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★ 二重接線 / dT
多くの四次関数には二重接線が存在する　とのこと。
2 x^2+x^4-y+y^3=0 の2重接線が在れば導出しなさい；
No.65402 - 2020/05/16(Sat) 04:49:21
☆ Re: 二重接線 / 関数電卓
　y＝±1.372x−0.22
　y＝±2.0525x＋1.556
が割と近いようです。図は混み合うので a＞0 のみ描きました。
> 導出しなさい
解析的には難しいのでは？ 少なくとも私には出来ません。
　2x^2＋x^4−y＋y^3＝0　と　y＝ax＋b
から y を消去した
　2x^2＋x^4−(ax＋b)＋(ax＋b)^3＝0
が重解を２つもつ (左辺＝(x−p)^2･(x−q)^2 となる) ように a, b を手探りしました。
No.65411 - 2020/05/16(Sat) 13:33:59
☆ Re: 二重接線 / dT
ありがとうございました。
No.65420 - 2020/05/16(Sat) 20:51:49
★ 方向性について / meow
これらの問題の解き方について教えて頂きたいです．
lim n->inf(a_{n}+b_{n}) = α+β
lim n->inf(a_{n}*b_{n}) = α*β
lim n->inf(a_{n}/b_{n}) = α/β
などを用いて解けば良いのでしょうか．
よろしくお願いします．
No.65401 - 2020/05/16(Sat) 02:46:20
☆ Re: 方向性について / IT
ε−Ｎ方式で示すしかないのでは。
けっこう面倒なので、問題集やネットを調べて、真似すると良いかも。
No.65404 - 2020/05/16(Sat) 07:52:23
☆ Re: 方向性について / IT
（１つめの方針）
a[2k+1]=(a[2k+1]-a[2k-1])+(a[2k-1]-a[2k-3])+...+(a[2m+1]-a[2m-1])+a[2m-1]
a[2k]=(a[2k]-a[2k-2])+(a[2k-2]-a[2k-4])+...+(a[2m+2]-a[2m])+a[2m]
mを大きくすれば、(a[2m+1]-a[2m-1])などは、いくらでも0に近くできます。
その後、n=2k+1などを大きくします。

このことを使ってε−Ｎ方式で、証明します。
No.65405 - 2020/05/16(Sat) 08:53:45
☆ Re: 方向性について / IT
（２つめ）けっこう面倒です。有名問題なので多くの問題集に載っていると思います。
Lim[n→∞]a[n]=αのとき,　Lim[n→∞](a[1]+a[2]+...+a[n])/n＝α
を示して、これを使って証明します。
No.65406 - 2020/05/16(Sat) 09:04:24
☆ Re: 方向性について / IT
（３つめ）
a[n]-αをあらためてa[n] とおくことにより、α＝0の場合を考える。
このとき(na[1]+(n-1)a[2]+...+2a[n-1]+a[n])/n^2 →0を示す。

