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★ (No Subject) / ペンタ
平面上にOA =2,OB =1,角OBA=90=90°を満たす直角三角形OBAがある。角AOB =?@であるから→OA•→OB=?Aである。辺OAの中点をC,辺ABを2:1に内分する点をDとすると→OC=?B→OA，→OD =→OA +?C→OB /?Dであるから　→ CD =?E→OA +?C/?D→OBである
次に辺ABの中点をEとすると→OE =?F(→OA +→OB)である
また，直線OEと直線 CDの交点をFとする。点Fは直線OE上にあることから、→OF =s→OEと表される。一方、点Fは直線 CD上にもあるから、実数tを用いて→CF=t→ CDと表される。この式を変形すると→OF =?G-t/?H→OA +?C/?Dt→OBとなる。これらから→OF=?I(→OA+→OB)である
?@から?Iまでの数字を教えてください　お願いします
No.65505 - 2020/05/18(Mon) 16:23:40
☆ Re: / ヨッシー

３辺の比が　１：２：√３　の直角三角形なので、角度は明らかです。・・・?@
ＯＡ・ＯＢ＝ＯＡ・ＯＢcos∠ＡＯＢ　より内積を求めます　・・・?A
ＯＣはＯＡの半分なので．．．　・・・?B
内分する点の公式から、ＯＤを求めます。　・・・?C?D
ＣＤ＝ＯＤ−ＯＣ　より　・・・?E
内分する点の公式から、ＯＥを求めます。　・・・?F

点Ｆは直線ＯＥ上にあることから、
　ＯＦ＝sＯＥ
と表される。
一方、点Ｆは直線ＣＤ上にもあるから、実数tを用いて
　ＣＦ＝tＣＤ
と表される。
この式を変形すると
　ＣＦ＝tＣＤ＝ｔ((-1/6)ＯＡ/6＋(2/3)ＯＢ)
　ＯＦ＝ＯＣ＋ＣＦ＝(1/2)ＯＡ＋ｔ((-1/6)ＯＡ/6＋(2/3)ＯＢ)
　　・・・　?G?H
これと、
　ＯＦ＝sＯＥ＝(s/2)ＯＡ＋(s/2)ＯＢ
と比較して、ｓ，ｔを求めると、
　ｓ＝４／５、ｔ＝３／５
よって、
　ＯＦ＝(2/5)(ＯＡ＋ＯＢ)
No.65510 - 2020/05/18(Mon) 17:11:05
★ (No Subject) / dT
「多くの四次関数には二重接線が存在する 」とのこと。

4 x^4+4 x^2 y^2-7 x^2+x y+4 y^4-7 y^2+3=0
の2重接線が在れば導出しなさい；
No.65503 - 2020/05/18(Mon) 16:06:12
☆ Re: / 関数電卓
> 4x^4＋4x^2･y^2−7x^2＋xy＋4y^4−7y^2＋3＝0
与式は因数分解できて２つの楕円を表す。
こちらは前回と異なり，きれいに計算できますね。
結果は図中に書きました。

No.65535 - 2020/05/18(Mon) 22:09:21
☆ Re: / らすかる
全接線の式をまとめると (x^2+7xy+y^2-8)^2=40(x-y)^2
No.65540 - 2020/05/19(Tue) 00:03:28
☆ Re: / ｄT
お二方　に　感謝いたします。

導出過程をも　赤裸々にお願い致します；
No.65541 - 2020/05/19(Tue) 01:17:51
☆ Re: / らすかる
4x^4+4x^2y^2-7x^2+xy+4y^4-7y^2+3=0に
x={(5√2+3√10)u+(5√2-3√10)v}/15,
y={(5√2-3√10)u+(5√2+3√10)v}/15
を代入して整理すると
(16u^2+8uv+16v^2-15)(256u^2-352uv+256v^2-135)=0
これは2軸がu=vとu=-vである2つの楕円でいずれも|u|≦1,|v|≦1
従って全二重接線は(u^2-1)(v^2-1)=0なので
u={(√10+3√2)x-(√10-3√2)y}/8,
v={(√10+3√2)y-(√10-3√2)x}/8
を代入して整理すると
(x^2+7xy+y^2-8)^2=40(x-y)^2

