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★ テイラー展開 / Eラン大学生
(問)次の関数を指示された点まわりに、2次の項までテイラー展開しなさい。　　　e^2x、x=1 まわり

(質問) f(x)＝e^2xとおくと、
f'(x)＝2e^2x、f''(x)＝4e^2x より、
これを2次の項までテイラー展開すると、
　f(x)＝f(1)＋f'(x)(x-1)＋f''(x)∙(x-1)^2/2!
　　 ∴ f(x)＝e^2＋2e^2 (x-1)＋2e^2(x-1)^2

　という答え方でいいのでしょうか？答え方が自信なくて。
　全体をe^2でくくるとか、＝を≒にしなくていいものでしょうか。
No.86392 - 2023/09/09(Sat) 00:34:42
☆ Re: テイラー展開 / ast
# f(x)=e^(2x) なのか……
# e^2x じゃ e^2 と x の積にしかみえん……

まず一般論としてですが,
> という答え方でいいのでしょうか？
> しなくていいものでしょうか。
あなたがその問題を解くに至った文脈や環境 (例えば何らかの講義を受けている中で出た問題なのであればその講義) 内のローカルルールに従ってくださいという以上のことは外の人間には言えません. まあ,
> 全体をe^2でくくるとか、
はあきらかに不要だと思いますが.

あと少なくともハッキリ言っておくべきことは, "もとの函数 f(x)" と"もとの函数から作ったテイラー級数 (あるいはそれを途中で打ち切ったテイラー多項式)" は別のものですから, それらが実際に一致するか否かというのは常に気を付けるべき重要な命題ということです.

だから (少なくとも本問において)
> f(x)＝f(1)＋f'(x)(x-1)＋f''(x)∙(x-1)^2/2!
あるいは
>　　 ∴ f(x)＝e^2＋2e^2 (x-1)＋2e^2(x-1)^2
の右辺は実際に左辺と一致してないので "=" はダメです. さりとて, 普通は (少なくとも純粋数学での話であれば) "≒" は使用しません.

ローカルルール次第ではありますが, 左辺と右辺の誤差にあたる項 (剰余項), たとえばランダウの O-記法で O(x^3) あるいは o-記法で o(x^2) と書けるような項を右辺に付け加えておくべきなのではありませんか?
# 参考: e^(2x) の x=1 の周りでの order 2 のテイラー展開
ローカルルール次第では, もっと具体的な何らかの形 (代表的なものとしてはラグランジュ形やコーシー形など) で剰余項を記述しないと正解にならない出題意図である場合も, 十分あり得る話です.
No.86393 - 2023/09/09(Sat) 02:04:55
☆ Re: テイラー展開 / Eラン大学生
回答頂き有難うございます。
ひとまず、f(x)＝という表記はしないでおこうと思います。
No.86405 - 2023/09/12(Tue) 00:20:28
☆ Re: テイラー展開 / ast
えっと, まあ最終的には質問者さんのご判断に従えばよいとは思うのですが, ただ私個人としては, 端的に言えば「問題の要求 ("2-次のテイラー展開") は "f(x)=(2-次のテイラー多項式)+(剰余項)" の形で解答することである」という認識をNo.86393で回答したつもりです.

# (もしかすると明確に "テイラー級数" や "テイラー多項式" と呼ばないテキストの可能性もありますが)
# 質問者のNo.86392で "f(x)=(2-次のテイラー多項式)" としていることについて,
# 一般には「剰余項を書かなければ "=" は誤り」である (展開と級数を混同しない) と指摘しました.
## 「一般には」というのは成り立つ場合 (実際に剰余項が函数として0に等しい場合) があるという意味です.
# ここで, "テイラー多項式" の形は一意的ですが, 剰余項の記述の仕方は様々なのでそのあたりが
#「ローカルルール」の話になります. (万が一そのローカルルールが「剰余項を無視する」ような扱いを
# しているならまた話が別になってくるのかもしれませんが, それはまず考えにくいことなので).
No.86407 - 2023/09/12(Tue) 19:25:41
★ (No Subject) / 花
実数を初項、公比とする等比数列は、初項から10項までの和が2、初項から30項までの和が42である。このとき初項から50項までの和を求めよ。
No.86389 - 2023/09/08(Fri) 08:31:01
☆ Re: / X
問題の等比数列の初項をa、公比をrとすると
条件から初項から第n項までの和はnに比例しないので
r≠1
よって条件から
a(1-r^10)/(1-r)=2 (A)
a(1-r^30)/(1-r)=42 (B)
(B)÷(A)より
r^20+r^10+1=21
r^20+r^10-20=0
(r^10+5)(r^10-4)=0
rは実数ゆえ
r^10=4 (C)
(C)を(A)に代入すると
a/(1-r)=-2/3 (D)
(C)(D)より、求める和をSとすると
S=a(1-r^50)/(1-r)
=(1-4^5)・(-2/3)
=341・2
=682
No.86390 - 2023/09/08(Fri) 11:32:29
☆ Re: / 花
(A)と(B)を割ると言う発想が出ませんでした。

ありがとうございました。
No.86394 - 2023/09/09(Sat) 11:38:11
★ (No Subject) / やべ
XがYに比例するとはYが増えるとXが増えるという意味ですか？
No.86380 - 2023/09/06(Wed) 19:51:14
☆ Re: / ヨッシー
日常で使われる場合は知りませんが、数学では、
Ｙがｎ倍になると、Ｘもｎ倍になる
これが、任意の実数ｎについて言えるとき、ＸがＹに比例すると言います。

