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★ (No Subject) / 鬼滅の奥歯
なぜ１／ｘの真数条件は確認しなくていいのですか？
No.66064 - 2020/05/30(Sat) 20:49:01
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＞０　⇔　1/x＞０
なので、ｘ＞０ だけで十分です。
No.66065 - 2020/05/30(Sat) 20:51:14
☆ Re: / 鬼滅の奥歯
なるほど！ありがとうございます！
No.66068 - 2020/05/30(Sat) 21:16:55
★ (No Subject) / っｓ
赤線の部分はなにが起きたのか詳しく教えてほしいです。
No.66061 - 2020/05/30(Sat) 19:35:35
☆ Re: / ast
指数法則を何度も使って, 底 2, 3 それぞれに関する因数をあつめ, 指数部分をまとめます:

√(2^4・3^3)/(2^2・3^3)
=(2^4・3^3)^(1/2) ・ (2^2・3^3)^(-1)
=2^(4/2)・3^(3/2) ・ 2^(-2)・3^(-3)
=2^(4/2)・2^(-2) ・ 3^(3/2)・3^(-3)
=　　　　1　　　・3^(3/2-3)
= 3^(-3/2)
No.66062 - 2020/05/30(Sat) 19:52:16
☆ Re: / はなげはなげぇ
分かりました！ありがとうございます！！
No.66063 - 2020/05/30(Sat) 20:17:17
★ (No Subject) / Yuika
6x^2-6x-12,2x^3-2xの最小公倍数を求めよという問題なのですが、
6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)
2x^3-2x=2x(x+1)(x-1)
となり、最小公倍数は「どちらかの式にある因数をもれなく拾う」と書いてあったので12x(x+1)(x-1)(x-2)となると思ったのですが、答えはx(x+1)(x-1)(x-2)となっています。どのように導いたのでしょうか…？
解説お願い致します。
No.66050 - 2020/05/30(Sat) 18:29:40
☆ Re: / ast
多項式の整除関係では実は定数倍はどうでもいいので, どちらもあっていて, まちがいではないです.
# が, 係数を付けるにしたって 2 と 6 の整数としての最小公倍数は 6 なので, 係数は 6 のほうがいいような気がしますね.
# 参考: 6x^2-6x-12と2x^3-2xの最小公倍数 (Wolfram alpha)

# 「どうでもいい」は厳密に言うなら正しいとは言えない主張なのですが,
# 無視する根拠が多項式の割り算のしかた(定義)によるものなので,
# ふつうは実数係数多項式と思って割り算するので, 0 を除くすべての定数倍を無視します.
# もし, 整数係数多項式の中だけで議論しないといけないとすれば, 違ってくるわけですね.
## そうは言っても, 高校までの数学では係数の範囲を明確に指定することもまずないでしょうし,
## 出題者の意図と違っていてもあまり気にしないことです.
No.66053 - 2020/05/30(Sat) 18:48:57
☆ Re: / IT
私のテキストでは、「「数係数」は無視しても良い。」とあります。

数係数を無視すれば、x(x+1)(x-1)(x-2)　で、
考慮すれば,6x(x+1)(x-1)(x-2)　ですね。
No.66054 - 2020/05/30(Sat) 18:49:44
☆ Re: / IT
手持ちの大学向けのテキストでは、整式の最大公約数、最小公倍数を考えるときは「モニック」（最高次の係数が１であるもの）であるものを考える。　としてあります。
No.66056 - 2020/05/30(Sat) 18:56:37
☆ Re: / Yuika
なるほど。皆さんありがとうございました。納得しました。
No.66089 - 2020/05/31(Sun) 08:50:26
★ 集合論（大学数学） / ぴこまる
X, Y を集合とし, f : X → Y , gk : Y → X とする. g1 ◦ f = idX かつ f ◦ g2 = idY が成立すれば, f は全単射であり
g1 = g2 = f^{−1} となる事を示せ.

