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★ 反順序関係について / マイク
初めて質問させていただきます。

R(実数全体集合)^2　上の実数値連続関数の全体をΩとする。f,g /in Ω　に対して

f≺g≡f(x,y)≦g(x,y) （ただし(x,y)はR＾２上の任意）

と定義するとき　≺　はΩ上の反順序関係であることを示せ。

という問題です。
反射律と反対称律と推移律を言えれば証明されることは理解しています。
反対称律と推移律については証明できましたが、反射率の証明の仕方を教えていただけないでしょうか。
No.66444 - 2020/06/06(Sat) 23:05:30
☆ Re: 反順序関係について / マイク
Rから任意のｘ、ｙをとってきて

ｆ≺ｇ　ならば　ｆ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ、ｙ）
　　　　は自明なのでｆ＝ｆ、つまり≺には反射律がある。
でいいのでしょうか。
No.66445 - 2020/06/06(Sat) 23:07:19
☆ Re: 反順序関係について / IT
半順序関係では？
＞ｆ≺ｇ　ならば　ｆ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ、ｙ）
＞　　　　は自明なのでｆ＝ｆ、つまり≺には反射律がある。
なぜ「ｆ≺ｇ　ならば」　で始まるのですか？
任意のｆ /in Ωについて
　任意の(x、y)について,　f(x,y)=f(x,y) よってf(x,y)≦f(x,y)
したがって f＜ｆ

でいいのでは？
No.66446 - 2020/06/06(Sat) 23:50:54
☆ Re: 反順序関係について / マイク
反射律の意味がよく分かっておらず、かつ２変数関数が出てきて混乱してしまいました。

Rから任意の元　ｘ、をとってきて
ｆ≺ｇ　ならば　ｆ（ｘ、ｘ）≦ｇ（ｘ、ｘ）
ということでしょうか

　　　　　　
No.66447 - 2020/06/07(Sun) 00:04:44
☆ Re: 反順序関係について / IT
まったく違うと思います.

まずは最初の質問にお答えください。
「反順序」ではなくて「半順序」ではないですか？　
「反射律」の定義はどうなっていますか？　　　　　
No.66448 - 2020/06/07(Sun) 00:10:26
☆ Re: 反順序関係について / マイク
半順序関係でした。

反射律の意味を自分の中で中途半端にしかわかっていません。
二項関係があって、その二つが等しいもの　という風に思っています
No.66449 - 2020/06/07(Sun) 00:14:07
☆ Re: 反順序関係について / IT
「反射律」の「定義」を
テキストに書いてあるとおりに書いてみてください。
その上で、私の前の回答（66446）を確認してみてください。
No.66451 - 2020/06/07(Sun) 00:19:50
☆ Re: 反順序関係について / マイク
> > 半順序関係でした。
>
> > 反射律の意味を自分の中で中途半端にしかわかっていません。
> > 二項関係があって、その二つが等しいもの　という風に思っています
> 「反射律」の「定義」を
> テキストに書いてあるとおりに書いてみてください。

X上の関係Rについて
(x,x)∈R　（∀x∈X）
であるとき反射的である

と書かれています
No.66452 - 2020/06/07(Sun) 00:23:10
☆ Re: 反順序関係について / マイク
あくまで今考えている関係が　≺　であることを注意しながら、作ってくださった解答を読めば、理解できました。

教本の反射的である関係が（　、　）ないの関係であったため少し混乱してしまいました。
No.66453 - 2020/06/07(Sun) 00:27:26
☆ Re: 反順序関係について / マイク
反対称律と推移律については以下のように証明しました。

ｆ＜ｇかつｇ＜ｆならば、
ｆ（ｘ、ｙ）≦ｇ（ｘ、ｙ）かつｇ（ｘ、ｙ）≦ｆ（ｘ、ｙ）
つまり、ｆ（ｘ、ｙ）≦ｇ（ｘ、ｙ）≦ｆ（ｘ、ｙ）
すなわちｆ＝ｇ　よって反対称的