通常は、ｙがｘに比例する場合が多いので、それにならうと、
　ｙ＝−２ｘ
はｙはｘに比例しますが、ｘが増えてもｙは増えません。
　ｙ＝−１／ｘ
はｘが増えるとｙも増えますが、比例ではありません。
No.86387 - 2023/09/07(Thu) 08:58:55
☆ Re: / WIZ
数学用語かどうかは分かりませんが、
「yが増えるとxが増える」と言う関係は「(増減に関する)共変性」と言います。
共変性とは「互いに関係する複数のものの変化の方向が同じ」という意味です。
なので、正確にはxとyの一方が増えれば他方も増え、一方が減れば他方も減るという場合を「xとyは増減に関する共変性を持つ」と言う訳です。
例としては「x > 0 かつ y = x^2」のような比例でない場合も含みます。
因みに、変化の方向が逆になる場合を反変性と言います。
例としては「x > 0 かつ y = 1/x」のような場合を「xとyは増減に関する反変性を持つ」と言います。
No.86388 - 2023/09/08(Fri) 00:00:56
★ 三角関数の逆計算 / toto
三角関数の逆計算を日本語で説明するならば、『長さ（辺の比）を使って正弦定理や余弦定理などからその長さ（辺の比）に対応する正弦や余弦などを求めること』という説明であっていますか？
No.86377 - 2023/09/06(Wed) 14:06:23
☆ Re: 三角関数の逆計算 / らすかる
正弦や余弦を求めるのは「三角関数」ですから、逆計算になっていないと思います。
No.86378 - 2023/09/06(Wed) 14:30:47
★ ルートの連立方程式 / ふゆ＠中3生
いつもお世話になっています。
この問題が全くとけなくて…

√2ｘー2ｙ＝3　…1
2ｘ＋√2ｙ＝3　…2

加減法と代入法でとけということなのですが、解説に途中式もなくよくわかりませんでした。
解説をお願いしたいです。よろしくお願いします。
No.86375 - 2023/09/06(Wed) 06:24:19
☆ Re: ルートの連立方程式 / ヨッシー
加減法
(1) の両辺に√2を掛けて
　2x−2√2y＝3√2　　・・・(3)
　2x＋√2y＝3　　　　　・・(2)
(2)−(3) より
　3√2y＝3−3√2
　y＝(3−3√2)/3√2＝(√2−2)/2
(2) より
　x＝3/2−(√2/2)y
　　＝3/2−(√2/2)(√2−2)/2
　　＝3/2−(1−√2)/2
　　＝√2/2＋1
(x,y)＝(√2/2＋1, √2/2−1)

代入法
　√2ｘ−2ｙ＝3　　・・・(1)
より
　√2x＝2y＋3　　・・・(3)
　2ｘ＋√2ｙ＝3　　・・・(2)
より
　√2(√2ｘ)＋√2ｙ＝3
これに(3)を代入して、
　√2(2y＋3)＋√2ｙ＝3
展開して整理すると
　3√2y＝3−3√2
　y＝(3−3√2)/3√2＝(√2−2)/2
(3) より
　x＝√2y＋3√2/2
　　＝√2(√2−2)/2＋3√2/2
　　＝1＋√2/2
(x,y)＝(√2/2＋1, √2/2−1)

代入法は、
　x＝√2y＋3/√2
としてでも解けます。
No.86376 - 2023/09/06(Wed) 08:37:35
★ 合同式の質問 / あきら
(すみません。先ほど送りましたが、誤って送信されて文字が読めなかったので、書き直してもう一度質問させていただきます）

こんばんは。
合同式の方程式で[解答1]と[解答2]のどちらも正しい計算をしていると思っているですが、
(1)と(6)のどちらが正しいですか。その理由を教えてください。よろしくお願いします。

11x≡１　(mod4)……(1)を解け。

どちらが正解ですか。

[解答1]
(1)より、　　 3x≡１　(mod4)……(2)
(2)×3より、 　 9x≡3　(mod4)……(3)
(1)-(3)より、　 2x≡-2　　(mod4)……(4)
(2)ー(4)より、　　x≡3　(mod4)……(5)　（答え）

[解答2]

［解答１］で
2x≡-2　　(mod4)……（４）
(4)の両辺を2で割ると、割る数2とmod4の最大公約gは2
だから、
x≡-1　　(mod4/ｇ)
x≡-１　　(mod4/2)
x≡-１　　(mod2)（答え）……(6)
No.86373 - 2023/09/05(Tue) 23:06:30
☆ Re: 合同式の質問 / らすかる
「(1)と(6)のどちらが正しいですか」が「(5)と(6)のどちらが正しいですか」ならば
正しいのは(5)です。(4)は必要条件でしかありません。
どちらが正しいかは、具体値を代入してみればわかります。
(6)はx≡1(mod2)つまり奇数ということですが、
例えばx=1は(6)は満たしますが(1)を満たしませんね。
No.86374 - 2023/09/06(Wed) 00:51:10
☆ Re: 合同式の質問 / あきら

すみません。「(5)と(6)のどちらが正しいですか」でした。



「(4)は必要条件でしかありません。」で、私は必要十分と思ってしまうのですが、なぜ必要条件なのですか。

2x≡-2　　(mod4)　　　　⇒　x≡-１　　(mod2)

　x≡-１　　(mod2)　　　⇒　2x≡-2　　(mod4)

で同値変形ですよね。



(1) から(4)の変形は同値変形で、

(4)から(6)の変形も同値変形なので、

すべての変形は同値変形なので

11x≡１　(mod4)の解はx≡-１　　(mod2)

と考えてしまうのですが、どこが誤りですか？


No.86379 - 2023/09/06(Wed) 14:36:34
☆ Re: 合同式の質問 / らすかる
(1)-(3)=(4)が同値変形ではありません。
(1)⇔x≡3(mod4)
(3)⇔x≡3(mod4)
ですが
(4)⇔x≡1,3(mod4)
です。
極端な話、(1)-(1)を計算すると0≡0(mod4)となり
任意のxで成り立つ式になりますので、
和・差が常に同値変形になるわけではないですね。
No.86381 - 2023/09/06(Wed) 20:22:04
☆ Re: 合同式の質問 / ast
話の内容に直接関係ないですが, No.86373[解答1] は実質的に (1)×2 で (4) が, (1)×3 で (5) が出ると述べているだけですね (そして後者だけ書けば十分).
# まあ, そう要約すれば, "×2" が法 4 と互いに素ではないことが (1) と同値かどうかの判断材料になる,
# くらいのことはいえるか.
No.86382 - 2023/09/06(Wed) 21:10:33
☆ Re: 合同式の質問 / あきら
すみません。
astさんの解説がわかりません。
もう少しわかりやすくしていただけるか、別の方法を教えて下さい。
No.86383 - 2023/09/06(Wed) 22:49:37
☆ Re: 合同式の質問 / 黄桃
(1)と(2)は同じ式。
(2)を A=B と書けば
(3) は 3A=3B
(1)-(3)は A-3A=B-3B つまり -2A=-2B -2≡2 mod 4 だから、結局 (4)は、2A=2B, つまり (2)x2 としただけ。
mod 4では2の逆元はないから、(4)は必要条件にすぎない、ということです。

