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★ すみません　教えてください / うい
sinA+sinBは
sin（A+B）にして大丈夫でしょうか？
No.65557 - 2020/05/19(Tue) 13:51:45
☆ Re: すみません　教えてください / ヨッシー
sin30°＝1/2 です。
sin30°＋sin30°＝1/2＋1/2＝1　です。

では、
sin(30°＋30°)＝sin60°＝１　でしょうか？
No.65559 - 2020/05/19(Tue) 13:59:51
☆ Re: すみません　教えてください / うい
なるほど！
そうですね　ありがとうございます
No.65562 - 2020/05/19(Tue) 14:54:33
★ 被積分関数にガウス記号 / nct
この式の答えが1/δdになるまでの過程を教えて貰いたいです．
積分範囲を分割すればできそうな気もしますが，dはどこから出てくるのでしょうか？
No.65556 - 2020/05/19(Tue) 12:49:15
☆ Re: 被積分関数にガウス記号 / X
＞＞積分範囲を分割すればできそうな気もしますが
ではそのように計算してみます。

(左辺)=lim[n→∞]Σ[k=0〜n](k+1)∫[k→k+1]{e^(-δt)}dt
=lim[n→∞](1/δ){1-e^(-δ)}Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (A)

ここで
S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (B)
と置くと
{e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δ(k+1))
=Σ[k=1〜n+1]ke^(-δk) (C)
(k+1を改めてkと置いた)
(B)-(C)より
{1-e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n]e^(-δk)-(n+1)e^(-δ(n+1))
={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}-(n+1)e^{-δ(n+1)}
∴S[n]={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}^2-(n+1){e^{-δ(n+1)}}//{1-e^(-δ)}
よって(A)より
(左辺)=1/{δ{1-e^(-δ)}}

ということで
1-e^(-δ)=d
と置いているのだと思います。
No.65583 - 2020/05/19(Tue) 18:31:00
☆ Re: 被積分関数にガウス記号 / X
＞＞積分範囲を分割すればできそうな気もしますが
ではそのように計算してみます。

(左辺)=lim[n→∞]Σ[k=0〜n](k+1)∫[k→k+1]{e^(-δt)}dt
=lim[n→∞](1/δ){1-e^(-δ)}Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (A)

ここで
S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (B)
と置くと
{e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δ(k+1))
=Σ[k=1〜n+1]ke^(-δk) (C)
(k+1を改めてkと置いた)
(B)-(C)より
{1-e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n]e^(-δk)-(n+1)e^(-δ(n+1))
={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}-(n+1)e^{-δ(n+1)}
∴S[n]={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}^2-(n+1){e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}
よって(A)より
(左辺)=1/{δ{1-e^(-δ)}}

ということで
1-e^(-δ)=d
と置いているのだと思います。
No.65584 - 2020/05/19(Tue) 18:32:05
☆ Re: 被積分関数にガウス記号 / nct
返信おそくなって申し訳ないです．
理解することができました．
ありがとうございました．
No.65676 - 2020/05/21(Thu) 10:54:50
★ (No Subject) / P
問 4. 条件 φ(x,y) = 0 のもとで、f(x,y) の極値を求めよ(2) φ(x,y) = x^2 + xy + y^2 −4, f(x,y) = 1/2 (x^2 + y^2)
g(x,y,k)=f(x,y)-kφ(x,y)
と置くと
∂g/∂x=x-k(2x+y)
∂g/∂y=y-k(2y+x)
∂g/∂k=-(x^2+xy+y^2-4)
∴極値を与えるx,y,kについて
・x-k(2x+y)=0 (A)
・y-k(2y+x)=0 (B)
・-(x^2+xy+y^2-4)=0 (C)
x,y,kの解と極値の導出が上手くできません、
宜しくお願いします。
No.65553 - 2020/05/19(Tue) 11:38:09
☆ Re: / Lag
-4+x^2+x y+y^2=0,1/2 (x^2+y^2)=4,1/2 (x^2+y^2)=4/3
を描いて　眺め　再考してください;
No.65572 - 2020/05/19(Tue) 16:31:44
☆ Re: / Lag
{2 x+y,x+2 y}={k x,k y},-4+x^2+x y+y^2=0
を解いて　考察を
No.65573 - 2020/05/19(Tue) 16:47:58
★ (No Subject) / 開成高校４年
この例題6って上の無限級数の和の性質をどのように使ってるんですか？
No.65551 - 2020/05/19(Tue) 11:20:24
☆ Re: / ヨッシー
Σ(3/2^n) はＳに収束する
Σ(2/3^n) はＴに収束する
このとき　
Σ(3/2^n−2/3^n) はＳ−Ｔに収束する
ですね。
No.65552 - 2020/05/19(Tue) 11:32:13
★ 積分 / ぺち
⑴ ∫e^tanx・sec^2xdx
⑵ ∫ cotx / 1+sin^2 dx

