ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / みひ

サイズ1xnのコラージュデザインの数をa(n)とする。大きさ1x1の枠が4つ、大きさ1x2の枠が5つあるとき、大きさ1x4のコラージュデザインはいくつできるか。

答えは521なのですが、なぜそうなるかわかりません。

No.85814 - 2023/07/12(Wed) 11:59:36

☆ Re: / ヨッシー

そもそも、コラージュデザインの定義が不明ですが、
普通に、タイルはめと思えば良いでしょうか？

枠とは何ですか？　タイルの素材ですか？

ちなみに a(2), a(3) はいくつですか？

No.85815 - 2023/07/12(Wed) 15:46:13

☆ Re: / みひ

はい、タイルはめです。

a(1)=4でa(2)=5,a(3)は分かりません。

No.85820 - 2023/07/13(Thu) 09:35:42

☆ Re: / ヨッシー

a(2)=5 となる途中経過を書いてもらえますか？

私の理解では、
1x2 １個で埋める場合だけで５通りあるので、
a(2)＝5 ということはないと思います。

とにかく、条件が(暗黙の了解的なものも含め)圧倒的に欠落しています。
たとえば、左右ひっくり返して同じになるものは区別するのか
1x2 の枠は、１色だけで塗られているのか別の色なのか
そもそも塗るだけでなく何か絵が描かれていて、結局は、
ひっくり返したら別物としてカウントするのか
等。

No.85824 - 2023/07/14(Fri) 01:17:32

☆ Re: / 黄桃

問題がわかりにくいのは確かですが、答が書いてあるので、そこまで突っ込むのはちょっとかわいそうな気もします（もともと並べ方の問題では、人は区別するのに物は区別しないとか、わけのわからない仮定が多すぎるため、質問する方もどう区別するのかよくわかってないのでしょう）。

答から推測すれば、
横幅が１のタイルが4種類、横幅が２のタイルが5種類ある。タイルの置く向きは決まっている（回転したりしない）。
これらのタイルを横1列に並べる。横幅の合計がnの並べ方の総数を a(n)とする。a(4)を求めよ。
ということでしょう。

＃a(2)は1x1を2個置く場合を忘れたか、
＃問題の解釈を誤ったかで間違ったのでしょう。

一般のa(n)を、最後のタイルが幅１の場合と2の場合に分けて漸化式を立てれば　a(n)=4*a(n-1)+5*a(n-2)　となり、これから、a(n)=(5^(n+1)+(-1)^n)/6　となるので、これにn=4を代入して 521です。
ただし、n=4の場合だけだと以下のように地道に幅2のタイルの数で場合分けした方が答の521に早くたどり着きそうです。
2個使う時: 幅2のタイルを2つ並べる方法だから5x5=25 通り
1個使う時：　幅2のタイルの置き場所が3通り、それぞれの置き場所について（幅1のタイル2か所,幅２のタイル1か所）、4x4x5通りの置き方があるから、全部で 3x4x4x5=240通り
使わない時：　幅1のタイルを4つ並べる方法だから、4^4=256通り
全部足すと 521通り