＃個人的には解法1は(4)を経由して（それを使って(5)を出して）いる時点で
＃このままではアウトだと思います。
＃(5)ならば(1)を言えば、解法1でもOKだと思います。
No.86385 - 2023/09/06(Wed) 23:06:22
☆ Re: 合同式の質問 / ast
> astさんの解説がわかりません。
前置き通り, 私は何も解説していません. 単に要約した結果が「(1) 11x≡1 (mod 4) ならば, その両辺 3-倍した (x≡)33x≡3 (mod 4) は (あるいは (3) はと言っても同じことだが) (5) にほかならない」ということになるというだけです.
# そして, 掛けた 3 と法 4 は互いに素だから逆も辿れるので,
# もとの問題を解きたいだけならこれだけで十分なのになぁ……, と.
No.86386 - 2023/09/07(Thu) 00:23:06
☆ Re: 合同式の質問 / あきら
私は基本的なことがわかっていないのかもしれません。
方程式から合同式を使って解くと、x≡　の形（必要条件）は正解になるとは限らないので逆（十分条件）を考える必要があると思うのですが、
なぜ[解答1]はx≡3(mond4）で逆を確認しないのですか。（逆を確認しないで正解に
なっているのはなぜですか）

もっと基本的な方程式で考えてみました。

＜＜問題１＞＞
5ｘ＝15　……(7)　を解け

（解答）
両辺を5で割って
x＝3　……(8)　……（答え）

(別解）
5ｘ＝15　……(7)　
x≡3　（　mod　4　）……(9)　
よって、　ｘ＝4k＋3（kは整数）……(10)　（答え。誤り）

この方法で解く場合は、逆に　ｘ＝4k＋3（kは整数）の時、
(7)を満たすxはx=3のように逆を考えてないといけないですよね。
No.86391 - 2023/09/08(Fri) 12:39:52
☆ Re: 合同式の質問 / IT
> 別の方法を教えて下さい。
元の問題を解くだけなら　（mod 4の4は比較的小さいので）
X≡0,1,2,3 (mod 4) について調べて
答え）X≡3 (mod 4) 　

途中）11X＝8X+3X ≡3X(mod 4) ≡-X (mod 4)
ぐらいは使っても良いかも知れません。途中で変形が多いとまちがいが入り込む可能性がそれだけ高くなります。

もちろん、一般的な解法は、ユークリッドの互除法などでXの係数を１にする方法だと思いますし、みなさんの解説を理解されるのは意味があると思います。
No.86395 - 2023/09/09(Sat) 14:19:50
☆ Re: 合同式の質問 / あきら
すみません。
皆さんのコメントをいただいたのですが、やはり基礎がわかっていなくて、
どうしても理解できませんでした。
もう少し調べて皆さんのコメントを理解できるようにします。
丁寧に応えてくださったのに理解できずすみませんでした。
No.86409 - 2023/09/12(Tue) 22:11:11
★ 線対称な直線の方程式の考え方について / りお
文字化けしているので再登校します。
問題
『直線L1：x-y-2=0 と 直線L2：ax+by-8=0 が 直線L：x+2y+1=0に関して対称であるとき、
　a,bの値を求めよ』

以下のように考えました。

L1とLは平行ではないのでL1とL2は平行ではなく、よってL上で交わる。
この交点をAとし、Aの座標はLとL1を連立して(1, -1)である。
L1上に点B(3, 1)をとる。点BとLに対称なL2上の点をC(s, t)をとる。
すると線分BCの中点M((3+s)/2, (1+t)/2)はL上にある。
だから x=(3+s)/2, y=(1+t)/2 をL：x+2y+1=0 に代入する。s=-2t-7となる。（☆）
一方で点C, 点Aの2点を通る直線の方程式は、(t+1)(x-1)-(s-1)(y+1)=0 と置ける。
これを変形すると (t+1)x+(2t+8)y+t+7=0 である。
点C,点Aをの2点を通るのはL?Aなので、ax+by-8=0 である。

この2つの式は同じ直線を表しているので係数を比較して、t,a,bを出していったのですが、答えは全く違っていました。
?@と?Aを比較するときは、係数を比で比較せず、ただの等式で考えたことが間違いの原因なのかな、と思っています。
それ以外にも考え方のおかしいところがあるでしょうか？
（解答を見ると☆のところまでは考え方があっていました。
しかしなぜ自分の考え方だと答えが間違っているのかがわかりません）
No.86369 - 2023/09/05(Tue) 20:59:05
☆ Re: 線対称な直線の方程式の考え方について / ast
少なくとも, 点B が未知数を含まない定点, 直線L が未知係数を含まない定直線なのに, 点B の対称点C に未知数が残っていることがおかしい.
(対称点は, 線分BCの中点がL上にあるような無数の点C の中で, ただひとつ線分BCと直線Lが直交するもの.)
No.86370 - 2023/09/05(Tue) 22:43:53
★ 積分について / かあらた
f（t）のa（定数）からxまでの積分＝x二乗−3x−4
f（x）およびaの値を求めよ。という問題です。
f（t）のaからxまでの積分って
例えば、y＝f（t）＝tだとして、座標平面上にグラフを書くと、横軸t、縦軸yになるじゃないですか？そのグラフのaからxまでの面積って、xの値によって変わるからf（x）のaからxまでの積分はxについての関数といえて、その式がf（x）＝x二乗
−3x−4じゃないです？
でもこれってt＝xのときにしか成り立ちませんよね？
No.86364 - 2023/09/05(Tue) 10:00:00
☆ Re: 積分について / ヨッシー
ちょっと、この質問に至った経緯がわかりませんので、
とりあえず解いてみます。
f(x) の原始関数を F(x) とすると、

