ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ √の計算 / せし

この問題の穴埋めの部分をどなたか教えて下さい。

No.66181 - 2020/06/01(Mon) 22:54:30

☆ Re: √の計算 / X

方針を。

(問題2)
二重根号を外すことを考えて
√(9-√77)=√{(18-2√77)/2}
=(√11-√7)/√2
これを使い、順に展開していきます。

(問題3)
(3)について。
問題の式の分子の
√{24+2√24+…}
について。
24=8+13+3
=a^2+c^2+3
ということで
b=√3
と置きます。

(4)
について。
もう一方については、同じa,b,cを使うと
√{24-2√24+…}=√(a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca)
=√{(-a+b+c)^2}
=|-a+b+c|
と変形できます。
後は-a+b+cの符号に注意して絶対値を外します。

No.66185 - 2020/06/01(Mon) 23:12:25

★ 不等式の扱い(？) / あめ

画像の赤線部分がよくわかりません。
分数を少数の形にした後、36.3･･･の0.3･･･を無視して切り捨てるのは分かります。
が29.6･･･を切り上げて30にするのは何故ですか？29.6･･･は30では無いのだから29とするのが正しいのではないでしょうか？
ここで小数点以下を｢無視｣せずに｢四捨五入｣するのがよく分かりません。
またなぜ四捨五入した後の不等式にイコールが入るのでしょうか？
30<n<36では何がおかしいのでしょうか？

No.66167 - 2020/06/01(Mon) 22:02:19

☆ Re: 不等式の扱い(？) / X

四捨五入も切り捨ても関係ありません。
飽くまで不等式の比較です。

89/3＜n＜109/3 (A)
とします。
29＜29.6…=「89/3＜30＜109/3」 (B)
と(A)により
30は(A)に含まれますが29は含まれません。
((A)と(B)の「」の中を比較してみましょう。)

同様に
「89/3＜36＜109/3」=36.3…＜37 (C)
により36は(A)に含まれますが37は含まれません。

No.66173 - 2020/06/01(Mon) 22:18:01

☆ Re: 不等式の扱い(？) / あめ

なるほど！理解出来ました！ありがとうございます！

No.66208 - 2020/06/02(Tue) 21:16:43

★ 二変数極限 / へいけ

(1)lim(x+y) (x→1 y→1)について
写真の鉛筆で囲んだ不等式がなぜ成立するのか教えてください。
1段目はコーシーシュワルツで成立するのがわかるのですが、なぜ2段目が成立するのかわかりません。

No.66165 - 2020/06/01(Mon) 21:58:28

☆ Re: 二変数極限 / へいけ

2段目で、√2が何のかわかりません。

No.66166 - 2020/06/01(Mon) 21:59:44

☆ Re: 二変数極限 / X

以下の不等式が成立することはよろしいですか？
|x-1|+|y-1|≦√[{|x-1|+|y-1|}^2+{|x-1|-|y-1|}^2]
これの[]の中を計算しましょう。

No.66168 - 2020/06/01(Mon) 22:02:59

☆ Re: 二変数極限 / へいけ

|x-1|+|y-1|≦√[{|x-1|+|y-1|}^2+{|x-1|-|y-1|}^2]
↑はなぜ成立しますか？

No.66170 - 2020/06/01(Mon) 22:06:26

☆ Re: 二変数極限 / X

(左辺)=√[{|x-1|+|y-1|}^2]
これの√の中を右辺の√の中と比較してみて下さい。

No.66172 - 2020/06/01(Mon) 22:08:47

★ (No Subject) / まるまる

次の行列をAとするとき、Aを対角化せよ。
また、e^A=Σ[m=0～∞]A^m/m!をΣを用いずに成分表示せよ。
(3 5)
(-5 -3)
対角化した行列は
(-4i 0)
(0 4i)
です。
昨日と同じような質問で申し訳ございません。
解こうと思ったのですがe^Aに虚数が出てしまい出来ませんでした。
よろしくお願いいたします。

