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★ 三角関数 / うい
どうやって2/3Πを出したのか、分かりません。
教えてください…
No.65170 - 2020/05/11(Mon) 13:32:44
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
　(-1/2)sinｘ＋(√3/2)cosｘ
が
　cosαsinｘ＋sinαcosｘ
の形に書けたら、加法定理より
　sin(x＋α)
と書けます。つまり、
　cosα＝-1/2、sinα＝√3/2
となるαを見つけます。
その１つが、
　α＝2π/3
です。
No.65172 - 2020/05/11(Mon) 13:52:21
☆ Re: 三角関数 / うい
加法定理はそうやって使うんですね！
ありがとうございます
No.65177 - 2020/05/11(Mon) 15:36:47
★ (No Subject) / うい
cos(-Π/4)とは、いったい何度になるんでしょうか？
求め方を教えてください。
覚えるのですか？
No.65169 - 2020/05/11(Mon) 13:27:51
☆ Re: / ヨッシー
何度とはどれのことを言われていますか？
　−π/4
なら、−45°ですが、cos(−π/4) は√2/2 であり、
何度という言い方はしません。

cos(3π/4)＝cos(135°) はわかりますか？
これがダメなら、単位円から、復習してください。
No.65173 - 2020/05/11(Mon) 13:56:23
☆ Re: / うい
cos(3π/4)＝cos(135°)
などは理解できています。

ただ、度数に−がついたとき、単位円のどこにあたるのかが
わからないのです…
No.65174 - 2020/05/11(Mon) 14:35:09
☆ Re: / らすかる
+で左回りですから、-は右回りに考えます。
つまりθの位置が分かっているとき、-θはx軸に関して対称の位置となります。
No.65178 - 2020/05/11(Mon) 15:38:58
☆ Re: / ヨッシー
こうです。


−45°と同じ位置にある、最も小さい正の角度は 315°です。
同様に、−30°と330°、−15°と345°などは、同じ位置にある角度です。
もちろん、0°と360°も同じ位置です。
No.65181 - 2020/05/11(Mon) 16:26:35
☆ Re: / うい
対称…
ありがとうございます！
No.65183 - 2020/05/11(Mon) 17:40:28
★ (No Subject) / ノア
次の問題教えてください。
No.65166 - 2020/05/11(Mon) 13:00:48
☆ Re: / 関数電卓
(後半)
a1＝1, an+1＝√(2＋an) …<1>
(1) 数学的帰納法で示す。
　n＝1 のとき, a1＝1＜2 で成立。
　n＝k のときの成立を仮定する。即ち 2−ak＞0 …<2> を仮定。
　n＝k＋1 のとき, 2−ak+1＝2−√(2＋ak)＝(2−ak)/(2＋√(2＋ak)＞0 (∵ <2>)
　以上より，すべての自然数 n について 2−an＞0 [証了]
(2)
　an+1−an＝√(2＋an)−an
　　＝(2＋an−an2)/(√(2＋an)＋an)
　　＝(2−an)(1＋an)/(√(2＋an)＋an)＞0
　　　　(∵ (1)の結果及び<1>より明らかに an＞0)　[証了]
(3)
　(1)(2)より，an は上に有界な単調増加数列だから収束する。
　極限値を x とすれば<1>より　x＝√(2＋x)。 x＞0 でこれを解いて，x＝2
　　∴ lim[n→∞]an＝2
No.65196 - 2020/05/11(Mon) 22:46:49
★ はじめまして。 / 斉藤
この(2)の問題を、「二つの交点の座標を求めて、その座標同士の距離を求める」というやり方で解いたら2√2になったのですが
模範解答の答えは、「円の中心と直線の距離を求めて、三平方の定理で出したものを２倍する」というやり方で、答えは2√5となっていました。
私のやり方では、なぜだめなのでしょうか？
No.65165 - 2020/05/11(Mon) 12:49:02
☆ Re: はじめまして。 / ヨッシー
座標から求める方法でも 2√5 になります。
交点のｘ座標は −１と−３ですが、どうですか？
No.65168 - 2020/05/11(Mon) 13:06:34
☆ Re: はじめまして。 / 斉藤
計算ミスでした😅
ありがとうございます。
No.65175 - 2020/05/11(Mon) 15:04:35
★ 数３極限 / あああああ
角PODをθと置いてやってみたのですがうまくいきません

