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★ 分からない問題を教えていただけませんか？ / Ayuyu
x,yを実数として、x^2+y^2=10のもとで、x-ayの最大値が10となるとき、定数aの値を求めよ。
です。答えはa=プラスマイナス3です。
分かる方よろしくお願いします。
No.65734 - 2020/05/23(Sat) 15:46:13
☆ Re: 分からない問題を教えていただけませんか？ / らすかる
x^2+y^2=10から|x|≦√10なので
a=0とすると最大値が10にならない。よってa≠0。
x-ay=kを整理するとy=(x-k)/aとなり、
これは(k,0)を通り傾き1/aの直線
kの最大値が10ということは
(10,0)を通り傾き1/aの直線はx^2+y^2=10と共有点を持ち、
(k,0)(k＞10)を通り傾き1/aの直線は
x^2+y^2=10と共有点を持たないということなので
求める値はy=(x-10)/aがx^2+y^2=10と接するようなaの値となる。
つまり直線x-ay-10=0と原点の距離が√10であればよいので、
点と直線の距離の公式により
|10|/√(1+a^2)=√10
これを解いて a=±3
No.65735 - 2020/05/23(Sat) 16:13:51
☆ Re: 分からない問題を教えていただけませんか？ / IT
もう少し説明が必要かもしれませんが、二次方程式の判別式を使うと、

t=x-ay とおくと　x=t+ay.
これをx^2+y^2=10 に代入、(t+ay)^2+y^2=10
yについて整理すると、　(a^2+1)y^2+2aty+t^2-10=0
yは実数なので、判別式 (at)^2-(a^2+1)(t^2-10)≧0
整理すると　10(a^2+1)≧t^2
tの最大値が10なので　a^2+1=10、∴a=±3

三角関数を使ってもできますね。
　x^2+y^2=10 より　x=√10cosθ、y=√10sinθ(0≦θ＜2π) とおける。
　x-ay=√10cosθ-a√10sinθ
　=√(10(1+a^2))cos(θ+α) （となる実数αが存在）
　この最大値√(10(1+a^2))=10なので　1+a^2=10 ∴a=±3
No.65738 - 2020/05/23(Sat) 18:05:29
☆ Re: 分からない問題を教えていただけませんか？ / m
f(t)=(2 Sqrt[10] a t)/(t^2+1)+(Sqrt[10] t^2-Sqrt[10])/(t^2+1)　の　最大値を考察し
　　Sqrt[10+10 a^2]=10 からa∈{3,-3}
No.65754 - 2020/05/24(Sun) 10:19:06
☆ Re: 分からない問題を教えていただけませんか？ / Ayuyu
らすかるさん、ITさん、mさん、ありがとうございました！理解することができました！色々な解法を教えていただけて有り難いです。またよろしくお願いします。
No.65756 - 2020/05/24(Sun) 11:20:30
★ 質問 / ﾏﾖﾋﾞｰﾑ
実数x,y,zについて
-1≦x≦1
-1≦y≦1
-1≦z≦1
1≦3x+2y+2z≦5
を満たすとき
x+2y+3zの最大値、最小値を求めよ。

分かるかた、よろしくお願いいたします。
No.65731 - 2020/05/23(Sat) 12:31:59
☆ Re: 質問 / ヨッシー
与えられた不等式が表す領域は下図のように１０個の頂点を持つ平面で囲まれた立体となります。

この立体の面で、(1,2,3) を法線ベクトルに持つ面はないので、
最大最小は頂点に起こります。
　x+2y+3z
にこれら10個の頂点の座標を代入したとき、最大のものが求める最大値、最小のものが求める最小値となります。
No.65737 - 2020/05/23(Sat) 17:57:29
☆ Re: 質問 / らすかる
|x|≦1かつ|y|≦1かつ|z|≦1かつ3x+2y+2z＜5のとき
x＜1またはy＜1またはz＜1なので
3x+2y+2zが5より小さい分x,y,zのいずれかを増やすことが出来て
x+2y+3zの値も増加する。
従ってx+2y+3zが最大値をとるときは3x+2y+2z=5でなければならない。
全く同様に、x+2y+3zが最小値をとるとき3x+2y+2z=1。