No.85861 - 2023/07/16(Sun) 15:53:09

★ 次数 / とらみ

F(n-1) = (k^2)F(n -3) + 2kF(n-2) + F(n-5)　（kは定数）
なぜこの漸化式の次数は４になるのでしょうか？

No.85813 - 2023/07/12(Wed) 10:50:46

☆ Re: 次数 / ヨッシー

漸化式の特性方程式の次数ってことでしょうか？

No.85816 - 2023/07/12(Wed) 15:48:01

☆ Re: 次数 / とらみ

はい、そうです

No.85819 - 2023/07/13(Thu) 09:31:22

☆ Re: 次数 / ast

# あきらかに高校数学の範囲ではないので大学初年度級の知識は断らず使うことにするが…….

与えられた漸化式が線型で, 行列の記法を用いれば
　(F[n-1]; F[n-2]; F[n-3]; F[n-4])
　= ((2k, k^2, 0, 1); (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0)) . (F[n-2]; F[n-3]; F[n-4]; F[n-5])
と書ける (ここでは "," は要素を横に ";" は要素を縦にならめる意味で用いている, すなわちたとえば左辺は縦ベクトル, 行列は行ベクトルを縦に並べる行ごとの表示にしている. また右辺の "." は行列の積) から, したがって
　(F[n-1]; F[n-2]; F[n-3]; F[n-4])
　= ((2k, k^2, 0, 1); (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0))^(n-5) . (F[4]; F[3]; F[2]; F[1])
　(or
　　= ((2k, k^2, 0, 1); (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0))^(n-4) . (F[3]; F[2]; F[1]; F[0]))

で, 4×4行列 ((2k, k^2, 0, 1); (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0)) の冪の計算 (そのために固有値・固有ベクトルから対角化 or 三角化) をする問題と理解できるから.

# 漸化式の特性方程式とは, 対応する行列の (線型代数的な意味での) 特性方程式そのものを意味している.
## でもこれ, 固有値も固有ベクトルもまともなものになる??? (WolframAlpha はなんかものすごいの返してくるけど……)

No.85821 - 2023/07/13(Thu) 19:26:24

★ 03　一橋大学 / こみち

1が書かれたカードが２枚、２が書かれたカードが２枚、・・・,ｎが書かれたカードが２枚の合計2n枚のカードをよく混ぜ合わせた後、１枚ずつ左から順に並べる。
この時、カードに書かれている数の列をa1,a2,a3,・・・,anとする。ak≧a(k+1)となる最小の数のkをXとする。X=1となる確率を求めよ。
という問題で、
私は、最初の2枚を取り出す場合の組み合わせは、全体で2n*(2n-1)通りで、a1がa2以上になる場合の数は、a1と同じ数がa2に出た時と、a1より小さい数が出た時で、a1=nのとき1+2(n-1)、a1=n-1のとき1+2(n-2)のとき・・・a1=1のとき1+2*0となるので、
1+3+5+・・・+(2n-1)通り、すなわち、2(1/2)n(n+1)-n=n^2通りになり、
n^2/2n*(2n-1)=n/(4n-2)
になると考えましたが、答えはn/(2n-1)でした。何が間違っているのでしょうか

No.85807 - 2023/07/11(Tue) 21:35:35

☆ Re: 03　一橋大学 / ヨッシー

例えば、
　a1=nのとき1+2(n-1)
が、ｎが２枚あるので、場合の数としては、２倍になるためです。

別解として、
2n*(2n-1) 通りのうち、
(1,1) (2,2) ・・・(n,n) の 2n 通りは条件を満たします。
残りの 2n*(2n-2) 通りのうち、半分の 2n(n-1) 通りは条件を満たします。
以上より、条件を満たすのは 2n^2 通りとなります。

No.85812 - 2023/07/12(Wed) 10:26:01

★ 関数 / ゆい

実数a,bに対し、xについての2次方程式
x^2- 2ax+b=0が次のそれぞれのような解を持つための
a,bの条件を求め，点（a,b）の存在範囲を図示せよ。
0≦x≤1の範囲に少なくとも1つ。
上の図が回答です。0<a<1が反映されていないと思います。なぜこれで良いのでしょうか？

No.85798 - 2023/07/11(Tue) 13:26:28

☆ Re: 関数 / ヨッシー

f(x)＝ｘ^2－2ax＋b とおきます。
(1) f(0)≦0 かつ f(1)≧0 の場合
　b≦0 かつ 1－2a＋b≧0
(2) f(0)≧0 かつ f(1)≦0 の場合
　b≧0 かつ 1－2a＋b≦0
(3) Ｄ≧0 かつ軸：0≦a≦1 かつ f(0)≧0 かつ f(1)≧0 の場合
　ａ^2－b≧0 かつ 0≦a≦1 かつ　b≧0 かつ 1－2a＋b≧0
となったと思いますが、
まず (1)と(2) から、ａ軸と、ｂ＝2a－1 とで区切られた部分の
右上と左下は全部ＯＫです。
それに (3) の領域が加わるわけですが、もし、0≦a≦1 を考慮しないと、
第２象限（グラフの左上の部分）や、右上の細い部分にも、領域が描かれるはずですが、
そうなっていないので、0≦a≦1 が考慮されていると言えます。