∫[a〜x]f(t)dt＝F(x)−F(a)＝ｘ^2−3x−4　・・・(i)
両辺微分して
　f(x)＝2x−3　・・・答え１
このとき、
　F(x)＝x^2−3x＋Ｃ
であるので、(i) より
　x^2−3x＋Ｃ−a^2＋3a−Ｃ＝ｘ^2−3x−4
　−a^2＋3a＝−4
　a^2−3a−4＝0
　a＝−1, 4　・・・答え２

どこを指して、
>t＝xのときにしか成り立ちませんよね？
と言われてますか？
No.86365 - 2023/09/05(Tue) 10:23:54
★ (No Subject) / 名有り
ab=6,c(a+d)=10,d(b+c)=14のとき、(a+d)(b+c)の値を求めてください。
No.86359 - 2023/09/04(Mon) 21:22:08
☆ Re: / 名有り
すみません。やっぱり数字変えます。
ab=2,c(a+d)=d(b+c)=4のとき、(a+d)(b+d)の値を全て求めてください。
No.86360 - 2023/09/04(Mon) 22:06:13
☆ Re: / 名有り
何度もすみません。タイプミスがありました。
ab=2,c(a+d)=d(b+c)=4のとき、(a+d)(b+c)の値を全て求めてください。
No.86361 - 2023/09/04(Mon) 22:08:06
☆ Re: / 名有り
ごめんなさい自己解決しました。無視してください
No.86362 - 2023/09/04(Mon) 22:30:54
☆ Re: / らすかる
a+d=4/c
b+c=4/d
(a+d)(b+c)=16/(cd)
(a+d)(b+c)=ab+ac+bd+cd=ab+c(a+d)+d(b+c)-cd=2+4+4-cd=10-cd
16/(cd)=10-cd
(cd)^2-10cd+16=0
cd=2,8
∴(a+d)(b+c)=10-cd=2,8
ちなみに
cd=2のとき(a,b,c,d)=(t,2/t,2/t,t)で(a+d)(b+c)=8
cd=8のとき(a,b,c,d)=(-t/2,-4/t,8/t,t)で(a+d)(b+c)=2

# 最初の問題の答えは
# (a,b,c,d)=((1-√85)t/14,(-1-√85)/t,(15+√85)/t,t)のとき(a+d)(b+c)=15-√85
# (a,b,c,d)=((1+√85)t/14,(-1+√85)/t,(15-√85)/t,t)のとき(a+d)(b+c)=15+√85
No.86363 - 2023/09/04(Mon) 22:32:58
★ シグマ計算 / プラダを着たうさぎ
aとbは互いに素な2以上の整数とします。
kは2以上の整数とします。
nはaでもbでも割り切れる正の整数とします。
A=Σ[ℓ[1],ℓ[2],…,ℓ[k]=1〜n]cos(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/a)
B=Σ[ℓ[1],ℓ[2],…,ℓ[k]=1〜n]cos(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/b)
N=Σ[ℓ[1],ℓ[2],…,ℓ[k]=1〜n]cos(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/n)
とするとき、AB/Nの値の求め方を教えて下さい。

Σ[ℓ[1],ℓ[2],…,ℓ[k]=1〜n]は、
Σ[ℓ[1]=1〜n]Σ[ℓ[2]=1〜n]…Σ[ℓ[k]=1〜n]
の意味です。
No.86358 - 2023/09/04(Mon) 21:04:31
☆ Re: シグマ計算 / 黄桃
数学オリンピックの類の問題なら、そういう方面で聞いてください。
a,bが素数、くらいでないと考える気がしません。以下に理由を述べます。

複素数のオイラーの公式から
A=Re(Σ e^(2πiℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/a)
=Re(Σ_[l[1],...,l[k-1]]Σ_l[k] e^(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/a)
となり、Σ_l[k] e^(2πℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k]/a) の部分は、
初項 e^(2πiℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k-1]/a) 公比 e^(2πiℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k-1]/a) の第n項までの和
です。等比数列の和の公式から、nはaの倍数だから、
公比 e^(2πiℓ[1]ℓ[2]…ℓ[k-1]/a)が1でなければ、和は0
公比が１なら和はn
です。

したがって、結局
l[1]*...*l[k-1] がaの倍数になる場合の数を x とすれば、A=nx となります。
同様に、
l[1]*...*l[k-1] がbの倍数になる場合の数をyとすれば、B=ny
l[1]*...*l[k-1] がnの倍数になる場合の数をzとすれば、N=nz
です。

x,y,z を求めるのは、a,bが素数であればそれほど難しくはないと思いますが、一般の合成数だと面倒です。
x,y,zを求めなくても上手い対応付けによって xy/z が求まるのかもしれませんが、それはかなりの閃きが必要な気がします。
No.86384 - 2023/09/06(Wed) 22:56:25
★ 比についての質問 算数の質問 / 6
6:3:2＝1/6:1/3:1/2となる意味が知りたいです
No.86348 - 2023/09/02(Sat) 17:32:46
☆ Re: 比についての質問 算数の質問 / IT
どこに、そう書いてあるのですか？　前後も書いてみてください。
No.86350 - 2023/09/02(Sat) 19:43:22
★ ルートの問題 / ふゆ＠中3生
√25−a(どちらもルートの中に入ってます)の値が、2以上の整数となるような自然数aを、すべて求めなさい。

答えはa＝9.16.21です。

求め方が全然わからないです。説明をお願いしたいです。よろしくお願いします。
No.86343 - 2023/09/02(Sat) 14:17:21
☆ Re: ルートの問題 / X
条件から、aが自然数であることと、
√の中が4以上であることから
4≦25-a≦25-1=24 (A)
(A)を満たす25-aのうち、平方数となるものを求めると
25-a=4,9,16
よって
a=21,16,9
No.86345 - 2023/09/02(Sat) 15:16:46
☆ Re: ルートの問題 / ふゆ＠中3生
説明いただき、ありがとうございます。