という問題についてです。ｆが全単射であることは証明できましたが、g1,g2=fの逆写像という証明ができません、、。
No.66045 - 2020/05/30(Sat) 18:03:14
☆ Re: 集合論（大学数学） / IT
例えば f ◦ g2 = idY　は、言い換えるとどう表せますか？

そして、g2=「fの逆写像」を示すために、何を示せば良いかを考えます。
No.66048 - 2020/05/30(Sat) 18:19:15
☆ Re: 集合論（大学数学） / ぴこまる
> まず、何を示せば良いかを考えます。
任意のYの元ｙに対して、ある元ｘがXに存在してｙ＝ｆ（ｘ）というような形にできたら証明できるなと指針を立てながら考えてます。
No.66052 - 2020/05/30(Sat) 18:44:28
☆ Re: 集合論（大学数学） / ast
f が全単射と分かった時点で f^(-1) の存在を言ったことになるので, 仮定の式に f^(-1) を右または左から掛けるだけでは?
No.66055 - 2020/05/30(Sat) 18:51:24
☆ Re: 集合論（大学数学） / IT
astさんのヒントでできると思います。
なお、写像の合成について結合律が成り立ちます。
No.66059 - 2020/05/30(Sat) 19:09:30
☆ Re: 集合論（大学数学） / ぴこまる
astさん、ITさんありがとうございました。証明できました。
No.66060 - 2020/05/30(Sat) 19:15:40
★ (No Subject) / 高３理系
(１)〜(３)までは分かるのですが(４)がどういうテクニックでこうなるのか分かりません教えて頂きたいです。
No.66040 - 2020/05/30(Sat) 17:09:07
☆ Re: / らすかる
a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
という公式を使っています。
No.66043 - 2020/05/30(Sat) 17:28:05
☆ Re: / 高３理系
やっぱり公式があったんですね！ありがとうございます
No.66044 - 2020/05/30(Sat) 17:40:42
☆ Re: / ast
> やっぱり公式があった
因数分解の公式として

　x^n-y^n = (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+…+ xy^(n-2)+y^(n-1)),
とくに
　1-t^n = (1-t)(1+t+t^2+…+t^(n-1))

を覚えてもいいと思いますが, これ要は等比数列の和の公式 (右辺の第二因子がちょうど等比数列) なので, たぶん既知なんですよね (気づきさえすれば, ですが).
No.66049 - 2020/05/30(Sat) 18:26:39
☆ Re: / IT
astさんのおっしゃるとおり、等比数列の和の公式の応用あるいはアナロジーとして発想するのが良いと思います。

なお、
x^n-y^nはx=y のとき０になるので(x-y) を因数に持つことが分ります。
では x^n+y^n はどうでしょう｡
No.66058 - 2020/05/30(Sat) 19:06:06
☆ Re: / トーカ
もう解決されたので別にかまわないのですが
(4)の解法は(1)〜(3)の流れから
　3^5x-3^-5x
　=(3^4x+3^-4x)(3^x-3^-x)+3^3x-3^-3x
　=(3^4x+3^-4x)(3^x-3^-x)+(3^x-3^-x)(3^2x+1+3^-2x)
　=194*(±2√3)+(±2√3)*(14+1)
　が自然かと思われるが、もしかすると出題業者と解答業者　が異なる？
　個人的にx^n-y^n = (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+…+ xy^(n-2)+y^(n-1))　に気づかない。気づかないのが　悪いと言われればそれまでですけど・・・・
No.66075 - 2020/05/31(Sun) 01:14:27
☆ Re: / ast
a+1/a と a-1/a の両方分かっている状態で a^n+1/a^n や a^n-1/a^n をいくつかの n に対して求めさせる問題としては, n=2,3 を調べてそれらを掛けて n=5 の計算に利用 ((a^2+1/a^2)(a^3-1/a^3)=(a^5-1/a^5)+(a-1/a) とか) みたいな組み合せを工夫するのも定番だと思います.

もとの出題だと, n=3 には一切触れなかったため, (3) までの流れを n=2^k の場合は n=2 のやり方に帰着できると理解する余地も出てくるので, そのように見た場合 (4) はやや場違い感あります.