No.85799 - 2023/07/11(Tue) 13:48:09

★ 複素数平面 / さ

(2)を教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

No.85792 - 2023/07/10(Mon) 22:21:29

☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー

ｘ^2－√3ｘ＋1＝0 を解くと、
　ｘ＝(√3±ｉ)/2
よって、
　α＝cos(π/3)＋ｉsin(π/3)　　・・・(1) の答え
一方、
　β＝cos(π/4)＋ｉsin(π/4)
であるので、
　αβ＝cos(π/3＋π/4)＋ｉsin(π/3＋π/4)
　　　＝cos(7π/12)＋ｉsin(7π/12)
　(αβ)^n＝cos(7ｎπ/12)＋ｉsin(7ｎπ/12)
より、ｎ＝３のとき
　(αβ)^3＝cos(7π/4)＋ｉsin(7π/4)
となり条件を満たします。

No.85795 - 2023/07/11(Tue) 11:36:08

☆ Re: 複素数平面 / X

横から失礼します。
＞＞ヨッシーさんへ
＞＞α＝cos(π/3)＋ｉsin(π/3)
ですが
α=cos(π/6)+isin(π/6)
の誤りではありませんか？

No.85804 - 2023/07/11(Tue) 17:51:17

☆ Re: 複素数平面 / さ

α=cos(π/6)+isin(π/6)
の場合、αβの偏角が5/12πとなりますが、どのようにして解いたら良いですか？

No.85808 - 2023/07/11(Tue) 22:52:22

☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー

X さん
α=cos(π/6)+isin(π/6)
でした。失礼しました。

このとき、
　αβ＝cos(5π/12)＋ｉsin(5π/12)
となります。
5π/12 を自然数倍したときに、
　7π/4, 15π/4, 23π/4, ・・・
となる場合を探すと、9倍したときに
　5π/12×9＝15π/4
となるので、答えはｎ＝９です。

No.85811 - 2023/07/12(Wed) 09:01:13

★ 微分方程式 / あ

変数分離形の微分方程式x'=(x^2-1)/tの解を求める問題なのですが、dx/(x^2-1)=(1/t)dtからどのようにして求めていけば良いのかが分かりません。どなたがご回答お願いします。答えがx=1+ct^2(x+1) , x=-1であることは分かっています。

No.85782 - 2023/07/10(Mon) 16:13:34

☆ Re: 微分方程式 / GandB

> x=1+ct^2(x+1) , x=-1であることは分かっています。
　へ？

　　x = -(Ct^2+1)/(Ct^2-1)

になったけど。
　　dx/dt = (x^2-1)/t
　　1/(x^2-1) dx = 1/t dt
　　∫1/(x^2-1) dx = ∫1/t dt

　左辺の積分は部分分数分解で

　　1/(x^2-1) = (1/2)(1/(x-1)-1/(x+1)

とすれば簡単に積分できる。

No.85783 - 2023/07/10(Mon) 17:51:04

☆ Re: 微分方程式 / あ

これ教科書に出てくる問題でして、そこの答えのところにはこの答えが載っていたのですが......。そこには答えしか載っておらず、解き方がイマイチ思い浮かばなかったので質問させて頂いたのですが、解き方によって答えが変わるなんてことあるんでしょうか。

No.85784 - 2023/07/10(Mon) 18:43:05

☆ Re: 微分方程式 / GandB

　私が示した解は

　　dx/dt = (x^2-1)/t

の一般解である。特殊解なら初期条件によって積分定数 C が定まる。しかし、特殊解としても

　　x=1+ct^2(x+1)

