ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率統計の問題がいまいち分かりません / 大学生

写真の問題が分かりません。どなたか解いてもらえると助かります

No.65920 - 2020/05/28(Thu) 22:55:15

☆ Re: 確率統計の問題がいまいち分かりません / トーカ

(1)Aを書き直すとA={X≤2または6≤X}
　　また　A∩B={1≤X≤2または6≤X≤7}
　P(A)=4/8/=1/2、P(B)=6/8=3/4,P(A∩B)=2/8＝1/4
　P(A｜B)=P(A∩B)/P(B)=1/4÷3/4=1/3≠P(A)
　AとBは独立でない

(2）XとYが独立なので
　　P(1≤X≤3,2≤Y≤4)=P(1≤X≤3)P(2≤Y≤4)
　　　　　　　　　=2/8・2/6
　　　　　　　　　=1/12
(3)一般に区間[a,b]の一様分布の期待値は(a+b)/2である。
　これよりE(X)=4,E(Y)=3
　

No.65931 - 2020/05/29(Fri) 00:30:19

★ (No Subject) / 整数問題

S=x^2+(1/4)y^2+z^2 で、x,y,zは自然数のとき、

ある値Sをとる(x,y,z)が複数存在しない(Sの値を決めるx,y,zはただ一つである)ようなもののうち、
値が4番目に小さいものは、[?]である。

という問題で、私の答えは(2,2,2)のときの 9となったのですが、あっているでしょうか？

どなたか教えたくださいませんか。
よろしくお願いします。

No.65914 - 2020/05/28(Thu) 21:05:48

☆ Re: / らすかる

(1,4,2)のときも9なのであっていません。

No.65916 - 2020/05/28(Thu) 21:58:19

☆ Re: / 整数問題

返信ありがとうございます。
自分で網羅的に数えようとしても、うまく見つけられません。
答えは幾つになるのでしょうか？
また、どのようにしてその答えを見つければ良いのでしょうか？

No.65917 - 2020/05/28(Thu) 22:19:10

☆ Re: / らすかる

x≧2またはy≧2のときS(x,y,z)≧5.25なので
S(1,1,1)=2.25, S(1,2,1)=3, S(1,3,1)=4.25 は小さい順の先頭3個。

y=2nのとき
S(x,2n,z)=x^2+n^2+z^2=S(x,2z,n)=S(n,2x,z)から
y≠2xまたはy≠2zのとき条件を満たさないので
条件を満たすものがあればS(n,2n,n)
S(1,2,1)は既出。
S(2,4,2)=12が他の組み合わせで作れるかどうか考えると
x^2,y^2/4,z^2が整数になるときそれぞれ1,4,9,16,…の値しかとらず、
3個足して12になるのは4+4+4しかない。
従って12になるのはS(2,4,2)しかなく、4番目に小さい可能性がある。

y=2n-1のとき
S(x,y,z)が12以下になるためにはx≦3,z≦3,y=1,3,5
x≠zのときS(x,y,z)=S(z,y,x)となって条件を満たさないので
条件を満たすものだけ考えると
S(1,1,1)=2.25 (既出)
S(1,3,1)=4.25 (既出)
S(1,5,1)=8.25
S(2,1,2)=8.25
S(2,3,2)=10.25
S(2,5,2)=14.25＞12
S(3,1,3)=18.25＞12
8.25は二つあるので10.25が他の組み合わせで作れるかどうか考えると
S(1,1,3)=10.25なので他の組み合わせが存在する。

従って4番目に小さいのはS(2,4,2)=12。

No.65918 - 2020/05/28(Thu) 22:41:19

☆ Re: / 整数問題

回答ありがとうございました。

一見、数えれば終わりそうな簡単な問題だと思いましたが、奥が深いですね。

回答を参考にもう一度復習してみます。
ありがとうございました。

No.65926 - 2020/05/28(Thu) 23:32:25

★ 確率変数の問題がわかりません / こはく

1から12までのいずれかのひとつの数のかかれた 12この同じ大きさの球が入った袋からひとつ取り出して、書かれている数字を確認して袋に戻す。この試行において
A=取り出した球に3の倍数がかかれている
B=取り出した球に4の倍数がかかれている
という2つの事象を考える。このとき、A.Bは独立か従属か調べよ。