とはいえ, a^n-1/a^n の因数分解の式からは
　 n が奇数なら n 以下の偶数乗の場合が全部わかってれば計算できる
　 n が偶数なら n 以下の奇数乗の場合が全部わかってれば計算できる
みたいなことも読み取れる (実際もとの出題でも n=2,4 の直後に n=5 は (n=3 を飛ばしても) 求まります).
x^n-y^n の因数分解を持ち出すのは確かに一般化しすぎの感はあるでしょうけれど, 式の意味を上のように整理しておくと類題の検討もしやすく, 解くにあたっての場当たり感なども感じなくて済むと思います.
No.66110 - 2020/05/31(Sun) 16:20:49
★ 拡散ロジスティック方程式 / あ
関数 m(x) は区間[0.1] 上で連続かつ微分可能であって, m{x) >0(0≦x≦1)をみたすとする. また, dは正
の定数とする。このとき、拡散ロジスティック方程式の境界値問題
du"(x) + u(x)(m(x) – u(x)) = (0≦x≦1)
u'(0) =u'(1) = 0
について次の問に答えよ。 ただし, dとm(x) に応じて, 上の境界値問題が一意的な正値解 u(x) >0 (0≦x≦1)
をもつことは認めてよい。
(1) u(x) と m(x) のグラフは, 区間(0,1) 上で共有点をもつことを証明せよ。
(2) とくにm(x) が区間 (0,1) 上で単調減少ならば, u(x)も区間 (0,1)上で単調減少なことを証明せよ。

分かる方教えていただけると嬉しいです。
No.66038 - 2020/05/30(Sat) 16:56:09
★ (No Subject) / はなげはなげぇ
三角関数の極限を求める問題ってlimの下の
x→0の0は角度のことを表しているのですか？？
No.66027 - 2020/05/30(Sat) 14:45:36
☆ Re: / IT
具体的に書かれないと、答えようがないと思います。
No.66029 - 2020/05/30(Sat) 15:29:29
☆ Re: / ast
もともと角の開き具合を表す「量」とその量の大きさをあらわす「数」(「数値」) とを特に区別せずに扱ってどちらも「角度」と呼んでいる（下手すると角という幾何学的対象すら角度と区別せずにあつかって全部「角」で済ませることもある）という状況下で厳密な説明をしても余計こんがらかるだけなので, 深く詮索しない方がよいとは思いますが, そこの 0 はたんなる数としての 0 です (ついでにその x も).