No.66162 - 2020/06/01(Mon) 21:29:57

☆ Re: / ヨッシー

前回と同じようにやると　ｅ⁴ⁱ やｅ^-4i が出てきますが、
　ｅ⁴ⁱ＝cos4＋ｉsin4
と分解できるので、もう一段計算を進めることが出来ます。

No.66164 - 2020/06/01(Mon) 21:46:35

☆ Re: / まるまる

解けました！
ありがとうございます。

No.66171 - 2020/06/01(Mon) 22:08:15

★ (No Subject) / まこ

(２)番の赤の所のように常に成立つときはその範囲をまるまるokにしていいのはなぜですか？

No.66161 - 2020/06/01(Mon) 21:29:14

☆ Re: / ヨッシー

|x-7|＋|x-8|＜3・・・(i) において、
　ｘ＝７　のとき　(左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.1 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.2 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.3 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.4 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　ｘ＝7.5 のとき (左辺)＝1＜3＝(右辺)　より(i)は成り立つ
　・・・
もちろんその間の,7.02 とか 7.53 とか π＋4 とか、全部成り立つので、
　7≦ｘ＜8
の範囲の全ての実数ｘは解となり得ます。

No.66163 - 2020/06/01(Mon) 21:39:00

☆ Re: / まこ

分かりやすいです。ありがとうございます

No.66169 - 2020/06/01(Mon) 22:05:08

★ 確率論 / あ

つぎの問題が分かりません。どなたか詳しく教えてください。

a,b,c>0とする。X,Yは独立な確率変数でそれぞれX～Gam(c,a)、
Y～Gam(c,b)とする。このとき確率変数Z=X+Y,W=X/(X+Y)は独立であり、Z～Gam(c,a+b)、W～Beta(a,b)を示せ。

No.66151 - 2020/06/01(Mon) 17:35:16

☆ Re: 確率論 / あ

ガンマ分布が
f(x)=１/(Γ(a))b＾{a}x^{a-1}e^{-bx}1_(0,∞）(x)
で
ベータ分布が
f(x)=1/(B(a,b))x^{a-1}(1-x)^{b-1}1_(0,1)(x)です。
よろしくお願いします

No.66182 - 2020/06/01(Mon) 22:59:33

★ (No Subject) / 鬼滅の奥歯

緑で囲った部分のPOINTがなにを言いたいのか分かりません。どういうことか教えてほしいです

No.66145 - 2020/06/01(Mon) 15:59:11

☆ Re: / ヨッシー

「(2) (ア) 二項定理により」から最後までの部分で使った性質がまとめてあるだけです。

この問題のように、
　(1＋h)^n≧1＋nh
だけで済む場合もあるでしょうし、もう１項増やして
　(1＋h)^n≧1＋nh＋{n(n-1)/2}h^2
を使う場合もあるかも知れません。

No.66147 - 2020/06/01(Mon) 16:25:24

☆ Re: / 鬼滅の奥歯

なるほど！分かりました！！

No.66148 - 2020/06/01(Mon) 16:35:37

★ ベクトル解析の問題です / こはく

ミスしたので再投稿です
次の局面sの面積をを求めよ
Sは放物線z=1/2*x^2 (2分の1 Xの2乗です)
0≦x≦1
0≦y≦x
答えは(2√2-1)/3となってます
どなたかお願いします

No.66142 - 2020/06/01(Mon) 15:17:40

☆ Re: ベクトル解析の問題です / X

既に元のスレでWIZさんが回答しているのに気付かずに
回答してしまいましたが、別解として残しておきます。

φ=z-(1/2)x^2
と置くと
曲面
z=(1/2)x^2
上の点(x,y,z)における、z成分が正となる
単位法線ベクトル↑nは
↑n=gradφ/|gradφ|=(-x/√(x^2+1),0,1/√(x^2+1))
∴Sのxy平面への正射影をT、z軸の正の向きの単位ベクトルを
↑kとすると
dT=(↑n・↑k)dS
={1/√(x^2+1)}dS
∴dS={√(x^2+1)}dT
よって求める面積をUとすると
U=∬[S]dS=∬[T]{√(x^2+1)}dT
=∫[x:0→1]∫[y:0→x]{√(x^2+1)}dydx
=∫[x:0→1]x{√(x^2+1)}dx
=[(1/3)(x^2+1)^(3/2)][x:0→1]
=(2√2-1)/3

No.66153 - 2020/06/01(Mon) 19:07:03

★ (No Subject) / おんよし

すみません失敗したので再投稿です。
上の下線部から下の下線部に移る途中式を教えてください

No.66141 - 2020/06/01(Mon) 15:13:33

☆ Re: / ヨッシー

ｙ＝ｕｘ　をｘで微分すると、積の微分より
　ｙ’＝ｕ’ｘ＋ｕｘ’
書き直すと
　dy/dx＝(du/dx)ｘ＋ｕ
です。

No.66143 - 2020/06/01(Mon) 15:35:03

☆ Re: / おんよし

ありがとうございます。

No.66144 - 2020/06/01(Mon) 15:45:32

★ 微分方程式の一般解 / さのたろう

写真の赤下線部の(4),(6)の問題の解き方を教えてください。
私は微分方程式の一般解の求め方を「左辺にy，右辺にxをまとめて積分をする」という認識でいるのですが、(4)の場合yの次数が違うためわかりません。
(6)はlog｜y+√(y^2+1)｜+C＝x+C まで来て手詰まりです。
何卒よろしくお願いします。