最大値をとるときすなわち3x+2y+2z=5のとき
平面3x+2y+2z=5と平面x+2y+3z=kの交線は
(2t+5,-7t-k-10,4t+k+5)と表せる。条件から
-1≦2t+5≦1
-1≦-7t-k-10≦1
-1≦4t+k+5≦1
第1式×7+第2式×2から3≦k≦12
第1式×(-2)+第3式から2≦k≦8
第2式×4+第3式×7から-2≦k≦16/3
これらの共通部分の最大値はk=16/3
k=16/3のとき3式のtの共通範囲はt=-7/3
このとき(x,y,z)=(1/3,1,1)となり条件を満たす。
従ってx+2y+3zは(x,y,z)=(1/3,1,1)のとき最大値16/3をとる。

最小値をとるときすなわち3x+2y+2z=1のとき
平面3x+2y+2z=1と平面x+2y+3z=kの交線は
(2t+1,-7t-k-2,4t+k+1)と表せる。条件から
-1≦2t+1≦1
-1≦-7t-k-2≦1
-1≦4t+k+1≦1
第1式×7+第2式×2から-3≦k≦6
第1式×(-2)+第3式から-2≦k≦4
第2式×4+第3式×7から-10/3≦k≦4
これらの共通部分の最小値はk=-2
k=-2のとき3式のtの共通範囲はt=0
このとき(x,y,z)=(1,0,-1)となり条件を満たす。
従ってx+2y+3zは(x,y,z)=(1,0,-1)のとき最小値-2をとる。
No.65739 - 2020/05/23(Sat) 18:50:08
★ パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
597ページにおいて第2項は明らかにゼロになりと書かれていますがこれがゼロに収束する理由がよく分かりません。
よく分かっていませんので基礎的なところから教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

対象 大学1年生以上
No.65729 - 2020/05/23(Sat) 12:25:09
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / X
恐らくo(1/N)の意味が理解できていないと思われます。
これについては以下のURLを参照してみて下さい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7
ベクトル解析以前に、解析学の教科書でもちょこちょこ出てくる記号ですが
意味が書かれていない場合もあるかもしれません。

要約するとご質問の添付写真におけるo(1/N)とは
Nが十分大きくても高々1/Nの程度の値
という意味になります。
No.65755 - 2020/05/24(Sun) 10:21:07
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / IT
横から失礼します｡

> 要約するとご質問の添付写真におけるo(1/N)とは
> Nが十分大きくても高々1/Nの程度の値
> という意味になります。

ここではスモールＯなので、もう一段小さいオーダーだと思います。
任意のｋ＞0に対して、Ｎを十分大きくとると、ｋ(1／Ｎ）で押さえられる。

なお、どちらかといえば、なぜそう書き表せるのか方が問題だと思います。
No.65757 - 2020/05/24(Sun) 11:29:38
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
> 恐らくo(1/N)の意味が理解できていないと思われます。
> これについては以下のURLを参照してみて下さい。
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7

> ベクトル解析以前に、解析学の教科書でもちょこちょこ出てくる記号ですが
> 意味が書かれていない場合もあるかもしれません。
>
> 要約するとご質問の添付写真におけるo(1/N)とは
> Nが十分大きくても高々1/Nの程度の値
> という意味になります。

返信ありがとうございます。
o(1/N)の意味は理解しているつもりだったのですが上手く伝わらなかった又は自分の理解が浅いのでまだよく分かっていないのどちらかと思います。
自分のo(1/N)の認識としては今回でいえばN→∞の時に{1/N}より早くゼロに収束する数列{an}という認識なのですが間違いでしょうか？
その上でlim[N→∞]?納i=1...N]o(1/N)がゼロに収束するのが納得いかないのです。
第2項の状態では(1/N)より早くゼロに近づいても部分和をとったあとまでそれが言えるのかは分からないのではないでしょうか？
No.65758 - 2020/05/24(Sun) 11:32:58
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
> 横から失礼します｡
>
> > 要約するとご質問の添付写真におけるo(1/N)とは
> > Nが十分大きくても高々1/Nの程度の値
> > という意味になります。
>
> ここではスモールＯなので、もう一段小さいオーダーだと思います。
> 任意のｋ＞0に対して、Ｎを十分大きくとると、ｋ(1／Ｎ）で押さえられる。
>
> なお、どちらかといえば、なぜそう書き表せるのか方が問題だと思います。

返信ありがとうございます。回答者様が最後の一文で仰る通りなぜそう表されるかということが分かっておりません。よろしくお願い致します。
No.65759 - 2020/05/24(Sun) 11:39:11
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / X
これは元になっている式(10.2.28)の右辺の末項が
o(Δs)
ではなくて
o((Δs)^2)
の誤りだと思います。
(右辺をTaylor展開から持ってきていると考えた場合ですが。)