の解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.65548 - 2020/05/19(Tue) 11:06:27
☆ Re: 積分 / ヨッシー
(1)
ｕ＝tanｘ とおくと、
du/dx＝sec^2ｘ より、
　(与式)＝∫ｅ^udu＝ｅ^u＋Ｃ＝ｅ^tanx＋Ｃ　(Ｃは積分定数)

(2) はちょっと長いので、こちらなど。
No.65554 - 2020/05/19(Tue) 11:45:02
★ (No Subject) / 開成高校４年
記述のとき(2)のように同様にしてで済ませていいのですか？
No.65546 - 2020/05/19(Tue) 08:42:05
☆ Re: / ヨッシー

同様に、で問題ありません。
例えば、上の図のように、記号を付け替えて、(1) と同じことをしたら、
記号上はＡＰ：ＰＲ：ＲＬですが、実際には、記号を替える前の
ＢＱ：ＱＰ：ＰＭ ですよね？

辺を内分する比率などは全部同じですので、
　ＡＰ：ＰＲ：ＲＬ＝ＢＱ：ＱＰ：ＰＭ＝ＣＲ：ＲＱ：ＱＮ
が言えます。

今回は、メネラウスの練習なので、上記のようになりますが、
実はこの問題、中学入試では有名な問題で、図のように変形すると 1/7 がすぐに分かることになっています。

No.65547 - 2020/05/19(Tue) 09:42:30
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！！
分かりやすかったですありがとうございます😊
No.65549 - 2020/05/19(Tue) 11:18:19
★ (No Subject) / よーた
分からないので教えてください。よろしくお願いします。
No.65545 - 2020/05/19(Tue) 08:38:34
☆ Re: / トーカ
(1)まずy=sin^-1(x)をxで微分する
　y'=1/√(1-x^2)
　√(1-x^2)・y'=1
　両辺をxで微分する
√(1-x^2)y''-x/√(1-x^2)・y'=0
(1-x^2)y''-xy'=0
この両辺をライプニッツの公式を使ってxでn回微分すると目的の式が示せます。

(2)(1)で示した式でx=0とすれば　
　y^(n+2)(0)=n^2y^(n)(0)
　nをn-2に置き換えて
　y^(n)(0)=(n-2)^2y^(n-2)(0)　・・・?@
　ただしy^(n)はyをn回微分した式という意味
　あとは?@でnを2ずつ減らしていけば
　nが奇数のとき
　y^(n)(0)=(n-2)^2y^(n)(0)
　　　　　=(n-2)^2・(n-4)^2y^(n-2)(0)
　　　　　=(n-2)^2・(n-4)^2・・・・3＾2・1＾2y'(0)
　　　　　=(n-2)^2・(n-4)^2・・・・3＾2・1＾2　
　　　　　∵y'(0)=1
　nが偶数のときは　y(0)=sin^-1(0)＝0よりy^(n)(0)=0
No.65598 - 2020/05/19(Tue) 21:34:09
★ (No Subject) / ｄT
巷説によれば;「多くの四次関数には二重接線が存在する」