-- 以下駄文 (ちゃんとした資料に基づいて説明すべきだが, いま資料さえないので完全な与太) --
# いい加減な言い方をすれば, 量のほうには単位があり, 量の単位を無視したただの数値とは別に扱う.
# 同じ「角度」を表す量で単位が違うというのは 1 という数値で表される基準量が違うということなので, 逆に言えば同じ数値でも単位の基準量の「比」(「比率」) が掛かる分だけ異なる (π[rad]=180[°] みたいなこと).
# それで弧度法を用いる場合, radian は長さ(量)を長さ(量)で割って定義する (だから単位はキャンセルされる) ので, radian を単位とする量の大きさを表す数は, 長さの単位を無視した長さ(数)を長さ(数)で割った比と一致するので, ただの数とみなしていいとかそういう話になっていきます.
# radian で測った角度(量)を長さ(数)の比と見なすと都合がよいのは, それが単位円上を動く動点の弧長変数として振る舞うため, 角度(数)の値そのままで長さ(数)としても意味のある数値を示すからです (別の単位だったら比率を補正しないといけない).
# つまり, 例えば長さと角度を足したり掛けたりしてるように見えても, 長さ同士の計算としてちゃんと意味がある式になってる.
## いやまあ長さ同士を掛けるって何だよ, とか長さ掛けると面積なの? とか, 実は似たようなことをスルーしまくってるのに, 弧度法のあたりになると急に気になる人が出始めるみたいなのは割と不思議で意味のある現象なのかも.
No.66051 - 2020/05/30(Sat) 18:32:44
★ 解析学 / あ
1、2ともに分かりません。
No.66026 - 2020/05/30(Sat) 14:41:37
☆ Re: 解析学 / IT
「標準形」とは、どう定義されていますか？
No.66030 - 2020/05/30(Sat) 15:30:23
☆ Re: 解析学 / あ
これです
No.66031 - 2020/05/30(Sat) 15:55:00
☆ Re: 解析学 / IT
行列の「固有値」の定義とその求め方（の例）を習っているのでは？
No.66032 - 2020/05/30(Sat) 15:57:59
☆ Re: 解析学 / あ
解決しました！
No.66042 - 2020/05/30(Sat) 17:18:59
★ (No Subject) / 鬼滅の奥歯
これってなんで1.82があるのに有効数字４桁で答えがでているんですか？
No.66017 - 2020/05/30(Sat) 11:49:21
☆ Re: / X
問題文をアップして下さい。
この解説だけでは判断できません。
No.66046 - 2020/05/30(Sat) 18:05:24
★ 確率統計の問題がわかりません / 大学生
確率変数Xの分布関数F(x)がある定数cに対して
F(x)={ce^x x<0 2c-ce^-x x≧0
で与えられている時 次の問いに答えよ
(1) cの値を求めよ
(2) 確率 P(-2<X≦3)を分布関数を用いた式で表、値を求めよ
(3)確率密度関数 f(x)を求めよ
(4)期待値E(X)を求めよ
この問題です。解き方だけでもいいので教えて貰えるとたすかります
No.66016 - 2020/05/30(Sat) 11:42:37
☆ Re: 確率統計の問題がわかりません / ヨッシー
元の記事に回答しました。
No.66021 - 2020/05/30(Sat) 12:40:39
☆ Re: 確率統計の問題がわかりません / 大学生
すみません 大変助かりました！ありがとうございます
No.66028 - 2020/05/30(Sat) 15:14:24
★ 中学受験 / あい
箱の中に、赤玉が白玉より30こ多く入っている。
この箱の中から、赤玉6個と白玉4個を同時に出す
赤玉１個白玉３個残った。
はじめに入っていた赤玉の数は？
No.66012 - 2020/05/30(Sat) 10:45:00
☆ Re: 中学受験 / ヨッシー
> 箱の中に、赤玉が白玉より30こ多く入っている。
> この箱の中から、赤玉6個と白玉4個を同時に出す
ことを繰り返し行うと
> 赤玉１個白玉３個が残った。
> はじめに入っていた赤玉の数は？
ということですかね？