もしそうだとするなら、ご質問の
o(1/N)
は
o(1/N^2)
となり、部分和を取ったとしても
N・o(1/N^2)→0 (N→∞)
となります。
No.65760 - 2020/05/24(Sun) 12:38:41
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
> これは元になっている式(10.2.28)の右辺の末項が
> o(Δs)
> ではなくて
> o((Δs)^2)
> の誤りだと思います。
> (右辺をTaylor展開から持ってきていると考えた場合ですが。)
>
> もしそうだとするなら、ご質問の
> o(1/N)
> は
> o(1/N^2)
> となり、部分和を取ったとしても
> N・o(1/N^2)→0 (N→∞)
> となります。

o(1/N)はlim[N→∞]{an/(1/N)}=0を満たす数列anという認識なので間違っていないと思うのですが部分和がNというのは自明としてしまっていいのでしょうか？(厳密にNではないが次数がNという意味ですよね？)
No.65779 - 2020/05/24(Sun) 17:15:42
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / X
ごめんなさい。o(1/N)の認識を間違えていました。
o((Δs)^2)を持ち出す必要はありませんね。

そういうことであれば、にゃにゃしさんの考えで
ほぼ答えが出ているようなものです。

問題のΣのパラメータiに対して無関係に
o(1/N)と書かれているので、ここでは
敢えてiに対して、o[i](1/N)と書きます。
今、
{|o[i](1/N)||i=1,…,N}のうちの最大値を|o_m(1/N)|と
書くことにすると
0＜|Σ[i=1〜N]o[i](1/N)|＜N|o_m(1/N)|=|o_m(1/N)/(1/N)|
∴はさみうちの原理により
lim[N→∞]Σ[i=1〜N]o[i](1/N)=0

どうでしょうか？
No.65783 - 2020/05/24(Sun) 19:58:28
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
> ごめんなさい。o(1/N)の認識を間違えていました。
> o((Δs)^2)を持ち出す必要はありませんね。
>
> そういうことであれば、にゃにゃしさんの考えで
> ほぼ答えが出ているようなものです。
>
> 問題のΣのパラメータiに対して無関係に
> o(1/N)と書かれているので、ここでは
> 敢えてiに対して、o[i](1/N)と書きます。
> 今、
> {o[i](1/N)|i=1,…,N}のうちの最大値をo_m(1/N)と
> 書くことにすると
> 0＜|Σ[i=1〜N]o[i](1/N)|＜|N・o_m(1/N)|=|o_m(1/N)/(1/N)|
> ∴はさみうちの原理により
> lim[N→∞]Σ[i=1〜N]o[i](1/N)=0
>
> どうでしょうか？

返信ありがとうございます。
Xさんの回答に非常に納得することが出来ました。確かに不等式評価の典型的な処理を施せば示せるもので自分の不勉強を思い知らされました。
この度はありがとうございました。
またご縁があればよろしくお願いします。
No.65784 - 2020/05/24(Sun) 20:39:56
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / X
ごめんなさい。
もう見ていないかもしれませんが、No.65783において
誤りがありましたので直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.65791 - 2020/05/24(Sun) 23:59:24
★ (No Subject) / 開成高校４年
この絶対値ってなんでついてるんですか？？
No.65727 - 2020/05/23(Sat) 10:46:38
☆ Re: / IT
付けなくても計算できます。
付けずに、やってみてください。
（もちろん、そのままでは間違いになる式もあります。）

そうすれば、絶対値を付ける理由が分ると思います。
No.65728 - 2020/05/23(Sat) 10:50:33
★ 解析学 / あ
カッコiが分かりません。
No.65726 - 2020/05/23(Sat) 08:29:55
☆ Re: 解析学 / トーカ
記号解法は特殊解を求める際に使います。
この問題では右辺が0なので記号解法が不要ではないですか？
No.65736 - 2020/05/23(Sat) 16:31:54
☆ Re: 解析学 / あ
解答はどのように書いたら良いでしょうか？
No.65768 - 2020/05/24(Sun) 15:14:21
☆ 解析学 / あ
解答はどのように書いたら良いでしょうか？
No.65769 - 2020/05/24(Sun) 15:14:54
☆ Re: 解析学 / トーカ
yについて何も書かれてませんが、ここではtの関数とする。
[?@]の特性方程式はλ^2-2λ+2=0　でこの解はλ=1±i
これより求める一般解は　
y=e^t(C1cost+C2sint)　C1とC2は任意定数
No.65772 - 2020/05/24(Sun) 16:17:48
☆ 解析学 / あ
ありがとうございます！
No.65794 - 2020/05/25(Mon) 01:11:57
★ 関数 / beta
答えが分かる方お願いします。
No.65724 - 2020/05/23(Sat) 03:05:26
☆ Re: 関数 / beta
問題書き忘れました。
f(x)=lim[n→∞](1+x/n)^nがxについての連続函数であることを示せ。
という問題です。
No.65725 - 2020/05/23(Sat) 03:08:40
☆ Re: 関数 / ast
だいぶ後ろに来てしまってもう見ていない可能性のほうが高いですが, 一応コメントしておきます.

