ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / まるまる

次の行列をAとするとき、Aを対角化せよ。
また、e^A=Σ[m=0～∞]A^m/m!をΣを用いずに成分表示せよ。
(3 5)
(-5 -3)
対角化した行列は
(-4i 0)
(0 4i)
です。
昨日と同じような質問で申し訳ございません。
解こうと思ったのですがe^Aに虚数が出てしまい出来ませんでした。
よろしくお願いいたします。

No.66162 - 2020/06/01(Mon) 21:29:57

☆ Re: / ヨッシー

前回と同じようにやると　ｅ⁴ⁱ やｅ^-4i が出てきますが、
　ｅ⁴ⁱ＝cos4＋ｉsin4
と分解できるので、もう一段計算を進めることが出来ます。

No.66164 - 2020/06/01(Mon) 21:46:35

☆ Re: / まるまる

解けました！
ありがとうございます。

No.66171 - 2020/06/01(Mon) 22:08:15

★ (No Subject) / まこ

(２)番の赤の所のように常に成立つときはその範囲をまるまるokにしていいのはなぜですか？

No.66161 - 2020/06/01(Mon) 21:29:14

☆ Re: / ヨッシー

|x-7|＋|x-8|＜3・・・(i) において、
　ｘ＝７　のとき　(左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.1 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.2 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.3 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.4 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.5 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　・・・
もちろんその間の,7.02 とか 7.53 とか π＋4 とか、全部成り立つので、
　7≦ｘ＜8
の範囲の全ての実数ｘは解となり得ます。

No.66163 - 2020/06/01(Mon) 21:39:00

☆ Re: / まこ

分かりやすいです。ありがとうございます

No.66169 - 2020/06/01(Mon) 22:05:08

★ 確率論 / あ

つぎの問題が分かりません。どなたか詳しく教えてください。

a,b,c>0とする。X,Yは独立な確率変数でそれぞれX～Gam(c,a)、
Y～Gam(c,b)とする。このとき確率変数Z=X+Y,W=X/(X+Y)は独立であり、Z～Gam(c,a+b)、W～Beta(a,b)を示せ。

No.66151 - 2020/06/01(Mon) 17:35:16

☆ Re: 確率論 / あ

ガンマ分布が
f(x)=１/(Γ(a))b＾{a}x^{a-1}e^{-bx}1_(0,∞）(x)
で
ベータ分布が
f(x)=1/(B(a,b))x^{a-1}(1-x)^{b-1}1_(0,1)(x)です。
よろしくお願いします

No.66182 - 2020/06/01(Mon) 22:59:33

★ (No Subject) / 鬼滅の奥歯

緑で囲った部分のPOINTがなにを言いたいのか分かりません。どういうことか教えてほしいです

No.66145 - 2020/06/01(Mon) 15:59:11

☆ Re: / ヨッシー

「(2) (ア) 二項定理により」から最後までの部分で使った性質がまとめてあるだけです。

この問題のように、
　(1＋h)^n≧1＋nh
だけで済む場合もあるでしょうし、もう１項増やして
　(1＋h)^n≧1＋nh＋{n(n-1)/2}h^2
を使う場合もあるかも知れません。

No.66147 - 2020/06/01(Mon) 16:25:24

☆ Re: / 鬼滅の奥歯

なるほど！分かりました！！

No.66148 - 2020/06/01(Mon) 16:35:37

★ ベクトル解析の問題です / こはく

ミスしたので再投稿です
次の局面sの面積をを求めよ
Sは放物線z=1/2*x^2 (2分の1 Xの2乗です)
0≦x≦1
0≦y≦x
答えは(2√2-1)/3となってます
どなたかお願いします