また、ｆ＜ｇ、ｇ＜ｈならば
ｆ（ｘ、ｙ）≦ｇ（ｘ、ｙ）かつｇ（ｘ、ｙ）≦ｆ（ｘ、ｙ）
つまり、ｆ（ｘ、ｙ）≦ｇ（ｘ、ｙ）≦ｈ（ｘ、ｙ）
故にｆ（ｘ、ｙ）≦ｈ（ｘ、ｙ）
すなわち　ｆ≦ｈ　よって推移的
No.66454 - 2020/06/07(Sun) 00:33:11
★ 無限級数 / キムチ
解き方が全く分からないです
助けてください
お願いします
No.66442 - 2020/06/06(Sat) 22:55:03
☆ Re: 無限級数 / キムチ
これです
No.66443 - 2020/06/06(Sat) 22:55:36
★ (No Subject) / k
なぜ0以上だと線分になるのですか？？
No.66435 - 2020/06/06(Sat) 18:51:09
☆ Re: / ヨッシー
●＋▲＝１ は規定されているので、これを守りつつ
　(●, ▲)＝(-1, 2), (-0.9, 1.9), (-0.8, 1.8), (-0.7, 1.7), (-0.6, 1.6),
　　(-0.5, 1.5), …, (0, 1), (0.1, 0.9), (0.2, 0.8), … ,(1, 0), (1.1, -0.1),
　　(1.2, -0.2), (1.3, -0.3), …
などのとき、点Ｐがどの位置に来るかを調べればわかります。

規則性がわかれば、別に 0.1 刻みでなくてもいいです。
No.66438 - 2020/06/06(Sat) 19:15:48
★ (No Subject) / まる
mを無限に飛ばすとなぜ分子がこうなるのですか？
(m+1)(1/3)^m のところが0になれば分子が1/3になるのでしょうが、そこがわかりません。
No.66431 - 2020/06/06(Sat) 17:50:05
☆ Re: / X
こちらから質問しますが、ご質問の問題は小問のうちの
(2)以降の問題であって、この小問以前に
例えば
lim[m→∞]m(1/3)^m=0
を証明するといった小問がついていませんか？

もしそういった小問がついているのであれば
そちらの模範解答を参照してみて下さい。
略解でない限り
lim[m→∞](m+1)(1/3)^m=0
を証明なしで使うことはまずありませんので。

そうでなければその旨をアップして下さい。
No.66433 - 2020/06/06(Sat) 18:13:35
☆ Re: / まる
小問の続きではありません。
これが一つの問題となっていて、問題文に「lim[m→∞](m+1)(1/3)^m=0を証明無しに使ってもよい」というような記述もありません。
No.66434 - 2020/06/06(Sat) 18:24:31
☆ Re: / IT
高校程度（大学入試含む）の問題集ですか？　大学程度ですか？
高校程度であれば、ｍ/３^m →0（ｍ→∞)を証明なしに使えないかも知れませんね。
（数研出版の高等学校数学３では、章末問題にn/2^n →0（n→∞)が小問誘導つきで出てます。）
第４章　章末問題Ａ
ｎを自然数とするとき、次の問いに答えよ。
（１）不等式　2^n≧1+n+n(n-1)/2 が成り立つことを示せ。
（２）（１）の不等式を用いて、極限lim(n→∞)n/2^nを求めよ。
（略解）（１）2^n=(1+1)^n≧1+C(n,1)+C(n,2)
No.66437 - 2020/06/06(Sat) 19:12:58
☆ Re: / X
>>まるさんへ
既にITさんがはさみうちの原理で使う不等式を
例題として挙げていますが、以下のような
別解もあります。
(煩雑ですが。)

f(x)=e^x-(x+1)
と置くと
f'(x)=e^x-1
∴0≦xにおいて
f'(x)≧0
又
f(0)=0
以上から0≦xにおいて
f(x)≧0
つまり
1+x≦e^x

