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★ (No Subject) / あ
【問題】y=sinx (0≦x≦π) とx軸で囲まれる図形をy軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

なぜこのような積分になるのかがよくわかりません。
No.65838 - 2020/05/26(Tue) 11:14:05
☆ Re: / ヨッシー

左の図をｙ軸（ここでは横軸）周りに回転させた立体から
右の図をｙ軸回りに回転させた立体を引くと、求める立体が
出来ます。

前者Ｖ1 は
　Ｖ1＝π∫[0〜1]ｘ^2dy
ここで、ｙ＝sinｘ より
　dy/dx＝cosｘ
　dy＝cosｘdx
0≦ｙ≦1 は π≧ｘ≧π/2 に相当
よって、
　Ｖ1＝∫[π〜π/2]ｘ^2cosｘdx

後者も同様です。
No.65842 - 2020/05/26(Tue) 13:39:24
★ (No Subject) / 高校生
この問題の解答について、mとnは互いに素と述べていませんが、なぜ述べなくてよいのでしょうか？
No.65832 - 2020/05/26(Tue) 10:24:24
☆ Re: / らすかる
互いに素である必要がないからです。
No.65836 - 2020/05/26(Tue) 10:40:17
☆ Re: / 高校生
しかし、この問題では、互いに素となっていますが、どう言うことでしょうか？
No.65861 - 2020/05/27(Wed) 11:52:52
☆ Re: / らすかる
最後に「aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する」と言いたいためです。
互いに素と仮定しておかないと、これは言えません。
No.65866 - 2020/05/27(Wed) 16:05:04
★ (No Subject) / あ
これって赤線部分は、logの中身が自然対数になるってことですか？
No.65831 - 2020/05/26(Tue) 10:17:28
☆ Re: / らすかる
logの中身がeになる、という意味で言っているのであれば、その通りです。
No.65837 - 2020/05/26(Tue) 10:41:33
★ (No Subject) / 開成高校４年
すみません。その続きの緑とオレンジの式変形もわかりませんでした。
No.65830 - 2020/05/26(Tue) 10:16:23
☆ Re: / Ayuyu
{(x^2+x)-2}{(x^2+x)+1}
=(x^2+x-2)(x^2+x+1)
=(x+2)(x-1)(x^2+x+1)←左側の()の中身を因数分解しました。
ご参考になれば幸いです！
No.65834 - 2020/05/26(Tue) 10:28:30
★ (No Subject) / 開成高校４年
これってどうやってこう赤い式から青い式に変形したのですか？
No.65829 - 2020/05/26(Tue) 10:10:52
☆ Re: / Ayuyu
x^4+2x^3+x^2の部分を因数分解して(x^2をひとかたまりと見る)、(x^2+x)^2となっています。
-2-(x^2+x)の部分は変化していません。
ご参考になれば幸いです！
No.65833 - 2020/05/26(Tue) 10:24:42
★ 数列　微妙な違いなのですが… / Ayuyu
等差数列{an}の初項から第n項までの和Snを求める問題で、答えはn(63-3n)となっているところ、私は展開して-3n^2+63nとしました。これは微妙な違いですが△でしょうか？答えの状態でおいておくことになにか意味があるのでしょうか？
No.65827 - 2020/05/26(Tue) 09:31:16
☆ Re: 数列　微妙な違いなのですが… / ヨッシー
全然問題ありません。
No.65828 - 2020/05/26(Tue) 09:55:13
☆ Re: 数列　微妙な違いなのですが… / Ayuyu
ありがとうございます！
No.65835 - 2020/05/26(Tue) 10:28:50
★ 平面図形 / Qちゃん
一辺の長さが1の正八角形ABCDEFGHの周上を3点P、Q、Rが動く。Qが正八角形の頂点Aに一致し、∠PQR=90°となるとき?儕QRの面積の最大値を求めよ。