一方、(nα+(n-1)α+...+2α+α)/n^2 →　を計算する。
No.65407 - 2020/05/16(Sat) 09:30:37
☆ Re: 方向性について / meow
回答ありがとうございます．
これから解いてみようと思います．
また分からない点があったら質問させて頂きます．
No.65425 - 2020/05/16(Sat) 22:14:14
★ (No Subject) / 大学一年
(7.11)右辺の分母分子に(n-r)!をかけるとなぜ(7.12)の式になるのか理解できません。分かる方よろしくお願い致します。
No.65395 - 2020/05/16(Sat) 00:52:11
☆ Re: / らすかる
分母はわかりますよね？
分子の方は、例えば
10・9・8・7 に6!をかけると10・9・8・7・6・5・4・3・2・1=10!
となるように
n(n-1)(n-2)…(n-r+1)に(n-r)!をかけると
n(n-1)(n-2)…(n-r+1)(n-r)(n-r-1)(n-r-2)…・3・2・1=n!
となります。
No.65398 - 2020/05/16(Sat) 01:03:30
☆ Re: / IT
n!=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)*(n-r)! が正しいのは分かりますか？
これを使えば良いです。
No.65399 - 2020/05/16(Sat) 01:04:40
☆ Re: / あ
ありがとうございました。理解できました。いつもお世話になっております。
No.65451 - 2020/05/17(Sun) 14:45:19
★ (No Subject) / 外接球
どんな四面体にも外接球は1つ存在するということは、高校数学において照明なしに用いても良いものでしょうか？
No.65392 - 2020/05/16(Sat) 00:05:26
☆ Re: / ヨッシー
問題の本質（そのことを証明せよとか）でない限り
使って良いと思います。
No.65396 - 2020/05/16(Sat) 00:56:46
★ (No Subject) / キ
連立方程式
・x^4+2x^2+y^3-y=0
・4x^3+4x=0
の解(x,y)が分かりません。
宜しくお願いします。
No.65390 - 2020/05/15(Fri) 22:54:37
☆ Re: / 関数電卓
実数解は，第２式から x＝0 のみです。これと第１式から，y＝0, ±1 です。
複素解は，こちら をご覧下さい。「解けた」気にはなりませんが…
No.65391 - 2020/05/15(Fri) 23:40:23
☆ Re: / らすかる
実数解は関数電卓さんが書かれているように
(x,y)=(0,0),(0,±1)ですね。
虚数解は
第2式からx=±iなので第1式に代入して整理するとy^3-y-1=0
これを三次方程式の解の公式で解くと
(x,y)=(±i,{(108+12√69)^(1/3)+(108-12√69)^(1/3)}/6), ←yは実数
(±i,
-(1/12){(108+12√69)^(1/3)+(108-12√69)^(1/3)}
±(i/4){(12√3+4√23)^(1/3)-(12√3-4√23)^(1/3)}) (複号任意) ←yも虚数
となります。
No.65393 - 2020/05/16(Sat) 00:16:41
☆ Re: / id
(-1 + y) y (1 + y) (-1 - y + y^3)=0,
x (-1 - y + y^3)=0,
x^2 - y + y^3=0
を解けばよい。
No.65403 - 2020/05/16(Sat) 05:01:05
★ ガウスニュートン法のヤコビ行列について / 大学1-2年？
ガウスニュートン法時の
ヤコビ行列の振る舞いにおいて
助言ください。


xはスカラー量の時
E=1/2||e(x)||2 誤差関数
ye(x)=y-f(x,a,b)
yeはxの誤差関数
Yが目的変数
xが説明変数
a,bがパラメータで可変
とすると
ガウスニュートン法におけるヤコビ行列は
1行2列になりますか？

またx=(φ,θ,ψ)と表す
3つの独立な成分をもつベクトルで
yもまた3つの独立な成分をもつベクトルの時
ガウスニュートン法におけるヤコビ行列は
3*2になりますか？
No.65389 - 2020/05/15(Fri) 22:41:26
★ (No Subject) / 開成高校４年
この囲ったところの動きがわかりません。教えて欲しいです。
No.65382 - 2020/05/15(Fri) 20:41:58
☆ Re: / ヨッシー
解説に「ｙ＝０ を解に持ち、ｙ＞０ には解を持たない」とあります。
ｙの解はｙ＝０ と ｙ＝２（ａ−１）　ですが、
ｙ＝２（ａ−１）の方が、
ｙ＞０ だと、そこで交点が出来てしまいます。
ｙ＝０ だと、もう一方のｙ＝０ と重解になって、原点でのみ接し、を満たします。
ｙ＜０　だと、ｘが虚数になり、グラフ上には交点が存在しません。これも、原点でのみ接するを満たします。
No.65385 - 2020/05/15(Fri) 20:55:23
☆ Re: / 開成高校４年
?Bの解はy＝−2(1−a)とはならないのですか？
y＝2(a−1)か正だと交点をがなぜできてしまうのがわかりません…
No.65386 - 2020/05/15(Fri) 21:19:39
☆ Re: / ヨッシー
ｙ＝−２（１−ａ）　と　ｙ＝２（ａ−１）　は同じです。

ｘ^2＝２ｙ　なので、ｙ＞０ だと、ｘが実数解をもちます。
そのときの（ｘ、ｙ）は、円と放物線の交点として、第１，第２象限に現れます。
No.65387 - 2020/05/15(Fri) 21:23:23
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど!!理解できました！ありがとうございます😊
No.65388 - 2020/05/15(Fri) 21:53:34
★ (No Subject) / 開成高校４年
囲った部分は必ずしも交わってるかわからないから確認しなければいけないって感じでしょうか？
No.65380 - 2020/05/15(Fri) 20:10:52
☆ Re: / ヨッシー
そうです。