従って自然数mに対し
0＜(1+m)(1/3)^m≦(e^m)(1/3)^m=(e/3)^m
ここで0＜e＜3ゆえ0＜e/3＜1
よってはさみうちの原理により
lim[m→∞](m+1)(1/3)^m=0
No.66440 - 2020/06/06(Sat) 21:21:16
★ (No Subject) / 真琴
この問題の添削をお願いします！
No.66429 - 2020/06/06(Sat) 17:39:32
☆ Re: / ヨッシー
いいと思います。
No.66436 - 2020/06/06(Sat) 19:06:39
☆ Re: / 真琴
ありがとうございました！！
No.66456 - 2020/06/07(Sun) 11:29:38
★ 一時不等式 / 学生s
解き方が全くわかりません
No.66426 - 2020/06/06(Sat) 17:18:26
☆ Re: 一時不等式 / IT
(√3)x-1＜(√5)(x-√3)

整理して移項すると√15-1＜(√5-√3)x
(√5-√3)＞0なので　x＞(√15-1)/(√5-√3)
√15-1=(√5+2√3)(√5-√3) なので
x＞√5+2√3
No.66430 - 2020/06/06(Sat) 17:43:49
☆ Re: 一時不等式 / 学生s
ありがとうございます　わかりました
No.66432 - 2020/06/06(Sat) 18:09:06
★ (No Subject) / まこ
(2)の問題なのですが、どちらの解答も合っていると思うのですが、とちらがよりベターなのでしょうか？
No.66421 - 2020/06/06(Sat) 16:42:27
☆ Re: / IT
どちらでも良い。（どちらがより良いということはないと思います）

しいて言えば、　後の解の方が、書き間違える確率は高いかも。
No.66423 - 2020/06/06(Sat) 17:06:02
★ (No Subject) / とし
線を引いたところなのですが、hをマイナスから0へ近づけるのとプラスから近づけるのとで絶対ちの中身が変わっているのですか？
No.66415 - 2020/06/06(Sat) 13:02:12
☆ Re: / ヨッシー
hをマイナスから0へ近づけるのとプラスから近づけるのとで
　f(x)＝|ｘ|(ｘ＋２)
の絶対値を外した式が違うからです。
No.66416 - 2020/06/06(Sat) 13:10:05
☆ Re: / まこ
ｈを−から近づけるとなぜ−になるのですか？？
No.66420 - 2020/06/06(Sat) 16:08:12
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＞０ のとき　f(x)＝x(x+2)　　h→＋0 のときはこちら
ｘ＜０ のとき　f(x)＝−x(x+2)　　h→−0 のときはこちら
だからです。
No.66422 - 2020/06/06(Sat) 17:05:06
☆ Re: / まこ
なるほど！ありがとうございます！
No.66424 - 2020/06/06(Sat) 17:11:35
★ 対数方程式 / 高校生
右が正答なのですが、なぜ左のように解いてはダメなのですか？
No.66414 - 2020/06/06(Sat) 12:36:49
☆ Re: 対数方程式 / ヨッシー
log[2]ｘ と書いた時点でｘ＞０ が真数条件になるためです。

２log[2]|ｘ|＝６
　log[2]|ｘ|＝３
　|ｘ|＝８
　ｘ＝±８
とすればＯＫです。
No.66417 - 2020/06/06(Sat) 13:15:29
★ (No Subject) / まこ
この赤で囲った問題答えみてもなにをしているのか分からなかったのですがなにをしているのですか？
No.66411 - 2020/06/06(Sat) 12:02:34
☆ Re: / まこ
すみませんわかりました
No.66412 - 2020/06/06(Sat) 12:03:35
★ (No Subject) / s
問anについて答えなさい。
⑴ an=aのn乗-1である。
a=１，２，３，４，5のとき，
それぞれのanの値を2進数で表しなさい。

