ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極限値 / 大学生

画像の問題の極限値が分かりません。よろしくお願いします。

No.66607 - 2020/06/10(Wed) 00:55:15

☆ Re: 極限値 / ヨッシー

(1)
X＝3x とおくと x→∞ のとき X→∞
　(与式)＝lim[X→∞](3＋3/X)^(X/3)
　　　＝lim{3(1＋1/X)}^(X/3)
　{3(1＋1/X)}^(X/3)＝3^(X/3)・{(1+1/X)^X}^(1/3)
{(1+1/X)^X}^(1/3) はｅ^(1/3) に収束しますが、
3^(X/3) は発散するので、(与式)は発散します。
(2)
x＝3X とおくと x→∞ のとき X→∞
　(与式)＝lim[X→∞](1/3＋1/3X)^(3X)
　　　＝lim{(1/3)(1＋1/X)}^(3X)
　　　＝lim{(1/3)^(3X)・(1＋1/X)^(3X)}
　　　＝0
(3)
　(与式)＝lim[x→0]3sin(3x)/3x
　sin(3x)/3x→1 より
　(与式)＝3
(4)
　(与式)＝lim(5/2){sin(5x)/5x÷sin(2x)/2x}
　　　　＝5/2

No.66610 - 2020/06/10(Wed) 09:43:18

★ 確率統計の問題です。 / こはく

立てたスレが下の方に流れてしまったので上げ直しさせてもらいます😭
この問題が分かりません。確率密度関数の定義域は-♾から♾までです。
どなたかお願いします

No.66600 - 2020/06/09(Tue) 22:08:41

☆ Re: 確率統計の問題です。 / トーカ

下に回答しました。

No.66604 - 2020/06/10(Wed) 00:18:24

☆ Re: 確率統計の問題です。 / こはく

E(X-3)の期待値をだしてそのまま、E(X)の期待値を出すにはどうしたらいいですか？

No.66606 - 2020/06/10(Wed) 00:21:28

☆ Re: 確率統計の問題です。 / トーカ

E(x-3)=E(X)-3より　E(X)=E(x-3)+3　です。

No.66609 - 2020/06/10(Wed) 08:00:25

★ 確率の問題です / 高1です。

確率の問題なのです。
赤玉5個青玉3個白玉2個の玉があって、1から10まで番号のついた箱の中に入れていくようなよくある問題で、
例えば白玉が一つも偶数番号の箱に入らないとした時、どうやって計算するんですか？

No.66582 - 2020/06/09(Tue) 20:24:14

☆ Re: 確率の問題です / IT

玉を箱に入れる条件は何かありますか？

玉を箱に入れるにあたっての条件がないとすると
　奇数の箱１つ、偶数の箱１つと考えても同じですね。
　白玉２個についてだけ考えればいいと思います。

No.66584 - 2020/06/09(Tue) 20:32:29

☆ Re: 確率の問題です / 高1です。

他の色の玉は考慮しなくて大丈夫ですか？
余事象用いて、1-1/2×4/9であってますか？
どうしても確率苦手で…

No.66585 - 2020/06/09(Tue) 20:44:41

☆ Re: 確率の問題です / IT

問題文をそのまま書いてください。

＞　余事象用いて、1-1/2×4/9であってますか？
1/2×4/9　は、どうなる確率ですか？（これが求める確率では？）

No.66588 - 2020/06/09(Tue) 20:56:41

★ (No Subject) / va

a x y + x^2 - 3 x + 3 y^2 - 5 y + 2 が　
x、yの　一次式の積となるようなaはは一つですか?

No.66579 - 2020/06/09(Tue) 19:27:56

☆ Re: / WIZ

1次式の積であればよく、係数が整数でなくても良いものとします。
t, u を 0 でない数(実数でなくても良い?)とします。

axy+x^2-3x+3y^2-5y+2
= ｘ^2+(ay-3)ｘ+(3y-2)(y-1)
= (tx+u(3y-2))((1/t)x+(1/u)(y-1))