もし仮に、両者が交わっていなくても、?B以下の流れで
なにがしかの答えを出すことは出来ます。
ところがその直線は、もとの放物線とどういう関係にあるかは
よくわかりません。
（普通は、交わるように問題が出来ていますが、ａの値が2つあって、
片方は交わらない、と言うようなことはあり得ます）
No.65383 - 2020/05/15(Fri) 20:47:04
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！ありがとうございます😊
No.65384 - 2020/05/15(Fri) 20:49:08
★ 図形 / 高3
写真の図形で、ADとBCが並行かつAD：BC＝1：2ならBP：PD＝2：1になるのがどうしてか教えてください。
No.65370 - 2020/05/15(Fri) 17:17:59
☆ Re: 図形 / ヨッシー
△ＢＰＣと△ＤＰＡにおいて、
　∠ＰＢＣ＝∠ＰＤＡ　（錯角）
　∠ＢＰＣ＝∠ＤＰＡ　（対頂角）
よって、
　△ＢＰＣ∽△ＤＰＡ
相似比は　ＢＣ：ＡＤ＝２：１　なので、
　ＢＰ：ＰＤ＝ＣＰ：ＰＡ＝２：１
となります。
No.65373 - 2020/05/15(Fri) 17:30:05
☆ Re: 図形 / 高3
ありがとうございます。
No.65381 - 2020/05/15(Fri) 20:19:23
★ (No Subject) / 開成高校４年
最後の注意のところがいまいち理解ができません…どういうことか教えて欲しいです…
No.65369 - 2020/05/15(Fri) 16:51:56
☆ Re: / X
これは、もし{a[n]}の極限値が存在するという
前提条件があるのなら、その極限値をαとして
漸化式のa[n],a[n+1]を全てαに置き換えて
αの方程式を導くことができる、
ということです。

ご質問の問題は2項間漸化式ですが
例えば、これが
a[n],a[n+1],a[n+2]
の間に成立する3項間漸化式であっても
同様に
a[n],a[n+1],a[n+2]
をαに置き換えて
αの方程式を導くことができます。

とはいっても、高校数学の範囲では
{a[n]}の極限値が存在するのか
確かめるのは、模範解答のように
{a[n]}の極限値を直接計算しなければ
ならない場合が殆どです。
ですので、赤枠の中の事項の使い道は
極限値の検算程度と思って差し支え
ないと思います。
No.65378 - 2020/05/15(Fri) 18:43:44
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！ありがとうございます😊
No.65379 - 2020/05/15(Fri) 20:08:18
★ (No Subject) / 小学17年生
問題がこれです。
No.65364 - 2020/05/15(Fri) 15:30:57
☆ Re: / 小学17年生
すみません。自分で解決できました。ありがとうございました。
No.65365 - 2020/05/15(Fri) 15:59:26
★ (No Subject) / 小学17年生
部分分数分解の問題です。?Aの答えが1/(x+1)　+(2x-1)/(x^2+1)なのですが、とき直してもこの答えになりません。分かる方よろしくお願い致します。
No.65363 - 2020/05/15(Fri) 15:30:29
★ (No Subject) / 大学一年
なぜ余りが6になるのか分かりません。よろしくお願い致します。
No.65362 - 2020/05/15(Fri) 15:24:51
☆ Re: / ヨッシー
余り　９　ですね。
No.65366 - 2020/05/15(Fri) 16:06:55
☆ Re: / 小学17年生
ありがとうございます。問い合わせてみます。
No.65367 - 2020/05/15(Fri) 16:12:38
★ (No Subject) / あ
なぜsin(-3/4π)=-1になるのでしょうか？
No.65357 - 2020/05/15(Fri) 10:46:38
☆ Re: / ヨッシー
sin(−π/2) や sin(3π/2) は −1 ですが、
sin((-3/4)π)＝−1/√2 です。
No.65358 - 2020/05/15(Fri) 10:51:40
☆ Re: / あ
この問題のオ、カなんですが
-π<=θ<=0より
-3/4π<=θ+π/4<=π/4が
なぜ-√2<=t<=1になるのかがわかりません。
No.65359 - 2020/05/15(Fri) 12:35:14
☆ Re: / ヨッシー
合成の公式により
　ｔ＝√2sin(θ＋π/4)
これの
　−π≦θ≦０
における最小値が＝−√2、最大値が 1 になります。
No.65360 - 2020/05/15(Fri) 12:50:04
☆ Re: / あ
理解できました。
ありがとうございます！
No.65372 - 2020/05/15(Fri) 17:26:19
★ (No Subject) / かんた
これの答えがわかりません。
解き方もわかりません。
提出が今日までなのですが、お願いします。
No.65349 - 2020/05/15(Fri) 08:49:23
☆ Re: / ast
f(x):=sin^2(x) と置くと