No.65912 - 2020/05/28(Thu) 20:41:38

☆ Re: 確率変数の問題がわかりません / ヨッシー

手順通りに調べるなら、
　P(A)＝1/3, P(B)＝1/4
　P(A∩B)＝1/12＝P(A)・P(B)
なので、独立です。

おおざっぱに言うと、
　12個から4の倍数が出る確率は 1/4
　4個の3の倍数から4の倍数が出る確率は 1/4
　8個の3の倍数以外の数から4の倍数が出る確率は 1/4
と3の倍数であるかどうかに影響されないので独立です。
これが、1から11までとなると、独立でなくなります。
3の倍数以外からの方が４が出やすいからです。

No.65915 - 2020/05/28(Thu) 21:53:42

★ センター形式の問題です / ハーフナー

この問題のコはどのような手順で求めればいいのでしょうか？教えてください。

No.65906 - 2020/05/28(Thu) 17:18:51

☆ Re: センター形式の問題です / ヨッシー

コはケの時に使った数を10倍するだけなので、
うまくいくかどうかは、ケをどのようにやったかによります。

ケはどのように求めましたか？

No.65907 - 2020/05/28(Thu) 17:31:50

☆ Re: センター形式の問題です / ハーフナー

こんな感じでやりました。

No.65908 - 2020/05/28(Thu) 17:48:21

☆ Re: センター形式の問題です / ヨッシー

その延長では、ちょっと厳しいかも。

8√2－5√5 に
　√2≒1.414、√5＝2.236
を代入してみます。

No.65909 - 2020/05/28(Thu) 18:02:07

☆ Re: センター形式の問題です / ハーフナー

なるほどですね。助かりました。ありがとうございます。

No.65910 - 2020/05/28(Thu) 18:03:25

★ 面積比の問題です。 / ななこ

AからCに補助線を引いてみましたがそこからどうとけばいいのかわかりません。途中式も含めて教えてください。

No.65899 - 2020/05/28(Thu) 13:00:28

☆ Re: 面積比の問題です。 / らすかる

高さが同じなので底辺比3.2：7=16：35です。

No.65900 - 2020/05/28(Thu) 13:16:51

☆ Re: 面積比の問題です。 / Ayuyu

高さが与えられているためどうにかして使わなければいけないのかな？と思いますが、必要ない条件ですね。△ABDと△BCDの面積比と言われているので補助線ACは必要ありません。
必要な条件などをしっかり見極めると解けると思いますよ！
あとはらすかるさんの解説の通りです。

No.65902 - 2020/05/28(Thu) 13:56:43

★ 数学的帰納法 / Ayuyu

nを2以上の整数とするとき、次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
1+1/2+1/3+…+1/n＞(2n)/(n+1)
という問題です。数学的帰納法の不等式バージョンをよく理解できておらず、分かりません。分かる方教えていただけると有り難いです。よろしくお願いします。

No.65895 - 2020/05/28(Thu) 12:20:53

☆ Re: 数学的帰納法 / X

問題の不等式を(A)とします。
(i)n=2のとき
は自分でやってもらうとして、その続きを。

(ii)n=kのとき(A)の成立を仮定します。
つまり
1+1/2+…+1/k＞(2k)/(k+1) (A)'
(A)'の両辺に1/(k+1)を足すと
1+1/2+…+1/k+1/(k+1)＞(2k+1)/(k+1) (A)"
ここで
(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/{(k+1)+1}
={(2k+1)(k+2)-(k+1)^2}/{(k+1)(k+2)}
={(2k^2+5k+2)-(k^2+2k+1)}/{(k+1)(k+2)}
=(k^2+3k+1)/{(k+1)(k+2)}＞0
∴(2k+1)/(k+1)＞{2(k+1)}/{(k+1)+1} (B)
(A)'(B)から
1+1/2+…+1/k+1/(k+1)＞2(k+1)/{(k+1)+1}
となり(A)はn=k+1のときも成立。

No.65897 - 2020/05/28(Thu) 12:37:45

☆ Re: 数学的帰納法 / IT

不等式でも等式でも原理は同じです。

ｎ＝２のとき　成り立つことを示す。

２以上の整数ｋについて、ｎ＝ｋのとき成り立つことを仮定して、ｎ＝ｋ＋１のとき成り立つことを示す。

No.65898 - 2020/05/28(Thu) 12:39:55

☆ Re: 数学的帰納法 / Ayuyu

お二方ありがとうございました！不等式になったからといって焦らず同じように解けばいいのですね。詳しい式や解説、参考になりました。

No.65901 - 2020/05/28(Thu) 13:53:22

★ 大学数学 / 京都くん

大学数学の問題です。分からなくて困っています。解いて下さる方、よろしくお願いします。

No.65893 - 2020/05/28(Thu) 11:16:35

☆ Re: 大学数学 / IT

オンライン授業で大変だとは思いますが、課題丸投げでは、回答が付くにくいと思います。
テキストを読んで　少しでも出来たとこまで書かれた方が良いかと。
（１）例えば,||f||=1,||g||=1,||f+g||=||f-g||=2 となるようなf,g を見つけ(作れ)ば良いのでは?