⑵ ⑴の結果からanはどのような数と言えるか答えなさい。

xのn乗-1=(x-1)(xのn-1乗＋xのn-2乗＋·······＋x＋1)となることは分かっていますが、(1)で２進数で答えさせる意味、そして(2）での回答の仕方がわかりません。よろしくお願いします。
No.66408 - 2020/06/06(Sat) 11:27:30
★ (No Subject) / まこ
赤線のところなのですが、なぜ絶対値をつけずにルートを外せているのですか？
No.66407 - 2020/06/06(Sat) 11:26:54
☆ Re: / X
単に絶対値を外す計算過程を書くのを省略しているだけです。
絶対値をつけずにルートを外せているわけではありません。
No.66409 - 2020/06/06(Sat) 11:31:19
☆ Re: / まこ
そういうことでしたか！ありがとうございます！
No.66410 - 2020/06/06(Sat) 12:01:21
★ (No Subject) / と
x^4 + 2*y^4 + z^4 = 4 の時,x*y*zの最大値を求めよ、という問題の方針を教えてください。
No.66405 - 2020/06/06(Sat) 09:24:25
☆ Re: / らすかる
4=x^4+2y^4+z^4≧3[3]√(x^4・2y^4・z^4)=3・2^(1/3)・[3]√{(xyz)^4}から
xyzの最大値はx^4=2y^4=z^4=4/3かつxyz＞0のときの
{4/(3・2^(1/3))}^(3/4)=[4]√(32/27)=(2/3)[4]√6
No.66406 - 2020/06/06(Sat) 10:33:04
★ 数列の収束 / へいけ
画像の問題で、α<0 のときの証明方法を教えてください。
No.66389 - 2020/06/06(Sat) 01:51:03
☆ Re: 数列の収束 / へいけ
解答はこれです。
•εは任意の正数ではなければならいのになぜ、ε=-α/2なのですか。
•またε=-α/2のときに、なぜ「α＋α/2<Xn<α-α/<0」が成立するのかわかりません。
No.66390 - 2020/06/06(Sat) 01:58:01
☆ Re: 数列の収束 / IT
α<0 のとき
　ε=-α/2 とするとεは正です。

＞•またε=-α/2のときに、なぜ「α＋α/2<Xn<α-α/2<0」が成立するのかわかりません。

どの不等式が分りませんか？　
　前の２つなら　Xnがαに収束することをε−Ｎ法で表したことによるものですし、
　最後なら　α-α/2＝α/2<0 です｡
No.66392 - 2020/06/06(Sat) 05:41:11
★ ケプラーの第1法則の証明について / にゃにゃし
これはケプラーの第1法則の証明なのですが2枚目4行目にてr=1/uと置いていますが不自然で納得いきません。恐らく数学的な計算のための置換であり意味は無いのでしょうが腑に落ちずrのままで試みてみました。しかし途中で詰まってしまい出来ませんでした。
置換せずにとくことは不可能なのでしょうか？置換すれば楽なのは分かりますが1度苦しい思いをしてrのまま導出し置換することのありがたみを知りたいです。
No.66386 - 2020/06/05(Fri) 23:58:00
☆ Re: ケプラーの第1法則の証明について / にゃにゃし
写真二枚目です
No.66387 - 2020/06/05(Fri) 23:58:49
☆ Re: ケプラーの第1法則の証明について / GandB
> r=1/uと置いていますが不自然で納得いきません。
　置換しないと非線形微分方程式を解くことになり、解析的に解くのは難しい。
　r のまま解いたの見たことないから、たぶんできないのでは（笑）。