よって、
t/u+3u/t = a・・・・・(1)
-t/u-2u/t = -3・・・・・(2)
となります。

z = t/u とおくと、(2)より、
z+2/z = 3
⇒ z^-3z+2 = (z-1)(z-2) = 0

z = t/u = 1 のとき(1)より a = 1+3/1 = 4
ｘ^2+(4y-3)ｘ+(3y-2)(y-1) = (tx+3ty-2t)((1/t)x+(1/t)y-1/t)

z = t/u = 2 のとき(1)より a = 2+3/2 = 7/2
ｘ^2+((7/2)y-3)ｘ+(3y-2)(y-1) = (2ux+3uy-2u)((1/(2u))x+(1/u)y-1/u)

a = 4 と a = 7/2 以外にあるのかは分かりません。

No.66589 - 2020/06/09(Tue) 20:56:56

☆ Re: / IT

a x y + x^2 - 3 x + 3 y^2 - 5 y + 2 ＝0をxの2次方程式と見て解いてもよいのでは。

ヨッシーさんが、回答済みでしたね。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=66552

No.66595 - 2020/06/09(Tue) 21:36:30

☆ Re: / va

> a x y + x^2 - 3 x + 3 y^2 - 5 y + 2 ＝0をxの2次方程式と見て解いてもよいのでは。
>
> ヨッシーさんが、回答済みでしたね。
> http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=66552
--------------------------------------------
aは何個と回答されましたか?

No.66605 - 2020/06/10(Wed) 00:20:45

★ 無限級数 / 高校生

無限級数Σ1/(n+1)(n+2)の収束・発散を調べ、収束するものはその和を求めよ、という問題です。
部分和で求めるやり方は理解しているのですが、解答の 1/2-1/n+2 になる所が分かりません。
どなたか解説していただきたいです；；

No.66574 - 2020/06/09(Tue) 16:12:20

☆ Re: 無限級数 / ヨッシー

もしｎ＝３、つまりＳ3 はどうなりますか？
1/(k+1)(k+2) ではなく、　1/(k+1)－1/(k+2)
を使って、計算してください。

それが出来たら、次はＳ8、その次はＳ1000 です。

No.66575 - 2020/06/09(Tue) 16:24:33

☆ Re: 無限級数 / 高校生

S3、実際に書いてみたら理解できました！
ありがとうございます！！

No.66576 - 2020/06/09(Tue) 16:34:34

★ 確率統計の問題です / こはく

写真の確率統計の問題がわかりません。1番は積分ができません。2番はどうしたらいいのかわかりません。
どなたか教えて貰えると助かります

No.66573 - 2020/06/09(Tue) 14:28:17

☆ Re: 確率統計の問題です / トーカ

確率密度関数の定義域が書いていませんが－∞<x<∞でしょうか。

No.66587 - 2020/06/09(Tue) 20:55:43

☆ Re: 確率統計の問題です / こはく

はい！そうです！

No.66592 - 2020/06/09(Tue) 21:14:55

☆ Re: 確率統計の問題です / トーカ

(1)以下積分の範囲は－∞→∞とする。
　x=t/√2+3とおくと　dx=1/√2・dt
　∫f(x)dx=∫f(t/√2+3)1/√2・dt=1
　更に∫e^(-t^2)dt=√πよりcが求められる。

(2)普通にすればE(X)=∫xf(x)dxであるが
　　E(X-3)=∫(x-3)f(x)dxとしたほうが多少計算が楽です。
　　V(X)=∫(x-E(X))^2f(x)dx
　　また最後のE(Z)とV(Z)を求めるのに以下の関係を
　　用いればできるでしょう。
　　a,b,cを定数として　E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c
　　特にXとYが独立の場合は　V(aX+bY+c)=a^2V(X)+b^2V(Y)
　　が成り立つ。

No.66603 - 2020/06/10(Wed) 00:14:57

★ 確率統計の問題です / 大学生

写真の問題が分かりませんどなたかお願いします

No.66570 - 2020/06/09(Tue) 12:22:38

☆ Re: 確率統計の問題です / ヨッシー

(1)
10点加算される確率　1/3、加算されない確率 2/3　です。
４回とも加算される確率　4Ｃ4×(1/3)^4＝1/81
３回加算される確率　4Ｃ3×(1/3)^3(2/3)＝8/81
２回加算される確率　4Ｃ2×(1/3)^2(2/3)^2＝8/27
１回加算される確率　4Ｃ1×(1/3)(2/3)^3＝32/81
１度も加算されない確率　4Ｃ0×(2/3)^4＝16/81
よって、確率分布は
X=40 : 1/81
X=30 : 8/81
・・・(中略)・・・
X=0 : 16/81
(2)
　E(X)＝40×1/81＋30×8/81＋・・・＋10×32/81＋0×16/81
を計算します。これとは別に
　E(X^2)＝40^2×1/81＋30^2×8/81＋・・・＋10^2×32/81＋0^2×16/81
を計算した上で、
　V(X)＝E(X^2)－{E(X)}^2
で求められます。