PQ=a、QR=bとすると、?儕QR=ab/2で、PRは直径なので、a⌒2+b⌒2=4+2√2です。相加相乗平均から、a⌒2+b⌒2≧2√a⌒2b⌒2=2abなので、?儕QRの面積の最大値は(2+√2)/2になると思ったのですが、答えは合っているのですが、この解き方ではだめだそうです。どうしてだめなのですか？
No.65824 - 2020/05/25(Mon) 22:20:38
☆ Re: 平面図形 / らすかる
「PRは直径なので、a⌒2+b⌒2=4+2√2です。」は間違いです。
PもRも辺の途中にあるときは直径ではありません。
（PRが直径より短いだけでなく、PRは正八角形の中心も通りません。）
No.65825 - 2020/05/25(Mon) 23:01:52
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
ＰＲが必ずしも直径ではないからでしょう。


ＡＰの延長と円周の交点をＳ
ＡＲの延長と円周の交点をＴ
とし、△ＰＱＲ≦△ＱＳＴ≦△ＡＣＧ
より△ＡＣＧが最大とすれば良いでしょう。
（行間はたっぷり埋めてください）
No.65826 - 2020/05/25(Mon) 23:11:12
☆ Re: 平面図形 / Qちゃん
早速の回答ありがとうございます。ちょっとわからないのですが、円周角が90°になるのは対辺が直径のときではないのですか？

ヨッシー様の回答の行間の埋め方がわからないです。
No.65850 - 2020/05/26(Tue) 18:46:37
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
上の図のＰやＲは円周上にないので、円周角の定理は使えません。

行間を埋めた例は：
△ＰＱＲが△ＣＡＧに一致したときが面積最大である。（面積の算出は省略）
（理由）
円に内接する１辺が直径である三角形の中で、
面積が最大になるのは、高さが最大になる、直角二等辺三角形である。・・・(i)
点Ｐ，Ｒが正八角形の頂点にあるとき、
△ＰＱＲが△ＢＡＦや△ＤＡＨに一致する場合、(i) より△ＡＣＧより面積は小さい。
点Ｐ，Ｒが正八角形の頂点以外の辺上にあるとき、
ＡＰの延長と円周の交点をＳ
ＡＲの延長と円周の交点をＴ
とする。
△ＰＱＲは△ＱＳＴの内部にあるので、
　△ＰＱＲ＜△ＱＳＴ
△ＱＳＴは直径を１辺とする三角形だが、直角二等辺三角形ではないので、(i) より
　△ＱＳＴ＜△ＡＣＧ
よって、いかなる△ＰＱＲも△ＡＣＧよりも面積が小さい。
以上より、△ＰＱＲが△ＡＣＧに一致するときが面積最大である。
No.65857 - 2020/05/27(Wed) 08:14:12
★ 大学数学 / たろう
教えてください。
No.65818 - 2020/05/25(Mon) 15:07:40
★ 代数学 / あ
[15]が分かりません。
No.65817 - 2020/05/25(Mon) 13:58:17
★ (No Subject) / あ
【問題】集合X={ 1,2,3,4,5,6,7 }の部分集合Yに対して、Yの要素の個数をn(Y)と表す。Xの部分集合A,Bについて、
(1) n(A ∩B)=0となるA,Bの選び方は何通りか。

赤線の部分がわかりません。
No.65811 - 2020/05/25(Mon) 13:14:00
☆ Re: / ヨッシー
7-i個の要素の１つ１つが、含まれる／含まれないの２通りの状態が考えられるので、
　２^(7-i)　通り
です。
{a,b,c} の３つの要素の場合
　ａが含まれる／ｂが含まれる／ｃが含まれる
　ａが含まれず／ｂが含まれる／ｃが含まれる
　ａが含まれる／ｂが含まれず／ｃが含まれる
　ａが含まれず／ｂが含まれず／ｃが含まれる
　ａが含まれる／ｂが含まれる／ｃが含まれず
　ａが含まれず／ｂが含まれる／ｃが含まれず
　ａが含まれる／ｂが含まれず／ｃが含まれず
　ａが含まれず／ｂが含まれず／ｃが含まれず
の２^3 通りです。
No.65816 - 2020/05/25(Mon) 13:55:15
★ 高校数学 二次関数の不等式 / まい
2次不等式 x^2-(a-1)x+a<0 を満たす整数が2だけとなるようなaの範囲を求めよ