赤１個、白３個（赤が２個少ない）の状態から、
赤６個白４個を入れていくと、１回につき赤が２個ずつ多くなっていく。
赤が２個少ないのを、赤が30個多い状態にするには、
　32÷2＝16（回）
行えばよい。
最初の赤玉の数は
　１＋6×16＝97（個）
No.66013 - 2020/05/30(Sat) 10:46:36
☆ Re: 中学受験 / あい
ありがとうございました！
とても分かり易かったです
No.66018 - 2020/05/30(Sat) 11:55:22
★ (No Subject) / 開成高校４年
赤で囲った部分の範囲だと少数第１０位にはじめて０でない数字が現れるという感覚がイマイチ理解できませんわかりやすく教えてほしいです
No.66011 - 2020/05/30(Sat) 10:37:53
☆ Re: / ヨッシー
10^0＝1　これより少しでも小さいと　0.99… と小数第１位に初めて現れる
10^(-1)＝0.1　これより少しでも小さいと　0.099…　と小数第２位に初めて現れる。
10^(-2)＝0.01　これより少しでも小さいと　0.099…　と小数第３位に初めて現れる。
ですので、
　10^(-n) は小数第ｎ位に１がある数で、これより少しでも小さいと、小数第n-1位に初めて0以外の数が現れる
No.66014 - 2020/05/30(Sat) 10:57:37
☆ Re: / 開成高校４年
納得できました!ありがとうございます!
No.66015 - 2020/05/30(Sat) 11:39:13
★ 経済の問題 / おじさん
おいに頼まれて、過去の知識でやってやろうとおもったのですが、歯がたちませんでした。なにとぞ、ご協力ください。
おいによると、これができないと、とても困るようです。
申し訳ありませんが、よろしくお願いします。
No.66010 - 2020/05/30(Sat) 09:44:03
☆ Re: 経済の問題 / トーカ
写真の文字が小さく、一部潰れており読めないです。
各問ごとに投稿されたほうがよいのでは？
あと問題を丸投げですと、回答が付きにくいです。
No.66022 - 2020/05/30(Sat) 13:48:05
☆ Re: 経済の問題 / おじさん
ご注意ありがとうございます。頼まれたもののまったくわからず、登校してしまいました。お助けいただければ幸いです。よろしくお願いします。
No.66033 - 2020/05/30(Sat) 16:17:03
☆ Re: 経済の問題 / おじさん
お願いします。
No.66034 - 2020/05/30(Sat) 16:19:17
☆ Re: 経済の問題 / おじさん
> おいに頼まれて、過去の知識でやってやろうとおもったのですが、歯がたちませんでした。なにとぞ、ご協力ください。
> おいによると、これができないと、とても困るようです。
> 申し訳ありませんが、よろしくお願いします。
No.66035 - 2020/05/30(Sat) 16:21:51
☆ Re: 経済の問題 / おじさん
> > おいに頼まれて、過去の知識でやってやろうとおもったのですが、歯がたちませんでした。なにとぞ、ご協力ください。
> > おいによると、これができないと、とても困るようです。
> > 申し訳ありませんが、よろしくお願いします。
No.66036 - 2020/05/30(Sat) 16:24:32
☆ Re: 経済の問題 / おじさん
> > > おいに頼まれて、過去の知識でやってやろうとおもったのですが、歯がたちませんでした。なにとぞ、ご協力ください。
> > > おいによると、これができないと、とても困るようです。
> > > 申し訳ありませんが、よろしくお願いします。
No.66037 - 2020/05/30(Sat) 16:25:50
☆ Re: 経済の問題 / トーカ
> 写真の文字が小さく、一部潰れており読めないです。
> 各問ごとに投稿されたほうがよいのでは？
> あと問題を丸投げですと、回答が付きにくいです。
私の説明の仕方が悪かったかも知れませんが、画像の解像度が低く、拡大しても問題文が見えないためであり、同じ画像をトリミングして載せられてもあまり意味がないです。
また、被写体が手元にないのであれば、特に小さい文字が判読しにくいため、小さい文字だけでも直接入力されるほうがよろしいかと。
No.66041 - 2020/05/30(Sat) 17:10:41
★ 数列 / まゆ
漸化式の問題です。
(1) a1=-1, a【n+1】=-3an-2^n
(2)a1=-2,a2=2,a【n+2】-4a【a+1】+4an=0

ちょっと複雑になると解けなくなってしまいます・・・
よろしくお願いしますm(__)m
No.66003 - 2020/05/29(Fri) 23:43:20
☆ Re: 数列 / X
方針を。

(1)
問題の漸化式において、両辺を2^(n+1)で割った上で
a[n]/2^n=b[n]
と置くと、
b[n+1]=-(3/2)b[n]-1/2
又、a[1]=-1により
b[1]=-1/2
となります。

(2)
問題の漸化式から
a[n+2]-2a[n+1]=2(a[n+1]-2a[n]) (A)
これを{a[n+1]-2a[n]}についての漸化式とみると
a[n+1]-2a[n]={a[2]-2a[1]}・2^(n-1)
これにa[1]=-2,a[2]=2を代入して
a[n+1]-2a[n]=6・2^(n-1)
後の方針は(1)の場合と同じです。