No.66142 - 2020/06/01(Mon) 15:17:40

☆ Re: ベクトル解析の問題です / X

既に元のスレでWIZさんが回答しているのに気付かずに
回答してしまいましたが、別解として残しておきます。

φ=z-(1/2)x^2
と置くと
曲面
z=(1/2)x^2
上の点(x,y,z)における、z成分が正となる
単位法線ベクトル↑nは
↑n=gradφ/|gradφ|=(-x/√(x^2+1),0,1/√(x^2+1))
∴Sのxy平面への正射影をT、z軸の正の向きの単位ベクトルを
↑kとすると
dT=(↑n・↑k)dS
={1/√(x^2+1)}dS
∴dS={√(x^2+1)}dT
よって求める面積をUとすると
U=∬[S]dS=∬[T]{√(x^2+1)}dT
=∫[x:0→1]∫[y:0→x]{√(x^2+1)}dydx
=∫[x:0→1]x{√(x^2+1)}dx
=[(1/3)(x^2+1)^(3/2)][x:0→1]
=(2√2-1)/3

No.66153 - 2020/06/01(Mon) 19:07:03

★ (No Subject) / おんよし

すみません失敗したので再投稿です。
上の下線部から下の下線部に移る途中式を教えてください

No.66141 - 2020/06/01(Mon) 15:13:33

☆ Re: / ヨッシー

ｙ＝ｕｘ　をｘで微分すると、積の微分より
　ｙ’＝ｕ’ｘ＋ｕｘ’
書き直すと
　dy/dx＝(du/dx)ｘ＋ｕ
です。

No.66143 - 2020/06/01(Mon) 15:35:03

☆ Re: / おんよし

ありがとうございます。

No.66144 - 2020/06/01(Mon) 15:45:32

★ 微分方程式の一般解 / さのたろう

写真の赤下線部の(4),(6)の問題の解き方を教えてください。
私は微分方程式の一般解の求め方を「左辺にy，右辺にxをまとめて積分をする」という認識でいるのですが、(4)の場合yの次数が違うためわかりません。
(6)はlog｜y+√(y^2+1)｜+C＝x+C まで来て手詰まりです。
何卒よろしくお願いします。

No.66138 - 2020/06/01(Mon) 12:12:51

☆ Re: 微分方程式の一般解 / WIZ

(4)
y' = (2x+1)(y+1)y
y = 0 及び y = -1 という定数関数は上記微分方程式を満たす。

(y+1)y ≠ 0 の場合、
2x+1 = y'/{(y+1)y} = y'{1/y-1/(y+1)}
⇒ x^2+x+C = log(y/(y+1)) (Cは積分定数)
⇒ e^(x^2+x+C) = y/(y+1)
⇒ A(e^(-x^2-x)) = 1+1/y (A = e^(-C) は正の定数)
⇒ 1/{A(e^(-x^2-x))-1} = y

検算
y' = -(-2x-1)A(e^(-x^2-x))/{A(e^(-x^2-x))-1}^2 = (2x+1)(1/y+1)y^2

(6)
両辺に積分定数を付ける必要はないので、
log(|y+√(y^2+1)|) = x+C
ですね。

⇒ |y+√(y^2+1)| = e^(x+C)
⇒ y+√(y^2+1) = (±(e^C))(e^x) = A(e^x) (A = ±(e^C) は0でない任意定数)
⇒ y-A(e^x) = -√(y^2+1)
⇒ y^2-2yA(e^x)+(A(e^x))^2 = y^2+1
⇒ A(e^x){A(e^x)-2y} = 1
⇒ A(e^x)-2y = (1/A)(e^(-x))
⇒ y = (A/2)(e^x)-(1/(2A))(e^(-x))

検算
y' = (A/2)(e^x)+(1/(2A))(e^(-x))
y^2 = ((A/2)(e^x))^2-2(A/2)(e^x)(1/(2A))(e^(-x))+((1/(2A))(e^(-x)))^2
= ((A/2)(e^x))^2-1/2+((1/(2A))(e^(-x)))^2
⇒ y^2+1 = ((A/2)(e^x))^2+1/2+((1/(2A))(e^(-x)))^2
= ((A/2)(e^x))^2+2(A/2)(e^x)(1/(2A))(e^(-x))+((1/(2A))(e^(-x)))^2
= {(A/2)(e^x)+(1/(2A))(e^(-x))}^2
= (y')^2