この問題を教えてください><
No.65808 - 2020/05/25(Mon) 11:55:29
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / Ayuyu
方針だけ示しますね。まず左辺を因数分解すると(x-a)(x-1)になります。よってx軸との交点はx=a,1になります。ここでaと1の大小関係で場合分けします。するとこの2次方程式は下に凸なのでa＞1の場合のみ問題に適します。そして与えられた2次不等式を満たす整数が2だけになるようにaの範囲を設定すればオッケーです！
ご参考になれば幸いです！
No.65809 - 2020/05/25(Mon) 12:53:57
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / まい
お返事ありがとうございますー!!左辺を因数分解しても同じ式を得られないのですがどうやるのでしょうか？
No.65810 - 2020/05/25(Mon) 12:56:11
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / Ayuyu
確かに違いますね…すみません汗
左辺なのですがx^2-(a+1)x+a＜0の間違いだったりしませんか??
No.65813 - 2020/05/25(Mon) 13:21:31
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / まい
先生が間違えちゃったんですかね💦
もしこの式が正しい場合問題は成立しないですよね？！
No.65814 - 2020/05/25(Mon) 13:23:01
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / Ayuyu
先生が間違えてる可能性が高いかと思います！笑
No.65815 - 2020/05/25(Mon) 13:26:32
☆ Re: 高校数学 二次関数の不等式 / ショーペンハウアー
僕もこれは問題が間違いだと思います．もし実数aがあって
x^2-(a-1)x+a<0 をみたす整数が2しかなければ，

x=2のときを考えると 4-2(a-1)+a=-a+6<0
x=3のときを考えると 9-3(a-1)+a=-2a+12>=0

より6<a=<6となってしまうので．
No.65822 - 2020/05/25(Mon) 19:01:51
★ (No Subject) / 山田哲人
この性質って使うことありますか？初めは分数問題で極限を求めるときは分子と分母で分けてこの性質を使うのかと思ったのですが結局分数の問題は分母の最大の次数でわったり有理化したりと……一体この性質はどんな問題でつかうのですか？？
No.65801 - 2020/05/25(Mon) 10:05:34
☆ Re: / ヨッシー
こちらに、高校生向けのロピタルの定理の記事があります。
No.65804 - 2020/05/25(Mon) 11:05:11
☆ Re: / 山田哲人
こんな使い方があったのですか！
ありがたいです
No.65806 - 2020/05/25(Mon) 11:25:36
★ 数列の問題 / Ayuyu
数列の和の式から一般項を求める問題です。a_n_=S_n_-S_n-1_　←下線で挟まれているのは小さい文字を表しています。
この式はn≧2のときしか成り立ちませんが、いつも後からn=1のときを代入して成り立つことを確認しますよね…これは同じになるものなのですか？それとも偶然n=1の場合にも成り立ったのですか？
ご回答お待ちしております。
No.65797 - 2020/05/25(Mon) 08:44:10
☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー
こちらに、一致しない場合が載っています。

一致する場合が多いですが、そうでない場合もあるということですね。
No.65798 - 2020/05/25(Mon) 09:13:48
☆ Re: 数列の問題 / Ayuyu
一致しない場合もあるのですね！リンクまで貼り付けていただき有り難いです。ありがとうございます！
No.65800 - 2020/05/25(Mon) 10:02:38
★ (No Subject) / 名前
パスカルの定理について
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
6点の並び方は任意でパスカル線は全部で60本ありますが、引き方の規則性がわかりません。
ご教授ください。
No.65796 - 2020/05/25(Mon) 07:10:38
☆ Re: / ヨッシー
６点の番号の付け方によって、異なるパスカル線が得られます。

