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(No Subject) / remer
数学教えてください。
No.65201 - 2020/05/12(Tue) 10:43:27

Re: / ヨッシー
下の方の記事に、レスが付いていますので、それに続く形で、話を進めてください。
No.65202 - 2020/05/12(Tue) 10:47:43
(No Subject) / よびりん
1番の問題で、解答と自分の考え方が違ったのですが、右側の自分の回答の方でも合っていますか?
No.65199 - 2020/05/12(Tue) 09:07:29

Re: / ヨッシー
良いと思います。

「aとbの積が、最大公約数と最小公倍数の積に等しい」
が、既習であれば、問題ないです。

No.65200 - 2020/05/12(Tue) 10:03:40
(No Subject) / うい
?Bから、3/4Π≦t、Π/4≧tを導く
という考え方であっていますか?

そのあとの、?A?Bより というのがわからないので教えてください

No.65191 - 2020/05/11(Mon) 21:56:56

Re: / ヨッシー
0≦t<2π ならば、
 sint≧√2/2
の解は
 π/4≦t≦3π/4
です。

ところが
0≦x<2π に対して t=x+2π/3 なので、tの範囲は
 2π/3≦t<8π/3
です。よって、最初の解
 π/4≦t≦3π/4
のうち、
 π/4≦t<2π/3
の部分は、
 2π/3≦t<8π/3
に入っていません。その分、2周目に
 9π/4≦t<8π/3
として現れます。

No.65194 - 2020/05/11(Mon) 22:37:18
軌跡 / あめ
(3)について大まかに2つ程質問があります。

ひとつめは、解答では交点の軌跡が最終的には円になると結論付けられますが、解答の流れがあたかも最初から円になることを知っていて、円周角と中心角の関係を利用したりと、「これはありなのか」と、何か強い違和感を覚えます。
パターン暗記だと言ってしまえばそれでおしまいですが、この問題は「円になるだろうな、と予想を立てて、その様になるように進めて言ったらやはり円になった。」という考え方で解答を進めているのでしょうか?
また軌跡はこういった結論を知っていたり、予想立て出来ないと解答が難しい範囲なのかと不安です…。試験で軌跡の問題が出た時に太刀打ち出来るためには、色々な軌跡の問題に触れておく事が必須でしょうか?それとも先程申した予想立てする力を養うべきでしょうか? ここら辺の助言を頂きたいです。

ふたつめはxとyの取りうる範囲について。
左ページ最終行の「?@はy軸と一致することなく」は右ページにある「注」からそうなることが分かりました。 では「?Aは直線y=2と一致することはない」となるのは、『?@がy軸と一致することが無いのでそれに垂直な関係である?Aもy=2と一致することはない』という考え方で正しいですか?

長々と申し訳ありません、御教授お願い致します。

No.65190 - 2020/05/11(Mon) 21:35:42

Re: 軌跡 / IT
>ひとつめは、解答では交点の軌跡が最終的には円になると結論付けられますが、解答の流れがあたかも最初から円になることを知っていて、円周角と中心角の関係を利用したりと、「これはありなのか」と、何か強い違和感を覚えます。
>


解答の流れというよりも、設問の(1)(2)が誘導となっていますので、そんなに天下り的ではないと思います。

No.65192 - 2020/05/11(Mon) 22:10:20

Re: 軌跡 / ヨッシー
最初から円とわかっている。が正解です。
2点を別々に通る2直線が一定の角になると来たら
即、円周角の定理(の逆)です。
円周角を習ったときにこういう図をイメージしませんでしたか?

