどん行きましょう。

4⃣?@から8,2,0,2,8
といった感じでしょうか？
No.66629 - 2020/06/10(Wed) 15:48:52
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / ヨッシー
そうですね。そうすると、
(-2, 8), (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (2, 8)
という座標がグラフに乗りますね。
No.66630 - 2020/06/10(Wed) 15:52:30
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / A
> 考え方がわかりませせん。何方か解説お願いします。

5⃣の＋ぷらす〇〇となった場合はyの値はどう考えればいいのでしょうか？
No.66631 - 2020/06/10(Wed) 16:04:10
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / ヨッシー
ｙ＝２×【　】×【　】＋１
の２つの【　】に、−２を入れると、ｙはいくつですか？
No.66632 - 2020/06/10(Wed) 16:05:53
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / A
> ｙ＝２×【　】×【　】＋１
> の２つの【　】に、−２を入れると、ｙはいくつですか？
?@から9 2 0 2 9　出合ってますか？
No.66634 - 2020/06/10(Wed) 16:11:49
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / ヨッシー
?C が 8,2,0,2,8 なのと比べて、
?D が 9,2,0,2,9 なのは不思議な気がしませんか？

>ｙ＝２×【　】×【　】＋１
>の２つの【　】に、・・・
が生きてませんよ。
No.66641 - 2020/06/10(Wed) 17:55:07
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / A
> ?C が 8,2,0,2,8 なのと比べて、
> ?D が 9,2,0,2,9 なのは不思議な気がしませんか？
>
> >ｙ＝２×【　】×【　】＋１
> >の２つの【　】に、・・・
> が生きてませんよ。
93039でしょうか？検討がつきませんでしたすみません。
答えから逆算できますかね？
No.66653 - 2020/06/10(Wed) 22:02:13
☆ Re: 解説お願いします　4⃣　5⃣ / ヨッシー
もう一息
ｙ＝２×【-2】×【-2】＋１＝９　○
ｙ＝２×【-1】×【-1】＋１＝３　○
ｙ＝２×【０】×【０】＋１＝０　×
ｙ＝２×【１】×【１】＋１＝３　○
ｙ＝２×【２】×【２】＋１＝９　○
No.66663 - 2020/06/11(Thu) 05:28:15
★ 対角化 / いっとん
すべての成分が1の正方行列を対角化するような直行行列を求めよ。という問題です。お願いします
No.66617 - 2020/06/10(Wed) 14:15:43
★ クーロン摩擦 / ひかきんちーびー
粗い表面に置かれた金属ブロックは、ばねに取り付けられ、その平衡位置から10 cmの初期変位が与えられます。 2秒間に5サイクルの振動の後、金属ブロックの最終的な位置は、平衡位置から1 cmであることがわかりました。表面と金属ブロック間の摩擦係数を求めなさい。

この問題をお願いいたします。
No.66616 - 2020/06/10(Wed) 14:11:31
★ (No Subject) / va
x^2 - x*y - 6*y^2 + 9*x + k*y + 20 が
x、yの 一次式の積となるようなkを色々な方法で求めよ (をお願いします)
No.66615 - 2020/06/10(Wed) 13:57:32
☆ Re: / トーカ
a〜ｆ∈実数として
与式=(ax+by+c)(dx+ey+f)
　　=adx^2+(ae+bd)xy+bey^2+(af+cd)x+(ce+bf)y+cf
x,y各次数についてそれぞれ係数比較すると
　ad=1、ae+bd=-1、be=-6、af+cd=9、ce+bf=k、cf=20
となり7つの未知数に対して6つの式であるため、kは無限にあると思われる。
No.66654 - 2020/06/10(Wed) 22:03:25
☆ Re: / IT
いろいろな方法は類題でヨッシーさんが示しておられます。
ｋは２つ。
（略解）
x^2 - x*y - 6*y^2 + 9*x + k*y + 20
＝(x+ay+b)(x-(6/a)y+20/b) とおける。
a-(6/a)=-1 ∴a=-3,2
b+(20/b)=9 ∴b=4,5
k=(20a/b)-(6b/a)＝-7,-2
No.66657 - 2020/06/10(Wed) 23:04:58
☆ Re: / トーカ
失礼しました。xの係数をくくり出せば、実質6つの未知数となり、6つの式なのでk=-7,-2が出ますね。
No.66658 - 2020/06/11(Thu) 00:05:49
★ 平方完成　高数?T / 学生s
数学?Tの平方完成で大切な点を教えてください。こんな質問ですみません
No.66613 - 2020/06/10(Wed) 11:10:39
☆ Re: 平方完成　高数?T / Yuika
ミスしにくい方法、根本的にどういう方法でするのか、など、分かりにくい点を教えていただけるとお答えできるかと思います。
No.66764 - 2020/06/13(Sat) 12:12:38
★ (No Subject) / ポップコーン
f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), f(0)=0のとき
(1)f(x)は0で微分可能であることを証明してください。
(2)f(x)は0で連続微分可能でないことを証明してください。
No.66612 - 2020/06/10(Wed) 10:49:05
☆ Re: / IT
(1)定義にしたがって微分します。
(2) x≠0　のとき　f(x)=x^2 sin(1/x) について、積の微分法・合成関数の微分法を使って計算します。
No.66655 - 2020/06/10(Wed) 22:18:52
★ これが最後です。お願いします / ナイアシンII
丸投げみたいな形になってしまい申し訳ないです！
前回のは全部理解出来ました！ありがとうございます
本当に助かりました。
No.66611 - 2020/06/10(Wed) 10:38:36
☆ Re: これが最後です。お願いします / X
大問6
(1)
条件から
f(0)=∫[0→π]|sint|dt
=∫[0→π]sintdt
=2

