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★ (No Subject) / への
これを上から見た図として円錐にすることはできますか？
そして展開図はどうなりますか？
No.64838 - 2020/05/01(Fri) 19:26:06
☆ Re: / ヨッシー
どうなったら、「円錐に出来た」と言えるのですか？
No.64840 - 2020/05/01(Fri) 20:27:17
★ 複素数での解の判別について / あめ
写真の解答にあるように実数解は｢異なる2つの｣という断りを入れるにも関わらず、虚数解についてはただ単に2個と書くのは何故ですか？何故虚数解には｢異なる2つの｣といれないのでしょうか。
No.64832 - 2020/05/01(Fri) 17:45:59
☆ Re: 複素数での解の判別について / ヨッシー
実数解の場合のそれは、「重解」と区別するためのものです。
虚数解の場合は、「異なる2つ」の場合しかないから、一々言う必要がないためです。
No.64833 - 2020/05/01(Fri) 17:47:04
☆ Re: 複素数での解の判別について / あめ
新たな質問(というより確認？)失礼します。
解の公式で考えた時、実数解は、｢異なる2つの実数解を持つ｣時はルート内が正なので±が発生し2解を持ち、｢重解を持つ｣時はルート内が0なので±が発生せず1つだけ解を持つのに対し
虚数解は、｢異なる2つの虚数解を持つ｣のみで(:ルート内が0になる事がない)、ルート内が負で±が発生するので2解を持つ、これだけしかない。

こういった認識の仕方で正しいでしょうか？また解の公式を使ったこういう考え方は、変な言葉ですが、浅いですか？
No.64837 - 2020/05/01(Fri) 19:10:36
☆ Re: 複素数での解の判別について / ヨッシー
その認識で正しいです。

結局のところ、√の部分だけで解の分類が出来るので、
√の中身だけ取り出して、判別式としたのです。
No.64839 - 2020/05/01(Fri) 20:24:45
☆ Re: 複素数での解の判別について / あめ
理解出来ました！教えていただきありがとうございました！
No.64841 - 2020/05/01(Fri) 20:54:36
★ 二次方程式の解 / へいけ
画像のようなβの二次方程式で、|β|<1のとき、なぜ解は１つだけが適切なんですか。
No.64824 - 2020/05/01(Fri) 15:23:34
☆ Re: 二次方程式の解 / へいけ
画像の解はなぜ適切ではないのですか。
No.64825 - 2020/05/01(Fri) 15:25:42
☆ Re: 二次方程式の解 / ヨッシー
√(1＋4ｘ12ｘ22)
は、|2ｘ1ｘ2| よりちょっと大きい数です。

2ｘ1ｘ2＞０ のとき、
{−1−√(1＋4ｘ12ｘ22)}/2ｘ1ｘ2
は、−１より小さい値になります。

2ｘ1ｘ2＜０ のとき、
{−1−√(1＋4ｘ12ｘ22)}/2ｘ1ｘ2
は、＋１より大きい値になります。

いずれも、|β|＜１ に反するので、
　{−1＋√(1＋4ｘ12ｘ22)}/2ｘ1ｘ2
だけが解となります。
No.64827 - 2020/05/01(Fri) 15:42:50
☆ Re: 二次方程式の解 / へいけ
返信ありがとうございます。一点質問あります。
> √(1＋4ｘ12ｘ22)
> は、|2ｘ1ｘ2| よりちょっと大きい数です。