は明らかにおかしい。積分定数が含まれているし、右辺には x が含まれている。なので

> これ教科書に出てくる問題でして、そこの答えのところにはこの答えが載っていた

とは信じ難い。誤植としてもひどい（笑）。問題と解答をスキャンしてアップしてくれたらありがたい。

No.85785 - 2023/07/10(Mon) 19:01:49

☆ Re: 微分方程式 / あ

これが問題で

No.85786 - 2023/07/10(Mon) 19:34:34

☆ Re: 微分方程式 / あ

これが解答です

No.85787 - 2023/07/10(Mon) 19:35:20

☆ Re: 微分方程式 / あ

すみません。添付出来ていませんでした

No.85788 - 2023/07/10(Mon) 19:36:16

☆ Re: 微分方程式 / GandB

　へーーーーー！
　あの、問題も第2章の問題2.1 なんですよね（笑）。

　どういうことだろう？

　私の手に余るので他の方の回答を待ちましょう(^O^)。

No.85789 - 2023/07/10(Mon) 20:01:40

☆ Re: 微分方程式 / あ

第2章の問題2.1で間違いないです笑

No.85790 - 2023/07/10(Mon) 20:16:19

☆ Re: 微分方程式 / ast

どこから続けてもいいけど, たとえば
　log((x-1)/(x+1))= 2log(t) + C
のところから (右辺)=log(c t^2) (c は C=:e^c となる c) として
　(x-1)/(x+1) = c t^2
の分母を払って 1 を右辺に移項したら解答の式になる. あるいは最後の
x = -(Ct^2+1)/(Ct^2-1)
からなら, これを C について解いた式が (x-1)/(t^2(x+1)) だから以下同じ.

結局, 最初の方程式が
　d[log((x-1)/(t^2(x+1)))]/dt=0
という完全形の微分方程式だということが確認できるということにはなるかな.
# これ実際に微分してみたら, 積分因子として 1/(t(x^2-1)) を掛けた
# dx/(x^2-1)-dt/t=0 を考えるので, 本質的には変数分離形として解いたのと同じとわかる.
## まあそもそも変数分離して解いた結果から逆に探してるので当然ではあるかもしれないが.

個人的には微分方程式を解けと言っておいて x,t の陰伏的な関係式を答えにするのは完全に気に入らないが.
# とりあえず見える範囲の問題をいくつか適当に検算した (WolframAlphaにしてもらった) ら
# 解答は基本的に合ってるみたい.

No.85791 - 2023/07/10(Mon) 22:06:47

☆ Re: 微分方程式 / あ

これってこの解答例みたいなややこしい式じゃなくて、GandBさんが示してくれたような解答でも問題は無いんですよね？

No.85794 - 2023/07/11(Tue) 00:28:47

☆ Re: 微分方程式 / ast

そうですね. ふつうは陽に表すのが容易な場合はその本の解答みたいなのはアウトという認識でいいと個人的には思います.
# まあ例えば y=±√(a^2-x^2) と x^2+y^2=a^2 のどっちがいいかみたいなところだと
# 微妙に迷うが…… (何らかの「標準形」があるものの場合はふつうそっちを使うし).

あと任意定数の扱いですが, GandB氏の答案でも e^C を改めて C と書いたりと言った「記号の濫用」はあるので取りうる値が任意の実数ではない可能性をちゃんとしないと厳密には正しくなりません (というか氏の答案は "=" で結んじゃいけないところを "=" で結んで e^C=C という意味の式にしてしまっているのでこの点についてはダメだと思います).
ちゃんと考えると置き換えもとは "±e^C (C は任意の実数)" で, 置き換え後は "C は C≠0 なる任意の実数" だと思いますが, しかし C=0,∞ に対応する定数函数 x=±1 も実際にはもとの方程式の解なので, そういったことも取りまとめるには (全体を通じて) 述べ方に工夫が要ると思います (まあ結局本の解答のように x=1 は任意定数に C=0 として組み込んで, x=-1 を別に書くというのが無難なのかな).
# ま, 枝葉末節に拘っても仕方がないとは思うけれども.