イメージしたことないなら、この機に目に焼き付けましょう。

>それに垂直な関係である?Aもy=2と一致することはない
間接的にはそれでもいいですが、解説に
>y=mx+n型直線は、y軸と平行な直線は表せません。
とあるので、そこは素直に、
>x=my+n型直線は、x軸と平行な直線は表せません。
と置き換えれば良いでしょう。

No.65193 - 2020/05/11(Mon) 22:18:03

Re: 軌跡 / あめ
御二方ともありがとうございました。
No.65203 - 2020/05/12(Tue) 12:24:58
(No Subject) / 楽しんご
Σがkからmになるになるのはどうしてですか?2mではないかと思ったら違ったので混乱してます。
No.65188 - 2020/05/11(Mon) 20:38:10

Re: / らすかる
第1項:1^2-2^2
第2項:3^2-4^2
第3項:5^2-6^2
・・・
第m項:(2m-1)^2-(2m^2)
のように項数がm項だからです。

No.65189 - 2020/05/11(Mon) 20:53:13
合同式 ユークリッドの互除法 / もんじゃ
7x≡3(mod25) この式の解き方がまったくわかりません。
助けてくださいお願いします。
一応答えっぽいものはわかっているので書いておきます。
 x=-21 k=-6 x≡4(mod25) この三つです。
なぜそうなるかがまったくわかりません。よろしくお願いします・・・

No.65186 - 2020/05/11(Mon) 18:56:44

Re: 合同式 ユークリッドの互除法 / らすかる
mod25は省略
7x≡3
4倍して
28x≡12
3x≡12
∴x≡4

No.65187 - 2020/05/11(Mon) 19:33:09

Re: 合同式 ユークリッドの互除法 / 黄桃
>x=-21 k=-6 x≡4(mod25) この三つです。
これから推測すると、以下のような考えでしょう。

7x-25k=3 の整数解で、xが0以上25未満のものが求める解である。ユークリッドの互除法により1つの解 x=-21, k=-6 が求まる(具体的な計算は不明)ので、一般解はtを整数として、
x=-21+25t, k=-6+7t
となる。0以上25未満となるxは4だけであるから、x≡4 mod25 が答である。

No.65198 - 2020/05/12(Tue) 01:48:46

Re: 合同式 ユークリッドの互除法 / もんじゃ
28x≡12
3x≡12
ここなんで28xが3xになってるんでしょうか?
あとなぜ4倍するのでしょうか・・?

No.65217 - 2020/05/12(Tue) 20:21:02

Re: 合同式 ユークリッドの互除法 / らすかる
28x≡12が3x≡12になっているのは
28x=25x+3xであり25x≡0だからです。
(つまりmod25なら係数はいつでも25を足したり引いたりできます。)
そしてなぜ4倍したかは、
最初の7xの7を何倍したら25を超えるかを考えると
3倍では超えず4倍で超えますので4倍しました。
今回はたまたま簡単に求まってしまいましたが、
もし簡単に求まらなくても、4倍して25を超えれば
少なくとも最初の「7x」よりは小さい係数になりますので、
これを繰り返せばxまで持っていけます。
例えば最初が7x≡4だとすると
7x≡4
28x≡16 (7を4倍すれば25を超えるので両辺を4倍した)
3x≡16 (係数から25を引いた)
27x≡144 (3を9倍すれば25を超えるので両辺を9倍した)
2x≡19 (左の係数から25、右の値から25×5を引いた)
26x≡247 (2を13倍すれば25を超えるので両辺を13倍した)
x≡22 (左の係数から25、右の値から25×9を引いた)
のように求まります。

追記
上記は考えやすいように単純に「25を超えるようにする」としましたが、
効率的には「25に近くなるようにする」の方が効率がいいです。
7x≡4
7は3倍すると21で25との差は4、4倍すると28で25との差は3なので4倍
28x≡16
3x≡16
3は8倍すると24で25との差は1、9倍すると27で25との差は2なので8倍
24x≡128
-x≡3
∴x≡-3≡22
このようにすると係数の絶対値が必ず以前の1/2未満になりますので、
係数が大きくても早く終わります。

No.65220 - 2020/05/12(Tue) 20:43:57
(No Subject) / 高校理系
マーカーを引いたところのようになる理由が分かりません。2m^2は問題でいうn^2に代入してるんだな〜とは分かるのですが(2m−1)^2にはどうしてなるのでしょうか?
No.65184 - 2020/05/11(Mon) 17:50:34

Re: / X
>>2m^2
ではなくて
(2m)^2
です。

n=2m
ですので
n-1=2m-1
です。

No.65185 - 2020/05/11(Mon) 18:34:27
絶対値の処理 / 高校理系
これって符号なんで変えていいんでしたっけ?
No.65179 - 2020/05/11(Mon) 16:11:43