　(与式) = lim_[h→0] {f(π/4+h)-f(π/4)}/h = f'(π/4).
No.65350 - 2020/05/15(Fri) 08:59:31
☆ Re: / かんた
ast さん
f(x)=sin^2(x)に置き換えるという発想はどこからかのですか？
できれば計算の途中式と解答も欲しいです。
正直まだ、解答にピンときていません。すみません
No.65352 - 2020/05/15(Fri) 09:13:04
☆ Re: / ast
> 置き換えるという発想はどこからかのですか？
置き換える必要は全くないので置き換える発想自体は不要です. ただあからさまに微分係数の定義式の形をしてるのに, それが見えないのは余計な情報に目が奪われてるせいではないかなあ, ということで言っているだけです.
No.65353 - 2020/05/15(Fri) 09:18:50
☆ Re: / かんた
あ、やっと意味がわかりました。
答えが1と出たのですが、あってますでしょうか？
No.65354 - 2020/05/15(Fri) 09:26:50
☆ Re: / ast
> 答えが1と出たのですが、あってますでしょうか？
そうです. d(sin^2(x))/dx = 2*sin(x)*cos(x) = sin(2x) なので, x=π/4 として sin(π/2) = 1 ですね.

少々余談というか脱線気味に別の解法について述べます.
sin(π/4)=1/√2 だから, 問題が lim{sin^2(h+π/4)-1/2}/h と書いてあってもよさそうなものだけれどそうしていないことから, 上ではおそらくこのような解法を想定しているのだろうというのを「あからさま」という言葉で表現しましたが,
あるいは逆にそう書き直してから問題を見た場合だと, 2*sin^2(h+π/4)-1 = -cos(2(h+π/4)) という倍角公式の利用に気付きます. これはどうやら具合がよさそうです. この場合, -cos(2(h+π/4) = -cos(2h+π/2) = sin(2h) だから,

　(与式) = lim_[h→0] sin(2h)/2h = 1

とできます.
No.65355 - 2020/05/15(Fri) 09:51:28
☆ Re: / かんた
ありがとうございます
No.65356 - 2020/05/15(Fri) 10:00:08
★ (No Subject) / 開成高校４年
∞/∞は1ですか？
No.65347 - 2020/05/15(Fri) 08:18:48
☆ Re: / ヨッシー
65314の記事に関連して、
　ａ[n]/ｂ[n]
の形の数列で、ａ[n]、ｂ[n] ともに∞に発散する場合のことを言われていると思いますが、
そちらにも書かれているように、「いろいろ」です。

それに、∞は数値ではないので、∞/∞ という表現は正しくありません。
No.65348 - 2020/05/15(Fri) 08:24:36
☆ Re: / 開成高校４年
だんだんわかってきました！ありがとうございます😊
No.65351 - 2020/05/15(Fri) 09:01:41
★ (No Subject) / ぴんちゃん
lim [e^(-x )-1]/sin2xの解き方がわかりません
x→0

答えは-1\2になるそうなのですが、計算の過程も含めて解説をお願いしたいです
No.65341 - 2020/05/15(Fri) 00:36:09
☆ Re: / ぴんちゃん
訂正　答えは-1/2
No.65342 - 2020/05/15(Fri) 00:36:42
☆ Re: / らすかる
f(x)=e^(-x)とすると
lim[x→0](f(x)-1)/x
=lim[x→0](f(x)-f(0))/x
=f'(0)
=-1
なので
lim[x→0](e^(-x)-1)/sin2x
=lim[x→0](e^(-x)-1)/2x・2x/sin2x
=(1/2)lim[x→0](e^(-x)-1)/x・2x/sin2x
=(1/2)・(-1)・1
=-1/2
No.65343 - 2020/05/15(Fri) 01:03:34
★ (No Subject) / 和
12^617の桁数を計算します。
log(10)2=0.3010、log(10)3=0.4771の値を利用して解きます。

