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★ 文字のある階乗について / みお
階乗の基礎的な疑問です。n(n-1)!＝n!になるのがよくわかりません。
（ｎ-1)!が1になるのはなぜですか?具体的な数字を入れると1にはなりません。
（ｎ-1)!＝（ｎ−１).（ｎ−２).（ｎ−３）・・・3.2.1でなぜ1になるのですか?
何がなんだか…教えてくださると幸いです。
No.65704 - 2020/05/21(Thu) 23:28:15
☆ Re: 文字のある階乗について / ヨッシー
１になるとは書いていません。
　ｎ(ｎ−１)！＝ｎ
なら、(ｎ−１)！＝１ を意味しますが、右辺はｎ！です。
No.65706 - 2020/05/21(Thu) 23:34:49
☆ Re: 文字のある階乗について / Ayuyu
例えばn=3だとすると、3(3-1)！=3・2！=3！になるからです。分かりましたかね…？
No.65766 - 2020/05/24(Sun) 15:04:24
★ 行列 / 匿名
カッコ3教えてください
No.65702 - 2020/05/21(Thu) 22:38:27
☆ Re: 行列 / ヨッシー
ヒントにあるようにＴA がｘ軸への射影、ＴBがπ/2回転とします。
点(1,1) に
ＴAB を実施すると
　(1,1)→(π/2回転)→(-1,1)→(ｘ軸に射影)→(-1,0)
ＴBA を実施すると
　(1,1)→(ｘ軸に射影)→(1,0)→(π/2回転)→(0,1)
このように、違う点に移るので、AB と BA は同じ行列でないことがわかります。
No.65703 - 2020/05/21(Thu) 23:26:28
★ 面積 / うい
見にくくてごめんなさい…

今(2)を解いているのですが、
-??2 1ではなく
?? 2 1
となるようなのです…
なぜかわからないです。
x軸より下にあるときはマイナスというわけではないのでしょうか…
No.65700 - 2020/05/21(Thu) 22:30:03
☆ Re: 面積 / ヨッシー
頭にマイナスが付くかどうかより、∫の中に何を入れたかが重要です。
見ると、−ｘ^2＋3x−2 が入っていますが、これは
1＜ｘ＜2 では、ｘ軸より上のグラフです。
正になるように、ｘ軸の式　ｙ＝０　から　ｘ^2−3x＋2 を
引いたのに、マイナスを付けたら台無しです。
No.65705 - 2020/05/21(Thu) 23:32:01
★ 関数方程式 / 美雪
失礼します。よろしくお願いします。

どこがどのような理由でだめなのか、ご指摘ください。

問題
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数f(x)がf(0)=0、f’(0)=1を満たし、さらに任意の実数a、bに対して1+f(a)f(b)≠0であって、

f(a+b)={f(a)+(b)}/{1+f(a)f(b)}

を満たしている。

任意の実数aに対して、-1<f(a)<1であることを証明しなさい。


解答
任意の実数aに対してf(a)>1と仮定します。

f(a+b)-1=-{f(a)-1}{f(b)-1}/{1+f(a)f(b)}であって、仮定より、f(a)>1、f(b)>1なので、f(a+b)-1<0なので、f(a+b)<1となり、仮定に矛盾します。

任意の実数aに対してf(a)<-1と仮定します。

f(a+b)+1={f(a)+1}{f(b)+1}/{1+f(a)f(b)}であって、仮定より、
f(a)<-1、f(b)<-1なので、f(a+b)+1>0なので、f(a+b)>-1となり、仮定に矛盾します。

以上より-1≦f(a)≦1です。

次にf(a+b)をaを固定してbの関数として微分し、b=0としますと、

f’(a)=1-{f(a)}の2乗で、-1≦f(a)≦1から、f’(a)≧0で、f(a)は単調増加です。

ある実数aに対してf(a)=1と仮定します。f(a+b)-1=0となりますので、f(a+b)=1ですが、これはf(a)が単調増加であることに矛盾します。

ある実数aに対してf(a)=-1と仮定します。f(a+b)+1=0となりますので、
f(a+b)=-1ですが、これはf(a)が単調増加であることに矛盾します。

よってf(a)≠±1なので、-1<f(a)<1です。

詳しく教えてください。よろしくお願いします。
No.65698 - 2020/05/21(Thu) 22:06:07
☆ Re: 関数方程式 / IT
> 解答
> 任意の実数aに対してf(a)>1と仮定します。

