写像の、特に全射、単射についての質問です。
ある特定の問題ができないというわけではありませんが、全射か単射か、あるいは全単射かそれともどちらでもないのかということを答える問題が苦手です。例えば、
集合X、Y、Zと写像f:X→Y g:Y→Zが与えられている時、
(1)合成写像g⚪︎fが上への写像で、gが一対一の写像ならば、fは( )の写像である
(2) 合成写像g⚪︎fが一対一の写像で、fが上への写像ならば、gは( )の写像である
上の()に当てはまる用語(一対一or上へ)とその証明をせよ。
というような問題があるとします。このような問題で、全射や単射という条件をどう扱うべきかわかりません。全射、単射の定義は理解しているつもりです。
（全射は任意のy(∊Y)についてy=f(x)を満たすx(∊X)が存在。単射はf(x1)=f(x2)⇒x1=x2）
しかし当たり前のことですが、この定義だけでは問題を解くことはできません。このような問題を解くときに、どんなことを考えて解けばよいのでしょうか。ご教授願います。
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No.65968 - 2020/05/29(Fri) 13:02:39
| ☆ Re: 写像について / ヨッシー  | | | Wikipedia にも同じような図がありますが、
図のように、許されること、ダメなことを押さえておくと良いと思います。
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No.65974 - 2020/05/29(Fri) 14:26:12 |
| ☆ Re: 写像について / ast | | | 一般的な意味でも解答を書くこと自体に比べると感覚的なことを説明するほうが難題という気がしますし, 今回はone-to-oneかontoのどちらかが入ることはわかってるという前提もあるので特にそうだと思います (試せるものを全部試してまぐれでも当たりを引けば解答の完成というアプローチがとれる).
まあ例に挙げられた問題だと (1)ではg, (2)ではfが, それぞれ全単射になるから, 残りのもう一方が g.f と同一視できてしまうみたいなことが起きていたりはしますが.
# 実は, 一般に g.fがone-to-oneならfがone-to-one, g.fがontoならgがonto が言えます.
ほかは, 単射は (双対的に全射も) 集合の濃度の大小関係を定義するものという見方もできますから, それをなんとなくイメージすることに使うことはできるのかもしれません.
> しかし当たり前のことですが、この定義だけでは問題を解くことはできません。
とはおっしゃいますが, 本問は単純に言えば「定義に当てはまるかどうか」だけしか訊かれてないので, 解答自体は定義の文言をただうまく並べた程度にも見えるものになると思いますよ. 一応略解を示しておきますと:
(1) 任意に y∈Y をとる. z=g(y) に対し g.f がontoゆえ適当な x∈X で z=g.f(x) なるものをとると, g はone-to-oneだから g(y)=z=g(f(x))⇒ y=f(x) とできる. ゆえに f はonto. (f がone-to-oneかは決まらないと思う)
(2) g(y)=g(y') となる y,y'∈Y があったとすれば, f はontoだから y=f(x),y'=f(x') となる x,x'∈X がとれて g.f(x)=g.f(x'). g.f はone-to-oneゆえ x=x' したがって y=f(x)=f(x')=y'. つまり g はone-to-one. (g がontoかどうかは決まらない)
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No.65975 - 2020/05/29(Fri) 15:05:01 |
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