(y')^2 = y^2+1 は A の符号に関わらず成立しますが、
y' = √(y^2+1) は A > 0 の場合のみ成立しますね。
よって、A は正の任意定数としないとダメですね。

# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい。

No.66146 - 2020/06/01(Mon) 16:03:38

☆ Re: 微分方程式の一般解 / WIZ

(6)の訂正
y ≧ 0 なら y+√(y^2+1) > 0 ですが、
y < でも √(y^2+1) > √(y^2) = |y|なので、y+√(y^2+1) > 0 ですね。
だから、途中計算で用いられてた絶対値記号は不要でした。

log(y+√(y^2+1)) = x+C
⇒ y+√(y^2+1) = e^(x+C) = A(e^x) (A = e^C は正の任意定数)

となり、最初から A は正の任意定数とできますね。

No.66160 - 2020/06/01(Mon) 21:23:33

★ ベクトルの内積 / 鬼滅の奥歯

ベクトルBAとベクトルBCの内積を求める問題なのですが、このθ(とくに２番目の問題)は勝手に決めていいものなのですか？

No.66136 - 2020/06/01(Mon) 10:53:21

☆ Re: ベクトルの内積 / ヨッシー

勝手に決める＝どんなθについても同じ答えになる
という意味であれば、答えは Yes です。

No.66137 - 2020/06/01(Mon) 11:34:42

☆ Re: ベクトルの内積 / 鬼滅の奥歯

なるほど！ありがとうございます！

No.66139 - 2020/06/01(Mon) 12:37:55

★ ベクトル解析の問題 / こはく

次の局面sを求めよ
Sは放物線z=1/2*x^2 (2分の1 Xの2乗です)
0≦x≦1
0≦y≦x
答えは1/3(2√2-1)となってます
どなたかお願いします

No.66134 - 2020/06/01(Mon) 10:17:44

☆ Re: ベクトル解析の問題 / WIZ

y軸の正の方向を向いて、xz平面に平行な平面と題意の曲面の交点(交線?)は
放物線 z = (x^2)/2 となる訳です。
題意の曲面の微小面積 ds は、xz平面に平行な平面上の放物線上の微小長さ dl と
y 方向の微小長さ dy の積となる微小長方形の面積と考えられます。

z = (x^2/2) より、dl/dx = √(1+(dz/dx)^2) = √(1+x^2)

よって、求める面積を S とすると、
S = ∫ds = ∫∫dldy
= ∫[0, 1]{∫[0, x]{√(1+x^2)}dy}dx = ∫[0, 1]{[y√(1+x^2)]_[0, x]}dx
# √(1+x^2) は y とは無関係な定数(?)なので、y で積分すれば y√(1+x^2) となる。

⇒ S = ∫[0, 1]{x√(1+x^2)}dx = [(1/3){(1+x^2)^(3/2)}]_[0, 1] = (1/3){2^(3/2)-1^(3/2)} = (1/3)(2√2-1)

No.66149 - 2020/06/01(Mon) 16:53:10

★ 線形数学 / まるまる

次の行列をAとするとき、Aを対角化せよ。
また、e^A=Σ[m=0～∞]A^m/m!をΣを用いずに成分表示せよ。
(5 3)
(-3 -5)

対角化するところまでは出来たのですが、成分表示の仕方が分かりません。
対角化した行列は(-4 0)です。
(4 0)

