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★ (No Subject) / あ
赤線で囲ったように座標に数字をつけていく問題なのですが、青線部分のところ、なぜ902が第2象限にくることが分からないかがよく分かりません
No.65858 - 2020/05/27(Wed) 09:58:38
☆ Re: / あ
×「分からないのか」→○「分かるのかが」です。
No.65859 - 2020/05/27(Wed) 10:00:06
☆ Re: / ヨッシー
36くらいまで書くと分かると思いますが、
奇数の２乗　1, 9, 25, ・・・ は、原点から右下に並びます。
偶数の２乗　4, 16, 36, ・・・ は、(0,1) から左上に並びます。
座標でいうと、
　奇数 2n+1 (n=0,1,2…) の２乗は、(n, -n) にあり、一つ右に行ってから上に進みます。
　偶数 2n (n=1,2,3…) の２乗は、(1-n, n) にあり、１つ左に行ってから下に進みます。

902 に近い平方数は900＝30×30 で、座標は (-14,15)。この後
　901：(-15,15)
　902：(-15,14)
となります。
よって、この辺一帯第２象限です。
No.65860 - 2020/05/27(Wed) 10:16:14
☆ Re: ヨッシー / あ
なるほど、わかりました。

でもこれ、階差数列のとこおかしくないですか？
ほんとはa_n=4n^2+1になって、n=15を代入して901になりませんか？
No.65862 - 2020/05/27(Wed) 14:30:33
☆ Re: / ヨッシー
a_n=4n^2+1 は、１から左上に伸びる
　1, 5, 17, …
の項ですね。その先にはもちろん 901 があります。
座標は (-n,n) です。901 の座標が (-15,15) でその下が 902 (-15,14) です。
No.65868 - 2020/05/27(Wed) 16:44:48
★ 巨大数の一の位 / 真紅音
2018^2017^2016^……^2^1の一の位を求めよ。
2016^…以降は4の倍数だから、2017^…以降の一の位は1だ、というところまで考えたのですが、本題の答えがそれだと奇数乗ということしかわからず、4か6のどっちだろう……とわかりませんでした。
一応上の式が表記的にわかりづらいので補足しておくと、2018の右上に小さい2017が、その上に更に小さい2016が……と言う感じです。
mod使っても構いません。どなたかお答え下さい。
No.65855 - 2020/05/26(Tue) 23:11:27
☆ Re: 巨大数の一の位 / IT
任意の自然数nについて 2017^n≡1 (mod4) なので
2018^2017^2016^……^2^1≡8 (mod10)

ではないかと思います｡
No.65856 - 2020/05/27(Wed) 02:34:46
★ 対数の計算について / あゆ
log<2>3+3/log<2>3-4という式があったとして、この式はもういじりようがありませんか？
通分して(2log<2>3+3)/log<2>3-4というのは出来ませんよね？
No.65853 - 2020/05/26(Tue) 22:05:53
☆ Re: 対数の計算について / らすかる
式が良くわかりませんが
(log[2]3) + (3/log[2]3) - 4
でしょうか。それならば通分すると
{(log[2]3)^2+3-4log[2]3}/log[2]3
={(log[2]3-1)(log[2]3-3)}/log[2]3
={(log[2]3-log[2]2)(log[2]3-log[2]8)}/log[2]3
={log[2](3/2)}{log[2](3/8)}/log[2]3
={log[2](3/2)}{log[2](3/8)}{log[3]2}
などと変形できますが、元の式の方がシンプルでよいと思います。
他には分母のlogをなくして
3/log[2]3=3log[3]2
とすることはできますが、底が複数種類になるのはきれいでない気がします。
No.65854 - 2020/05/26(Tue) 22:36:37
★ ボイルシャルルの法則 / 学生
150kg/cm2の3.3l酸素ボンベには、1気圧換算で何m3の酸素が充填されているか。またこのボンベが屋外にあり、15℃から25℃まで気温が上昇した場合、ボンベの圧力はいくらになるか。