No.65939 - 2020/05/29(Fri) 07:45:31

★ これといてほしいです / 灘中3年

行き詰まってしまったので解答が無くて困っていました。是非といてほしいです。

No.65888 - 2020/05/28(Thu) 10:03:27

☆ Re: これといてほしいです / ヨッシー

これは、複素数平面上で、元の点（単位円上にある）を
　－π,－5π/6, －4π/6, … 4π/6, 5π/6, π
だけ回転させる操作となります。ただし、０（動かさない）はありません。

(1)
ｑ1 はｚ0＝1 をｚ1＝－１に移す確率なので、　2/12＝1/6 (６か－６が出る場合)
ｐ1＝０なので、ｒ1＝1－ｑ1＝5/6
ｐ2 はｚ1＝－１から 1/6 の確率でｚ2＝1 に戻る場合の確率と
　それ以外のｚ1 から 1/12 の確率でｚ2＝1に戻る場合の確率の合計なので、
　1/6×1/6＋5/6×1/12＝7/72
(2)
(1) で考察したことを利用して、
　ｐ[n+1]＝(1/6)ｑ[n]＋(1/12)ｒ[n]　……(i)
　ｑ[n+1]＝(1/6)ｐ[n]＋(1/12)ｒ[n]　……(ii)
(3)
(i)－(ii) より
　ｐ[n+1]－ｑ[n+1]＝(－1/6)(ｐ[n]－ｑ[n])
ｐ0＝1, ｑ0＝0 より
　ｐ[n]－ｑ[n]＝(－1/6)^n
(4)
ｒ[n]＝1－ｐ[n]－ｑ[n] であるので、(i) より
　ｐ[n+1]＝(1/6)ｑ[n]＋(1/12)(1－ｐ[n]－ｑ[n])
　　　　＝1/12－(1/12)(ｐ[n]－ｑ[n])
　　　　＝1/12－(1/12)(－1/6)^n
よって、
　ｐ[n]＝1/12－(1/12)(－1/6)^(n-1)　ただしｎ≧1

答え　ｐ[0]＝1、　ｐ[n]＝1/12－(1/12)(－1/6)^(n-1)　(n≧1)

No.65894 - 2020/05/28(Thu) 11:32:47

★ 部分積分のルール / Rio

部分積分でルール違反している気がしますがわかりません
答えは(x-1)e^x です
よろしくお願い申し上げます。

No.65886 - 2020/05/28(Thu) 09:32:27

☆ Re: 部分積分のルール / らすかる

部分積分は問題ありません。
問題は∫[0～x](x-2t)e^tdtの微分を
(x-2x)e^xとしている点です。
(d/dx){∫[0～x]f(t)dt}=f(x)という公式はありますが、
これはf(t)にxが含まれる場合は使えません。
試しに∫[0～x]xdtを微分したものがxになるかどうか計算してみて下さい。

No.65887 - 2020/05/28(Thu) 09:52:19

☆ Re: 部分積分のルール / Rio

ありがとうございます:) 理解できました！

No.65903 - 2020/05/28(Thu) 14:18:22

★ 線形数学 / まる子

大学数学の問題です。
解き方が分かりません。
R[x]をn次以下の実係数多項式全体とする。
このとき、

偶関数全体f(x)=f(-x)、奇関数全体f(x)=-f(-x)の次元と基を求めよ。

R[x]=(偶関数全体)⊕(奇関数全体)であることを示せ。

偶関数、奇関数は共にR[x]である。

よろしくお願いいたします。

No.65885 - 2020/05/28(Thu) 09:28:16

☆ Re: 線形数学 / ast

> R[x]
これは, R が (特に太字で書いて) 実数全体の成す集合を意味するのならば, 実数係数多項式 (すべての次数で考えた) 全体の成す集合の意味で常用されるので, この問題で用いるにはよくない記法だと思います (そもそも n 次以下と言っているのに n が表記に現れないし, 省略するのなら単にPとかXとかアルファベット大文字一文字で表せば十分). おそらくですが, 実際の問題と表記が違うのではありませんか?

