ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 関数 / とんぼ

京都大学の問題です

（1）方程式x4乗＋2ax二乗ーa＋2＝0が実数解をもたないようなaの範囲を求めよ。
（2）x4乗＋2ax二乗ーa＋2の最小値はm（a）とする。aが（1）の範囲にあるとき、m（a）の最大値を求めよ。

この問題で、(1)では実数解を持たないようなaの範囲を求めました。それなのに(2)ではaの範囲を(1)の範囲、つまりxが実数解を持たない範囲で定義しているのに、解答ではt=x^2>0という条件を使っています。なぜxが実数ではないのにx^2>0が言えるのでしょうか。複素数間では大小関係をとれないことは分かっていますが、aが(1)の範囲、つまりxが実数でない範囲をとっている限り、x^2>0となることはないのではないでしょうか。なぜこの条件を使えるのか教えてほしいです。

ちなみに答えは（1）が-2<a<2 （2）が9/4です。わかる方よろしくお願いします。

No.65871 - 2020/05/27(Wed) 18:54:04

☆ Re: 関数 / ヨッシー

x^4＋2ax^2－a＋2 が０になるような実数ｘが無いだけで、
ｘはいろんな数をとれますし、
x^4＋2ax^2－a＋2 もいろんな値をとれます。
もちろん、０にはなりませんが。

No.65872 - 2020/05/27(Wed) 18:59:15

☆ Re: 関数 / とんぼ

分かりました。そこを勘違いしていたんですね。腑に落ちました。

No.65873 - 2020/05/27(Wed) 19:10:01

★ (No Subject) / あ

赤線で囲ったように座標に数字をつけていく問題なのですが、青線部分のところ、なぜ902が第2象限にくることが分からないかがよく分かりません

No.65858 - 2020/05/27(Wed) 09:58:38

☆ Re: / あ

×「分からないのか」→○「分かるのかが」です。

No.65859 - 2020/05/27(Wed) 10:00:06

☆ Re: / ヨッシー

36くらいまで書くと分かると思いますが、
奇数の２乗　1, 9, 25, ・・・は、原点から右下に並びます。
偶数の２乗　4, 16, 36, ・・・は、(0,1) から左上に並びます。
座標でいうと、
　奇数 2n+1 (n=0,1,2…) の２乗は、(n, -n) にあり、一つ右に行ってから上に進みます。
　偶数 2n (n=1,2,3…) の２乗は、(1-n, n) にあり、１つ左に行ってから下に進みます。

902 に近い平方数は900＝30×30 で、座標は (-14,15)。この後
　901：(-15,15)
　902：(-15,14)
となります。
よって、この辺一帯第２象限です。

No.65860 - 2020/05/27(Wed) 10:16:14

☆ Re: ヨッシー / あ

なるほど、わかりました。

でもこれ、階差数列のとこおかしくないですか？
ほんとはa_n=4n^2+1になって、n=15を代入して901になりませんか？

No.65862 - 2020/05/27(Wed) 14:30:33

☆ Re: / ヨッシー

a_n=4n^2+1 は、１から左上に伸びる
　1, 5, 17, …
の項ですね。その先にはもちろん 901 があります。
座標は (-n,n) です。901 の座標が (-15,15) でその下が 902 (-15,14) です。

No.65868 - 2020/05/27(Wed) 16:44:48

★ 巨大数の一の位 / 真紅音

2018^2017^2016^……^2^1の一の位を求めよ。
2016^…以降は4の倍数だから、2017^…以降の一の位は1だ、というところまで考えたのですが、本題の答えがそれだと奇数乗ということしかわからず、4か6のどっちだろう……とわかりませんでした。
一応上の式が表記的にわかりづらいので補足しておくと、2018の右上に小さい2017が、その上に更に小さい2016が……と言う感じです。
mod使っても構いません。どなたかお答え下さい。