つまり、
√25＝±5
2＝√4
だから、2から5の間が25−aの答えになるということですか？

2²＝4
3²＝9
4²＝16
25からこれを引いたのが答えになるということですよね？
No.86347 - 2023/09/02(Sat) 17:06:56
☆ Re: ルートの問題 / X
＞＞つまり、〜いうことですか？
aは0以上の整数ではなくて自然数ですので
25-aの最大値は25ではなくて24です。

＞＞2²＝4〜
その通りです。
No.86349 - 2023/09/02(Sat) 19:01:50
☆ Re: ルートの問題 / IT
＞つまり、
＞√25＝±5
√25＝＋5　ですので念のため
No.86354 - 2023/09/03(Sun) 10:13:55
☆ Re: ルートの問題 / ふゆ＠中3生
なるほど
理解できました。

お二人とも、丁寧に説明していただき、ありがとうございました。
No.86355 - 2023/09/03(Sun) 16:59:45
★ 正射影と面積 / ひなた
3点、A(√3,0,√3)、B(-√3,2√2,-√3)、C(-√3,-2√2,-√3)を頂点とする正三角形ABCが座標空間内に存在する。
この△ABCの周及び内部のうち、y≧0、z≧0の部分を点(x,y,z)が動くとき、座標平面上で、点(y,z)が動く範囲の面積を求めよ。

Aをyz平面上に正射影した点P、ABとy軸の交点をQとします。

△PQOの面積を求めることはできました。
でも△PQOは△AQOを正射影したものですので、補正が必要だと思い、△PQOの面積をcos45°で割ったものを解答したのですが、正答ではこの補正がなされていません。なぜでしょうか。正答が間違いだと思うのですが…

座標空間内の図形の面積を求めるには、正射影したものの面積をcosで割り戻す補正が必要ではないでしょうか。なぜ本問では正射影したものがそのまま解答になるのでしょうか。
No.86339 - 2023/09/02(Sat) 01:41:08
☆ Re: 正射影と面積 / らすかる
求めるものが
「座標空間上で、点(x,y,z)が動く範囲の面積」
ではなく
「座標平面上で、点(y,z)が動く範囲の面積」
だからだと思います。
「座標平面上で、点(y,z)が動く範囲の面積」は
「座標空間上で、点(x,y,z)が動く範囲の面積」を
yz平面に正射影したものですね。
No.86340 - 2023/09/02(Sat) 03:43:11
☆ Re: 正射影と面積 / ひなた
らすかる先生

回答をしてくださり、ありがとうございます。
ちょっと混乱してしまっているので、もう少しお付き合いいただけると助かります。

問題の設定では質問しにくいので、以下のように簡単にして質問です。

座標空間内において、

A(1,1,0)、B(1,-1,0)、C(4,-1,4)、D(4,1,4)を頂点とする長方形ABCDを(x,y,z)が動くとします。

この場合、yだけを見ると、-1から1までを動き、zだけを見ると、0から4までを動くことになります。

座標平面上を(y,z)が動くとは、このyとzの動きのみを追いかけて、長方形の面積2・4=8を解答にするというのが、私が最初に質問した問題の趣旨なのでしょうか。

私が最初に考えたcosによる割り戻しをして求められる、8÷(4/5)=10は長方形ABCDの面積ですが、これが聞かれているわけではないということでしょうか。

どういう場合に正射影したものをそのまま解答にし、また、どういう場合に正射影したものをcosによる割り戻しが必要になるのか、判断の視界がわからないです。
No.86344 - 2023/09/02(Sat) 15:10:20
☆ Re: 正射影と面積 / らすかる
> 座標平面上を(y,z)が動くとは、このyとzの動きのみを追いかけて、長方形の面積2・4=8を解答にするというのが、私が最初に質問した問題の趣旨なのでしょうか。

その通りです。
例えば問題が
「座標平面上を(2y,z^2)が動く」
のようになっていたら、xのことは考えようがありませんよね？
この(2y,z^2)の部分がたまたま(y,z)となっているだけですから、元の図形のxの動きは関係ありません。
「横軸がa、縦軸がbである」座標平面上を(○,△)が動く範囲の面積、といったらa=○,b=△である点の動く範囲の面積という意味です。（xy平面だと紛らわしいのでab平面にしました）

> 私が最初に考えたcosによる割り戻しをして求められる、8÷(4/5)=10は長方形ABCDの面積ですが、これが聞かれているわけではないということでしょうか。

はい、その通りです。

> どういう場合に正射影したものをそのまま解答にし、また、どういう場合に正射影したものをcosによる割り戻しが必要になるのか、判断の視界がわからないです。

上にも書いたように
「座標平面上を(2y,z^2)が動く」となっていたら
(2y,z^2)によって座標平面にどのような図形が書かれるかを考えて
その図形を求めるしかないですね。
「座標平面上を・・・」という文言から、元の図形の面積を求めるわけではないということが読み取れます。
また、元の問題でも「正射影したものの面積を求めよ」と言っているわけではありません。
たまたま「座標平面上を(y,z)が動く」という条件から「正射影したものの面積を求めればよい」と判断できるということです。
No.86351 - 2023/09/02(Sat) 20:42:09
☆ Re: 正射影と面積 / ひなた
らすかる先生

最後までお付き合いいただき、ありがとうございました。

とてもよくわかりました^^
No.86352 - 2023/09/03(Sun) 07:31:42
★ 線形代数学（行列） / Eラン大学生
（問）aを実数とする。３次×４次の行列Aの階数を求めよ。
　　A＝（2　1　a　2　/　1　a　2　1　/　a　2　1　a）