ちなみに四重接楕円は7x^2+2xy+7y^2=12
No.65542 - 2020/05/19(Tue) 04:51:30
☆ Re: / 関数電卓
四重接楕円の図です。
No.65605 - 2020/05/19(Tue) 22:17:28
☆ Re: / 関数電卓
ヨッシーさんにお尋ね。
↑の図を送るとき，「四重接楕円」とだけ書いて送ると，「日本語が入っていない」と拒否されます。日本語の文字数に制限があるのですか？ それとも「。」の有無ですか？
No.65606 - 2020/05/19(Tue) 22:22:26
☆ Re: / らすかる
ヨッシーさんではないですが、
おそらく「ひらがな」の有無で判定しているのだと思います。
（カタカナでもOKかどうかは確認していません）

# 超個人的には、名前にひらがながあるだけでもOKにして欲しいです。
No.65614 - 2020/05/20(Wed) 01:04:35
★ お願いします / 塩昆布
自然数nに対して、次の等式を証明せよ
1^2+2^2+3^2+.... n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
No.65500 - 2020/05/18(Mon) 15:35:44
☆ Re: お願いします / らすかる
(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1なので
Σ[k=1〜n]{(k+1)^3-k^3}=3Σ[k=1〜n]k^2+3Σ[k=1〜n]k+Σ[k=1〜n]1
(左辺)
=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+(4^3-3^3)+…+{(n+1)^3-n^3}=(n+1)^3-1
(右辺)
=3Σ[k=1〜n]k^2+3n(n+1)/2+n
よって
3Σ[k=1〜n]k^2={(n+1)^3-1}-{3n(n+1)/2+n}=n(n+1)(2n+1)/2
なので
Σ[k=1〜n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6
No.65502 - 2020/05/18(Mon) 15:51:45
☆ Re: お願いします / Momoe
2 次関数の 原始関数が2 + 1 次関数 の
[誰でも一度だけ 経験するのよ誘惑の甘い ...] 経験　から
1^2 + 2^2 + 3^2 + ....n^2 =a*n^3 + b*n^2 + c*n + d　と 想像叶い
{a+b+c+d,8 a+4 b+2 c+d,27 a+9 b+3 c+d,64 a+16 b+4 c+d}={1,5,14,30}
{a,b,c,d}={1/3,1/2,1/6,0}
No.65506 - 2020/05/18(Mon) 16:23:46
☆ Re: お願いします / Momoe
https://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9207/9207222v1.pdf

　　　　　　　　　をも。
No.65515 - 2020/05/18(Mon) 17:52:04
★ 解析学 / あ
問題1のカッコ2がわかりません
No.65499 - 2020/05/18(Mon) 15:25:38
☆ Re: 解析学 / トーカ
まずQ(D)P(D)を計算する。
Q(D)P(D)=(D-1)(D^3-D^2-D+1)
　　　　　=D^4-2D^3+2D-1

Q(D)P(D)e^-x=(D^4-2D^3+2D-1)e^-x
　　　　　　=D^4(e^-x)-2D^3(e^-x)+2D(e^-x)-e^-x
　　　　　　=e^-x+2e^-x-2e^-x-e^-x
　　　　　　=0
No.65529 - 2020/05/18(Mon) 20:57:03
☆ Re: 解析学 / あ
ありがとうございます！
No.65538 - 2020/05/18(Mon) 23:14:24
☆ Re: 解析学 / B'z
y[x]= E^(-x)
{y'''[x], -y''[x], -y'[x], 1 y[x]}
={-E^-x,-E^-x,E^-x,E^-x} 故　
すでにy'''[x]-y''[x]-y'[x]+1y[x]=0