No.66130 - 2020/06/01(Mon) 07:23:44

☆ Re: 線形数学 / まるまる

すみません。
(-4 0)
(0 4)
でした。

No.66131 - 2020/06/01(Mon) 07:24:16

☆ Re: 線形数学 / ヨッシー

Ｐ＝
(1 3)
(-3 -1)
Ｂ＝
(-4 0)
(0 4)
とすると、
Ａ＝Ｐ^-1ＢＰ
Ａⁿ＝Ｐ^-1ＢⁿＰ
一般に
　ＡＰＢ＋ＡＱＢ＝Ａ(Ｐ＋Ｑ)Ｂ
より
　ｅ^Ａ＝Ｐ^-1(ΣＢ^m/m!)Ｐ
ΣＢ^m/m! の (1,1) 成分は
　1/0!＋(-4)/1!＋(-4)²/2!＋(-4)³/3!＋・・・
(2,2) 成分は
　1/0!＋4/1!＋4²/2!＋4³/3!＋・・・
ｅ^x のマクローリン展開
　ｅ^x＝1＋x/1!＋x²/2!＋x³/3!＋・・・
より、
ΣＢ^m/m!＝
(ｅ^-4 0)
(0 ｅ⁴)
Ｐ^-1 とＰを掛けるところはお任せします。

No.66135 - 2020/06/01(Mon) 10:39:06

★ 全単射について / スティッチ

Aをn次正方行列とする。写像F:R^n→R^n,F(x)=Axは全単射であることを示せ。
という問題が分からないです。
よろしくお願いいたします。

No.66127 - 2020/05/31(Sun) 22:38:21

☆ Re: 全単射について / IT

例えばAが0行列のとき　,F(x)=Axは全単射ではないので間違いだと思いますが。

No.66128 - 2020/05/31(Sun) 22:52:30

☆ Re: 全単射について / スティッチ

すみません。
正方行列、ではなく正則行列でした。

No.66129 - 2020/05/31(Sun) 23:03:04

☆ Re: 全単射について / IT

Aの逆行列をBとすると、
任意のx∈R^nについて、ABx=BAx=x
これからF(x)=Axは全単射であることが言えます。

単射性証明のポイント
Ax=Ayのとき
BAx=BAy　∴　x=y
よってAは単射。

全射の証明はやってみてください。

No.66152 - 2020/06/01(Mon) 18:01:34

☆ Re: 全単射について / IT

例えばAが0行列のとき　,F(x)=Axは全単射ではないので間違いだと思いますが。

No.66128 - 2020/05/31(Sun) 22:52:30

☆ Re: 全単射について / スティッチ

すみません。
正方行列、ではなく正則行列でした。

No.66129 - 2020/05/31(Sun) 23:03:04

☆ Re: 全単射について / IT

No.66152 - 2020/06/01(Mon) 18:01:34

★ 全単射について / スティッチ

Aをn次正方行列とする。写像F:R^n→R^n,F(x)=Axは全単射であることを示せ。
という問題が分からないです。
よろしくお願いいたします。

No.66127 - 2020/05/31(Sun) 22:38:21

☆ Re: 全単射について / IT

例えばAが0行列のとき　,F(x)=Axは全単射ではないので間違いだと思いますが。

No.66128 - 2020/05/31(Sun) 22:52:30

☆ Re: 全単射について / スティッチ

すみません。
正方行列、ではなく正則行列でした。

No.66129 - 2020/05/31(Sun) 23:03:04

☆ Re: 全単射について / IT

No.66152 - 2020/06/01(Mon) 18:01:34

☆ Re: 全単射について / IT

例えばAが0行列のとき　,F(x)=Axは全単射ではないので間違いだと思いますが。

No.66128 - 2020/05/31(Sun) 22:52:30

☆ Re: 全単射について / スティッチ

すみません。
正方行列、ではなく正則行列でした。

No.66129 - 2020/05/31(Sun) 23:03:04

☆ Re: 全単射について / IT

No.66152 - 2020/06/01(Mon) 18:01:34

★ 数I / ねこ

回答のグラフの書き方について質問です
場合分けした一方の式のグラフは点線と実線の両方書かれているのに、もう一方の式のグラフは実線しか書かれてないのは何故ですか

No.66125 - 2020/05/31(Sun) 22:24:13

☆ Re: 数I / らすかる

「最初に書いたグラフの点線部分をx軸で折り返したもの」という考え方で描いたからだと思います。

No.66126 - 2020/05/31(Sun) 22:37:29

★ (No Subject) / 東京君

漸化式かいさ型なのですが、今解いていてふと思ったのですが
なぜ緑で引いた所のような形になるとこの問題だったら２ｎ－３がかいさ数列になてっいると言えるのでしょうか？

