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★ 線形数学 / まる
3×3の正方行列のn乗を求める問題です。
(4 1 0)
(0 4 1)
(0 0 4)
対角化をして解こうと思ったのですが、固有値が重解でうまく対角化ができませんでした。
解き方を教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.66111 - 2020/05/31(Sun) 18:00:05
☆ Re: 線形数学 / X
以下のURLのページの下のほうにある
ジョルダン標準形と行列の n 乗
の内容を参考にしてみて下さい。
https://mathtrain.jp/matrixnjo
No.66112 - 2020/05/31(Sun) 18:11:46
☆ Re: 線形数学 / ast
> うまく対角化ができませんでした。
与えられた行列がすでにジョルダン標準形ですから, できなくても仕方がないことですね.

Xさんが示されたサイトの
> （二項定理を使っても導出できる）
を試したい場合は, その3×3行列を 4E+N (E は3次単位行列) と書いて, N^2, N^3 を計算しておいてから, (4E+N)^n を二項展開してみればよいです.
No.66113 - 2020/05/31(Sun) 18:35:08
☆ Re: 線形数学 / まる
解答ありがとうございます。
この記事を読んだのですが、PとJ^nの求め方がイマイチ分かりません。
また、二項定理を使ってのやり方のことなのですが、なぜ(4E+N)^nを求めるのですか？
よろしくお願いいたします。
No.66116 - 2020/05/31(Sun) 19:09:13
☆ Re: 線形数学 / まる
すみません、(4E+N)^nについては分かりました！
No.66117 - 2020/05/31(Sun) 19:16:13
☆ Re: 線形数学 / ast
> PとJ^nの求め方がイマイチ分かりません。
Pの求め方については, リンク先のリンク→ジョルダン標準形の意味と求め方の内容でもわからないですか?
もっと抽象的には広義固有空間 ker((A-λE))^n) の基底をとるという話になりますが.

# まあ本問ではPを求める必要は全くないですが……
## 敢えて求めるなら P=E (3次単位行列) です. 参考: ((4,1,0),(0,4,1),(0,0,4))のジョルダン標準形 (by Wolfram Alpha)
No.66118 - 2020/05/31(Sun) 19:37:02
☆ Re: 線形数学 / まる
解けました。
ありがとうございます！
No.66122 - 2020/05/31(Sun) 20:14:05
★ (No Subject) / あ
関数 m(x) は区間[0.1] 上で連続かつ微分可能であって, m{x) >0(0≦x≦1)をみたすとする. また, dは正
の定数とする。このとき、拡散ロジスティック方程式の境界値問題
du"(x) + u(x)(m(x) – u(x)) = (0≦x≦1)
u'(0) =u'(1) = 0
について次の問に答えよ。 ただし, dとm(x) に応じて, 上の境界値問題が一意的な正値解 u(x) >0 (0≦x≦1)
をもつことは認めてよい。
(1) u(x) と m(x) のグラフは, 区間(0,1) 上で共有点をもつことを証明せよ。
(2) とくにm(x) が区間 (0,1) 上で単調減少ならば, u(x)も区間 (0,1)上で単調減少なことを証明せよ。

分かる方教えていただけると嬉しいです。
No.66106 - 2020/05/31(Sun) 12:23:05
★ 大学数学 / 京都くん
X, Y をバナッハ空間とし, B(·, ·) を X × Y から C への分離連続な双線形汎関数とする. すなわち, 各変数を固定した時, 有界線型汎函数になっているとする. その時, B はX × Y から C への連続作用素になっていることを示せ. ただし, X × Y には積位相を付与しているものとする

難しすぎてわかりません。どなたか教えて下さる方、よろしくお願いします。
No.66105 - 2020/05/31(Sun) 12:11:25
★ 大学数学 / 京都くん
X をノルム空間とし、L(X) を X 上の有界線型作用素全体に作用素ノルムを付与した空間とする. An が A ∈ L(X) に, また Bn が B ∈ L(X) にそれぞれ作用素ノルムで収束する時, AnBn は, AB に作用素ノルムで収束することを示せ.