log(10)12^617=617×log(10)3×log(10)2^2
=617×0.4771×(0.3010)^2
=26.670707279
となり、27桁になると思ったのですが、ネットで調べてみたところそんな桁数にはならないみたいで…この解き方を教えてください。
No.65328 - 2020/05/14(Thu) 18:51:12
☆ Re: / 和
件名を入れ忘れました。すみません。
指数対数関数です。
No.65329 - 2020/05/14(Thu) 18:53:21
☆ Re: / X
教科書に戻って対数の公式を復習しましょう。

公式の適用が滅茶苦茶で、1行目から計算を
間違えています。
No.65330 - 2020/05/14(Thu) 18:55:59
☆ Re: / ヨッシー
公式については、X さんの言われるとおり、教科書を見ていただくとして、
10^617 でさえ 618桁なので、12^617 はもっと大きいはずです。
こういう、間違いを嗅ぎ分ける能力も必要です。
No.65333 - 2020/05/14(Thu) 19:06:44
☆ Re: / 和
xさん、ヨッシーさんすみません。自分なりにもう一度考え計算しなおしました。何度も申し訳ないです。
もう一度ご教授いただけますと幸いです。

log(10)12^617=617×log(10)3+log(10)2+log(10)2
=617×1.0791
=665.80…
よって666桁になる
でしょうか。
No.65338 - 2020/05/14(Thu) 23:04:13
☆ Re: / ヨッシー
正解です。

ただし、途中式で
617×(log(10)3+log(10)2+log(10)2)
のように、カッコが必要です。
No.65339 - 2020/05/14(Thu) 23:09:13
☆ Re: / 和
そうでした。ご指摘くださいましてありがとうございます。
長々と本当にありがとうございました。
No.65340 - 2020/05/14(Thu) 23:14:13
★ 三角関数 / こう
cos2x=-√3/4のとき、sinxとcosxの値の求め方を教えてください。お願いします。
No.65326 - 2020/05/14(Thu) 18:27:18
☆ Re: 三角関数 / X
条件式に二倍角の公式と公式である
(sinx)^2+(cosx)^2=1
を適用し、sinxについての二次方程式
若しくはcosxについての二次方程式
を導きます。
No.65331 - 2020/05/14(Thu) 18:57:14
☆ Re: 三角関数 / こう
すみません。せっかくヒントをもらったのにも関わらず、自力で解くことができません。xさんのものでの解き方がわからず色々試してみました。

2倍角の公式を使って求めることは可能でしょうか？
2cos^2-1=-√3/4
としまして
cos^2=-√3+4/8
というところまでは行きついたのですがその先が困っています。（そもそも解き方が違っていたらすみません。）
No.65344 - 2020/05/15(Fri) 01:46:20
☆ Re: 三角関数 / ast
それで大丈夫です (おそらくXさんが示唆された解法もそれと同じだと思います).
> 2倍角の公式を使って
というよりはむしろ「半角の公式」を使って, ですね.

で, cos^2(x)=(4-√3)/8 まで求められているのですから, あとはただ平方根をとれば終わりなので困る必要はないはずです (二重根号になってもそのまま放置でいいと思います. 多分外せないですよね, この場合). 同様に cos(2x)=1-2sin^2(x) を使えば sin のほうも決まりますね.

ただし, 平方根をとるときの符号にだけは絶対に注意してください. cos(2x) が負の値なので, 2x は第二象限か第三象限の角となり, したがって x は第一象限か第二象限 (もっと正確には π/4 から 3π/4 までの間) の角に限定されますから, sin(x) は正の値しかとれません. 一方, cos(x) は正負両方とも出てきます.
No.65345 - 2020/05/15(Fri) 03:20:38
☆ Re: 三角関数 / こう
そうだったのですね。ありがとうございます。
ということは
cosx=±（4√2−√8√3）/8
sinx=（-4√2-√8√3）/8
なのでしょうか？（なんだかボロボロです…）