(A)についての補足。
一般に3項間漸化式
a[n+2]+ba[n+1]+ca[n]=0 (P)
に対し、tの二次方程式
t^2+bt+c=0
が
t=α、β
を解として持つとき、(P)は
a[n+2]-βa[n+1]=α{a[n+1]-βa[n]}
という形に変形できます。
(参考書のどこかに載っていると思いますので
調べてみて下さい。)
No.66006 - 2020/05/29(Fri) 23:50:14
☆ Re: 数列 / X
ごめんなさい。No.66006において誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.66047 - 2020/05/30(Sat) 18:07:27
★ (No Subject) / アジサイ
△ABCにおいて(tan∠BAC)(tan∠ABC)=1が成り立つとき∠BCAの大きさは？模範回答よろしくお願いします
No.66000 - 2020/05/29(Fri) 22:59:22
☆ Re: / X
(tan∠BAC)(tan∠ABC)=1 (A)
とします。
(A)から
(sin∠BAC)(sin∠ABC)=(cos∠BAC)(cos∠ABC) (A)'
∠BAC≠π/2 (B)
∠ABC≠π/2 (C)
(A)'より
(cos∠BAC)(cos∠ABC)-(sin∠BAC)(sin∠ABC)=0
∴加法定理により
cos(∠BAC+∠ABC)=0
cos(π-∠BCA)=0
-cos∠BCA=0
cos∠BCA=0
ここで条件から
0＜∠BCA＜π
∴∠BCA=π/2
No.66004 - 2020/05/29(Fri) 23:45:25
☆ Re: / らすかる
(tan∠BAC)(tan∠ABC)=1
tan∠BAC＜0かつtan∠ABC＜0とすると
∠BAC＞π/2かつ∠ABC＞π/2となり矛盾するから
tan∠BAC＞0かつtan∠ABC＞0
(tan∠BAC)(tan∠ABC)=1から
tan∠BAC=1/tan∠ABC
tan∠BAC=tan(π/2-∠ABC)
∠BAC=π/2-∠ABC　（∵tan∠BAC＞0）
∠ABC+∠BAC=π/2
∴∠BCA=π-(∠ABC+∠BAC)=π/2
No.66005 - 2020/05/29(Fri) 23:47:35
★ (No Subject) / さのたろう
微分方程式の一般解の求め方を教えてください。
(1)y'+a(x)y＝0
(2)xyy'＝(x+1)(y-1)
(3)y'+xy(1+y^2)＝0

