x^3+y^3=2,0≦x,0≦yのとき、x+yの取りうる値の範囲を求めよ。
という問題です。一応答えを求めたのですが、論証の部分が不安なので、正しい解答を送ってほしいです。ちなみに自分が出した答えは、2^(1/3)≦x+y≦2です。
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No.66194 - 2020/06/02(Tue) 11:50:45
| ☆ Re: 範囲 / らすかる | | | 解法1
相加相乗平均から2=x^3+y^3≧2(xy)^(3/2)なのでxy≦1(等号はx^3=y^3すなわちx=y=1のとき)
xy≧0なので0≦xy≦1、これよりk(k^2-3)≦k(k^2-3xy)≦k^3
k(k^2-3xy)=(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3=2なので
k(k^2-3)≦2≦k^3
k(k^2-3)≦2から(k-2)(k+1)^2≦0なのでk≦2
2≦k^3から2^(1/3)≦k
従って2^(1/3)≦k≦2（左側の等号はxy=0のとき、右側の等号はx=y=1のとき）
解法2
x^3=1+t,y^3=1-t（-1≦t≦1）とおくと
x+y=(1+t)^(1/3)+(1-t)^(1/3)
f(t)=(1+t)^(1/3)+(1-t)^(1/3)とおくと
f'(t)={(1-t)^(2/3)-(1+t)^(2/3)}/{3{(1+t)(1-t)}^(2/3)}
t＜0のとき(1-t)^(2/3)＞(1+t)^(2/3)すなわちf'(t)＞0
t＞0のとき(1-t)^(2/3)＜(1+t)^(2/3)すなわちf'(t)＜0なので
f(t)はt=0のとき最大値2、t=±1のとき最小値2^(1/3)をとる。
よってx+yのとる値の範囲は2^(1/3)≦x+y≦2
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No.66195 - 2020/06/02(Tue) 12:17:28 |
| ☆ Re: 範囲 / X | | | では更に別解を。
x+y=k (A)
と置きます。
さて
x^3+y^3=2
から
(x+y)^3-3xy(x+y)=2
これに(A)を代入すると
k^3-3xyk=2
∴xy=(1/3)k^2-2/(3k) (B)
(A)(B)から解と係数の関係によりx,yは
tの二次方程式
t^2-kt+(1/3)k^2-2/(3k)=0 (C)
よって求める条件は(C)の解が
全て0以上であるための条件
となります。
そこで
f(t)=t^2-kt+(1/3)k^2-2/(3k) (D)
と置き、横軸にt,縦軸にf(t)を取った
(D)のグラフを考えると(D)のグラフは
t=k/2
を軸とする下に凸の放物線ですので
求める条件は
k/2≧0 (E)
f(0)=(1/3)k^2-2/(3k)≧0 (F)
また(C)の解の判別式をDとすると
D=k^2-4{(1/3)k^2-2/(3k)}≧0 (G)
(E)(F)(G)をkについての連立不等式
として解きます。
(E)より
0≦k (E)'
∴(F)より
k^3-2≧0
となるので
2^(1/3)≦k (F)'
更に(G)から
3k^3-4(k^3-2)≧0
k^3-8≦0
∴k≦2 (G)'
(E)'(F)'(G)'より求めるx+yの値の範囲は
2^(1/3)≦x+y≦2
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No.66196 - 2020/06/02(Tue) 12:18:10 |
| ☆ Re: 範囲 / IT | | | （別解）
x^3+y^3、x+yはx,yについて対称なので、x≧yで考えてもよい。
このとき、x^3+y^3=2より 1≦x≦2^(1/3)
s=x-y,t=x+yとおくと、0≦s≦2^(1/3)（のすべての値をとり得る）…?@、t＞0
t+s=2x,t-s=2yなので,
(t+s)^3+(t-s)^3=16
∴2t^3+6ts^2=16
∴s^2=(8-t^3)/3t＝f(t)とおくとf(t)は連続で狭義単調減少。
?@より0≦f(t)＝s^2≦2^(2/3)で
x=1のときy=1,t=2で、s=0,s^2=0.
x=2^(1/3)のときy=0,t=2^(1/3)で、s=2^(1/3),s^2=2^(2/3)
なのでtの取りうる値の範囲は 2^(1/3)≦t≦2
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No.66204 - 2020/06/02(Tue) 20:55:41 |
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