レスがつかないのは, おそらくみなさん出題意図を図りあぐねているからと推察します (前後の問題及びそれらを含めてどのような文脈での出題なのか, 分かるようなものがあったほうがよかったと思います).

文脈を無視すれば結局のところ f(x)=e^x だから連続だ, という話をするだけなのですが, 指数函数に関する指数法則などを用いたりして述べてよいのか, あるいは右辺の極限 (を x のところを任意に変更したもの) だけを使って述べることを求められるのか, そういったようなことについては完全に文脈依存になってしまうので, それが推察できない以上話を進めるのはムリです.

とりあえず, 連続だというためには x を任意として f(x+h)→f(x) (as h→0) であればよく, この場合 f(x+h)=f(x)f(h) を示して f(0)=1 を言えばよいという概略程度の話くらいならまあできますかね…….
No.65938 - 2020/05/29(Fri) 05:33:54
★ 微分方程式 / suzu
t(0)=0
y(0)=0.5
h=0.8 刻み幅
として
y'(t)=f(t,y(t))=-y(t)+sin(t)

の数値解を
t=0〜4
の区間でk1,k2を求めてホイン法で書きたいのですが公式見ても分かりません。
分かれば教えていただきたいです。
公式
k1=hf(t_n,y_n)
k2=f(t_n+h,y_n+k1∗h)
y_(n+1)=y_n+1/2(k1+k2)
No.65722 - 2020/05/22(Fri) 19:02:33
★ (No Subject) / ラ変
その予想はグラフを描いて理解出来ました。-2≦α≦2の時が収束する条件です。ただ、(2)をどうやって示すかが思いつきません。
No.65719 - 2020/05/22(Fri) 15:51:14
★ (No Subject) / ラ変
どうやってやるんでしょうか。
No.65717 - 2020/05/22(Fri) 12:58:02
☆ Re: / X
問題の漸化式を(A)とします。
(1)
収束すると仮定して、その値をtとすると(A)から
t=(1/3)t^2+2/3
これより
t^2-3t+2=0
t=1,2
∴極限値は1又は2と予想できます。

問題はαの値の範囲ですがこれは以下のように考えます。
(A)から
a[n+1]-a[n]=(1/3)a[n]^2+2/3-a[n]
=(1/3)(a[n]-1)(a[n]-2)
よって
(I)a[n]＜1,2＜a[n]のとき、a[n]＜a[n+1]
つまりa[n]に対しa[n+1]は増加
(II)1＜a[n]＜2のとき、a[n+1]＜a[n]
つまりa[n]に対しa[n+1]は減少
(III)a[n]=1,2のとき、a[n+1]=a[n]
以上から少なくとも
2＜α
の場合は{a[n]}は予想される最大の
収束の値である2より大きい値の範囲で
単調増加となり題意を満たしません。
以上から
α≦2
が予想されます。
No.65718 - 2020/05/22(Fri) 15:44:53
☆ Re: / IT
(2)　a[2]は、αの正負によらないのでa[2]から考えた方が少し簡単です。
-2≦α≦2が必要条件であることは、既に示しておられるようなので、十分条件であることを示し極限値を求めます。

f(x)=(1/3)x^2+2/3 とおくと　a[n+1]=f(a[n]) .
β＝a[2]とおく、　-2≦α≦2　のとき 2/3≦β≦2　

2/3≦β≦1のとき
　　　2/3≦x＜1 において,2/3≦x＜f(x)＜1 であり、f(1)＝１なので
　　　n≧2について
　　　　2/3≦β≦a[n]≦1 ∴0＜(1+a[n])/3≦2/3…(ア)
　　
　　0≦1-a[n+1] ＝ (1/3)(1-a[n]^2)
　　　　　　 ＝{(1+a[n])/3}(1-a[n])
　　　　　　　≦(2/3)(1-a[n])　∵(ア)
　　　　　　　≦{(2/3)^(n-1)}(1-a[2])→0(n→∞)