No.66571 - 2020/06/09(Tue) 13:37:54

☆ Re: 確率統計の問題です / 大学生

ありがとうございます！

No.66572 - 2020/06/09(Tue) 14:27:07

★ 因数分解 / 学生s

C10 ⑹と⑺ 28⑶と⑷を教えてください

No.66568 - 2020/06/09(Tue) 11:29:28

☆ Re: 因数分解 / Fac

(3) Hint に従わないと　イケナイのなら　(2*x)^2 - (4*y^2 - 4*y + 1)=(2*x)^2-(2 y-1)^2=(2 x-2 y+1) (2 x+2 y-1)
等。

No.66569 - 2020/06/09(Tue) 12:20:58

☆ Re: 因数分解 / X

では残りの問題を。
C10
(6)(7)
はいずれも一つの変数に注目した
たすき掛けを使います。

C10
(6)
aに注目した場合は
-150b^2=(15b)(-10b)
となることに注意します。
(7)
xに注目した場合は
-12y^2=(-4y)(3y)
となることに注意します。

28
(4)
これはFacさんと似た方針でもできますし
たすき掛けでもできます。
Facさんと似た方針だと
(与式)=(x^2-2xy+y^2)-9z^2
=(x-y)^2-(3z)^2
=…
xに注目したたすき掛けを使うとすると
(与式)=x^2-2yx+(y-3z)(y+3z)
=…

No.66578 - 2020/06/09(Tue) 18:19:31

★ (No Subject) / k

線を引いた部分がその前の行とどう繋がっているのかわかりません。教えていただきたいです。

No.66566 - 2020/06/09(Tue) 11:27:23

☆ Re: / X

例えばzの共役複素数を\zと書くことにすると
\{α(\z)}=(\α){\(\z)}
=(\α)z

No.66577 - 2020/06/09(Tue) 18:11:37

☆ Re: / k

すみませんわかりません…

No.66594 - 2020/06/09(Tue) 21:21:58

☆ Re: / X

ご質問の下線部の一行上の式を
No.66577での書式で表すと
\{α(\z)}≠α(\z)
と書けることはよろしいですか？

これの左辺がNo.66577のように変形できる
ということです。

No.66599 - 2020/06/09(Tue) 22:06:47

☆ Re: / X

もう少しヒントを
(zの共役複素数)の共役複素数は
z
です。

No.66601 - 2020/06/09(Tue) 22:12:51

★ (No Subject) / k

これはベクトルの様な感覚で解くと教わったのですが、α+βはそれでいけたのですが、α－βは出来ませんでした。平行移動でやらないとダメですか？？

No.66562 - 2020/06/09(Tue) 10:42:05

☆ Re: / らすかる

α+βと似たような方法で出来るはずですが、
どうやったら出来なかったのですか？
具体的にどのように計算したかを実例で書いてください。

No.66563 - 2020/06/09(Tue) 10:53:06

☆ Re: / ヨッシー

ベクトルのように平行四辺形を描いて対角線を引くのが
お好みなら、－β をまず描いて、それとαとで
　α＋(－β)
をやればどうでしょう？

複素数は原則、原点からの位置関係なので、線が原点から離れていたら、
原点まで平行移動する必要があります。

No.66564 - 2020/06/09(Tue) 10:54:24

☆ Re: / k

お二方ありがとうございます！原点からを意識したらできました！！

No.66565 - 2020/06/09(Tue) 11:24:21

★ 授業ついていけてなくて / ナイアシン

積分的な演習なんですけど、これ解いて頂けませんか。。
解説がなくて全くわからないです。量が多いですがお願いします

No.66561 - 2020/06/09(Tue) 08:53:23

☆ Re: 授業ついていけてなくて / X

大問1)
(1)
f(x)={(1-x)+x}/{(1-x)x^3}
=1/x^3+1/{(1-x)x^2}
=1/x^3+{(1-x)+x}/{(1-x)x^2}
=1/x^3+1/x^2+1/{(1-x)x}
=1/x^3+1/x^2+1/x+1/(1-x)
∴a[1]=a[2]=a[3]=b=1