問題：円Oに内接する正三角形の１辺をABとする。劣弧AB上を
動点PがAからBの方向に動く。
点Pが点Bに限りなく近づくとき、（AB−AP）/BP　の極限値を求めよ。
No.65162 - 2020/05/11(Mon) 11:20:07
☆ Re: 数３極限 / らすかる
図形的に考えると
P→Bのとき∠ABP→60°だから
lim[P→B](AB-AP)/BP=(正三角形の辺の長さの半分)/(正三角形の辺の長さ)=1/2

座標で考えると
O(0,0),B(r,0),A(-(1/2)r,(√3/2)r),P(rcosθ,rsinθ)とすると
lim[P→B](AB-AP)/BP=lim[θ→+0]((√3)r-√{(rcosθ+(1/2)r)^2+(rsinθ-(√3/2)r)^2})/√{(rcosθ-r)^2+(rsinθ)^2}
=lim[θ→+0](√3-√{(cosθ+(1/2))^2+(sinθ-(√3/2))^2})/√{(cosθ-1)^2+(sinθ)^2}
=lim[θ→+0](√3-√{2-(√3)sinθ+cosθ})/√(2-2cosθ)
=lim[θ→+0](√3-2sin(θ/2+2π/3))/(2sin(θ/2))
=lim[θ→+0](1+2cos(θ+4π/3))/{(2sin(θ/2))(√3+2sin(θ/2+2π/3))}
=lim[θ→+0](1-cosθ+(√3)sinθ)/{(2sin(θ/2))(√3+2sin(θ/2+2π/3))}
=lim[θ→+0](2(sin(θ/2))^2+(2√3)sin(θ/2)cos(θ/2))/{(2sin(θ/2))(√3+2sin(θ/2+2π/3))}
=lim[θ→+0](sin(θ/2)+(√3)cos(θ/2))/{√3+2sin(θ/2+2π/3)}
=1/2
No.65176 - 2020/05/11(Mon) 15:23:44
★ (No Subject) / ノア
次の極限を教えてください。
No.65161 - 2020/05/11(Mon) 10:33:59
☆ Re: / ヨッシー
いずれの問題も、ｎ→∞ のときの極限と解釈します。
(1)
（与式）＝{n(n+2)(n^2+1)−n^3(n+1)}/(n+1)(n^2+1)
　　＝{(n^4+2n^3+n^2+2n)−(n^4+n^3)}/(n^3+n^2+n+1)
　　＝(n^3+n^2+2n)/(n^3+n^2+n+1)
　　＝(1+1/n+2/n^2)/(1+1/n+1/n^2+1/n^3)　→　1
(2)
(与式)＝(1/1−1/2)＋(1/2−1/3)＋・・・＋{1/n−1/(n+1)}
　　　＝1−1/(n+1)　→　1
(3)
(分子)＝n(n+1)(2n+1)/6＝(2n^3+3n^2+n)/6
よって
(与式)＝(2+3/n+1/n^2)/6　→　1/3
No.65164 - 2020/05/11(Mon) 11:41:30
★ 極限 / ノア
次の極限を教えてください。
No.65160 - 2020/05/11(Mon) 10:23:25
☆ Re: 極限 / ヨッシー
これは、投稿ミスだと思われますので、上の記事で回答します。
No.65163 - 2020/05/11(Mon) 11:33:39
★ 極限 / ああ
anの極限を求めたいです(n→無限大)
見にくくてすみません。よろしくおねがいします。
No.65150 - 2020/05/10(Sun) 23:10:04
☆ Re: 極限 / IT
0＜（√２-１）＜1　
√２-１より小さい正数を掛けるので　→0　になるのでは？
No.65152 - 2020/05/10(Sun) 23:36:23
☆ Re: 極限 / ああ
たしかに〜！！
ただ、もっとそれっぽい解答？じゃなくても大丈夫何でしょうか？
せっかく答えてもらったのにすみません