No.85803 - 2023/07/11(Tue) 17:44:12

☆ Re: 微分方程式 / あ

ありがとうございました

No.85806 - 2023/07/11(Tue) 18:51:16

★ 漸化式 / がとら

ある会社が他国から部品を輸入して洗濯機を製造している。最初の月に洗濯機を1台生産し、2ヶ月目に2台生産する。毎月、同社はn番目の月にn台の洗濯機を製造するために部品を組み立てる。

a) 最初の n か月に同社が生産した洗濯機の数を表す漸化式を設定せよ．

b) その会社が最初の年に生産する洗濯機の台数は何台か．

c) 会社が最初の n か月間に生産した洗濯機の数を表す明示的な式を求めよ．その公式を求めるために使用した方法に言及し，その手順を明確に示せ．

aの答えは、M(n) = n
bの答えは、M(1) + M(2) + M(3) + ... + M(12) = 1 + 2 + 3 + ... + 12 = (12 * 13) / 2 = 78
cの答えは、M(n) = (n/2) * (1 + n)

でいいですか？

No.85771 - 2023/07/08(Sat) 14:30:35

☆ Re: 漸化式 / IT

問題文が曖昧なので解釈が分かれると思いますが、
a)最初の n か月に同社が生産した洗濯機の数
は1,2,3,...,n-1,n 月目に生産した数の合計だと思います。
「漸化式」とは、例えば第n項と第n-1項との関係を表す式などなので、M(n) = n などを出題者は意図してないと思います。
またM(n) が何を表すのか説明が必要です。

b) 最初の年、１月から生産開始するとは書いてないですが、そうだとすれば、答えは合っていると思います。

c)「その公式を求めるために使用した方法に言及し，その手順を明確に示せ．」これが重要なのでその式だけではダメだと思います。

No.85774 - 2023/07/09(Sun) 11:35:22

☆ Re: 漸化式 / がとら

ありがとうございます。

No.85775 - 2023/07/09(Sun) 21:03:28

★ 漸化式 / ぴーたろ

漸化式ガチャで出てきた問題なのですが、問題を検索したところURLのサイト（ツイッター）が出てきました。答えは√2になるそうなのですが、高校数学（B）まで（?VCはまだ）の段階では解くことは難しい問題でしょうか？

No.85758 - 2023/07/07(Fri) 13:08:43

☆ Re: 漸化式 / ぴーたろ

URLは
https://twitter.com/A43B1PXh21Gx034/status/1528382112599945216
です

No.85759 - 2023/07/07(Fri) 13:09:27

☆ Re: 漸化式 / らすかる

漸化式を解く問題ですから、答えは数列の一般項であり「答えは√2」にはなりません。
元記事にも「答えは√2」ではなく「極限は√2」と書かれていますね。
で、「高校数学(B)」の学習内容がわかりませんのでその範囲内かどうかはわかりませんが、
式を適当にこねくり回せば
a[n+1]={(a[n])^2+2}/(2a[n])
2a[n+1]={(a[n])^2+2}/a[n]
2a[n+1]+2√2={(a[n])^2+2}/a[n]+2√2
2a[n+1]+2√2={(a[n])^2+(2√2)a[n]+2}/a[n]
2(a[n+1]+√2)=(a[n]+√2)^2/a[n]
b[n]=a[n]+√2とおくとb[1]=2+√2であり
2b[n+1]=(b[n])^2/(b[n]-√2)
1/(2b[n+1])=(b[n]-√2)/(b[n])^2
(1/2){1/b[n+1]}=1/b[n]-√2/(b[n])^2
c[n]=1/b[n]とおくとc[1]=1/(2+√2)=1-1/√2であり
(1/2)c[n+1]=c[n]-(√2)(c[n])^2
c[n+1]=-(2√2){(c[n])^2-(1/√2)c[n]}
c[n+1]-1/(2√2)=-(2√2){(c[n])^2-(1/√2)c[n]}-1/(2√2)
c[n+1]-1/(2√2)=-(2√2){(c[n])^2-(1/√2)c[n]+1/8}
c[n+1]-1/(2√2)=-(2√2){c[n]-1/(2√2)}^2
d[n]=c[n]-1/(2√2)とおくとd[1]=1-1/√2-1/(2√2)=1-3/(2√2)であり
d[n+1]=-(2√2)(d[n])^2
よって
d[n]=(-2√2)^(2^(n-1)-1)・d[1]^(2^(n-1))
={-(2√2)d[1]}^(2^(n-1))/(-2√2)
={-(2√2)(1-3/(2√2)))^(2^(n-1))/(-2√2)
=-(3-2√2)^(2^(n-1))/(2√2)
となるので
c[n]=d[n]+1/(2√2)={1-(3-2√2)^(2^(n-1))}/(2√2)
b[n]=1/c[n]=(2√2)/{1-(3-2√2)^(2^(n-1))}
∴a[n]=b[n]-√2=(2√2)/{1-(3-2√2)^(2^(n-1))}-√2=(2√2)/{1-(√2-1)^(2^n)}-√2
のように解けます。