Re: 絶対値の処理 / らすかる
|a|=|-a|です。
No.65180 - 2020/05/11(Mon) 16:17:21

Re: 絶対値の処理 / 高校理系
忘れてました!ありがとうございます😊
No.65182 - 2020/05/11(Mon) 16:42:32
収束半径 / gab
すみません、初心者で考えてもわかりません。。。
分かる方よろしくお願いします。
あとダンベールではなくダランベールですね。

No.65171 - 2020/05/11(Mon) 13:45:03

Re: 収束半径 / 関数電卓
例えば ここ とか ここ などをご覧下さい。
No.65197 - 2020/05/12(Tue) 00:08:46
三角関数 / うい
どうやって2/3Πを出したのか、分かりません。
教えてください…

No.65170 - 2020/05/11(Mon) 13:32:44

Re: 三角関数 / ヨッシー
 (-1/2)sinx+(√3/2)cosx

 cosαsinx+sinαcosx
の形に書けたら、加法定理より
 sin(x+α)
と書けます。つまり、
 cosα=-1/2、sinα=√3/2
となるαを見つけます。
その1つが、
 α=2π/3
です。

No.65172 - 2020/05/11(Mon) 13:52:21

Re: 三角関数 / うい
加法定理はそうやって使うんですね!
ありがとうございます

No.65177 - 2020/05/11(Mon) 15:36:47
(No Subject) / うい
cos(-Π/4)とは、いったい何度になるんでしょうか?
求め方を教えてください。
覚えるのですか?

No.65169 - 2020/05/11(Mon) 13:27:51

Re: / ヨッシー
何度とはどれのことを言われていますか?
 −π/4
なら、−45°ですが、cos(−π/4) は√2/2 であり、
何度という言い方はしません。

cos(3π/4)=cos(135°) はわかりますか?
これがダメなら、単位円から、復習してください。

No.65173 - 2020/05/11(Mon) 13:56:23

Re: / うい
cos(3π/4)=cos(135°)
などは理解できています。

ただ、度数に−がついたとき、単位円のどこにあたるのかが
わからないのです…

No.65174 - 2020/05/11(Mon) 14:35:09

Re: / らすかる
+で左回りですから、-は右回りに考えます。
つまりθの位置が分かっているとき、-θはx軸に関して対称の位置となります。

No.65178 - 2020/05/11(Mon) 15:38:58

Re: / ヨッシー
こうです。


−45°と同じ位置にある、最も小さい正の角度は 315°です。
同様に、−30°と330°、−15°と345°などは、同じ位置にある角度です。
もちろん、0°と360°も同じ位置です。

No.65181 - 2020/05/11(Mon) 16:26:35

Re: / うい
対称…
ありがとうございます!

No.65183 - 2020/05/11(Mon) 17:40:28
(No Subject) / ノア
次の問題教えてください。
No.65166 - 2020/05/11(Mon) 13:00:48

Re: / 関数電卓
(後半)
a1=1, an+1=√(2+an) …<1>
(1) 数学的帰納法で示す。
 n=1 のとき, a1=1<2 で成立。
 n=k のときの成立を仮定する。即ち 2−ak>0 …<2> を仮定。
 n=k+1 のとき, 2−ak+1=2−√(2+ak)=(2−ak)/(2+√(2+ak)>0 (∵ <2>)
 以上より,すべての自然数 n について 2−an>0 [証了]
(2)
 an+1−an=√(2+an)−an
  =(2+an−an2)/(√(2+an)+an)
  =(2−an)(1+an)/(√(2+an)+an)>0
    (∵ (1)の結果及び<1>より明らかに an>0) [証了]
(3)
 (1)(2)より,an は上に有界な単調増加数列だから収束する。
 極限値を x とすれば<1>より x=√(2+x)。 x>0 でこれを解いて,x=2
  ∴ lim[n→∞]an2

No.65196 - 2020/05/11(Mon) 22:46:49
はじめまして。 / 斉藤
この(2)の問題を、「二つの交点の座標を求めて、その座標同士の距離を求める」というやり方で解いたら2√2になったのですが
模範解答の答えは、「円の中心と直線の距離を求めて、三平方の定理で出したものを2倍する」というやり方で、答えは2√5となっていました。
私のやり方では、なぜだめなのでしょうか?