No.66119 - 2020/05/31(Sun) 19:53:08

☆ Re: / ヨッシー

線を引くべきところは
　ａ[n+1]－ａ[n]＝２ｎ－３
の部分です。
ａ[n+1]－ａ[n] は、階差数列以外の何ものでもありません。

No.66133 - 2020/06/01(Mon) 08:49:43

★ 線形数学 / まる

3×3の正方行列のn乗を求める問題です。
(4 1 0)
(0 4 1)
(0 0 4)
対角化をして解こうと思ったのですが、固有値が重解でうまく対角化ができませんでした。
解き方を教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.66111 - 2020/05/31(Sun) 18:00:05

☆ Re: 線形数学 / X

以下のURLのページの下のほうにある
ジョルダン標準形と行列の n 乗
の内容を参考にしてみて下さい。
https://mathtrain.jp/matrixnjo

No.66112 - 2020/05/31(Sun) 18:11:46

☆ Re: 線形数学 / ast

> うまく対角化ができませんでした。
与えられた行列がすでにジョルダン標準形ですから, できなくても仕方がないことですね.

Xさんが示されたサイトの
> （二項定理を使っても導出できる）
を試したい場合は, その3×3行列を 4E+N (E は3次単位行列) と書いて, N^2, N^3 を計算しておいてから, (4E+N)^n を二項展開してみればよいです.

No.66113 - 2020/05/31(Sun) 18:35:08

☆ Re: 線形数学 / まる

解答ありがとうございます。
この記事を読んだのですが、PとJ^nの求め方がイマイチ分かりません。
また、二項定理を使ってのやり方のことなのですが、なぜ(4E+N)^nを求めるのですか？
よろしくお願いいたします。

No.66116 - 2020/05/31(Sun) 19:09:13

☆ Re: 線形数学 / まる

すみません、(4E+N)^nについては分かりました！

No.66117 - 2020/05/31(Sun) 19:16:13

☆ Re: 線形数学 / ast

> PとJ^nの求め方がイマイチ分かりません。
Pの求め方については, リンク先のリンク→ジョルダン標準形の意味と求め方の内容でもわからないですか?
もっと抽象的には広義固有空間 ker((A-λE))^n) の基底をとるという話になりますが.

# まあ本問ではPを求める必要は全くないですが……
## 敢えて求めるなら P=E (3次単位行列) です. 参考: ((4,1,0),(0,4,1),(0,0,4))のジョルダン標準形 (by Wolfram Alpha)

No.66118 - 2020/05/31(Sun) 19:37:02

☆ Re: 線形数学 / まる

解けました。
ありがとうございます！

No.66122 - 2020/05/31(Sun) 20:14:05

★ (No Subject) / あ

関数 m(x) は区間[0.1] 上で連続かつ微分可能であって, m{x) >0(0≦x≦1)をみたすとする. また, dは正
の定数とする。このとき、拡散ロジスティック方程式の境界値問題
du"(x) + u(x)(m(x) – u(x)) = (0≦x≦1)
u'(0) =u'(1) = 0
について次の問に答えよ。ただし, dとm(x) に応じて, 上の境界値問題が一意的な正値解 u(x) >0 (0≦x≦1)
をもつことは認めてよい。
(1) u(x) と m(x) のグラフは, 区間(0,1) 上で共有点をもつことを証明せよ。
(2) とくにm(x) が区間 (0,1) 上で単調減少ならば, u(x)も区間 (0,1)上で単調減少なことを証明せよ。

分かる方教えていただけると嬉しいです。

No.66106 - 2020/05/31(Sun) 12:23:05