難しすぎてわかりません。どなたか教えて下さる方、よろしくお願いします。
No.66104 - 2020/05/31(Sun) 12:10:26
☆ Re: 大学数学 / IT
ポイントを書きます。なぜそう言えるかなど行間を補足して書き込んでください。
簡単のためノルムを|A|,|B|　などと書きます。

K＞0が存在して|B[n]|＜K,
ε＞0に対して自然数Ｍが存在して
　n＞Ｍについて |A[n]-A| ＜ε/2K, |B[n]-B| ＜ε/2(|A|+1)

|A[n]B[n]-AB|＝|A[n]B[n]-AB[n]+AB[n]-AB|
≦|A[n]B[n]-AB[n]|+|AB[n]-AB|≦K|A[n]-A|+|A||B[n]-B|

n＞Ｍについて　|A[n]B[n]-AB|≦K|A[n]-A|+|A||B[n]-B|＜ε
No.66123 - 2020/05/31(Sun) 21:16:30
★ 大学数学 / 京都くん
X をノルム空間とする.
‖f + g‖^2 + ‖f − g‖^2 = 2*‖f‖^2 + 2*‖g‖^2

が任意の f, g ∈ X に対して成り立つ時, X において中線定理が成り立つという.
実数直線上の閉区間 [a, b] 上の連続関数全体に max ノルムを付与した空間 C[a, b] において, 中線定理が成り立たないことを例によって示せ.

助けてください。最初から分からないです。
No.66103 - 2020/05/31(Sun) 12:08:44
☆ Re: 大学数学 / IT
「max ノルム」　とは、どんなノルムとテキストに書いてありますか？
No.66107 - 2020/05/31(Sun) 12:27:34
☆ Re: 大学数学 / IT
簡単のため　C[0,1] とします。

f(x)=1-2x ,x∈[0,1/2], f(x)=0,x∈(1/2,1]
g(x)=0,x∈[0,1/2],g(x)=2x-1,x∈(1/2,1]
とすると f,g ∈C[0,1]で、
||f||=||g||=1,||f+g||=1,||f-g||=1なので
||f+g||^2+||f-g||^2≠2||f||^2+2||g||^2 となり中線定理は成り立ちません。

左辺、右辺は計算してください。
C[a,b] については上記を参考に改良してください。
No.66114 - 2020/05/31(Sun) 18:39:17
★ 平均値の定理の問題 / かわ
初めて質問させていただきます。
チャート数学?Vの
「f(x)=2√xと区間［1,4］について、平均値の定理の条件を満たすcの値を求めよ」
という問題で、
答えの最初に「（1,4）で微分可能で…」とあります。
つまり連続については
触れていません。
微分可能⇒連続なのは理解していますが、これだとx=1,4の時の連続性を言えてません。これだと減点されないのでしょうか？
No.66096 - 2020/05/31(Sun) 09:36:17
☆ Re: 平均値の定理の問題 / IT
まず、問題がダメですね。
「ｆ(x)＝2√xと区間[1,4]について、平均値の定理の条件を満たすcの値を求めよ。」

「平均値の定理の条件を満たすc」とは意味不明で、問題になっていないと思います。

連続性の説明については、かわさんの意見のとおりだと思います。

解答で、「ｆ(x)は区間(1､4)で微分可能で・・・」と書いてあることについて、
この解答で減点されるかどうかは別にして、

「「微分可能」→「連続」であるから、微分可能性を示すだけでよい。」という解説はまちがっていますね。
書かないほうがましで、この解説をこの解答に加えて書くと減点ですね。（区間(1､4)で連続を言っても不十分なので）
No.66097 - 2020/05/31(Sun) 10:20:31
☆ Re: 平均値の定理の問題 / かわ
解説ありがとうございます。
チャート式だからといって全面的に信頼できるものでもないんですね。
確かに問題がおかしい、というのは感じていますが、今回はそこは見逃していただいて、平均値の定理を使う時に断っておく前提をどう書くべきか、の部分でご回答いただければと思います。