解説と式、解答教えてください！
No.65847 - 2020/05/26(Tue) 15:59:55
☆ Re: ボイルシャルルの法則 / 関数電卓
単位があまりにもグチャグチャ過ぎて！ どう統一するかですが，常用されている SI 単位で統一します。また，おそらく 150kg/cm2 は 150 kgw/cm2 と思われますので…
　150 kgw/cm2＝150×9.8 N/10-4m2＝1.47×107 Pa …(1)
また，1 気圧＝1.013×105 Pa だから，これで割って (1)＝145 気圧
一方 3.3 L＝3.3×10-3 m3 だから
　充填量＝145×3.3×10-3＝0.479 m3
　圧力＝145×(273＋25)/(273＋15)＝150 気圧

ところで，検索で見つけた ここ を見ていたら，kg/cm2 はこの業界では慣用されている単位のようですね。10 kg/cm2 は精密には 0.98 MPa ですが…
No.65878 - 2020/05/27(Wed) 20:37:30
★ 体積 / Ran
曲線√x+√y+√z=1とxy yz zx 平面で囲まれる立体の体積を求めよ。


という問題で、わたしは、z=tで固定した時の断面積を求めようとしたんですが、計算が複雑で、やったのはやったんですが、あってるか自信がありませんでした。

答えをみてると、⑵でxy平面での断面積が1/6で、それの(1-√t)^2倍というキレイな解き方だったんですけど、

なんでそうわかるんですか？？いうならば相似比的なのが(1-√t)^2より、面積比はその二乗の(1-√t)^4になりませんか？？？

よろしくお願いします。
No.65846 - 2020/05/26(Tue) 15:51:42
☆ Re: 体積 / ヨッシー
√x＋√y＝1 ・・・(i) のグラフと √x＋√y＝ａ ・・・(ii) のグラフを比べたとき、
(i) 上の (m, (1−√m)^2) に対して、(ii) 上のｘ座標 ma^2 の点を考えると、
　ｙ＝(ａ−a√m)^2＝ａ^2(1−√m)^2
より、ａ^2 倍の相似の位置にあります。
よって、(ii) は (i) のａ^2 倍の相似形となります。

つまり、√x＋√y＋√z＝1 において、
　ｚ＝ｔ の断面 √x＋√y＝１−√t は
　ｚ＝０ の断面 √x＋√y＝１ の (１−√t)^2 倍の相似です。
よって、面積は (１−√t)^4 倍になります。

これは、(3) の解答の１行上に書いてあります。
No.65848 - 2020/05/26(Tue) 16:26:45
★ 自然数を定義域にもつ関数 / 元中3
初歩的なことを質問します。
No.65845 - 2020/05/26(Tue) 15:18:04
☆ Re: 自然数を定義域にもつ関数 / ヨッシー
書かれている通りでいいと思います。

≦≧ は、最小、最大を厳密に指定する場合と、
存在する範囲を指定する場合とがあり、この場合は
後者になります。
No.65849 - 2020/05/26(Tue) 16:37:26
★ 関数解析 / あ
Xをノルム空間とする。実数直線上の閉区間[a,b]上の連続関数全体にmaxノルムを付与した空間C[a,b]において、中線定理が成り立たないことを示せ。　　