（質問）答えの確認なのですが、行基本変形を施していって
「a＝0、2、−１±√3のとき　rank(A)＝2
　aが上以外のとき　rank(A)＝3」

　で、あっているでしょうか？
　分かる方、宜しくお願いします。
No.86338 - 2023/09/02(Sat) 00:35:29
☆ Re: 線形代数学（行列） / ast
# 根拠を一切書かずに結果の結果だけしか書かない質問では「何がどこでどう間違ったか」等の推察が困難で
# 回答しづらいことこの上ないのでやめて欲しいのだが……
(問の A が正しいならば) 行簡約で
　((1, 0, (a^2-2)/(2a-1), 1); (0, 1, (4-a)/(2a-1), 0); (0, 0, -(a^3-6a+9)/(2a-1), 0))
になるはずです (あるいは (「前進消去」の段階のみで) 少なくとも
　((1, 1/2, a/2, 1); (0, 1, (4-a)/(2a-1), 0); (0, 0, -(a^3-6a+9)/(2a-1), 0))
まででも十分ですが).
したがって, 明らかに a^3-6a+9 が 0 か否かが解答に現れなければ (答案か問題の値の何れかが) おかしいと思います.
No.86341 - 2023/09/02(Sat) 03:44:08
☆ Re: 線形代数学（行列） / Eラン大学生
質問の仕方が悪くてすみません。

行列Aの成分は上↑で間違いありません。
私の計算処理が間違っていたことに気付きました。astさんの示した((1, 0, (a^2-2)/(2a-1), 1); (0, 1, (4-a)/(2a-1), 0); (0, 0, -(a^3-6a+9)/(2a-1), 0))　になる前に、
a＝0.5 のとき、
((1, 0.5 , 0 , 1 );( 0 , 0 , 1 , 0 );( 0 , 0 , 0 , 0 ))
となるので、rank(A)＝2
a≠0.5 のとき
((1, 0, (a^2-2)/(2a-1), 1); (0, 1, (4-a)/(2a-1), 0); (0, 0, -(a^3-6a+9)/(2a-1), 0)) が導けて、
a^3-6a+9＝0　を満たす実数がa＝−3のみであることから、
a＝−3のとき、rank(A)＝2
a≠0.5、−3だと、rank(A)＝3
という答えで合っているでしょうか？
No.86356 - 2023/09/04(Mon) 16:01:56
☆ Re: 線形代数学（行列） / ast
> a＝0.5 のとき、
>((1, 0.5 , 0 , 1 );( 0 , 0 , 1 , 0 );( 0 , 0 , 0 , 0 ))

a=1/2 のときの A=((2,1,1/2,2); (1,1/2,2,1); (1/2,2,1,1/2)) の簡約形は
　((1, 0, 0, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0))
　(あるいは前進消去の段階で ((1,1/2,1/4,1); (0,1,1/2,0); (0,0,1,0)))
ではないですか?
No.86357 - 2023/09/04(Mon) 16:34:56
☆ Re: 線形代数学（行列） / Eラン大学生
astさん、そうですね。

a=1/2 のときの 簡約形は((1, 0, 0, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0))　となりました。（計算力無くてすいません。）

結果、a＝−3のとき、rank(A)＝2
　　　a≠−3のとき、rank(A)＝3
で宜しいでしょうか？
No.86366 - 2023/09/05(Tue) 14:13:42
☆ Re: 線形代数学（行列） / ast
それでよいと思います.
No.86367 - 2023/09/05(Tue) 17:13:32
★ 微分方程式？ / Eラン大学生
(問) 曲線y=f(x)上の任意の点における接線が常に、定点(− 2、3)を通りf(4 )= 1を満たすf(x)を求めなさい。

(質問) この問題なんですが、もしf(x)が直線ならy= −1/3x +7/3と分かるのですが、
どうやって曲線f(x)を求めるのか教えて下さい。
宜しくお願い致します。
No.86331 - 2023/08/31(Thu) 14:34:57
☆ Re: 微分方程式？ / X
＞＞微分方程式？
微分方程式ですね。

条件から
3=f'(x)(-2-x)+f(x) (A)
ここで
f(x)-3=g(x)
と置くと(A)は
g(x)=g'(x)(x+2)
この微分方程式を解くと
g(x)=C(x+2)
(Cは任意定数)
g(x)を元に戻して
f(x)=C(x+2)+3
(Cは任意定数)
ここでf(4)=1ゆえ
6C+3=1
∴C=-1/3
よって
f(x)=-1/3(x+2)+3
=-(1/3)x+7/3
No.86332 - 2023/08/31(Thu) 17:08:10
☆ Re: 微分方程式？ / Eラン大学生
Xさん、ご回答ありがとうございます。
問題文の「曲線」という言葉はひっかけ？あるいは、表記不適切ということでいいのでしょうか？
No.86334 - 2023/08/31(Thu) 17:34:33
☆ Re: 微分方程式？ / X
いいえ、直線を曲線の特別な場合と考えれば
ひっかけでも表現不適切でもありません。
No.86335 - 2023/08/31(Thu) 18:58:56
★ 面積と移動距離の関係 / 町子(中学3年生)
理科の話ではあるのですが、数学が関わると思えるので、質問です。

時間を横軸、速さを縦軸とするときに、速さと時間の関係を表すグラフと横軸の囲む面積が移動距離を表すと教わりました。

でもこれって、小学校で教わるみはじ(道のり=速さ×時間)をグラフに見立てたものですよね？

つまり、速さが一定なら、速さ×時間が縦×横の長方形の面積を求める計算に対応しているってことですよね？

でも、時間により、速さが一定にならない場合でも面積と移動距離が対応するらしいのですが、なぜでしょうか？

速さをy、時間をxとします。yがxの関数である場合、関数によって当然にはグラフは長方形になるわけではないでしょうに、なぜこの場合にも面積が移動距離になると言えるのでしょうか？

この場合のyxは面積ではあるまいし、一体何を表すのでしょうか？
No.86330 - 2023/08/31(Thu) 01:20:28
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 黄桃
今の時代、スマホでもタブレットでもPCの画面でもいいですが、画面上に
>速さをy、時間をxとします。yがxの関数である場合、関数によって当然にはグラフは長方形になるわけではないでしょうに
と書いているグラフを描かせてみてください（イメージするだけでもOKです）。