１〜６までの番号を点につけたら、
　１と２（３を飛ばして）４と５をそれぞれ通る直線の交点
　２と３（４を飛ばして）５と６をそれぞれ通る直線の交点
　３と４（５を飛ばして）６と１をそれぞれ通る直線の交点
を描いていきます。
No.65819 - 2020/05/25(Mon) 15:23:56
☆ Re: / 名前
番号をつけたあとで
　(１と２)　(４と５)の交点
　(２と３)　(５と６)の交点
　(３と４)　(６と１)の交点
を結ぶという理解でよろしいのでしょうか？
No.65820 - 2020/05/25(Mon) 16:43:46
☆ Re: / ヨッシー
(１と２) が、１と２を通る直線　という意味であればＯＫです。
No.65821 - 2020/05/25(Mon) 16:51:13
★ (No Subject) / 新一
この問題が解けません。
解き方と答えが知りたいです。
No.65789 - 2020/05/24(Sun) 23:47:40
☆ Re: / X
条件式から
x=cos{arcsin(4/5)+arcsin(5/13)}
=cos{arcsin(4/5)}cos{arcsin(5/13)}-(4/5)(5/13)
={√{1-(4/5)^2}}√{1-(5/13)^2}-4/13
=(3/5)(12/13)-4/13
=(4/13)(4/5)
=16/65
No.65790 - 2020/05/24(Sun) 23:54:31
☆ Re: / 新一
> 条件式から
> x=cos{arcsin(4/5)+arcsin(5/13)}
> =cos{arcsin(4/5)}cos{arcsin(5/13)}-(4/5)(5/13)
> ={√{1-(4/5)^2}}√{1-(5/13)^2}-4/13
> =(3/5)(12/13)-4/13
> =(4/13)(4/5)
> =16/65
ありがとうございます！
No.65792 - 2020/05/25(Mon) 00:03:52
☆ Re: / 関数電卓
sinα＝ 4/5 とおくと，cosα＝ 3/5
sinβ＝5/13 とおくと，cosβ＝12/13
x＝cos(arccos(x))＝cos(α＋β)＝cosαcosβ−sinαsinβ＝3/5･12/13−4/5･5/13＝16/65
No.65793 - 2020/05/25(Mon) 00:23:51
★ 極限 / ずがどん
lim(n→∞){√(3x^2+4x+7)-(ax+b)}=0となるように定数a,bの値を定め、lim(n→∞){√(3x^2+4x+7)-(ax+b)}を求めよ。

という問題があります。この問題の答えは

a=√3,b=(2√3)/3
極限の値:(17√3)/18

なのですが、lim(n→∞){√(3x^2+4x+7)-(ax+b)}=0となるように定数a,bの値を定めているのに、どうして答えが0ではなく(17√3)/18となるのですか？
No.65786 - 2020/05/24(Sun) 22:34:41
☆ Re: 極限 / ずがどん
すみません、勘違いでした。問題を読み間違えていました。
No.65787 - 2020/05/24(Sun) 22:55:34
★ 同値関係、合同式 / ぴこまる
X=Zとします。またRはX上の同値関係とします。
　　def
aRb ⇔ 2a-2b≡０(mod4)　と定義するとき、
　　def
aRb ⇔ a-b≡０(mod2) としても一般性は失われていませんよね？
No.65785 - 2020/05/24(Sun) 21:05:28
☆ Re: 同値関係、合同式 / らすかる
例えばa=1/2、b=5/2の場合は大丈夫ですか？
No.65795 - 2020/05/25(Mon) 05:41:07
☆ Re: 同値関係、合同式 / ぴこまる
質問の説明不足でした。X=Z（整数全体集合）上の同値関係ですので、a=1/2,b=5/2の場合は考えません。
ですが、整数全体集合の元で考えると成り立つことは自己解決できました！
ご返信いただきありがとうございます。
No.65799 - 2020/05/25(Mon) 10:00:29
★ 三角関数の範囲について / 焼肉
0≦Θ＜2πと0≦Θ≦2πの違いってなんですか？
≦2πの方は360°を超えてずっとグルグル回れるということですか？
No.65774 - 2020/05/24(Sun) 17:03:04
☆ Re: 三角関数の範囲について / Ayuyu
360°を含むか含まないかということだと思います。間違っていたらごめんなさい…汗
No.65777 - 2020/05/24(Sun) 17:05:37
☆ Re: 三角関数の範囲について / 焼肉
いえいえ、回答ありがとうございます！
ということは400°といった角度はとれないということでしょうか
No.65778 - 2020/05/24(Sun) 17:08:09
☆ Re: 三角関数の範囲について / Ayuyu
400°ということは円の2周目に入るわけですよね、なので400°を40°と見なしても問題ない場合はとれて、見なすことができない場合はとれないのではないでしょうか??
お役に立てれば嬉しいです！
No.65780 - 2020/05/24(Sun) 17:22:53
☆ Re: 三角関数の範囲について / 焼肉
なるほど！
高一なもので理解に手間取ってしまいました。
ありがとうございます！
No.65781 - 2020/05/24(Sun) 17:26:07
★ (No Subject) / 開成高校４年
これってnが1のときsinはこの範囲にならないと思うのですがnは無限にするからsinの範囲は−1≦sin≦1でいいのですか？
No.65764 - 2020/05/24(Sun) 14:41:17
☆ Re: / らすかる
どの式のことですか？
sin(○)の○がどんな実数でも-1≦sin(○)≦1は成り立ちます。
もしかして、1とか-1という値をとらない、のようなことを
言っているのでしたら、それは関係ありません。
-1≦0≦1は正しい不等式です。
No.65765 - 2020/05/24(Sun) 14:54:23
☆ Re: / 開成高校４年
あ、すみません！sin nπ/4 のnに1を代入したらπ/4のなってしまいそしたらsinの範囲は1まで行かないんじゃないかと思うのですが…ということです！
No.65767 - 2020/05/24(Sun) 15:04:43
☆ Re: / IT
その質問について、らすかるさん　が　回答済みですね。
もう一度回答を良く読まれることをお勧めします。
No.65773 - 2020/05/24(Sun) 16:50:04
☆ Re: / 開成高校４年
すみませんごっちゃになってました笑わかりました！ありがとうございます😊
No.65775 - 2020/05/24(Sun) 17:03:34
★ 三角方程式 / 松
(Sinθ)^2＋sinθ+1=0のように二次方程式のような三角方程式とは違ってこの問題は話がよくわかりません。
この問題はβの範囲の中でのαを解として求めている(つまりβをαで表している)のでしょうか？
また単位円には3π/2+αとありますが、0<π/2-α≦π/2を考えると、この位置に図示できる理由が分かりません…。明らかに範囲を出ているではありませんか。
同じく単位円で縦点線でcos(π/2-α)とありますがこれが何を示しているのかも分かりません。
cosθ=1/2などで縦線を引いてそこからθ=π/3が分かるといったものと同じことなのでしょうか？
ふんわりとした質問で申し訳ありません。
No.65748 - 2020/05/23(Sat) 22:34:04
☆ Re: 三角方程式 / ヨッシー
>単位円には3π/2+αとありますが、0<π/2-α≦π/2を考えると、
>この位置に図示できる理由が分かりません…。
　0<π/2-α≦π/2
はπ/2−α の範囲であって、3π/2+α とは別物です。
与えられているのは 0≦α＜π/2 なので、
　3π/2≦3π/2+α＜2π
の範囲に 3π/2+α が取られているので問題ありません。
　0≦ｘ≦1
のとき、　1≦ｘ＋１≦2 から外れたところに　ｘ＋３ があっても
問題ないですよね？