No.85765 - 2023/07/07(Fri) 20:59:50

☆ Re: 漸化式 / IT

「数列a[n]は、収束し極限は√2である」を示すだけなら、もう少し楽に出来ますね。

大学数学だと、「有界な単調（増加・減少）数列は収束する」という定理を使います。
高校数学３の範囲では、厳密性は欠きますが
　y=((x^2)+2)/(2x)とy=xのグラフを使って示すことになると思います。

No.85767 - 2023/07/08(Sat) 08:39:39

★ 高校入試 / かほり

よろしくお願い致します。

No.85746 - 2023/07/06(Thu) 16:23:07

☆ Re: 高校入試 / X

問題は(2)になっていますが、(1)の問題は
全く別の問題ですか？
もし(2)が(1)の続きの問題であれば
(1)もアップして下さい。

No.85748 - 2023/07/06(Thu) 18:32:54

☆ Re: 高校入試 / 関数電卓

図のように α, β を定めると, sinα＝1/√5, cosα＝2/√5
∠BPQ＝α＋π/2 だから，△BPQ に余弦定理を適用し (あ)BQ＝5
△ABQ に正弦定理を適用し，sinβ＝2/(5√5), cosβ＝11/(5√5)
∠ACQ＝π－(2α＋β), ∠AQC＝α＋β だから，△ACQ に正弦定理を適用し, (い)CQ＝1
AC＝3/(√5)

No.85755 - 2023/07/06(Thu) 23:13:01

☆ Re: 高校入試 / かほり

ありがとうございます。

(1)は別問題で無関係です。

高校入試の問題なので、それに合わせた解法を教えて頂けると有難いです。

よろしくお願い致します。

No.85757 - 2023/07/07(Fri) 10:21:02

☆ Re: 高校入試 / 関数電卓

> 高校入試の問題
全然見ていませんでした。失礼しました。改めて，中学生の解。

下図のように各点を定める。
△APQ∽△AQR より，AR＝4/(√5), QR＝2/(√5)
△BQR について三平方の定理より
　BQ^2＝BR^2＋QR^2＝(3√5－4/(√5))^2＋(2/(√5))^2＝25　∴ BQ＝5
△CQT において，QT＝1 だから, QS＝x とすると ST＝1－x
CS＝4/3･QS＝2ST より，4/3･x＝2(1－x)　∴ x＝3/5, ∴ CQ＝5/3･x＝1

No.85763 - 2023/07/07(Fri) 16:28:08

☆ Re: 高校入試 / らすかる

あまり変わりませんが
AP=√5, AQ=2からPQ=1
Bを通りAQと平行な直線と直線PQの交点をDとすると
△APQ∽△BPDでAP：PB=1：2なのでBD=2AQ=4、DP=2PQ=2
よってDQ=DP+PQ=3なのでBQ=5
直線PQと直線ACの交点をEとしてCからQEに垂線CHを下すと
△CQH∽△BQDからQH=(3/4)CH
△CHE∽△AQPからEH=(1/2)CH
よって1=PQ=QH+EH=(3/4+1/2)CH=(5/4)CHとなるのでCH=4/5となり
CQ=(5/4)CH=1