見た目には曲線（や斜めの直線）に見えても、実はたくさんのドット（点）の集まりだということはご存知でしょう。
x方向の1ドット単位でみれば（1ドットは0.1秒とか0.001秒とかかもしれませんが）、その間に進んだ距離はその時の速さyと時間(0.1秒とか0.001秒とか)の積で、それは細長い長方形の面積になるでしょう。
スマホだと拡大していくとどこかでそれ以上拡大できなくなるかもしれませんが、理想的なグラフならいくらでも拡大できますから、いくらでも細かい時間に分割できます。
これを全部の区間に渡って足し合わせると全体の距離になるでしょう。

中学生の私は、この説明を聞いても「そうはいっても、結局長方形でギザギザに近似しているだけでしょ？正確じゃないのでは」と思ってました。

なのでもう少し細かく説明してみます（それには極限という概念が必要で、それは、将来高校で区分求積というのを習ったり、大学までいって実解析（微積分）を習ったりしてやっとわかるようになるかも、というものですから今理解できなくても当たり前です）。
時間をものすごく細かく区切れば、その区間での速さはほぼ一定で、違っても 0.00001m/秒以下にすることはできるでしょう。
どの区間でも0.00001m/秒以下にできれば、各区間ですべて 0.00001m/秒だけ速い速度で進んだ場合と 0.00001m/秒だけ遅い速度で進んだ場合との間に真実があるでしょう。
全体の時間が100秒なら、距離の誤差は0.00001x100=0.001m=1mm だから、±1mm以内です。
区間をもっと細かくしてどの区間でも速度の差が0.00000001m/秒以下、にすればもっと正確な数字がでてくるでしょう。

理科的な言い方をすれば、メートル単位で小数点以下2桁まで求めるには、誤差を0.005m 以下にすればいいでしょうから、100秒間の移動なら各区間の中で速度が最大でも 0.00005m/秒しか変化しないように細かく区切れば答が出せるでしょう。
実際するかどうかは別にして、小数点以下何桁であっても、区間さえ細かくすれば、必ず計算できます。
こうして求めた計算結果は、グラフが y=-x+5 のような直線の場合でも、三角形の面積として計算したもの（の小数点以下）と同じになるのです。
No.86336 - 2023/08/31(Thu) 23:28:29
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 町子(中学3年生)
どうしても気になったので、学校を休んで定積分について調べました。意味不明な記号の羅列で、ちんぷんかんぷんなのですが、何となくこうではないかと思ったことを質問させてください。

f(x)という記号は、yと同じで、xの関数であることを表す記号ですよね？

面積を求めるにあたって、f(x)は縦、dxは横を表しているんですよね？

このとき、dxはとても短いですが、この短い横の左端の高さと右端の高さの平均を取って、それをf(x)、つまり高さに見立ててみると、等積変形の要領で、長方形ではないものを長方形に直して、その長方形をかき集めると考えてみたのですが、これは見当外れでしょうか？

添付画像は反比例の場合です。

面積が移動距離を表すって考え方がとても面白くて気になって、できるだけ勉強してみたいです。

f(x)dxの考え方を使えば、移動距離に限らず、いろいろなものを面積で求められるような気がするのですが、こう考えてみると面積って、すごく応用範囲が広いような気がするのですが、これは間違ってますか？
No.86337 - 2023/09/01(Fri) 23:44:22
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / GandB
　今のところは

　　区分求積法

で検索し、気に入ったサイトを拾い読みする程度でいいのでは。たとえば

http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/kubun.htm

　曲線で囲まれた面積を微小な幅の長方形に分割し、それを足し合わせれば、
　・曲線で囲まれた面積のよい近似が得られそうなこと
　・分割数が多いほど近似の精度がよくなること
は直感的にわかるだろう。
No.86342 - 2023/09/02(Sat) 07:31:01
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 黄桃
>f(x)という記号は、yと同じで、xの関数であることを表す記号ですよね？
そうです。

>面積を求めるにあたって、f(x)は縦、dxは横を表しているんですよね？
そういうイメージから来ていますので、そう思ってもかまいません。

>等積変形の要領で、長方形ではないものを長方形に直して、その長方形をかき集めると考えてみた
そう考えてもいいですが、それはどちらかというと、面積を近似して求める方法、です。

厳密な話には、極限という概念が必要です。詳しくは説明できませんが、次の2つを満たす数は5しかない、という考え方が基本です。
1. 5より大きいどんな数よりも小さい
2. 5より小さいどんな数よりも大きい

これから面積が5であることをいうには、その面積は５より大きいどんな面積よりも小さく、5より小さいどんな面積よりも大きい、というのです（ちょうど円の面積が内接正n角形よりも大きく、外接正n角形よりも小さい、というようなものです）。
細かく区切っていくことにより、このことがいえます。

その具体的な計算方法が区分求積であり、積分法です。

>面積が移動距離を表す
x軸が時間、y軸が時間と共に増えたり減ったりするもの、として、それらのある時間の合計、は面積になります。
y軸が速さ、面積が距離、以外にもy軸がある地点の各時刻（瞬間）の降水量、とすれば、例えば24時間降水量も面積です。

x軸が時間以外でもxとyを掛けたものを足し合わせるような場合も同様に面積になるはずです。いろいろな場合を考えてみるのも面白いと思います。
No.86346 - 2023/09/02(Sat) 15:20:49
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 町子(中学3年生)
ありがとうございました！！
No.86353 - 2023/09/03(Sun) 08:45:30
★ (No Subject) / アイス
Xyz空間における8点O(0,0,0)，A(1,0,０)，B(1,1,0),C(0,1,0),D(0.0.1),E(1.0.1)F(1,1,1),G(0.1.1)を頂点とする立方体OABC-DEFGを考える。またpとqはp>1，q>1を満たす実数とし3点P,Q,RをP(p,0，0)，Q(0，q，0)，R(0，0,3/２)とする