1＜β＜2のとき
　1＜x＜2 において,　 1＜f(x)＜x＜2　なので
　n≧2について
　　1＜a[n]≦β＜2,∴　2＜a[n]+1≦β+1＜3 …(イ)
　0＜a[n+1]-1＝(1/3)(a[n]^2-1)
　　　　　　＝{(a[n]+1)/3}(a[n]-1)
　　　　　　≦((β+1)/3)(a[n]-1)　∵（イ）
　　　　　　≦{((β+1)/3)^(n-1)}(a[2]-1)→0(n→∞)

β＝2のとき
　a[3]=(1/3)4+2/3=2、よって　任意の自然数nについて　a[n+1]=2

こんな感じでどうでしょうか？
No.65723 - 2020/05/22(Fri) 22:09:01
☆ Re: / ラ変
その証明はいいかと思います。ありがとうございます。しかし問題から判断するにα＜-2,2＜αにおいて発散することも証明しなければいけないと思います。それはどのように証明すればいいでしょうか。
No.65730 - 2020/05/23(Sat) 12:28:05
☆ Re: / IT
α＜-2,2＜α　のとき　β＞2
　β＝2+h　(h＞0）とおける。

　a[3]=(1/3)(2+h)^2+2/3=2+(4/3)h+(h^2)/3＞2+(4/3)h
　a[4]＞2+{(4/3)^2}h
　・・・
　a[n+2]＞2+{(4/3)^n}h →∞(n→∞)
これをきちんと書けばよいと思います。
No.65732 - 2020/05/23(Sat) 13:14:52
☆ Re: / ラ変
ありがとうございます。不等式は帰納法を使って証明出来ました。
No.65733 - 2020/05/23(Sat) 14:12:45
★ (No Subject) / 開成高校４年
(2)番なんで急にxをtで置き換え出したんですか？？
No.65713 - 2020/05/22(Fri) 08:32:50
☆ Re: / ヨッシー
ｘを−ｔに置き換えずに
　lim[x→−∞]{√(x^2＋x)＋x}　　(以下　x→−∞ は省略)
　　＝lim{√(x^2＋x)＋x}{√(x^2＋x)−x}/{√(x^2＋x)−x}
　　＝lim{(x^2＋x)−x^2}/{√(x^2＋x)−x}
　　＝limｘ/{√(x^2＋x)−x}
　　＝lim 1/{−√(1＋1/x)−1}
　　＝−1/2
と、計算できる人なら、置き換えなくても出来ます。
No.65714 - 2020/05/22(Fri) 10:35:48
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！わかりました！ありがとうございます
No.65716 - 2020/05/22(Fri) 11:25:46
★ 化学(物理)ボイルシャルルの法則 / 元中3
ボイルシャルルの法則の導出の際に、いきなり三変数(p,v,t)を扱うのが厳しいので、一文字固定して中間を踏んでからpv/t=(一定)を導く方法がありますが、数学的にはそれが正しくとも実際は変化のプロセスを伴います。
そのため、仮想的な中間の状態(例えば、圧力pを固定するなど)を踏まないで実際に(p,v,t)を変化させた場合には上のような一文字固定の議論はどうすれば正しいと認識できるでしょうか？
No.65709 - 2020/05/22(Fri) 00:13:23
☆ Re: 化学(物理)ボイルシャルルの法則 / 元中3
数学の質問でなくて申し訳ありません。
No.65761 - 2020/05/24(Sun) 12:51:55
☆ Re: 化学(物理)ボイルシャルルの法則 / トーカ
あまり難しく考えずにこう考えてはいかがでしょうか？
気体について色々な実験したところ、気体の圧力pは
温度tに比例し、体積vに反比例するのが分かった。
このことより分子にt、分母にv　すなわち
p=kt/v（kは定数）　の関係があり、この式を変形して　pv/t=k(一定)
No.65776 - 2020/05/24(Sun) 17:04:40
★ 文字のある階乗について / みお
階乗の基礎的な疑問です。n(n-1)!＝n!になるのがよくわかりません。
（ｎ-1)!が1になるのはなぜですか?具体的な数字を入れると1にはなりません。
（ｎ-1)!＝（ｎ−１).（ｎ−２).（ｎ−３）・・・3.2.1でなぜ1になるのですか?
何がなんだか…教えてくださると幸いです。
No.65704 - 2020/05/21(Thu) 23:28:15
☆ Re: 文字のある階乗について / ヨッシー
１になるとは書いていません。
　ｎ(ｎ−１)！＝ｎ
なら、(ｎ−１)！＝１ を意味しますが、右辺はｎ！です。
No.65706 - 2020/05/21(Thu) 23:34:49
☆ Re: 文字のある階乗について / Ayuyu
例えばn=3だとすると、3(3-1)！=3・2！=3！になるからです。分かりましたかね…？
No.65766 - 2020/05/24(Sun) 15:04:24
★ 行列 / 匿名
カッコ3教えてください
No.65702 - 2020/05/21(Thu) 22:38:27
☆ Re: 行列 / ヨッシー
ヒントにあるようにＴA がｘ軸への射影、ＴBがπ/2回転とします。
点(1,1) に
ＴAB を実施すると
　(1,1)→(π/2回転)→(-1,1)→(ｘ軸に射影)→(-1,0)
ＴBA を実施すると
　(1,1)→(ｘ軸に射影)→(1,0)→(π/2回転)→(0,1)
このように、違う点に移るので、AB と BA は同じ行列でないことがわかります。
No.65703 - 2020/05/21(Thu) 23:26:28
★ 面積 / うい
見にくくてごめんなさい…