それはどのようにわかりますか？
No.64828 - 2020/05/01(Fri) 16:26:39
☆ Re: 二次方程式の解 / らすかる
1+4x1^2x2^2＞4x1^2x2^2 ですから、両辺にルートをつければ
√(1+4x1^2x2^2)＞√(4x1^2x2^2)=|2x1x2| です。
No.64830 - 2020/05/01(Fri) 17:17:24
☆ Re: 二次方程式の解 / IT
２解を　s,t とすると　解と係数の関係から
|st|＝1 なので |s|＜1かつ|ｔ|＜1 となることはないですね。
No.64834 - 2020/05/01(Fri) 18:16:10
★ (No Subject) / 受験生
この変形は正しいですか？
No.64819 - 2020/05/01(Fri) 11:45:58
☆ Re: / ヨッシー
正しいです。
No.64821 - 2020/05/01(Fri) 12:29:12
★ (No Subject) / とら
この問題の(3)の解き方がわかりません。ちなみに答えは5<=x<7です。
よろしくお願いします。
No.64817 - 2020/05/01(Fri) 10:19:29
☆ Re: / ヨッシー
(1)
　−a≦2x−3≦a
より
　(3−a)/2≦ｘ≦(3＋a)/2
(2)
(1) の解において、a＝4 とすると、
　−1/2≦ｘ≦7/2
より、これを満たす整数ｘは
　0, 1, 2, 3
の４個
(3)
　(3＋a)/2−(3−a)/2＝ａ
より、整数ｘが６個になる必要条件は　ｘ≧５　
ａ＝５　のとき　−1≦ｘ≦4　の６個
ここからａを増やしていくと、ｘの範囲は、下限と上限は、同じ量ずつ
増えるので、(3−a)/2＝−2, (3＋a)/2＝5 になる直前まで、整数ｘは６個
よって、　５≦ａ＜７
No.64820 - 2020/05/01(Fri) 12:02:15
☆ Re: / とら
丁寧にありがとうございます。
No.64822 - 2020/05/01(Fri) 12:39:37
★ フラクタル　対数螺旋 / への
https://people.eecs.berkeley.edu/~sequin/CS285/2011_REPORTS/CS285%20final%20paper_Suryaveer&Jeremy.pdf
3〜4ページの意味をわかりやすく教えて頂けると幸いです
No.64815 - 2020/05/01(Fri) 06:01:57
★ 微分方程式 / てち
これの２と３を教えて下さい＞＜
No.64804 - 2020/04/30(Thu) 21:33:44
☆ Re: 微分方程式 / てち
画像投稿し直します
No.64805 - 2020/04/30(Thu) 21:35:41
☆ Re: 微分方程式 / X
(2)
問題の関数から
y"=-Asin(x+B)
∴求める微分方程式は
y"=-y
No.64806 - 2020/04/30(Thu) 21:59:58
☆ Re: 微分方程式 / てち
Xさんありがとうございます！