(2)
(1)の結果を使います。

(3)
(1)と同様な計算により
1/{(1-x)x^p}=1/(1-x)+Σ[k=1～p]1/x^k
これを使って積分を計算します。

No.66583 - 2020/06/09(Tue) 20:29:26

☆ Re: 授業ついていけてなくて / X

大問3)
T[0](x)=1 (A)
T[1](x)=x (B)
T[n](x)=2xT[n-1](x)-T[n-2](x) (C)
とします。
(1)
cosnθ=T[n](cosθ) (D)
として(D)を数学的帰納法で証明します。
(i)n=0,1のとき
(A)(B)より成立は明らか。
(ii)n=k,k+1のとき(D)の成立を仮定します。
つまり
coskθ=T[k](cosθ)
cos(k+1)θ=T[k+1](cosθ)
このとき(C)より
T[k+2](cosθ)=2(cosθ)T[k+1](cosθ)-T[k](cosθ)
=2(cosθ)cos(k+1)θ-coskθ
={cos(k+2)θ+coskθ}-coskθ (∵)積和の公式
=cos(k+2)θ
∴(D)はn=k+2のときも成立。

(2)
x=cosθと置いて置換積分をし、(1)の結果を代入します。

No.66586 - 2020/06/09(Tue) 20:49:29

☆ Re: 授業ついていけてなくて / X

大問4)
(1)
e^x=tと置いてf(x)をまずtについて解きます。

(2)
左辺の第二項において
x=f(t)
と置くと
dx=f'(t)dt
g(x)=g(f(t))=t
で
x:f(a)→f(b)
に
t:a→b
が対応し
(左辺)=∫[a→b]f(x)dx+∫[a→b]tf'(t)dt
=∫[a→b]f(x)dx+∫[a→b]xf'(x)dx
=∫[a→b]f(x)dx+{[xf(x)][a→b]-∫[a→b]f(x)dx}
=(右辺)

No.66590 - 2020/06/09(Tue) 20:57:23

☆ Re: 授業ついていけてなくて / X

大問5)
(1)
I[n]の定義により
I[0]=∫[π/4→π/2]{(cosx)/(sinx)}dx
=[log(sinx)][π/4→π/2]
=(1/2)log2

(2)
I[n]の定義により
I[n]-I[n-1]=∫[π/4→π/2]{{cos(2n+1)x-cos(2n-1)x}/(sinx)}dx
=2∫[π/4→π/2]{{sin(2nx)sinx}/(sinx)}dx (∵)和積の公式)
=2∫[π/4→π/2]sin(2nx)dx
={2/(2n+1)}{cos(nπ/2)-cos(nπ)}
={2/(2n+1)}{cos(nπ/2)-(-1)^n}

(3)
I[5]=I[0]+Σ[k=1～5]{I[k]-I[k-1]}
これに(1)(2)の結果を使います。

No.66591 - 2020/06/09(Tue) 21:05:41

☆ Re: 授業ついていけてなくて / X

大問2)
問題の等式を(A)とします。
(1)
(A)
((A)の左辺)=∫{(cosx){1-(sinx)^2}^(m-1)}dx
=Σ[l=0～m-1]{(m-1)Cl}∫{(cosx)(sinx)^(2l)}dx (∵)二項定理
=Σ[l=0～m-1]{1/(2l+1)}{(m-1)Cl}(sinx)^(2l+1)+D
=Σ[p=1～m]{1/(2p-1)}{(m-1)C(p-1)}(sinx)^(2p-1)+D
(Dは積分定数)
これと(A)の右辺との係数を比較して

kが偶数のとき
a[k]=0
kが奇数のとき
a[k]={(1/k){(m-1)C((k-1)/2)}(sinx)^k
また
nが奇数のとき
n=2m-1
nが偶数のとき
n=2m

(2)
条件から
f(cosx)-f(-cosx)=Σ[m=1～q]b[m](cosx)^(2m-1)
({b[m]}は定数の列,qは自然数)
と置くことができ、(1)の結果が使えます。

No.66596 - 2020/06/09(Tue) 21:38:06

★ (No Subject) / va

a x y + x^2 - 3 x + 3 y^2 - 5 y + 2 が　
x、yの　一次式の積となるようなaを色々な方法で求めよ(をお願いします)

No.66552 - 2020/06/08(Mon) 17:11:50

☆ Re: / ヨッシー

(1) (x＋by＋c)(x＋dy＋e) として、b,c,d,e を求め、ａ＝ｂ＋ｄを求める。

(2) この式をｘの２次式
　ｘ^2＋(ay－3)ｘ＋3y^2－5y＋2
と考え、
　ｘ^2＋(ay－3)ｘ＋(3y－2)(y－1)
が因数分解できるようにａを決める。