あと返信の仕方を間違ってしまって、投稿が消せなくなってます。
みなさん本当にすみません
No.65154 - 2020/05/10(Sun) 23:53:12
☆ Re: 極限 / X
解答として書くのであれば例えば以下の通りです。

0＜√2-2^{1/(2n+1)}＜√2-1
により
0＜a[n]＜(√2-1)^n
ここで
0＜√2-1＜1
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]a[n]=0
No.65155 - 2020/05/10(Sun) 23:57:25
☆ Re: 極限 / ああ
本当にありがとうございます🙏
No.65156 - 2020/05/11(Mon) 00:04:36
★ (No Subject) / 高３理系
yが正になるのはわかるのですがかといって+−がつくのは√のそとだからyが正に制限されようと+−で値がでてしまいませんか？
No.65144 - 2020/05/10(Sun) 20:16:51
☆ Re: / ヨッシー
ｘ≧０ に限られていますので、
　ｘ＝−√ｙ
は除外されます。
この制限がないと、逆関数は一意に決まりません。
No.65145 - 2020/05/10(Sun) 20:31:58
☆ Re: / 高３理系
なるほど！じゃぁy≧0が x≧0の意味も含んでいるってことですか？？
No.65146 - 2020/05/10(Sun) 20:33:56
☆ Re: / らすかる
含んでいません。
含んでいないから y=x^2 (x≧0) と定義しているのです。
No.65147 - 2020/05/10(Sun) 20:54:57
★ カヴァリエリの原理 / 高２
正４面体Ｖが図のように宙に浮いていて、ある平面αがあるとします。このとき、Ｖを三角形ＢＣＤ上の微小な底面を持ちαに垂直な向きの高さを持つ微小な柱に分け、それをα上に並べる。この変換により、体積は保存される。とあるのですが、何を言っているのかがよくわかりません。カヴァリエリの原理が背景にあるそうなのですが、どなたか教えていただけませんか。
No.65139 - 2020/05/10(Sun) 18:37:34
☆ Re: カヴァリエリの原理 / 関数電卓
２次元で考えれば分かりやすいでしょう。
図の△ABC の面積は，直線αに垂直な短冊の面積の寄せ集めです。短冊の長さ(高さ)の向きの正射影は，長さを変えないので，△A'B'C'＝△ABC が成り立ちます。カヴァリエリの原理そのものです。
No.65141 - 2020/05/10(Sun) 19:43:07
☆ Re: カヴァリエリの原理 / IT
３次元で実感したかったら　爪楊枝の束を考えると良いかも知れません。
No.65142 - 2020/05/10(Sun) 19:54:56
☆ Re: カヴァリエリの原理 / 関数電卓
> 爪楊枝の束
あ〜，分かりやすいですね〜！
No.65143 - 2020/05/10(Sun) 20:06:05
☆ Re: カヴァリエリの原理 / 高２
ありがとうございます。つまようじでなんとなくわかりました。つまようじが円柱の透明なケースにびっしり隙間なく入っているとして、そこから飛び出たやつがあり、つまようじの底面は曲面のようになっているとします。このとき、その体積は、すべてそこからケースの底面にそろえたやつと同じ。（等積変形している）ということですか？
No.65149 - 2020/05/10(Sun) 22:44:51
☆ Re: カヴァリエリの原理 / 関数電卓
> 等積変形している
その通りです。
No.65151 - 2020/05/10(Sun) 23:34:03
☆ Re: カヴァリエリの原理 / 高２
ありがとうございます。問題をもう１度考えてみます。
No.65157 - 2020/05/11(Mon) 04:45:57
★ 集合 / 中三
画像の問題がわかりません。
よろしくお願いします。
No.65136 - 2020/05/10(Sun) 17:05:59
☆ Re: 集合 / らすかる
f(x)=x^2, A={0,1}, B={0,-1} とすると
f(A∩B)={0}
f(A)∩f(B)={0,1}
No.65137 - 2020/05/10(Sun) 17:58:05
★ (No Subject) / 高校生
なぜ、0＜X≦1という条件になるか教えて下さい。
No.65134 - 2020/05/10(Sun) 16:36:16
☆ Re: / らすかる
正四角錐が半径1の球に内接しますので、中心からの距離は最大で1だからです。
No.65135 - 2020/05/10(Sun) 17:01:52
★ 代数学 / あ
1のカッコ1が分かりません。
No.65133 - 2020/05/10(Sun) 16:35:18
☆ Re: 代数学 / IT
そのGが群であるということは、行列の加法について、ということでしょうから、