No.65165 - 2020/05/11(Mon) 12:49:02

Re: はじめまして。 / ヨッシー
座標から求める方法でも 2√5 になります。
交点のx座標は −1と−3ですが、どうですか?

No.65168 - 2020/05/11(Mon) 13:06:34

Re: はじめまして。 / 斉藤
計算ミスでした😅
ありがとうございます。

No.65175 - 2020/05/11(Mon) 15:04:35
数3極限 / あああああ
角PODをθと置いてやってみたのですがうまくいきません

問題:円Oに内接する正三角形の1辺をABとする。劣弧AB上を
動点PがAからBの方向に動く。
点Pが点Bに限りなく近づくとき、(AB−AP)/BP の極限値を求めよ。

No.65162 - 2020/05/11(Mon) 11:20:07

Re: 数3極限 / らすかる
図形的に考えると
P→Bのとき∠ABP→60°だから
lim[P→B](AB-AP)/BP=(正三角形の辺の長さの半分)/(正三角形の辺の長さ)=1/2

座標で考えると
O(0,0),B(r,0),A(-(1/2)r,(√3/2)r),P(rcosθ,rsinθ)とすると
lim[P→B](AB-AP)/BP=lim[θ→+0]((√3)r-√{(rcosθ+(1/2)r)^2+(rsinθ-(√3/2)r)^2})/√{(rcosθ-r)^2+(rsinθ)^2}
=lim[θ→+0](√3-√{(cosθ+(1/2))^2+(sinθ-(√3/2))^2})/√{(cosθ-1)^2+(sinθ)^2}
=lim[θ→+0](√3-√{2-(√3)sinθ+cosθ})/√(2-2cosθ)
=lim[θ→+0](√3-2sin(θ/2+2π/3))/(2sin(θ/2))
=lim[θ→+0](1+2cos(θ+4π/3))/{(2sin(θ/2))(√3+2sin(θ/2+2π/3))}
=lim[θ→+0](1-cosθ+(√3)sinθ)/{(2sin(θ/2))(√3+2sin(θ/2+2π/3))}
=lim[θ→+0](2(sin(θ/2))^2+(2√3)sin(θ/2)cos(θ/2))/{(2sin(θ/2))(√3+2sin(θ/2+2π/3))}
=lim[θ→+0](sin(θ/2)+(√3)cos(θ/2))/{√3+2sin(θ/2+2π/3)}
=1/2

No.65176 - 2020/05/11(Mon) 15:23:44
(No Subject) / ノア
次の極限を教えてください。
No.65161 - 2020/05/11(Mon) 10:33:59

Re: / ヨッシー
いずれの問題も、n→∞ のときの極限と解釈します。
(1)
(与式)={n(n+2)(n^2+1)−n^3(n+1)}/(n+1)(n^2+1)
  ={(n^4+2n^3+n^2+2n)−(n^4+n^3)}/(n^3+n^2+n+1)
  =(n^3+n^2+2n)/(n^3+n^2+n+1)
  =(1+1/n+2/n^2)/(1+1/n+1/n^2+1/n^3) → 1
(2)
(与式)=(1/1−1/2)+(1/2−1/3)+・・・+{1/n−1/(n+1)}
   =1−1/(n+1) → 1
(3)
(分子)=n(n+1)(2n+1)/6=(2n^3+3n^2+n)/6
よって
(与式)=(2+3/n+1/n^2)/6 → 1/3

No.65164 - 2020/05/11(Mon) 11:41:30
極限 / ノア
次の極限を教えてください。
No.65160 - 2020/05/11(Mon) 10:23:25

Re: 極限 / ヨッシー
これは、投稿ミスだと思われますので、上の記事で回答します。
No.65163 - 2020/05/11(Mon) 11:33:39
極限 / ああ
anの極限を求めたいです(n→無限大)
見にくくてすみません。よろしくおねがいします。

No.65150 - 2020/05/10(Sun) 23:10:04

Re: 極限 / IT
0<(√2-1)<1 
√2-1より小さい正数を掛けるので →0 になるのでは?