(3)
　axy＋ｘ^2－3ｘ＋3y^2－5y＋2＝0
とおくと、この式は２つの直線を表す。
ｘ＝０を代入して、
　3y^2－5y＋2＝0
　ｙ＝1, 2/3
ｙ＝０　を代入して、
　ｘ^2－3ｘ＋2＝0
　ｘ＝１，２
２点　(1,0)(0,2/3) を通る直線　2x＋3y－2＝0
２点　(2,0)(0,1) を通る直線　x＋2y－2＝0
を掛けた
　(2x＋3y－2)(x＋2y－2)＝0
または
２点　(1,0)(0,1) を通る直線　x＋y－1＝0
２点　(2,0)(0,2/3) を通る直線　x＋3y－2＝0
を掛けた
　(x＋y－1)(x＋3y－2)＝0
のうち適する方を選ぶ。

など。

No.66553 - 2020/06/08(Mon) 17:47:15

★ シェビチェフの不等式 / くりばち

(1)は分かります。(2)からがどう考えるのかわかりません。解説お願いします。

No.66548 - 2020/06/08(Mon) 15:30:12

☆ Re: シェビチェフの不等式 / ヨッシー

(2)
最初の項ａは、順序は違っても2倍、3倍、3倍、3倍されるので、54a となります。
これは条件は同じです。ではどこで差が出るかというと、定数項で足される数です。

f(f(f(g(x)))) の場合
　最初の g(x) で足された３は、その後3倍、3倍、3倍され 81 になります。
　２番目の f(x) で足された１は　その後3倍、3倍され 9 になります。
　３番目の f(x) で足された１は　その後3倍され 3 になります。
　４番目の f(x) で足された１はそのまま１となります。
合計９４となり、f(f(f(g(x))))＝54x＋94 です。

g(f(f(f(x)))) の場合
　最初の f(x) で足された１は、その後3倍、3倍、2倍され 18 になります。
　２番目の f(x) で足された１は　その後3倍、2倍され 6 になります。
　３番目の f(x) で足された１は　その後2倍され 2 になります。
　４番目の g(x) で足された３はそのまま３となります。
合計２９となり、g(f(f(f(x))))＝54x＋29 です。

つまり、定数項が大きく、倍率（ｘの係数）の小さい g(x) は早めに済ませて、
定数項が小さく、倍率の大きい F(x) は後に回したほうが、結果が大きくなります。

これで、(3) も楽勝ですね。

No.66549 - 2020/06/08(Mon) 16:06:49

★ (No Subject) / とら

293の(1)のp(a)の式がどうしてこうなるのかわかりません。

No.66542 - 2020/06/08(Mon) 14:10:28

☆ Re: / とら

回答です。

No.66543 - 2020/06/08(Mon) 14:11:10

☆ Re: / とら

僕の考えです。

No.66544 - 2020/06/08(Mon) 14:12:57

☆ Re: / ヨッシー

奇がかぶるの方の６０はそれでいいですが、
奇がかぶらないの４８０は、２で割って２４０にしないといけません。

結局、奇がかぶらないの方も
　４×５×４×(3!/2!)
となり、合わせて、
　４×５×(４＋１)×(3!/2!)
　＝3Ｃ2・５^2・４
となります。
3Ｃ2 は３回引くうちの何回目が奇数になるかの場合の数。
５^2・４は、引いては戻す条件で、奇数、奇数、偶数を引く場合の数です。

No.66546 - 2020/06/08(Mon) 14:21:24

☆ Re: / とら

わかりました！ありがとうございました😊

No.66550 - 2020/06/08(Mon) 16:33:53

★ 大学数学のガウスの問題について / 大学生

写真の問題がわかりません。どなたか解いて貰えたら助かります

No.66539 - 2020/06/08(Mon) 13:34:29

☆ Re: 大学数学のガウスの問題について / X

条件から
∬[D]∇・↑Adxdy=∬[D]0dxdy=0 (A)
一方
線分OP[1]に対し
ds=dx
↑n=(0,-1)
y=0
線分P[1]P[2]に対し
ds=-(√2)dx
↑n=(1/√2,1/√2)
y=-x+1
線分P[1]Oに対し
ds=-dy
↑n=(-1,0)
x=0
∴
∫[C]↑A・↑nds=∫[OP[1]]↑A・↑ndx-(√2)∫[P[1]P[2]]↑A・↑ndx-∫[P[1]O]↑A・↑ndy
=-∫[x:0→1]xdx-(√2)∫[x:1→0]{(1/√2){-(-x+1)+x}dx-∫[y:1→0]ydy
=-∫[x:0→1]xdx+∫[x:0→1](2x-1)dx+∫[y:0→1]ydy
=0 (B)
(A)(B)より
∬[D]∇・↑Adxdy=∫[C]↑A・↑nds
となりガウスの発散定理は成立しています。

No.66545 - 2020/06/08(Mon) 14:15:15