背理法で証明しようとしておられますよね？
　だとすると、その条件を満たしているにもかかわらず「任意の実数aに対して、-1<f(a)<1である」が成り立たないようなf(x)があると仮定すると矛盾する。ことを示す訳ですが、

「任意の実数aに対して、-1<f(a)<1である」の否定は、どう書けますか？
No.65699 - 2020/05/21(Thu) 22:21:29
☆ Re: 関数方程式 / 美雪
「任意の実数aに対して、-1<a<1である」の否定は「ある実数aに対して、f(a)≦-1または1≦f(a)」だと思います。
No.65720 - 2020/05/22(Fri) 16:40:44
☆ Re: 関数方程式 / IT
そうですね。
では、
> 解答
> 任意の実数aに対してf(a)>1と仮定します。

> ・・・・

> 仮定に矛盾します。

> 以上より-1≦f(a)≦1です。

最後の -1≦f(a)≦1のa は、どんなaですか？
No.65721 - 2020/05/22(Fri) 18:21:23
☆ Re: 関数方程式 / 美雪
具体的なaの値はわかりませんが、f(a)<-1、1<f(a)が否定された以上、-1≦f(a)≦1なるaは存在することになりませんか？
No.65851 - 2020/05/26(Tue) 19:44:31
★ (No Subject) / 開成高校４年
これどうゆうことですか？？
No.65690 - 2020/05/21(Thu) 20:08:14
☆ Re: / IT
赤丸の中の式変形が分からないということですか？
左辺から右辺は「割算」、右辺から左辺は「通分」という操作です。
No.65691 - 2020/05/21(Thu) 20:31:22
☆ Re: / 開成高校４年
わりかました！ありがとうございます😊
No.65712 - 2020/05/22(Fri) 08:04:33
☆ Re: / 関数電卓
質問者さんは，y＝x/(x−1) …(*) のグラフが「参考」図のようになることがすぐに分かりますか？
これは，(*)を y−1＝1/(x−1) と変形することで，
　y＝1/x を x 方向に＋1, y 方向に＋1 平行移動したもの
と分かります。すると，x→1−0, x→1＋0 での y の振る舞いもすぐに分かりますね。そのための変形です。
　ところで，拝見していると，「ぱっと見分からない」の質問が多いように見受けられます。質問をすることは悪いことではありませんが，「(他人の解答を参考にした上で) 自分でじっくり考えてみる」ことは，実力養成のために大変重要です。それでも分からなければ，いつでもご質問下さい。(老爺心ながら)
No.65715 - 2020/05/22(Fri) 11:11:43
★ 指数対数 / 高
(1/4)log[3](√27/9)/4　が
＝(1/16)log[3](1/√3)
になる過程がわかりません。どなたかお教え願えませんか？よろしくお願いします。
No.65686 - 2020/05/21(Thu) 17:51:51
☆ Re: 指数対数 / IT
(√27/9)=(1/√3) は、分かりますか？
No.65687 - 2020/05/21(Thu) 18:36:36
☆ Re: 指数対数 / ヨッシー
あと、たぶん書き間違いと思いますが、
　(1/4)log[3](√27/9)^(1/4)
ですよね？
No.65689 - 2020/05/21(Thu) 20:01:56
☆ Re: 指数対数 / 高
> (√27/9)=(1/√3) は、分かりますか？

そこが…わからないです。お教え願えたらうれしいです！

>　あと、たぶん書き間違いと思いますが、
　(1/4)log[3](√27/9)^(1/4)
ですよね？

元の問題が
log[81]∜√27/9なのですが、途中計算のところでつまづいてしまいまして…わからないところを抜粋して書いてしまいました。わかりづらくしてしまい、申し訳ありません！
No.65701 - 2020/05/21(Thu) 22:31:28
☆ Re: 指数対数 / ヨッシー
√27＝√3×√3×√3
９＝√3×√3×√3×√3　です。
No.65707 - 2020/05/21(Thu) 23:36:22
☆ Re: 指数対数 / 高
なるほど！！やっと理解ができました◎ありがとうございます！
No.65708 - 2020/05/21(Thu) 23:52:29
★ ε-Nについて / meow
この問題が∞に発散するには，どのように証明すればよいでしょうか？
r=1+hと置き，r^2=(1+h)^2について二項定理を使い展開し，アルキメデスの原理の原理を用いて証明したいのですが，分母のn^2をどのように扱えば良いのかわかりません．
No.65682 - 2020/05/21(Thu) 15:16:16
☆ Re: ε-Nについて / IT
>r^2=(1+h)^2について二項定理を使い展開し
r^n＝(1+h)^n ですよね？
まず、これを適当なところまで展開してみてから考えるといいです。
No.65688 - 2020/05/21(Thu) 19:11:15
☆ Re: ε-Nについて / meow
間違えました．そうです！
r^n=(1+h)^nです．