では、この問題の答えはどのように書くべきでしょうか？
（1,4）で微分可能、［1,4］で連続
と書けば完璧なのでしょうが、もう少し簡略化することは可能でしょうか？
例えば
x＞0で微分可能
であれば、微分可能⇒連続によって、与えられた区間での微分可能と連続を言ったことになると思います。
また、ほかの書籍、ネット上の解説を見ると、そもそも前提条件を断らずに使っているものも見られます。
例えば明らかに実際全体で微分可能であるものなどは、何も書かずに省略しても良いものなのでしょうか？

そして、それらで減点されるかどうかは、採点者の考え方によって変わってくるということでしょうか？

いろいろしつこくて申し訳ありませんが、ご回答いただければと思います。よろしくお願いします。
No.66101 - 2020/05/31(Sun) 11:16:02
☆ Re: 平均値の定理の問題 / IT
この問題の場合は、「平均値の定理」そのものについての出題なので、特に厳密に記述すべきと思います。

道具として「平均値の定理」を使う場合はケースバイケースだと思います。
ｆ(x)は[1､4]を含む範囲で微分可能なのでとしても良いかも知れません。（このf(x)で 区間が[0,4] の場合は、ダメですが）

悩むより　「ｆ(x)は区間[0,4]で連続で(0,4)で微分可能なので」と書くことにされた方が良いのではないでしょうか？（連続性は、証明なしに言っていいことが多いと思います。）
No.66108 - 2020/05/31(Sun) 12:38:45
☆ Re: 平均値の定理の問題 / ast
> 例えばx＞0で微分可能であれば〜言ったことになる
おっしゃる通りですね, チャート式の解説のように「微分可能」⇒「連続」を利用するのであれば [1,4] を含む適当な開区間 (これは [1,4] よりわずかでも大きければ何でもよい, もちろん無限開区間 x>0 も適切) 上で微分可能というべきです. そうすれば, 連続性に関しては「したがって閉区間 [1,4] における連続性も満たされているから」というような感じで言及できると思います.

> ほかの書籍、ネット上の解説を見ると、
どんなものもどんな時も常に厳密な議論をしなければならないというわけではなく, 定理の前提を満たしていることは気になる読者本人が自分で調べたうえで読むだろうと読者の良識に期待しているからではないでしょうか.

> 減点されるかどうかは、採点者の考え方
それはそうだとは思いますが, それよりはその省略された部分が「証明の肝」に近いものならほぼ確実に減点, 「些末な事項」に近いものなら見逃されることも多い, というような点のほうが比重が大きいのでは. ほかには, 適用時にチェックすべき事項を気にしたうえ記述を簡略にしたと思われるのか全く気を付けることなく乱暴に適用したと思われるのか, そういう解答の書き方のテクニック（？）的な所でも違ってくることがあると思います.

本問だと, 「f(x) が (定義域の全域で) 連続なのは明らかだから (1,4) での微分可能性を言えば十分」とか「連続性は明らかで, かつ (1,4) で f'(x)=〜」のような解説なら抜けがあるとは思われないのではないでしょうか (絶対の保証はできませんけど).
No.66109 - 2020/05/31(Sun) 12:47:54
★ （再）サイコロの目についてです。 / 大井　孝信
ご返答ありがとうございます！説明の不備がございまして申し訳ございません！
「０、０、０、０、０、０」や一つのサイコロの目が全て同じ、例えば「１、１、１、１、１、１」を使わないでという条件でした。
No.66094 - 2020/05/31(Sun) 09:06:00
★ (No Subject) / くもり
ある高校では選挙によって投票者数の最も多い一人を生徒会長に選ぶことになり3人の生徒Ａ,Ｂ,Ｃが立候補した。この3人を含む生徒240人は全員Ａ,Ｂ,Ｃのいずれか3人に投票した。投票された240票を開票したところその途中段階での各候補者の得票数はＡが52票,Ｂが36票,Ｃが27票であることが分かった。この時Ａが確実に生徒会長に選ばれるには最低であと何票必要か