(B'z 「 Zero 」と)
No.65543 - 2020/05/19(Tue) 07:00:18
★ 外包的・内包的表現 / パイソン
「単位円上の点の集合」を外包的・内包的表現で
内包表記は(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 = 1 }であってますか？
また、外包表記は、どうかくのでしょうか？
No.65498 - 2020/05/18(Mon) 15:22:11
★ 年齢算の問題です。 / なな
途中式も含めて教えてください。
No.65496 - 2020/05/18(Mon) 14:28:10
☆ Re: 年齢算の問題です。 / ヨッシー


図（上）において、
６年前の息子の３倍が、６年前の母親です。
８年後の父親は、６年前の母親より(6+6+8=)20歳年上です。
８年後の息子は、６年前の息子より14歳年上で、その２倍が父親です。

６年前の息子の年齢は
　１４＋１４−２０＝８（歳）


現在、父親は３６歳、母親は３０歳、息子は１４歳です。
図（下）において、
求める年数を矢印で表すと、
現在父母合わせて６６歳これに２人分の矢印を加えた長さと
息子の年齢に矢印を加え、３倍したものが等しいので、
矢印１つ分の年数は、
　６６−１４×３＝２４（年後）
No.65507 - 2020/05/18(Mon) 16:31:37
★ 分からないです。 / 和希
何から始めて良いのかわかりません。
分かる方で回答お願いします。
No.65495 - 2020/05/18(Mon) 13:57:57
★ (No Subject) / こーる
変数関数がf(x) = -x^3+3.5x^2-2x+5の時
x = 1の位置における，?@関数値f(x)，?Aグラジェントベクトルg(x)，?Bヘッセ行列H(x)を求めよ
上の関数でx = 1から出発し，グラジェントベクトルgを探索ベクトルとし，係数a=0.5とした場合の，探索過程を計算し，最大値を示せ．探索点が移動しなくなったら終了とする

この問題が解けなくて困っています　助けてください・・・
No.65493 - 2020/05/18(Mon) 13:26:16
★ (No Subject) / ま？
条件 φ(x, y) = 0 のもとで、f (x, y) の極値を求めよ。
(1) φ(x, y) = x2 + xy + y2 − 1, f (x, y) = x + 2y
上記の問題がわかりません、
宜しくお願いします。
No.65490 - 2020/05/18(Mon) 12:37:50
☆ Re: / X
ラグランジュの未定定数法をつかいます。

g(x,y,k)=f(x,y)-kφ(x,y)
と置くと
∂g/∂x=1-k(2x+y)
∂g/∂y=2-k(2y+x)
∂g/∂k=-(x^2+xy+y^2-1)
∴極値を与えるx,y,kについて
1-k(2x+y)=0 (A)
2-k(2y+x)=0 (B)
-(x^2+xy+y^2-1)=0 (C)
(A)×2-(B)より
-2k(2x+y)+k(2y+x)=0
kx=0
(A)(B)よりk≠0ゆえ
x=0
これを(C)に代入して
y=1,-1
∴(A)から
(x,y,k)=(0,1,1),(0,-1,-1)

以上から求める極値は
f(0,1)=2
f(0,-1)=-2
No.65492 - 2020/05/18(Mon) 12:52:32
☆ Re: / KARA
{x,y}={(t^2-1)/(t^2+t+1),(-t^2-2 t)/(t^2+t+1)}で 　　　　　x+2*y=(-t^2-4 t-1)/(t^2+t+1)
　　　KARA (-t^2-4 t-1)/(t^2+t+1)∈[-2,2]
No.65501 - 2020/05/18(Mon) 15:37:19
★ 手も足も出ません… / John Bohnam
何から始めていいかすらわかりません。
どなたかわかる方お願いします
No.65488 - 2020/05/18(Mon) 10:59:07
☆ Re: 手も足も出ません… / ヨッシー
(1)
まず、√(x−[x]) について考えます。
ｘの値と ｙ＝x−[x] の値の関係は
　x=0.24, y=0.24
　x=1.35, y=0.35
　x=3.05, y=0.05
　x=7.69, y=0.69
のように小数部分を表す関数になります。
よって、ｙ＝x−[x] のグラフは下図(左)のとおりで、
ｙ＝ｘ（0≦x＜1) の繰り返しとなります（図の右）。
また、ｙ＝√(x−[x]) は、ｙ＝√x のグラフの繰り返しとなります。