No.66138 - 2020/06/01(Mon) 12:12:51

☆ Re: 微分方程式の一般解 / WIZ

(4)
y' = (2x+1)(y+1)y
y = 0 及び y = -1 という定数関数は上記微分方程式を満たす。

(y+1)y ≠ 0 の場合、
2x+1 = y'/{(y+1)y} = y'{1/y-1/(y+1)}
⇒ x^2+x+C = log(y/(y+1)) (Cは積分定数)
⇒ e^(x^2+x+C) = y/(y+1)
⇒ A(e^(-x^2-x)) = 1+1/y (A = e^(-C) は正の定数)
⇒ 1/{A(e^(-x^2-x))-1} = y

検算
y' = -(-2x-1)A(e^(-x^2-x))/{A(e^(-x^2-x))-1}^2 = (2x+1)(1/y+1)y^2

(6)
両辺に積分定数を付ける必要はないので、
log(|y+√(y^2+1)|) = x+C
ですね。

⇒ |y+√(y^2+1)| = e^(x+C)
⇒ y+√(y^2+1) = (±(e^C))(e^x) = A(e^x) (A = ±(e^C) は0でない任意定数)
⇒ y-A(e^x) = -√(y^2+1)
⇒ y^2-2yA(e^x)+(A(e^x))^2 = y^2+1
⇒ A(e^x){A(e^x)-2y} = 1
⇒ A(e^x)-2y = (1/A)(e^(-x))
⇒ y = (A/2)(e^x)-(1/(2A))(e^(-x))

検算
y' = (A/2)(e^x)+(1/(2A))(e^(-x))
y^2 = ((A/2)(e^x))^2-2(A/2)(e^x)(1/(2A))(e^(-x))+((1/(2A))(e^(-x)))^2
= ((A/2)(e^x))^2-1/2+((1/(2A))(e^(-x)))^2
⇒ y^2+1 = ((A/2)(e^x))^2+1/2+((1/(2A))(e^(-x)))^2
= ((A/2)(e^x))^2+2(A/2)(e^x)(1/(2A))(e^(-x))+((1/(2A))(e^(-x)))^2
= {(A/2)(e^x)+(1/(2A))(e^(-x))}^2
= (y')^2

(y')^2 = y^2+1 は A の符号に関わらず成立しますが、
y' = √(y^2+1) は A > 0 の場合のみ成立しますね。
よって、A は正の任意定数としないとダメですね。

# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい。

No.66146 - 2020/06/01(Mon) 16:03:38

☆ Re: 微分方程式の一般解 / WIZ

(6)の訂正
y ≧ 0 なら y+√(y^2+1) > 0 ですが、
y < でも √(y^2+1) > √(y^2) = |y|なので、y+√(y^2+1) > 0 ですね。
だから、途中計算で用いられてた絶対値記号は不要でした。

log(y+√(y^2+1)) = x+C
⇒ y+√(y^2+1) = e^(x+C) = A(e^x) (A = e^C は正の任意定数)

となり、最初から A は正の任意定数とできますね。

No.66160 - 2020/06/01(Mon) 21:23:33

★ ベクトルの内積 / 鬼滅の奥歯

ベクトルBAとベクトルBCの内積を求める問題なのですが、このθ(とくに２番目の問題)は勝手に決めていいものなのですか？

No.66136 - 2020/06/01(Mon) 10:53:21

☆ Re: ベクトルの内積 / ヨッシー

勝手に決める＝どんなθについても同じ答えになる
という意味であれば、答えは Yes です。

No.66137 - 2020/06/01(Mon) 11:34:42

☆ Re: ベクトルの内積 / 鬼滅の奥歯

なるほど！ありがとうございます！

No.66139 - 2020/06/01(Mon) 12:37:55

★ ベクトル解析の問題 / こはく

次の局面sを求めよ
Sは放物線z=1/2*x^2 (2分の1 Xの2乗です)
0≦x≦1
0≦y≦x
答えは1/3(2√2-1)となってます
どなたかお願いします