今(2)を解いているのですが、
-??2 1ではなく
?? 2 1
となるようなのです…
なぜかわからないです。
x軸より下にあるときはマイナスというわけではないのでしょうか…
No.65700 - 2020/05/21(Thu) 22:30:03
☆ Re: 面積 / ヨッシー
頭にマイナスが付くかどうかより、∫の中に何を入れたかが重要です。
見ると、−ｘ^2＋3x−2 が入っていますが、これは
1＜ｘ＜2 では、ｘ軸より上のグラフです。
正になるように、ｘ軸の式　ｙ＝０　から　ｘ^2−3x＋2 を
引いたのに、マイナスを付けたら台無しです。
No.65705 - 2020/05/21(Thu) 23:32:01
★ 関数方程式 / 美雪
失礼します。よろしくお願いします。

どこがどのような理由でだめなのか、ご指摘ください。

問題
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数f(x)がf(0)=0、f’(0)=1を満たし、さらに任意の実数a、bに対して1+f(a)f(b)≠0であって、

f(a+b)={f(a)+(b)}/{1+f(a)f(b)}

を満たしている。

任意の実数aに対して、-1<f(a)<1であることを証明しなさい。


解答
任意の実数aに対してf(a)>1と仮定します。

f(a+b)-1=-{f(a)-1}{f(b)-1}/{1+f(a)f(b)}であって、仮定より、f(a)>1、f(b)>1なので、f(a+b)-1<0なので、f(a+b)<1となり、仮定に矛盾します。

任意の実数aに対してf(a)<-1と仮定します。

f(a+b)+1={f(a)+1}{f(b)+1}/{1+f(a)f(b)}であって、仮定より、
f(a)<-1、f(b)<-1なので、f(a+b)+1>0なので、f(a+b)>-1となり、仮定に矛盾します。

以上より-1≦f(a)≦1です。

次にf(a+b)をaを固定してbの関数として微分し、b=0としますと、

f’(a)=1-{f(a)}の2乗で、-1≦f(a)≦1から、f’(a)≧0で、f(a)は単調増加です。

ある実数aに対してf(a)=1と仮定します。f(a+b)-1=0となりますので、f(a+b)=1ですが、これはf(a)が単調増加であることに矛盾します。

ある実数aに対してf(a)=-1と仮定します。f(a+b)+1=0となりますので、
f(a+b)=-1ですが、これはf(a)が単調増加であることに矛盾します。

よってf(a)≠±1なので、-1<f(a)<1です。

詳しく教えてください。よろしくお願いします。
No.65698 - 2020/05/21(Thu) 22:06:07
☆ Re: 関数方程式 / IT
> 解答
> 任意の実数aに対してf(a)>1と仮定します。

背理法で証明しようとしておられますよね？
　だとすると、その条件を満たしているにもかかわらず「任意の実数aに対して、-1<f(a)<1である」が成り立たないようなf(x)があると仮定すると矛盾する。ことを示す訳ですが、