解き方を教えてください。おねがいします。
No.65844 - 2020/05/26(Tue) 14:32:47
★ 放物線と2本の接線 / Ayuyu
放物線と2本の接線があるとき、放物線とこの2本の接線で挟まれる面積を2本の接線の交点からy軸に平行に引いた線が2等分しますよね。画像がなく文章だけで申し訳ないのですが…これは何故なんでしょうか？証明でなくても簡単な説明で大丈夫です、教えていただけると嬉しいです。
No.65839 - 2020/05/26(Tue) 11:37:34
☆ Re: 放物線と2本の接線 / ヨッシー
ｙ＝ａx^2＋ｂｘ＋ｃ　(ａ≠０) 上の２点
　(ｐ，ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ)
　(ｑ，ａｑ^2＋ｂｑ＋ｃ)
における接線を考えます。ただし　ｐ≠ｑ
接線の式はそれぞれ
　ｙ−(ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ)＝(２ａｐ＋ｂ)(ｘ−ｐ)
　ｙ−(ａｑ^2＋ｂｑ＋ｃ)＝(２ａｑ＋ｂ)(ｘ−ｑ)
両式を連立して解くと、
　(ａｑ^2＋ｂｑ＋ｃ)−(ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ)＝(２ａｐ＋ｂ)(ｘ−ｐ)−(２ａｑ＋ｂ)(ｘ−ｑ)
　ａ(ｑ^2−ｐ^2)＋ｂ(ｑ−ｐ)＝２ａ(ｐ−ｑ)ｘ＋２ａ(ｑ^2−ｐ^2)＋ｂ(ｑ−ｐ)
ｑ−ｐ≠０　で割って、
　ａ(ｑ＋ｐ)＋ｂ＝−２ａｘ＋２ａ(ｑ＋ｐ)＋ｂ
　２ｘ＝ｐ＋ｑ
　ｘ＝(ｐ＋ｑ)/２

簡単には説明できませんでした。
No.65840 - 2020/05/26(Tue) 12:14:21
☆ Re: 放物線と2本の接線 / Ayuyu
なるほど！分かりやすかったです！ありがとうございます🙏
No.65841 - 2020/05/26(Tue) 12:26:47
★ (No Subject) / あ
【問題】y=sinx (0≦x≦π) とx軸で囲まれる図形をy軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

なぜこのような積分になるのかがよくわかりません。
No.65838 - 2020/05/26(Tue) 11:14:05
☆ Re: / ヨッシー

左の図をｙ軸（ここでは横軸）周りに回転させた立体から
右の図をｙ軸回りに回転させた立体を引くと、求める立体が
出来ます。

前者Ｖ1 は
　Ｖ1＝π∫[0〜1]ｘ^2dy
ここで、ｙ＝sinｘ より
　dy/dx＝cosｘ
　dy＝cosｘdx
0≦ｙ≦1 は π≧ｘ≧π/2 に相当
よって、
　Ｖ1＝∫[π〜π/2]ｘ^2cosｘdx

後者も同様です。
No.65842 - 2020/05/26(Tue) 13:39:24
★ (No Subject) / 高校生
この問題の解答について、mとnは互いに素と述べていませんが、なぜ述べなくてよいのでしょうか？
No.65832 - 2020/05/26(Tue) 10:24:24
☆ Re: / らすかる
互いに素である必要がないからです。
No.65836 - 2020/05/26(Tue) 10:40:17
☆ Re: / 高校生
しかし、この問題では、互いに素となっていますが、どう言うことでしょうか？
No.65861 - 2020/05/27(Wed) 11:52:52
☆ Re: / らすかる
最後に「aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する」と言いたいためです。
互いに素と仮定しておかないと、これは言えません。
No.65866 - 2020/05/27(Wed) 16:05:04
★ (No Subject) / あ
これって赤線部分は、logの中身が自然対数になるってことですか？
No.65831 - 2020/05/26(Tue) 10:17:28
☆ Re: / らすかる
logの中身がeになる、という意味で言っているのであれば、その通りです。
No.65837 - 2020/05/26(Tue) 10:41:33
★ (No Subject) / 開成高校４年
すみません。その続きの緑とオレンジの式変形もわかりませんでした。
No.65830 - 2020/05/26(Tue) 10:16:23
☆ Re: / Ayuyu
{(x^2+x)-2}{(x^2+x)+1}
=(x^2+x-2)(x^2+x+1)
=(x+2)(x-1)(x^2+x+1)←左側の()の中身を因数分解しました。
ご参考になれば幸いです！
No.65834 - 2020/05/26(Tue) 10:28:30
★ (No Subject) / 開成高校４年
これってどうやってこう赤い式から青い式に変形したのですか？
No.65829 - 2020/05/26(Tue) 10:10:52
☆ Re: / Ayuyu
x^4+2x^3+x^2の部分を因数分解して(x^2をひとかたまりと見る)、(x^2+x)^2となっています。
-2-(x^2+x)の部分は変化していません。
ご参考になれば幸いです！
No.65833 - 2020/05/26(Tue) 10:24:42
★ 数列　微妙な違いなのですが… / Ayuyu
等差数列{an}の初項から第n項までの和Snを求める問題で、答えはn(63-3n)となっているところ、私は展開して-3n^2+63nとしました。これは微妙な違いですが△でしょうか？答えの状態でおいておくことになにか意味があるのでしょうか？
No.65827 - 2020/05/26(Tue) 09:31:16
☆ Re: 数列　微妙な違いなのですが… / ヨッシー
全然問題ありません。
No.65828 - 2020/05/26(Tue) 09:55:13
☆ Re: 数列　微妙な違いなのですが… / Ayuyu
ありがとうございます！
No.65835 - 2020/05/26(Tue) 10:28:50
★ 平面図形 / Qちゃん
一辺の長さが1の正八角形ABCDEFGHの周上を3点P、Q、Rが動く。Qが正八角形の頂点Aに一致し、∠PQR=90°となるとき?儕QRの面積の最大値を求めよ。