(1) a,bを実数としベクトル→n(a,b,1)は2つのベクトル→PQ，→PRの両方に垂直であるとする。A,bをp,qを用いて表せ(解a=3/2p,b=3/2q)
以下では3点P,Q，Rを通る平面αとし点Fを通り平面αに垂直な直線をℓとする。またxy平面と直線ℓの交点がx座標軸が2/3であるとし点Bは線分PQ上にあるとする
(2) pおよびqの値を求めよ(p=9/2,q=9/7)
(3) 平面αと線分EFの交点Mの座標及び平面αと直線FGの交点Nの座標を求めよ

平面α上の任意の点Tは点Rを通りPQに平行な直線上の点をSとすると
→OT=→OR+→RS+ｋ→ＳＱ=→OS+→k→SQ

→ＯＳ=→ＯＲ+→RS=→OR+ℓ→PQ=(-9ℓ/2，9ℓ/7，3/2)

→SQ＝→OQ-→OS=(9ℓ/2,9(1-ℓ)/7,−3/2)より
→OT＝{(9ℓ/2)-(9ℓk/2)，9ℓ/7-9(1-ℓ) k/7,3/2-3k/2}と表せる。

点M，Nともにz座標は1であることからk=1/3である。また点Mのx座標は必ず１であること，点Nのy座標は必ず1であることからそれぞれℓの値を求めることが出来る…っというやり方はいけないのでしょうか。模範解答見たらもっと簡単なやり方で求めていたんですがこれはやり方としては間違っているのでしょうか(ちなみにこのやり方で解いた答えと模範解答の答えは一致しませんでしょう。模範解答の答え→M(1,1/7.1),N((-2,1,1))
No.86328 - 2023/08/29(Tue) 17:50:58
☆ Re: / ast
別にそのやり方で問題ありません (ケアレスミスで何カ所か符号がおかしいのを直せば, 実際に模範解答の結果と一致します).
No.86329 - 2023/08/30(Wed) 18:06:42
★ 三角関数 / 山田山
4-12の問題でグラフの図示までは分かりましたが、示された領域がどのような場合分けでなされたのか分かりません。回答よろしくお願いします。
No.86325 - 2023/08/27(Sun) 22:48:07
☆ Re: 三角関数 / X
添付写真の解説は読みましたか？
まず、場合分けしなければ領域を得られない、
という考え方は脇に置いて下さい。

まず押さえなければならないのは、
2cos{(y+x)/2}sin{(y-x)/2}=0
を満たす直線で区切られた最も小さい四角形の内部の各領域
(添付写真の４−１２の解説の最も後ろの方にある
求める領域を図示したグラフを参照のこと)
において
2cos{(y+x)/2}sin{(y-x)/2} (P)
の符号は正負いずれかの一定の符号になっている、つまり
このような四角形の内部の領域の一つをDとすると
Dの内部の点の(P)の符号は
(i)全て正
(ii)全て負
のどちらかということです。

ですので、Dに含まれる適当な点Pに対し、条件となる不等式
2cos{(y+x)/2}sin{(y-x)/2}≧0 (A)
が成立しているのであれば、D内の任意の点に対し、やはり(A)が成立する
(つまりDは求める領域に含まれる)
逆に
Pにおいて(A)が成立しないのであれば、D内の任意の点に対し、やはり(A)が成立しない
(つまりDは求める領域に含まれない)
ということです。

その上で次に押さえることは
Dに隣り合った、Dと同様な四角形の内部の領域(Eとします)の
2cos{(y+x)/2}sin{(y-x)/2}
の符号が異なるということ、つまり
(i)Dにおいて(A)が成立するのであれば、Eにおいて(A)は成立しない
(ii)Dにおいて(A)が成立しないのであれば、Eにおいて(A)は成立する
言い換えれば
(i)Dが求める領域に含まれているなら、Eは求める領域に含まれない
(ii)Dが求める領域に含まれていないなら、Eは求める領域に含まれる
ということです。

以上を踏まえて、添付写真の解説の４−１２の解説をご覧下さい。
No.86327 - 2023/08/28(Mon) 22:23:43
★ 中三　二次関数 / 出来名杉くん
yをxの式で表し、yがxの2乗に比例するものを探す問題です。
縦と横の長さの比が2:3で、周の長さがx?pの長方形の面積がyc?uである。

解答は、y＝3x^2/50　となっているのですが、そこまでたどり着けません。
解説をお願いします。
No.86321 - 2023/08/25(Fri) 12:39:44
☆ Re: 中三　二次関数 / 出来名杉くん
周の長さがxセンチ、面積がy平方センチです
No.86322 - 2023/08/25(Fri) 12:42:10
☆ Re: 中三　二次関数 / X
問題の長方形の縦、横の長さをそれぞれa[cm],b[cm]
と置くと、条件から
2a+2b=x (A)
a:b=2:3 (B)
y=ab (C)
(B)より
b=(3/2)a
これを(A)(C)に代入すると
x=5a (A)'
y=(3/2)a^2 (C)'
(A)'を使って(C)'からaを消去します。
No.86323 - 2023/08/25(Fri) 16:55:47
☆ Re: 中三　二次関数 / 出来名杉くん
xさん、解説ありがとうございます。
ずっと分からなかったのが理解できてスッキリしました。
No.86324 - 2023/08/25(Fri) 18:29:47
★ この問題の(4)を教えてください / るい
(1)は(-2,4)
(2)は3/2
(3)は21/4です。
(4)の答えは最終9:25になるのですがP,Q,Rの値を出してからの過程がわかりません。解説よろしくお願いします。
No.86319 - 2023/08/24(Thu) 18:24:13
☆ Re: この問題の(4)を教えてください / ポテトフライ
> P,Q,Rの値を出してからの過程がわかりません。解説よろしくお願いします。

OB//AC（これは少し計算すればすぐにわかると思う）なので△OBRと△PQRは相似になりますので面積比は相似比の2乗になります。
よってOR:RQが求まればよいです。
No.86320 - 2023/08/25(Fri) 01:07:12
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