ｙ＝−√(x−[x])　は、ｙ＝√(x−[x]) をｘ軸反転させたもの（図の左）で、
ｙ＝[x]−√(x−[x]) は、整数部分を上乗せしたもの（図の右）になります。


グラフが描けたら、(2)(3) は、これに直線のグラフを絡めるだけなので、少しやってみてください。
No.65489 - 2020/05/18(Mon) 12:07:30
★ (No Subject) / 開成高校４年
別解1で接戦がx＝3でない確認はするのにy＝1ではない確認しないのはなんでですか？？違いを教えてほしいです。
No.65484 - 2020/05/18(Mon) 09:53:42
☆ Re: / ヨッシー
直線ｘ＝３は
　ｙ−１＝ｍ(ｘ−３)
では表せないので、別途調べますが、直線ｙ＝１は表せるので、その必要がありません。
No.65485 - 2020/05/18(Mon) 10:00:29
☆ Re: / 開成高校４年
なるほど！じゃぁ記述で書くときはこの解答例のように確認すればOKってことですか？
No.65486 - 2020/05/18(Mon) 10:09:22
☆ Re: / ヨッシー
それでＯＫです。
明らかにｙ軸平行の直線はありえないような場合は、省略される場合もあります。
No.65487 - 2020/05/18(Mon) 10:11:49
★ 場合の数 / 場合の数
箱の中に

赤玉2個、白玉2個、青玉1個　あるときこの中から３個の玉の選び方は何通りになるか。

5個の中から3個とるので５Ｃ３で10通りになるとおもったのですが、答えは5通りになるそうです。なぜでしょうか。

分かる方回答お願いします。
No.65482 - 2020/05/18(Mon) 09:33:26
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
赤がＡ，Ｂ、白がＣ，Ｄ、青がＥ　とすると、
　ＡＣＥ、ＡＤＥ、ＢＣＥ、ＢＤＥ
の４通りは、どれも 赤、白、青 なので、１通りと数えます。他にも、
　ＡＢＣ　と　ＡＢＤ　は同じ
　ＡＣＤ　と　ＢＣＤ　は同じなので、
５通りが重複しているので、
　１０−５＝５（通り）　です。

また、普通はこのような引き算ではなく、
　赤白青、赤赤白、赤赤青、白白赤、白白青
の５通り、とする方が一般的です。

　
No.65483 - 2020/05/18(Mon) 09:48:26
★ 極限(改正) / weta
さっき問題を書いた際、不十分であったので

lim(x→2+0) [1/x-2 - 1/log(x-1) ]

