重積分の質問なのです
x=rcost y=rsint z=t (0≦r≦1,0≦t≦π/2)
のとき，曲面の表面積を求めたいのです
∬√(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy
で求めようとし，dz/dxなどを求めようとしました
dz/dx=dt/drcost=1/(-rsint)
dz/dy=dt/drsint=1/(rcost)
かなと思ったのですが，どうも計算が合いません
どこがおかしいか指摘していただきたいです
|
No.64504 - 2020/04/22(Wed) 01:04:36
| ☆ Re: / GandB | | | > x=rcost y=rsint z=t (0≦r≦1,0≦t≦π/2)
は円柱螺旋と呼ばれる「空間曲線」であるから「曲面の表面積」は存在しない。
|
No.64505 - 2020/04/22(Wed) 03:35:09 |
| ☆ Re: / s | | | 曲面の表面積は存在するが必要なのは
∂z(x,y)/∂x, ∂z(x,y)/∂y
の情報なのでそう単純じゃない。
直交座標(xy)ではなく極座標(rθ)でパラメトライズされているので、極座標で解くのが自然。
https://home.hiroshima-u.ac.jp/kyoshida/iam/2016(2ndSemester)/week09(surface_area).pdf
|
No.64506 - 2020/04/22(Wed) 05:09:27 |
| ☆ Re: / 関数電卓 | | | > 極座標で解くのが自然
r＝(rcosθ,rsinθ,θ)
∂r/∂r＝(cosθ,sinθ,0)
∂r/∂θ＝(−rsinθ,rcosθ,1)
∂r/∂r×∂r/∂θ＝sinθ･i−cosθ･j＋r･k
|∂r/∂r×∂r/∂θ|＝√(1＋r^2)
求める曲面積 S は
S＝∫|∂r/∂r×∂r/∂θ|dS＝∫[0,1]∫[0,π/2]√(1＋r^2)rdrdθ＝…＝(2√2−1)π/3
![]() |
No.64520 - 2020/04/22(Wed) 15:38:32 |
| ☆ Re: / しの | | | 極座標で解いたほうが簡単ですねありがとうございます
ちなみになんですが，最初に自分が示したやり方の本質的な間違いは
?@立式(∬√(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy)
?A偏微分(dz/dx=dt/drcost=1/(-rsint)
dz/dy=dt/drsint=1/(rcost))
のどちらでしょうか
|
No.64523 - 2020/04/22(Wed) 17:13:09 |
| ☆ Re: / 関数電卓 | | | > 自分が示したやり方の間違いは?@?Aのどちらでしょうか
両方ともだめです！
曲面の方程式を陽関数 z＝f(x,y) と表したとして，z は x, y の 2 変数関数ですから，面素は
√(1＋(∂z/∂x)^2＋(∂z/∂y)^2)
です。ちなみに f は，f(x,y)＝tan-1(y/x) です。
私は，この計算をしようとは思いません。
|
No.64530 - 2020/04/22(Wed) 18:12:31 |
| ☆ Re: / しの | | | No.64542 - 2020/04/22(Wed) 21:12:08 |
|