(1+h)^n=1+nh+{n(n-1)/2!}h^2+.....
となると思うのですが，これから
r^n > nh
となり，K>0に対して，Nh>Kとなるような自然数Nをとって，そのNより大きいnに対して
r^n > nh > Nh > K
になるので，r^n自体が発散するのはわかりました．

あとこれは1>rだという条件もついていました．
No.65692 - 2020/05/21(Thu) 21:08:33
☆ Re: ε-Nについて / らすかる
1>rじゃ「=∞」になりませんよ。
それはともかくとして、
(1+h)^nの展開をあと1項増やせば、n^2で割ったものも発散することがわかります。
（ITさんが「適当なところまで」と書かれたのはそういう意味だと思います。）
No.65693 - 2020/05/21(Thu) 21:13:11
☆ Re: ε-Nについて / meow
そうです．すみません...
1<rです．
最後まで確認不足でした．

1項増やすというのは，{n(n-1)(n-2)}/3!*h^3ということでしょうか？

添付した画像をn^2で割れば，分母にnが残り...
という流れでしょうか？
No.65697 - 2020/05/21(Thu) 21:44:58
☆ Re: ε-Nについて / らすかる
「分母に」じゃなくて「分子に」と言いたかったんですよね？
分子にnが残れば、それにどんなに小さい定数がかかっていても
n→∞のとき∞になりますね。
あと、分子の2nなどの項は先に消す必要はありません。分子分母をn^2で割れば2nは2/nになりますのでn→∞のとき0になって消えます。
よって、三次までの項を整理してn^2で割ればOKです。
No.65710 - 2020/05/22(Fri) 00:24:29
☆ Re: ε-Nについて / meow
みなさん回答ありがとうございます．
分子です!
n→∞のとき2/nが0になるというのは，証明内で用いて良いのでしょうか？一応ε-N論法を用いた方が良いのでしょうか?

とりあえず発散することの証明はできそうです．
みなさんありがとうございました．
No.65711 - 2020/05/22(Fri) 01:02:22
★ (No Subject) / 開成高校４年
これってxはしんすうだから正で確定じゃないんですか？なぜ絶対値をつけるのですか？
No.65681 - 2020/05/21(Thu) 15:08:48
☆ Re: / ヨッシー
真数だからこそ絶対値が必要です。

２乗になっている間は
　log[2]{(+3)^2} も log[2]{(-3)^2} も
許されますが、２乗を前に持ってきたときは、
　2log[2](+3) はともかく、2log[2](-3) は許されないので、
絶対値が必要になります。
No.65683 - 2020/05/21(Thu) 15:39:58
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！納得です！ありがとうございます😊
No.65684 - 2020/05/21(Thu) 15:44:17
★ (No Subject) / 開成高校４年
そしてその問題の続きで(2)のa＞1/2はどっからきたのでしょうか？
No.65669 - 2020/05/21(Thu) 09:29:43
☆ Re: / ヨッシー
ちょっと解答の書き方(日本語)がおかしいですね。

ゆえに、ａ＞1/2 のときに、ｒは正の値を持ち、その値は
　ｒ＝√(2a−1)
である。

と書けばわかりますか？
No.65671 - 2020/05/21(Thu) 09:48:36
☆ Re: / 開成高校４年
それならわかります！
でも問題文にr＞0ってかいてあるのにrが正の値をもつ確認がいるのですか？？
No.65673 - 2020/05/21(Thu) 10:23:36
☆ Re: / ヨッシー
正の解を持つ以前に、実数解を持たないといけないので、
これはその確認です。
No.65675 - 2020/05/21(Thu) 10:27:49
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！
ふと疑問が増えてしまったのですがその前にa＞1となっているのにa＞1/2として考えていいのですか？？
No.65678 - 2020/05/21(Thu) 11:17:06
☆ Re: / ヨッシー
ａ＞１　は　ａ＞1/2 の十分条件なので、問題ありません。