すいません。よろしくお願いします。
No.65481 - 2020/05/18(Mon) 09:20:47
☆ Re: 極限(改正) / らすかる
ロピタルの定理とかテイラー展開は使えないと仮定したら
あまり良い解答にならなかったので
参考程度にして欲しいですが
f(x)=log(x-1)-(-x^2+6x-8)/2とおくとf(2)=0で
f'(x)=(x-2)^2/(x-1)から
x＞2のときf'(x)＞0なので
x＞2のときlog(x-1)＞(-x^2+6x-8)/2
g(x)=log(x-1)-(x^3-7x^2+18x-16)/2とおくとg(2)=0で
g'(x)=-(3x-5)(x-2)^2/{2(x-1)}から
x＞2のときg'(x)＜0なので
x＞2のときlog(x-1)＜(x^3-7x^2+18x-16)/2
よってx＞2で
1/(x-2)-1/{(-x^2+6x-8)/2}＜1/(x-2)-1/log(x-1)＜1/(x-2)-1/{(x^3-7x^2+18x-16)/2}
となるので
lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/{(-x^2+6x-8)/2}}≦lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/log(x-1)}
≦lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/{(x^3-7x^2+18x-16)/2}}
ところで
lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/{(-x^2+6x-8)/2}}
=lim[x→2+0]-1/(4-x)
=-1/2
lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/{(x^3-7x^2+18x-16)/2}}
=lim[x→2+0](x-3)/(x^2-5x+8)
=-1/2
なので
-1/2≦lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/log(x-1)}≦-1/2
となり
lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/log(x-1)}=-1/2
No.65497 - 2020/05/18(Mon) 14:49:28
★ 線形代数写像 / キムチ
線形写像f:R2→R2 の像が0,R2,原点を通る直線のいずれかであることの証明がわかりません
お願いします
助けてください
No.65476 - 2020/05/18(Mon) 00:33:34
☆ Re: 線形代数写像 / IT
ｆ(1,0),f(0,1) がどうなるかで分類すればよいのでは？
No.65477 - 2020/05/18(Mon) 07:30:23
★ (No Subject) / あ
この問題のキの求め方が分かりません。
よろしくお願いします。
No.65466 - 2020/05/17(Sun) 20:14:52
☆ Re: / ヨッシー
cosθ1＝√6/3≒0.816
cos(π/5)＝(1＋√5)/4≒0.809
cos(π/6)＝√3/2≒0.866
cosθ1 はこの間にあるので、答えは２　です。
No.65470 - 2020/05/17(Sun) 23:08:16
☆ Re: / あ
ありがとうございます！
No.65474 - 2020/05/18(Mon) 00:03:16
★ 微分の問題です / John Bohnam
(1)で示した式を図にすることができなかったのですが、どなたか解ける方いらしたらお願いします
No.65464 - 2020/05/17(Sun) 19:01:37
☆ Re: 微分の問題です / John Bohnam
問題文はこちらになります
No.65465 - 2020/05/17(Sun) 19:03:40
☆ Re: 微分の問題です / 関数電卓
あなたの解答は概ね良いのですが，細部の詰めが甘いようです。

(1) −1≦x＜1 に１解のみを持つ場合 ⇔ f(−1)･f(1)≦0 and f(1)≠0
　∴ (1−a＋b)(1＋a＋b)≦0 and 1＋a＋b≠0
(2) −1≦x＜1 に２解を持つ場合
　　　⇔ D＝a^2−4b≧0 and f(−1)＝1−a＋b≧0 and f(1)＝1＋a＋b＞0
(1)or(2)を満たす (a, b) の存在領域は図の着色部分。
ただし，実線の境界上の点を含み，破線の境界上の点は含まない。
No.65469 - 2020/05/17(Sun) 22:50:17
☆ Re: 微分の問題です / john bohnam
ありがとうございます❗
とても分かりやすい図で助かりました❗
No.65471 - 2020/05/17(Sun) 23:29:50
☆ Re: 微分の問題です / 関数電卓
途中で図を差し替えたので，混乱したら失礼しました。
No.65472 - 2020/05/17(Sun) 23:42:15
☆ Re: 微分の問題です / 関数電卓
お尋ねの問題からは離れ一般論ですが，
　(式1)･(式2)･(式3)＞0 …(*)
を満たす領域を図示する場合，
　(?@) ３つの式が表す境界線を図示する
　(?A) (?@)で分割された各領域の任意のひとつの中にある点 P が(*)を満たすならばその部分を塗る。
　(?B) (?A)で塗った部分から境界線をひとつ越えるごとに交互に市松模様のように塗る
と，(*)を満たす領域が得られます。知っていると便利な方法です。
No.65475 - 2020/05/18(Mon) 00:11:52
★ (No Subject) / あ
これ、解説合ってますかね？
もともと、数列は　a_n+1＋αb_n+1=β(a_n＋αb_n) です。
No.65461 - 2020/05/17(Sun) 18:16:50
☆ Re: / ヨッシー
?Cの式と、?Eの途中が間違ってますね。
?Eで、＝０になる初期値が与えられているので、
奇跡的に最後の答えはあっていますね。