　x^4-6 x^2 y^2+y^4-1 =0 の2重接線が在れば導出を；
No.65539 - 2020/05/18(Mon) 23:48:03
☆ Re: / らすかる
x^4-6x^2y^2+y^4-1=0にx=u+v, y=u-vを代入して整理すると
4u^4-24u^2v^2+4v^4+1=0
u^2の二次方程式とみて判別式を考えると
D/4=(12v^2)^2-4(4v^4+1)≧0から|v|≧2^(-5/4)なので
対称性から全二重接線は(8u^2-√2)(8v^2-√2)=0
これにu=(x+y)/2, v=(x-y)/2を代入して整理することにより、
x^4-6x^2y^2+y^4-1=0の全二重接線は2(x^2-y^2)^2+1=(2√2)(x^2+y^2)
（個別ではy=±x±2^(-1/4)（複合任意））
No.65544 - 2020/05/19(Tue) 07:56:03
★ 線形代数 / 大学生
添付の問題の(2)が分かりません。
自分の回答と解説が違うのですがこの回答のどこが間違えているのかがわかりません。よろしくお願いします。
No.65534 - 2020/05/18(Mon) 22:04:01
☆ Re: 線形代数 / 大学生
自分の回答と解説はこちらに添付してます。
(2)です。
No.65536 - 2020/05/18(Mon) 22:09:49
☆ Re: 線形代数 / ast
クロネッカーのデルタ δ[i,j] の定義は i=j のとき 1, i≠j のとき 0 ですから, 比較されるのは δ の添字である i と j の間でであって, 添字とは無関係の k,l と i,j との関係を調べる道具とする余地はありません (i,j=1,…,nを動かして k や l との一致を判定したいなら δ の添字に固定の k や l が入っている必要がある). i,j を動かして i=k,j=l となったときだけ考えたとしてもそれは δ[k,l] であり k と l が比較されて k≠l なら 0 なので, E_kl の (k,l)-成分が常に 1 であることとはだいぶかけ離れていることがわかります.

結局, E=(δ[i,j]) とおいたのでは行列単位ではなく単位行列になってしまいます (この場合, i=j は i=1,…,n の各場合で起きるので主対角線上に 1 が n 個出てきます).

正しい道筋をえるには, i と k の一致判定のために δ[i,k], j と l の一致判定のために δ[j,l] を個別に用意することが必要であり, 両判定において同時に一致する場合のみを取り出すことは積をとることでうまくいくので, まとめると解説の通りだということが結論付けられますね.
No.65537 - 2020/05/18(Mon) 22:31:49
★ (No Subject) / あ
逆三角関数の問題教えてください。
No.65528 - 2020/05/18(Mon) 20:53:47
☆ Re: / らすかる
sinx=sin(π-x)で
sin^(-1)は通常-π/2〜π/2の値を返しますので
sin^(-1)(sin((3/5)π))
=sin^(-1)(sin(π-(3/5)π))
=sin^(-1)(sin((2/5)π))
=(2/5)π
となります。
No.65530 - 2020/05/18(Mon) 21:04:17
★ (No Subject) / 開成高校４年
ここって0以上のt一個につきxも一個あるからtの数調べればxの数もわかるよってことですか？
No.65527 - 2020/05/18(Mon) 20:22:47
☆ Re: / X
その通りです。
No.65533 - 2020/05/18(Mon) 21:08:41
★ (No Subject) / つくも
この問題の（4）の証明の仕方を教えてください。
それと（5）の答えがあわないので教えてほしいです。
No.65524 - 2020/05/18(Mon) 19:31:17
☆ Re: / X
(4)
条件から線分DEは辺BCの垂直二等分線ですので
△BCDはBD=CDの二等辺三角形
一方、OA,ODは円Oの半径ですので
△AODはOA=ODの二等辺三角形
従って
∠BDC=∠AOD (A)
が証明できれば、問題の命題は証明できます。

で、(A)の証明ですが以下の通りです。
対頂角により∠ADD=∠BOE (B)
一方、辺OC,OBは円Oの半径ですので
OB=OC
で条件から
線分OEは辺BCの垂直二等分線
よって
△COE≡△BOE
となるので
∠COE=∠BOE (C)
(A)(B)から
∠BOC=∠BOE+∠COE=2∠AOD (D)
一方、円周角により
∠BOC=2∠BDC (E)
(D)(E)より
2∠BDC=2∠AOD
となり(A)は成立します。