(3)はそのまま両辺微分して
y'=C
元の式に代入して
y=xy'+f(y')　…答

これで終わって良いんですかね。。
No.64809 - 2020/04/30(Thu) 22:30:19
☆ Re: 微分方程式 / X
それで問題ありません。
No.64810 - 2020/04/30(Thu) 22:33:13
☆ Re: 微分方程式 / てち
ありがとうございました〜
No.64811 - 2020/04/30(Thu) 22:36:03
★ 一次不等式 / とら
|1+x|<3のような式は場合分けが不要なのになぜ
|1+x|<2xのように両辺にxがあるときは場合分けが必要なのでしょうか。
No.64792 - 2020/04/30(Thu) 18:29:27
☆ Re: 一次不等式 / X
|1+x|＜2x (A)
の場合も場合分けは不要です。
(A)⇔-2x＜1+x＜2x
です。
No.64793 - 2020/04/30(Thu) 18:46:38
☆ Re: 一次不等式 / とら
よく考えてみたらそうですね💦
ありがとうございますー
No.64800 - 2020/04/30(Thu) 20:06:49
☆ Re: 一次不等式 / れい
場合分けは必要です。
xは値が変わるので定数と同じように扱うことはできません。
No.64814 - 2020/05/01(Fri) 03:09:14
☆ Re: 一次不等式 / らすかる
少なくとも|f(x)|＜g(x)の形の場合は
|f(x)|＜g(x) ⇔ -g(x)＜f(x)＜g(x)
ですから、場合分けは不要だと思います。
No.64816 - 2020/05/01(Fri) 07:47:49
☆ Re: 一次不等式 / れい
そうだったかもしれません。失礼しました。
No.64818 - 2020/05/01(Fri) 10:35:31
★ (No Subject) / 農家
(1)と(2)をお願いします。
No.64791 - 2020/04/30(Thu) 16:40:24
☆ Re: / 関数電卓
複素数 Z の共役複素数を cZ で表すことにします。
(1)
複素平面上で z, z' が表す点を P, P' とします。
αの偏角をθとし，P, P' を 0 の周りに−θ回転させた点を P1, P2, それらを表す複素数を z1, z2 すると，
　z1＝z/(α/|α|)＝|α|z/α，z2＝|α|z'/α
このとき P1 と P2 は実軸について対称で，z1 と z2 は共役複素数となるから，
　cz1＝|α|cz/cα＝z2＝|α|z'/α
　∴ cαz'＝αcz　　[証了]
(2)
複素平面上の点を A(α), 直線 OA と直交する直線 l 上の点を P(z) とします。
(1)同様，P と l を 0 の周りに −arg(z) 回転させた点･直線を P1(z1), l' とすると z1＝|α|z/α。
P1 は実軸に垂直な直線 l' 上にあるから，
　z1＋cz1＝|α|　∴ |α|z/α＋|α|cz/cα＝|α|
　∴ cαz＋αcz＝αcα＝|α|2
αは l に垂直ならば任意だから |α|＝1 としてよく，
　∴ cαz＋αcz＝1 [証了]
#
(1)が(2)の布石となっていることが分かりますね？
尚，(2)の結果に z＝x＋yi, α＝a＋bi, cz＝x−yi, cα＝a−bi を代入して整理すると ax＋by＝1/2 となり，a, b は任意なので，これは平面上の直線を表しています。
No.64794 - 2020/04/30(Thu) 19:04:58
☆ Re: / 関数電卓
図です。
No.64823 - 2020/05/01(Fri) 13:07:57
★ 線形代数 / 大2
3番目の問が、頭では理解できているのですが記述の仕方がいまいち思いつきません。

また、3番目と4番目の問題が分かれているのには理由があるのでしょうか？
No.64789 - 2020/04/30(Thu) 13:02:20
☆ Re: 線形代数 / X
3番目の問題)
f[1]=Σ[m=1〜n]a[m]x^m
f[2]=Σ[m=1〜n]b[m]x^m
(x∈R,a[m]∈R,b[m]∈R)
と置くと
f[1]∈F
f[2]∈F
このとき
(i)
k∈Rなるkに対し
kf[1]=Σ[m=1〜n](ka[m])x^m
で
ka[m]∈R
∴
kf[1]∈F
(ii)
f[1]+f[2]=Σ[m=1〜n](a[m]+b[m])x^m
で
a[m]+b[m]∈R
∴f[1]+f[2]∈F

(i)(ii)よりFは線形空間の定義を満たすので
Fは線形空間である。


4番目の問題も同様です。
No.64796 - 2020/04/30(Thu) 19:46:00
☆ Re: 線形代数 / ast
問題が奇妙というか, このような F の与え方だと f ごとに x∈R は変えてよいことになってしまうので, たとえば x^n+y^n =Σ c[m]z^m と書けるような z∈R があるのかなども検討しないとダメだと思います.
# 右辺にx∈Rという条件を書かずに, 外側で x は固定もしくは不定元として与えられていればXさんのようにすればよく,
# 普通は (定義を確認する初期レベルの演習だと) そうなのではないかと思うのですが.
No.64798 - 2020/04/30(Thu) 20:00:24
☆ Re: 線形代数 / X
>>astさんへ
ご指摘ありがとうございます。
私はF,Gをxの関数の集合の一種であるという前提で
この問題を解きました。
No.64803 - 2020/04/30(Thu) 21:10:07
☆ Re: 線形代数 / 黄桃
線型空間というからには、スカラーは何か決めたうえで、ベクトルの和とスカラー倍の定義が必要ですが、この問題文だけでは、それらが曖昧です。
実ベクトル空間で、1次元か2次元の話だろう、と善意に解釈してもいろいろおかしい。