> 偶関数、奇関数は共にR[x]である。
も意味不明です, 数学の問題文は「一字違いで大違い」が発生しやすいので, もっと正確に書いてください.

> 解き方
準備問題として
(0-i) n 次以下の実係数多項式の一般形を書け.
(0-ii) 前問の形の任意の多項式 f に偶函数, 奇函数の定義式を適用することにより, n 次以下の偶函数および奇函数となる多項式の一般形を導出せよ.

をご自分でやってください (この準備問題は高校レベルで収まるはずです). そうするともとの問題はもう自明だと思います.

No.65921 - 2020/05/28(Thu) 22:56:23

★ 教えてください / 匿名

xy平面上を運動する物体の、時刻 t における位置を (x(t), y(t)) とし、速度ベクトルを (u(t), v(t)) とする
物体は t=0 に位置 (1,2) にあった

?@ 時刻 t の関数 f(t) を f(t) = x^2-y^2 と定義する。 f(t) の t に関する微分を、x(t), y(t), u(t), v(t) を用いて表せ。
?A 物体の位置と速度を測定したところ、その測定値に u(t) = x(t) および v(t)=y(t) という関係があった f(t) の値を求めよ。
?B前問の位置と速度の関係が成り立っている時、物体の運動の xy 面内の軌跡はどのような曲線か

この問題の解説をお願いします(;_;)

No.65880 - 2020/05/27(Wed) 22:27:57

☆ Re: 教えてください / 関数電卓

> ?@ 時刻 t の関数 f(t) を f(t) = x^2-y^2 と定義する。
意味不明です。問題は書籍中のものですか？原典を撮影またはスキャンして貼り付けて下さい。

No.65882 - 2020/05/27(Wed) 23:42:17

☆ Re: 教えてください / ast

私が懸念すべき点を見落としているだけかもしれませんが, x,y は t の函数なので, x,y を使って t の別の函数を定義することが意味不明ということはないのでは.

そのうえで問題文で与えられた条件は u=x', v=y', x(0)=1, y(0)=2 という仮定を意味するものだと思いますので,

?@ f'(t)=2xx'-2yy'=2xu-2yv
?A x'=x, y'=y から x=Ae^t, y=Be^t と書けて, t=0 と置けば A=x(0)=1, B=y(0)=2. したがって f(t)=(e^t)^2-(2e^t)^2=-3e^(2t).
?B (x,y)=(e^t,2e^t) から y=2x (x>0)

というような運びになると思います.

No.65883 - 2020/05/28(Thu) 01:17:28

☆ Re: 教えてください / 関数電卓

空間座標を用いて時間の関数を定義？と思い「意味不明」と書いてしまいましたが，確かに
> x,y は t の函数なので
「意味不明」は書き過ぎでした。大変失礼致しました。

No.65911 - 2020/05/28(Thu) 19:28:42

★ 大学数学(ベクトル解析） / KIT

ベクトル解析で、面積分とは結局何なのか？を知りたいです。つまり面積分が何を表しているのか根本的なことが分かっていません。

例題を紹介させていただきます。
　
ttp://get.secret.jp/pt/file/1590560710.jpg
ttp://get.secret.jp/pt/file/1590560773.jpg

この例題６７を見ていただきたいのですが、空間座標で示された図があります。この平面Sと?I軸、y軸、z軸との交点をそれぞれX(1,0,0)、Y(0,1,0)、Z(0,0√2)とすると、△XYZの面積が面積分の値でしょうか？いえ違います。この△XYZの面積は√2/5になります。一方この例題の答えは1/36です。全然違いますよね。この図を見て、どこの値が1/36なのか考えてますが、分かりません。あるいは平面Sの点をf(x,y,z)=√10x^2yzと言う関数で変換した値をすべて足したもの(積分したもの)ということでしょうか？

面積分の動画を観ますと、あたかも空間内の曲面の面積が面積分であるかのように説明されてますが、この例題ではそうではないようです。

もう一つ分からない点は、この２重積分を実際に計算する際にyで積分する範囲を0～(1-x)にしてますが、なぜ1-xが出てくるのか分かりません。Xを固定して、y軸方向に0～(1-x)まで積分して…..と、いろいろ考えてますが、どうしてもわかりません。これもそもそも面積分を分かってない所以だと思います。