No.65855 - 2020/05/26(Tue) 23:11:27

☆ Re: 巨大数の一の位 / IT

任意の自然数nについて 2017^n≡1 (mod4) なので
2018^2017^2016^……^2^1≡8 (mod10)

ではないかと思います｡

No.65856 - 2020/05/27(Wed) 02:34:46

★ 対数の計算について / あゆ

log<2>3+3/log<2>3-4という式があったとして、この式はもういじりようがありませんか？
通分して(2log<2>3+3)/log<2>3-4というのは出来ませんよね？

No.65853 - 2020/05/26(Tue) 22:05:53

☆ Re: 対数の計算について / らすかる

式が良くわかりませんが
(log[2]3) + (3/log[2]3) - 4
でしょうか。それならば通分すると
{(log[2]3)^2+3-4log[2]3}/log[2]3
={(log[2]3-1)(log[2]3-3)}/log[2]3
={(log[2]3-log[2]2)(log[2]3-log[2]8)}/log[2]3
={log[2](3/2)}{log[2](3/8)}/log[2]3
={log[2](3/2)}{log[2](3/8)}{log[3]2}
などと変形できますが、元の式の方がシンプルでよいと思います。
他には分母のlogをなくして
3/log[2]3=3log[3]2
とすることはできますが、底が複数種類になるのはきれいでない気がします。

No.65854 - 2020/05/26(Tue) 22:36:37

★ ボイルシャルルの法則 / 学生

150kg/cm2の3.3l酸素ボンベには、1気圧換算で何m3の酸素が充填されているか。またこのボンベが屋外にあり、15℃から25℃まで気温が上昇した場合、ボンベの圧力はいくらになるか。

解説と式、解答教えてください！

No.65847 - 2020/05/26(Tue) 15:59:55

☆ Re: ボイルシャルルの法則 / 関数電卓

単位があまりにもグチャグチャ過ぎて！どう統一するかですが，常用されている SI 単位で統一します。また，おそらく 150kg/cm² は 150 kgw/cm² と思われますので…
　150 kgw/cm²＝150×9.8 N/10^-4m²＝1.47×10⁷ Pa …(1)
また，1 気圧＝1.013×10⁵ Pa だから，これで割って (1)＝145 気圧
一方 3.3 L＝3.3×10^-3 m³ だから
　充填量＝145×3.3×10^-3＝0.479 m³
　圧力＝145×(273＋25)/(273＋15)＝150 気圧

ところで，検索で見つけたここを見ていたら，kg/cm² はこの業界では慣用されている単位のようですね。10 kg/cm² は精密には 0.98 MPa ですが…

No.65878 - 2020/05/27(Wed) 20:37:30

★ 体積 / Ran

曲線√x+√y+√z=1とxy yz zx 平面で囲まれる立体の体積を求めよ。

という問題で、わたしは、z=tで固定した時の断面積を求めようとしたんですが、計算が複雑で、やったのはやったんですが、あってるか自信がありませんでした。

答えをみてると、⑵でxy平面での断面積が1/6で、それの(1-√t)^2倍というキレイな解き方だったんですけど、

なんでそうわかるんですか？？いうならば相似比的なのが(1-√t)^2より、面積比はその二乗の(1-√t)^4になりませんか？？？

よろしくお願いします。

No.65846 - 2020/05/26(Tue) 15:51:42

☆ Re: 体積 / ヨッシー

√x＋√y＝1 ・・・(i) のグラフと √x＋√y＝ａ・・・(ii) のグラフを比べたとき、
(i) 上の (m, (1－√m)^2) に対して、(ii) 上のｘ座標 ma^2 の点を考えると、
　ｙ＝(ａ－a√m)^2＝ａ^2(1－√m)^2
より、ａ^2 倍の相似の位置にあります。
よって、(ii) は (i) のａ^2 倍の相似形となります。