No.85769 - 2023/07/08(Sat) 13:38:11

☆ Re: 高校入試 / かほり

みなさま、ありがとうございました。
理解できました。
また、よろしくお願い致します。

No.85777 - 2023/07/10(Mon) 08:40:28

★ (No Subject) / r

x^2+y^2=4の微分です
関数=関数の両辺を微分するのはわかります。この場合はなぜ両辺を微分できるのでしょうか。何が起きてるのかわかりません。

No.85745 - 2023/07/06(Thu) 12:53:37

☆ Re: / ast

> 関数=関数の両辺を微分するのはわかります
というのが本当なのであれば,
　「"任意の x に対して f(x)=4 となる定数函数 f=f(x)" および x,y=y(x) に関する等式
　　　x^2+y^2=f
　の両辺を x で微分する」
ことに何らかの疑問があるとは考えにくいのですが, 何がそんなに引っかかりますか?

No.85747 - 2023/07/06(Thu) 16:27:31

☆ Re: / r

y(x)　とはどういうことでしょうか。

No.85753 - 2023/07/06(Thu) 20:28:41

☆ Re: / ast

「どういうこと」ってのがどういうことか分からないんだけど, じゃあ
　「"任意の x に対して f(x)=4 となる定数函数 f(x)" および x,y=g(x) に関する等式
　　　x^2+g(x)^2=f(x)
　の両辺を x で微分する」
に訂正しておく (とりあえず, いわゆる「記号の濫用」を避けた形にしておいたけれど, べつにそれはもとが間違ってるという意味ではない).
# もし「全然意図と違う (記号の濫用くらいわかる!)」てのならもうちょっと明確に.

No.85754 - 2023/07/06(Thu) 21:40:11

☆ 陰関数の微分 / 黄桃

別の考え方を示しておきましょうか。
以下の2つのことを考えてみてください。

その1
y=2x+1 という関数を
y-2x-1=0　や y-1=2x
と書き換えて、両辺をxで微分してはいけないのでしょうか。
いけないならなぜでしょうか。

その2
x^2+y^2=4
y^2=4-x^2
y=±√(4-x^2)
以上のうち、両辺をxで微分してはいけないものがあるのでしょうか。
あるならなぜでしょうか。

＃x^2+y^2=4 におけるyは、この方程式で定まるxの関数
＃ということが理解できてないように思います。
＃xを決めればこの方程式を解いてyが決まります。
＃この場合は2つのyが決まりますが、どちらでも構いません。
＃解けばy=±√(4-x^2) となるから、２つの関数をまとめて書いた形です。
＃このように方程式で定義される関数を陰関数と呼びます。
＃そして元の方程式は関数として等しい、という意味にもなります。

No.85756 - 2023/07/07(Fri) 07:31:39

☆ Re: / r

x^2という関数とg(x)^2という合成関数を足した合成関数ということでしょうか。

No.85760 - 2023/07/07(Fri) 13:13:11

☆ Re: / r

ではなぜ2x=4の両辺は微分できないのでしょうか。2=0になっちゃうので。2xという関数とg(x)=0という関数ととらえると両辺が関数になると思うのですが。

No.85761 - 2023/07/07(Fri) 13:30:40

☆ Re: / GandB

> ではなぜ2x=4の両辺は微分できないのでしょうか。

　何を言っているのかさっぱりわからんwwwwwwwwwwww

　　2x = 4 ……(*)
という等式について
　　左辺を f(x) = 2x (x の１次関数)
　　右辺を g(x) = 4　(x の定数関数)
と見なした場合、(*)を満たすのは、つまり
　　f(x) = g(x)
が成り立つのは x = 2 のときだけで、それ以外の x では
　　f(x) ≠ g(x)
なのだから(*)の両辺を微分することに何の意味もない。当たり前のことだが、xの全域にわたって常に
　　f'(x) ≠ g'(x)