Hが加法について閉じているかどうかを調べればよいのでは。
（Gの加法の単位元がHには含まれないのでGの部分群ではないですね）
No.65140 - 2020/05/10(Sun) 18:52:35
☆ Re: 代数学 / あ
閉じているか調べるにはどうしたらいいですか？
No.65148 - 2020/05/10(Sun) 21:58:12
★ (No Subject) / 高校理系
この初項の確認ってなんのためにしてるんですか？？
No.65126 - 2020/05/10(Sun) 14:36:58
☆ Re: / らすかる
その前までで
「一つ値が同じ項a[s]=b[t]があれば、そのあとの同じ項はa[s+2],a[s+4],…である」
ということがわかりましたので、あとは最初に同じになる項を見つければ一般項が求まるからです。
「最初に同じになる項」がわからないと一般項は求まりませんね。
No.65127 - 2020/05/10(Sun) 14:44:07
☆ Re: / 高校理系
分かりました！ありがとうございます😊
No.65129 - 2020/05/10(Sun) 14:59:20
★ 数列 / 高校理系
(2)についてなのですが問題にnは自然数とあるのにjやiは0からになるとういのが理解できません…どういう理由なのか教えて欲しいです。
No.65123 - 2020/05/10(Sun) 14:10:50
☆ Re: 数列 / IT
例えば､１＝12^0 は12＝12^1の正の約数です。
No.65124 - 2020/05/10(Sun) 14:22:34
☆ Re: 数列 / 高校理系
わかりました！ありがとうございます😊
No.65125 - 2020/05/10(Sun) 14:34:33
★ 因数分解 / たまお
こちらを因数分解して頂けませんか。途中式書いてくださるとありがたいです。
No.65121 - 2020/05/10(Sun) 13:35:40
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
因数分解より、展開の方が格段に易しいので、右辺を
　(ｘ−ｙ)(ｘ＋ａｙ)
として展開し、
　ｘ^2＋(ａ−１)ｘｙ−ａｙ^2
これと、
　ｘ^2＋ｘｙ−２ｙ^2
を比較してａを決める、という方が楽です。

右辺が与えられずに、いきなり
　ｘ^2＋ｘｙ−２ｙ^2
を因数分解せよ。という問題なら、
　掛けて −２ｙ^2、足して ｙ となる２数を探し
−ｙと２ｙを見つける、というのが一般的です。
No.65122 - 2020/05/10(Sun) 13:44:32
☆ Re: 因数分解 / たまお
返事遅くなりました！
申し訳ないのですが全く分かりません。記入しわすれていましたが答えは分かっています。もう一度教えていただけませんか？
No.65130 - 2020/05/10(Sun) 15:08:51
☆ Re: 因数分解 / たまお
答えは2です
No.65131 - 2020/05/10(Sun) 15:20:15
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
であれば、出題のされ方からして、前半の解き方の方がオススメです。