PQ=a、QR=bとすると、?儕QR=ab/2で、PRは直径なので、a⌒2+b⌒2=4+2√2です。相加相乗平均から、a⌒2+b⌒2≧2√a⌒2b⌒2=2abなので、?儕QRの面積の最大値は(2+√2)/2になると思ったのですが、答えは合っているのですが、この解き方ではだめだそうです。どうしてだめなのですか？
No.65824 - 2020/05/25(Mon) 22:20:38
☆ Re: 平面図形 / らすかる
「PRは直径なので、a⌒2+b⌒2=4+2√2です。」は間違いです。
PもRも辺の途中にあるときは直径ではありません。
（PRが直径より短いだけでなく、PRは正八角形の中心も通りません。）
No.65825 - 2020/05/25(Mon) 23:01:52
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
ＰＲが必ずしも直径ではないからでしょう。


ＡＰの延長と円周の交点をＳ
ＡＲの延長と円周の交点をＴ
とし、△ＰＱＲ≦△ＱＳＴ≦△ＡＣＧ
より△ＡＣＧが最大とすれば良いでしょう。
（行間はたっぷり埋めてください）
No.65826 - 2020/05/25(Mon) 23:11:12
☆ Re: 平面図形 / Qちゃん
早速の回答ありがとうございます。ちょっとわからないのですが、円周角が90°になるのは対辺が直径のときではないのですか？

ヨッシー様の回答の行間の埋め方がわからないです。
No.65850 - 2020/05/26(Tue) 18:46:37
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
上の図のＰやＲは円周上にないので、円周角の定理は使えません。

行間を埋めた例は：
△ＰＱＲが△ＣＡＧに一致したときが面積最大である。（面積の算出は省略）
（理由）
円に内接する１辺が直径である三角形の中で、
面積が最大になるのは、高さが最大になる、直角二等辺三角形である。・・・(i)
点Ｐ，Ｒが正八角形の頂点にあるとき、
△ＰＱＲが△ＢＡＦや△ＤＡＨに一致する場合、(i) より△ＡＣＧより面積は小さい。
点Ｐ，Ｒが正八角形の頂点以外の辺上にあるとき、
ＡＰの延長と円周の交点をＳ
ＡＲの延長と円周の交点をＴ
とする。
△ＰＱＲは△ＱＳＴの内部にあるので、
　△ＰＱＲ＜△ＱＳＴ
△ＱＳＴは直径を１辺とする三角形だが、直角二等辺三角形ではないので、(i) より
　△ＱＳＴ＜△ＡＣＧ
よって、いかなる△ＰＱＲも△ＡＣＧよりも面積が小さい。
以上より、△ＰＱＲが△ＡＣＧに一致するときが面積最大である。
No.65857 - 2020/05/27(Wed) 08:14:12
★ 大学数学 / たろう
教えてください。
No.65818 - 2020/05/25(Mon) 15:07:40
★ 代数学 / あ
[15]が分かりません。
No.65817 - 2020/05/25(Mon) 13:58:17
★ (No Subject) / あ
【問題】集合X={ 1,2,3,4,5,6,7 }の部分集合Yに対して、Yの要素の個数をn(Y)と表す。Xの部分集合A,Bについて、
(1) n(A ∩B)=0となるA,Bの選び方は何通りか。