>同じく単位円で縦点線でcos(π/2-α)とありますがこれが何を示しているのかも分かりません。
単位円上で、角度 π/2-α を表す点を取ると、その点の
　ｘ座標が　cos(π/2-α)
　ｙ座標が　sin(π/2-α)
です。
>cosθ=1/2などで縦線を引いてそこからθ=π/3が分かる
は、その逆です。

結局
　cos(π/2−α)＝cos2β
を満たすβをαで表すという問題です。
　2β＝π/2−α
とは限りません。

>βの範囲の中でのαを解として求めている
「βをαで表す」をそう解釈しても構いません。
　β＝(αを含んだ式)
を答えることが目標です。
また、表された式にαを代入したとき、βの範囲に入っていなくてはなりません。
その点「範囲の中で」は的を射ていますが、もしβの範囲が
　π≦β≦2π
のときは
　β＝π/4−α/2＋π＝5π/4−α/2
　および
　β＝3π/4−α/2＋π＝7π/4−α/2
となります。
No.65753 - 2020/05/24(Sun) 06:05:18
☆ Re: 三角方程式 / 松
返信が遅くなってしまい申し訳ありません。
三角比と三角関数の単元を復習しておりました。

もうひとつ質問させて下さい。
今回3π/2-αのような値を取らないのは0≦α<2πより、sinαは正であるからそれに等しいcos(π/2-α)も正になるため、と考えであっていますでしょうか？
No.65782 - 2020/05/24(Sun) 19:07:51
☆ Re: 三角方程式 / ヨッシー
正か負かというより
　π/2−α　と　3π/2−α
の cos の値はα＝０のとき以外は一致しません。
No.65788 - 2020/05/24(Sun) 23:18:58
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