2曲線𝐶1: r1(𝑡) = (𝑡2,√3𝑡2,𝑡2)、𝐶2: r2(𝑡) = (𝑡,√3𝑡,𝑡2)に対してそれ ぞれ以下を求めよ（0 ≦ 𝑡 ≦ 1）。
(a)単位接線ベクトル
(b)𝑡 = 0から𝑡 = 1までの弧長
上記分かりません、宜しくお願いします。
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No.65255 - 2020/05/13(Wed) 13:27:45
| ☆ Re: 幾何学 / X | | | 問題の二曲線のベクトル方程式を
𝐶1: ↑r1(𝑡) = (𝑡^2,(√3)𝑡^2,𝑡^2)
𝐶2: ↑r2(𝑡) = (𝑡,(√3)𝑡,𝑡^2)
と解釈して回答を。
(a)
条件から
d↑r[1]/dt=(𝑡,(√3)𝑡,𝑡)=t(1,√3,1)
∴↑u=(1,√3,1)
と置くと、C[1]の単位接線ベクトルは
↑u/|↑u|=(1/√5,√(3/5),1/√5)
又、C[2]の単位接線ベクトルは
(d↑r[2]/dt)/|d↑r[2]/dt|=(1,√3,2𝑡)/{2√(1+t^2)}
=(1/{2√(1+t^2)},(1/2)√{3/(1+t^2)},t/√(1+t^2))
(b)
(a)の過程から
|d↑r[1]/dt|=t√5
|d↑r[2]/dt|=2√(1+t^2)
∴求めるC[1],C[2]の弧長をそれぞれl[1],l[2]とすると
l[1]=∫[t:0→1]|d↑r[1]/dt|dt
=(1/2)√5
l[2]=∫[t:0→1]|d↑r[2]/dt|dt
=∫[t:0→1]{2√(1+t^2)}dt
=…
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No.65270 - 2020/05/13(Wed) 17:54:04 |
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