No.65152 - 2020/05/10(Sun) 23:36:23

Re: 極限 / ああ
たしかに〜!!
ただ、もっとそれっぽい解答?じゃなくても大丈夫何でしょうか?
せっかく答えてもらったのにすみません

あと返信の仕方を間違ってしまって、投稿が消せなくなってます。
みなさん本当にすみません

No.65154 - 2020/05/10(Sun) 23:53:12

Re: 極限 / X
解答として書くのであれば例えば以下の通りです。

0<√2-2^{1/(2n+1)}<√2-1
により
0<a[n]<(√2-1)^n
ここで
0<√2-1<1
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]a[n]=0

No.65155 - 2020/05/10(Sun) 23:57:25

Re: 極限 / ああ
本当にありがとうございます🙏
No.65156 - 2020/05/11(Mon) 00:04:36
(No Subject) / 高3理系
yが正になるのはわかるのですがかといって+−がつくのは√のそとだからyが正に制限されようと+−で値がでてしまいませんか?
No.65144 - 2020/05/10(Sun) 20:16:51

Re: / ヨッシー
x≧0 に限られていますので、
 x=−√y
は除外されます。
この制限がないと、逆関数は一意に決まりません。

No.65145 - 2020/05/10(Sun) 20:31:58

Re: / 高3理系
なるほど!じゃぁy≧0が x≧0の意味も含んでいるってことですか??
No.65146 - 2020/05/10(Sun) 20:33:56

Re: / らすかる
含んでいません。
含んでいないから y=x^2 (x≧0) と定義しているのです。

No.65147 - 2020/05/10(Sun) 20:54:57
カヴァリエリの原理 / 高2
正4面体Vが図のように宙に浮いていて、ある平面αがあるとします。このとき、Vを三角形BCD上の微小な底面を持ちαに垂直な向きの高さを持つ微小な柱に分け、それをα上に並べる。この変換により、体積は保存される。とあるのですが、何を言っているのかがよくわかりません。カヴァリエリの原理が背景にあるそうなのですが、どなたか教えていただけませんか。
No.65139 - 2020/05/10(Sun) 18:37:34

Re: カヴァリエリの原理 / 関数電卓
2次元で考えれば分かりやすいでしょう。
図の△ABC の面積は,直線αに垂直な短冊の面積の寄せ集めです。短冊の長さ(高さ)の向きの正射影は,長さを変えないので,△A'B'C'=△ABC が成り立ちます。カヴァリエリの原理そのものです。

No.65141 - 2020/05/10(Sun) 19:43:07

Re: カヴァリエリの原理 / IT
3次元で実感したかったら 爪楊枝の束を考えると良いかも知れません。
No.65142 - 2020/05/10(Sun) 19:54:56

Re: カヴァリエリの原理 / 関数電卓
> 爪楊枝の束
あ〜,分かりやすいですね〜!

No.65143 - 2020/05/10(Sun) 20:06:05

Re: カヴァリエリの原理 / 高2
ありがとうございます。つまようじでなんとなくわかりました。つまようじが円柱の透明なケースにびっしり隙間なく入っているとして、そこから飛び出たやつがあり、つまようじの底面は曲面のようになっているとします。このとき、その体積は、すべてそこからケースの底面にそろえたやつと同じ。(等積変形している)ということですか?
No.65149 - 2020/05/10(Sun) 22:44:51

Re: カヴァリエリの原理 / 関数電卓
> 等積変形している
その通りです。

No.65151 - 2020/05/10(Sun) 23:34:03

Re: カヴァリエリの原理 / 高2
ありがとうございます。問題をもう1度考えてみます。
No.65157 - 2020/05/11(Mon) 04:45:57
集合 / 中三
画像の問題がわかりません。
よろしくお願いします。

No.65136 - 2020/05/10(Sun) 17:05:59

Re: 集合 / らすかる
f(x)=x^2, A={0,1}, B={0,-1} とすると
f(A∩B)={0}
f(A)∩f(B)={0,1}

No.65137 - 2020/05/10(Sun) 17:58:05
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