「任意の実数aに対して、-1<f(a)<1である」の否定は、どう書けますか？
No.65699 - 2020/05/21(Thu) 22:21:29
☆ Re: 関数方程式 / 美雪
「任意の実数aに対して、-1<a<1である」の否定は「ある実数aに対して、f(a)≦-1または1≦f(a)」だと思います。
No.65720 - 2020/05/22(Fri) 16:40:44
☆ Re: 関数方程式 / IT
そうですね。
では、
> 解答
> 任意の実数aに対してf(a)>1と仮定します。

> ・・・・

> 仮定に矛盾します。

> 以上より-1≦f(a)≦1です。

最後の -1≦f(a)≦1のa は、どんなaですか？
No.65721 - 2020/05/22(Fri) 18:21:23
☆ Re: 関数方程式 / 美雪
具体的なaの値はわかりませんが、f(a)<-1、1<f(a)が否定された以上、-1≦f(a)≦1なるaは存在することになりませんか？
No.65851 - 2020/05/26(Tue) 19:44:31
★ (No Subject) / 開成高校４年
これどうゆうことですか？？
No.65690 - 2020/05/21(Thu) 20:08:14
☆ Re: / IT
赤丸の中の式変形が分からないということですか？
左辺から右辺は「割算」、右辺から左辺は「通分」という操作です。
No.65691 - 2020/05/21(Thu) 20:31:22
☆ Re: / 開成高校４年
わりかました！ありがとうございます😊
No.65712 - 2020/05/22(Fri) 08:04:33
☆ Re: / 関数電卓
質問者さんは，y＝x/(x−1) …(*) のグラフが「参考」図のようになることがすぐに分かりますか？
これは，(*)を y−1＝1/(x−1) と変形することで，
　y＝1/x を x 方向に＋1, y 方向に＋1 平行移動したもの
と分かります。すると，x→1−0, x→1＋0 での y の振る舞いもすぐに分かりますね。そのための変形です。
　ところで，拝見していると，「ぱっと見分からない」の質問が多いように見受けられます。質問をすることは悪いことではありませんが，「(他人の解答を参考にした上で) 自分でじっくり考えてみる」ことは，実力養成のために大変重要です。それでも分からなければ，いつでもご質問下さい。(老爺心ながら)
No.65715 - 2020/05/22(Fri) 11:11:43
★ 指数対数 / 高
(1/4)log[3](√27/9)/4　が
＝(1/16)log[3](1/√3)
になる過程がわかりません。どなたかお教え願えませんか？よろしくお願いします。
No.65686 - 2020/05/21(Thu) 17:51:51
☆ Re: 指数対数 / IT
(√27/9)=(1/√3) は、分かりますか？
No.65687 - 2020/05/21(Thu) 18:36:36
☆ Re: 指数対数 / ヨッシー
あと、たぶん書き間違いと思いますが、
　(1/4)log[3](√27/9)^(1/4)
ですよね？
No.65689 - 2020/05/21(Thu) 20:01:56
☆ Re: 指数対数 / 高
> (√27/9)=(1/√3) は、分かりますか？

そこが…わからないです。お教え願えたらうれしいです！

>　あと、たぶん書き間違いと思いますが、
　(1/4)log[3](√27/9)^(1/4)
ですよね？

元の問題が
log[81]∜√27/9なのですが、途中計算のところでつまづいてしまいまして…わからないところを抜粋して書いてしまいました。わかりづらくしてしまい、申し訳ありません！
No.65701 - 2020/05/21(Thu) 22:31:28
☆ Re: 指数対数 / ヨッシー
√27＝√3×√3×√3
９＝√3×√3×√3×√3　です。
No.65707 - 2020/05/21(Thu) 23:36:22
☆ Re: 指数対数 / 高
なるほど！！やっと理解ができました◎ありがとうございます！
No.65708 - 2020/05/21(Thu) 23:52:29
★ ε-Nについて / meow
この問題が∞に発散するには，どのように証明すればよいでしょうか？
r=1+hと置き，r^2=(1+h)^2について二項定理を使い展開し，アルキメデスの原理の原理を用いて証明したいのですが，分母のn^2をどのように扱えば良いのかわかりません．
No.65682 - 2020/05/21(Thu) 15:16:16
☆ Re: ε-Nについて / IT
>r^2=(1+h)^2について二項定理を使い展開し
r^n＝(1+h)^n ですよね？
まず、これを適当なところまで展開してみてから考えるといいです。
No.65688 - 2020/05/21(Thu) 19:11:15
☆ Re: ε-Nについて / meow
間違えました．そうです！
r^n=(1+h)^nです．