?@42 ?A55 ?B68 ?C81 ?D94

答えは?Aの55なんですが…もしこれが答えならＡを選んだ人が全体の約44.5％ってことですよね。これじゃもしかしたらＢを投票した人の割合が51％って場合だってありうると思うんですが…そしたらＢが生徒会長になると思うんですが…
私の答えはＡが全体の半数以上とれば確実に当選するから(240÷2)-52=68人だと思ったんですが…
No.66092 - 2020/05/31(Sun) 09:01:33
☆ Re: / IT
半数より多く（２人がちょうど半数なら抽選になります。）とらなくても当選します。次点者の得票を上回ればよいです。
Aがあと５５票とった場合、残りの票は70票でそれをすべてBがとっても、
　Aの得票＞Bの得票　となります。
No.66095 - 2020/05/31(Sun) 09:08:34
★ サイコロの目についてです。 / 大井　孝信
学年不明です。
サイコロが４つあります。ただそのサイコロは目の数を自由に書き込めます。そのサイコロを４つ同時に振った場合の話です。
普通のサイコロは１〜６までの目が同じ確率で出ますが、４つ同時に振った場合、４つのサイコロの目の合計で、１〜６までの数字が同じ確率で出るように、４つのサイコロの目（合計２４個の目）をサイコロに書きたいです。たぶんできないと思いましたが、ひょっとしたらできるのではと思い質問させて頂きました。２つのサイコロの場合は、一つ目のサイコロの目を
「１、２、３、１、２、３」とし、
二つ目のサイコロの目を
「０、０、０、３、３、３」とすることで可能と思います。
ちなみに４つのサイコロは６面体以上の多面体でも構いません。突然の書き込みですみません。よろしくお願い致します。
No.66088 - 2020/05/31(Sun) 08:43:47
☆ Re: サイコロの目についてです。 / ヨッシー
たとえば、
「１、２、３、１、２、３」
「０、０、０、３、３、３」
「０、０、０、０、０、０」
「０、０、０、０、０、０」
や
「１、２、３、４、５、６」
「０、０、０、０、０、０」
「０、０、０、０、０、０」
「０、０、０、０、０、０」
では？
No.66090 - 2020/05/31(Sun) 08:55:49
☆ Re: サイコロの目についてです。 / らすかる
4つのサイコロの合計で1〜6を等確率にするのは
「すべての目が同じではいけない」という条件のもとでは不可能です。
六面体以外のどんなサイコロでもできませんし、
目に負の数や分数などを許してもダメです。
サイコロを3つにしてもできません。
No.66099 - 2020/05/31(Sun) 10:28:03
☆ Re: サイコロの目についてです。 / 大井　孝信
らすかる様、やはり不可能でしたか。お答え頂き誠にありがとうございました。とても参考になりました。

ヨッシー様、おかげさまで解決致しました。お世話になりました。ありがとうございます。
No.66102 - 2020/05/31(Sun) 11:21:18
★ (No Subject) / 鬼滅の奥歯
赤線の確認ってなぜしなければいけないのですか？
No.66087 - 2020/05/31(Sun) 08:24:36
☆ Re: / X
同値であることを確かめるためです。

この解答では
lim[x→a]f(x)=αかつlim[x→a]g(x)=β
⇒lim[x→a]f(x)g(x)=αβ
であることを使っています。
この定理の逆は成立しませんので、そのために
件の確認をしています。
No.66100 - 2020/05/31(Sun) 10:55:38
☆ Re: / 東京君
なるほど！ありがとうございます！
No.66120 - 2020/05/31(Sun) 20:06:58
★ (No Subject) / みき
(1)についてですが、解答の上に書いた証明の仕方では不十分ですよね？あと、その理由を教えてください。
No.66081 - 2020/05/31(Sun) 06:45:21
☆ Re: / ヨッシー
ａ≠０ かつ ｂ≠０ かつ ｃ≠０ であっても、
　α＝β＝γ＝０
でないときがあります。それは、解説で述べられているような
ＯＡＢＣが同一平面にあったり、ＯＡＢが同一直線上にあったりする場合ですが、
それを否定しないと、示したことにはなりません。