(5)
(3)の結果より
△OADと△BCDの相似比は
OA:BD=5:4√5
よって面積比は
5^2:(4√5)^2=5:16
No.65531 - 2020/05/18(Mon) 21:06:11
★ (No Subject) / ま
制約条件;4 x^4+4 x^2 y^2-7 x^2+x y+4 y^4-7 y^2+3=0のもとで,6 x+9 yの最大値,最小値を何処でとるかを解説してください;
No.65523 - 2020/05/18(Mon) 19:22:14
★ (No Subject) / ワカナ
エからどう求めていいのか分かりません
お願いします
No.65522 - 2020/05/18(Mon) 19:01:10
☆ Re: / トーカ
△OABで余弦定理を使うと
AB^2=(6-2t)^2+(1+2t)^2-2(6-2t)(1+2t)cos60°
　　=12t^2-30t+31　←エ〜ケ
　　=12(t-5/4)^2+49/4　
これより　5/4分＝1分15秒のとき　←コ〜シ
　　　　　ABの最小値＝√(49/4)＝7/2　←ス〜セ
No.65532 - 2020/05/18(Mon) 21:07:38
★ 教えてください！ / 和希
この問題を教えてください。
証明が苦手で…
No.65517 - 2020/05/18(Mon) 17:59:14
★ あてはめ方がわからない / A
P=3X-4 Q=-3X+6のときの　次の値を計算しなさい。また降べきの順にしろ　解き方がいまいちつかめません掛け合わせる事はたぶんそうなのですが、助言お願いします。
1問目2P
2問目P-Q
No.65514 - 2020/05/18(Mon) 17:38:09
☆ Re: あてはめ方がわからない / ヨッシー
(1)
２Ｐ＝２(３ｘ−４)　これを展開
Ｐ−Ｑ＝(３ｘ−４)−(−３ｘ＋６)　これを計算
まずはやってみましょう。
降べきの順かどうかはその次です。
No.65521 - 2020/05/18(Mon) 18:58:40
★ (No Subject) / kaf
この問題の解き方、答えがわかりません。
どのような手順で解くのでしょうか。
途中式も全てではなくていいので、少しあると助かります
No.65512 - 2020/05/18(Mon) 17:25:32
☆ Re: / ヨッシー
まず、公比はいくらかを調べます。

教科書に、無限等比級数の公式があるはずです。
　公比が〇〇のときは収束
　公比が××のときは発散
といった記述があると思いますので、どちらに当たるか調べます。

　
No.65513 - 2020/05/18(Mon) 17:33:15
☆ Re: / kaf
> まず、公比はいくらかを調べます。
>
> 教科書に、無限等比級数の公式があるはずです。
> 　公比が〇〇のときは収束
> 　公比が××のときは発散
> といった記述があると思いますので、どちらに当たるか調べます。
>
> 　

はい、収束することがわかりました。
和の計算をしてみる4/(1-√2/2)となり和が8/(2-√2)になりました。あってますでしょうか？
No.65516 - 2020/05/18(Mon) 17:53:55
☆ Re: / ヨッシー
収束するまでは良いですが、答えが違います。
たぶん、公比がいくらかを取り違えているか、
公式に当てはめる時に間違えたかです。

公比はいくらですか？
No.65518 - 2020/05/18(Mon) 17:59:29
☆ Re: / kaf
> 収束するまでは良いですが、答えが違います。
> たぶん、公比がいくらかを取り違えているか、
> 公式に当てはめる時に間違えたかです。
>
> 公比はいくらですか？
-√2/2になりました
あ、分母が2+2√2ですか？
No.65519 - 2020/05/18(Mon) 18:07:22
☆ Re: / ヨッシー
マイナスとプラスが違うという点はそうなんですが、
２√２ というのはどちらにもないので、そこは書き間違いでしょう。

あと、分母の有理化までしておくときれいになります。
No.65520 - 2020/05/18(Mon) 18:13:27
★ (No Subject) / Kai
二次式f(x)=x^2-2px+q において
実数p,qが、xについての二次方程式f(x)=0が実数解をもち、それらをα,βとするとき、α^2+β^2=1が成り立つように変化する。
この時、aを正の定数として、f(a)の
とりうる値の範囲をaをもちいて表せ。