赤線の部分がわかりません。
No.65811 - 2020/05/25(Mon) 13:14:00
☆ Re: / ヨッシー
7-i個の要素の１つ１つが、含まれる／含まれないの２通りの状態が考えられるので、
　２^(7-i)　通り
です。
{a,b,c} の３つの要素の場合
　ａが含まれる／ｂが含まれる／ｃが含まれる
　ａが含まれず／ｂが含まれる／ｃが含まれる
　ａが含まれる／ｂが含まれず／ｃが含まれる
　ａが含まれず／ｂが含まれず／ｃが含まれる
　ａが含まれる／ｂが含まれる／ｃが含まれず
　ａが含まれず／ｂが含まれる／ｃが含まれず
　ａが含まれる／ｂが含まれず／ｃが含まれず
　ａが含まれず／ｂが含まれず／ｃが含まれず
の２^3 通りです。
No.65816 - 2020/05/25(Mon) 13:55:15
★ 高校数学 二次関数の不等式 / まい
2次不等式 x^2-(a-1)x+a<0 を満たす整数が2だけとなるようなaの範囲を求めよ

この問題を教えてください><
No.65808 - 2020/05/25(Mon) 11:55:29
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / Ayuyu
方針だけ示しますね。まず左辺を因数分解すると(x-a)(x-1)になります。よってx軸との交点はx=a,1になります。ここでaと1の大小関係で場合分けします。するとこの2次方程式は下に凸なのでa＞1の場合のみ問題に適します。そして与えられた2次不等式を満たす整数が2だけになるようにaの範囲を設定すればオッケーです！
ご参考になれば幸いです！
No.65809 - 2020/05/25(Mon) 12:53:57
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / まい
お返事ありがとうございますー!!左辺を因数分解しても同じ式を得られないのですがどうやるのでしょうか？
No.65810 - 2020/05/25(Mon) 12:56:11
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / Ayuyu
確かに違いますね…すみません汗
左辺なのですがx^2-(a+1)x+a＜0の間違いだったりしませんか??
No.65813 - 2020/05/25(Mon) 13:21:31
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / まい
先生が間違えちゃったんですかね💦
もしこの式が正しい場合問題は成立しないですよね？！
No.65814 - 2020/05/25(Mon) 13:23:01
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / Ayuyu
先生が間違えてる可能性が高いかと思います！笑
No.65815 - 2020/05/25(Mon) 13:26:32
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / ショーペンハウアー
僕もこれは問題が間違いだと思います．もし実数aがあって
x^2-(a-1)x+a<0 をみたす整数が2しかなければ，

x=2のときを考えると 4-2(a-1)+a=-a+6<0
x=3のときを考えると 9-3(a-1)+a=-2a+12>=0

より6<a=<6となってしまうので．
No.65822 - 2020/05/25(Mon) 19:01:51
★ (No Subject) / 山田哲人
この性質って使うことありますか？初めは分数問題で極限を求めるときは分子と分母で分けてこの性質を使うのかと思ったのですが結局分数の問題は分母の最大の次数でわったり有理化したりと……一体この性質はどんな問題でつかうのですか？？
No.65801 - 2020/05/25(Mon) 10:05:34
☆ Re: / ヨッシー
こちらに、高校生向けのロピタルの定理の記事があります。
No.65804 - 2020/05/25(Mon) 11:05:11
☆ Re: / 山田哲人
こんな使い方があったのですか！
ありがたいです
No.65806 - 2020/05/25(Mon) 11:25:36
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