No.65879 - 2020/05/27(Wed) 21:42:30

☆ Re: 大学数学(ベクトル解析） / IT

被積分関数ｆがスカラーの場合、おおざっぱに言うと、
面積分の結果は体積といえると思います。

たとえば、すべての範囲でf＝1　とすると　積分結果の値は積分領域の面積の値と等しくなるはずです。

もっと分りやすくてちゃんとした説明が付くまでのつなぎに
書き込みます。

No.65881 - 2020/05/27(Wed) 23:20:13

☆ Re: 大学数学(ベクトル解析） / 通りすがり

例えば、
形状が曲面Sの板があって、密度がf(x,y,z)、つまり場所によって密度が異なるときに、板の重さは\int_S f(x,y,z) dS
になりますね。

No.65884 - 2020/05/28(Thu) 08:24:50

☆ Re: 大学数学(ベクトル解析） / KIT

被積分関数ｆによって置き換えらるの乃だから、図形上の△XYZの面積とは違うこと、いまは分かりました。回答ありがとうございました。

No.66066 - 2020/05/30(Sat) 21:01:55

★ 高校数学（三角関数） / かい

高校数学の三角関数です。
この変形の仕方を教えて欲しいです。

No.65874 - 2020/05/27(Wed) 19:23:38

☆ Re: 高校数学（三角関数） / X

問題の等式において
(左辺)=(-sinθ+icosθ)/(2sinθ)
∴複素数の相等の定義により
1/2=-1/(2tanθ) (A)
(cosθ)/(2sinθ)=-1/(2tanθ) (B)
(A)より
tanθ=-1 (A)'
(B)より
cosθ=0 (B)'
(A)'(B)'を同時に満たすθは存在しないので
問題の等式を満たすθは存在しません。

(問題の等式に誤りはありませんか？)

No.65876 - 2020/05/27(Wed) 20:14:26

☆ Re: 高校数学（三角関数） / かい

>

書き間違えたました、、、
解決しました。
ありがとうございます！

No.65877 - 2020/05/27(Wed) 20:15:59

★ 関数 / とんぼ

京都大学の問題です

（1）方程式x4乗＋2ax二乗ーa＋2＝0が実数解をもたないようなaの範囲を求めよ。
（2）x4乗＋2ax二乗ーa＋2の最小値はm（a）とする。aが（1）の範囲にあるとき、m（a）の最大値を求めよ。

この問題で、(1)では実数解を持たないようなaの範囲を求めました。それなのに(2)ではaの範囲を(1)の範囲、つまりxが実数解を持たない範囲で定義しているのに、解答ではt=x^2>0という条件を使っています。なぜxが実数ではないのにx^2>0が言えるのでしょうか。複素数間では大小関係をとれないことは分かっていますが、aが(1)の範囲、つまりxが実数でない範囲をとっている限り、x^2>0となることはないのではないでしょうか。なぜこの条件を使えるのか教えてほしいです。

ちなみに答えは（1）が-2<a<2 （2）が9/4です。わかる方よろしくお願いします。

No.65871 - 2020/05/27(Wed) 18:54:04

☆ Re: 関数 / ヨッシー

x^4＋2ax^2－a＋2 が０になるような実数ｘが無いだけで、
ｘはいろんな数をとれますし、
x^4＋2ax^2－a＋2 もいろんな値をとれます。
もちろん、０にはなりませんが。

No.65872 - 2020/05/27(Wed) 18:59:15

☆ Re: 関数 / とんぼ

分かりました。そこを勘違いしていたんですね。腑に落ちました。

No.65873 - 2020/05/27(Wed) 19:10:01

★ (No Subject) / みき

有理数の説明で、このようにb=1とありますが、なぜb=±1と書かれていないのでしょうか？

No.65869 - 2020/05/27(Wed) 17:54:35

☆ Re: / らすかる

確かに正しくないですが、ここの「b=1の場合である.」はきっと
「b=1としてa/bの形に表せる場合である.」
と解釈して欲しいのでしょうね。
例えばb=2でもa=2なら整数ですから、
b=±1とすれば済むというわけでもないですね。

No.65870 - 2020/05/27(Wed) 18:44:42