　苦しい思いをして r のまま解くことに挑戦するくらいなら、ルンゲ-レンツベクトルを使ったベクトル解析的手法をマスターしたほうがいいと思う。
No.66400 - 2020/06/06(Sat) 08:09:57
☆ Re: ケプラーの第1法則の証明について / にゃにゃし
> > r=1/uと置いていますが不自然で納得いきません。
> 　置換しないと非線形微分方程式を解くことになり、解析的に解くのは難しい。
> 　r のまま解いたの見たことないから、たぶんできないのでは（笑）。
>
> 　苦しい思いをして r のまま解くことに挑戦するくらいなら、ルンゲ-レンツベクトルを使ったベクトル解析的手法をマスターしたほうがいいと思う。

返信ありがとうございます。
やはりそうなのですね。一種の便利なテクニックとして此は認めていきたいと思います。
またルンゲレンツベクトルの方もチャレンジしてみたいと思います。
ありがとうございました。
No.66419 - 2020/06/06(Sat) 14:32:15
★ 中学　図形 / ピープル
中学生です。解法を教えてください。
No.66385 - 2020/06/05(Fri) 23:28:03
☆ Re: 中学　図形 / ヨッシー

(1)
∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ　より、角の二等分線の定理より
　ＡＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＢＣ＝４：５
よって、
　ＣＤ＝6×5/9＝10/3(cm)
(2)
ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＦ
ＯからＢＣ、ＣＡ、ＡＢに下ろした垂線の足をＧ、Ｈ、Ｉとします。
△ＡＢＣの面積は
　(1/2)ＢＣ×ＡＦ＝(5/2)×ＡＦ
であると同時に
　(1/2)(ＢＣ×ＯＧ＋ＣＡ×ＯＨ＋ＡＢ×ＯＩ)
　＝(1/2)(ＢＣ＋ＣＡ＋ＡＢ)ＯＧ
　＝(15/2)ＯＧ
であるので、
　ＡＦ：ＯＧ＝３：１
よって、
　ＡＥ：ＥＣ＝(ＡＦ−ＯＧ)：ＯＧ＝２：１
これより
　ＥＣ＝２cm、ＤＥ＝4/3
　ＯＥ＝ＢＣ×(ＤＥ/ＤＣ)＝５×(4/3)÷(10/3)＝２(cm)
(3)
　ＤＥ：ＥＣ＝２：３
より
　△ＤＯＥ＝△ＤＢＣ×(4/25)
また、
　△ＤＢＣ＝△ＡＢＣ×(5/9)
よって、
　△ＤＯＥ＝△ＡＢＣ×(4/45)
△ＤＯＥの面積は△ＡＢＣの面積の　4/45倍
No.66393 - 2020/06/06(Sat) 06:37:32
☆ Re: 中学　図形 / ピープル
図まで分かりやすくありがとうございます！
No.66418 - 2020/06/06(Sat) 14:31:27
★ (No Subject) / えりか
nが2以上の整数のとき、√(n^2+3)は無理数であることの証明なのですが、背理法でのやり方を詳しく教えてください。
No.66382 - 2020/06/05(Fri) 23:04:58
☆ Re: / IT
教科書に√２などが無理数であることの証明が載ってないですか？　載っていれば、それを真似すればいいと思います。
No.66395 - 2020/06/06(Sat) 07:29:16
☆ Re: / えりか
この続きがわかりません。どう導けばよいでしょうか？
No.66428 - 2020/06/06(Sat) 17:38:24
☆ Re: / IT
n^2+3＝(b^2)/(a^2)
aとbは互いに素なのでa^2とb^2も互いに素
n^2+3は整数なのでa^2=1
∴ n^2+3=b^2,b≧n+1