そのうち、
ａ、ｂ、ｃ が一次独立なので、
　αａ＋βｂ＋γｃ＝０
より、α＝β＝γ＝０
というような書き方をするようになりますが、それは、こういう
例題を乗り切った後の話です。
No.66082 - 2020/05/31(Sun) 07:25:33
★ これわかりません / 灘中3年
この長さ求めてください
No.66077 - 2020/05/31(Sun) 02:04:51
☆ Re: これわかりません / ヨッシー
半円の紙を折ったのだという情報がないと伝わりません。
（伝わったけどね）

点Ｂで直径に接するように、半径３の円を描くと
２つの交点間の距離ＥＦが求める長さです。
△ＡＢＣにおいて
　ＡＣ^2＝３^2＋１^2＝１０
よって
　ＡＣ＝√10
　ＡＤ＝√10/2
△ＡＥＤにおいて
　ＤＥ^2＝ＡＥ^2−ＡＤ^2＝９−5/2＝13/2
　ＤＥ＝√26/2
よって、
　ＥＦ＝√26

２で割って、また２を掛けるのが面倒なら、ＡＥを含む直径ＥＧを
考えて、
　ＦＧ^2＝ＡＣ^2＝１０
　ＥＦ^2＝ＥＧ^2−ＥＦ^2＝36−10＝26
　ＥＦ＝√26
とすることも出来ます。
No.66080 - 2020/05/31(Sun) 06:02:16
★ (No Subject) / ＰＰＰＰ
連立方程式
・2x-k(3x^2-3y)=0
・2y-k(3y^2-3x)=0
・x^3-3xy+y^3=0
の(x,y)の解が分かりません。
宜しくお願い致します。
No.66072 - 2020/05/30(Sat) 22:39:07
☆ Re: / IT
kは実数ですか？　複素数ですか？
No.66073 - 2020/05/30(Sat) 23:38:25
☆ Re: / IT
kが実数のときを考えます。（複素数でもできますが）
簡単のため　a=3k とおくと

a＝0のとき　x=y=0
a≠0のとき
　2x-a(x^2-y)=0…(1) →　ax^3=2x^2+axy…(1)'
　2y-a(y^2-x)=0…(2) →　ay^3=2y^2+axy…(2)'
　x^3-3xy+y^3=0…(3)
　(3),(1)'(2)'より　2x^2-axy+2y^2=0…(3)'
　(1)+(2) (a+2)(x+y)-a(x^2+y^2)=0…(4)
　(3)'(4) より　xy=(2(a+2)/a^2)(x+y)…(5)
　(1)-(2)　(x-y)(2-a-a(x+y))=0∴x-y= 0 または　2-a-a(x+y)=0
　x-y=0のとき　y=x を(3)に代入
　　x^3-3x^2+x^3=0∴x^2(2x-3)=0∴ x=0 またはx=3/2
　　x=y=0のとき　aは任意、 x=y=3/2のとき a=4。

　2-a-a(x+y)=0すなわち　x+y=(2-a)/a…(6)のとき
　　x^2+y^2+2xy=(2-a)^2/a^2
　　(3)'より　(1/2)axy+2xy=(2-a)^2/a^2
　　(5)(6) より　xy=(2(a+2)/a^2)((2-a)/a) なので
　　(a/2 +2)(2(a+2)/a^2)((2-a)/a)=(2-a)^2/a^2
　　a^3を掛けて、(a+4)(a+2)(2-a)=a(2-a)^2
　　移項して整理、(2-a)(a^2+2a+4)=0
　　aが実数のとき、a^2+2a+4≠0なので、2-a=0。
　　このとき(6) より、x+y=0 ∴y=-x
　　(1)に代入、2x-2(x^2+x)=0 ∴x=0 ∴y=0