もちろん、
ａ＞１のとき、明らかに 2a−1＞０ なので、
ｒ＞０ から ｒ＝√(2a−1)
のように書いても良いです。
No.65679 - 2020/05/21(Thu) 11:20:53
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！納得しました！！ありがとうございます😊
No.65680 - 2020/05/21(Thu) 11:53:21
★ (No Subject) / 開成高校４年
4(1−a)≧0になる理由がわかりません。
No.65668 - 2020/05/21(Thu) 09:28:49
☆ Re: / ヨッシー
例えば、
　ｘ^2(ｘ^2＋Ａ)＝０　・・・(i)
というｘについての方程式があるとき、
・Ａ＝−４　のとき、(i) の解は何ですか？
・Ａ＝０　のとき、(i) の解は何ですか？
・Ａ＝４　のとき、(i) の解は何ですか？
No.65670 - 2020/05/21(Thu) 09:45:12
☆ Re: / 開成高校４年
これであってますか？？
0以上だと解が0だけになるからってことですか？？
No.65672 - 2020/05/21(Thu) 10:18:37
☆ Re: / ヨッシー
結論はそういうことです。

ただ、Ａ＝０のときと、Ａ＝４ のときは意味合いが違って、
Ａ＝０のときは、純粋に解はｘ＝０だけですが、
Ａ＝４のときは、ｘ＝０ の他に ｘ＝±２ｉ があり、
実数解はｘ＝０だけということです。
No.65674 - 2020/05/21(Thu) 10:26:35
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！
納得できました！ありがとうございます😊
No.65677 - 2020/05/21(Thu) 11:15:10
★ (No Subject) / 開成高校４年
[2]の放物線の軸はなぜx＝√2cosになるのですか？
No.65665 - 2020/05/21(Thu) 08:42:55
☆ Re: / ヨッシー
ｘ^2−２ａｘ＋ｂ＝０　の軸は　ｘ＝ａ　ですよね？
では
ｘ^2−２{√2cosθ}ｘ＋cosθ＝０　の場合は？
No.65666 - 2020/05/21(Thu) 09:00:52
☆ Re: / 開成高校４年
あ、納得しました笑ありがとうございます😊
No.65667 - 2020/05/21(Thu) 09:27:25
★ (No Subject) / こーる
再度失礼いたします。
変数関数がf(x) = -x^3+3.5x^2-2x+5の時
x = 1の位置における，?@関数値f(x)，?Aグラジェントベクトルg(x)，?Bヘッセ行列H(x)を求めよ
上の関数でx = 1から出発し，グラジェントベクトルgを探索ベクトルとし，係数a=0.5とした場合の，探索過程を計算し，最大値を示せ．探索点が移動しなくなったら終了とする

この問題が解けなくて困っています　力を貸してください。
No.65660 - 2020/05/21(Thu) 06:51:11
★ 確率分布 / わらび
すいません、よろしくお願いします。
標本平均の分散s=母分散σ／標本の大きさn
という公式から母標準偏差を求めると
s^2=σ^2/n
ns^2=σ^2
√ns=σ
となりますよね。
一方、標本平均と標本標準偏差から母平均を求めようとするとき
母標準偏差はわからないから標本標準偏差を代わりに使ってよいと参考書に書かれています。nが十分大きいときはそれでいいのだと書かれています。
√ns=σなのでnが大きいと全然s=σにならないと思うのですが、どういうことでしょうか？
No.65658 - 2020/05/21(Thu) 04:55:42
☆ Re: 確率分布 / IT
「標本平均の分散」 は、「標本の分散」　とは、まったく異なるもので、お互いに近似もしません。
No.65661 - 2020/05/21(Thu) 06:59:19
☆ Re: 確率分布 / わらび
返答ありがとうございます。
s^2=σ^2/nが成り立つのは標本平均の分散。
母標準偏差がわからないときに代わりに使う標本標準偏差というのは、標本の分散にルートをつけたものということでしょうか？
No.65662 - 2020/05/21(Thu) 07:44:29
★ (No Subject) / １回生
行列のn乗について質問です。