(1)はわざわざrやθを出す意味がわからない。
(2)もわざわざxを出す意味がわからない。

これら２つは2次元平面が前提にあるとすればわからなくてもないですが（そうなると線形代数の問題ではなくて、高校数学レベルで2次元図形がわかるか、というレベルの話）、(3)はastさんのおっしゃる通りで、私にはF=Rに見えますので設問自体がジョークっぽい。
(4)に至っては x=0 の時 x^(-1)は我々が普通知っているRであれば存在しないので問題自体が意味不明。

この問題文だけでは出題意図を忖度するのが難しいので、元の質問（3と4の出題の狙い）にも答えられません。

いえることは、この演習の前に何かあるのでは？くらいです。
No.64829 - 2020/05/01(Fri) 16:50:13
★ (No Subject) / 受験生
この中央あたりの矢印の部分ですが、前のページで証明してはありますが、自明のものとして使ってもいいのでしょうか？
No.64788 - 2020/04/30(Thu) 12:58:19
☆ Re: / ヨッシー
ほぼＯＫですが、心配なら１行前に
　−１≦cosθ≦１　の各辺に　|ｐ||ｑ|（≧０）を掛けて
とでも書いておけばいいでしょう。
No.64790 - 2020/04/30(Thu) 13:04:02
★ 大学2年、広義積分について / ウシ
画像の（2）がどうしても分かりません。
どうか教えて頂きたいです。
No.64785 - 2020/04/30(Thu) 11:30:19
☆ Re: 大学2年、広義積分について / X
問題の広義重積分をIとします。

今
J[R]=∫[r:0→R]∫[θ:0→2π]rdrdθ/{{r^(2α)}(1+r^2)^β} (A)
と置き、R→∞のときJ[R]が収束するとすると
I=lim[R→∞]J[R]
(証明は省略します。)

さて
(A)より
J[R]=2π∫[r:0→R]rdr/{{r^(2α)}(1+r^2)^β}
条件より0＜Rとしてもよいことに注意すると
J[R]はRに関して単調増加 (B)
であり、また
J[R]＜2π∫[r:0→R]rdr/{{r^(2α)}{r^(2β)}}
右辺においてr^2=uと置くことにより
J[R]＜π∫[u:0→R^2]du/{u^(α+β)} (C)
∴R→∞のとき(C)の右辺が収束⇒J[R]は上に有界
なので
1＜α+β⇒Iは収束

一方、α+β≦1のとき
β≦1-α
∴J[R]≧(2π)∫[r:0→R]rdr/{{r^(2α)}(1+r^2)^(1-α)}
=(2π)∫[r:0→R]{r(1+1/r^2)^α}dr/(1+r^2)
＞(2π)∫[r:0→R]{r/(1+r^2)}dr
=πlog(1+R^2)→∞(R→∞)
となりIは収束しないので背理法により
Iは収束⇒1＜α+β

以上から求める必要十分条件は
1＜α+β
No.64802 - 2020/04/30(Thu) 20:53:49
☆ Re: 大学2年、広義積分について / 関数電卓
被積分関数の中に 1/r があるので，r→0 のときの振る舞いは考えなくて良いのですか？
No.64812 - 2020/04/30(Thu) 23:14:17
☆ Re: 大学2年、広義積分について / X
>>関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ウシさんへ
ごめんなさい。関数電卓さんの仰る通りです。
No.64802の内容は無視して下さい。
No.64831 - 2020/05/01(Fri) 17:27:43
☆ Re: 大学2年、広義積分について / 関数電卓
r→0 で発散しないために α＝0 が必要。r→∞ 場合と併せて，α＝0, β＞1 だと思いますが，きちんと示すにはどうするのでしょう？
No.64836 - 2020/05/01(Fri) 19:02:29
★ 証明の手順 / ゆうきち
問題文の意味がわかりません。
どういった手順で回答すれば良いのでしょうか？
(ヒントの意味もわかりません)
No.64784 - 2020/04/30(Thu) 10:32:53
☆ Re: 証明の手順 / IT
挟み撃ちの原理を使います
n≦x＜n+1のとき
(1+1/(n+1))^n＜(1+1/x)^x＜(1+1/n)^(n+1)