正答はそれぞれ
(1)y(x)＝Ce^(-∫a(x)dx)
(2)y+log｜y-1｜＝x+log｜x｜+C. y＝1も解
(3)y^2/(1+y^2)＝Ce^-x^2. (y＝0はC＝0に含まれる)
No.65998 - 2020/05/29(Fri) 22:45:35
☆ Re: / ast
いろんな意味でレスがつかないのも不思議はないアレですが, 一応.
明らかに変数分離形で容易に分離もできるはず. やったけど詰まってるということなら, 試したことをやったとこまでハッキリ全部提示のうえ再度質問してください.
No.66057 - 2020/05/30(Sat) 19:00:26
★ 確率統計の問題がわかりません / 大学生
写真の問題がさっぱり分かりません。
どなたか解いてもらえると助かります
No.65996 - 2020/05/29(Fri) 22:09:28
☆ Re: 確率統計の問題がわかりません / ヨッシー
(1) 分布関数であるためには
　ｘ→∞ のとき F(x)→１
でないといけないので、ｃ＝0.5
(2)
　P(-2＜X≦3)＝F(3)−F(-2)＝(1−0.5e^(-3))−0.5e^(-2)
　　＝1−0.5(e^(-3)＋e^(-2))
(3)
F(x) を微分したものがf(x)なので、
　f(x)＝0.5e^x　(x＜0)
　　　　0.5e^(-x)　(x≧0)
(4)
g(x)＝xf(x) とおくと
　E(X)＝∫[−∞〜∞]g(x)dx
ここで、g(-x)＝−g(x) であるので、奇関数。
　E(X)＝lim[k→∞]∫[-k〜k]g(x)dx＝０
No.66020 - 2020/05/30(Sat) 12:40:09
★ 極限(大1) / さ
lim{(1+2/(5x^2+4x+5)}^x^2
x→∞
がどうやって、eの公式に落とし込むのか分かりません！
答えはe^(2/5)です。
よろしくお願いします！
No.65994 - 2020/05/29(Fri) 20:39:26
☆ Re: 極限(大1) / らすかる
(与式)=lim[x→∞]{1+2/(5x^2+4x+5)}^{(5x^2+4x+5)/2・2x^2/(5x^2+4x+5)}
=lim[x→∞]{{1+2/(5x^2+4x+5)}^{(5x^2+4x+5)/2}}^{2x^2/(5x^2+4x+5)}
=lim[x→∞]{{1+2/(5x^2+4x+5)}^{(5x^2+4x+5)/2}}^{2/(5+4/x+5/x^2)}
=e^(2/5)
となります。
No.65997 - 2020/05/29(Fri) 22:29:38
★ 3次方程式の解 / モリンバ
aは有理数の定数で、xの3次方程式
x^3+ax^2-(a^2-2a+3)x-a^3+2a^2-3a+1=0
の解がすべて有理数であるとします。
このとき、xの3次方程式
x^3+(2a-3)x^2-2ax+1=0
は有理数の解をもつことを示したいです。
よろしくお願いします。
No.65993 - 2020/05/29(Fri) 20:31:58
☆ Re: 3次方程式の解 / WIZ
質問の方程式を因数分解できないかといじくっていたら以下のことに気が付きました。
x^3+ax^2-(a^2-2a+3)x-a^3+2a^2-3a+1 = 0・・・・・(1)

(1)おいて、y = 1/(x+a)とおくと、
y^3+(2a-3)y^2-2ay+1 = 0・・・・・(2)
が得られます。

(1)が x = -a を解に持たないことは容易に確認できるので、
x が(1)の解である限り y = 1/(x+a) の分母は 0 にはなりません。

x が有理数である事は分かっているので、(2)の解の y = 1/(x+a) も全て有理数です。
No.65999 - 2020/05/29(Fri) 22:59:14
☆ Re: 3次方程式の解 / モリンバ
有難うございます。

もしかして、
aは有理数の定数で、xの3次方程式
x^3+ax^2-(a^2-2a+3)x-a^3+2a^2-3a+1=0
の解の"少なくともひとつが有理数"である
ようなaが全て決定できたと考えてよいのでしょうか？
そのようなaは有理数yを用いて
y^3+(2a-3)y^2-2ay+1=0
a=(y^3+1)/(2y-2y^2)
であり、これが全てであると・・・？
No.66002 - 2020/05/29(Fri) 23:42:09
☆ Re: 3次方程式の解 / らすかる
> aが全て決定できたと考えてよいのでしょうか？
よいと思います。
ただしa=(y^3+1)/(2y-2y^2)でなくa=(y^3-3y^2+1)/(2y-2y^2)です。
ちなみにa=(y^3-3y^2+1)/(2y-2y^2)を
x^3+ax^2-(a^2-2a+3)x-a^3+2a^2-3a+1=0
に代入して整理すると
{x-(y^3-3y^2+2y-1)/(2y^2-2y)}・
{x-(y^3-y^2+1)/(2y^2-2y)}・
{x-(y^3-y^2+2y-1)/(2y-2y^2)}=0
となりますので、yが(0,1以外の)有理数のとき全解が有理数になりますね。
No.66007 - 2020/05/30(Sat) 01:13:21
☆ Re: 3次方程式の解 / モリンバ
＞ただしa=(y^3+1)/(2y-2y^2)でなくa=(y^3-3y^2+1)/(2y-2y^2)です。

すみません、-3y^2見逃していました。

＞全解が有理数になりますね。

今までの話をまとめると
aは有理数の定数で、xの3次方程式
x^3+ax^2-(a^2-2a+3)x-a^3+2a^2-3a+1=0
の少なくとも一つの解が有理数であるならば、
実は解の全てが有理数である、
ということが証明されたということですよね？