A=
「1, 1, 1
1, 0, -1」

とした時、(t_A・A)^(n+1)をもとめよ。という問題が全くわかりません。

つまりこの行列

「2, 1, 0
1, 1, 1
0, 1, 2」

の(n+1)乗を求めることまでは分かるのですが...
どなたか、解説していただければと思います。よろしくおねがいします。
No.65654 - 2020/05/20(Wed) 21:59:07
☆ Re: / 関数電卓
こちら をご覧下さい。
ここまでやってあれば，この先 n＋1 乗を求めるのはご自身で。
No.65655 - 2020/05/20(Wed) 22:13:42
★ (No Subject) / 開成高校４年
囲った部分が条件になる理由がわかりません…
No.65652 - 2020/05/20(Wed) 20:21:08
☆ Re: / X
添付写真に書かれていませんが
t=2^x
と置いているものと仮定して回答を。

t=2^x (A)
であるので
0＜t＜1⇔0＜2^x＜1⇔x＜0
1＜t⇔1＜2^x⇔0＜x
つまり
0＜t＜1にx＜0
1＜tに0＜x
がそれぞれ対応しています。
このことと(A)からtとxが
1対1に対応していることから
添付写真の赤い囲みの内容が
成立します。
No.65653 - 2020/05/20(Wed) 21:02:07
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！ありがとうございます😊
No.65664 - 2020/05/21(Thu) 08:40:15
★ (No Subject) / 新大学生
学校側から訂正が来ました。
a・X=0ではなくa・X=bだそうです
No.65650 - 2020/05/20(Wed) 19:52:24
★ 共有点 / うい
f(x)とf(-x＋3)をイコールで結べる理由を教えてください
お願い致します
No.65643 - 2020/05/20(Wed) 15:35:04
☆ Re: 共有点 / ヨッシー
例えば、
　ｙ＝f(x)＝2x　と
　ｙ＝g(x)＝x＋1　の交点を求める時に
f(x)＝g(x)　つまり、　2x＝x＋1　としますよね？

この問題では、f(-x+3) は f が見えてますが、結局　f(x) とは別のｘを変数とする関数なので、
　g(x)＝f(-x+3)
と置けば、交点を求めるのに、f(x)＝f(-x+3) とすることが分かると思います。
No.65645 - 2020/05/20(Wed) 16:22:05
☆ Re: 共有点 / うい
変数が違うんですね！
とても納得できました、ありがとうございます！
No.65696 - 2020/05/21(Thu) 21:29:38
★ 最大値 / うい
こういう問題の場合、直線の交点が最大値になるのですか？
なぜここが最大値とわかったのかが分かりません
No.65641 - 2020/05/20(Wed) 15:32:22
☆ Re: 最大値 / ヨッシー
直線　ｘ＋ｙ＝ｋ　のグラフは、
傾き−１で、ｋはｙ切片に現れます。
この直線が、グラフの斜線の部分と共有点を持ちながら
上下させたとき、ｋが最も大きくなるのが、（4, 3) を
通るときで、その位置よりｋを大きくすると、直線と斜線領域が
離れてしまいます。
No.65647 - 2020/05/20(Wed) 16:31:28
☆ Re: 最大値 / うい
自力だと
(4, 3) を通るときが最大値、と求められないのですが
どう考えたらいいのですか？
No.65694 - 2020/05/21(Thu) 21:23:17
★ log / うい
2log3(x＋1)
となると思ったのですが、どうしてダメなのですか？
二乗の理由がわからないです
No.65640 - 2020/05/20(Wed) 14:51:35
☆ Re: log / ヨッシー
2log[3](x+1)＝log[3](x+1)^2 なので、どちらでも良いですが、
その下の式で、ｙを入れているので、２を前に出さずに中に入れています。
No.65646 - 2020/05/20(Wed) 16:26:01
☆ Re: log / うい
色々な方法があるんですね……
頑張ります
No.65695 - 2020/05/21(Thu) 21:24:27
★ こちらの問題なのですが教えてください / ななこ
途中式も含めて教えてください。お願い致します。
No.65632 - 2020/05/20(Wed) 12:30:37
☆ Re: こちらの問題なのですが教えてください / ヨッシー

長方形なら式の出番はありますが正方形は数えたほうが早いです。
図の左下の場合が多分最多です。
No.65635 - 2020/05/20(Wed) 12:57:57
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