という問題なのですが、解と係数の関係をもちいて、
q=(4p^2-1)/2 |p|≦1/√2 の条件を表した後、どのように解けば良いのかわかりません。
どなたか教えてください。お願いします。
No.65509 - 2020/05/18(Mon) 17:05:44
☆ Re: / IT
f(a)=a^2-2pa+(4p^2-1)/2=2p^2-2ap+a^2-1/2 なので

各a(＞0)について
　pの2次関数　g(p)=2p^2-2ap+a^2-1/2 の |p|≦1/√2 における値域を求めることになります。
( g(x)=2x^2-2ax+a^2-1/2 、|x|≦1/√2 と書いたほうが分かりやすければ、こう書いても同じことです。）

y=g(x)のグラフ(放物線)の軸の位置によって場合分けします。
No.65525 - 2020/05/18(Mon) 19:49:16
★ (No Subject) / 開成高校４年
なぜこれで等号が成立するのですか？
No.65508 - 2020/05/18(Mon) 16:35:25
☆ Re: / ヨッシー
なぜ、２^x＝２^(-x) の時に等号成立するかという質問なら、
相加相乗平均の基本性質です。
なぜ、相加平均のほうが相乗平均より大きいかを調べればわかります。

なぜ、２^x＝２^(-x) から ｘ＝０ が言えるのかという質問なら、
ｘ＝−ｘ　から求められます。
No.65511 - 2020/05/18(Mon) 17:16:46
☆ Re: / 開成高校４年
分かりました！ありがとうございます😊
No.65526 - 2020/05/18(Mon) 20:09:10
★ (No Subject) / ペンタ
平面上にOA =2,OB =1,角OBA=90=90°を満たす直角三角形OBAがある。角AOB =?@であるから→OA•→OB=?Aである。辺OAの中点をC,辺ABを2:1に内分する点をDとすると→OC=?B→OA，→OD =→OA +?C→OB /?Dであるから　→ CD =?E→OA +?C/?D→OBである
次に辺ABの中点をEとすると→OE =?F(→OA +→OB)である
また，直線OEと直線 CDの交点をFとする。点Fは直線OE上にあることから、→OF =s→OEと表される。一方、点Fは直線 CD上にもあるから、実数tを用いて→CF=t→ CDと表される。この式を変形すると→OF =?G-t/?H→OA +?C/?Dt→OBとなる。これらから→OF=?I(→OA+→OB)である
?@から?Iまでの数字を教えてください　お願いします
No.65505 - 2020/05/18(Mon) 16:23:40
☆ Re: / ヨッシー

３辺の比が　１：２：√３　の直角三角形なので、角度は明らかです。・・・?@
ＯＡ・ＯＢ＝ＯＡ・ＯＢcos∠ＡＯＢ　より内積を求めます　・・・?A
ＯＣはＯＡの半分なので．．．　・・・?B
内分する点の公式から、ＯＤを求めます。　・・・?C?D
ＣＤ＝ＯＤ−ＯＣ　より　・・・?E
内分する点の公式から、ＯＥを求めます。　・・・?F

点Ｆは直線ＯＥ上にあることから、
　ＯＦ＝sＯＥ
と表される。
一方、点Ｆは直線ＣＤ上にもあるから、実数tを用いて
　ＣＦ＝tＣＤ
と表される。
この式を変形すると
　ＣＦ＝tＣＤ＝ｔ((-1/6)ＯＡ/6＋(2/3)ＯＢ)
　ＯＦ＝ＯＣ＋ＣＦ＝(1/2)ＯＡ＋ｔ((-1/6)ＯＡ/6＋(2/3)ＯＢ)
　　・・・　?G?H
これと、
　ＯＦ＝sＯＥ＝(s/2)ＯＡ＋(s/2)ＯＢ
と比較して、ｓ，ｔを求めると、
　ｓ＝４／５、ｔ＝３／５
よって、
　ＯＦ＝(2/5)(ＯＡ＋ＯＢ)
No.65510 - 2020/05/18(Mon) 17:11:05
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