この両側を　e=lim[n→∞](1+1/n)^n を使って評価すれば良いと思います。

それぞれ(1+1/n)^n の形との差異を調整する必要があります。
No.64799 - 2020/04/30(Thu) 20:05:41
☆ Re: 証明の手順 / 関数電卓
　(1+1/(n+1))^n→e
　(1+1/n)^(n+1)→e
なのでしょうが，これってキチンと示そうとすると結構大変じゃありません？
2 ページ目に隠れそうなので，取り急ぎ…
No.64873 - 2020/05/02(Sat) 17:44:33
☆ Re: 証明の手順 / IT
たとえば　(1+1/(n+1))^n={(1+1/(n+1))^(n+1)}/(1+1/(n+1))→e/1=e ですね。
No.64888 - 2020/05/02(Sat) 20:09:12
☆ Re: 証明の手順 / 関数電卓
本問は大学生向けですよね？ 高校生向けならば
　(1+1/(n+1))^n={(1+1/(n+1))^(n+1)}^(1−1/(n+1))→ e^1
と → の右を一気に書いてしまうしかないけど，大学生ならば，左辺の単調性・有界性に触れてほしいと思うのです。
No.64904 - 2020/05/03(Sun) 10:13:22
☆ Re: 証明の手順 / IT
この問題では、「lim[n→∞](1+1/n)^n=e を用いて」とありますから、

(1+1/(n+1))^n={(1+1/(n+1))^(n+1)}/(1+1/(n+1))→e/1=e
として良いのではないでしょうか？
No.64924 - 2020/05/03(Sun) 20:35:31
★ マイナスの意味 / 大学一年
写真の（2.11）の-g'（x）/ ｛g（x）｝^2という式のマイナスがどこから来たのか理解できません。理解できる方教えていただきたいです。よろしくお願い申し上げます。
No.64782 - 2020/04/30(Thu) 04:24:23
☆ Re: マイナスの意味 / らすかる
マイナスはそのひとつ前から付いてますよね。
下で
(1/a-1/b)/c=(b-a)/c(ab)
と書きましたが、(2.11)では
(1/a-1/b)/c=-(a-b)/c(ab)
という形にしているためにマイナスがついています。
No.64783 - 2020/04/30(Thu) 04:30:46
☆ Re: マイナスの意味 / 大学一年
ありがとうございます。理解できました。いつも分かりやすい説明をありがとうございます。
No.64813 - 2020/05/01(Fri) 00:45:07
★ 微積分の証明について　大学一年 / し
写真の（2.11）の証明についての質問です。なぜ1/g（x+h）g（x）を掛けているのか理解できません。教えていただきたいです。よろしくお願い申し上げます。
No.64778 - 2020/04/30(Thu) 02:25:00
☆ Re: 微積分の証明について　大学一年 / らすかる
1/a-1/bを通分すると
(b-a)/(ab)ですから
(1/a-1/b)/c={(b-a)/(ab)}/c=(b-a)/c(ab)
となりますね。
このaがg(x+h),bがg(x),cがhの場合が(2.11)の変形です。
No.64780 - 2020/04/30(Thu) 02:43:39
☆ Re: 微積分の証明について　大学一年 / し
理解できました。分かりやすい説明をありがとうございました。
No.64781 - 2020/04/30(Thu) 04:19:01
★ 円順列 / 高3
4人の男性と4人の女性が円卓のまわりに座るとき、次の問いに答えよ。
(2)男女が互い違いに座るとき、座り方は何通りあるか。
解答　(4-1)！・4！=144(通り)