(1+h)^n=1+nh+{n(n-1)/2!}h^2+.....
となると思うのですが，これから
r^n > nh
となり，K>0に対して，Nh>Kとなるような自然数Nをとって，そのNより大きいnに対して
r^n > nh > Nh > K
になるので，r^n自体が発散するのはわかりました．

あとこれは1>rだという条件もついていました．
No.65692 - 2020/05/21(Thu) 21:08:33
☆ Re: ε-Nについて / らすかる
1>rじゃ「=∞」になりませんよ。
それはともかくとして、
(1+h)^nの展開をあと1項増やせば、n^2で割ったものも発散することがわかります。
（ITさんが「適当なところまで」と書かれたのはそういう意味だと思います。）
No.65693 - 2020/05/21(Thu) 21:13:11
☆ Re: ε-Nについて / meow
そうです．すみません...
1<rです．
最後まで確認不足でした．

1項増やすというのは，{n(n-1)(n-2)}/3!*h^3ということでしょうか？

添付した画像をn^2で割れば，分母にnが残り...
という流れでしょうか？
No.65697 - 2020/05/21(Thu) 21:44:58
☆ Re: ε-Nについて / らすかる
「分母に」じゃなくて「分子に」と言いたかったんですよね？
分子にnが残れば、それにどんなに小さい定数がかかっていても
n→∞のとき∞になりますね。
あと、分子の2nなどの項は先に消す必要はありません。分子分母をn^2で割れば2nは2/nになりますのでn→∞のとき0になって消えます。
よって、三次までの項を整理してn^2で割ればOKです。
No.65710 - 2020/05/22(Fri) 00:24:29
☆ Re: ε-Nについて / meow
みなさん回答ありがとうございます．
分子です!
n→∞のとき2/nが0になるというのは，証明内で用いて良いのでしょうか？一応ε-N論法を用いた方が良いのでしょうか?

とりあえず発散することの証明はできそうです．
みなさんありがとうございました．
No.65711 - 2020/05/22(Fri) 01:02:22
★ (No Subject) / 開成高校４年
これってxはしんすうだから正で確定じゃないんですか？なぜ絶対値をつけるのですか？
No.65681 - 2020/05/21(Thu) 15:08:48
☆ Re: / ヨッシー
真数だからこそ絶対値が必要です。

２乗になっている間は
　log[2]{(+3)^2} も log[2]{(-3)^2} も
許されますが、２乗を前に持ってきたときは、
　2log[2](+3) はともかく、2log[2](-3) は許されないので、
絶対値が必要になります。
No.65683 - 2020/05/21(Thu) 15:39:58
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！納得です！ありがとうございます😊
No.65684 - 2020/05/21(Thu) 15:44:17
★ (No Subject) / 開成高校４年
そしてその問題の続きで(2)のa＞1/2はどっからきたのでしょうか？
No.65669 - 2020/05/21(Thu) 09:29:43
☆ Re: / ヨッシー
ちょっと解答の書き方(日本語)がおかしいですね。

ゆえに、ａ＞1/2 のときに、ｒは正の値を持ち、その値は
　ｒ＝√(2a−1)
である。

と書けばわかりますか？
No.65671 - 2020/05/21(Thu) 09:48:36
☆ Re: / 開成高校４年
それならわかります！
でも問題文にr＞0ってかいてあるのにrが正の値をもつ確認がいるのですか？？
No.65673 - 2020/05/21(Thu) 10:23:36
☆ Re: / ヨッシー
正の解を持つ以前に、実数解を持たないといけないので、
これはその確認です。
No.65675 - 2020/05/21(Thu) 10:27:49
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！
ふと疑問が増えてしまったのですがその前にa＞1となっているのにa＞1/2として考えていいのですか？？
No.65678 - 2020/05/21(Thu) 11:17:06
☆ Re: / ヨッシー
ａ＞１　は　ａ＞1/2 の十分条件なので、問題ありません。

もちろん、
ａ＞１のとき、明らかに 2a−1＞０ なので、
ｒ＞０ から ｒ＝√(2a−1)
のように書いても良いです。
No.65679 - 2020/05/21(Thu) 11:20:53
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！納得しました！！ありがとうございます😊
No.65680 - 2020/05/21(Thu) 11:53:21
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