(2)
0≦x≦π/2
により
0≦t≦x,π-x≦t≦πのとき
sint-sinx≦0
x≦t≦π-xのとき
sint-sinx≧0
∴
f(x)=-∫[0→x](sint-sinx)dt+∫[x→π-x](sint-sinx)dt
-∫[π-x→π](sint-sinx)dt
=…

(3)
(2)の結果からf'(x)を求め
0≦x≦π/2
におけるf(x)の増減表を書きます。
No.66639 - 2020/06/10(Wed) 17:48:26
☆ Re: これが最後です。お願いします / X
大問7
(1)
B(3,2)=∫[0→1]{(x^3)(1-x)^2}dx
=∫[0→1]{(x^5-2x^4+x^3)dx
=[(1/6)x^6-(2/5)x^5+(1/4)x^4][0→1]
=1/6-2/5+1/4
=5/12-2/5
=1/60
(2)
部分積分により
B(m,n)=[({1/(m+1)}{x^(m+1)}(1-x)^n][0→1]+{n/(m+1)}∫[0→1]{{x^(m+1)}(1-x)^(n-1)}dx
={n/(m+1)}B(m+1,n-1)
(3)
(2)の結果から
B(m,n)={n/(m+1)}…{1/(m+n)}B(m+n,0)
={m!n!/(m+n)!}∫[0→1]{x^(m+n)}dx
=m!n!/(m+n+1)!
(4)
(x-a)/(b-a)=t
と置いて置換積分をし、(3)の結果を使います。
No.66642 - 2020/06/10(Wed) 17:58:57
☆ Re: これが最後です。お願いします / X
大問8)
(1)
ドモアブルの定理は既知であるという前提で回答を。
(前提にできないのであればその旨をアップして下さい。)
条件から
z^n=(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
∴1/z^n=1/(cosθ+isinθ)^n=1/(cosnθ+isinnθ)
=cosnθ-isinnθ
つまり
z^n=cosnθ+isinnθ (A)
1/z^n=cosnθ-isinnθ (B)
{(A)+(B)}÷2より
cosnθ=(1/2)(z^n+1/z^n)
{(A)-(B)}÷2iより
sinnθ={1/(2i)}(z^n-1/z^n)
∴
sinnθ=-(i/2)(z^n-1/z^n)
(2)
z=cosx+isinx
と置くと(1)の結果から問題の等式は
(1/2)(z+1/z)+(1/2)(z^2+1/z^2)-(1/2)(z^3+1/z^3)=1
これより
(1/2)(z+1/z)+(1/2)(z+1/z)^2-1-(1/2)(z+1/z)^3+(3/2)(z+1/z)=1
2(z+1/z)+(1/2)(z+1/z)^2-(1/2)(z+1/z)^3=2
∴z+1/z=uと置くと
2u+(1/2)u^2-(1/2)u^3=2
u^3-u^2-4u+4=0
(u-1)(u-2)(u+2)=0
∴u=1,2,-2
となるので
cosx=(1/2)u=1/2,1,-1
∴0≦x＜2πにより
x=0,π/3,π,5π/3
(3)
半角の公式により
(左辺)=(1/2)(1-cos40°)+(1/2)(1-cos80°)+(1/2)(1-cos120°)+(1/2)(1-cos160°)
=(1/2)(1-cos40°)+(1/2)(1-cos80°)+(1/2)(1+cos60°)+(1/2)(1+cos20°)
=(1/2)(cos20°-cos40°-cos80°)+9/4
=(1/2)(cos20°-2cos60°cos20°)+9/4 (∵)和積の公式
=(1/2)(cos20°-cos20°)+9/4
=(右辺)
No.66643 - 2020/06/10(Wed) 18:28:52
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