以上をまとめると　k=4/3 のとき　x=y=0,x=y=3/2、k≠4/3なる実数のとき　x=y=0。

kが虚数もありえるならa^2+2a+4=0 のときを考えます。
少し煩雑ですね。もう少しすっきりした式変形があるのかも知れません。　出典は何ですか？

No.66076 - 2020/05/31(Sun) 01:54:55
☆ Re: / ＰＰＰＰ
kは実数です。
出典はラグランジュの未定乗数法です！
No.66083 - 2020/05/31(Sun) 07:26:32
☆ Re: / ＰＰＰＰ
kは実数です！
出典はラグランジュの未定乗数法です。
No.66084 - 2020/05/31(Sun) 07:27:28
☆ Re: / IT
もともとの問題は、どう書いてありますか？　何かの問題を解く途中で出てきたのでしょうか？

なお、私が知りたかった「出典」とは、この問題が書いてある　テキスト名のことです。
No.66085 - 2020/05/31(Sun) 07:35:08
☆ Re: / IT
x,y も実数のようですね。では、下記の方が簡単ですね。

a≠0のとき
　2x=a(x^2-y) →　2xy=a(x^2-y)y
　2y=a(y^2-x) →　2xy=a(y^2-x)x
　∴　(x^2-y)y-(y^2-x)x=0 整理して(x-y)(xy+x+y)=0
　∴x-y=0またはxy+x+y=0

　x-y=0 のとき・・・
　　前記と同じ。

　xy+x+y=0のとき
　　x^3-3xy+y^3=0
　　x^3+y^3=3xy=-(x+y)
　　(x+y)(x^2-xy+y^2)=-(x+y)
　　x+y=0 または x^2-xy+y^2+1=0
　　x^2-xy+y^2+1=(x-y/2)^2+(3/4)y^2+1 ＞0なので
　　x+y=0すなわちy=-x
　　x^3+3x^2-x^3=0 ∴x=0,y=0
No.66093 - 2020/05/31(Sun) 09:03:38
★ 　高2 数B　　　　⑵の問題の解き方 / ベクトル
3行目から4行目の答えに辿り着く計算の仕方が分かりません
No.66070 - 2020/05/30(Sat) 21:31:07
☆ Re: 　高2 数B　　　　⑵の問題の解き方 / IT
ｂ↑とｃ↑について整理しただけです。
No.66071 - 2020/05/30(Sat) 21:40:06
★ (No Subject) / 鬼滅の奥歯
赤線のところどうやって変形されているのですか？？
No.66069 - 2020/05/30(Sat) 21:27:44
☆ Re: / X
分子をたすき掛けしているだけです。
No.66074 - 2020/05/31(Sun) 00:29:38
☆ Re: / IT
念のため補足すると、数１の最初に習った　２次式の因数分解（たすき掛けを使った）です。
No.66078 - 2020/05/31(Sun) 02:33:25
☆ Re: / 鬼滅の奥歯
なるほど！ありがとうございます！
No.66086 - 2020/05/31(Sun) 08:19:58
★ (No Subject) / 鬼滅の奥歯
なぜ１／ｘの真数条件は確認しなくていいのですか？
No.66064 - 2020/05/30(Sat) 20:49:01
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＞０　⇔　1/x＞０
なので、ｘ＞０ だけで十分です。
No.66065 - 2020/05/30(Sat) 20:51:14
☆ Re: / 鬼滅の奥歯
なるほど！ありがとうございます！
No.66068 - 2020/05/30(Sat) 21:16:55
★ (No Subject) / っｓ
赤線の部分はなにが起きたのか詳しく教えてほしいです。
No.66061 - 2020/05/30(Sat) 19:35:35
☆ Re: / ast
指数法則を何度も使って, 底 2, 3 それぞれに関する因数をあつめ, 指数部分をまとめます:

√(2^4・3^3)/(2^2・3^3)
=(2^4・3^3)^(1/2) ・ (2^2・3^3)^(-1)
=2^(4/2)・3^(3/2) ・ 2^(-2)・3^(-3)
=2^(4/2)・2^(-2) ・ 3^(3/2)・3^(-3)
=　　　　1　　　・3^(3/2-3)
= 3^(-3/2)
No.66062 - 2020/05/30(Sat) 19:52:16
☆ Re: / はなげはなげぇ
分かりました！ありがとうございます！！
No.66063 - 2020/05/30(Sat) 20:17:17
★ (No Subject) / Yuika
6x^2-6x-12,2x^3-2xの最小公倍数を求めよという問題なのですが、
6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)
2x^3-2x=2x(x+1)(x-1)
となり、最小公倍数は「どちらかの式にある因数をもれなく拾う」と書いてあったので12x(x+1)(x-1)(x-2)となると思ったのですが、答えはx(x+1)(x-1)(x-2)となっています。どのように導いたのでしょうか…？
解説お願い致します。
No.66050 - 2020/05/30(Sat) 18:29:40
☆ Re: / ast
多項式の整除関係では実は定数倍はどうでもいいので, どちらもあっていて, まちがいではないです.
# が, 係数を付けるにしたって 2 と 6 の整数としての最小公倍数は 6 なので, 係数は 6 のほうがいいような気がしますね.
# 参考: 6x^2-6x-12と2x^3-2xの最小公倍数 (Wolfram alpha)

# 「どうでもいい」は厳密に言うなら正しいとは言えない主張なのですが,
# 無視する根拠が多項式の割り算のしかた(定義)によるものなので,
# ふつうは実数係数多項式と思って割り算するので, 0 を除くすべての定数倍を無視します.
# もし, 整数係数多項式の中だけで議論しないといけないとすれば, 違ってくるわけですね.
## そうは言っても, 高校までの数学では係数の範囲を明確に指定することもまずないでしょうし,
## 出題者の意図と違っていてもあまり気にしないことです.
No.66053 - 2020/05/30(Sat) 18:48:57
☆ Re: / IT
私のテキストでは、「「数係数」は無視しても良い。」とあります。

数係数を無視すれば、x(x+1)(x-1)(x-2)　で、
考慮すれば,6x(x+1)(x-1)(x-2)　ですね。
No.66054 - 2020/05/30(Sat) 18:49:44
☆ Re: / IT
手持ちの大学向けのテキストでは、整式の最大公約数、最小公倍数を考えるときは「モニック」（最高次の係数が１であるもの）であるものを考える。　としてあります。
No.66056 - 2020/05/30(Sat) 18:56:37
☆ Re: / Yuika
なるほど。皆さんありがとうございました。納得しました。
No.66089 - 2020/05/31(Sun) 08:50:26
★ 集合論（大学数学） / ぴこまる
X, Y を集合とし, f : X → Y , gk : Y → X とする. g1 ◦ f = idX かつ f ◦ g2 = idY が成立すれば, f は全単射であり
g1 = g2 = f^{−1} となる事を示せ.

という問題についてです。ｆが全単射であることは証明できましたが、g1,g2=fの逆写像という証明ができません、、。
No.66045 - 2020/05/30(Sat) 18:03:14
☆ Re: 集合論（大学数学） / IT
例えば f ◦ g2 = idY　は、言い換えるとどう表せますか？

