角PODをθと置いてやってみたのですがうまくいきません
問題：円Oに内接する正三角形の１辺をABとする。劣弧AB上を
動点PがAからBの方向に動く。
点Pが点Bに限りなく近づくとき、（AB−AP）/BP の極限値を求めよ。
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No.65162 - 2020/05/11(Mon) 11:20:07
| ☆ Re: 数３極限 / らすかる | | | 図形的に考えると
P→Bのとき∠ABP→60°だから
lim[P→B](AB-AP)/BP=(正三角形の辺の長さの半分)/(正三角形の辺の長さ)=1/2
座標で考えると
O(0,0),B(r,0),A(-(1/2)r,(√3/2)r),P(rcosθ,rsinθ)とすると
lim[P→B](AB-AP)/BP=lim[θ→+0]((√3)r-√{(rcosθ+(1/2)r)^2+(rsinθ-(√3/2)r)^2})/√{(rcosθ-r)^2+(rsinθ)^2}
=lim[θ→+0](√3-√{(cosθ+(1/2))^2+(sinθ-(√3/2))^2})/√{(cosθ-1)^2+(sinθ)^2}
=lim[θ→+0](√3-√{2-(√3)sinθ+cosθ})/√(2-2cosθ)
=lim[θ→+0](√3-2sin(θ/2+2π/3))/(2sin(θ/2))
=lim[θ→+0](1+2cos(θ+4π/3))/{(2sin(θ/2))(√3+2sin(θ/2+2π/3))}
=lim[θ→+0](1-cosθ+(√3)sinθ)/{(2sin(θ/2))(√3+2sin(θ/2+2π/3))}
=lim[θ→+0](2(sin(θ/2))^2+(2√3)sin(θ/2)cos(θ/2))/{(2sin(θ/2))(√3+2sin(θ/2+2π/3))}
=lim[θ→+0](sin(θ/2)+(√3)cos(θ/2))/{√3+2sin(θ/2+2π/3)}
=1/2
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No.65176 - 2020/05/11(Mon) 15:23:44 |
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