(b+n)(b-n)＝3
これを解くとどうなりますか？

b≧n+1　∴ b^2≧(n+1)^2=n^2+2n+1
・・・
としても出来ます。
こっちが汎用性が高いかも知れません。
No.66439 - 2020/06/06(Sat) 19:42:05
★ (No Subject) / まこ
x>0,y>0,x^2+2y^2=4のとき、xyの最大値を求めよ、という問題の方針を教えてください。
No.66376 - 2020/06/05(Fri) 22:12:01
☆ Re: / IT
x=2cosθ,y=√2sinθ　0＜θ＜π/2 とおくとどうですか？
No.66377 - 2020/06/05(Fri) 22:25:11
☆ Re: / ヨッシー
別のアプローチ

図のように、x^2＋2y^2＝4 の楕円に、双曲線 xy=k が
接するギリギリのところで、ｋは最大となります。

両者を連立して、重解を持つところを探します。
No.66378 - 2020/06/05(Fri) 22:32:56
☆ Re: / IT
相加平均≧相乗平均　でもできます。

s=xy とおき　y=s/x を　x^2+2y^2=4に代入してもいけます。
No.66379 - 2020/06/05(Fri) 22:33:23
☆ Re: / まこ
多くのやり方があるのですね。ありがとうございます！今やっている単元が相加相乗のところなので、そこのやり方をもう少し詳しく教えていただけますか？
No.66380 - 2020/06/05(Fri) 22:38:14
☆ Re: / IT
√((x^2)(2y^2))≦(x^2+2y^2)/2 ,等号はx^2=2y^2のとき
No.66381 - 2020/06/05(Fri) 22:39:12
☆ Re: / まこ
最大値は4√2で合ってますか？
No.66383 - 2020/06/05(Fri) 23:08:07
☆ Re: / まこ
また、等号成立は、x=√2yですか？
No.66384 - 2020/06/05(Fri) 23:11:15
☆ Re: / ヨッシー
>等号成立は、x=√2yですか？
これは、上の
>等号はx^2=2y^2のとき
を変形しただけなので、ここでは、具体的に
　ｘ＝・・・、ｙ＝・・・のとき
と書くべきでしょうね。そうすると、
>最大値は4√2で合ってますか？
の答えも見えてきます。
No.66394 - 2020/06/06(Sat) 06:43:05
☆ Re: / まこ
x,yはいくらでもあるように思えてしまうのですが、一つだけになりますか？
No.66397 - 2020/06/06(Sat) 07:33:37
☆ Re: / らすかる
その「いくらでもあるように思え」るx,yの組は、すべて「x^2+2y^2=4」を満たしますか？
No.66398 - 2020/06/06(Sat) 07:39:26
☆ Re: / まこ
そうでした。そうすると、x=√2,y=1となりますか？また、相加相乗で計算すると、4√2とでますが、これは間違いということでしょうか？
No.66401 - 2020/06/06(Sat) 08:18:20
☆ Re: / IT
> そうでした。そうすると、x=√2,y=1となりますか？
ＯＫです。

>また、相加相乗で計算すると、4√2とでますが、これは間違いということでしょうか？
間違いです。どう計算してxy=4√2になりましたか？
No.66404 - 2020/06/06(Sat) 08:41:45
★ (No Subject) / 高校生
添削お願いします🤲
No.66375 - 2020/06/05(Fri) 21:43:04
☆ Re: / まこ
添削はしていただけないでしょうか、、。見にくいようでしたらすみません。
No.66396 - 2020/06/06(Sat) 07:30:21
☆ Re: / ヨッシー
(2) の比が逆です。
よって、それを使った(3)も、たぶん合っていません。
No.66399 - 2020/06/06(Sat) 07:51:03
☆ Re: / まこ
見落としていました！ありがとうございます。
No.66402 - 2020/06/06(Sat) 08:18:47
★ (No Subject) / 高校生
この問題の添削をお願いします！
No.66373 - 2020/06/05(Fri) 21:21:17
☆ Re: / 高校生
こちらの添削もしていただけるとありがたいです。
No.66403 - 2020/06/06(Sat) 08:19:19
☆ Re: / ヨッシー
いいと思います。
No.66413 - 2020/06/06(Sat) 12:29:53
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