これが、ａ[1]＝３，ｂ[1]＝４ とかだと馬脚が現れます。

まさか、学校の教科書や市販の問題集ではないですよね？
個人の手作りテキストですか？（学校にしろ塾にしろ）
No.65463 - 2020/05/17(Sun) 18:55:01
☆ Re: ヨッシー / あ
協同出版の教員採用試験対策の過去問題集です（汗）
この他にも解説にたくさん間違いがありました。
No.65478 - 2020/05/18(Mon) 08:56:46
★ (No Subject) / 恒等式
恒等式における、係数決定の問題なのですが、

例えば、
1/(x+1)^2(x^2+x+1)=a/(x+1)^2+b/(x+1)+(cx+d)/(x^2+x+1)

はx=-1において恒等式ではないように思えるのですが、それでもこの式は恒等式と呼べるのでしょうか？
No.65457 - 2020/05/17(Sun) 17:23:41
☆ Re: / 恒等式
恒等式とは、どんな時でも成り立つ式ということですよね？
では、x=-1のとき成り立たないと思うのですが
No.65458 - 2020/05/17(Sun) 17:24:31
☆ Re: / ヨッシー
Wikipedia の例に
　tanｘ＝sinｘ/cosｘ
があるように、等式が定義できるすべての変数において、
成り立つ、と解釈すべきでしょう。
No.65460 - 2020/05/17(Sun) 17:31:49
☆ Re: / 恒等式
自分の理解不足でした。
回答ありがとうございました。勉強になりました。
No.65468 - 2020/05/17(Sun) 22:18:14
☆ Re: / らすかる
そもそも「成り立たない」というのは
「両辺が定義されて異なる値になる」という意味ですから、
少なくとも片方の辺が未定義であれば左右の辺が比較できず、
「成り立たない」とは言えませんね。
（もちろん「成り立つ」とも言えません。）
No.65473 - 2020/05/17(Sun) 23:42:27
★ 計算 / まい
Nについて解く問題ですが、答えが合いません。
計算過程を見せてください。
よろしくお願いします。
No.65453 - 2020/05/17(Sun) 15:39:42
☆ Re: 計算 / IT
あなたの答えと　計算過程を載せてください。
No.65454 - 2020/05/17(Sun) 16:36:00
☆ Re: 計算 / IT
sinθをs,cosθをc,tanθをt と書きます｡

{Ns/m-(-Ns/M)}t=-{(Nc-mg)/m}
Nについて整理すると
　N(st/m+st/M+c/m)=g
mMを掛けて、
　N(Mst+mst+Mc)=mMg

t=s/c を代入すると
N(Ms^2/c+ms^2/c+Mc)=mMg

cを掛けて
　N(Ms^2+ms^2+Mc^2)=mMgc
　N(M+ms^2)=mMgc

∴N=mMgc/(M+ms^2)
No.65456 - 2020/05/17(Sun) 17:16:01
☆ Re: 計算 / IT
{Ns/m-(-Ns/M)}t=-{(Nc-mg)/m}

手順はいろいろあります。
先にt=s/c を代入すると
　{Ns/m-(-Ns/M)}(s/c)=-{(Nc-mg)/m}
mMc を掛けると
　{NMs+Nms}s=-NMc^2+mMgc
移項して
　NMs^2+Nms^2+NMc^2=mMgc
　N(Ms^2+ms^2+Mc^2)=mMgc
　N(M+ms^2)=mMgc

∴N=mMgc/(M+ms^2)
No.65459 - 2020/05/17(Sun) 17:30:45
☆ Re: 計算 / IT
正しければ、表現がぴったり合わなくても良い思います。
No.65462 - 2020/05/17(Sun) 18:40:23
★ 関数 / つくも
この（5）の問題がわかりません。
おしえてください。
No.65452 - 2020/05/17(Sun) 15:10:51
☆ Re: 関数 / ヨッシー
点ＰがOAの中点 (-2, 2) のとき、ＰＢは△ＯＡＢを二等分する。
このとき、ＢＰの式は、
　ｙ＝−x/4＋3/2

No.65455 - 2020/05/17(Sun) 16:46:21
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