そして、g2=「fの逆写像」を示すために、何を示せば良いかを考えます。
No.66048 - 2020/05/30(Sat) 18:19:15
☆ Re: 集合論（大学数学） / ぴこまる
> まず、何を示せば良いかを考えます。
任意のYの元ｙに対して、ある元ｘがXに存在してｙ＝ｆ（ｘ）というような形にできたら証明できるなと指針を立てながら考えてます。
No.66052 - 2020/05/30(Sat) 18:44:28
☆ Re: 集合論（大学数学） / ast
f が全単射と分かった時点で f^(-1) の存在を言ったことになるので, 仮定の式に f^(-1) を右または左から掛けるだけでは?
No.66055 - 2020/05/30(Sat) 18:51:24
☆ Re: 集合論（大学数学） / IT
astさんのヒントでできると思います。
なお、写像の合成について結合律が成り立ちます。
No.66059 - 2020/05/30(Sat) 19:09:30
☆ Re: 集合論（大学数学） / ぴこまる
astさん、ITさんありがとうございました。証明できました。
No.66060 - 2020/05/30(Sat) 19:15:40
★ (No Subject) / 高３理系
(１)〜(３)までは分かるのですが(４)がどういうテクニックでこうなるのか分かりません教えて頂きたいです。
No.66040 - 2020/05/30(Sat) 17:09:07
☆ Re: / らすかる
a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
という公式を使っています。
No.66043 - 2020/05/30(Sat) 17:28:05
☆ Re: / 高３理系
やっぱり公式があったんですね！ありがとうございます
No.66044 - 2020/05/30(Sat) 17:40:42
☆ Re: / ast
> やっぱり公式があった
因数分解の公式として

　x^n-y^n = (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+…+ xy^(n-2)+y^(n-1)),
とくに
　1-t^n = (1-t)(1+t+t^2+…+t^(n-1))

を覚えてもいいと思いますが, これ要は等比数列の和の公式 (右辺の第二因子がちょうど等比数列) なので, たぶん既知なんですよね (気づきさえすれば, ですが).
No.66049 - 2020/05/30(Sat) 18:26:39
☆ Re: / IT
astさんのおっしゃるとおり、等比数列の和の公式の応用あるいはアナロジーとして発想するのが良いと思います。

なお、
x^n-y^nはx=y のとき０になるので(x-y) を因数に持つことが分ります。
では x^n+y^n はどうでしょう｡
No.66058 - 2020/05/30(Sat) 19:06:06
☆ Re: / トーカ
もう解決されたので別にかまわないのですが
(4)の解法は(1)〜(3)の流れから
　3^5x-3^-5x
　=(3^4x+3^-4x)(3^x-3^-x)+3^3x-3^-3x
　=(3^4x+3^-4x)(3^x-3^-x)+(3^x-3^-x)(3^2x+1+3^-2x)
　=194*(±2√3)+(±2√3)*(14+1)
　が自然かと思われるが、もしかすると出題業者と解答業者　が異なる？
　個人的にx^n-y^n = (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+…+ xy^(n-2)+y^(n-1))　に気づかない。気づかないのが　悪いと言われればそれまでですけど・・・・
No.66075 - 2020/05/31(Sun) 01:14:27
☆ Re: / ast
a+1/a と a-1/a の両方分かっている状態で a^n+1/a^n や a^n-1/a^n をいくつかの n に対して求めさせる問題としては, n=2,3 を調べてそれらを掛けて n=5 の計算に利用 ((a^2+1/a^2)(a^3-1/a^3)=(a^5-1/a^5)+(a-1/a) とか) みたいな組み合せを工夫するのも定番だと思います.

もとの出題だと, n=3 には一切触れなかったため, (3) までの流れを n=2^k の場合は n=2 のやり方に帰着できると理解する余地も出てくるので, そのように見た場合 (4) はやや場違い感あります.

とはいえ, a^n-1/a^n の因数分解の式からは
　 n が奇数なら n 以下の偶数乗の場合が全部わかってれば計算できる
　 n が偶数なら n 以下の奇数乗の場合が全部わかってれば計算できる
みたいなことも読み取れる (実際もとの出題でも n=2,4 の直後に n=5 は (n=3 を飛ばしても) 求まります).
x^n-y^n の因数分解を持ち出すのは確かに一般化しすぎの感はあるでしょうけれど, 式の意味を上のように整理しておくと類題の検討もしやすく, 解くにあたっての場当たり感なども感じなくて済むと思います.
No.66110 - 2020/05/31(Sun) 16:20:49
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