No.66134 - 2020/06/01(Mon) 10:17:44

☆ Re: ベクトル解析の問題 / WIZ

y軸の正の方向を向いて、xz平面に平行な平面と題意の曲面の交点(交線?)は
放物線 z = (x^2)/2 となる訳です。
題意の曲面の微小面積 ds は、xz平面に平行な平面上の放物線上の微小長さ dl と
y 方向の微小長さ dy の積となる微小長方形の面積と考えられます。

z = (x^2/2) より、dl/dx = √(1+(dz/dx)^2) = √(1+x^2)

よって、求める面積を S とすると、
S = ∫ds = ∫∫dldy
= ∫[0, 1]{∫[0, x]{√(1+x^2)}dy}dx = ∫[0, 1]{[y√(1+x^2)]_[0, x]}dx
# √(1+x^2) は y とは無関係な定数(?)なので、y で積分すれば y√(1+x^2) となる。

⇒ S = ∫[0, 1]{x√(1+x^2)}dx = [(1/3){(1+x^2)^(3/2)}]_[0, 1] = (1/3){2^(3/2)-1^(3/2)} = (1/3)(2√2-1)

No.66149 - 2020/06/01(Mon) 16:53:10

★ 線形数学 / まるまる

次の行列をAとするとき、Aを対角化せよ。
また、e^A=Σ[m=0～∞]A^m/m!をΣを用いずに成分表示せよ。
(5 3)
(-3 -5)

対角化するところまでは出来たのですが、成分表示の仕方が分かりません。
対角化した行列は(-4 0)です。
(4 0)

No.66130 - 2020/06/01(Mon) 07:23:44

☆ Re: 線形数学 / まるまる

すみません。
(-4 0)
(0 4)
でした。

No.66131 - 2020/06/01(Mon) 07:24:16

☆ Re: 線形数学 / ヨッシー

Ｐ＝
(1 3)
(-3 -1)
Ｂ＝
(-4 0)
(0 4)
とすると、
Ａ＝Ｐ^-1ＢＰ
Ａⁿ＝Ｐ^-1ＢⁿＰ
一般に
　ＡＰＢ＋ＡＱＢ＝Ａ(Ｐ＋Ｑ)Ｂ
より
　ｅ^Ａ＝Ｐ^-1(ΣＢ^m/m!)Ｐ
ΣＢ^m/m! の (1,1) 成分は
　1/0!＋(-4)/1!＋(-4)²/2!＋(-4)³/3!＋・・・
(2,2) 成分は
　1/0!＋4/1!＋4²/2!＋4³/3!＋・・・
ｅ^x のマクローリン展開
　ｅ^x＝1＋x/1!＋x²/2!＋x³/3!＋・・・
より、
ΣＢ^m/m!＝
(ｅ^-4 0)
(0 ｅ⁴)
Ｐ^-1 とＰを掛けるところはお任せします。

No.66135 - 2020/06/01(Mon) 10:39:06

★ 全単射について / スティッチ

Aをn次正方行列とする。写像F:R^n→R^n,F(x)=Axは全単射であることを示せ。
という問題が分からないです。
よろしくお願いいたします。

No.66127 - 2020/05/31(Sun) 22:38:21

☆ Re: 全単射について / IT

例えばAが0行列のとき　,F(x)=Axは全単射ではないので間違いだと思いますが。

No.66128 - 2020/05/31(Sun) 22:52:30

☆ Re: 全単射について / スティッチ

すみません。
正方行列、ではなく正則行列でした。

No.66129 - 2020/05/31(Sun) 23:03:04

☆ Re: 全単射について / IT

Aの逆行列をBとすると、
任意のx∈R^nについて、ABx=BAx=x
これからF(x)=Axは全単射であることが言えます。

単射性証明のポイント
Ax=Ayのとき
BAx=BAy　∴　x=y
よってAは単射。

全射の証明はやってみてください。

No.66152 - 2020/06/01(Mon) 18:01:34

☆ Re: 全単射について / IT

例えばAが0行列のとき　,F(x)=Axは全単射ではないので間違いだと思いますが。

No.66128 - 2020/05/31(Sun) 22:52:30

☆ Re: 全単射について / スティッチ

すみません。
正方行列、ではなく正則行列でした。

No.66129 - 2020/05/31(Sun) 23:03:04

☆ Re: 全単射について / IT

No.66152 - 2020/06/01(Mon) 18:01:34