実数xについての方程式
[x]＋[2x]＋[3x]＋[4x]＋[5x]＋[6x]＋[7x]＋[8x]＋[9x]＝44x
の解の総和を求めよ。
ただし，実数rに対してrを超えない最大の整数を[r]で表す。
といった問題なんですが、
解説を見ると、一番最初に
解x=N(k)+k/44
ただし，N(k)は整数で、k＝0,1,2,・・・,43
と表せると書いてあるのですが、なぜ最初にこうおけると断定できるのでしょうか。
ご教授してくださるかたがいらっしゃいましたら大変助かります。
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No.65741 - 2020/05/23(Sat) 21:23:13
| ☆ Re: 質問です / ヨッシー  | | | 左辺は整数であり、これを４４で割ったときの商をＮ、余りをｋとすると
(左辺)＝４４Ｎ＋ｋ （ただし、Ｎは０以上の整数、ｋは０以上４３以下の整数）
と書けます。
４４Ｎ＋ｋ＝４４ｘ
の両辺を４４で割って、
ｘ＝Ｎ＋ｋ/44
です。ｋは０から４３までの整数をとりますが、すべての場合において
解があるわけではありません。
たとえば、ｋ＝０ に該当する解はありません。
いずれにしても、ｋの値によって、いくつかの解があり
それらの和を求めるのがこの問題の目標です。
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No.65746 - 2020/05/23(Sat) 22:28:34 |
| ☆ Re: 質問です / IT | | | 横から失礼します。
> たとえば、ｋ＝０ に該当する解はありません。
x=0があるのでは？
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No.65749 - 2020/05/23(Sat) 22:58:18 |
| ☆ Re: 質問です / IT | | | f(x)=[x]+[2x]+...+[9x] とおく。
n=[x],t=x-[x] とおくと、x=n+t,nは整数、0≦ｔ＜1.
f(x)=45n+f(t)=44x=44n+44t
∴n+f(t)=44t
∴t=(n+f(t))/44. k=n+f(t) とおくと k=0,1,2....,43
t=k/44
n+f(k/44)=k
N(k)=k-f(k/44) とおくと x=N(k)+k/44
上記でうまく書けば逆の確認は要らないような気もしますが、念のため
任意の k=0,1,2....,43について
x=k-f(k/44)+(k/44) とすると、 k-f(k/44)は整数であることに注意すると
f(x)=45(k-f(k/44))+f(k/44)=45k-44f(k/44)
44x=44(k-f(k/44)+(k/44))=45k-44f(k/44)
∴f(x)=44x
＃問題を見てパッと言えるのは、ヨッシーさんの考察までで、
k＝0,1,2,・・・,43に対してちょうど一つずつ解Ｎ(k)+k/44 があることは、上記のように解いていかないと分らない気がします。
その本の解答は、どんな進め方ですか？
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No.65752 - 2020/05/24(Sun) 01:08:56 |
| ☆ Re: 質問です / 東京成田 | | | 皆様、ご教授の方、ありがとうございました。
解説は、途中までですけど、こんな感じになっておりました。
[ x ]＋[ 2x ]＋[ 3x ]＋[ 4x ]＋[ 5x ]＋[ 6x ]＋[ 7x ]＋[ 8x ]＋[ 9x ]＝44x ・・・（＊）
左辺は整数だから，右辺44xも整数であり，これにより解 x は，
と表せる。ただし，N ( k )は整数で，k ＝0，1，2，・・・，43
k ＝0のとき，xは整数だから，（＊）は，
x ＋2x ＋ 3x ＋ 4x ＋ 5x ＋ 6x ＋ 7x ＋ 8x ＋ 9x ＝44x
45x ＝44x
x ＝0
解の和を求めるのでこれは無視してよい。以下，k ＝1，2，・・・，43 の場合を考える。
という感じですね。
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No.65805 - 2020/05/25(Mon) 11:17:04 |
| ☆ Re: 質問です / ヨッシー | | | 皆さん、たぶんその先、数行でもいいので知りたいと思います。
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No.65807 - 2020/05/25(Mon) 11:26:45 |
| ☆ Re: 質問です / IT | | | 2009年 数学オリンピック日本予選の問題ですね。
有限の計算ですから手間を掛ければ確実に答えが出ますが、
Σ(k=0..43){k-f(k/44)+k/44} の
Σ(k=0..43)f(k/44)をいかにうまく求めるかですね。
各m=1,2,3,...,9 毎にΣ(k=1..43)[mk/44]を求めるのが良い気がします。
https://www.imojp.org/archive/mo2009/jmo2009/problems/jmo19yq.html
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No.65823 - 2020/05/25(Mon) 19:05:27 |
| ☆ Re: 質問です / IT | | | ガウス記号の性質を使うと計算が楽ですね。
a+b=n：整数のとき,
aが整数のとき [a]+[b]=n そうでないとき [a]+[b]=n-1…(ア)
?納k=1...43]f(k/44)
=?納k=1...43](?納m=1...9][mk/44])
kを和が44になるようにペアにします。
=?納m=1...9]{([1m/44]+[43m/44])+([2m/44]+[42m/44])+...+([21m/44]+[23m/44])+([22m/44]+[22m/44])/2}
ここで、km/44 が整数となるのは k=11のときm=4,8の2つ,k=22のときm=2,4,6,8の4つなので、
(ア)より
=?納m=1...9]{(m-1)*21+(m-1)/2}+2+4/2
=36*21+36/2+4=778
よって、求める解の総和は
?納k=1...43]{k-f(k/44)+(k/44)}
=?納k=1...43]k-?納k=1...43]f(k/44)+?納k=1...43](k/44)
=946-778+946/44=168+43/2
=379/2
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No.65852 - 2020/05/26(Tue) 20:53:28 |
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