この答えを男性の座り方×女性の座り方と捉えた場合、男性が円になった場合のことを考えて-1しているのは分かりますが、女性が横並びの時と同じ数え方になっているのがなぜか分かりません。
No.64777 - 2020/04/30(Thu) 01:22:03
☆ Re: 円順列 / らすかる
男性4人が座った後は女性4人の座り方を回転させると
隣り合う男性が変わりますので異なる座り方になりますね。
従って円順列ではなく、単に4つの座席に4人を割り当てる
場合の数になります。
No.64779 - 2020/04/30(Thu) 02:40:40
☆ Re: 円順列 / れい
とてもよく分かりました。ありがとうございます。
No.64786 - 2020/04/30(Thu) 11:45:25
★ 掛け算割り算の移行について / 中学1年
すみません。単純な算数の問題です。考え方を教えて下さい。。
3/7×◻=1/7+1/2 という式で◻を求めるとき、
3/7×◻=2/14÷7/24となり
◻=9/14÷3/7になると見ました。
私は
A×B=CはB=A÷Cと移行でき、”AはCの手前に入る”と覚えていたのですが、上記はC(9/14)の後ろに来ています。この2つの違いがいまいち理解できません。すみませんが教えていただけるとありがたいです。よろしくおねがいします。
No.64775 - 2020/04/29(Wed) 23:53:10
☆ Re: 掛け算割り算の移行について / らすかる
> A×B=CはB=A÷Cと移行でき、”AはCの手前に入る”と覚えていた

これが間違いです。
A×B=CでAを移項するには両辺をAで割るわけですから
A×B÷A=C÷A
B=C÷A
のようになります。
No.64776 - 2020/04/30(Thu) 00:04:42
☆ Re: 掛け算割り算の移行について / 中学1年
解説ありがとうございます。助かりました。
No.64843 - 2020/05/01(Fri) 21:56:50
★ 図形が移動する問題 / 商工１年　
中学の復習の問題です。数学が苦手なので詳しい解説よろしくお願いいたします。ア　９　　イ　４ｘ　ウ　−２ｘ+４２
No.64765 - 2020/04/29(Wed) 20:53:34
☆ Re: 図形が移動する問題 / ヨッシー

図は、ｘが１ｃｍずつ動く様子を示したものです。
ｘ＝０から６までは、ｘに縦を掛けたものがｙになっています。
ｘ＝６からあるところ［ア］までは、長方形ＰＱＲＳ全体がｙになっています。
その後１５までは、ｙは減っていきます。
ｙの部分の横は６ｃｍで固定で、縦はｘ＝［ア］のとき４ｃｍ、ｘ＝１５のとき２ｃｍmです。
No.64769 - 2020/04/29(Wed) 21:45:49
☆ Re: 図形が移動する問題 / 商工１年　
何となく解りました。ウの解答の−２ｘ+４２になるのが解りません。解説よろしくお願いします。
No.64795 - 2020/04/30(Thu) 19:45:40
☆ Re: 図形が移動する問題 / ヨッシー
ｘ＝９ のとき　縦は４cm　面積は24cm^2
ｘ＝１５のとき　縦は2cm　面積は12cm^2
ｘが６増える間に、面積は１２減るので、変化の割合(傾き)は
　−１２÷６＝−２
よって、ｙ＝−２ｘ＋□ になります。
ｘ＝９のときｙ＝２４になるためには
（あるいはｘ＝１５のときｙ＝１２になるためには）
　ｙ＝−２ｘ＋４２

たしかに　ｘ＝９を入れてｙ＝−１８＋４２＝２４
　ｘ＝１５　を入れて　ｙ＝−３０＋４２＝１２
になりますね。
No.64797 - 2020/04/30(Thu) 19:50:05
☆ Re: 図形が移動する問題 / 商工１年　
ｘが６増える間に、面積は１２減るので、変化の割合(傾き)は
　−１２÷６＝−２
よって、ｙ＝−２ｘ＋□ になります。
解説ありがとうございます。ｘの変域から一次関数の式になるのがよくわかりません。
No.64835 - 2020/05/01(Fri) 18:45:15
★ 絶対値の証明 / へいけ
画像ような絶対値の式が1より小さい証明方法を教えてください
No.64764 - 2020/04/29(Wed) 20:49:50
☆ Re: 絶対値の証明 / IT
ｔ＝２x[1]x[2] とおくと　簡単になりますね
x[1]、x[2]が実数ならOKですね。もちろん分母≠0ですね
No.64767 - 2020/04/29(Wed) 21:20:59
☆ Re: 絶対値の証明 / IT
t=2x[1]x[2]（≠0） とおく。（表記を簡単にするためです、そのままでも良いです）