ともかく、お二人の強靭な洞察力に感謝します。
No.66008 - 2020/05/30(Sat) 01:47:58
☆ Re: 3次方程式の解 / らすかる
x^3+ax^2-(a^2-2a+3)x-a^3+2a^2-3a+1=0
は二次の係数をp、一次の係数をq、定数項をrとして
√(p^2q^2-4p^3r-4q^3+18pqr-27r^2)を計算すると
±(4a^2-6a+9)(=有理数)となりますので、
この方程式の「解の巡回関数」は有理数係数の二次関数で表されます。
具体的には、解の巡回関数(の一つ)はg(x)=x^2-a^2+a-2となり、
これはつまりx^3+ax^2-(a^2-2a+3)x-a^3+2a^2-3a+1=0の一つの解を
αとすると残りの2解はg(α)とg(g(α))になるという意味です。
g(x)が有理数係数の二次関数ですから、一つの解が有理数であれば
残りの二解も有理数となります。

具体例
例えばa=3/4を上記三次方程式に代入して整理すると
(4x-5)(4x+1)(4x+7)=0となり解はx=5/4,-1/4,-7/4となりますが、
このときg(x)=x^2-29/16であり
g(5/4)=-1/4, g(-1/4)=-7/4, g(-7/4)=5/4
となっています。

解の巡回関数
異なる3実数解を持つ三次方程式x^3+px^2+qx+r=0の解の巡回二次関数g(x)は
g(x)={(3q-p^2)/s}x^2+(1/2){(7pq-2p^3-9r)/s-1}x+(1/2){(4q^2-p^2q-3pr)/s-p}
と表されます。ただしs=±√(p^2q^2-4p^3r-4q^3+18pqr-27r^2)なので
p,q,rが有理数の場合にg(x)が有理数係数になるためには
sが有理数でなければなりません。
今回の問題では√の中身が(4a^2-6a+9)^2ですから有理数係数になります。
√に±が付いていますので、解の巡回関数はもう一つあります。
もう一つはg(x)=-x^2-x+a^2-2a+2で、逆回りです。
No.66009 - 2020/05/30(Sat) 07:58:55
☆ Re: 3次方程式の解 / モリンバ
こんなに一般的なことを教えていただいて、すぐには検証できないですが、確認してみます。
貴重なことを教えていただき有難うございました。
No.66067 - 2020/05/30(Sat) 21:08:13
★ 排他的論理和の確率の算出について / 論理演算の苦手な社会人
事象A、Bがおこる確率がそれぞれ
A:0.9
B:0.8の以上である場合、排他的論理和 A XOR Bの確率の算出の仕方を教えてください。
No.65991 - 2020/05/29(Fri) 20:19:32
☆ Re: 排他的論理和の確率の算出について / 論理演算の苦手な社会人
補足です。


排他的論理和と書きましたが、
AかBのどちらが起こる場合のみです。
A OR BからA AND Bを引けばよいのでしょうか？
No.65992 - 2020/05/29(Fri) 20:27:41
☆ Re: 排他的論理和の確率の算出について / トーカ
「AかBのどちらが起こる場合のみです。」
はタイプミスで「AかBのどちらかが起こる場合のみです。」
でしょうか？
要は「AかBのどちらか一方が起こり、もう一方が起こらない場合」の意味でしたら、「A OR BからA AND Bを引けばよい」
で合っていますよ。
No.66001 - 2020/05/29(Fri) 23:29:52
☆ Re: 排他的論理和の確率の算出について / 論理演算の苦手な社会人
ご回答ありがとうございます。
「AかBのどちらかが起こる場合のみ」の意です。


AとBの確率が対数変化する場合、平均を取れば近似値になるのかな‥なんて考えていましたが😅
どうやら違うようですね笑
No.66019 - 2020/05/30(Sat) 12:26:25
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