つまり、√x＋√y＋√z＝1 において、
　ｚ＝ｔの断面 √x＋√y＝１－√t は
　ｚ＝０の断面 √x＋√y＝１の (１－√t)^2 倍の相似です。
よって、面積は (１－√t)^4 倍になります。

これは、(3) の解答の１行上に書いてあります。

No.65848 - 2020/05/26(Tue) 16:26:45

★ 放物線と2本の接線 / Ayuyu

放物線と2本の接線があるとき、放物線とこの2本の接線で挟まれる面積を2本の接線の交点からy軸に平行に引いた線が2等分しますよね。画像がなく文章だけで申し訳ないのですが…これは何故なんでしょうか？証明でなくても簡単な説明で大丈夫です、教えていただけると嬉しいです。

No.65839 - 2020/05/26(Tue) 11:37:34

☆ Re: 放物線と2本の接線 / ヨッシー

ｙ＝ａx^2＋ｂｘ＋ｃ　(ａ≠０) 上の２点
　(ｐ，ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ)
　(ｑ，ａｑ^2＋ｂｑ＋ｃ)
における接線を考えます。ただし　ｐ≠ｑ
接線の式はそれぞれ
　ｙ－(ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ)＝(２ａｐ＋ｂ)(ｘ－ｐ)
　ｙ－(ａｑ^2＋ｂｑ＋ｃ)＝(２ａｑ＋ｂ)(ｘ－ｑ)
両式を連立して解くと、
　(ａｑ^2＋ｂｑ＋ｃ)－(ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ)＝(２ａｐ＋ｂ)(ｘ－ｐ)－(２ａｑ＋ｂ)(ｘ－ｑ)
　ａ(ｑ^2－ｐ^2)＋ｂ(ｑ－ｐ)＝２ａ(ｐ－ｑ)ｘ＋２ａ(ｑ^2－ｐ^2)＋ｂ(ｑ－ｐ)
ｑ－ｐ≠０　で割って、
　ａ(ｑ＋ｐ)＋ｂ＝－２ａｘ＋２ａ(ｑ＋ｐ)＋ｂ
　２ｘ＝ｐ＋ｑ
　ｘ＝(ｐ＋ｑ)/２

簡単には説明できませんでした。

No.65840 - 2020/05/26(Tue) 12:14:21

☆ Re: 放物線と2本の接線 / Ayuyu

なるほど！分かりやすかったです！ありがとうございます🙏

No.65841 - 2020/05/26(Tue) 12:26:47

★ (No Subject) / あ

【問題】y=sinx (0≦x≦π) とx軸で囲まれる図形をy軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

なぜこのような積分になるのかがよくわかりません。

No.65838 - 2020/05/26(Tue) 11:14:05

☆ Re: / ヨッシー

左の図をｙ軸（ここでは横軸）周りに回転させた立体から
右の図をｙ軸回りに回転させた立体を引くと、求める立体が
出来ます。

前者Ｖ1 は
　Ｖ1＝π∫[0～1]ｘ^2dy
ここで、ｙ＝sinｘより
　dy/dx＝cosｘ
　dy＝cosｘdx
0≦ｙ≦1 は π≧ｘ≧π/2 に相当
よって、
　Ｖ1＝∫[π～π/2]ｘ^2cosｘdx

後者も同様です。

No.65842 - 2020/05/26(Tue) 13:39:24

★ (No Subject) / 高校生

この問題の解答について、mとnは互いに素と述べていませんが、なぜ述べなくてよいのでしょうか？

No.65832 - 2020/05/26(Tue) 10:24:24

☆ Re: / らすかる

互いに素である必要がないからです。

No.65836 - 2020/05/26(Tue) 10:40:17

☆ Re: / 高校生

しかし、この問題では、互いに素となっていますが、どう言うことでしょうか？

No.65861 - 2020/05/27(Wed) 11:52:52

☆ Re: / らすかる

最後に「aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する」と言いたいためです。
互いに素と仮定しておかないと、これは言えません。