ａとか書くと混乱しそうなので、[ケ]のままで行きますね。
　ｘ^2＋ｘｙ−２ｙ^2＝(ｘ−ｙ)(ｘ＋[ケ]ｙ)
これの右辺を計算すると、
　(ｘ−ｙ)(ｘ＋[ケ]ｙ)＝ｘ^2＋([ケ]−１)ｘｙ−[ケ]ｙ^2
この
　ｘ^2＋([ケ]−１)ｘｙ−[ケ]ｙ^2
が
　ｘ^2＋ｘｙ−２ｙ^2
と一致するには、[ケ] には何を入れれば良いですか？
というわけで、答えは、上に書かれているとおり、
　[ケ]＝２
です。
No.65132 - 2020/05/10(Sun) 16:29:20
★ 中1図形です / 鉛
写真の図形です。この図形で、三角形を動かして沢山の展開図を考えるという問題なのですが、全然わかりません…考え方の基本となるような物を教えて頂きたいです。回答よろしくお願いします。
No.65117 - 2020/05/10(Sun) 10:40:24
☆ Re: 中1図形です / X
問題文をアップして下さい。
No.65118 - 2020/05/10(Sun) 12:25:40
☆ Re: 中1図形です / ヨッシー
組み立てて立体にしたときに、辺となる部分は、
　１．展開図のときからくっついている
　２．組み立てる時にくっつける
の２通りです。そこで図のように、元からくっついている部分を離して、
くっつける予定の部分を、最初からくっつくようにすれば、別の展開図になります。

三角形を動かすだけの変更なら、元の図も含めて、４５通りの展開図が出来ます。
探してみてください。
No.65119 - 2020/05/10(Sun) 12:50:04
☆ Re: 中1図形です / 鉛
ありがとうございます！！やってみます！
No.65120 - 2020/05/10(Sun) 13:24:44
★ 図形と方程式 / 高校理系
(3)番のこの囲った部分の確認はなぜしなければいけないのですか？？
No.65115 - 2020/05/10(Sun) 09:27:22
☆ Re: 図形と方程式 / ヨッシー
ｙ−２＝ｍ(ｘ−１) では、ｘ＝１ が表現できていないからです。
No.65116 - 2020/05/10(Sun) 09:32:36
★ 数学?UB・図形と式 / はる
問）点（1, 5）を中心とし、直線4x-3y+1＝0に接する円の方程式を求めよ。

という問に対し、写真の通りに計算をしたところ、円の半径の2乗が負の数という変な結果になってしまい、間違ってそうな箇所や計算ミスを探したのですが、なぜこのような答えになってしまったのかが未だに理解できておりません。
点と直線の距離の公式を用いれば簡単に答えが求まることは理解しておりますが、それを踏まえたうえで私の考え方のどこが間違っているのかをお教えいただけると幸いです。

問題の答え自体は、(x-1)^2+(y-5)^2=4 です。よろしくお願いします。
No.65105 - 2020/05/09(Sat) 17:42:46
☆ Re: 数学?UB・図形と式 / らすかる
接線の公式がpx+qy=r^2となるのは、円の中心が原点の場合です。
円の中心が(1,5)の場合は(p-1)(x-1)+(q-5)(y-5)=r^2ですから
4x-3y+1=0
4(x-1)-3(y-5)=10
(2/5)r^2(x-1)-(3/10)r^2(y-5)=r^2
これより
(2/5)r^2=13/5-1, -(3/10)r^2=19/5-5
となって正しい答えが得られます。
しかしそんなややこしいことをする必要はありません。
接点が(13/5,19/5)と求まったら、
円の方程式に代入すればrが求まります。
No.65106 - 2020/05/09(Sat) 18:22:57
☆ Re: 数学?UB・図形と式 / はる
ご回答ありがとうございます。
px+qy＝r＾2が原点の時の公式であるということをすっかり失念しておりました。
非常に納得できました。

また、円の方程式に入れれば求まるということも言われて気づきました。ありがとうございます。
精進します。
No.65109 - 2020/05/09(Sat) 19:09:34
★ (No Subject) / 高校理系
最後のb2n−1ってどこからきたのですか？
No.65096 - 2020/05/09(Sat) 13:48:39
☆ Re: / らすかる
そこまでの議論でb[1],b[3],b[5],…がa[n]に含まれ、
b[2],b[4],b[6],…がa[n]に含まれないことがわかりましたので
c[1]=b[1],c[2]=b[3],c[3]=b[5],…つまりc[n]=b[2n-1]となります。
No.65098 - 2020/05/09(Sat) 14:29:00
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