No.85764 - 2023/07/07(Fri) 20:10:56

☆ Re: / 黄桃

結局のところ、関数として等しい、ということが理解できていないようです。

> 関数=関数
は、この文脈では関数として等しい、という意味であって、二つの関数のグラフが交わる、という意味ではありません。

> 方程式で定まるxの関数
も理解できてないようなので、もう少し説明します。これでわからなければ私の力の及ぶところではありません。

x^2+g(x)^2=4 でも x^2+y^2=4 でも書き方はなんでもいいですが、x^2+g(x)^2=4 に決めておきましょうか。
g(x)はこの方程式とは別に与えらえたxの関数ではなく、「この方程式で定まる」関数です。

x=0ならg(x)=±2, x=1 ならg(x)=±√3 等々、
xの値を決めるとyの値が１つだけ決まるわけではないので、厳密には関数ではないですが、
(x,g(x))のペアをプロットしていけば、グラフが書け、そのグラフのうち、
g(0)=2 というようにプラスの解だけ選べば g(x)=√(4-x^2)という関数で、
g(0)=-2 のようにマイナスの解を選べばg(x)=-√(4-x^2)という関数になってます。

だから、この関係をみたす (x,g(x))の組は（±どちらでも)必ず x^2+g(x)^2=4 という方程式を満たします。
別のいい方をすれば、関数として等しい、とは、定義域のどんなxを代入しても等しい、ということになります。

>2x=4
という方程式にはxだけしか変数はありません。xにどんな値を代入しても等号が成立するなら関数として等しいですが、そうではありません。
だから、これは関数として等しい、というわけではありません。
もちろん、定義域をx=2 だけに限定すれば正しいですが、それでは今度は微分が考えられません。

No.85766 - 2023/07/08(Sat) 00:08:24

☆ Re: / r

yがこの方程式で定まる関数だということはわかりました。左辺はx^2+y^2ですが、(x^2+y^2)'ということはx^2+y^2を一つの合成関数として微分しているということですよね。

No.85768 - 2023/07/08(Sat) 12:11:59

☆ Re: / 黄桃

>x^2+y^2を一つの合成関数
y^2は合成関数(y=f(x)とh(x)=x^2として、h(f(x)))ですが、x^2+y^2全体は一つの合成関数というよりは、2つの関数の和（そのうち１つは合成関数）でしょうか。

いずれにせよ、x^2+y^2 全体として１つのxの関数、として微分しているのは間違いありません。

No.85773 - 2023/07/09(Sun) 11:22:48

☆ Re: / r

ありがとうございました

No.85778 - 2023/07/10(Mon) 10:28:18

★ 組み合わせ（大学入試 / ムスカ

1-2問まで自分の答案を作りました。これらは正しいですか？

1.あなたが大学で専攻する分野に関連する11科目のうち、3科目だけをカバーする奨学金を受け取ったとします。また、11コースのうち1コース（英語）が必修科目である場合、残りの2コースは何通りの選択が可能でしょうか。どのようにしてその答えを導き出したか、説明してください。

C(11, 3) = 11! / (3! * 8!)=165, C(10, 2) = 10! / (2! * 8!)=45より
したがって、大学の専攻に関連する11科目のうち3科目を選択する方法は165通りあり、残りの10科目のうち2科目を選択する方法は、1科目（英語）を必修とすれば45通りある.

2.新築のアパートには30人のクラブ会員がいる。クラブは、7 名のクラブ会員から成るスポーツ委員会の設立を計画しています。何種類のスポーツ委員会が考えられますか。スポーツ委員会に、クラブ会員の中から選出された会計担当者を含めることが必須である場合、いくつの委員会が考えられますか。

C(30, 7) = 30! / (7!(30-7)!) = 30! / (7! * 23!) = (30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 2035800

したがって、2035800通りのスポーツ委員会が存在することになる。

C(29, 6) = 29! / (6!(29-6)!) = 29! / (6! * 23!) = (29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 84,070

したがって、スポーツ委員会に部員の中から選ばれた会計担当を入れることを義務付けると、594,914の委員会が可能である

No.85743 - 2023/07/06(Thu) 05:04:42