>ただし, 平方根をとるときの符号にだけは絶対に注意してください…
とのことなのですが、cos2xが負の値だと第3・4象限になるとばかり思っていて…すみませんそこのところもお教え願えませんか？
No.65361 - 2020/05/15(Fri) 13:01:51
☆ Re: 三角関数 / X
解答する前に質問ですが、この問題において
xの値の範囲についての条件文は付いていますか？
No.65368 - 2020/05/15(Fri) 16:23:08
☆ Re: 三角関数 / こう
いいえ！ついていません。原文ママです。
No.65374 - 2020/05/15(Fri) 17:56:19
☆ Re: 三角関数 / ast
> xの値の範囲についての条件文は付いていますか？
なるほど, 一般角で考えているのであれば, 私の符号に関する注意はむしろ誤りですね, 失礼しました.

> cos2xが負の値だと第3・4象限になるとばかり
念のためですが, もし cos(x) でなく sin(x) が負の値だったら x は何象限にあると認識されていますか?
No.65375 - 2020/05/15(Fri) 18:14:16
☆ Re: 三角関数 / こう
astさん
すみません！いろいろ間違えてしまっていました。
sin(x)が負の値だと第3・4象限にあります。
No.65377 - 2020/05/15(Fri) 18:37:46
☆ Re: 三角関数 / こう
以前質問させて頂いたものです。(記事No.65326)解法をお教え願いたいのですが、ほかたくさんの質問に埋もれてしまい、お返事が頂けなくなってしまいましたので、もう一度質問させて頂きたいと思います。
cos2x=-√3/4のとき、sinxとcosxの値の求め方を教えてください。お願いします。
公式を使い、答えを自分なりに出してみまして、
cosx=（4√2−√8√3）/8
sinx=（-4√2-√8√3）/8
というところまでいったのですが…いかがでしょうか？
No.65423 - 2020/05/16(Sat) 22:05:36
☆ Re: 三角関数 / ast
私としては
　cos^2(x)=(cos(2x)+1)/2=(4-√3)/8,
　sin^2(x)=(1-cos(2x))/2=(4+√3)/8
なので (符号の取り方が上で言った通りなら)
　cos(x)=±√{(4-√3)/8},
　sin(x)=+√{(4+√3)/8}
で良いだろうというのがNo.65345の意図でした (別にこれ以上見やすい形になるわけでもないので, これでバツになることはないでしょう).
# 上でも言ったけど二重根号は外れないし
# 根号を分母と分子で別にしたいなら分母 2√2 のままで
# さらに分母に根号残したくないなら分母・分子に √2 掛ける
# とかは解答者の好きにできる要素だろうと思います.

## No.65361, 65423 に書かれた質問者さんの解答の値は
## どう変形したのか・各根号がどこまでかかっているつもりかなどよくわからなかったので,
## 判断は保留させてください (どうも再現できそうにないので間違ってる可能性のほうが高いとは思っている).
No.65436 - 2020/05/17(Sun) 00:45:35
☆ Re: 三角関数 / こう
わかりやすい解答本当にありがとうございました！
助かりました！
No.65649 - 2020/05/20(Wed) 17:23:55
★ (No Subject) / shika
この問題を教えて欲しいです。
No.65323 - 2020/05/14(Thu) 17:34:10
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＋ｙ＝1/(1＋√2＋√3)＋1/(1＋√2−√3)
　　　＝{(1＋√2＋√3)＋(1＋√2−√3)}/(1＋√2＋√3)(1＋√2−√3)
　　　＝(2＋2√2)/{(1＋√2)^2−√3^2}
　　　＝(2＋2√2)/(3＋2√2−3)
　　　＝(2＋2√2)/2√2
　　　＝(1＋√2)/√2
よって、
　1/(ｘ＋ｙ)＝√2/(√2＋1)
　　　＝√2(√2−1)
　　　＝2−√2
No.65324 - 2020/05/14(Thu) 17:45:58
☆ Re: / X
別解)
直接x,yの値を代入すると
1/(x+y)=(1+√2-√3)(1+√2+√3)/{(1+√2-√3)+(1+√2+√3)}
={(1+√2)^2-3}/{2(1+√2)}
=(2√2)/{2(1+√2)}
=(√2)/(1+√2)
=(√2)(1-√2)/(1-2)
=2-√2
No.65325 - 2020/05/14(Thu) 17:50:21
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