分子を有理化して整理すると

　与式＝|t|/(√(1+t^2)+1)＝1/(√(1+1/t^2)+1/|t|)

不等式を証明するだけなら、こっちが簡単かも

　与式＝(√(1+t^2)-1)/|t|＜(√(1+|t|)^2-1)/|t|=1
No.64772 - 2020/04/29(Wed) 22:14:10
☆ Re: 絶対値の証明 / らすかる
絶対値の中身は、f(t)=(x1x2)t^2+t-(x1x2)　(x1x2≠0)として
f(t)=0の原点に近い方の解ですが、
f(1)=1, f(-1)=-1からf(t)=0は-1＜t＜1の範囲に解をもちますので、
原点に近い方の解の絶対値は1より小さくなります。
No.64773 - 2020/04/29(Wed) 23:00:57
☆ Re: 絶対値の証明 / IT
らすかるさんの証明がきれいですね。
（特に(x1x2)t^2+t-(x1x2)＝0の方程式の解から出てきた　不等式なら　解を解の公式で求める必要もないですね　）
No.64774 - 2020/04/29(Wed) 23:21:53
☆ Re: 絶対値の証明 / へいけ
ありがとうございました
No.64826 - 2020/05/01(Fri) 15:27:09
★ 大学初年度レベルの問題です。 / kafka
すみません、下記、教えてください。

xyz空間内に、原点Oを中心とした半径１の球Sがある。
点A（１、０、０）、点B（０、１、０）、点C（０、０、１）
を通る、平面Lによって球Sを分割する。
小さいほうの立体をDとする。
（１）分割されてできる断面の中で、ｚ座標が最小となる点を求めよ。
（２）立体Dをｚ軸に周りに回転させてできる立体Dの通過する範囲の体積を求めよ。
No.64753 - 2020/04/29(Wed) 15:21:22
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / X
(1)
条件からS,Lの方程式はそれぞれ
x^2+y^2+z^2=1 (A)
x+y+z=1 (B)
(A)かつ(B)が問題の断面の
境界線の方程式です。
さて(B)より
y=1-z-x (B)'
(A)に代入して
x^2+z^2+(1-z-x)^2=1
整理して
x^2+(z-1)x+z^2-z=0 (C)
ここでxは実数ですので
(C)をxの二次方程式と見たときの
解の判別式をDとすると
D=(z-1)^2-4(z^2-z)≧0
これより
-3z^2+2z+1≧0
(3z+1)(z-1)≦0
∴-1/3≦z≦1
∴zの最小値は-1/3
このとき(C)より
x^2-(4/3)x+4/9=0
∴x=2/3
これと(B)'より
y=2/3
∴求める点の座標は
(2/3,2/3,-1/3)

(2)
(1)の結果の点をEとすると
問題のDの通過する範囲は

点Cを始点とする半直線CE
を母線とする円錐の側面
(Uとします)
でSを境界面とする球を
くりぬいたときの
Uの外側の立体

となります。
よって、
Sを境界面とする球と
Uを側面とする円錐
のうち、
平面z=-1/3
より上の部分にある立体
の体積をそれぞれV,W
とすると
(求める体積)=V-W

V,Wの値の計算はそちらでどうぞ。
No.64754 - 2020/04/29(Wed) 16:07:32
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / kafka
納得しました。素晴らしいです。
No.64755 - 2020/04/29(Wed) 16:22:33
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / kafka
ちなみに（１）は高校数学の?Uのレベルですよね？
No.64756 - 2020/04/29(Wed) 16:26:43
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / X
今の高校数学の過程は分かりませんが、
数学IIまでに空間図形の項目があれば
その通りです。
No.64757 - 2020/04/29(Wed) 18:10:03
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / 関数電卓
図です。右端は平面と xy 平面の交線方向から見たもの。
No.64762 - 2020/04/29(Wed) 19:02:29
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