No.65866 - 2020/05/27(Wed) 16:05:04

★ 数列　微妙な違いなのですが… / Ayuyu

等差数列{an}の初項から第n項までの和Snを求める問題で、答えはn(63-3n)となっているところ、私は展開して-3n^2+63nとしました。これは微妙な違いですが△でしょうか？答えの状態でおいておくことになにか意味があるのでしょうか？

No.65827 - 2020/05/26(Tue) 09:31:16

☆ Re: 数列　微妙な違いなのですが… / ヨッシー

全然問題ありません。

No.65828 - 2020/05/26(Tue) 09:55:13

☆ Re: 数列　微妙な違いなのですが… / Ayuyu

ありがとうございます！

No.65835 - 2020/05/26(Tue) 10:28:50

★ 平面図形 / Qちゃん

一辺の長さが1の正八角形ABCDEFGHの周上を3点P、Q、Rが動く。Qが正八角形の頂点Aに一致し、∠PQR=90°となるとき?儕QRの面積の最大値を求めよ。

PQ=a、QR=bとすると、?儕QR=ab/2で、PRは直径なので、a⌒2+b⌒2=4+2√2です。相加相乗平均から、a⌒2+b⌒2≧2√a⌒2b⌒2=2abなので、?儕QRの面積の最大値は(2+√2)/2になると思ったのですが、答えは合っているのですが、この解き方ではだめだそうです。どうしてだめなのですか？

No.65824 - 2020/05/25(Mon) 22:20:38

☆ Re: 平面図形 / らすかる

「PRは直径なので、a⌒2+b⌒2=4+2√2です。」は間違いです。
PもRも辺の途中にあるときは直径ではありません。
（PRが直径より短いだけでなく、PRは正八角形の中心も通りません。）

No.65825 - 2020/05/25(Mon) 23:01:52

☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

ＰＲが必ずしも直径ではないからでしょう。

ＡＰの延長と円周の交点をＳ
ＡＲの延長と円周の交点をＴ
とし、△ＰＱＲ≦△ＱＳＴ≦△ＡＣＧ
より△ＡＣＧが最大とすれば良いでしょう。
（行間はたっぷり埋めてください）

No.65826 - 2020/05/25(Mon) 23:11:12

☆ Re: 平面図形 / Qちゃん

早速の回答ありがとうございます。ちょっとわからないのですが、円周角が90°になるのは対辺が直径のときではないのですか？

ヨッシー様の回答の行間の埋め方がわからないです。

No.65850 - 2020/05/26(Tue) 18:46:37

☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

上の図のＰやＲは円周上にないので、円周角の定理は使えません。

行間を埋めた例は：
△ＰＱＲが△ＣＡＧに一致したときが面積最大である。（面積の算出は省略）
（理由）
円に内接する１辺が直径である三角形の中で、
面積が最大になるのは、高さが最大になる、直角二等辺三角形である。・・・(i)
点Ｐ，Ｒが正八角形の頂点にあるとき、
△ＰＱＲが△ＢＡＦや△ＤＡＨに一致する場合、(i) より△ＡＣＧより面積は小さい。
点Ｐ，Ｒが正八角形の頂点以外の辺上にあるとき、
ＡＰの延長と円周の交点をＳ
ＡＲの延長と円周の交点をＴ
とする。
△ＰＱＲは△ＱＳＴの内部にあるので、
　△ＰＱＲ＜△ＱＳＴ
△ＱＳＴは直径を１辺とする三角形だが、直角二等辺三角形ではないので、(i) より
　△ＱＳＴ＜△ＡＣＧ
よって、いかなる△ＰＱＲも△ＡＣＧよりも面積が小さい。
以上より、△ＰＱＲが△ＡＣＧに一致するときが面積最大である。

No.65857 - 2020/05/27(Wed) 08:14:12